1) Se presenta un problema de programación lineal con cuatro restricciones y cuatro incógnitas para maximizar el beneficio de la fabricación de dos tipos de joyas. 2) Se analiza una función de concentración de ozono que es una parábola convexa con vértice en (10, 1340). 3) Se calcula la probabilidad de que ocurra un accidente y la probabilidad condicional de pertenecer a una empresa tipo A sin accidente.

1. P.A.U. 2012-2013
Septiembre
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Opciión A
Opc ón A
1 Sean las variables:
x=número de joyas tipo A
y=número de joyas tipo B
Las condiciones límite del problema pueden expresarse de la siguiente forma:
 El gasto de oro no puede superar los 600 g: 2 x  3 y  600

El gasto de plata no puede superar los 600 g: 3 x  2 y  600

El número de joyas tipo B no puede superar las 150 unidades:
y  150
 El número de joyas tipo A no puede ser negativo: x  0
 El número de joyas tipo B no puede ser negativo: y  0 .
Despejando y en cada una de ellas, surge el sistema de inecuaciones:
2

 y   3 x  200

 y   3 x  300

2

y  150

x  0

y  0

Cuya representación en el plano cartesiano conduce a la siguiente región factible:
y
3
y   x  300
2
y  150
P2
P
1
P3
2
y   x  200
3
x0
y0
P
4
x
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2. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Los vértices de esta región se calculan resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones
formados por las rectas que los determinan:
x  0
, luego P1(0, 150)
P1 : 
 y  150
 y  150

2
P2 : 
, luego P2(75,150)
y   x  200

3

2

 y   3 x  200
, luego P3(120, 120)
P3 : 
3
 y   x  300
2

y  0

3
, luego P3(200, 0)
P4 : 
y   x  300

2

Para encontrar el beneficio máximo evaluamos la función beneficio
uno de los vértices de la región factible, así:
150  22500€
En P1: B (0,150)  125·0  150·
B ( x, y )  125 x  150 y en cada
B(75,150)  125·75  150·150  31875€
En P3: B (120,120)  125·
120  150·120  33000€
En P4: B ( 200,0)  125·200  150·0  25000€
En P2:
De donde se concluye que:
a) El máximo beneficio se alcanza cuando se fabrican 120 joyas tipo A y 120 joyas tipo B
(planteamiento de 0 a 2 puntos / Determinación del punto óptimo de 0 a 1 punto)
b) El valor de dichos beneficios máximos es de 33000 € (de 0 a 0,5 puntos)
2 Sea la función del número de la concentración de ozono y su derivada:
C (t )  B  2 At
C (t )  640  Bt  At 2
0  t  15
a) Dado que en un máximo la recta tangente a una función es horizontal, éste se alcanza cuando la
derivada de la función se anula, así:
C (10)  0
B  20 A  0
Y sabiendo que a las 10 la concentración de ozono es de 1340 microgramos por metro cúbico:
C (10)  1340
640  10 B  100 A  1340
Resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones obtenemos A=-7 y B=140
(planteamiento del problema de 0 a 1 puntos, determinación de las constantes A y B de 0 a 1
puntos)
b) La
función
así
definida
C (t )  7t 2  140t  640
es
una parábola convexa (…) con
vértice en (x, y)=(10. 1340), que
pasa por (0, 640) y por tanto su
representación gráfica es:
(de 0 a 1 puntos)
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3. P.A.U. 2012-13
3 Sean los sucesos, y sus probabilidades respectivas


P( A)  0,3
B: ser empresa de la clase A, P ( B )  0,6
C: ser empresa de la clase C: P (C )  1  0,3  0,6  0,1
A: ser empresa de la clase A,

 X: tener accidente
Y las probabilidades condicionadas que se proporcionan (y sus complementarias)



P X A  0,02 ; P X A  0,98
P X B   0,04 ; P X B   0,96
P X C   0,10 ; P X C   0,90
a) Podemos calcular la probabilidad de que ocurra un accidente con el teorema de la probabilidad
total
P ( X )  P ( X  A)  P ( X  B)  P ( X  C )  P X A·P A  P X B ·PB   P  X C ·PC  
 0,02·0,3  0,04·0,6  0,10·0,1  0,04 o bien del 4% (de 0 a 1,5 puntos)
b) La probabilidad de pertenecer a la empresa A cuando no hay accidentes puede calcularse con el
teorema de Bayes:
PA X  
P X A·P A
P A  X 


P A  X   PB  X   PC  X  P X A·P A  P X B ·PB   P X C ·PC 
0,98·03
 0,31 o bien del 31% (de 0 a 2 puntos)
0,98·0,3  0,96·0,6  0,90·0,1
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5. P.A.U. 2012-2013
Septiembre
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Opciión B
Opc ón B
1 Sea la ecuación matricial dada, operando obtenemos:
AX  BX  C
AX  BX  C
 A  B X  C
X  A  B C
1
  1  1
1
 , para calcular su inversa aplicaremos D 1 
( Adj ( D)) t

D
5 1
Llamemos D   A  B   

Desarrollando las operaciones:
D 
1 1
 (1)·1   1·5  4
5 1
Adj (d11 )  (1)11·1  1
Adj (d12 )  (1)1 2 ·5  5
1  5 
 Adj ( A)  
2 1
2 2
1  1 

Adj (d 21 )  (1) ·  1  1 Adj (d 22 )  (1) ·  1  1


Y así:
t
1 
1 1  5   1 4
4 
 
A  
4 1  1    5
1 

  4
4
1
Y así, la matriz buscada es:
3 
1   1 2   1
 1
 4
 4
4 ·
4 

X 
 5
 1   0 1  5
 11 
  4
4 
 4
4
(planteamiento del problema de 0 a 1,5 puntos, determinación de la matriz de 0 a 2 puntos)
2 Sea la función del costes dada:
C (t )  0,01x 2  1946 x  2300
a) La función de beneficios B(x) vendrá dada por la diferencia ingresos ( I  x   2000 x ) menos
costes:
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6. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Bx   I x   C x 

B x   2000 x  0,01x 2  1946 x  2300

B ( x)  0,01x 2  54 x  2300
(de 0 a 0,5 puntos)
b) Sean las derivadas sucesivas de la función beneficios:
B ( x)  0,02 x  54
B ( x)  0,02
El máximo se alcanza en el valor de la producción que anula la primera derivada:
B  x   0;  0,02 x  54  0; x  2700
Qué sustituido en la segunda derivada: B (2700)  0,02  0 , corrobora que se alcanzan los
máximos beneficios cuando se fabrican 2700 unidades. (de 0 a 1,5 puntos)
c) El
beneficio
correspondiente
al
máximo
es
de
B (2700)  0,01·2700 2  54·2700  2300  70600 € (de 0 a 1 puntos)
3 Sea:
 n=9 el tamaño muestral
   10 s la desviación típica poblacional
 1    0,95 el nivel de confianza (   0,05 )
La media muestral puede calcularse según:
x
x
n
i

105  106  109  115  100  117  116  114  108
 110
9
a) El intervalo de confianza para la media viene dado por:

10
 110  6,53
n
9
Qué se corresponde con los valores comprendidos dentro de [103,5, 116,53] (de 0 a 1,75
  x  Z
 110  1,96
puntos)
b) Dado que 120 no cae dentro del intervalo de confianza calculado, podemos rechazar la hipótesis
de que la media poblacional sea 120 (de 0 a 1,75 puntos)
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