Sem 4_modelo_matematico_Metodo_grafico_Casos especiales - copia.pdf

Un estudiante de Ingeniería Industrial de la Universidad Uniminuto necesita
completar un total de 65 cursos para graduarse. El número de cursos de
Ingeniería tendrá que ser mayor que o igual a 23. El número de cursos ajenos
al área de Ingeniería deberá ser mayor que o igual a 20. El programa de
Ingeniería Industrial requiere un libro de texto que cuesta $60 e implica 120
horas de estudio. Los cursos ajenos a Ingeniería requieren un libro de texto
que cuesta $24 e implican 200 horas de estudio. El estudiante dispone de un
presupuesto de $3,000 para libros.
• Formule el sistema de ecuaciones lineales para describir la función objetivo
y las restricciones.
• Utilice el análisis gráfico para encontrar la solución visual.
• ¿Con qué combinación de cursos de ingeniería y otros ajenos a esta área
se minimizaría el número total de horas de estudio?
EJERCICIO 1 (HORAS DE CURSO)

Variables:
•X = Cursos de Ingeniería que cursará el estudiante
•Y = Cursos ajenos al área de Ingeniería que cursará el
estudiante
Función Objetivo:
Z = Minimizar = 120X + 200Y
“Se minimiza porque el objetivo del
problema es encontrar la combinación
óptima de cursos que minimice la
cantidad total de horas de estudio
necesarias para graduarse”
X + Y = 65
X<= 23
Y<=20
60X + 24Y ≤ 3000
X, Y >= 0
Variables restricción

Z = Minimizar = 120X + 200 Y
X + Y = 65
X + <= 23
Y <= 20
60X + 24 Y ≤ 3000
X, ≥ 0
Y ≥ 0
Organizar ecuación:

X + Y = 65
X = 23
Y = 20
60X + 24 Y = 3000
X >= 0(No negatividad)
Y >= 0(No negatividad)
Igualamos en términos de ecuación lineal:

X1 + Y =65
X =23
Y = 20
X=0
Y=0

X1 + Y =65
X =23
Y = 23
60X +24 Y = 3000
X=0
Y=0

X1 + Y =65
X =23
Y = 23
60X +24 Y = 3000
X=0
Y=0
A (23,42)
B (40,25)

Vertice
Coordenadas
(X,Y)
Valor de la Función
Objetivo 120X + 200Y
A (23,42) 120(23) + 200(42)=11160
B (40,25) 120(40) + 200(25)=9800
También se puede comprobar la restricción de presupuesto.
60X + 24Y ≤ 3000
SOLUCION FACTIBLE – SUSTITUIR LOS PUNTOS EN LA FUNCION OBJETIVO
Por lo tanto, la solución óptima del problema es tomar 40 cursos de Ingeniería y 25
cursos ajenos al área de ingeniería, lo que requerirá un total de 9800 horas de estudio y
un gasto de $2,952 en libros.

GRAFICA DE FUNCION OBJETIVO
REGIÓN FACTIBLE

Mile-High Microbrewery fabrica una cerveza clara y una oscura. Mile-High dispone de una provisión limitada de
cebada, tiene capacidad de embotellamiento limitada y un mercado también limitado para su cerveza clara. Las
utilidades son de $0.20 por cada botella de cerveza clara y $0.50 por cada botella de cerveza oscura.
La siguiente tabla muestra la disponibilidad de recursos en la Mile-High Microbrewery.
EJERCICIO 2 (PRODUCCIÓN)
• Formule el sistema de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
• ¿Con qué combinación de cervezas debe producir para tener el máximo de utilidad?

Variables:
X= Número de botellas de cerveza clara
Y= Número de botellas de cerveza oscura
Función Objetivo:
Z = Maximizar = 0,20X + 0,50Y
Variables restricción 0.1x + 0.6y ≤ 2000
x + y ≤ 6000
x ≤ 4000
X,Y>=0

Z = Maximizar = 0,20X + 0,50Y
0.1x + 0.6 y ≤ 2000
x + y ≤ 6000
x ≤ 4000
x >=0
y >=0

0.1x + 0.6 y = 2000
x + y = 6000
x = 4000
x >=0 (No negatividad)
y >=0 (No negatividad)

X=0
Y=0
x + y = 6000
0,1X + 0,6 Y =2000

X = 4000 X=0
Y=0
0,1X + 0,6 Y =2000
x + y ≤ 6000

X = 4000 X=0
Y=0
0,1X + 0,6 Y =2000
x + y ≤ 6000
A (0,0)
B=(0, 3.333)
C=(4000,0) D=(3200,2800)
E=(4000,2000)

