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ECUACIONES
EXPONENCIALES
ECUACIONES
EXPONENCIALES
I.E. “JUAN GUERRERO QUIMPER” ÁREA DE MATEMÁTICA – CIRCULO DE ESTUDIOS
DEFINICIÓN. Es una igualdad de expresiones
algebraicas donde, por lo menos, se presenta una
variable o incógnita en uno de sus exponentes.
Propiedades:
1. aα
= aβ
⇒ α = β
2. aα
= bα
⇒ a = b
Observaciones:
a) Si 3x
= 32
⇒ x = 2
b) Si 3x
= 5 ⇒ Log3 5 = x
c) Si
!
2x = 64⇒
!
2x =26
∴x = 3
d) Si:
2x
x
x = 2 ⇒
2x
x
x =
2
2
2
2 ∴ x = 2
e) Si:
3
x
x = 3 ⇒ (
3
x
x )3
= (3)3
( ) 33
)3(
3
=
x
x ⇒ x3
= 3 ∴ x = 3
3
Ejemplos:
1. Resolver: 1
5
2793
82
−
+
=
x
x
a) 1 b) 9 c) 2 d) 3 e) 11
Resolución:
Transformando a potencia:
( )
( )( ) 13
52
33
3
3
1
22
−
+
=






 x
x
= )333(
102
3
)3(
3
1
22
−+
=
xx
⇒
2392
33
22
−+
=
xx
⇒ 2x +9 =3x–2 ∴ x = 11
2. Resolver: 16
5
3
35
=





+
−x
x
a) 4/5 b) 1 c) 7/5 d) 2/5 e) 6/5
Resolución:
Observamos que 16 puede ser 161
; 42
o 24
I. 135)16(
5
3 1
35
=−⇒=





+
−
xx
x
⇒ x = 4/5
Reemplazando en la ecuación original.
16
5
3
5
4
≠+ (No cumple)
II.
35
5
3
−






+
x
x = (4)2
⇒ 5x – 3 = 2 ⇒ x = 1
Reemplazando en la ecuación original: 1 + ≠
5
3
4
(no cumple)
III.
35
5
3
−






+
x
x = (2)4
⇒ 5x – 3 = 4 ⇒ x =
7/5
Reemplazando en la ecuación original: 2
5
3
5
7
=+ .
= 2(cumple) ⇒ x = 7/5
3. Si: 2x+1
+ 4x
= 80;
y8
3
2 = 512. Hallar (x. y)
a) 1 b) 1/3 c) 3 d) 2 e) 2/3
Resolución:
Transformando a producto:
2x
. 2 + 2x
. 2x
= 80
Factorizando:
2x
. (2 + 2x
) = 23
. (2 + 23
) ⇒ x = 3
Transformando a potencia:
y8
3
2 = 29
=
2
3
2
⇒ 8y
= 2
⇒ y = 1/3
∴ x . y = 3 





3
1
= 1
4. Hallar el valor de “x” en: 2
2−
=
x
x
x
a) 2-1
b) 2-2
c) 2-1/2
d) 2-1/3
e) 2-1/4
Resolución:
2
2−
=
x
x
x = =
⇒ x =
4
1
⇒ x = 2-2
N O T A
•
...x
x
x = n ⇔ x = n
n
•
nx
x
x
x
..
= n ⇔ x = n
n
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Resolver:
7
328
216 =
x
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
2. Resolver: 24
927
4
=x
a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) N.A.
3. Encontrar el valor de “x”: 2
2−
=
x
x
x
a)
2
1
b)
3
2
c)
4
1
d)
4
3
e) 1
4. Calcular “x”: 6
3
18
=x
x
a)
18
3 b) 3 c) d) e) 2
5. Qué valor de “x” satisface:
416284
2
625.125125.5
++−
=
xxxx
a) 5 b)
15
12
c)
22
5
d)
22
5
e)
22
1
6. Hallar el valor de “x” en: 2x
. 4x+1
. 8x+2
= 64
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
7. Resolver: 4x
+ 4x+1
= 40
a)
2
3
b)
3
2
c)
3
1
d)
2
1
e) 3
8. Resolver: 7
77
776
2
14
=
+
+
x
x
a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4
9. Resolver dando el valor de “x”: 3
3
=
x
x
x
a) 3
3 b) 3 c) 3 d) 6
3 e) 5
3
10. Calcular el valor de “x” en: 2x
+ 4x
= 72
1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – ECUACIONES EXPONENCIALES Prof. CÉSAR DURÁN CÓRDOVA
( )
22
21
4
1
2
1
2 





