La empresa McDonald's desea obtener utilidades vendiendo hamburguesas. Cada hamburguesa cuesta $4 para producir y los gastos fijos mensuales son de $12,000. McDonald's vende cada hamburguesa en $6. Se pide calcular el punto de equilibrio de ventas y determinar si habrá ganancias o pérdidas si se venden 7,000 hamburguesas.

1. COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA PARA INGENIEROS
Sesión 8: Funciones : Definición, Dominio y rango, Función elementales

2. a. ¿Cómo encontraría un modelo matemático que le permita
calcular el costo total, ingreso y la utilidad?
La empresa “Mc Don”, especialista en elaboración de
hamburguesas, desea obtener utilidades. Consulta a sus
proveedores sobre los gastos para la elaboración de
hamburguesas. En el cuál le informan que cada hamburguesa le
costaría 4 soles. Además el sabe que los gastos que no
dependen de la producción son de 12 000 soles mensuales. La
empresa desea vender a 6 soles cada hamburguesa.
Si usted es un futuro profesional contratado por dicha
empresa:
b. ¿Qué cantidad debería vender para que se cumpla el objetivo
mínimo de la empresa? (Punto de equilibrio)
c. ¿Ganaría o perdería en un mes y cuanto si logra vender 6000
unidades?
Situación problemática

3. La nota de examen parcial ¿esta en función de
que evaluaciones?
¿Qué entiendes por una relación?
¿Qué es una función?
¿Qué tipos de funciones recuerdas?
Saberes Previos

4. LOGRO
Al finalizar la sesión, el
estudiante resuelve ejercicios
y problemas vinculados a
gestión e ingeniería a partir
del concepto de Funciones,
dominio y regla de
correspondencia de forma
clara y coherente.

5. Temario
Función
Definición
Dominio
Rango
Funciones
Elementales
Constante
Lineal
Aplicaciones

6. 2 .
3 .
5 .
7 .
. 4
. 9
. 25
. 49
f
A B
Función
x .
y .
z .
w .
. 1
. 2
. 3
. 4
f
A B
Relación
1 .
6 .
8 .
9 .
. a
. b
. c
. d
f
A B
Función
L .
M .
J .
V .
. 4
. 9
. 25
. 49
f
A B
Relación
¿Por qué no todas las relaciones son funciones?
Es una relación a la
que se añade la
restricción de que a
cada valor de A le
corresponde uno y
sólo un valor del B.
1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

7. − − − −    
−
−
−
−




x
y
Determine si la siguiente gráfica es la gráfica de una función.
− − − −    
−
−
−
−




x
y
Una curva es la gráfica de una función. Si al pasar una recta vertical sobre ella, esta
corta a la gráfica en un sólo punto, es una función.
1 2
La gráfica si es de una función La gráfica no es de una función
▪ Podemos reconocer a una función observando su gráfica:
2. FUNCIÓN - CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

8. 3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN – ANALÍTICAMENTE
Toda función que sea un polinomio tiene como dominio, todos los reales:
Consideraciones para obtener el dominio de una función:
𝑓 𝑥 =𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2+𝑎𝑛−3𝑥𝑛−3+…+𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑫𝒇 = 𝐑
Para toda función racional, el denominador debe ser no nulo:
𝑓 𝑥 =
𝑔(𝑥)
ℎ 𝑥
𝑫𝒇 = 𝑹 − 𝒙 ∈ 𝑹 /𝒉(𝒙) = 𝟎
EJEMPLOS. Hallar el dominio de:

9. 3. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN – ANALÍTICAMENTE
Consideraciones para obtener el dominio de una función:
Para toda las funciones radicales de orden par (cuadrática, cuarta,…), lo que
esta dentro de esta raíz es positiva:
𝑓 𝑥 =2𝑛
ℎ(𝑥), 𝑛 ∈ 𝑁 𝑫𝒇 = 𝒙 ∈ 𝑹 /𝒉(𝒙) ≥ 𝟎

10. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN – ANALÍTICAMENTE
Halle el dominio de la función 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 10
5𝑥 − 10 ≥ 0
5𝑥 ≥ 10
𝑥 ≥
10
5
𝑥 ≥ 2
𝐷𝑓 = ሾ2 , ۧ
+∞
Se llama dominio de 𝑓 (𝐷𝑓) al conjunto de todos los valores que toma la variable
independiente, x para que esta función exista.
Ejemplo 1
Solución.
▪ Esta función existe solamente cuando:
▪ Despejando 𝑥:
▪ Por lo tanto, el dominio de 𝑓

11. El Dominio se obtiene proyectando sobre el eje 𝑋 cada uno de los puntos de la gráfica.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN – CON GRÁFICA
Ejemplo 1: Halle el dominio de 𝑓(𝑥), si su gráfica es
Solución.
▪ Ubicamos algunos puntos de la gráfica.