Punto
Coordenadas
(X1,X2) Valor de la Función Objetivo 0,2X1 + 0,5X2
A (0,0) 0,2(0) + 0,5(0)=0
B (0, 3.333) 0,2(0) + 0,5(3.333)=1665
C (4000,0) 0,2(4000) + 0,5(0)=800
D (3200,2800) 0,2(3200) + 0,5(2800)=2040
E (4000,2000) 0,2(4000) + 0,5(2000)=1800
SOLUCION FACTIBLE
El máximo valor de la función objetivo se encuentra en el punto D=(3200,2800) con
un resultado de 2040:
Por lo tanto, la solución óptima del problema es producir 3200 botellas de cerveza clara
y 2800 botellas de cerveza oscura, con un costo utilidad de $2,040

X=0
Y=0
REGIÓN FACTIBLE
GRAFICA DE FUNCION OBJETIVO

EJERCICIO 3 (FABIRCACION DE PRODUCTOS)
El gerente de la planta de producción de un fabricante de tubos de plástico tiene la opción de utilizar dos rutas
diferentes para la fabricación de un tipo de tubo de plástico en particular.
La ruta 1 utiliza la extrusora A y la ruta 2 utiliza la extrusora B. Ambas rutas requieren el mismo proceso de fusión. La
siguiente tabla muestra los requisitos de tiempo y las capacidades de estos procesos.
Cada 100 pies de tubo procesado en la ruta 1 utilizan 5 libras de materias primas, mientras que cada 100 pies de
tubo producidos en la ruta 2 utilizan solamente 4 libras de materias primas. Esta diferencia es el resultado de las
diferentes tasas de desperdicio de cada una de las máquinas de extrusión. En consecuencia, la utilidad por 100 pies
de tubo procesados en la ruta 1 es de $60 y en la ruta 2 es de $80. Hay en total 200 libras de materias primas
disponibles.
• Formule el sistema de ecuaciones lineales para describir la función objetivo y las restricciones.
• ¿Con qué combinación de tubos procesados en la ruta 1 y 2 debe producir para alcanzar el máximo de utilidad?

Variables:
X= Número de tubos de 100 pies procesados en la ruta 1
Y= Número de tubos de 100 pies procesados en la ruta 2
Función Objetivo:
Z = Maximizar = 60X + 80Y
Variables restricción X + Y ≤ 45 (capacidad (h))
3X + Y ≤ 90 (capacidad (h))
Y ≤ 160 (capacidad (h))
5X + 4Y ≤ 200 (Materia Prima)
X , Y ≥ 0 (No negatividad)

Maximizar = 60X + 80Y
X + Y ≤ 45
3X + Y ≤ 90
Y ≤ 160
5X + 4Y ≤ 200
X , Y ≥ 0
S.a

X + Y = 45
3X + Y = 90
Y = 160
5X + 4Y = 200
X , Y ≥ 0

X=0
Y=0
X + Y=45
3x = 90
Y = 160

X=0
Y=0
X + Y=45
3x = 90
Y = 160
5x + 4y = 200

X=0
Y=0
X + Y=45
3x = 90
Y = 160
5x + 4y = 200
A=(0,0)
B = (0,45)
C=(30,0)
E =(30, 12.5)
D= (20,25)

SOLUCION FACTIBLE
El máximo valor de la función objetivo se encuentra en el punto B=(0,45) con un
resultado de 3600:
Por lo tanto, la solución óptima del problema es producir 0 tubos de 100 pies
procesados en la ruta 1 y 45 tubos de 100 pies procesados en la ruta 2, para una
utilidad de $3600
Punto Coordenadas (X1,X2)
Objetivo 60X1 + 80X2
A (0,0) 60(0) + 80(0)=0
B (0,45) 60(0) + 80(45)=3600
C (30,0) 60(30) + 80(0)=1800
D (20,25) 60(20) + 80(25)=3200
E (30,25/2) 60(30) + 80(25/2)=2800

Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los
datos básicos del problema:
*Una encuesta de mercado indica que la diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores
no debe ser mayor a 1 tonelada
*Así mismo, la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.
Reddy Mikks desea determinar la producción optima de pinturas para interiores y exteriores que maximice la
utilidad diaria total. (Z max)
Elaborar un modelo de IO con los siguientes elementos:
a. Variables de decisión
b. Función objetivo
c. Restricciones del sistema
EJERCICIO 4 (PRODUCCION)

