Este documento presenta un manual de soluciones para el libro "Métodos dinámicos en economía". Incluye soluciones a ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales, análisis cualitativo, dinámica discreta y otros temas. El manual es una versión preliminar y los autores agradecen comentarios para mejorar futuras versiones.

1. Manual de soluciones del libro
"Métodos dinámicos en economía"
Versión 0.4
Héctor Lomelí Ortega
Beatriz Rumbos Pellicer
Lorena Zogaib Achcar
1 de septiembre de 2004

2. Índice General
2 Ecuaciones diferenciales lineales 3
3 Ecuaciones no lineales de primer orden 7
4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 11
5 Análisis cualitativo 15
6 Conceptos básicos de dinámica discreta 20
9 Optimización estática 22
11 Introducción al cálculo en variaciones 39
1

3. Nota para el lector
La presente es una versión preliminar de las soluciones del libro Métodos dinámicos
en economía.
Estamos conscientes de que, a pesar del esfuerzo y cuidado puestos en este tra-
bajo, es probable que existan errores involuntarios en las respuestas que aquí pre-
sentamos. Agradeceremos sus comentarios y correcciones al presente documento
a las siguientes direcciones electrónicas:
lomeli@itam.mx
rumbos@itam.mx
Con cierta frecuencia aparecerán nuevas versiones en la página del departamento
de Matemáticas del ITAM, en:
http://matematicas.itam.mx
Gracias por leer nuestro libro.
Los autores
2

4. Capı́tulo 2
Ecuaciones diferenciales lineales
2.2 b = −3, c = 6, x0 = 5.
2.3 α = 3, β = −1
9, A = 1
18, B = 1
18 . Por lo tanto la solución para las condiciones
iniciales dadas es x(t) = −
1
9
+
1
18
e3t
+
1
18
e−3t
.
2.4 α = 0, β = 7. Por lo tanto la solución para las condiciones dadas se puede
escribir como y(v) = 7e−v
sin v.
2.5 a) x(t) = ke5t
, la solución no converge a su estado estacionario.
b) x(t) = ke− t
2 , la solución sí converge a su estado estacionario.
c) x(t) = 8 + ke−t
, la solución sí converge a su estado estacionario.
d) x(t) = 2 + ke5t
, la solución no converge a su estado estacionario.
2.6 P(t) = 5 + ke−6t
, el estado estacionario es P∗
= 5. La solución sí converge a su
estado estacionario.
2.7 a) P(t) = P0eat
.
b) t∗
=
ln 2
a
.
c) lim
t→∞
P(t) = 0.
2.8 P(t) = P0e(α−β)t
. Si α > β, lim
t→∞
P(t) = ∞, es decir que P crece indefinidamente.
Si α = β, lim
t→∞
P(t) = P0, es decir que P es siempre constante. Si α < β,
lim
t
→ ∞P(t) = 0, es decir que P se extingue.
2.9 P(t) =
E
a
+
P0 −
E
a
eat
. Si P0 =
E
a
, entonces P(t) =
E
a
, por lo tanto lim
t→∞
P(t) =
E
a
es decir, la población es constante. Si P0
E
a
, entonces lim
t→∞
P(t) = ∞, es
3

5. 4
decir la población es creciente. Si P0
E
a
, entonces lim
t→∞
P(t) = −∞, es decir
la población es decreciente.
2.10 Factor de integración µ(t) = e
T
t r(s)ds
. Interpretación: Y(t) es la inversión, B(t)
es el precio del bono y
YT
BT
+
t
T
δ(s
)ds
es la cantidad de bonos que se tienen
en la inversión.
2.11 a) r(t) = r0 −
1
t + 1
.
b) B(t) = er0(t−T)
T + 1
t + 1
.
c) δ(t) = −er0(T−t)
. Si δ 0 tenemos retiros.
d) Z(T) =
1
r0
er0(T−t)
− 1
+ 1.
e) Y(t) =
T + 1
t + 1
er0(t−T)
1 +
1
r0
e−r0(t−T)
− 1
= B(t)Z(t). Simplificando
Y(t) =
T + 1
t + 1
1 −
1
r0
er0(t−T)
+
1
r0
.
2.12 a) Ẏ es el cambio en la inversión. Se debe a las ganancias rY generadas
por invertir a una tasa Y menos las perdidas −X(t) debidas al flujo de
inversión.
b) Y(t) = er(t−T)
Y(T) + ert
T
t
e−rs
X(s)ds. En el límite T → ∞, Y(t) =
ert
∞
t
e−rs
(s)ds.
c) Cambio de variable τ = s − t. Por lo tanto Y(t) =
∞
0
e−rτ
X(τ + t)dτ.
2.13 L {af (t) + bg(t)} =
∞
0
e−st
[af (t) + bg(t)] dt
=
∞
0
e−st
(af (t)) dt +
∞
0
e−st
(bg(t)) dt
= a
∞
0
e−st
f (t)dt + b
∞
0
e−st
g(t)dt = aL { f (t)} + bL {g(t)} .
2.14 a) x(t) =
1
2
+ ce−2 sin t
.
b) x(t) =
1
2
+ ce−t2
.
c) x(t) = 5 + e− t3
3 .

6. 5
d) x(t) = −
1
7
et
+ e−6t
.
e) y(u) =
1
3
+
2
3
e−u3
.
2.15 a) ṗe
+
αr
r − α
pe
=
dα
r − α
. Resolviendo encontramos que
pe
(t) =
d
r
+
pe
0 −
d
r
e−( αr
r−α )t
.
b)
∞
0
de−rt
dt = lim
b→∞
b
0
de−rt
dt = −
d
r
lim
b→∞
e−rb
− 1
=
d
r
.
c) lim
t→∞
pe
(t) =
d
r
+
pe
0 −
d
r
lim
t→∞
e−( αr
r−α )t
=
d
r
= p∗
ya queα, r 0 y r α.
d) Sustituyendo (2.29) en (2.28) se tiene que p =
d
r
+
α
r
(p − pe
) . Por lo tan-
to p = p∗ α
r
(p − pe
) . Ahora bien, usando la solución para pe
se obtiene
que
p(t) =
r
r − α
p∗
−
α
r − α
pe
.
Por lo tanto lim
t→∞
p(t) =
r
r − α
p∗
−
α
r − α
y lim
t→∞
pe
=
r
r − α
p∗
−
α
r − α
p∗
= p∗
.
e) p(t) = p∗
−
αr
r − α
(pe
0 − p∗
) e−( αr
r−α )t
, con r α. Además
pe
(t) = p∗
+ (pe
0 − p∗
) e−( αr
r−α )t
,
con r α.
2.16 Sea v = ln y, entonces ev
= y y y
= ev dv
dt
. Sustituyendo ev dv
dt
+ P(t)ev
=
Q(t)ev
v. Por lo tanto v
− Q(t)v = −P(t).
2.17 Sea v = ln y, resolviendo para v se obtiene v(t) = −
t3
4
+
c
t
. Como y(t) = ev(t)
entonces y(t) = e− t3
4 + c
t .
2.18 Sea Aẍ + Bẋ + Cx = 0 una ecuación diferencial homogénea con coeficientes
constantes, donde A = 0, B, C ∈ R. Sean x1, x2 dos soluciones de la ecuación,
es decir: Aẍ1 + Bẋ1 + Cx1 = 0 yAẍ2 + Bẋ2 + Cx2 = 0. Sea x3 = ax1 + bx2.
Entonces Aẍ3 + Bẋ3 + Cx3 = A (aẍ1 + bẍ2) + B (aẋ1 + bẋ2) + C (ax1 + bx2) =
a (Aẍ1 + Bẋ1 + Cx1) + b (Aẍ2 + Bẋ2 + Cx2) = 0. Por lo tanto x3 = ax1 + bx2
es solución de la ecuación Aẍ + Bẋ + Cx = 0.

