Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con el valor absoluto de números reales. Incluye teoremas sobre propiedades del valor absoluto y resuelve ejercicios aplicando dichas propiedades, como sumas, restas y desigualdades con valores absolutos.

1. Razonamiento Matemático Carlos David Castillo Elorreaga
El valor absoluto de “a”, a , a R∀ ∈ .
Definición:
x x, si : x 0
x 0, si : x 0
x x, si : x 0
= >
= =
= − <
Ejemplos:
( )
x 10 10 10
x 0 0 0
x 10 10 10 10
= → =
= → =
= − → − = − − =
Observación: Nótese que el valor absoluto de un
número positivo o cero es el mismo número y el valor
absoluto de un negativo es el número positivo.
Entonces:
1 1
3 3
2 2
7 7 3 3
0,7 0,7 8 8
− = − =
− = =
= − =
Teoremas sobre el valor absoluto.
( ) 2 2 2
x x x= =
2
x x=
x n,n R x 0= ∈ → ≥
x x= −
a b a b× = ×
aa
,b 0
b b
= ≠
( )a b a b a b, b 0= ⇔ = ∨ = − ≥
a b a b a b= ⇔ = ∨ = −
Si a 0 y x a b x b≥ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Si a 0 y x a x a x a≥ ≥ ⇔ ≥ ∀ ≤ −
a b a b+ ≤ +
a b b a− = −
1 Calcular: 2 3− + −
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Resolución:
2 2− =
3 3− =
2 3 5+ = = 5 Rpta.
2 Hallar:”x” x 2 3− =
a) 1,2 b) 1,5− c) 2,3−
d) 2,4 e) 3,1
Resolución:
x 2 3− = → x = 5
x 2 3− = − → x = 1− Rpta.
3 Resolver: x 2 6 x− = −
a) 4 0∧ b) 2 0∧ c) 4 d) 2 e) 4 2∧
Resolución:
ro
1 : x 2 6 x− = −
2x 8= ⇒ x = 4 Rpta.
( )
( )
do
2 : x 2 6 x
x 2 6 x
2 6 absurdo
− = − −
− = − +
=
4 Resolver:
4x 2 5− =
a)
7
4
b)
7
3
c)
7
5
d)
7
9
e)
7
8
Resolución:
Se deberán considerar dos casos:
er
1 Caso :
4x 2 0 4x 2 5
4x 2 4x 7
1 7
x x
2 4
− ≥ ∧ − =
≥ =
≥ =
7
x
4
= Cumple con:
1
x
2
>
Luego:
7
x
4
= es solución.
do
2 Caso :
4x 2 0 4x 2 5
4x 2 4x 3
1 3
x x
2 4
− < ∧ − + =
< − =
< = −
3
x
4
= − Cumple con:
1
x
2
<
Luego:
3
x
4
= − es solución.
{ }3 7
x ,
4 4
∈ − Rpta.
5 Resolver:
x 4 1+ = −
a) ∅ b)
7
3
c)
7
5
d)
7
9
e)
7
8
Resolución:
61

2. Razonamiento Matemático Carlos David Castillo Elorreaga
er
1 Caso :
x 4 0 x 4 1
x 4 x 5
+ ≥ ∧ + = −
≥ − = −
Pero: x 5= − no cumple con: x 4> −
Luego: x 5= − no es respuesta.
do
2 Caso :
x 4 0 x 4 1
x 4 x 3
+ < ∧ − − = −
< − = −
Pero: x 3= − no cumple con: x 4< −
Luego: x 3= − no es respuesta.
x = ∅ Rpta.
6 Hallar el valor de “R”
x 2 3x 2
R
3x
+ − −
= , si: x 2,0∈ −
a)
4
5
b)
4
3
c)
4
6
d)
4
2
e) N.A
Resolución:
ro
1 :
2 x 0− < <
2 2 x 2 0 2− + < + < +
0 x 2 2< + <
x 2 x 2+ = +
do
2 :
2 x 0 por(3)− < <
6 3x 0− < <
6 2 3x 2 0 2− − < − < −
8 3x 2 2− < − < −
( )3x 2 3x 2− = − −
ro
3 :
( ) ( )x 2 3x 2
R
3x
+ − − −  =
x 2 3x 2 4x
R
3x 3x
+ + −
= =
R =
4
3
Rpta.
7 Resolver: 3 x 3x 5− ≥ −
a) { }1,3 b) { }1,2 c) { }1,6
d) { }1,5 e) N.A
Resolución:
Elevando al cuadrado:
2 2
3 x 3x 5− = −
( ) ( )2 2
3 x 3x 5 0− = − ≥
( ) ( )3 x 3x 5 3 x 3x 5 0− + − − − + ≥
( ) ( )x 2 4x 8 0− − + ≥
( ) ( )x 1 x 2 0− − ≤
1 x 2≤ ≤
{ }x 1, 2∈ Rpta.
8 Resolver:
2x 1 2+ >
a)
2 1
x , ,
5 2
  
