El documento describe el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica que el método simplex permite encontrar la solución óptima moviéndose de una solución básica a otra hasta maximizar la función objetivo. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar el método paso a paso.

1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

2. Modelos lineales y solución analítica y
gráfica
UNIDAD I

3. MÉTODO SIMPLEX
El método Simplex es un método analítico de solución de problemas de
programación lineal, capaz de resolver modelos más complejos y que los
resueltos por el método gráfico con restricción en el número de variables, y
con el ánimo de crear un algoritmo capaz de dar solución a problemas de m
restricciones y n variables.
El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones
iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello
hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables
denominadas de holgura relacionadas con el recurso al cual hace referencia
la restricción.

4. MÉTODO SIMPLEX
El método nos permite ir mejorando la solución a cada paso del
procedimiento comenzado con una solución básica (punto extremo) y
modificando esta a lo largo del proceso, a través de la inclusión y
exclusión de una variable; siempre aumentando la utilidad (o
reduciendo el costo) hasta encontrar una solución óptima.

5. Sujeto a:
. . . . .
. . . . .
. . . . .
X1,2,.....n > 0
Variables de decisión
Coeficientes objetivo
Coeficientes tecnológicos Coeficientes recurso
Condiciones técnicas
o No negatividad
MODELO GENERAL DE PROGRAMACIÓN LINEAL
n
n
X
C
X
C
X
C
Max(Z)
Optimizar FO
+
+
+
= ......
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
)
,
,
(
..... b
X
a
X
a
X
a n
n
≥
=
≤
+
+
+
1
2
12
1
11
)
,
,
(
..... b
X
a
X
a
X
a
n
n
≥
=
≤
+
+
+
m
n
mn
m
m
b
X
a
X
a
X
a )
,
,
(
.....
2
2
1
1
≥
=
≤
+
+
+

6. • Donde el vector c también conocido como el vector costos,
viene dado por:
• El vector de lado derecho o b, viene dado por:
• Este es un vector columna, que representa los recursos de las
m actividades. Es por lo tanto el elemento de la mano derecha
de cada una de las m ecuaciones.
 
...
1 2 n-1 n
C = c c c c
1
2
m-1
m
b
b
.
b
.
b
b
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 

7. • La matriz A, representa los coeficiente tecnológicos; es la
matriz para el sistema de ecuaciones Ax = b:
• El sistema de ecuaciones o el modelo de PL, queda
representado por:
Max (Z) = C X
Sujeto a:
A X = bi
A X ≤ bi
A X ≥ bi
X ≥ 0
A
 
 
 

 
 
 
 
11 12 1n
21 22 2n
m,1 m,2 m,n
a a ... a
a a ... a
. . ... .
a a ... a

8. EL MODELO DE P.L.
Z: función objetivo
C (c1,...,cn): vector de coeficientes de la f. o.
X (x1,...,xn): vector de variables de decisión
A (...,aij,...): matriz de coeficientes técnicos
b (b1,...,bm): vector de demandas
Matricialmente,
Optimización Max o Min = CX
S.A.
AX b
x  0 Forma canónica

9. TEOREMA 1. El conjunto de todas las soluciones factibles al problema
de programación lineal es un conjunto convexo.
TEOREMA 2. La función objetivo alcanza su máximo en un punto
extremo del conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones
factibles al problema de programación lineal.
1. Existe un punto extremo del polígono (poliedro) convexo en el
cual la función objetivo tiene su máximo (mínimo).
2. Cada solución factible básica corresponde a un punto extremo
del polígono (poliedro) convexo.
Se tendrá que buscar que investigar únicamente los puntos extremos
del polígono (poliedro) convexo y buscar aquel punto que proporcione
el mayor (menor) valor para que la función objetivo y así obtendremos
la solución buscada.

10. METODO SIMPLEX
1. bi ≤ 0
2. Restricciones ≤
3. Restricciones ≥
4. Restricciones =
5. Xj ≤ 0; xi = - Xi, donde Xi ≥ 0
6. Xi Sin Restricción de Signo (SRS)
+ , - , 0
X1 ; SRS
X1 = X1
+ - X1
-
X1 = A1 - D1
A1 > D1; X1 > 0; X1 = A1 - 0
A1 = D1; X1 = 0; X1 = 0 - 0
A1< D1; X1 < 0; X1 = 0 - D1
donde :
A1, D1 ≥ 0

11. 7. Empate en el criterio en la variable que ingresa se escoge
arbitrariamente cualquiera.
Seleccionamos la variable que sale {θi menor}
8. Empate en el criterio en la variable que sale se escoge
arbitrariamente cualquiera.
Criterio de Optimalidad
Max Zj - Cj ≥ 0 ; Cj - Zj ≤ 0
Min Zj - Cj ≤ 0 ; Cj - Zj ≥ 0
9. Tipo de soluciones.