7. 6
2.19 a) ẍ = −1, x(0) = 2, ẋ(0) = 4.
b) ẍ − 3ẋ + 2x = 6t − 7.
c) ẍ + 4ẋ + 5x = 0.
2.20 a) x(t) = et
.
b) x(t) = e
5
4 t
3 cos
√
23
4
t +
13
√
23
sin
√
23
4
t

8. .
c) x(t) = e−t
[cos t + sin t] .
d) x(t) = (1 − 3t)e3t
.
2.21 a) x(t) = k1e(1+
√
2)t
+ k2e(1−
√
2)t
− 7.
b) x(t) = c1 cos t − c2 sin t + 1.
c) x(t) = e
5
4 t
c1 cos
√
23
4
t − c2 sin
√
23
4
t

9. + 3.
d) x(t) = A + Be3t
− 4t.
e) x(t) = c1e−t
+ c2e2t
−
1
2
.
f) x(t) = c1e−3t
+ c2te−3t
+
1
9
.
2.22 p(t) = m̄ + e−
β
2 t
(A cos δt − B sin δt) , con β 0, δ 0.
u(t) = ū −
e−
β
2 t
γ
−βA
2
− Bδ
cos δt +
βB
2
− Aδ
sin δt
.
Además lim
t→∞
p(t) = m̄ y lim
t→∞
u(t) = ū, lo que quiere decir que se satisface el
mismo comportamiento asintótico que en el caso β 4αγ.
2.23 a) x(t) = c1 cos 2t − c2 sin 2t −
t
4
cos 2t.
b) x(t) = c1e−t
+ c2e3t
− 3t2
+ 4t −
14
3
.
c) x(t) = c1e−t
+ c2e2t
−
4
3
te−t
.
d) x(t) = c1e3t
+ c2e−t
−
1
2
et
− cos t + 2 sin t.
e) x(t) = e−3t
(c1 cos 2t − c2 sin 2t) + e−2t
1
17
cos 2t +
4
17
sin 2t
.
2.24 x(t) = k1et
+ k2e2t
+ k3e−t
.

10. Capı́tulo 3
Ecuaciones no lineales de primer
orden
3.1 a) x(t) = |t| o x(t) = t si t 0.
b) x(t) = |t| o x(t) = t si t 0.
c) x(t) =
1
2 − t
.
d) x(t) = tan
t − 1 +
π
4
.
e) x(t) =
3
2 (t + 1)3/2
+
71
27
.
3.2 a) y(x) = sin−1
2
x2 + 1
.
b) y(x) − 2 ln |y(x) + 2| = − ln |x + y| − 1.
c) y(x) = −
1
2
et +
1
2
e3t.
3.3 a) N(t) =
N∗
1 +
N∗
N0
− 1
eN∗kt
para N∗ = N0. Si N∗
= N0 entonces N(t) =
N∗
.
b) lim
t→∞
N(t) = N∗
, es decir que el número de personas que habrá oído el
rumor cuando t sea muy grande tenderá al número total de personas
del pueblito.
3.4 Sea w = k1−α
. Resolviendo se obtiene w(t) = ce−(1−α)(n+δ)t
+
s
n + δ
. Por lo tanto
la solución para k es de la formak(t) = w
1
1−α =
ce−(1−α)(n+δ)t
+
s
n + δ
1
1−α
.
7

11. 8
Además lim
t→∞
k(t) =
s
n + δ
1
1−α
= k∗
.
3.5 a) Sea Υ = Kγ
L1−γ
. Entonces
L̇
L
= α − β
L
Υ
= α − β
L
KγL1−γ
= α − β
1
KγL1−γ
=
α − β
Lγ
Kγ
. Por lo tanto L̇ = αL − β
Lγ+1
Kγ
, donde K es constante.
b) Sea w = L−γ
. Resolviendo se obtiene w(t) =
1
L
γ
0
−
β
αKγ
e−αγt
+
β
αKγ
.
Por lo tanto L(t) = w(t)− 1
γ =
1
L
γ
0
−
β
αKγ
e−αγt
+
β
αKγ
− 1
γ
.
c) lim
t→∞
L(t) =
β
αKγ
− 1
γ
. Por lo tanto lim
t→∞
L(t) =
α
β
1
γ
K.
3.6 a) Sea w = y1−n
. Su solución está dada por w(t) = keαt
−
1
α
. Por lo tanto
y(t) =
1
keαt − 1/α
. Como P =
C
r
y + L, entonces
P(t) =
1
1
P0−L + r
αC
eαt − r
αC
+ L.
b) lim
t→∞
P(t) =
L, P0 = C − L
P0, P0 = C − L
.
3.7 a) x(t) =
1
2t − 2 + ce−t
.
b) Sea w =
1
y2
, cuya solución es w(x) = x +
1
2
+ ce2x
. Por lo tanto y(x) =
±
x +
1
2
+ ce2x
− 1
2
.
c) Sea w =
1
y
, cuya solución es w(x) =
x + c
x
. Por lo tanto y(x) =
x
x + c
.
d) Sea w =
1
y3
, cuya solución es w(x) = x3
2x3
+ c
. Por lo tanto y(x) =
1
x [2x3 + c]
1
3
.
3.8 a) Sea w = x−6
, entonces la tenemos la solución w(t) = 1 + ce6t
. Por lo tanto
x(t) = 1.
b) Sea w = x−4
, entonces la tenemos la solución w(t) = −
4
43t
+
c
t44
. Por lo
tanto x(t) =
1
4
47
43t44 − 4
43t
.

12. 9
c) Sea w = y−2
, entonces la tenemos la solución w(t) =
1
t
+
c
√
t
. Por lo
tanto y(t) =
√
t, con t 0.
3.9 a) x = 0 equilibrio inestable; x = 2 equilibrio estable.
b) x = 0, x = 12 equilibrios inestables; x = 3 equilibrio estable.
c) x = 2nπ equilibrio inestable; x = (2n + 1) π equilibrio estable.
d) x = k equilibrio estable.
3.10 a) Si x0 2 entonces x(t) converge a 2. Si x0 2 entonces x(t) diverge.
b) Si x0 0 entonces x(t) converge a 0. Si 0 x0 1 entonces x(t) conver-
ge a 1. Si x = 1 es un punto de equilibrio estable.
c) Si x0 0 entonces x(t) converge a 0. Si x0 0 entonces x(t) diverge.
3.11 a) Como
d
dw
u
u
=
(u) (u) − uu
(u)2
= 1 −
uu
(u)2
. Entonces
uu
(u)2
=
1 −
d
dw
u
u
= k. De esta manera
d
dw
u
u
= 1 − k. Lo que implica
u
u
= (1 − k)w + A
. Donde A es continua. Por lo que se tiene
u
u
=
1
A + (1 − k)w
. Sea A = −A entonces −
u
u
=
1
A + (k − 1)w
.
b) A + (k − 1) w 0 con w 0.
c) Si k = 0 entonces u = k2 + k1 Aw − k1
w2
2
. Si k = 1 entonces −
u
u
=
1
A
,
la cual es una función CARA (aversión relativa al riesgo constante). Si
k 1 entonces −
u
u
=
1
A + (k − 1)w
y se parece al caso k = 0.
3.12 a) ṗ =
1
1 − αλ
[(αm0 + µ + αµt) − αp] . Por lo que la solución para esta ecua-
ción es
p(t) = (m0 + µλ + µt) + (p0 − m0 − λµ) e− α
1−α t
.
Además lim
t→∞
p(t) = ∞, y
lim
t→∞
ṗ(t) = µ = ṁ.
b) ṗ =
1
λ
(p − m0 − µt) . Cuya solución, para las condiciones iniciales da-
das, es:
p(t) = (m0 + µλ + µt) + (p0 − m0 − λµ) e
t
λ .
Además lim
t→∞
p(t) = ∞, y lim
t→∞
ṗ(t) = ∞.

13. 10
3.13 a) Sea ṗe
=
(1 − τ)dα
r − α
αr
r − α
pe
. Resolviendo se obtiene
pe
(t) = p∗
+ (pe
0 − p∗
) e−( αr
r−α )t
y
p(t) = p∗
−
α
r − α
(pe
0 − p∗
) e−( αr
r−α )t
.
Además lim
t→∞
pe
(t) = lim
t→∞
p(t) =
(1 − τ) d
r
≡ p∗
.
b) Si τ aumenta a τ̄ τ entonces en el momento del cambio, el cambio en
el precio ṗ pasa de un valor cero a un valor negativo (el precio tiende a
disminuir) correspondiente a la condición pe = p∗. Después ṗ aumenta
en el tiempo y el sistema procede asintóticamente hacia un nuevo valor
de equilibrio, pe
= p̄∗
p∗
.
c) p(t) =
p0 −
(1 − τ) d
r
ert
+
(1 − τ) d
r
.
d) El nivel del precio diverge, a menos que p0 =
(1 − τ̄) d
r
, con τ̄ τ.