∈ ∞ ∪ +∞    
b)
5 1
x , ,
2 2
  
∈ ∞ ∪ −∞    
c)
3 1
x , ,
2 2

∈ −∞ − ∪ +∞
d)
2 1
x , ,
5 3
∈ ∞ − ∪ −∞
e)
2 1
x , ,
2 2
  
∈ ∞ ∪ +∞    
Resolución:
2x 1 2 ó 2x 1 2+ > + < −
1
x
2
>
3
x
2
< −
3 1
x , ,
2 2

∈ −∞ − ∪ +∞
Rpta.
9 Resolver:
2x 5 3− >
a) x ,1 3,∈ +∞ ∪ −∞
b) x ,1 4,∈ −∞ ∪ +∞
c) ]x ,2 5,∈ −∞ ∪ +∞
d) ]x ,3 3,∈ −∞ ∪ +∞
e) ]x ,4 5,∈ −∞ ∪ +∞
Resolución:
2x 5 3 ó 2x 5 3− > − < −
x 4> x 1<
x ,1 4,∈ −∞ ∪ +∞ Rpta.
10 Resolver: x∀ ∈ ¡
3x 1 x 2− < +
a)
1 3
x ,
4 2
∈ − b)
1 2
x ,
2 3
∈ −
c)
1 1
x ,
3 2
∈ − d)
1 3
x ,
2 2
∈
e) N.A
Resolución:
2 2
3x 1 x 2− < +
( ) ( )
2 2
3x 1 x 2− < +
( ) ( )
2 2
3x 1 x 2 0− − + <
( ) ( )2x 3 4x 1 0− + <
62
−∞ +∞1
4
−
3
2

3. Razonamiento Matemático Carlos David Castillo Elorreaga
1 3
x ,
4 2
∈ − Rpta.
11 Resolver:
x 4
x
x 1
+
≤
+
a)
1 3
x ,
4 2
∈ − b)
1 2
x ,
2 3
∈ −
c)
1 1
x ,
3 2
∈ − d)
1 3
x ,
2 2
∈
e) N.A
Resolución:
x 4
x
x 1
+
≤
+
, x 1≠ −
x 0≥
2
2x 4
x
x 1
+
≤
+
2
2x 4
x 0
x 1
+ 
− ≤ ÷
+ 
x 4 x 4
x x 0
x 1 x 1
+ +  
− + ≤ ÷ ÷
+ +  
( )( )( )
22 2
x 4 x 2x 4 x 1 0− + + + ≥
( ) ( )x 2 x 2 0− + ≥
XS x 2,= ∈ +∞ Rpta.
12 Resolver:
2x 6 x 2 2x 4 x 3− − − ≤ − − −
a)
5
x ,
2

