Macro ii ejercicios-resueltos

205
MACROECONOMÍA: ENFOQUES Y MODELOS
NUEVOS EJERCICIOS RESUELTOS
Capítulo 8
Félix Jiménez, Gisella Chiang
y Erick Lahura
Octubre, 2001
DOCUMENTO DE TRABAJO 205
http://www.pucp.edu.pe/economia/pdf/DDD205.pdf

2
Capítulo 8
Félix Jiménez
Gisella Chiang
Erick Lahura
RESUMEN
El keynesiansimo, el monetarismo y la nueva macroeoconomía “clásica”
constituyen el contenido de este trabajo. Las discusiones teóricas sobre estas escuelas y
sobre las expectativas se efectúan con diversos ejercicios resueltos. Aquí se explican los
distintos métodos de solución de modelos con expectativas racionales. El contenido de
este documento corresponde a la primera parte del curso de Macroeconomía 2 que se dicta
en esta Universidad.
ABSTRACT
Keynesianism, monetarism and new classical macroeconomics are some issues
discussed in this document. It contains several exercises which will permit differentiate
these approach to macroeconomics. It also contains the methods for solving models with
rational expectations. The content of this document belongs to the first part of Macro 2
course and it is oriented to help the teaching and training in macroeconomics in this
university.

3
Félix Jiménez1 2
Gisella Chiang
Erick Lahura
CAPITULO 8
KEYNESIANISMO, MONETARISMO Y NUEVA MACROECONOMÍA CLASICA
INDICE
Preguntas Teóricas.......................................................................................................... 4
Modelo Dinámico de Oferta y Demanda Agregada...........................................................13
Expectativas Adaptativas................................................................................................23
Expectativas Racionales .................................................................................................24
Propiedades del Operador de Expectativas Racionales......................................................25
Modelo Dinámico de Oferta y Demanda Agregadas y la Curva de Phillips.........................27
Dinámica de la Inflación y el Desempleo.........................................................................33
Ecuaciones en Diferencia y Operadores de Rezago...........................................................36
La Crítica de Lucas ........................................................................................................45
Modelo con Información Perfecta de Lucas.....................................................................46
Modelo con Información Imperfecta de Lucas .................................................................49
1
Los ejercicios incluidos en este documento serán incluidos en la segunda edición del Tomo II de
mi libro de Macroeconomía. Los coautores Gisella Chiang y Erick Lahura han trabajado como
asistentes de docencia del curso de Macroeconomía 2 que vengo dictando desde hace ya varios
años en esta Universidad. Ellos han sido mis mejores alumnos. Quiero expresarles mi
reconocimiento por su excelente desempeño como responsables de las prácticas dirigidas y
calificadas de mi curso de Macroeconomía.
2
En la edición y revisión de estos ejercicios participaron Jorge Paz y Martín Tello, asistentes de
docencia de mi curso de Macroeconomía 2. También participaron nuestros alumnos: Luis
Bendezú, César Cancho, Verónica Esquivel, Noelia Marcos, Verónica Montoya, Walter Muñoz,
Jesús Pomajambo, Carlos Romaní y Mario Velásquez. A todos ellos les expresamos nuestro
sincero agradecimiento, por su valiosa colaboración.