X1 = Pintura para exteriores
X2 = Pintura para interiores
a.Variables de decisión
b. Función objetivo
Max Z= 5X1 + 4X2
c. Restricciones demanda
X1 - X2 <= 1
X2<=2
c. Restricciones de disponibilidad
6X1 + 4X2<=24
X1 + 2X2<= 6
Restricciones de NO NEGATIVIDAD
X1 y X2 >= 0

Max Z = 5X1 + 4X2
S.A 6X1 + 4X2 <=24
X1 + X2 <= 6
-X1 + X2 <= 1
X2 <= 2
X1 >= 0
X2 >=0

SOLUCION PL METODO GRAFICO
Igualar las ecuaciones para graficar
como una línea.
Max Z = 5X1 + 4X2
S.a 6X1 + 4X2 =24
X1 + X2 = 6
- X1 + X2 = 1
X2 = 2
X1 = 0
X2 = 0
Generar los puntos y graficar
Remplacemos datos para graficar
X1=0
X2=0

6x1+4x2=24
X1+2X2=6
-X1+X2=1
X2=2
X>=0
X=0
-1

VERTICES X1 X2 ($)Fo Max Z = 5X1 + 4X2
A Max Z= 5( ) + 4( )=
B Max Z= 5( ) + 4( )=
C Max Z= 5( ) + 4( )=
D Max Z= 5( ) + 4( )=
E Max Z= 5( ) + 4( )=
F Max Z= 5( ) + 4( )=
La solución es X1= y X2= en este caso . Eso equivale a una mezcla de productos de
toneladas de pintura para exteriores y toneladas de pintura para interiores. La utilidad diaria
correspondiente es $
SOLUCION FACTIBLE

Solución no acotada en un problema de programación lineal indica
que no hay límites en alguna o varias direcciones para la función
objetivo
SOLUCIÓN NO ACOTADA:
“los valores de las variables se pueden aumentar en
forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones,
Como resultado, el valor de la función objetivo puede
crecer en forma indefinida”

EJEMPLO – SOLUCIÓN NO ACOTADA:
Encontrar la solución óptima de la siguiente expresión
utilizando el método gráfico de programación lineal:
Maximizar 150X + 300Y
Sa. X+Y>=5
x+4y>=12
x>=0
Y>=0

Maximizar 150X + 300Y
X+Y = 5
X+4y =12
X>=0
Y>=0

X+Y = 5
X+4y =12
X>=0
Y>=0
X 0 15
Y 15 0
X 0 12
Y 3 0
DESPEJANDO VARIABLES

2,3
x+4y>=12
150X+300Y=1800
En conclusión que
podemos decir que:
En un problema con
región no acotada, no hay
solución factible para el
problema es decir, no es
posible encontrar una
solución óptima que
satisfaga todas las
restricciones del problema
y al mismo tiempo
optimice la función
objetivo.
X+Y>=5
2,6
EJERCICIO: GRAFICAR LA CON
LOS PUTOS DEL VERTICE C (12,0)
150(12)+300(0)=1500

PUNTO X Y Fun Max Z 150X + 300Y
A 8/3 7/3 150 (2,6)+ 300(2,3)= 1080
B 0 5 150(0) + 300(5)=1500
C 12 0 150(12) + 300(0)=1800
La solución es X= 12 y Y= 0 en este caso con una utilida del 1800, Sin embargo nuestra
solución factible esta es NO ACOTADA, es decir puede tomar valores infinitos en la región de X y Y
SOLUCION NO ACOTADA

Es importante tener en cuenta que la presencia
de una solución no acotada no significa
necesariamente que el problema no tenga una
solución viable. En algunos casos, puede ser
necesario reformular el problema o utilizar otro
método para encontrar una solución óptima.

2X+ 3y=21
2(0)+3y=21
y=21/3
Y=7
2X+3(0)=21
X=21/2
X=10,5

En el método gráfico, se representa gráficamente la función objetivo y
las restricciones en un plano cartesiano, formando una región factible
que contiene todas las soluciones posibles. Sin embargo, en algunos
casos, la solución óptima no siempre se encuentra en uno de los
vértices de la región factible. Estos son los denominados casos
especiales de programación lineal.
Casos especiales de programación
lineal (Método Gráfico)
• Solución múltiple
• Solución No acotada
• Solución Inviable

1. SOLUCIONES MÚLTIPLES
En ocasiones, pueden existir múltiples soluciones que
maximizan o minimizan la función objetivo de un modelo de
programación lineal, es decir, múltiples soluciones óptimas. La
elección de la solución en un contexto de aplicación práctico
dependerá tanto de la sensibilidad de las restricciones activas
como de los factores propios del sistema que no se consideran
en un modelo matemático.