12. 𝑫𝒇 = −𝟑 , 𝟒
El Dominio se obtiene proyectando sobre el eje 𝑋 cada uno de los puntos de la gráfica.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN – CON GRÁFICA
Ejemplo 1: Halle el dominio de 𝑓(𝑥), si su gráfica es
Solución.
▪ Ubicamos algunos puntos de la gráfica
▪ Proyectamos esos puntos hacia el eje 𝑋

13. Halle el rango de la función 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1; 𝑥 ∈ −2 , 3
−𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑
−𝟔 ≤ 𝟑𝒙 ≤ 𝟗
−𝟔 + 𝟏 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟗 + 𝟏
−𝟓 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟏𝟎
𝟑(−𝟐) ≤ 𝟑(𝒙) ≤ 𝟑(𝟑)
Multiplicamos por 3
Sumamos más 1:
4. RANGO DE UNA FUNCIÓN – ANALÍTICAMENTE
El rango de 𝑓 (𝑅𝑓)es el conjunto de todos los valores que 𝑓 toma.
Ejemplo 1
Solución.
▪ El dominio en forma de desigualdad:
▪ Para hallar el rango de 𝑓,
𝑹𝒇 = −𝟓 , 𝟏𝟎

14. Ejemplo 1:
Solución.
▪ Ubicamos algunos puntos de la gráfica
RANGO DE UNA FUNCIÓN – CON GRÁFICA
El Rango se obtiene proyectando sobre el eje 𝑌 cada uno de los puntos de la gráfica
▪ Proyectamos esos puntos hacia el eje 𝑌
Halle el rango de 𝑓(𝑥), si su gráfica es

15. 𝑹 =<-2,2]
Ejemplo 1: Halle el rango de 𝑓(𝑥), si su gráfica es
Solución.
▪ Ubicamos algunos puntos de la gráfica
▪ Proyectamos esos puntos hacia el eje 𝑌
RANGO DE UNA FUNCIÓN – CON GRÁFICA
El Rango se obtiene proyectando sobre el eje 𝑌 cada uno de los puntos de la gráfica

16. Una función lineal es de la forma:
− − − − − −   
−
−
−



x
y
𝑥
𝑦
Dom( f ) = ℝ
Ran( f ) = ℝ
𝑏
f(x) = ax+b
Ordenada en el
origen
f (x) = a x + b ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0
Su representación gráfica es una recta con pendiente 𝑎 :
5. FUNCIÓN LINEAL

17. 1. Grafique 𝒚 =
𝟏
𝟑
𝒙 + 𝟏
Tabulamos sólo dos puntos 𝒙 𝒚
𝟎 𝟏
𝟑 𝟐
− − − −    
−
−
−
−




x
y
(𝟎, 𝟏)
(𝟑, 𝟐)
− − − −    
−
−
−
−




x
y
𝒙 𝒚
2. Grafique 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟐
Tabulamos sólo dos puntos
𝟎 𝟐
𝟏 −𝟏
(𝟎, 𝟐)
(𝟏, −𝟏)
Dom(f) = ℝ
Ran(f) = ℝ
Dom(f) = ℝ
Ran(f) = ℝ
FUNCIÓN LINEAL

18. Una función lineal es de la forma:
− − − − − −   
−
−
−



x
y
𝑥
𝑦
Dom( f ) = ℝ
Ran( f ) = 𝑏
𝑏
f(x) = b
Ordenada en el
origen
f (x) = b ; 𝒃 ∈ ℝ , 𝒂 ≠ 𝟎
Su representación gráfica es una recta con pendiente 𝑎 = 0:
6. FUNCIÓN CONSTANTE

19. 1. Grafique 𝑦 = 1
Tabulamos sólo dos puntos 𝒙 𝒚
𝟎 𝟏
𝟑 𝟏
− − − −    
−
−
−
−




x
y
(𝟎, 𝟏) (𝟑, 𝟏)
− − − −    
−
−
−
−




x
y
𝒙 𝒚
2. Grafique 𝑦 = 2
Tabulamos sólo dos puntos 𝟎 𝟐
𝟏 𝟐
(𝟎, 𝟐) (𝟏, 𝟐)
Dom(f) = ℝ
Ran(f) = 1
Dom(f) = ℝ
Ran(f) = 2
FUNCIÓN CONSTANTE