4
PREGUNTAS TEÓRICAS
1. En relación a la Curva de Phillips, analice la veracidad de las siguientes afirmaciones:
I) La Curva de Phillips implica que los salarios y los precios se ajustan lentamente
cuando varia la demanda agregada.
Es correcta, pues un desplazamiento de la demanda agregada ocasiona una elevación del nivel de
precios. La subida de los precios genera una caída en el salario real y, por tanto, un exceso de
demanda en el mercado de trabajo )
( S
L
L > .
El mecanismo descrito por la curva de Phillips, implica que los salarios nominales se elevarán para
restaurar el equilibrio en el mercado.
)
( L
L
W S
−
−
= φ
II) En términos de política macroeconomía, la Curva de Phillips implicaba que era
posible conseguir un nivel de desempleo bajo tolerando una tasa de inflación alta.
Es correcto, Friedman acepta que hay una diferencia entra la inflación esperada y la efectiva, la
cual provoca un alejamiento del nivel natural de desempleo. De acuerdo a Friedman, la curva de
Phillips debería presentar una relación entre la tasa de desempleo y la variación de los salarios
reales (no monetarios), además los trabajadores no adolecen de “ilusión monetaria”, pues al
momento de buscar trabajo se fijan en los salarios reales. El trade off entre las tasas de desempleo
e inflación es posible debido a que los trabajadores no conocen con certeza la inflación del
próximo período, por lo que si los trabajadores no observan que los precios están subiendo,
tampoco notaran que sus salarios reales están cayendo.
π
µ
III) Las variables de la demanda agregada que alteran la tasa de desempleo de este
periodo afectan los salarios de los periodos posteriores.
Es correcta, ante desplazamientos de la demanda agregada, los precios aumentan, alejando la tasa
de desempleo de su nivel natural, a favor de una menor tasa de desempleo. Esto ocurrirá solo en el
corto plazo, ya que en el futuro los trabajadores van a darse cuenta (por la explicación anterior)
que los salarios reales han disminuido, por lo que exigirán un aumento en salario nominal, de tal
forma que el salario real regrese al nivel de equilibrio correspondiente a la tasa natural de
desempleo.

5
2. Comente las siguientes afirmaciones:
I) Al considerar la curva de Phillips, el enfoque de expectativas racionales plantea que
para reducir la inflación sin ningún tipo de costo, en términos de recesión, es
necesario anunciar la política de reducción de la inflación antes que la gente forme
sus expectativas.
Las hipótesis de expectativas racionales supone el uso de toda la información necesaria y posible
para evitar errores sistemáticos de predicción. Esto se complementa con la información a la que se
pueda acceder de políticas futuras a aplicar. Si los diseñadores de política sorpresivamente,
deciden aumentar la cantidad de dinero - aprovechándose de la interrelación entre el producto y la
inflación- efectivamente habrá un efecto positivo sobre el producto. Sin embargo, si la política es
anunciada con anticipación, los agentes reformularán sus expectativas y no habrá ningún efecto
sobre el producto.
P
AS
AD’’
AD’
AD
Y
II) Bajo expectativas racionales, si el gobierno trata de explotar las implicancias de la
Curva de Phillips, entonces el trade-off entre inflación y desempleo desaparece.
Es cierto, puede ser que en un inicio el gobierno pueda sacar provecho de esta relación, pero si los
diseñadores de políticas intentan tomar ventaja de ésta, los efectos operantes a través de las
expectativas puede causar que ésta relación colapse.
III) El desempleo estructural o friccional es el desempleo que existe cuando la economía
se encuentra en el nivel de empleo.
Es cierto, según Friedman, cuando el mercado de trabajo se encuentra en equilibrio, es erróneo
creer que no existe desempleo, pues, existe el llamado << desempleo natural o friccional >> cuya
explicación se encuentra en la movilidad existente en el propio mercado de trabajo: en todo
momento se están cerrando empresas y creándose otra nuevas provocando constantes movimientos
de trabajadores y que constituyen desempleados temporales.
IV) De acuerdo a la hipótesis de expectativas racionales, si las políticas de gobierno son
aleatorias, entonces serán efectivas o no neutrales.
Es cierto, si los agentes forman sus expectativas con toda la información disponible y el gobierno
emite políticas aleatorias, es decir, diferentes a las expectativas formuladas por los agente, estas
serán efectivas o no neutrales, pues tienen efectos en el producto y en los precios.

