Este documento trata sobre el tema de la división de polinomios. Explica los pasos para realizar divisiones de polinomios con ejemplos numéricos. También incluye preguntas de ejercicios resueltas sobre división de polinomios y cocientes notables.

1. ALGEBRA
04
Curso : Álgebra.
Docente: García Saez, Edwin Carlos
DIVISION DE POLINOMIOS

6. ÷
Solución
Según el dato del problema:
𝑅(𝑥) = 12𝑥 + 8
𝑅(𝑥) = (m + 10)𝑥 + (n + 7)= 12𝑥 + 8
m + 10 = 12 ; n + 7 = 8
𝑚 = 2 ; 𝑛 = 1
∴ 𝑚 + 𝑛 = 3

7. 6𝑥4
+ 𝑥3
+ 𝑥2
+ 0𝑥 − 4
2𝑥2 − 𝑥 + 3
Solución
Completar y ordenar:
Q x = 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 ; 𝑅(𝑥) = −9𝑥 + 5
∴ Q x + R x = 3𝑥2 − 7𝑥 + 2

8. −12 − 𝑥 + 21𝑥2 + 𝐵𝑥3 + 𝐴𝑥4
3 + 4𝑥 + 2𝑥2
Solución
Invirtiendo el orden :
𝐵 − 22 = 0 ; 𝐴 − 6 = 0
∴ 𝐴 + 𝐵 = 28
3. Calcule “𝐴 + 𝐵”, si la división
𝐴𝑥4
+ 𝐵𝑥3
+ 21𝑥2
− 𝑥 − 12
2𝑥2 + 4𝑥 + 3
es exacta.
A) -16 B) 16 C) 28 D) 27 E) 30
𝐵 = 22 ; 𝐴 = 6

9. Solución
Completar y ordenar:
2𝑥5
− 2𝑥4
+ 5𝑥3
+ 3 2𝑥2
+ 0x + 16 2
𝑥 + 2
𝑥 + 2=0
𝑥= − 2
∴ 𝑇. 𝐼 𝑄 = 16
4. Halle el término independiente del cociente al dividir
2𝑥5 − 2𝑥4 + 5𝑥3 + 3 2𝑥2 + 16 2
𝑥 + 2
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
Q x = 2𝑥4 − 3 2𝑥3 + 11𝑥2 − 8 2𝑥 + 16
R(x)=0

10. Solución
Completar y ordenar:
𝑥𝑛−1
+ 0𝑥𝑛−2
+ 0𝑥𝑛−3
+ ⋯ + 0𝑥2
− 𝑛 + 2 𝑥 + (𝑛 + 1)
𝑥 − 1
𝑥 − 1=0 𝑥= 1
∴ 𝐺𝐴 𝐷 = 𝑛 − 1 = 2018
5. En la división
𝑥𝑛−1− 𝑛+2 𝑥+𝑛+1
𝑥−1
el término independiente del cociente es
− 2020, entonces el grado del dividendo es
A) 2016. B) 2017. C) 2018. D) 2019. E) 2020.
Dato del problema
𝑇. 𝐼 𝑄 = −2020
−𝑛 − 1 = −2020
𝑛 = 2019

11. Solución
Completar y ordenar:
3𝑥4
+ 2𝑥3
− 7𝑥2
− 𝑥 + 5
3𝑥 − 1
3𝑥 − 1=0
𝑥= 1/3
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑄 = 1 + 1 − 2 − 1 = −1
∴
6. Luego de dividir
3𝑥4 − 7𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥 + 5
3𝑥 − 1
Calcule la suma de coeficientes del cociente.
A) −1 B) 5 C) 2 D) 7 E) 1

12. Solución
Utilizando el teorema
del resto
(𝑥2
+2 𝑥 − 3)(𝑥2
+2𝑥) 2
+ 𝑥2
+ 2𝑥 3
𝑥 − 50
𝑥2 + 2𝑥 − 5
𝑥2
+ 2𝑥 − 5 = 0
𝑥2 + 2𝑥=5
Ahora calculamos el
residuo
(𝑥2+2 𝑥 − 3)(𝑥2+2𝑥) 2 + 𝑥2 + 2𝑥 3𝑥 − 50
𝑥2 + 2𝑥 − 5
𝑅(𝑥) = 5 − 3 (5) 2 + 53.𝑥 − 50
𝑅(𝑥) = 100 + 125𝑥 − 50
𝑅 𝑥 = 125𝑥 + 50
∴