=





=−
2
1
2
2
4
1
4
1






=























=





=





=
4
1
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1
4
1x
x
x
I.E. “JUAN GUERRERO QUIMPER” ÁREA DE MATEMÁTICA – CIRCULO DE ESTUDIOS
a) 1 b) 2 c) 3 d)
2
3
e)
4
3
11. Hallar el valor de “x” que satisface la ecuación:
814x-1
= 272x+ 1
a)
10
7
b)
7
10
c) 3 d)
3
5
e)
N.A.
12. Hallar el valor de “x” en:
2x+3
– 2x+2
+ 2x+1
– 2x
= 50x
a)
4
1
b)
3
2
c)
2
1
d) 2 e)
3
13. Determinar el valor de “n” en: 11
3
25
n
n
aa
aa
+
+
= a
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
14. Calcular x + y en: (0,1)0,2
(0,2)0,3
= 2x
. 5y
a) -0,7 b) -0,8 c) 0,8 d) 0,7 e) 0,5
15. Encontrar el valor de “x”:
4 5
1
4 51
x
x
xx
x
=
+
+
a) 5 b) 5
4 c) 3
4 d) 7
2 e) N.A.
16. Calcular “x2
” a partir de:
)231(412
8
4
8
+
=
x
x
x
a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 20
17. Determinar el valor de x, en:
5,025,0
125,0x
0625,04
−−
−
=
a) 64 b) 512 c) 256 d) 128 e) 32
18. Calcular n, de: 5n +2
+ 5n + 1
+ 5n
= 3875
a) 4 b) 2 c) 5 d) 6 e) 3
19. Calcular m, de: 9m + 1
+ 32m
= 65 610
a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7
20. Obtener el valor de x, en: 18 2x – 3
= 1
a) 0 b) 3 c)1,5 d) 1 e) 1, 5
21. Calcular y, en: 525
y
16
=
a) – 4 b) 0, 25 c) –0, 25 d) – 2 e) –0, 125
22. Hallar Z : ( ) ( ) 5,1381
25,0125,0
Z
−−
=
a) 1 b) 1/2 c) – 1/2 d) 2 e) 1/4
23. Resolver: 4x
+ 21 + 2x
= 384
a) 2 b) 2, 5 c) 3 d) 3, 25 e) 3, 5
24. Resolver: 2x + 1
= 3x + 1
a) 1 b) 0 c) – 1 d) 2 e) Imposible
25. Obtener el valor de x: xx
= 27
a) 1 b) 6 c) 3 d) 4 e) 2
26. Hallar y: yy
= 256
a) 8 b) 5 c)6 d) 4 e) 3
27. Hallar z: zz + 2
= 243
a) 5 b) 2 c) 4 d) 1 e) 3
28. Al reducir:
( )
ab2
2a
yx
yx
+ , Los exponentes finales de
x e y son iguales. Calcular a + b.
a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 4
29. Calcular el valor de:
bac.acb.cbaM = sabiendo
que abc = 256.
a) 26 b) 2 c) 4 d) 128 e) 64
30. Simplificar: [ ] 1n
n
1n
1n
1n
n
1n
3.2
3
.2S
+
+
+
− −= , para m =
3.
a) 6 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2/3
31. Simplificar:
a) 3 b) 9 c) 273
d) 318
e)
3
2
9
32. Si xx
= 3, calcular:
x1
x
xG
+
=
a) 81 b) 9 c) 27 d) 3 e) 243
33. Si: 2x
x
x
= ; calcular:
xxx
x2
xH
+
=
a) 8 b) 4 c) 64 d) 32 e) 16
34. Si: x – x
= 4, calcular:
x1
x
xT
−
−
=
a) 16 b) 256 c) 128 d) 64 e) 512
35. Si x2x
= 25, calcular: J = x3x
, sabiendo que es
positivo.
a) 15 625 b) 625 c)75 d) 125 e) 3 125
36. Si: x
2x = , calcular: P = x3x
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32
37. Hallar m: Si: 3 – m
= (729)2
a) – 12 b) 12 c) 6 d) – 6 e) 3
38. Hallar x en: 52x –1
= 125
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
39. Si: 5 7x
= 128 Calcular: 5 x
– 5 –x
a) 1, 5 b) 3, 5 c) 3,0 d) 2, 4 e) 3, 6
40. Hallar el valor de “x” en: 2x
. 4x+1
. 8x+2
= 64
a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7
2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – ECUACIONES EXPONENCIALES Prof. CÉSAR DURÁN CÓRDOVA
( )
28
19
3
25
3
9
3
9
27
3
3
9
27
99
−

