6
3. Sea la curva de Oferta Agregada Dinámica que relaciona precios y producto:
1
−
= t
t p
p ( )
[ ]
Y
Y −
+ λ
1
a) Transforme la ecuación de tal forma que obtenga una relación producto e inflación.
¿Cómo es esta relación?
( )
Y
Y
p
p
p t
t
t −
λ
+
= −
− 1
1
( )
Y
Y
p
p
p t
t
t −
λ
=
− −
− 1
1
( )
Y
Y
p
p
p
t
t
t
−
λ
=
−
−
−
1
1
( )
Y
Y
t −
= λ
π
La tasa de inflación se elevará cuando la producción sea superior al nivel de pleno empleo.
b) Incorpore las expectativas de inflación en la ecuación hallada en la pregunta a)
Introducimos e
π a la inflación como un elemento adicional en el lado de la oferta:
( )
Y
Y
e
t
t −
+
= λ
π
π Curva de Oferta Agregada con expectativas
Ahora tenemos que la inflación depende de las expectativas inflacionarias y del nivel de
producción (o desempleo). Esta ecuación nos muestra que puede coexistir una alta inflación con
altas tasas de desempleo, explicada en expectativas inflacionarias.
c) Incorpore un shock aleatorio a la ecuación hallada en b). Usted es un policy maker y le
piden que evalúe todas las formas de reducir la inflación?
( ) t
s
e
t
t Y
Y ε
+
−
λ
+
π
=
π
La inflación puede reducirse generando políticas que ataquen las expectativas inflacionarias de los
agentes, que eleven la tasa de desempleo o por shocks de oferta, aunque estos últimos no pueden
ser controlado por los diseñadores de política.
d) Sobre la base de esta ecuación, explique el rompimiento de la Curva de Phillips durante
la Crisis del Petróleo (shock de oferta). ¿Se sigue cumpliendo la relación positiva entre
inflación y producto? Argumente.
Como vemos, la inflación depende de la inflación esperada( )
e
π , de la desviación del producto (o
desempleo) de su pleno empleo ( )
Y
Y, y de shocks de oferta ( t
s
ε ). En la crisis del petróleo (74),
la curva de Phillips se rompió porque coexistían altos niveles de inflación y desempleo; en este
caso particular, los precios se incrementaron por el aumento del precio del petróleo, el cual eleva
los costos de producción y a su vez se genera un incremento en la tasa de inflación. Por lo tanto
los precios pueden estar subiendo aunque el desempleo sea elevado, dada una alta l
π .

7
4. “Sólo un cambio no anticipado en la política monetaria puede afectar el producto en el
corto plazo ya que los agentes poseen información imperfecta sobre las variables del
entorno económico”. ¿Qué críticas se podría hacer a esta afirmación basada en el modelo
de las islas de Robert Lucas?
El modelo de las islas de Lucas es criticable debido al supuesto de información imperfecta. En las
economías modernas, la información de alta calidad es proporcionada a los agentes económicos
con rezagos muy pequeños, por lo que no es creíble que los agentes no conozcan el nivel de
precios general de la economía. En periodos distintos a los hiperinflacionarios, los agentes
económicos pueden estimar los movimientos en los precios con considerable certeza y a un costo
muy bajo. Es difícil pensar por tanto; que los productores puedan entrar en confusión con respecto
a si los movimientos en precios son relativos o absolutos.
5. En el modelo de las islas de Robert Lucas (1977), en el equilibrio se obtiene:
t
y = ( )
[ ]
t
t m
E
m
b
b
−
+
1
Explique las implicancias de este resultado en términos de la efectividad de las políticas de
demanda. ¿Existe un trade–off aprovechable entre inflación y producto? ¿Por qué?. Sustente
su respuesta basándose en el parámetro b
m
z
z
V
V
V
b
+








−
γ
=
1
1
De la definición de b extraemos que la autoridad monetaria puede sorprender a los agentes
económicos pero, si lo hace sistemáticamente la varianza de m va a crecer mucho y esto va a
ocasionar una caída en b puesto que; si ∞
→
m
V entonces, 0
→
b .
Por ende no existe un trade-off aprovechable entre inflación y producto en el largo plazo. Aquí la
autoridad monetaria no puede aprovechar relaciones estadísticas ya que en algún momento los
mecanismos que operan por medio de las expectativas originarán el rompimiento de esta relación.
Tenemos que si 0
→
b entonces ( )
[ ] 0
1
→
−
+
= m
E
m
b
b
y
Por otro lado, un incremento no observado en la oferta monetaria incrementa la demanda agregada
(y=m-p), lo cual produce un cambio aparente en la curva de demanda de cada bien. En la medida
que el incremento no es observado, la idea racional de cada productor es que alguna porción del
incremento en la demanda por su producto, está reflejando un shock en su precio relativo por
tanto; el productor incrementa su producción. Pero esta situación no puede ser permanente pues
los agentes se dan cuenta que el aumento en la demanda por su producto se debe al incremento en
la oferta monetaria por lo que ya no va a variar su nivel de producción.