14. Capı́tulo 4
Sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales
4.1 a) X(t) = c1
1
1
e−2t
+ c2
1
−1
e−4t
.
b) X(t) = c1
1
√
3
e(2+
√
3)t
+ c2
1
−
√
3
e(2−
√
3)t
.
c) X(t) = c1
1
0
+ c2
1
−4
e−4t
.
d) X(t) = c1
2
1
+ c2
3
1
et
.
4.2 a) X(t) = c1
e−t cos t
−e−t sin t
+ c2
e−t sin t
e−t cos t
.
b) X(t) = c1
4
−2
e3t
+ c2
4t
1 − 2t
e3t
.
c) X(t) = c1
cos 2t
sin 2t
et
+ c2
sin 2t
− cos 2t
et
.
d) X(t) = c1
−1
−2
et
+ c2
−t
1 − 2t
et
.
4.3 a) X(t) = c1
1
1
e2t
+ c2
1
2
e3t
−
1
2
1
1
.
11

15. 12
b) X(t) = c1
2 cos
√
3
2 t
− cos
√
3
2 t +
√
3 sin
√
3
2 t
e− 3
2 t
+c2
2 sin
√
3
2 t
− sin
√
3
2 t −
√
3 cos
√
3
2 t
e− 3
2 t
+
2
5
.
c) X(t) = c1
1
1
e2t
+ c2
1
2
e3t
−
1
2
5
4
et
.
4.4 a) X(t) =
−1
10
e− t
2 . Por lo tanto lim
t→∞
X(t) =
0
0
.
b) X(t) =
cos βt
sin βt
eαt
.
c) X(t) =



5
0
0


 +



5 cos t + 15 sin t
20 cos t + 10 sin t
30 cos t − 10 sin t


 et
.
4.5 a) X(t) = (2 + w)
1
1
et
+ (1 − w)
1
−2
e−2t
.
b) w = −2.
4.6 a) Se necesita que trA = a + d = 0 y que det A = ad − bc 0. En este caso
λ1 =
bc − ad 0 y λ2 = −
bc − ad 0.
b)
x(t)
y(t)
= c1
b
λ1 − a
eλ1t
+ c2
b
−λ1 − a
e−λ1t
.
4.7 a) X(t) = c1
3
1
+ c2
1
−1
e−4t
.
b) lim
t→∞
X(t) = c1
3
1
=
3c1
c1
.
4.8 X(t) =



1
3
1


 e2t
+ c1



5 cos t + sin t
12 cos t + 2 sin t
4 cos t


 et
+ c2



5 sin t − cos t
12 sin t − 2 cos t
4 sin t


 et
.
4.9 A =



−2 −7 −2
0 1 0
3 7 3


 .

16. 13
4.10 a) Como el conjunto {w1, w2, w3, . . . , wn} es l.i. para todo t, por lo tanto las
columnas de Φ(t) son l.i. de modo que existe la inversa Φ−1(t).
b) Sabemos que cada wi con i = 1, . . . n es solución de la ecuación Ẋ = AX,
por lo que se tiene que ẇi = Awi para i = 1 . . . n. Así
Φ̇(t) =
ẇ1 ẇ2 . . . ẇn
=
Aw1 Aw2 . . . Awn
= A
w1 w2 . . . wn
= AΦ(t).
c) Sea Υ(t) = Φ(t)
t
0
Φ−1
(s)f (s)ds. Por lo tanto
t
0
Φ−1
(s)f (s)ds = Φ−1
(t)Υ(t).
Por otra parte
Υ̇(t) = Φ̇(t)
t
0
Φ−1
(s)f (s)ds + Φ(t)Φ−1
(t)f (t)
= Φ̇(t)Φ−1
(t)Υ(t) + f (t) = AΦ(t)Φ−1
(t)Υ(t) + f (t)
= AΥ(t) + f (t).
Por lo tanto Υ es una solución particular a la ecuación Ẋ = AX + f (t).
4.13 a)
x(t)
y(t)
= c1
4
3
e− 4
10 t
+ c2
1
−1
e− 11
10 t
+
1
11
2500
1625
.
b)
x(t)
y(t)
= c1
4
3
e− 4
10 t
+ c2
1
−1
e− 11
10 t
+
1
6
17
19
e
t
10 .
4.14 a) ẋ = f (x, y), ẏ = 1.
b) x(t) = c2e2t
−
1
2
t −
1
4
.
4.15 El sistema lineal con coeficientes constantes es
x(w) = a1x(w) + b1y (w)
y(w) = a2x (w) + b2y (w)
.
4.16
x(t)
y(t)
= c1
1
1
t2
+ c2
1
3
t4
.
4.18 a) x(t) = (cos t + sin t) e−t
. Además lim
t→∞
x(t) = 0.
b) x(t) =
1
3
+
5
3
e3t
.Además lim
t→∞
x(t) = ∞.
c) x(t) =
19
25
−
44
25
e−5t
+
6
5
t.Además lim
t→∞
x(t) = ∞.

17. 14
d) x(t) = (1 + 2t) e−t
.Además lim
t→∞
x(t) = 0.
e) x(t) = (1 − 2t) e2t
.Además lim
t→∞
x(t) = −∞.
f) x(t) = −4e−2t
+
8
3
e−3t
+
1
3
.Además lim
t→∞
x(t) =
1
3
.
4.19 a) y(x) =
u + w
2
e−x
+
u − w
2
cos x +
u + 2v + w
2
sin x.
b) w = u y v = −u. Con esto se tiene y(x) = ue−x
. Por lo tanto lim
x→∞
y(x) = 0.
4.20 y(t) =
1
5
e−2t
+
4
5
et
cos t −
2
5
et
sin t. Además lim
t→∞
y(t) no está definido ya que la
función oscila.
4.21 a) y(x) =
2v − 2u − 1
−5
e−x
+
2v + 3u − 1
5
ex
cos x +
2v − 2u + 4
10
ex
sin x.
b) u = 1 y v = −1. Con esto se tiene y(x) = e−x
. Por lo tanto lim
x→∞
y(x) = 0.
4.22 y(t) =
1
4
et
−
1
4
e−t
−
1
2
sin t.

18. Capı́tulo 5
Análisis cualitativo
5.1 a) P∗
=
0
0
es un punto silla.
b) P∗
=
0
0
es un espiral atractora.
c) P∗
=
0
0
es un espiral repulsora.
d) P∗
=
0
0
es un nodo repulsor.
e) P∗
=
−5
3
1
3
es un punto silla.
5.2 a) P∗
=
0
0
es un punto silla.
b) P∗
=
0
0
es degenerado inestable.
c) P∗
=
0
0
es degenerado.
d) P∗
=
−3b
b
es un punto fijo para cada b. Por lo tanto hay una infini-
dad de puntos fijos, cada uno de ellos degenerado.
e) P∗
=
9
4
−9
2
es un espiral repulsora.
15