13. 8. Calcule “𝑎 + 𝑏 + 𝑐”, si el resto de la división:
𝑎𝑥8
+ 𝑏𝑥6
− 3𝑥5
− 1
𝑥3 + 1
es 8𝑥2 − 𝑐𝑥 − 5.
A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) −19
Solución
Utilizando el teorema del
resto
𝑥3
+ 1 = 0
𝑥3
= −1
Luego tenemos:
R(𝑥) = 𝑎𝑥8 + 𝑏𝑥6 − 3𝑥5 − 1
R 𝑥 = 𝑎. 𝑥6
. 𝑥2
+ 𝑏𝑥6
− 3. 𝑥3
. 𝑥2
− 1
R 𝑥 = 𝑎. 𝑥3 2. 𝑥2 + 𝑏 𝑥3 2 − 3. 𝑥3. 𝑥2 − 1
R 𝑥 = 𝑎. −1 2. 𝑥2 + 𝑏 −1 2 − 3. (−1). 𝑥2 − 1
R 𝑥 = 𝑎. 𝑥2 + 𝑏 + 3𝑥2 − 1
R 𝑥 = (𝑎 + 3). 𝑥2 + (𝑏 − 1)
Luego comparando con :
𝑅 𝑥 = 8𝑥2
− 𝑐𝑥 − 5
𝑎 + 3 = 8 ; 𝑐 = 0 ; 𝑏 − 1 = −5
𝑎 = 5 ; 𝑐 = 0 ; 𝑏 = −4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1

14. 9. Halle el valor numérico del segundo término central del desarrollo
de
𝑥6𝑎−4−𝑦8𝑎
𝑥2+𝑦3 para: 𝑥 = 0,5 ; 𝑦 =
1
𝑥
.
A) 2−8
B) 2−2
C) –3 D) 1 E) 210
Solución
Según condición de
cociente notable:
6𝑎 − 4
2
=
8𝑎
3
18𝑎 − 12 = 16𝑎
2𝑎 = 12
𝑎 = 6
𝑡9 = (𝑥2
)16−9
. (𝑦3
)9−1
𝑥32−𝑦48
𝑥2+𝑦3 =
(𝑥2)16−(𝑦3)16
𝑥2+𝑦3
𝑡9 = (𝑥2
)7
. (𝑦3
)8
𝑡9 = 𝑥14. 𝑦24
para: 𝑥 = 0,5 ; 𝑦 =
1
𝑥
.
para: 𝑥 = 1/2 ; 𝑦 = 2
𝑡9 = (
1
2
)14. (2)24
𝑡9 =
1
214
. 224 = 210
𝑡9 = 210
COCIENTE NOTABLE
𝑥𝑛
± 𝑦𝑛
𝑥 ± 𝑦
; 𝑛 ∈ 𝑁 ˄ 𝑛 ≥ 2
𝑇𝑘 = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑥𝑛−𝑘𝑦𝑘−1; 𝑘 ∈ 𝑁 𝑛 ≥ 2

15. 10. Halle el tercer término del desarrollo del cociente notable.
𝑎𝑛 − 𝑏5𝑛−18
𝑎2 − 𝑏9
A) 𝑎10𝑏16 B) – 𝑎10 𝑏18 C) 𝑎30𝑏18 D) 𝑎15𝑏6 E)
𝑎32𝑏20
Solución
Según condición de
cociente notable:
𝑛
2
=
5𝑛 − 18
9
9𝑛 = 10𝑛 − 36
36 = 𝑛
n= 36
𝑡3 = (𝑎2
)18−3
. (𝑏9
)3−1
𝑎36−𝑏162
𝑎2−𝑏9 =
(𝑎2)18−(𝑏9)18
𝑎2−𝑏9
𝑡3 = (𝑎2
)15
. (𝑏9
)2
𝑡3 = 𝑎30
. 𝑏18

16. 11. Si la siguiente división genera un cociente notable
𝑥15𝑚+50 − 𝑦15𝑚−10
𝑥𝑚+1 − 𝑦𝑚−2
Indica el lugar que ocupa el término de grado absoluto 85.
A) 10 B) 13 C) 15 D) 17 E) 18
Solución
Según condición de
cociente notable:
15𝑚 + 50
𝑚 + 1
=
15𝑚 − 10
𝑚 − 2
15𝑚2
− 30𝑚 + 50𝑚 − 100 = 15𝑚2
− 10𝑚 + 15𝑚 − 10
20𝑚 − 100 = 5𝑚 − 10
15𝑚 = 90
𝑡𝑘 = (𝑥7)20−𝑘. (𝑦4)𝑘−1
𝑥140−𝑦80
𝑥7−𝑦4 =
(𝑥7)20−(𝑦4)20
𝑥7−𝑦4
𝑡𝑘 = 𝑥140−7𝑘. 𝑦4𝑘−4
𝐺𝐴 = 140 − 7𝑘 + 4𝑘 − 4 = 85
𝑚 = 6
136 − 3𝑘 = 85
51 = 3𝑘
17 = 𝑘
k = 17