=P
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Ecuaciones de expone

  • 1. ECUACIONES EXPONENCIALES ECUACIONES EXPONENCIALES I.E. “JUAN GUERRERO QUIMPER” ÁREA DE MATEMÁTICA – CIRCULO DE ESTUDIOS DEFINICIÓN. Es una igualdad de expresiones algebraicas donde, por lo menos, se presenta una variable o incógnita en uno de sus exponentes. Propiedades: 1. aα = aβ ⇒ α = β 2. aα = bα ⇒ a = b Observaciones: a) Si 3x = 32 ⇒ x = 2 b) Si 3x = 5 ⇒ Log3 5 = x c) Si ! 2x = 64⇒ ! 2x =26 ∴x = 3 d) Si: 2x x x = 2 ⇒ 2x x x = 2 2 2 2 ∴ x = 2 e) Si: 3 x x = 3 ⇒ ( 3 x x )3 = (3)3 ( ) 33 )3( 3 = x x ⇒ x3 = 3 ∴ x = 3 3 Ejemplos: 1. Resolver: 1 5 2793 82 − + = x x a) 1 b) 9 c) 2 d) 3 e) 11 Resolución: Transformando a potencia: ( ) ( )( ) 13 52 33 3 3 1 22 − + =        x x = )333( 102 3 )3( 3 1 22 −+ = xx ⇒ 2392 33 22 −+ = xx ⇒ 2x +9 =3x–2 ∴ x = 11 2. Resolver: 16 5 3 35 =      + −x x a) 4/5 b) 1 c) 7/5 d) 2/5 e) 6/5 Resolución: Observamos que 16 puede ser 161 ; 42 o 24 I. 135)16( 5 3 1 35 =−⇒=      + − xx x ⇒ x = 4/5 Reemplazando en la ecuación original. 16 5 3 5 4 ≠+ (No cumple) II. 35 5 3 −       + x x = (4)2 ⇒ 5x – 3 = 2 ⇒ x = 1 Reemplazando en la ecuación original: 1 + ≠ 5 3 4 (no cumple) III. 35 5 3 −       + x x = (2)4 ⇒ 5x – 3 = 4 ⇒ x = 7/5 Reemplazando en la ecuación original: 2 5 3 5 7 =+ . = 2(cumple) ⇒ x = 7/5 3. Si: 2x+1 + 4x = 80; y8 3 2 = 512. Hallar (x. y) a) 1 b) 1/3 c) 3 d) 2 e) 2/3 Resolución: Transformando a producto: 2x . 2 + 2x . 2x = 80 Factorizando: 2x . (2 + 2x ) = 23 . (2 + 23 ) ⇒ x = 3 Transformando a potencia: y8 3 2 = 29 = 2 3 2 ⇒ 8y = 2 ⇒ y = 1/3 ∴ x . y = 3       3 1 = 1 4. Hallar el valor de “x” en: 2 2− = x x x a) 2-1 b) 2-2 c) 2-1/2 d) 2-1/3 e) 2-1/4 Resolución: 2 2− = x x x = = ⇒ x = 4 1 ⇒ x = 2-2 N O T A • ...x x x = n ⇔ x = n n • nx x x x .. = n ⇔ x = n n EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Resolver: 7 328 216 = x a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 2. Resolver: 24 927 4 =x a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) N.A. 3. Encontrar el valor de “x”: 2 2− = x x x a) 2 1 b) 3 2 c) 4 1 d) 4 3 e) 1 4. Calcular “x”: 6 3 18 =x x a) 18 3 b) 3 c) d) e) 2 5. Qué valor de “x” satisface: 416284 2 625.125125.5 ++− = xxxx a) 5 b) 15 12 c) 22 5 d) 22 5 e) 22 1 6. Hallar el valor de “x” en: 2x . 4x+1 . 8x+2 = 64 a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 7. Resolver: 4x + 4x+1 = 40 a) 2 3 b) 3 2 c) 3 1 d) 2 1 e) 3 8. Resolver: 7 77 776 2 14 = + + x x a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4 9. Resolver dando el valor de “x”: 3 3 = x x x a) 3 3 b) 3 c) 3 d) 6 3 e) 5 3 10. Calcular el valor de “x” en: 2x + 4x = 72 1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – ECUACIONES EXPONENCIALES Prof. CÉSAR DURÁN CÓRDOVA ( ) 22 21 4 1 2 1 2       =      =− 2 1 2 2 4 1 4 1       =                        =      =      = 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 4 1x x x