19. 16
5.3 a) P∗
=



0
0
0


 es degenerado.
b) P∗
=



0
0
0


 es nodo repulsor.
c) P∗
=



0
0
0


 es degenerado.
d) P∗
=



−4
1
1


 es nodo repulsor.
5.4 a) Existen cuatro puntos fijos: P∗
1 =
0
0
, P∗
2 =
0
6
, P∗
3 =
2
0
, y
P∗
4 =
4
−2
. El punto P∗
1 es un nodo repulsor, P∗
2 un nodo atractor, P∗
3
un punto silla y P∗
4 una espiral atractora. Se tiene que lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
0
6
es decir que la población de x se extinguirá y la de y tenderá a 6,
no es posible que las dos poblaciones coexistan en el largo plazo.
b) Existen cuatro puntos fijos: P∗
1 =
0
0
, P∗
2 =
0
2
, P∗
3 =
3
0
, y
P∗
4 =
4
−2
. El punto P∗
1 es un nodo repulsor, P∗
2 un punto silla, P∗
3 un
nodo atractor y P∗
4 un punto silla. Se tiene que lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
3
0
es decir que la población de x tenderá a 3 y la de y se extinguirá, no es
posible que las dos poblaciones coexistan en el largo plazo.
c) Existen cuatro puntos fijos: P∗
1 =
0
0
, P∗
2 =
0
3
, P∗
3 =
1
0
, y
P∗
4 =
10
3
14
3
. El punto P∗
1 es un nodo repulsor, P∗
2 un punto silla, P∗
3 un
punto silla y P∗
4 un nodo atractor. Se tiene que lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
10
3
14
3

20. 17
es decir que la población de la especie x se estabilice en 10
3 y la de y en
14
3 . Se espera que las poblaciones coexistan en el largo plazo.
5.5 a) Para el punto fijo
P∗
N∗
=
0
0
,se tiene la dirección estable dada por
λ = −1 que es U =
0
1
, y la dirección inestable dada por λ = 1 que
es V =
1
0
.
b) Como γNP es el número de encuentros Depredador-Presa por unidad
de tiempo, entonces γ representa la frecuencia de encuentros entre las
especies.
5.6 a) Se obtiene un comportamiento cíclico si 0 a 1 y b = a.
b) El sistema es estable si a 1, b a y ab 1.
5.7 El punto fijo está dado por
w∗
p∗
= p∗
a
1
. La solución del sistema es
w
p
= c1
a
1
+ c2
1
AB+C
A
e−|λ2|t
,
donde λ2 = A − a (AB + C) . Además lim
t→∞
w
p
= c1
a
1
. Por lo tanto,
los puntos fijos son múltiplos del vector
a
1
y son puntos de equilibrio
estables.
5.8 a) P∗
= (0, 0) es un punto silla porque λ1 = α + β 0 y λ2 = α − β 0.
b) Para el punto fijo P∗ se tiene Es
= gen
1
α + β
con λ2 0 y
Eu
= gen
1
α − β
con λ1 0.
5.9 El punto P∗
= (0, 0, 0) es un punto silla porque det A = −6 0. El espacio li-
neal estable es Es
(0̄) = gen








1
−1
1








que representa una recta. El espacio
lineal inestable es Eu
(0̄) = gen








5
0
2


 ,



1
0
0








que representa un plano.

21. 18
5.11 a) El punto fijo es P∗
=
k∗
c∗
=
1
4
5
y es un punto silla porque para
ese punto se obtiene λ1 = −1
2 0 y λ2 = 4
5 0.
b) En P∗ la recta tangente que aproxima la variedad estable Ws
(P∗
) es c =
4
5
k. Similarmente, la recta tangente que aproxima la variedad inestable
Wu
(P∗
) es c = −
1
2
k +
13
10
.
c) c0 ≈
4
5
(1.1) = 0.88 c∗
.
5.12 v = −2u.
5.13 a) Los puntos fijos son cuatro: P∗
1 = (0, 1), P∗
2 = (0, −1), P∗
3 = (
1
√
3
, 0), y
P∗
4 = (−
1
√
3
, 0). Los puntos P∗
1 y P∗
2 son los únicos puntos silla. Los
puntos P∗
3 y P∗
4 dan soluciones cíclicas. Para P∗
1 se tiene
Es
(P∗
1 ) = gen
0
1
=
%
(x, y) ∈ R2
| x = 0
,
Eu
(P∗
1 ) = gen
1
0
=
%
(x, y) ∈ R2
| y = 1
.
Para P∗
2 se tiene
Es
(P∗
2 ) = gen
1
0
=
%
(x, y) ∈ R2
| y = −1
,
Eu
(P∗
1 ) = gen
0
1
=
%
(x, y) ∈ R2
| x = 0
.
b) Por regla de la cadena
ẏ
ẋ
=
dy/dt
dx/dt
=
dy
dt
dt
dx
=
dy
dx
.
Entonces
dy
dx
=
ẏ
ẋ
=
1 − 3x2 − y2
2xy
=
1 − 3x2
2xy
−
y2
2xy
.
Por lo tanto
dy
dx
=
1 − 3x2
2xy
y−1
−
1
2x
y,
que es una ecuación de Bernoulli con n = −1.

22. 19
c)
Ws
(P∗
1 ) = Wu
(P∗
2 ) =
%
(x, y) ∈ R2
| x = 0
y
Wu
(P∗
1 ) = Ws
(P∗
2 ) =
%
(x, y) ∈ R2
| x2
+ y2
= 1
.
5.14 a) Hay dos puntos de equilibrio: P∗
1 =
0
0
y P∗
2 =
3
4
3
. El punto P∗
1
es un nodo repulsor y P∗
2 es un punto silla.
b) Existen dos puntos de equilibrio: P∗
1 =
0
0
y P∗
2 =
−1
3
−1
3
. El
punto P∗
1 es un punto silla y P∗
2 es un centro (soluciones cíclicas).
5.15 El punto fijo
k∗
p∗
=
I(p∗)
δ
f (k∗)
r+δ
es un punto silla.
a) La tasa de convergencia está dada por λ =
r −
r2 − 4 det J∗
2
0, don-
de
det J∗
= −δ(r + δ) + f
(k∗
)I
(p∗
).
Se tiene además que lim
r1
λ = −δ.
5.17 a) El único punto fijo del sistema es P∗
=
1
e
y es un punto silla.
b) Para P∗ se tiene Es
(P∗
) = gen
0
1
=
%
(x, y) ∈ R2
| x = 1
y
Eu
(P∗
) = gen
1
e
=
%
(x, y) ∈ R2
| y = ex
.
c) y(x) = ex
+
c
x − 1
.
d) Para P∗ se tiene
Ws
(P∗
) =
%
(x, y) ∈ R2
| x = 1
y
Wu
(P∗
) =
%
(x, y) ∈ R2
| y = ex
.

23. Capı́tulo 6
Conceptos básicos de dinámica
discreta
6.4 a) xt =
−
1
2
t
(x0 − 2) + 2. Además lim
t→∞
xt = 2, es decir que es asintótica-
mente estable.
b) xt =
3
2
t
(x0 + 4) − 4. Además lim
t→∞
xt = ∞, es decir que es asintótica-
mente inestable.
c) xt = (−1)t
x0 −
5
2
+
5
2
. Además lim
t→∞
xt no está definido es decir que
diverge.
d) xt =
−
1
3
t
x0. Ademáslim
t→∞
xt = 0, es decir que es asintóticamente esta-
ble.
6.5 La ecuación en diferencia para el ingreso es Yt+1 = mYt + (c + I) . Tiene como
punto fijo a y∗
=
c + I
1 − m
. Por lo tanto, la solución de la ecuación es Yt =
mt
Y0 −
c + I
1 − m
+
c + I
1 − m
. Además lim
t→∞
Yt = c+I
1−m 0, es decir que el punto
fijo es asintóticamente estable.
6.8 a) Puntos fijos: x∗
1 = −1 el cual es asintóticamente inestable y x∗
2 = 1 el cual
es un punto silla.
b) Puntos fijos: x∗
1 = 1 el cual es asintóticamente inestable y x∗
2 = 3 el cual
es asintóticamente estable.
6.10 a) pt = −
1
3
pt−1 +
8
3
. El punto fijo es p∗ = 2 el cual es asintóticamente esta-
ble, ya que lim
t→∞
pt = 2.
20

24. 21
b) pt = −pt−1 +
11
2
. El punto fijo es p∗
=
11
4
el cual es inestable, se tiene
que lim
t→∞
pt no existe.
c) pt = −3pt−1 + 16. El punto fijo es p∗
= 4 el cual es asintóticamente
inestable.