∈ +∞
b)
5
x ,
2
∈ +∞
c)
5
,
2
− +∞ d)
5
,
2

−∞ 
e) N.A
Resolución:
( ) ( )x 11 3 x 5 4 x 1
2 x 5 5 x 1 x 11
− − + − + − − =
− + − + −
( )x 11 x 5 4 x 1
5 x 1 x 11
− + − + + − =
− + −
x 5 x 1− = −
2 2
x 5 x 1− = −
( ) ( )
2 2
x 5 x 1 0− − − =
10x 25 2x 1 0 8x 24− + + − = → = De donde: x 3=
Rpta.
13 Resolver:
x 2 1− ≤
a) 3, 1 1,3− − ∪   b) ]3, 1 1,3− − ∪
c) [ ]3, 1 1,3− − ∪ d) [ ] [ ]3, 1 1,3− − ∪
e) 3, 1 1,3− − ∪
Resolución:
x 2 1− ≤
1 x 2 1− ≤ − ≤
1 x 3≤ ≤
( ) ( )x 1 x 3≥ ∧ ≤
( )x 1 x 1 3 x 3≥ ∨ ≤ − ∧ − ≤ ≤
3 x 1 1 x 3− ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤
[ ] [ ]x 3, 1 1, 3∈ − − ∪ Rpta.
14 Resolver:
x 3 4 x x 1 x 2
x 4 3 xx 2 x 1
− − − − − −
<
− + −− + −
Indicar su conjunto solución.
a) 4,5 b) 0, 2 c) 2,4
d) 5,6 e) 2,4
Resolución:
x 3 3 x− = −
4 x x 4− = −
Luego:
x 3 x 4 x 1 x 2
0
x 4 x 3x 2 x 1
− − − − − −
− <
− + −− + −
x 1 0 x 1− ≥ ≥
x 2 0 x 2− ≥ ≥
x 2≥
x 4 x 3 x 2 x 1
0
x 4 x 3x 2 x 1
− − − − − −
− >
− + −− + −
El denominador siempre es positivo. La restitución x 2≥
Luego el numerador deberá ser positivo.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x 4 x 3 x 2 x 1 0− − − − − − − >  
( )2x 7 1 0; 2x 8− + − − > <
x 4 x 2< ∧ ≥
x 2, 4∈ Rpta.
15 Resolver:
x 2 3x 1
0
2x 1 x 1
− − +
≥
− − −
a)
3
,0
2
− b)
3
,
2
−∞ −
c)
3
,
2

− +∞
d)
3
,0
2

−
63
−∞ +∞2− 0 2

4. Razonamiento Matemático Carlos David Castillo Elorreaga
e)
3
,
2
−∞ −
Resolución:
( ) ( )2x 1 x 1 x 2 3x 1 0− − − − − + ≥
12x 1 x 1 0 x 2 3x 1 0......S− − − > ∧ − − + ≥
22x 1 x 1 0 x 2 3x 1 0......S− − − < ∧ − − + ≤ 1S :
2 2 2 2
2x 1 x 1 x 2 3x 1− > − ∧ − ≥ +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2x 1 x 1 0 , x 2 3x 1 0− − − > − − + ≥ ( )x 3x 2 0− >
( ) ( )2x 3 4x 1 0+ − ≤
2
x 0 x
3
< ∨ > ∧
3 1
x
2 4
 
− ≤ ≤ ÷
 
⇒ 3
x 0
2
− ≤ <
2S : 2x 1 x 1 0 x 2 3x 1 0− − − < ∧ − − + ≤
2 2
2x 1 x 1− < −
2 2
x 2 3x 1− ≤ +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2x 1 x 1 0 x 2 3x 1 0− − − < − − + ≤ ( )x 3x 2 0− <
( ) ( )2x 3 4x 1 0+ − ≥
2 3 1
0 x x x
3 2 4
   
< < ∧ ≤ − ∨ ≥ → ∅ ÷  ÷
   
F 1 2 1S S S S= ∪ ⇒ ∪ ∅ ⇒
1S = 3
x 0
2
− ≤ < Rpta.
Inecuaciones Con Valor Absoluto
Para resolver inecuaciones con valor absoluto se deberá
interceptar para cada caso el resultado de resolver la
inecuación resultante y se obtendrá la respuesta para
cada caso en donde el resultado final del ejercicio será la
unión de todos los casos.
Ejemplo:
Resolver: x 3 2x 1+ ≥ −
a) 1,3 b) ,4−∞ c) { }1,6
d) 2,9 e) N.A
Resolución:
er
condición se tiene
1 Caso x 3 0 x 3 2x 1
x 3 4 x
+ ≥ + > −
≥ − ≥
Intersección:
[ ]x 3,4∈ −
do
condición se tiene
2 Caso x 3 0 x 3 2x 1
2
x 3 x
3
+ < − − ≥ −
< − − ≥
x , 3∈ −∞ −
er do
1 Caso 2 CasoU
[ ]x , 3 3,4∈ −∞ − −U
x ,4∈ −∞
1 Resolver: x 5 1− <
a) 3,6 b) 4,8 c) 4,6
d) { }1,5 e) 4,9
2 Resolver: 2x 7 x 5− = −
a) 2 4∧ b) 4 2∨ c) ∅
d) 2 4− ∧ e) 2 4∧ −
3 Resolver: 5x 1 6− =
a) { }6
, 1
5
− b) { }5
, 2
3
− c) { }1
d) { }2 e) { }5
, 2
3
4 Resolver: 3x 2 x 6− < +
Indicar la suma de los enteros positivos que cumplen:
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 4
5 Calcular:
2 2 3
P
3 1
− + + −
=
− + −
a)
7
2
b) 0 c)
1
4
d)
3
4
e)
7
4
6 Hallar “n”
( )2n 3 2 5 1− − = − + −
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
7 Calcular: 5 5 5 4+ − − −
a) 0 b) 7 c) 1−
d) 1 e) 9
8 Indicar lo falso:
a) x x− = − b) x x− =
c) 2
x x= d) 2 3 3 2− = −
e) 8 8− =
9 Resolver:
64
• •
3− 4
• •
3− 2
3
−