20. a. ¿Cómo encontraría un modelo matemático que le permita
calcular el costo total, ingreso y la utilidad?
La empresa “Mc Don”, especialista en elaboración de
hamburguesas, desea obtener utilidades. Consulta a sus
proveedores sobre los gastos para la elaboración de
hamburguesas. En el cuál le informan que cada hamburguesa le
costaría 4 soles. Además el sabe que los gastos que no
dependen de la producción son de 12 000 soles mensuales. La
empresa desea vender a 6 soles cada hamburguesa.
Si usted es un futuro profesional contratado por dicha
empresa:
b. ¿Qué cantidad debería vender para que se cumpla el objetivo
mínimo de la empresa? (Punto de equilibrio)
c. ¿Ganaría o perdería en un mes y cuanto si logra vender 7000
unidades?
Situación problemática

21. NECESITAMOS RECORDAR UNOS CONCEPTOS

22. ECUACIONES DEL COSTO, INGRESO Y GANANCIA.
COSTOS FIJOS
Son los costos que permanecen contantes por
un período de tiempo determinado, sin importar
el nivel de producción.
COSTOS VARIABLES
Son los costos que varían de acuerdo al nivel de
producción.
• Mano de obra fija
• Alquiler de local
• Servicios públicos: agua,
luz, teléfono
• Impuestos municipales
• Papelería
• Mano de obra variable
(por destajo)
• Materias primas o insumos
• Empaques
• Otros
COSTO TOTAL = COSTO FIJO + COSTO VARIABLE
COSTOS

23. 5. COSTO, INGRESO Y GANANCIA.
UTILIDAD: Es la Ganancia que se obtiene de la diferencia
entre el ingreso y el costo total.
INGRESO = (Precio de venta)(N° de unidades)
INGRESO: Es el dinero obtenido por la venta de los productos.
UTILIDAD = INGRESO – COSTO TOTAL
Costo Variable = (Costo variable por unidad)(N° de unidades)
COSTO VARIABLE: Es el dinero que se utiliza para adquirir la
materia prima, pago de mano de obra y gastos adicionales.
COSTO TOTAL = Costo Fijo + Costo Variable

24. a. ¿Cómo encontraría un modelo matemático que le permita calcular el costo total,
ingreso y la utilidad?
La empresa “Mc Don”, especialista en elaboración de hamburguesas, desea obtener
utilidades. Consulta a sus proveedores sobre los gastos para la elaboración de
hamburguesas. En el cuál le informan que cada hamburguesa le costaría 4 soles. Además
el sabe que los gastos que no dependen de la producción son de 12 000 soles mensuales.
La empresa desea vender a 6 soles cada hamburguesa.
Si usted es un futuro profesional contratado por dicha empresa:

25. a. ¿Cómo encontraría un modelo matemático que le permita calcular el costo total,
ingreso y la utilidad?
b. ¿Qué cantidad debería vender para que se cumpla el objetivo mínimo de la
empresa? (Punto de equilibrio)
c. ¿Ganaría o perdería en un mes y cuanto si logra vender 7000 unidades?

26. Pedro desea comprar un celular y le ofrecen una lista de
precios según la tarifa ofrecida por dos empresas de telefonía
celular durante un mes, según sus planes:
Planes Tarifarios
Cargo mensual
fijo
Minutos
libres
Costo por minutos
adicional
Entel S/. 60 100 S/. 0.5
Claro S/. 70 150 S/. 0.3
Escriba el costo que se paga según los minutos que habla en cada uno de los planes
mostrados.
¿Cuántos minutos debe hablar para que en ambas empresas obtengan el mismo costo?
¿Cuál de las empresas le recomendaría a Pedro?
Aplicaciones

27. METACOGNICIÓN
1. ¿Para qué crees que te servirá
conocer la definición de función?
2. ¿En qué casos cotidianos podría
aplicar lo aprendido?
3. ¿Cuáles fueron las dificultades que
encontré en el desarrollo de este
tema?

28. CONCLUSIONES
Identifique el valor de veracidad de los siguientes enunciados:
Una curva es la gráfica de una función si al pasar una recta vertical sobre ella, esta la
corta en más de un punto.
Toda función es una relación
Es dominio el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente
Es rango el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente
La Función Lineal es aquella línea recta horizontal
La Función Lineal tiene la forma f (x) = a x + b ; 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ , 𝒂 ≠ 𝟎
F
F
V
F
F
V

29. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1
515.33
PURC
PURCELL,
EDWIN J.
Cálculo Diferencial
E Integral
Pearson
Educación
2
515
STEW/P
2007
STEWART,
JAMES
Cálculo De Una
Variable:
Transcendentes
Tempranas
Thomson
Learning
3
515.15/
LARS
LARSON,
RON
Cálculo Mcgraw-Hill