25. Capı́tulo 9
Optimización estática
9.1 Sean A y B subconjuntos convexos de Rn.
a) Sea A + B = {a + b|a ∈ A y b ∈ B} y sean c1, c2 ∈ A + B. Entonces
c1 = a1 + b1, c2 = a2 + b2 donde a1, a2 ∈ A y b1, b2 ∈ B. Como a1, a2 ∈ A
y b1, b2 ∈ B con A y B convexos, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que λa1 +
(1 − λ) a2 ∈ A y λb1 + (1 − λ) b2 ∈ B. Por lo tanto, [λa1 + (1 − λ) a2] +
[λb1 + (1 − λ) b2] ∈ A + B. De donde λ (a1 + b1) + (1 − λ) (a2 + b2) ∈
A + B. Entonces λc1 + (1 − λ) c2 ∈ A + B. Por lo tanto A + B es convexo.
b) Sea kA = {ka|a ∈ A} para k ∈ R y sean c1, c2 ∈ kA.Entonces c1 =
ka1, c2 = ka2 donde a1, a2 ∈ A. Como a1, a2 ∈ A y A es convexo,
entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que λa1 + (1 − λ) a2 ∈ A. Por lo tanto,
k [λa1 + (1 − λ) a2] ∈ kA. De donde λ [ka1] + (1 − λ) [ka2] ∈ kA. Enton-
ces λc1 + (1 − λ) c2 ∈ kA. Por lo tanto kA es convexo.
9.2 Sea X ⊂Rn un conjunto convexo y sean f, g : X →R dos funciones cóncavas.
a) Sea α ∈ R+ y sean x̄1, x̄2 ∈ X. Como f es cóncava, entonces
f (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) λ f (x̄1) + (1 − λ) f (x̄2) , ∀λ ∈ (0, 1) .
Como α 0, entonces
α f (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) α [λ f (x̄1) + (1 − λ) f (x̄2)]
= λ [α f (x̄1)] + (1 − λ) [α f (x̄2)] .
Por lo tanto α f es cóncava.
22

26. 23
b) Sea α ∈ R− y sean x̄1, x̄2 ∈ X. Como f es cóncava, entonces
f (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) λ f (x̄1) + (1 − λ) f (x̄2) , ∀λ ∈ (0, 1) .
Como α 0, entonces
α f (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) α [λ f (x̄1) + (1 − λ) f (x̄2)]
= λ [α f (x̄1)] + (1 − λ) [α f (x̄2)] .
Por lo tanto α f es convexa.
c) Como f y g son cóncavas, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que
f (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) λ f (x̄1) + (1 − λ) f (x̄2) ,
g (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) λg (x̄1) + (1 − λ) g (x̄2) .
Por lo tanto,
f (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) + g (λx̄1 + (1 − λ) x̄2)
[λ f (x̄1) + (1 − λ) f (x̄2)] + [λg (x̄1) + (1 − λ) g (x̄2)] .
Entonces
( f + g) (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) [(f + g) (x̄1)] + (1 − λ) [(f + g) (x̄2)] .
Por lo tanto, f + g es cóncava.
d) Sea g (x̄) ⊂ Y ⊂ R y sea h : Y → R una función cóncava y creciente.
Como g es cóncava, entonces ∀λ ∈ (0, 1) se tiene que
g (λx̄1 + (1 − λ) x̄2) λg (x̄1) + (1 − λ) g (x̄2) .
Como h es creciente, entonces
h (g (λx̄1 + (1 − λ) x̄2)) h (λg (x̄1) + (1 − λ) g (x̄2)) .
De donde
(h ◦ g) (λx̄1 + (1 − λ) x̄2)
= h (g (λx̄1 + (1 − λ) x̄2))
h (λg (x̄1) + (1 − λ) g (x̄2))
λh [g (x̄1)] + (1 − λ) h [g (x̄2)]
= λ (h ◦ g) (x̄1) + (1 − λ) (h ◦ g) (x̄2) .
Por lo tanto, h ◦ g es cóncava.

27. 24
9.3 a) Conjunto convexo.
b) No es conjunto convexo.
c) Conjunto convexo.
9.4 a) Si x = 0 o y = 0, entonces f (x, y) = 0, que es un plano en R3 (z = 0), y
sabemos que toda función que represente un plano es cuasicóncava en
particular (también es cuasiconvexa, cóncava y convexa). Si suponemos
que x, y 0, queremos demostrar que para toda k ∈ R+, el contorno
superior de f en k, CSf (k) = {(x, y) ∈ R2
++|xy k} es un conjunto
convexo. Sean x1 = (x1, y1) , x2 = (x2, y2) ∈ CSf (k) , de modo que
x1y1 k y x2y2 k. Sea
x = ˘x1 + (1 − λ) x2 = (λx1 + (1 − λ) x2, λy1 + (1 − λ) y2) ,
con λ ∈ (0, 1) . Debemos demostrar que
(λx1 + (1 − λ) x2) (λy1 + (1 − λ) y2) k.
Así,
(λx1 + (1 − λ) x2) (λy1 + (1 − λ) y2)
= λ2
(x1y1) + (1 − λ)2
(x2y2) + λ (1 − λ) (x2y1 + x1y2)
kλ2
+ k (1 − λ)2
+ kλ (1 − λ)
x2
x1
+
x1
x2
= k
λ2
+ (1 − λ)2
+ 2λ (1 − λ)
+ kλ (1 − λ)
x2
x1
+
x1
x2
− 2
= k (λ + (1 − λ))2
+ kλ (1 − λ)
x2
1 + x2
2 − 2x1x2
x1x2
= k + kλ (1 − λ)
(x2 − x1)2
x1x2
= k
1 + (1 − λ)
(x2 − x1)2
x1x2

28. k.
Por lo tanto, x ∈ CSf (k) . Lo que implica que CSf (k) es convexo, ∀k ∈
R2
+. Por lo tanto, f (x, y) = xy es cuasicóncava en R2
+.
b) Como f es doblemente diferenciable, analizamos simplemente el signo
de le matriz hessiana H :
H =
fxx fxy
fyx fyy
=
2 2
2 2
.

29. 25
Como fxx = 2 0, fyy = 2 0 y |H| = fxx fyy − f2
xy = 0. Entonces H es
positiva semidefinida. Por lo tanto, f es convexa (no estricta).
c) Como f es doblemente diferenciable, analizamos simplemente el signo
de le matriz hessiana H :
H =
fxx fxy
fyx fyy
=
2 0
0 2
.
Como fxx = 2 0, fyy = 2 0 y |H| = fxx fyy − f2
xy = 4 0. Entonces H
es positiva definida. Por lo tanto, f es estrictamente convexa.
9.5 f es una función cóncava para a 0 y b 0.
9.6 a) Si el dominio de la función se restringe a R2
++ entonces f es cuasicóncava
y además estrictamente cóncava. Si el dominio incluye x, y 0 entonces
f no es cuasicóncava, ni se aplica la definición de función cóncava al no
ser el dominio convexo.
b) f es cuasicóncava y además estrictamente cóncava.
c) f es cuasiconvexa y además convexa (no estricta).
9.7 Sea g : Rn
++ → R, dada por
g (x̄) = ln
Πn
k=1xαk
k
con α1, . . . , αn 0. Entonces
g (x̄) = ln
xα1
1 xα2
2 . . . xαn
n
= α1 ln x1 + α2 ln x2 + · · · + αn ln xn.
Por lo tanto
H =







−α1
x2
1
0 . . . 0
0 −α2
x2
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . −αn
x2
n







.
Como |H1| = −
α1
x2
1
0, |H2| =
α1α2
x2
1x2
2
0, |H3| = −
α1α2α3
x2
1x2
2x2
3
0, . . . , (−1)k
|Hk| 0 con 1 k n. Entonces H es definida negativa. Por lo tanto f es
estrictamente cóncava.