5. Razonamiento Matemático Carlos David Castillo Elorreaga
10 3x 5 7 x− = −
a) { },3 b) { }2,3 c) { }0,5
d) { }3,1 e) { }1,3−
10 Resolver:
2x 7 x 5− = −
a) ∅ b) 0 c) 1
d) 1− e) 2
11 Resolver:
x 2 3 2x− = −
a) { }4
2,
2
b) { }5
1,
3
c) { }5
2,
3
d) { }2
1,
3
e) { }3
1,
5
12 Resolver:
2
3 x 3 14 x 3 5 0− − − − =
a) { }1,8− b) { }2,6− c) { }2,7−
d) { }2,8− e) { }3,6
13 Resolver:
2x 1 3x 5− ≤ +
a)
3
,
5
− +∞ b)
4
,
5
− +∞
c)
2
,
5
 
− +∞  
d)
4
,
5
− +∞
e)
2
,
5
+∞
14 Resolver:
5 3x 2x 6− > +
a)
1
, 11,
5
−∞ − +∞U
b)
1
, 11,
5
−∞ +∞I
c) ,1 10,−∞ +∞U
d) 1,2 9,− +∞U
e) N.A
15 Resolver:
3 x x 2 6+ − ≤
a) 1, 2− b) 1,3− c) [ ]1, 2−
d) 1,2− e) 1,2−
16.-Resolver la siguiente inecuación:
2x 1
1
x 3
−
≤
+
A) ] ]3,4− B)
2
,4
3
 
−  
C) 3,4−
D) 2, 4− E) 4, 3− −
17.-Dar el conjunto solución de:
x 1
2
x 2
+
>
−
A) 1,2 B) 2,5 C)[ ]1,5
D)[ ] ] [1,2 2,5∪ E) 1,2 2,5∪
1.8 Resolver y dar el conjunto solución:
2x 5 x 4+ ≥ +
A) 1,3− B)[ ]1,3− C) ] ],1−∞
D)[ [3,+∞ E)[ [1,3−
65

6. Razonamiento Matemático Carlos David Castillo Elorreaga
10 3x 5 7 x− = −
a) { },3 b) { }2,3 c) { }0,5
d) { }3,1 e) { }1,3−
10 Resolver:
2x 7 x 5− = −
a) ∅ b) 0 c) 1
d) 1− e) 2
11 Resolver:
x 2 3 2x− = −
a) { }4
2,
2
b) { }5
1,
3
c) { }5
2,
3
d) { }2
1,
3
e) { }3
1,
5
12 Resolver:
2
3 x 3 14 x 3 5 0− − − − =
a) { }1,8− b) { }2,6− c) { }2,7−
d) { }2,8− e) { }3,6
13 Resolver:
2x 1 3x 5− ≤ +
a)
3
,
5
− +∞ b)
4
,
5
− +∞
c)
2
,
5
 
− +∞  
d)
4
,
5
− +∞
e)
2
,
5
+∞
14 Resolver:
5 3x 2x 6− > +
a)
1
, 11,
5
−∞ − +∞U
b)
1
, 11,
5
−∞ +∞I
c) ,1 10,−∞ +∞U
d) 1,2 9,− +∞U
e) N.A
15 Resolver:
3 x x 2 6+ − ≤
a) 1, 2− b) 1,3− c) [ ]1, 2−
d) 1,2− e) 1,2−
16.-Resolver la siguiente inecuación:
2x 1
1
x 3
−
≤
+
A) ] ]3,4− B)
2
,4
3
 
−  
C) 3,4−
D) 2, 4− E) 4, 3− −
17.-Dar el conjunto solución de:
x 1
2
x 2
+
>
−
A) 1,2 B) 2,5 C)[ ]1,5
D)[ ] ] [1,2 2,5∪ E) 1,2 2,5∪
1.8 Resolver y dar el conjunto solución:
2x 5 x 4+ ≥ +
A) 1,3− B)[ ]1,3− C) ] ],1−∞
D)[ [3,+∞ E)[ [1,3−
65