Este documento presenta una lista de 10 productos notables de álgebra que se obtienen directamente sin necesidad de realizar la multiplicación. Estos incluyen el binomio al cuadrado, identidades de Legendre, binomio al cubo, diferencia de cuadrados, multiplicación de dos binomios con un término común, suma y diferencia de cubos, trinomio al cuadrado y al cubo, e igualdades condicionales.
Material de álgebra, teoría y ejercicios aplicativos del tema esencial del álgebra.
El material no es propio, es la Universidad Nacional "Pedro Ruíz Gallo".
Este material es muy bueno que puede servir para niveles PRE y Universitario
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ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen
en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de
multiplicación. Ello por lo forma característica que presentan.
3.
4.
5. 1. BINOMIO AL CUADRADO
* (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
* (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
2. IDENTIDADES DE LEGENDRE
* (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
* (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
3. BINOMIO AL CUBO
• (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
• (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
5. DIFERENCIA DE CUADRADOS
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
6. 6. MULTIPLICACIÓN DE DOS BINOMIOS
CON UN TÉRMINO COMÚN:
x + a x + b = x2 + a + b x + ab
7. SUMA DE CUBOS:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
8. DIFERENCIA DE CUBOS
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
9. TRINOMIO AL CUADRADO
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
7. 10. TRINOMIO AL CUBO
* (a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a + b)(b + c)(a + c)
*(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc
11. IGUALDADES CONDICIONALES
Si: a + b + c = 0, entonces se verifican:
* a2 + b2 + c2 = −2(ab + bc + ac)
* 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐
8. Solución
tenemos:
Luego remplazando los valores
tenemos:
∴
1. Sean a y b dos números reales y positivos tales que
a
b
+
b
a
= 3. Halle el valor numérico de
a+b
a−b
.
A) 2 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4
𝑎2 + 𝑏2
𝑎𝑏
= 3
𝑎2 + 𝑏2 = 3𝑎𝑏
Paso I:
𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
− 2𝑎𝑏 = 3𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 2 = 5𝑎𝑏
𝑎 − 𝑏 2
𝑎 + 𝑏 = 5𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏 = 5𝑎𝑏
Paso II:
𝑎2
− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
+ 2𝑎𝑏 = 3𝑎𝑏
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎𝑏
𝑎 − 𝑏 = 𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
=
5𝑎𝑏
𝑎𝑏
= 5
9. Solución
tenemos:
∴
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑎 − 𝑏 2
=
5
3
Luego remplazando
2. Sean a > b > 0, números tales que
a2−b2
a−b 2 =
5
3
.
Halle el valor de
a
b
.
A) 8 B) 2 C) 4 D) 3 E) 9
(𝑎 + 𝑏)
𝑎 − 𝑏
=
5
3
3𝑎 + 3𝑏 = 5𝑎 − 5𝑏
8𝑏 = 2𝑎 4𝑏 = 𝑎
𝑎
𝑏
=
4𝑏
𝑏
= 4
10. Solución
tenemos:
∴
Luego reemplazando los valores
a − b a2 + ab + b2 a6 + a3b3 + b6
a18 − b18
1
513
3. Luego de reducir la expresión
a − b a2
+ ab + b2
a6
+ a3
b3
+ b6
a18 − b18
determine el valor numérico para a = 1 ∧ b = 2.
A)
1
2
B)
1
64
C)
1
512
D)
1
513
E)
1
32
(𝑎3
− 𝑏3
) a6
+ a3
b3
+ b6
a18 − b18
(𝑎9 − 𝑏9)
a18 − b18
(𝑎9−𝑏9)
(𝑎9−𝑏9)(𝑎9+𝑏9)
=
1
𝑎9+𝑏9
1
𝑎9+𝑏9 =
1
19+29 =
1
1+512
=
1
513
11. Solución
tenemos:
Luego reemplazando :
4. Si se cumple que
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
= 2, determine E =
x2+y3
x3+y2
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) x + y
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
= 2
𝑥2 + 𝑦2
𝑥𝑦
= 2
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥𝑦
𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 0
𝑥 − 𝑦 2
= 0
𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 = 𝑦
E=
𝑥2+𝑦3
𝑥3+𝑦2 =
𝑥2
+𝑥3
𝑥3+𝑥2
= 1