30. 26
9.8 Por el ejercicio anterior tenemos que la función
g (x̄) = ln
Πn
k=1x
αk
k
= ln (h (x̄))
es estrictamente cóncava y, por lo tanto, cóncava. Existe un teorema que
establece que si f es creciente y h es cuasicóncava entonces f ◦ h también es
cuasicóncava. Entonces, como g es cuasicóncava y ex es una función creciente,
se tiene que h = eg
= Πn
k=1x
αk
k es cuasicóncava.
9.9 a) Sean ã =
ā
f (ā)
y b̃ =
b̄
f
b̄
. Entonces
f (ã) = f
ā
f (ā)
= f
1
f (ā)
ā
=
1
f (ā)
f (ā) =
f (ā)
f (ā)
= 1.
Similarmente f
b̃
= 1. Como CSf (1) = {x̄ ∈ X| f (x̄) = 1} y como
f (ã) = f
b̃
= 1, por lo tanto ã, b̃ ∈ CSf (1) .
b) Sea µ =
λ f
b̄
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
. Como f : X → (0, ∞) , entonces f (ā) 0
y f
b̄
0. Además, como 0 λ 1 se tiene que λ 0 y (1 − λ) 0,
por lo tanto µ 0. Por otra parte, reescribamos µ como
µ =
λ f
b̄
+ (1 − λ) f (ā) − (1 − λ) f (ā)
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
= 1 −
(1 − λ) f (ā)
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
1,
ya que
(1 − λ) f (ā)
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
0. Por lo tanto µ 1. Se concluye que
0 µ 1.
c) Como ã, b̃ ∈ CSf (1) , 0 µ 1 y CSf (1) es convexo, entonces
(1 − µ) ã + µb̃ ∈ CSf (1) .
Por lo tanto, f
(1 − µ) ã + µb̃
1.
d) De la definición de µ se tiene
1 − µ = 1 −
λ f
b̄
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
=
(1 − λ) f (ā)
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
.

31. 27
Entonces
1 f
(1 − µ) ã + µb̃
= f
(1 − λ) f (ā)
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
ā
f (ā)
+
λ f
b̄
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
b̄
f
b̄
= f
1
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
'
(1 − λ) ā + λb̄
(
=
1
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
f
(1 − λ) ā + λb̄
.
Es decir, 1
1
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
f
(1 − λ) ā + λb̄
. Por lo tanto
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
f
(1 − λ) ā + λb̄
.
Por lo tanto f es cóncava.
9.10 Sea f (x1, . . . , xn) = xα1
1 . . . xαn
n = Πn
k=1x
αk
k una función Cobb-Douglas y x ∈
Rn
++. Es claro que f es cuasicóncava siempre, ya que es una transformación
creciente de la función cóncava ln
xα1
1 xα2
2 . . . xαn
n
, y es por lo tanto cuasicón-
cava. Si α1 + · · · + αn = 1, entonces f es homogénea de grado 1, cuasicóncava
y positiva, por lo tanto, por el problema 9.9, f es cóncava. Si α1 + · · · + αn = 1,
entonces el hessiano de f es
H =




α1(α1−1) f
x2
1
α1α2 f
x1x2
. . .
α1αn f
x1xn
. . . . . . . . . . . .
α1αn f
x1xn
α1αn−1 f
x1xn−1
. . .
αn(αn−1)f
x2
n



 .
Por lo tanto, sus menores principales dominantes son:
|Hk| =
α1α2 . . . αk
(x1 . . . xk)2
f k



α1 − 1 α1 . . . α1
. . . . . . . . . . . .
αk αk . . . αk − 1



= (−1)k
1 −
k
∑
i=1
αi
α1α2 . . . αk
(x1 . . . xk)2
f k
.
Por lo tanto, (−1)k
|Hk| 0. Entonces, H es definida negativa. Por lo tanto, f
es estrictamente cóncava. Si 0
n
∑
k=1
αk 1, entonces f es cóncava.

32. 28
9.11 a) w (λx1, . . . , λxn) =
δ1 (λx1)ρ
+ · · · + δn (λxn)ρ1
ρ
=
λρ
δ1x
ρ
1 + · · · + δnx
ρ
n
1
ρ
= λ
δ1x
ρ
1 + · · · + δnx
ρ
n
1
ρ
= λw (x1, . . . , xn) .
Por lo tanto, w es homogénea de grado 1.
b) Como lim
ρ→0
w = lim
ρ→0
eln w
= e
lim
ρ→0
(ln w)
. Además
lim
ρ→0
(ln w) = lim
ρ→0
ln
δ1x
ρ
1 + · · · + δnx
ρ
n
1
ρ
= lim
ρ→0
ln
δ1x
ρ
1 + · · · + δnx
ρ
n
ρ

33. .
Cuando δ1 + · · · + δn = 1, este limite es del tipo 0
0, ya que
ln
δ1x
ρ
1 + · · · + δnx
ρ
n
→
ρ→0
ln (δ1 + · · · + δn) = ln 1 = 0.
Así, usando la regla de L’Hôpital se tiene que
lim
ρ→0
(ln w) = lim
ρ→0
d
dρ (δ1x
ρ
1+···+δnx
ρ
n)
(δ1x
ρ
1+···+δnx
ρ
n)
1
= lim
ρ→0
δ1x
ρ
1 ln x1 + · · · + δnx
ρ
n ln xn
δ1x
ρ
1 + · · · + δnx
ρ
n

34. =
δ1 ln x1 + · · · + δn ln xn
δ1 + · · · + δn
=
ln
xδ1
1 xδ2
2 ...xδn
n
1
.
Por lo tanto, lim
ρ→0
w (x1, . . . , xn) = e
ln
x
δ1
1 x
δ2
2 ...xδn
n
. Es decir,
lim
ρ→0
w (x1, . . . , xn) = xδ1
1 xδ2
2 ...xδn
n
y corresponde a la familia de funciones Cobb-Douglas.
c) Es claro que si ρ = 1 entonces w (x1, . . . , xn) = δ1x1 + · · · + δnxn, que es
una ecuación lineal (hiperplano en Rn+1).

35. 29
d) Sea g (x1, . . . , xn) =
n
∑
k=1
δkx
ρ
k = δ1x
ρ
1 + · · · + δnx
ρ
n. Entonces,
H =



δ1ρ (ρ − 1) x
ρ−2
1 0 ... 0
0 δ2ρ (ρ − 1) x
ρ−2
2 ... 0
0 0 ... δnρ (ρ − 1) x
ρ−2
n


 .
Por lo tanto, si 0 ρ 1, entonces ρ (ρ − 1) 0. Lo que implica que
|H1| 0, |H2| 0, |H3| 0, . . . , (−1)k
|Hk| 0, . . . , (−1)n
|Hn| 0. Por
lo tanto, H es negativa definida. Por lo tanto, si 0 ρ 1, entonces g es
cóncava.
e) Con la definición del inciso anterior, se tiene que w = g
1
ρ . Si ρ = 1, en-
tonces w es lineal (inciso c), de modo que es cuasicóncava. Si 0 ρ 1,
entonces g es cóncava (inciso d) y, como g
1
ρ es una función creciente, en-
tonces w = g
1
ρ es cuasicóncava también. Como w es cuasicóncava para
toda 0 ρ 1, sólo toma valores positivos y como además es homo-
génea de grado 1 (inciso a), por el teorema del problema 9.9 concluimos
que w es cóncava. Por lo tanto, si 0 ρ 1, entonces w es cóncava.
9.12 Suponemos que CIf (1) es convexo, se definen ã ≡
ā
f (ā)
y b̃ =
b̄
f
b̄
. Como f
es homogénea de grado 1, se obtiene que f (ã) = f
b̃
= 1. Además
CIf (1) = {x̄ ∈ X| f (x̄) 1}.
Por lo tanto, ã, b̃ ∈ CIf (1) . Luego se define
µ =
λ f
b̄
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
,
con ā, b̄ ∈ X y 0 λ 1. De modo que (problema 9.9), nuevamente 0
µ 1. Como ã, b̃ ∈ CIf (1), 0 µ 1 y CIf (1) es convexo (ya que f es
cuasiconvexa), entonces f
(1 − µ) ã + µb̃
1. Finalmente, sustituyendo ã, b̃
y µ en esta desigualdad y, viendo que f es homogénea de grado 1, se obtiene
que
(1 − λ) f (ā) + λ f
b̄
f
(1 − λ) ā + λb̄
.
Por lo tanto, f es convexa. Ahora, apliquemos este resultado a la función
CES,
w (λx1, . . . , λxn) =
δ1x
ρ
1 + · · · + δnx
ρ
n
1
ρ
.
Es claro que w es homogénea de grado 1 (problema 9.11.a) y positiva. Fal-
ta ver que w sea cuasicóncava cuando ρ 1, para aplicar el teorema recién