12. Xi: Numero de unidades del producto tipo i que se deben producir
mensualmente. Donde i = 1, 2
Max (Z) = 30 X1 + 50 X2
Sujeto a:
X1 + 2 X2 ≤ 200 Estación de trabajo 1
X1 + X2 ≤ 140 Estación de trabajo 2
X1 , X2 ≥ 0
Estación de
trabajo 1
Estación de
trabajo 2
Entra
da
X1
X2

13. Solución
(80,60)
(140,0)
(0,100) Max(Z)= 30X1 + 50X2
Max(Z) = 30(80) + 50(60)
Max(Z) = 5 400
(0,100)
(0, 0)

14. Xi: Numero de unidades del producto tipo i que se deben producir
mensualmente.
Max (Z) = 30 X1 + 50 X2 + 0 S1 + 0 S2
Sujeto a:
X1 + 2 X2 + 1 S1 + 0 S2 = 200 1 0
X1 + X2 + 0 S1 + 1 S2 = 140 0 1
X1 , X2 , S1 , S2 ≥ 0

15. a) Forma algebraica b) Forma tabular
Variable
básica Ec.
Coeficientes de la función objetivo: Lado
derecho
30 50 0 0
XB X1 X2 S1 S2 bi
(1) X1 + 2 X2 + 1 S1 + 0 S2 = 200 S1 1 1 2 1 0 200
(2) X1 + X2 + 0 S1 + 1 S2 = 140 S2 2 1 1 0 1 140
Solución
C1 C2 C3 C4
Max (Z) = 30 X1 + 50 X2 + 0 S1 + 0 S2
Sujeto a:
X1 + 2 X2 + 1 S1 + 0 S2 = 200
X1 + X2 + 0 S1 + 1 S2 = 140
X1, X2, S1, S2 ≥ 0

16. Cj 30 50 0 0
Ci XB X1 X2 S1 S2 bi θi
0 S1 1 2 1 0 200 100
0 S2 1 1 0 1 140 140
Cj -Zj 30 50 0 0 0
Solución
Iteración N° 1
Pivot
Semi Pivot
200
2
=100
140
1
=140
mínimo
X2 1/2 1 1/2 0 100
C1 – Z1 = 30 – 0x1 + 0x1 = 30
C2 – Z2 = 50 – 0x2 + 0x1 = 50

17. Cj 30 50 0 0
Ci XB X1 X2 S1 S2 bi θi
50 X2 1/2 1 1/2 0 100
Cj -Zj
Cj 30 50 0 0
Ci XB X1 X2 S1 S2 bi θi
50 X2 1/2 1 1/2 0 100
0 S2
Cj -Zj

18. Semi pivot
Cj 30 50 0 0
Ci XB X1 X2 S1 S2 bi θi
50 X2 1/2 1 1/2 0 100 200
0 S2 1/2 0 -1/2 1 40 80
Pivot
Semi Pivot
1 1 0 1 140
-1 1/2 1 1/2 0 100
-1/2 -1 -1/2 0 -100
1/2 0 -1/2 1 40
Cj - Zj 5 0 -25 0 5000

19. -1/2 1 0 -1 2 80
1/2 1 1/2 0 100
-1/2 0 1/2 -1 -40
0 1 1 -1 60

20. Cj 30 50 0 0
Ci XB X1 X2 S1 S2 bi θi
50 X2 0 1 1 -1 60
30 X1 1 0 -1 2 80
Cj -Zj 0 0 -20 -10 5400
Solución
Iteración N° 3

21. Solución
(80,60)
(140,0)
(0,100) Max(Z)= 30X1 + 50X2
Max(Z) = 30(80) + 50(60)
Max(Z) = 5 400
(0,100)
(0, 0)

22. ¿Cuántos artefactos de A y B deben de producir para obtener el
máximo beneficio?
ARTEFACTO A
(min/unid)
ARTEFACTO B
(min/unid)
DISPONIBILIDAD
Maquinado
Armado
Montaje
Beneficio
4
5
12
100
8
6
6
120
480
600
540

23. Xi: Cantidad de artefactos del tipo i a producirse al día. Donde i = 1, 2
FUNCIÓN OBJETIVO
• Max (Z) = 100 X1 + 120 X2
• Sujeto a:
4 X1 + 8 X2  480 → Area de Maquinado
5 X1 + 6 X2  600 → Area de Armado
12 X1 + 8 X2  540 → Area de Montaje
X1, X2  0
Área de
Maquinado
Área de
Armado
Área de
Montaje
Entra
da
Sali
da

24. (15/2, 225/4)
(0, 60)
(45, 0)

25. Cj 100 120 0 0 0
Ci XB X1 X2 S1 S2 S3 bi θi
0 S1 4 8 1 0 0 480 60
0 S2 5 6 0 1 0 600 100
0 S3 12 8 0 0 1 540 135/2
Cj -Zj 100 120 0 0 0 0
Solución
Iteración N° 1

26. Cj 100 120 0 0 0
Ci XB X1 X2 S1 S2 S3 bi θi
120 X2 1/2 1 1/8 0 0 60 120
0 S2 2 0 -3/4 1 0 240 120
0 S3 8 0 -1 0 1 60 15/2
Cj -Zj 40 0 -15 0 0 7200
Iteración N° 2

27. Iteración N° 3
Cj 100 120 0 0 0
Ci XB X1 X2 S1 S2 S3 bi θi
120 X2 0 1 3/16 0 -1/16 225/4
0 S2 0 0 -1/2 1 -1/4 225
100 X1 1 0 -1/8 0 1/8 15/2
Cj -Zj 0 0 -10 0 -5 7500