2.10 graficas de funciones racionales

Gráficas de funciones racionales
http://www.lahc.edu/math/precalculus/math_260a.html

Las funciones racionales son funciones de la forma
R(x) = donde P(x) y Q(x) son polinomios.
P(x)
Q(x)

Una función racional es factorizable si P(x) y Q(x)
son factorizables.
P(x)
Q(x)

son factorizables.
Asumiremos que las funciones de esta sección son
funciones racionales factorizables reducidas.
P(x)
Q(x)

son factorizables.
Los principios para graficar funciones racionales son
los mismos que para polinomios, estudiamos su
comportamiento y esbozamos partes de la gráfica en
regiones importantes, luego completamos la gráfica
conectando estas regiones.
P(x)
Q(x)

son factorizables.
Los principios para graficar funciones racionales son
los mismos que para polinomios, estudiamos su
comportamiento y esbozamos partes de la gráfica en
regiones importantes, luego completamos la gráfica
conectando estas regiones. Sin embargo, el
comportamiento de funciones racionales es más
complicado debido a los denominadores.
P(x)
Q(x)

Asíntotas verticales

La función y = 1/x no está definida en x = 0.

La función y = 1/x no está definida en x = 0. Así que
esta gráfica no es continua en x = 0.

Para x's positivas, y = 1/x es muy grade.

Entre más cercano esté x a 0,
menor será,

menor será, y mayor será el
punto y = 1/x

punto y = 1/x que le
corresponde.

corresponde.
(1, 1)
x=0

corresponde.
(1, 1)
(1/2, 2)
x=0

corresponde.
(1, 1)
(1/2, 2)
(1/3, 3)
x=0

corresponde.
La gráfica corre alrededor de
x = 0 pero nunca lo toca.
(1, 1)
(1/2, 2)
(1/3, 3)
x=0

corresponde.
(1, 1)
(1/2, 2)
(1/3, 3)
x=0
La linea x = 0 es llamada asíntota
vertical.

corresponde.
y = 1/x será negativo,
(1, 1)
(1/2, 2)
(1/3, 3)
x=0
vertical. Para x’s negativos,

corresponde.
y = 1/x será negativo, así que la gráfica
correspondiente baja a lo largo de esta línea.
(1, 1)
(1/2, 2)
(1/3, 3)
x=0

x=0
corresponde.
(1, 1)
(1/2, 2)
(1/3, 3)
y = 1/x será negativo, así que la gráfica
correspondiente baja a lo largo de esta línea.
(-1, -1)
(-1/2, -2)
(-1/3, -3)La linea x = 0 es llamada asíntota

Gráfica de y = 1/x
x=0
Conforme x crece, y = 1/x disminute. Esto significa
que la gráfica se acerca cada vés más al eje x
mientras se acerca a la
derecha o a la izquierda.
Puesto que para x > 0, y = 1/x
es positivo, la gráfica de esta
sección se encuentra por
encima del eje x. Para x < 0,
y = 1/x es negativo y esta parte
de la gráfica permanece por
debajo del eje x. A medida
(1, 1)
(2, 1/2) (3, 1/3)
(-1, -1)
(-2, -1/2)
(-3, -1/3)
que xtiende a -∞ o ∞, la gráfica se acerca al eje x.
Así, este eje es una asíntota horizontal.

Asimismo, y = 1/x2 tiene una asíntota vertical en x = 0.

Sin embargo 1/x2 siempre es positivo, así que su
gráfica sube a lo largo de ambos lados de la asíntota.

gráfica of y = 1/x2

Las asíntotas de una función
racional reducida:

racional reducida:
I. Se presentan cuando el
denominador es 0, es decir, en
las raíces de Q(x).

racional reducida:
II. La gráfica se extiende a lo
largo de ambos lados de las
asíntotas verticales.

racional reducida:
Podemos determinar si el gráfico va hacia arriba o
hacia abajo a lo largo de la asíntota por medio de la
tabla de signos.

racional reducida:
Podemos determinar si el gráfico va hacia arriba o
hacia abajo a lo largo de la asíntota por medio de la
tabla de signos. Tenemos cuatro casos:

Los cuatro casos de gráficas y asíntotas verticales:

+
Ej. y = 1/x

Ej. y = -1/x
+
Ej. y = 1/x
+

Ej. y = 1/x2Ej. y = -1/x
+
Ej. y = 1/x
+
+ +

Ej. y = 1/x2Ej. y = -1/x Ej. y = -1/x2
+
Ej. y = 1/x
+
+ +

Ej. y = 1/x2Ej. y = -1/x Ej. y = -1/x2
+
Ej. y = 1/x
+
+ +
Ejemplo A: Dadas las
siguientes raíces,
tablas de signos y
asíntotas verticales,
esboza la gráfica.