36. 30
demostrado. De acuerdo con el problema 9.11 inciso d, cuando ρ 1 el hes-
siano de g es positivo definido (|H1| 0, |H2| 0, . . . , |Hn| 0), de modo
que g es convexa y, por lo tanto, cuasiconvexa. Como w = g
1
ρ con ρ 0, es
decir, w es una función creciente de g, con g cuasiconvexa, por lo tanto w es
cuasiconvexa. Por lo tanto, por el teorema recién demostrado, w es convexa
si ρ 1. Por lo tanto, si ρ 0, entonces una función CES es convexa.
9.13 Sea Ω = (a, b) un conjunto convexo y abierto de R y sea y = f (z) una función
cóncava en Ω.
a) Sean a z1 z2 z3 b con z2 = λz1 + (1 − λ) z3, 0 λ 1. Como f
es cóncava en Ω, entonces
f (z2) λ f (z1) + (1 − λ) f (z3) .
Por lo tanto,
y2 λy1 + (1 − λ) y3....... (1) .
Como z2 = λz1 + (1 − λ) z3 = λz1 + z3 − λz3. Por lo tanto, λ (z3 − z1) =
z3 − z2. Lo que implica que
λ =
z3 − z2
z3 − z1
y, 1 − λ =
z2 − z1
z3 − z1
....... (2) .
Por último, se reescribe y2 como
y2 = 1 ∗ y2 =
z3 − z1
z3 − z1
y2
=
z3 − z2 + z2 − z1
z3 − z1
y2
=
z3 − z2
z3 − z1
y2 +
z2 − z1
z3 − z1
y2....... (3) .
Por lo tanto, sustituyendo (2) , (3) en (1) se obtiene
z3 − z2
z3 − z1
y2 +
z2 − z1
z3 − z1
y2
z3 − z2
z3 − z1
y1 +
z2 − z1
z3 − z1
y3.
Multiplicando por z3 − z1 0 se tiene
(z3 − z2) y2 + (z2 − z1) y2 (z3 − z2) y1 + (z2 − z1) y3.
Por lo tanto,
(z3 − z2) (y2 − y1) (z2 − z1) (y3 − y2) .

37. 31
Como z3 − z2 0 y z2 − z1 0, entonces
(y2 − y1)
(z2 − z1)
(y3 − y2)
(z3 − z2)
. Por lo
tanto
f (z2) − f (z1)
z2 − z1
f (z3) − f (z2)
z3 − z2
....... (4) .
b) Como Ω es convexo y por la densidad de los reales, siempre se pueden
escoger números r, s, t, u tales que a r s x y t u b, para
cada x ∈ (a, b) .
c) Sean a r s x t u b. Podemos aplicar la ecuación (4) en
cada trío de puntos en r s x y t u, obteniendo
f (s) − f (r)
s − r
f (x) − f (s)
x − s
f (y) − f (x)
y − x
f (t) − f (y)
t − y
f (u) − f (t)
u − t
....... (5) ,
con s, r, u y t fijos. Así, se definen las constantes c1 y c2 como:
c1 =
f (s) − f (r)
s − r
, c2 =
f (u) − f (t)
u − t
....... (6) .
De (5) y (6) se obtiene
c1
f (y) − f (x)
y − x
c2....... (7) .
d) Por último, como y − x 0 entonces lim
y→x+
c1 (y − x) f (y) − f (x)
c2 (y − x) . Por lo tanto,
lim
y→x+
[c1 (y − x)] lim
y→x+
[ f (y) − f (x)] lim
y→x+
[c2 (y − x)] .
Como
lim
y→x+
[c1 (y − x)] = lim
y→x+
[c2 (y − x)] = 0,
entonces
lim
y→x+
[ f (y) − f (x)] = 0.
Por lo tanto,
lim
y→x+
f (y) = f (x) .
Procediendo de modo similar, pero ahora con y x se tiene que
lim
y→x−
f (y) = f (x) .
Por lo tanto,
lim
y→x
f (y) = f (x) .
Es decir, f es continua en x. Por lo tanto, f es continua en Ω = (a, b) .

38. 32
9.14 Sea x ∈ X y sea y ∈ X un punto en la vecindad de x. Por lo tanto,
f (y) ∼
= f (x) + (y − x)T
∇ f +
1
2
(y − x)T
[H f (x)] (y − x) ,
donde H f (x) es el hessiano de f evaluado en x.
a) Sabemos que f es cóncava si y sólo si f (y) f (x) + (y − x)T
∇ f. Por lo
tanto,
f (x) + (y − x)T
∇ f +
1
2
(y − x)T
[H f (x)] (y − x) f (x) + (y − x)T
∇ f.
Entonces
(y − x)T
[H f (x)] (y − x) 0.
Por lo tanto, H f (x) es negativo semidefinido.
b) Sabemos que f es convexa si y sólo si f (y) f (x) + (y − x)T
∇ f. Así,
procediendo análogamente al inciso anterior, se tiene:
(y − x)T
[H f (x)] (y − x) 0.
Por lo tanto, H f (x) es positivo semidefinido.
c) Suponemos que H f (x) es negativa definida, es decir,
(y − x)T
[H f (x)] (y − x) 0.
Por lo tanto, f (y) f (x) + (y − x)T
∇ f. Por lo tanto, f es estrictamente
cóncava.
d) Suponemos que la matriz H f (x) es positiva definida, es decir,
(y − x)T
[H f (x)] (y − x) 0.
Por lo tanto, f (y) f (x) + (y − x)T
∇ f. Por lo tanto, f es estrictamente
convexa.
9.15 Sea X ⊂ R y sean f, g : X → R de clase C1. Supongamos que x∗ = (x∗, y∗)
es una solución del problema. Se quiere mostrar que existe λ ∈ R tal que
∇ f (x∗
) = λ∇g (x∗
) , con g (x∗) = 0. Los puntos que satisfacen la restric-
ción están dados por g (x, y) = 0. Supongamos que ∇g = 0, de modo que
gx (x, y) = 0 o gy (x, y) = 0. Sin pérdida de generalidad supongamos que
gy (x, y) = 0. Por el teorema de la función implícita, la ecuación g (x, y) = 0

39. 33
define a y como función implícita diferenciable de x, es decir, y = y (x) si
gy (x, y) = 0. En ese caso,
dy
dx
= −
gx
gy
, gy = 0.
Por lo tanto, y = y (x) en f (x, y) , el problema de optimización se reduce al
siguiente problema de optimización en 1 variable:
max F (x) ≡ f (x, y (x)) .
Entonces,
dF (x)
dx
= f ∗
x + f ∗
y
dy
dx
∗
= 0.
Lo que implica
f ∗
x + f ∗
y
−
gx
gy
∗
= 0.
De donde f ∗
x g∗
y − f ∗
y g∗
x = 0. Por lo tanto,
)
)
)
)
)
f ∗
x f ∗
y
g∗
x g∗
y
)
)
)
)
)
= 0,
donde los renglones de este determinante son linealmente dependientes. Por
lo tanto, existe λ ∈ R− {0} tal que
f ∗
x , f ∗
y
= λ
g∗
x, g∗
y
, o sea, ∇ f ∗
= λ∇g∗
,
con g (x∗, y∗) = 0.
9.16 Como f : Rn
++ → R es una función de producción homogénea, continua y
cuasicóncava, entonces CSf (q) es convexo. Además, sea x∗
(w, q) una solu-
ción al problema, por lo tanto, el costo mínimo C (w, q) está dado por
C (w, q) = w · x∗
(w, q) .
Por lo tanto, por el teorema de la envolvente, se obtiene el lema de Shepard:
∂C
∂wj
= x∗
j (w, q) ,
para j = 1, . . . , n.
a) Se quiere demostrar que C es una función creciente de wj, j = 1, . . . , n.
Como x ∈ R2
++, entonces xj 0 y como
∂C
∂wj
= x∗
j (w, q) , entonces
∂C
∂wj
0. Por lo tanto, C es creciente con respecto a wj, para j = 1, . . . , n.

