Este documento presenta un problema de programación lineal para maximizar las ganancias de una empresa química que produce dos productos (X e Y) usando dos máquinas (A y B) con capacidades limitadas. El resumen es: (1) La empresa gana $10 por unidad de X y $30 por unidad de Y; (2) Cada producto requiere tiempo en las máquinas A y B; (3) Las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas disponibles; (4) El modelo busca maximizar las ganancias determinando la producción óptima de

1. Unidad 2, Lección 4
Problema a resolver:
Una empresa química “Chemical” produce limpiadores para automóviles X y
pulidores Y, ganando $10 en cada lote de X, y $30 en Y. Ambos productos
requieren procesarse en las mismas máquinas, A y B, pero X requiere cuatro
horas en A y ocho en B, mientras que Y requiere seis horas en A y cuatro en
B. Durante la semana entrante las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas de
capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de
ambos productos, cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar
la unidad óptima Z?
Definición de variables:
X: limpiadores para automóviles
Y: Pulidores

2. Unidad 2, Lección 4
Resumen de datos:
Producto
Máquina A
Máquina B
Precio por
unidad
X
4
8
$10
Y
6
4
$30
Disponibilidad
máquinas
12
16
Las restricciones son:
h maquina A : 4X + 6Y ≤ 12
h máquina B : 8X + 4Y ≤16
X,Y ≥ 0
La función objetivo es:
Max Z = $10X + $30Y

3. Unidad 2, Lección 4
Añadiendo variables de holgura:
4X + 6Y + 1S1 + 0S2 = 12
8X + 4Y + 0S1 + 1S2 = 16
El modelo es:
Sujeto a (S.a)
Max Z = $10X + $30Y + 0S1 + 0S2
4X + 6Y + 1S1 + 0S2 = 12
8X + 4Y + 0S1 + 1S2 = 16
X, Y, S1, S2 ≥ 0

4. Las iteraciones necesarias para llegar a la solución
óptima son:
Unidad 2, Lección 4
Iteración 1
En esta primera iteración colocamos los valores
de la función objetivo y de las restricciones tal y
como aparecen, sin contar la restricción de no
negatividad.
Max Z = $10X + $30Y + 0S1 + 0S2
C
10
30
0
0
Valores de solución
Variables de decisión
Variables de la
solución
X
Y
S1
S2
(bj)
0
S1
4
6
1
0
12
0
S2
8
4
0
1
16
Z
0
0
0
0
0
C-Z
10
30
0
4X + 6Y + 1S1 + 0S2 = 12
8X + 4Y + 0S1 + 1S2 = 16
X, Y, S1, S2 ≥ 0
0
Dado que los coeficientes de las variables de la solución factible básica son ceros (0S 1, 0S2), y la multiplicación de
estos por los coeficientes de las variables de decisión dan como resultado cero en el renglón Z, las operaciones de
la primera iteración para obtener los valores de c-z, es precisamente realizar la operación indicada, (10 – 0 = 10),
(30 – 0 = 30), y así sucesivamente:

5. Las iteraciones necesarias para llegar a la solución
óptima son:
Una vez elegida nuestra columna, renglón y elemento pivotes, así como ya
determinada la variable que entra y la variable que sale, entonces procedemos
en excel a ingresar las operaciones necesarias para la obtención de la iteración
2, nótese que todas las operaciones y cantidades usadas han sido vinculadas,
sin que haya la necesidad de transcribir cada número.
Iteración 1
10
Cj
Variables de
la solución
X
S1
S2
Z
C-Z
4
8
0
10
0
0
Unidad 2, Lección 4
30
0
Variables de decisión
Y
S1
6
1
4
0
0
0
30
0
0
Valores de
solución
S2
0
1
0
0
(bj)
12
16
0
Iteración 2, con fórmulas
Cj
=J5
=L5
=N5
Variables de decisión
Variables de la solución
X
=F11
=H20
=F13
S2
Z
C-Z
Valores de solución
=P5
Y
S1
=E14/F14
=($K$15*E23+E15)
=(C23*E23)+(C24*E24)
=E20-E25
=F14/F14
=($K$15*F23+F15)
=(C23*F23)+(C24*F24)
=F20-F25
=G14/F14
=($K$15*G23+G15)
=(C23*G23)+(C24*G24)
=G20-G25
S2
(bj)
=H14/F14
=I14/F14
=($K$15*H23+H15) =($K$15*I23+I15)
=(C23*H23)+(C24*H24) =(C23*I23)+(C24*I24)
=H20-H25