Ej. y = 1/x2Ej. y = -1/x Ej. y = -1/x2
+
Ej. y = 1/x
+
+ +
siguientes raíces,
tablas de signos y
esboza la gráfica.
raíz
asíntota
vertical
asíntota vertical
++

Ej. y = 1/x2Ej. y = -1/x Ej. y = -1/x2
+
Ej. y = 1/x
+
+ +
++
siguientes raíces,
tablas de signos y
esboza la gráfica.
raíz
asíntota
vertical
asíntota vertical

++
Ej. y = 1/x2Ej. y = -1/x Ej. y = -1/x2
+
Ej. y = 1/x
+
+ +
siguientes raíces,
tablas de signos y
esboza la gráfica.
raíz
asíntota
vertical
asíntota vertical

Ej. y = 1/x2Ej. y = -1/x Ej. y = -1/x2
+
Ej. y = 1/x
+
+ +
siguientes raíces,
tablas de signos y
esboza la gráfica.
++
raíz
asíntota
vertical
asíntota vertical

Asíntotas horizontales

Para x's tales que |x| es muy grande,

Para x's tales que |x| es muy grande, la gráfica de
una función racional se asemeja al cociente de los
términos principales del numerados y del
denominador.

denominador.
R(x) =
AxN + términos de orden menor
BxK + términos de orden menor
Específicamente, si

denominador.
R(x) =
entonces para x's tales que |x| es muy grande, la
gráfica de R(x) se asemeja a (cociente de los
términos principales).
AxN
BxK

denominador.
R(x) =
AxN
BxK
La gráfica puede o no estabilizarse horizontalmente.

denominador.
R(x) =
AxN
BxK
La gráfica puede o no estabilizarse horizontalmente.
Si es así, tendremos una asíntota horizontal.

Teorema (Comportamiento horizontal):

Dado R(x) =
AxN + términos de menor orden
BxK + términos de menor orden
Conforme x  ∞ o x -∞, la gráfica de R(x) se
comporta como AxN/BxK = AxN-K/B.
,

Dado R(x) =
I. Si N > K,
,

Dado R(x) =
I. Si N > K, R(x) se asemeja al polinomio AxN-K/B.
,

Dado R(x) =
,
Denotamos esto como lim y = ±∞.x±∞

Dado R(x) =
II. Si N = K,
,

Dado R(x) =
II. Si N = K, R(x) tiene una asíntota horizontal en
y = A/B.
,

Dado R(x) =
y = A/B. Es decir, lim y = A/B.x±∞
,

Dado R(x) =
y = A/B. Es decir, lim y = A/B.
III. Si N < K,
x±∞
,

Dado R(x) =
III. Si N < K, R(x) tiene a y = 0 como asíntota
horizontal pues N – K es negativo.
x±∞
,

Dado R(x) =
III. Si N < K, R(x) tiene a y = 0 como asíntota
horizontal pues N – K es negativo. Denotamos esto
como lim y = 0.
x±∞
x±∞
,

Graficando funciones racionales R(x) = P(x)
Q(x)

Graficando funciones racionales R(x) =
I. Al igual que cuando graficamos polinomios,
encontramos las raíces de R(x) y sus órdenes.
P(x)
Q(x)

P(x)
Q(x)
II. Encontramos las asíntotas verticales de R(x) y
sus órdenes resolviendo Q(x) = 0.

P(x)
Q(x)
Los pasos I y II nos ayudan a hacer la tabla de signos
alrededor de las raíces

P(x)
Q(x)
alrededor de las raíces y las gráfica a lo largo de las
asíntotas.

P(x)
Q(x)
asíntotas. Para esto construiremos la sección central
de la gráfica como en el ejemplo A.

P(x)
Q(x)
de la gráfica como en el ejemplo A. Completaremos
la gráfica con el paso III.

P(x)
Q(x)
de la gráfica como en el ejemplo A. Completaremos
la gráfica con el paso III.
III. Usado el teorema anterior, determinaremos el
comportamiento de la gráfica

Ejemplo C:
Encuentra las raíces y asíntotas de R(x) =
Haz la tabla de signos y esboza la gráfica.
x2 – 4x + 4
x2 – 1

Ejemplo C:
x2 – 4x + 4
x2 – 1
Resolvemos x2 – 4x + 4 = 0, x = 2 de orden = 2.