40. 34
b) Se quiere demostrar que C es homogénea de grado 1 en w. Para ello,
utilizamos el teorema de Euler. Sea C = C (w, q) , entonces
w1
∂C
∂w1
+ w2
∂C
∂w2
+ · · · + wn
∂C
∂wn
=
n
∑
j=1
wj
∂C
∂wj
=
n
∑
j=1
wjx∗
j (w, q)
= C (w, q) .
Por lo tanto, w · ∇wC (w, q) = (1) C (w, q) . Por lo tanto, C es homogénea
de grado 1.
c) Se quiere demostrar que C es cóncava en w, es decir, que ∀λ ∈ (0, 1) se
cumple
C (λw1 + (1 − λ) w2, q) λC (w1, q) + (1 − λ) C (w2, q) .
Se tiene que
C (λw1 + (1 − λ) w2, q) = (λw1 + (1 − λ) w2, q) · X∗
(λw1 + (1 − λ) w2, q)
= λ [w1 · X∗
(λw1 + (1 − λ) w2, q)]
+ (1 − λ) [w2 · X∗
(λw1 + (1 − λ) w2, q)]
λ [w1 · X∗
(w1, q)] + (1 − λ) [w2 · X∗
(w2, q)]
= λC (w1, q) + (1 − λ) C (w2, q) .
Por lo tanto, C es cóncava en w.
9.17 a) f se optimiza en x = 16000 y y = 64000. Por lo tanto, se tiene que fmax =
50 (16000)
1
2 (64000)2
.
b) Sea d2
(x, y) =
x2 + y2, entonces d2 (x, y) se minimiza en los puntos
P1 =
√
1.1
√
1.1
y P1 =
−
√
1.1
−
√
1.1
. Además dmin =
√
2.2.
c) Sea f (x, y) = ln x + ln (y + 5) = ln [x (y + 5)] . Entonces fmax ocurre en
(x, y) = (0, 4) con fmax = f (4, 0) = ln 20.
d) Sea f (x, y) = x2
+ y2
. Entonces fmin ocurre en (x, y) = (5, 5) con fmin =
f (5, 5) = 50.
e) Sea f (x, y, z) = xyz. Entonces fmax ocurre en x = 4
3 , y = 4
3 y z = 4
3, con
fmax =
64
27
.

41. 35
9.18 a) Las condiciones de Kuhn-Tucker están dadas por:
Lx =
1
3x
− 3λ1 − λ2 = 0,
Ly =
1
3y
− λ1 − λ2 = 0,
Lλ1
= A − (3x + y) 0, λ1 0, λ1 (3x + y − A) = 0,
Lλ2
= 40 − (x + y) 0, λ2 0, λ2 (x + y − 40) = 0.
El ingreso se tiene que restringir al intervalo (40, 120) porque si A 40
entonces la primera restricción del problema será inútil. De la misma
manera si A 120, entonces la segunda restricción del problema será
inútil.
i) Si A ∈ (40, 60) , entonces sólo la primera restricción está activa (λ1
0, λ2 = 0) y la solución del problema es x∗
=
A
6
, y∗
=
A
2
.
ii) Si A ∈ [60, 80] , entonces ambas restricciones están activas (λ1 0,
λ2 0) y la solución del problema es x∗
=
A − 40
2
, y∗
=
120 − A
2
.
iii) Si A ∈ (80, 120) , entonces sólo la segunda restricción está activa
(λ1 = 0, λ2 0) y la solución del problema es x∗ = 20, y∗ = 20.
9.19 Sea
L (x, q, λ; w, p) =
pq − wT
x
− λ [ f (x) − q] .
Entonces por las condiciones de primer orden, se tiene que la solución es del
tipo
x∗
= x∗
(w, p) ,
q∗
= q∗
(w, p) = f (x∗
(w, p)) ,
λ∗
= λ∗
(w, p) .
La función de máxima ganancia es
Π (w, p) = L (x∗
, q∗
, λ∗
; w, p) = pq∗
(w, p) − wT
x∗
(w, p) − λ∗
0.
Entonces por el teorema de la envolvente:
∂Π
∂wj
=
∂L
∂wj
= −x∗
j (w, p) , j = 1, ...n.
∂Π
∂p
=
∂L
∂p
= q∗
(w, p) .

42. 36
9.20 Se tiene que
L
x, λ; p, Ū
= px − λ
'
U (x) − Ū
(
.
Por las condiciones de primer orden se tiene que
xh
= xh
p, Ū
,
λh
= λh
p, Ū
.
La función de gasto es
E
p, Ū
= L
xh
, λh
; p, Ū
= pxh
p, Ū
− λ ∗ 0.
Por lo tanto, por el teorema de la envolvente
∂E
∂pj
=
∂L
∂pj
= xh
j
p, Ū
,
para j = 1, . . . , n.
9.21 a) El problema
min pTx
s.a U (x) = V (p, m)
,
implica que
L (x; p, V (p, m)) = pT
x − λ [U (x) − V (p, m)] .
Por lo tanto,
xh
= xh
(p, V (p, m)) .
En el óptimo se cumple la restricción, es decir:
U
xh
(p, V (p, m))
= V (p, m) = U (x∗
(p, m)) .
Supongamos que U es monótona creciente, además de cóncava, enton-
ces existe U−1 y es posible cancelar U de ambas expresiones. Por lo
tanto,
xh
(p, V (p, m)) = x∗
(p, m) .
b) El problema
max U (x)
s.a pTx = E
p, Ū
,
implica que
L
x; p, E
p, Ū
= U (x) − λ
pT
x − E
p, Ū
.

43. 37
Por lo tanto,
x∗
= x∗
p, E
p, Ū
.
En el óptimo se cumple la restricción, es decir:
pT
x∗
p, E
p, Ū
= E
p, Ū
= pT
xh
p, Ū
.
Como esto vale para p arbitraria, entonces
x∗
p, E
p, Ū
= xh
p, Ū
.
c) Por el inciso anterior y porque se cumple la restricción de Hicks se tiene
que
V
p, E
p, Ū
= U
x∗
p, E
p, Ū
= U
xh
p, Ū
= Ū.
d) Por el inciso a) y porque se cumple la restricción de Marshall se tiene
que
E (p, V (p, m)) = pT
xh
(p, V (p, m)) = pT
x∗
(p, m) = m.
9.22 a) x∗
(p, m) =
αm
p1
, y∗
(p, m) =
βm
p2
.
b) V (p, m) = ln
α
p1
α
β
p2
β
m

44. .
c) E
p, Ū
=
p1
α
α
p2
β
β
eŪ
.
d) xh
p, Ū
=
αp2
βp1
β
eŪ
, yh
p, Ū
=
βp1
αp2
α
eŪ
.
9.23 a) x∗
(p, m) = m
p
1
r−1
1
p
r
r−1
1 + p
r
r−1
2
, y y∗
(p, m) = m
p
1
r−1
2
p
r
r−1
1 + p
r
r−1
2
.
b) V (p, m) = m
p
r
r−1
1 + p
r
r−1
2
1−r
r
.
c) E
p, Ū
= Ū
p
r
r−1
1 + p
r
r−1
2
r−1
r
.
d) xh
p, Ū
= Ūp
1
r−1
1
p
r
r−1
1 + p
r
r−1
2
− 1
r
, y
yh
p, Ū
= Ūp
1
r−1
2
p
r
r−1
1 + p
r
r−1
2
− 1
r
.

45. 38
9.24 Se tiene x∗
p, E
p, Ū
= xh
p, Ū
. Entonces
∂x∗
i
∂pj
p, E
p, Ū
+
∂x∗
i
∂m
p, E
p, Ū
∂E
p, Ū
∂pj
=
∂xh
i
p, Ū
∂pj
.
Por el Lema de Shepard
∂E
∂pj
= xh
j , y como Ū = V (p, m) , m = E
p, Ū
y
xh
j (p, V (p, m)) = x∗
j (p, m) . Por lo tanto
∂x∗
i (p, m)
∂pj
+ x∗
j (p, m)
∂x∗
i (p, m)
∂m
=
∂xh
i (p, V (p, m))
∂pj
.