6. Cj
=J5
=L5
=N5
Variables de decisión
Variables de la solución
1
X
=F11
=H20
Y
S1
(bj)
=E14/F14
=F14/F14
=G14/F14
=H14/F14
=I14/F14
S2
=($K$15*E23+E15)
=($K$15*F23+F15)
=($K$15*G23+G15)
=($K$15*H23+H15) =($K$15*I23+I15)
En el renglón de Y=(C23*E23)+(C24*E24) =(C23*F23)+(C24*F24) tenemos la división de cada =(C23*I23)+(C24*I24)
(que es la variable entrante), =(C23*G23)+(C24*G24) =(C23*H23)+(C24*H24)
Z
uno de los elementos de S1 (variable saliente) entre el elemento pivote.
C-Z
=E20-E25
=F20-F25
=H20-H25
(4,6,1,0 y 12 entre 6)=G20-G25
10
Variables de
la solución
X
Y
30
0.67
Cj
=J5
30
0
Variables de decisión
Y
S1
1
0.17
=L5
X
0
Valores de
solución
S2
0
(bj)
2
=N5
Variables de decisión
Variables de la solución
=F11
=H20
S2
=F13
Cj
2
Valores de solución
=P5
Y
Valores de solución
=P5
S1
S2
=F13
(bj)
=E14/F14
=F14/F14
=G14/F14
=H14/F14
=I14/F14
S2
=($K$15*E23+E15)
=($K$15*F23+F15)
=($K$15*G23+G15)
=($K$15*H23+H15) =($K$15*I23+I15)
Z
=(C23*E23)+(C24*E24) =(C23*F23)+(C24*F24) =(C23*G23)+(C24*G24) =(C23*H23)+(C24*H24) =(C23*I23)+(C24*I24)
Para el renglón de S2, tenemos las operaciones de la multiplicación del negativo de la=H20-H25
columna pivote
C-Z
=E20-E25
=F20-F25
=G20-G25
del renglón S2 (-4) , por el renglón generado en el paso 1, más el valor que se está convirtiendo (es decir
el valor original de la iteración 1 en el renglón S2), ejemplo:
(-4 * (0)) 1 = 1

7. Quedando lo anterior, así:.
10
Cj
Variables de
la solución
X
Y
S2
30
0
Variables de decisión
Y
S1
1
0.17
0
-0.67
0.67
5.33
30
0
0
Valores de
solución
S2
0
1
(bj)
2
8
Para obtener el valor del renglón Z, tenemos que hacer la multiplicación como se muestra:
3
Cj
=J5
=L5
=N5
Variables de decisión
Variables de la solución
X
=F11
=H20
S2
Z
C-Z
Y
S1
=E14/F14
=($K$15*E23+E15)
=(C23*E23)+(C24*E24)
=E20-E25
=F13
=F14/F14
=($K$15*F23+F15)
=(C23*F23)+(C24*F24)
=F20-F25
=G14/F14
=($K$15*G23+G15)
=(C23*G23)+(C24*G24)
=G20-G25
(30 * 0.67) + (0 * 5.33) = 20
(30 * 1) + (0 * 0) = 30
Valores de solución
=P5
S2
=H14/F14
=I14/F14
=($K$15*H23+H15)
=($K$15*I23+I15)
=(C23*H23)+(C24*H24) =(C23*I23)+(C24*I24)
=H20-H25
(30 * 0) + (0 * 1) = 0
(30 * 2) + (0 * 8)
(30 * 0.17) + (0 * -0.67) = 5
10
Cj
Variables de
la solución
30
0
X
Y
S2
Z
0.67
5.33
20
30
0
Variables de decisión
Y
S1
1
0.17
0
-0.67
30
5
(bj)
0
Valores de
solución
S2
0
1
0
(bj)
2
8
60

8. 4
Por último, para obtener el valor de Z, ya sabemos que tenemos que restar los valores de C - Z
Cj
=J5
=L5
=N5
Variables de decisión
Variables de la solución
X
=F11
=H20
S2
Z
C-Z
Y
S1
=E14/F14
=($K$15*E23+E15)
=(C23*E23)+(C24*E24)
=E20-E25
=F13
=F14/F14
=($K$15*F23+F15)
=(C23*F23)+(C24*F24)
=F20-F25
=G14/F14
=($K$15*G23+G15)
=(C23*G23)+(C24*G24)
=G20-G25
S2
10
Cj
Variables de
la solución
30
0
X
Y
S2
Z
C-Z
0.67
5.33
20
-10
30
0
Variables de decisión
Y
S1
1
0.17
0
-0.67
30
5
0
-5
(bj)
=H14/F14
=I14/F14
=($K$15*H23+H15) =($K$15*I23+I15)
=(C23*H23)+(C24*H24) =(C23*I23)+(C24*I24)
=H20-H25
10 – 20 = -10
30 – 30 = 0
0–5=-5
0–0=0
Para X:
Para Y:
Para S1:
Para S2:
Valores de solución
=P5
0
Valores de
solución
S2
0
1
0
0
(bj)
2
8
60

9. Unidad 2, Lección 4
Las iteraciones necesarias para llegar a la solución
óptima son:
Iteración 2
C
10
30
0
0
Valores de solución
Variables de decisión
Variables de la
solución
X
Y
S1
S2
(bj)
X = no está en la
solución
30
Y
0.67
1
0.17
0
2
Y = 2 lotes
0
S2
5.33
0
-0.67
1
8
Z = $60
Z
20
30
5
0
60
Z=$10(0)+$30(2)=60
C-Z
-10
0
-5
0
Comprobación

10. Universidad Autónoma de Querétaro
Facultad de Contaduría y Administración
Investigación de Operaciones, Lección 4
Este material fue elaborado por:
L.A. Diana Guzmán Medina
Diseñó:
Diana Guzmán Medina
Licenciatura en Administración
Facultad de Contaduría y Administración
Programa de Educación a Distancia (EDAD)
Centro Universitario, Querétaro, México
MMIX