8
6. Sea la siguiente definición de expectativas adaptativas:
e
t
p - e
t
p 1
− = ( )
e
t
t p
p 1
1 −
− −
λ
a) Resuelva el modelo para Pt
e
expresando los precios esperados como un promedio
ponderado del precio esperado y del precio efectivo para t.
a.1) ¿Qué puede decir cuando λ= 0?
a.2) ¿Qué puede decir cuando λ=1?
e
t
t
e
t
e
t p
p
p
p 1
1
1 −
−
− −
=
− λ
λ
( ) e
t
t
e
t p
p
p 1
1 1 −
− −
+
= λ
λ
Si 0
=
λ ⇒ e
t
e
t p
p 1
−
= Los agentes formulan sus expectativas de manera adaptativa MIOPE
esto es, los agentes no corrigen sus expectativas al cambiar de periodo.
Si 1
=
λ ⇒ 1
−
= t
e
t p
p Los agentes generan sus expectativas de manera adaptativa
ESTÁTICA. Los precios esperados son iguales a los precios que se dieron en el
periodo pasado.
b) Resuelva el modelo para Pt
e
en su forma general (Ayuda: que los precios esperados no
dependan de ninguna variable esperada). Interprete su ecuación de precios.
Iterando obtenemos:
( ) i
t
i
i
e
t p
p −
−
∞
=
∑ −
= 1
1
1 λ
λ
En la formulación de las expectativas sobre los precios, los precios esperados dependen
únicamente de los precios pasados, donde los más antiguos obtienen un menor peso que los más
recientes.
7. Suponga el siguiente modelo:
+
= t
t c
y a + t
µ
( )e
d
t y
c
c =
( ) 0
=
µ
E
t
µ ( )
2
,
0 σ
Los agentes pueden formular sus expectativas de la siguiente manera:
Expectativas Racionales: ( ) ( ) ( )
t
e
d
y
E
k
y −
= 1

9
Expectativas Adaptativas: ( ) ( ) 1
1 −
−
= t
e
d
y
k
y
Si asumimos que ( )
( )
[ ]
k
c
a
y
E t
−
−
=
1
1
, ¿con cual de los procesos de formación de expectativas
el impacto de un incremento de la tasa de impuestos (k) sobre la demanda agregada será menor?
¿Por qué?
• Con expectativas adaptativas:
( ) t
t
t a
y
k
c
y µ
+
+
−
= −1
1
Rezagando obtenemos:
( ) t
t
t a
Ly
k
c
y µ
+
+
−
= 1
( ) ( )L
k
c
k
c
a
y t
t
−
−
+
−
−
=
1
1
1
1
µ
( )
( )
[ ] i
t
i
i
t L
k
c
k
c
a
y −
∞
=
∑ −
+
−
−
= µ
0
1
1
1
( )
( )
[ ] i
t
i
i
t
k
c
i
k
c
a
c
dk
dy
−
−
∞
=






−
+
−
−
−
= ∑ µ
1
0
1
1
1
• Con expectativas racionales:
( ) ( ) t
t
t a
y
E
k
c
y µ
+
+
−
= 1
( )
( )
a
k
c
a
k
c
yt +






−
−
−
=
1
1
1
( )
k
c
a
yt
−
−
=
1
1
( )
k
c
ca
dk
dyt
−
−
−
=
1
1
Por lo tanto con expectativas racionales las fluctuaciones son menores en la medida que los
individuos poseen eficientes predicciones sobre el futuro dado que; utilizan toda la información de
la cual disponen de manera óptima.
8. Sea el Modelo de Cagan con expectativas adaptativas y racionales, suponga una
economía en la cual existen dos agentes (i=1,2), cada uno con una demanda de dinero y
una forma de generar sus expectativas. Así, la demanda por dinero de cada agente es
como:
i
t
t
t
e
t
t
t
e
p
p
p
b
c
p
M
+







