Principales características de la función racional

1. Función Racional
Fraccionaria

2. Definición:
p(x)
r(x) =
función racional fraccionaria
q(x)
p(x) y q(x) son funciones polinomiales y q(x) no
es el polinomio nulo.
Ejemplos:
x2 – 3x + 1
g(x) =
x+1
x–4
f(x) = 2
x +2
2x + 1
h(x) =
x–3
D = R – {–1}
D=R
D = R – {3}

3. 2x + 1
h(x) =
x–3
D = R – {3}
y=2
asíntota
horizontal
x = 3 asíntota vertical

4. Asíntotas
Una asíntota es una recta a la cual la función se
acerca pero nunca la toca.
Asíntota Vertical: La recta x = c es una asíntota
vertical de la gráfica de una función f(x), si f(x)  
o f(x)  , cuando x  c, por la izquierda o por la
derecha.
f(x)  
cuando
x  c
f(x)  
cuando
x  c+
f(x)  
cuando
x  c
f(x)  
cuando
x  c+

5. Asíntota Horizontal: la recta y = k es una asíntota
horizontal de la gráfica de una función f(x), si
f(x)  k, cuando x  , o cuando x  .
f(x)  k
cuando
x  
Si una asíntota no
es horizontal ni
vertical es
Asíntota Oblicua
f(x)  k
cuando
x  

6. ¿Cómo encontrar las asíntotas?
Sea la función racional:
a0xn + a1xn-1+ ... + an
p(x)
, a 0  0  b0  0
=
f(x) =
q(x)
b0xm + b1xm-1+ ... + bm
Analizamos lo siguiente:
c es cero únicamente de q(x)  x = c es A.V.
gr p(x) < gr q(x)  y = 0 es A.H.
a0
gr p(x) = gr q(x)  y =
b0
es A.H.
Ejemplos:
3x
f(x) 
x
2
2
2
3x
g( x ) 
2x
2
 6x
h( x ) 
2x
x
2
2
1

7. gr p(x) = 1 + gr q(x)  A.O.
p(x)
r(x)
= ax + b +
Se dividen p y q: f(x) =
q(x)
q(x)
Cuando x   
 f(x)  ax + b
r(x)
0 
q(x)
 y = ax + b
A.O.
Ejemplos:
f(x) 
2x
2
 5x  4
x2
g( x ) 
x
2
 2x  3
x 1

8. Grafique la función
2x + 1
h(x) =
x+1
• Dominio.
• Factorizar, si es posible, numerador y denominador
• Simplificar.
• Hallar abscisa y ordenada al origen.
• Determinar, si existen, asíntotas.
• Armar la tabla de signos.
• Trazar la gráfica.

9. 2x + 1
h(x) =
x+1
D = R – {–1}
y=2
x = –1

10. Inecuaciones Racionales

11. Encuentre los valores reales de x para los cuales
3x + 1
≥ 2
x+2