Ejemplo C:
x2 – 4x + 4
x2 – 1
Para las asíntotas, resolvemos Q(x) = x2 – 1 = 0

Ejemplo C:
x2 – 4x + 4
x2 – 1
x=2

Ejemplo C:
x2 – 4x + 4
x2 – 1
 x = ± 1 de orden 1,
así que hay cambios de
signo.
x=2

Ejemplo C:
x2 – 4x + 4
x2 – 1
 x = ± 1 de orden 1,
signo.
+–
x=2
++

Ejemplo C:
x2 – 4x + 4
x2 – 1
 x = ± 1 de orden 1,
signo.
++ –
x=2
+ +

Ejemplo C:
x2 – 4x + 4
x2 – 1
 x = ± 1 de orden 1,
signo.
Así que cuando x±∞,
R(x) se asemeja a x2/x2 =
1, la asíntota horizontal.
++ –
x=2
+ +

Ejemplo C:
x2 – 4x + 4
x2 – 1
 x = ± 1 de orden 1,
signo.
Así que cuando x±∞,
R(x) se asemeja a x2/x2 =
1, la asíntota horizontal.
++ –
x=2
++

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
Así que x = -1, 3 son raíces de orden 1.

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
Para las asíntotas, x – 2 = 0, o x = 2.

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
Haciendo las tablas de signos,

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
x=3

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
x=3
+–+–

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
esbozamos la parte central.
x=3
+–+–

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
x=3
+–+–

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
Mientras x ±∞, la gráfica
de R(x) se asemeja al
cociente x2/x = x, o y = x.
x=3
+–+–

Ejemplo D:
x2 – 2x – 3
x – 2
Resolvemos x2 – 2x – 3 = 0  (x – 3)(x + 1) = 0
Entonces no hay asíntota
horizontal.
x=3
+–+–

Gráficas de Polinomios Factorizables
Ejercicio A. Las siguientes son tablas de signos de
funciones racionales factorizables simplificadas
con raíces, polos y multiplicidades.
a. Escribe cualquier polinomio racional factorizado
que satisfaga la tabla de signos correspondiente.
b. Bosqueja su gráfica.
–1
1.
ord=1 ord=1
1– – – –1
2.
ord=2ord=1
1+ + +
–1
3.
ord=1 ord=1
1 – – – –1
4.
ord=2ord=2
1 + + +
–1
7.
1 3 –1
8.
ord=1 ord=2
1 3
ord=2
+ +– –
= raíz
= polo
(asíntota)
ord=2 ord=1 ord=1
–1
5.
1 3 –1
6.
ord=1 ord=2
1 3
ord=2
+ +– –
ord=2 ord=1 ord=1

B. Identifica las raíces, polos y multiplicidades de las
siguientes funciones racionales.
a. Dibuja su tabla de signos (como en A).
b. Determina su comportamiento horizontal y bosqueja.
1. R(x) = 2. x – 3x + 2
2 R(x) = –1
5. R(x) = 6. x – 3x + 2
x – 3 R(x) =
x + 2
3. R(x) = 4. 5 – xx + 1
–2 R(x) = 1
9. (x – 3)2R(x) = x – 2
7. R(x) = 8. 3 – 2xx + 2
–3x R(x) =
x
10. (x + 3)2R(x) = x + 2
11. (x – 3)(x + 3)
R(x) =
x – 2
12. R(x) =
(x – 3)(x + 3)
x – 5

13. (x – 2)2R(x) = 14.
(x – 4)(x + 5)
R(x) =
15. (x – 3)(x + 3)
R(x) = 16. R(x) =
(x – 3)(x + 3)
(x – 3)(x + 3) (x + 2)2
(x + 3)(x + 5)
(2x – 1)(x + 1)
(x – 4)(x + 5)
17. x(x – 3)(x + 3)
R(x) = 18. R(x) =
(x – 3)2(x + 3)
(2x – 1)(x + 1)
B. Identifica las raíces, polos y multiplicidades de las
siguientes funciones racionales.
a. Dibuja su tabla de signos (como en A).
b. Determina su comportamiento horizontal y bosqueja.

Ejercicio A.
1. 3.
x – 1
x + 1
(x + 1)(x – 1)
1
–
5. (x + 1)2–
(x – 1)(x – 3) 7.
(x + 1)2(x – 3)
(x – 1)

Ejercicio B
1.
ord=1
–2 + + +– – – 3.
ord=1
–1+ + + – – –
5.
–2
ord=1ord=1
3+ + + +– – –
7. –2
ord=1ord=1
0+ + +– – – –
9.
–3
ord=1ord=2
2 + + +– – – – –

11. –3
ord=1ord=1
2+ +– – – – – 3
ord=1
+ +
13. –3
ord=1ord=1
2+ + – – – 3
ord=1
+ +– – –
15. 17.
–5
ord=1ord=1
-3+ + – – –
ord=1
+ ++ +
ord=1
3 – – – 4 –5
ord=1ord=1
-3– –
ord=1
+ ++ +
ord=1
3– – 4– –
ord=1
0

2.10 graficas de funciones racionales

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a 2.10 graficas de funciones racionales

Similar a 2.10 graficas de funciones racionales (20)

Más de math260

Más de math260 (20)

Último

Último (20)

2.10 graficas de funciones racionales