TENEMOS ESTE MODELO MATEMATICO
Maximizar X + Y
sujeto a:
X + Y≤ 4
-X + Y ≤ 1
X, Y ≥ 0
EJEMPLO 1 - SOLUCION MULTIPLE

X=0
Y=0
A = (0,0)
B= (0,1)
C = (4,0)
D = (1,5; 2,5)
-X + Y <=1
X + Y <= 4

SOLUCION FACTIBLE
Punto
Coordenadas
(X1,y)
Objetivo X + y
A (0,0) (0) + (0)=0
B (0,1) (0) + (1)=1
C (4,0) (4) + (0)=4
D (1,5,2,5) (1,5) + (2,5)=4

Se puede en el grafico
que la recta de la función
objetivo pasa por encima
de una de las
restricciones del
problema. Esto quiere
decir que el problema
tiene solución múltiple,
definida todos los puntos
que se encuentran en el
segmento C y D, siendo
estas algunas de las
soluciones
X=0
Y=0
Función objetivo
X + Y= 0
(1,5)+ (2,5)= 4
X + Y = 4
X=4
Y=4

La ebanistería «López S.A.S» ha recibido una gran cantidad de partes
prefabricadas para la elaboración de mesas, pero no ha podido iniciar un
plan de producción enfocado en ellas debido a la alta demanda de sus otros
productos. Las mesas que se pueden elaborar con las partes prefabricadas
son de dos modelos: A y B. Estas mesas solo requieren ser ensambladas y
pintadas.
Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas a ensamblar y 8 horas a
pintar para elaborar la mayor cantidad de mesas posibles, teniendo en
cuenta que cada mesa modelo A requiere 2 horas de ensamble y 1 hora de
pintura, mientras que cada mesa modelo B requiere 1 hora de ensamble y 2
horas de pintura. Si el margen de utilidad es de $20000 por cada mesa
modelo A y $10000 por cada mesa modelo B, determine el modelo de
producción adecuado para esta semana.
EJERCIO # 1 - SOLUCION MULTIPLE

x = Mesas modelo A a fabricar esta semana
y = Mesas modelo B a fabricar esta semana
Función objetivo
Zmax = 20000x + 10000y
s.a 2x + y <= 10 «Horas de ensamble»
x + 2y <= 8 «Horas de pintura»
x >= 0 «No negatividad»
y >= 0 «No negatividad»

Como se puede observar, la región factible tiene dos vértices que
maximizan la función : C(4,2) y D(6,0). Ambas soluciones son óptimas, ya
que maximizan la función dentro de las restricciones del modelo. En este
caso, la elección de la solución dependerá de factores propios de la
Gerencia
Esto demuestra que en este caso existen múltiples soluciones óptimas
con diferentes combinaciones que arrojan la misma solución optima.
VERTICE X Y Fo Max: 20000 + 10000Y
A 0 0 20000(0)+10000(0)=0
B 0 4 20000(0)+10000(4)=40000
C 4 2 20000(4)+10000(2)=100000
D 5 0 20000(5)+10000(0)=100000

2. SOLUCIÓN NO ACOTADA
Otra de las variantes que presentan los modelos de programación lineal
es la solución óptima no acotada, es decir, problemas con infinitas
soluciones óptimas. Dada la naturaleza finita de las restricciones en los
contextos reales, estos problemas suelen deberse a un mal
planteamiento de las restricciones, pero en el mundo académico es
común evaluar este tipo de problemas.

• La compañía comercializadora de computadores “FUERZA GAMER" se
encuentra promocionando dos nuevos computadores, tipo A y tipo B,
dado que se encuentran en promocionando sus productos se debe
asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda, para ello
la empresa que se deben tener en cuenta que la cantidad
computadores tipo A que se vendan no puede ser menor que las de
tipo B, la segunda es que se deben de vender por lo menos 3600
unidades tipo A y por producción solamente se pueden vender 4100
de la tipo B.
• Dado que se encuentran en promoción el precio de venta de ambos
equipos equivale a $1800 pesos
EJERCIO # 2 – SOLUCION NO ACOTADAS

Variables decisión:
x = Cantidad de Computadores tipo A
y = Cantidad de Computadores tipo B
Función objetivo
Z max = 1800x + 1800y
Restricciones
x >= y
x>=3600
y<=4100
X,Y>=0

A= (3600,0)
C =(4100,41010
B =(3600,3600)
x>=3600
x >= y
y<=4100
Como se puede observar, la
región factible no está acotada,
lo que significa que el conjunto
de posibles soluciones factibles
en x, y es infinito. En
consecuencia, la solución
óptima tiende a infinito, lo que
hace que el modelo no tenga
solución.