17. 12. Sabiendo que 𝑥𝑎𝑦24 es el término central del desarrollo del C.N.
𝑥75
− 𝑦𝑏
𝑥𝑐 − 𝑦2
Halle “𝑎 + 𝑏 + 𝑐”.
A) 82 B) 84 C) 86 D) 87 E) 89
Solución
Según condición de
cociente notable:
𝑡𝑘 = (𝑥𝑐
)
𝜃−1
2 . (𝑦2
)
𝜃−1
2 = 𝑥𝑎
𝑦24
𝑥75−𝑦𝑏
𝑥𝑐−𝑦2 =
(𝑥𝑐)𝜃 −(𝑦2)𝜃
𝑥𝑐−𝑦2
75 = 𝑐𝜃 𝑦 𝑏 = 2𝜃
Termino
central único:
𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜: 𝑇𝑐 = 𝑇𝑛+1
2
= 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑥𝑦
𝑛−1
2
2
𝜃 − 1
2
= 24 𝑦 𝑐(
𝜃 − 1
2
) = 𝑎
𝜃 − 1
2
= 12 𝑦 𝑐(
𝜃 − 1
2
) = 𝑎
𝜃 = 25 𝑦 𝑐(12) = 𝑎
𝜃 = 25 ; 𝑐 = 3 ; 3(12) = 𝑎
𝜃 = 25 ; 𝑐 = 3 ; 36 = 𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 36 + 50 + 3 = 89

19. Gracias

20. 𝑚𝑥4 + 𝑛𝑥3 + 14𝑥2 + 5𝑥 + 10
2𝑥2 + 𝑥 + 3
Solución
Completando y ordenando:
∴ 𝑚 + 𝑛 = 11
4. Al dividir
𝑚𝑥4+𝑛𝑥3+14𝑥2+5𝑥+10
2𝑥2+3+𝑥
se obtiene como resto 4, determine "𝑚+𝑛".
A) 6 B) 8 C) 11 D) 18 E) 30
𝑚𝑥4
+ 𝑛𝑥3
+ 14𝑥2
+ 5𝑥 + 10 − 4
2𝑥2 + 𝑥 + 3
𝑚𝑥4
+ 𝑛𝑥3
+ 14𝑥2
+ 5𝑥 + 6
2𝑥2 + 𝑥 + 3
𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
𝑛 − 5 = 0; 𝑚 − 6 = 0
𝑛 = 5; 𝑚 = 6

21. Utilizando el teorema
del resto
Solución
𝑅 = 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑎 + 𝑏 2𝑐 − 1 + 𝑐 𝑐 − 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 3=0
𝑎 + 𝑏 = 3 − 𝑐
Reemplazando en el
dividendo:
𝑅 = (3 − 𝑐)2
+ 3 − 𝑐 2𝑐 − 1 + 𝑐 𝑐 − 1
𝑅 = 9 − 6𝑐 + 𝑐2
+ 6𝑐 − 3 − 2𝑐2
+ 𝑐 + 𝑐2
− 𝑐
𝑅 = 6
𝑅 = 6
∴

22. Utilizando el Algoritmo de
Euclides
Solución
𝑥2
+ 𝑥 3
+ 𝑥 − 1 5
= (𝑥2
−𝑥). 𝑄(𝑥) + 𝑅 𝑥
Recordar
Algoritmo de Euclides:
𝐷(𝑥) = 𝑑 𝑥 . 𝑄 𝑥 + 𝑅 𝑥
𝑥2
+ 𝑥 3
+ 𝑥 − 1 5
= 𝑥(𝑥 − 1). 𝑄(𝑥) + 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑆𝑒𝑎 𝑥 = 0 −1 = 𝑏
𝑆𝑒𝑎 𝑥 = 1 8 = 𝑎 + 𝑏
8 = 𝑎 − 1 𝑎 = 9
𝑅 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 9𝑥 − 1
∴