 −
−
= +1
; ,
0
f
c 0
f
b , i=1,2

10
Donde: Mt es la cantidad nominal de dinero
Pt es el nivel de precios
e
t
p 1
+ es la expectativa del nivel de precios en t+1 que se formula el agente 1 en el
periodo t
2
1
e
t
p + es la expectativa del nivel de precios en t+1 que se formula el agente 2 en el
periodo t
Además, suponga que los policy makers piensan que la oferta monetaria debe fijarse según el nivel
de precios esperado por los agentes. Así:
t
t p
M 1
0 δ
δ −
=
( ) 2
1
1 t
t
t p
p
p φ
φ −
+
=
a) Convierta la función de demanda de dinero en una ecuación de precios.
Reordenando la expresión para que sea una ecuación de precios:
i
t
e
t
t
i
t e
p
b
c
b
M
b
c
p +
+
+
+
= +1
1
Para el agente 1 (expectativas racionales)
[ ] 1
1
1 1
t
t
t
t
t e
p
E
b
c
b
M
b
c
p +
+
+
+
= + .....(1)
Adelantamos un periodo y tomamos esperanzas:
[ ] [ ] [ ]
2
1
1
1
+
+
+
+
+
+
= t
t
t
t
t
t p
E
b
c
b
M
E
b
c
p
E
Repetimos esta operación T veces y nos queda después de reemplazar en (1):
[ ] [ ] 1
1
1
0
1 1
t
T
t
t
T
i
t
t
i
T
i
t e
p
E
b
c
b
M
E
b
c
b
b
c
p +






+
+






+
+
= +
+
+
+
=
∑ ....(2)
Para el agente 2 ( expectativas adaptativas estáticas)
( ) 2
2 1
t
t
t
t e
p
b
c
b
M
b
c
p +
+
+
+
=
2
2 1
t
t
t e
M
c
p +
= ....(3)

11
b) ¿Cuál será la cantidad óptima de dinero que debe proveerse?
La cantidad óptima de dinero es:
( )
[ ]
2
1
1
0 1 t
t
t p
p
M φ
φ
δ
δ −
+
−
= .........(4)
Reemplazando (2) y (3) en (4):
[ ] [ ] ( ) t
t
T
i
T
t
t
T
i
t
t
i
t M
c
p
E
b
c
b
M
E
b
c
b
b
c
M µ
+














φ
−
+














+
+






+
+
φ
δ
−
δ
= ∑
=
+
+
+
+
1
1
1
0
1
1
1
0
donde ( )
( )
1
2
1
1 1 δ
φ
φ
δ
µ t
t
t e
−
+
−
= l
llamamos [ ]
1
1
+
+
+






+
= T
t
t
T
p
E
b
c
b
α
separando el primer termino de la sumatoria:
[ ] ( ) t
t
i
t
t
i
T
i
t
t M
c
M
E
b
c
b
b
c
M
b
c
M µ
φ
δ
φα
δ
φ
δ
φ
δ
δ +
−
−
−






+
+
−
+
−
= +
=
∑ 1
1
1 1
1
1
1
1
0
despejando t
M :
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
[ ] ...
1
1 1
1
1
1
0
1
1
−






+
−
+
+
+
+
−
−
+
+
+
+
+
= +
=
∑ i
t
t
i
T
i
t M
E
b
c
b
b
c
c
b
c
c
c
b
c
c
b
c
c
b
c
c
M
φ
δ
φ
δ
φ
δ
δ
φ
δ
φ
δ
...
( )
( ) ( )( ) t
V
b
c
c
b
c
c
b
c
c
+
−
+
+
+
+
+
α
φ
δ
φ
δ
φ
δ
1
1
1
1
; donde t
V es el error aleatorio.
c) Suponga que el agente 1 formula sus expectativas de manera racional y el agente 2 de
manera adaptativa estática. Halle la cantidad de dinero óptima.
Si ambos tipos de agentes formulan sus expectativas de manera racionales ( 1
=
φ ), la cantidad
óptima de dinero sería:
( )
( ) ( )
[ ] ( )
( ) t
i
t
t
i
T
i
t V
c
b
c
c
b
c
c
M
E
b
c
b
c
b
c
c
c
c
b
c
c
b
c
c
M +
+
+
+
−