La compañía comercializadora de bebidas energéticas «WILD» está promocionando
dos nuevas bebidas: la tipo A y la tipo B. Dado que se encuentran en promoción, se
puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda. Sin embargo, la
empresa debe tener en cuenta dos políticas:
• 1. La cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor que la de tipo B.
• 2. Se deben vender por lo menos 1500 bebidas de cualquier tipo.
Estas políticas pueden ser representadas mediante restricciones en un modelo de
programación lineal, que nos permitirá determinar la cantidad óptima de bebidas
tipo A y B a vender en promoción.
El precio de venta de la bebida tipo A es de $ 20000 y de la tipo B es de $1800 por
unidad
EJERCIO # 1 – SOLUCION NO ACOTADAS

Variables
x = Bebidas tipo A a vender en promoción
y = Bebidas tipo B a vender en promoción
Función objetivo
Z max = 2000x + 1800y
Restricciones
x >= y «Políticas de ventas»
x + y >= 1500 «Horas de pintura»

X-Y>=0
X+Y>=1500
Como se puede observar, la región
factible no está acotada, lo que
significa que el conjunto de posibles
soluciones factibles es infinito. En
consecuencia, la solución óptima
tiende a infinito, lo que hace que el
modelo no tenga solución.
Max 20000X+1800Y=30000000
1500
1500

EJERCICIO – SOLUCIÓN NO ACOTADA:
Maximizar 2X+ 3y
sujeto a:
-X + Y ≤ 2
Y ≤ 5
x, y ≥ 0

Como se puede ver en el gráfico, el ejercicio tiene una región
factible no acotada, en ese sentido para maximizar la función
objetivo tenemos infinitos valores.
En consecuencia, el problema no tiene una solución óptima finita.
X=0
Y=0

PUNTO X Y Fun Max Z 2X + 3Y
A 0 0 2(0)+3(0)=0
B 0 2 2(0)+3(2)=6
C 3 5 2(3)+3(5)=21
SOLUCION NO ACOTADA
La solución es X= 3 y Y= 5 en este caso con una utilida del 21, Sin embargo nuestra solución
factible es NO ACOTADA, puede tomar valores infinitos en la región X y Y

3. SOLUCIONES INVIABLES NO FACTIBLE
La solución infactible es un caso común en la programación lineal, y
corresponde a aquellos casos en los que no existen soluciones que
cumplan con todas las restricciones del modelo. Las restricciones
acotan el sistema y establecen límites para alcanzar el objetivo del
modelo. Cuando estas restricciones no se pueden cumplir en su
totalidad, la solución es infactible.

La compañía de galletas «CAROLA» desea planificar la producción de galletas que
deberá entregar a su cliente en dos semanas. Según el contrato, la empresa se
compromete a entregar al menos 300 cajas de galletas, cualquiera sea su tipo
(presentación D, presentación N o una combinación de ambas).
La producción de cada caja de galletas presentación D requiere 2 horas de
elaboración y 3 horas de horneado, mientras que la producción de cada caja de
presentación N requiere 3 horas de elaboración y 1 hora de horneado. La empresa
cuenta con 550 horas para elaboración y 480 horas de horneado en las próximas
dos semanas.
El margen de utilidad de cada caja de galletas presentación D es de $8500, y el
margen de utilidad de cada caja de presentación N es de $8100. Para maximizar las
utilidades, la empresa debe utilizar un modelo de programación lineal que le
permita determinar el plan de producción adecuado.
EJERCIO # 1 – SOLUCION INVIABLE

Variables
x = Cajas de galletas de presentación D a producir en dos
semanas
y = Cajas de galletas de presentación N a producir en dos
semanas
Función objetivo
Zmax = 8500x + 8100y
Restricciones
2x + 3y <= 550 «Horas de elaboración»
3x + y <= 480 «Horas de horneado»
x + y >= 300 «Demanda según el contrato»

x + y >= 300
3x + y <= 480
2x + 3y = 550
La gráfica muestra el área
sombreada que se delimita a
partir de la representación de
las restricciones que
corresponden a los recursos
de producción. Se puede
apreciar cómo no existe una
intersección entre las
restricciones de capacidad de
producción y la restricción de
demanda por contrato
(sombreada de azul), lo que
indica que no existen
soluciones que cumplan con
todas las restricciones del
modelo. En este caso, se trata
de una solución infactible.

CONCLUSIÓN
En resumen, los casos especiales en programación lineal pueden darse
por una mala formulación de las restricciones, la presencia de
soluciones infactibles o infinitas. Es importante considerar siempre
todas las restricciones del modelo y utilizar el análisis de sensibilidad
para evaluar su efecto en la solución óptima.

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