  • 2. I.E. “JUAN GUERRERO QUIMPER” ÁREA DE MATEMÁTICA – CIRCULO DE ESTUDIOS a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 3 e) 4 3 11. Hallar el valor de “x” que satisface la ecuación: 814x-1 = 272x+ 1 a) 10 7 b) 7 10 c) 3 d) 3 5 e) N.A. 12. Hallar el valor de “x” en: 2x+3 – 2x+2 + 2x+1 – 2x = 50x a) 4 1 b) 3 2 c) 2 1 d) 2 e) 3 13. Determinar el valor de “n” en: 11 3 25 n n aa aa + + = a a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 14. Calcular x + y en: (0,1)0,2 (0,2)0,3 = 2x . 5y a) -0,7 b) -0,8 c) 0,8 d) 0,7 e) 0,5 15. Encontrar el valor de “x”: 4 5 1 4 51 x x xx x = + + a) 5 b) 5 4 c) 3 4 d) 7 2 e) N.A. 16. Calcular “x2 ” a partir de: )231(412 8 4 8 + = x x x a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 20 17. Determinar el valor de x, en: 5,025,0 125,0x 0625,04 −− − = a) 64 b) 512 c) 256 d) 128 e) 32 18. Calcular n, de: 5n +2 + 5n + 1 + 5n = 3875 a) 4 b) 2 c) 5 d) 6 e) 3 19. Calcular m, de: 9m + 1 + 32m = 65 610 a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 20. Obtener el valor de x, en: 18 2x – 3 = 1 a) 0 b) 3 c)1,5 d) 1 e) 1, 5 21. Calcular y, en: 525 y 16 = a) – 4 b) 0, 25 c) –0, 25 d) – 2 e) –0, 125 22. Hallar Z : ( ) ( ) 5,1381 25,0125,0 Z −− = a) 1 b) 1/2 c) – 1/2 d) 2 e) 1/4 23. Resolver: 4x + 21 + 2x = 384 a) 2 b) 2, 5 c) 3 d) 3, 25 e) 3, 5 24. Resolver: 2x + 1 = 3x + 1 a) 1 b) 0 c) – 1 d) 2 e) Imposible 25. Obtener el valor de x: xx = 27 a) 1 b) 6 c) 3 d) 4 e) 2 26. Hallar y: yy = 256 a) 8 b) 5 c)6 d) 4 e) 3 27. Hallar z: zz + 2 = 243 a) 5 b) 2 c) 4 d) 1 e) 3 28. Al reducir: ( ) ab2 2a yx yx + , Los exponentes finales de x e y son iguales. Calcular a + b. a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 4 29. Calcular el valor de: bac.acb.cbaM = sabiendo que abc = 256. a) 26 b) 2 c) 4 d) 128 e) 64 30. Simplificar: [ ] 1n n 1n 1n 1n n 1n 3.2 3 .2S + + + − −= , para m = 3. a) 6 b) 2 c) 3 d) 1 e) 2/3 31. Simplificar: a) 3 b) 9 c) 273 d) 318 e) 3 2 9 32. Si xx = 3, calcular: x1 x xG + = a) 81 b) 9 c) 27 d) 3 e) 243 33. Si: 2x x x = ; calcular: xxx x2 xH + = a) 8 b) 4 c) 64 d) 32 e) 16 34. Si: x – x = 4, calcular: x1 x xT − − = a) 16 b) 256 c) 128 d) 64 e) 512 35. Si x2x = 25, calcular: J = x3x , sabiendo que es positivo. a) 15 625 b) 625 c)75 d) 125 e) 3 125 36. Si: x 2x = , calcular: P = x3x a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 37. Hallar m: Si: 3 – m = (729)2 a) – 12 b) 12 c) 6 d) – 6 e) 3 38. Hallar x en: 52x –1 = 125 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 39. Si: 5 7x = 128 Calcular: 5 x – 5 –x a) 1, 5 b) 3, 5 c) 3,0 d) 2, 4 e) 3, 6 40. Hallar el valor de “x” en: 2x . 4x+1 . 8x+2 = 64 a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – ECUACIONES EXPONENCIALES Prof. CÉSAR DURÁN CÓRDOVA ( ) 28 19 3 25 3 9 3 9 27 3 3 9 27 99 −                  =P