+
+
+
−
+
+
+
= +
=
∑ α
δ
δ
δ
δ
δ
δ 1
1
1
1
1
0
1

12
d) Compare la cantidad de dinero hallada en a) con la cantidad hallada en b) y evalúe las
conclusiones que se pueden derivar de este análisis.
Analizando solo los numeradores de los coeficientes de los términos:
Como se sabe, ] [
1
,
0
∈
φ entonces se puede afirmar que el segundo y tercer término de la cantidad
de dinero óptima hallada en b) son mayores que el segundo y tercer termino de la cantidad de
dinero óptima hallada en a) , pues los numeradores han aumentado.
Analizando los denominadores de los términos se puede concluir que:
( ) ( )( ) ( ) 1
1
1 1 δ
φ
δ
φ
δ c
b
c
c
b
c
c
b
c
c +
+
−
+
+
+
+ f
( ) ( ) ( ) ( ) 1
1
1
1 1
1 δ
φ
δ
φ
δ
φ
δ c
b
c
c
b
c
c
b
c
c +
+
−
+
−
+
+
+ f
( ) ( ) ( ) 1
1
1 1 δ
φ
δ
δ c
b
c
c
b
c
b
c
c +
+
−
+
+
+ f ( )
0
, 1 f
δ
b
Es decir los términos de la b) son mayores que los de la a) pues los denominadores han caído. Por
lo tanto la cantidad de dinero en a) es menor que en b). Se puede concluir, que la oferta monetaria
será fijada en un monto menor en a) que en b) porque cuando existen expectativas adaptativas en
parte de los agentes; los ajustes en las expectativas ante subidas en el nivel de precios son menores
y más lentos que cuando todos tienen expectativas racionales. Esto es porque con expectativas
adaptativas existen errores sistemáticos.
Dicho de otra manera, al existir dos tipos de agentes, cada cual con una racionalidad distinta, la
autoridad monetaria debe ser capaz de percatarse de esta distinción en la población.; pero si de lo
que se trata es de homogeneizar creyendo que existe un solo tipo de agente, la política monetaria
va a manifestar una actitud mas bien restrictiva lo cual; podría causar efectos negativos en la
economía.

13
MODELO DINÁMICO DE OFERTA Y DEMANDA AGREGADA
Dado el modelo de oferta y demanda agregada tradicional representado por las siguientes
ecuaciones estructurales:
OA
Y
Y
Y
H
P
P
DA
LM
i
y
L
P
M
IS
r
y
I
I
y
C
C
G
I
C
Y
→
Π
+
−
=









=







=
=
+
+
=
•
−
+
+
+
]
/
)
[(
/
)
5
(
)
(
)
,
(
/
)
4
(
)
(
)
,
(
)
3
(
)
(
)
2
(
)
1
(
Donde: Y es el ingreso real, C, el consumo real, I, la inversión real, G, el gasto público, M/P es la
oferta real de dinero, L la demanda real de dinero y Π = inflación esperada
Supuestos:
0
'
H
0
L
0
L
1
C
O
0
I
0
I
,
C
i
y
y
r
y
y >
<
>
<
<
<
>
a. ¿Cómo cambia el modelo cuando 0
=
Π ?
Asumiendo que la 0
=
Π , la ecuación (5) se convierte en:
]
/
)
[(
/ Y
Y
Y
H
P
P −
=
•
Además, conociendo la ecuación de Fischer, e
r
i π
+
= , y asumiendo previsión perfecta,
es decir que la inflación esperada es igual a la inflación efectiva (en este caso igual a cero),
tenemos que, i
r = , la tasa de interés nominal y real son iguales, por lo que podemos
expresar nuestro modelo en función de la tasa de interés real o nominal indistintamente.

14
b. Bajo que supuestos sobre H' llegamos al modelo neoclásico y al keynesiano
Neoclásico
OA
A B
P
C
DA
DA
4
3
4
2
1
∞
→
'
H
Keynesiano Extremo
y
OA
'
DA
DA
0
'
H →
En el enfoque neoclásico, la Oferta Agregada (OA) esta dada. Ante un aumento de la Demanda
Agregada (DA), se genera INFLACION. En el caso Keynesiano extremo, el aumento en la
demanda agregada, aumentará el producto y no genera ningún movimiento en precios.
c. ¿Cuáles son las variables endógenas y variables exógenas del modelo en el Corto
Plazo (CP) y Largo Plazo (LP)?
Las variables endógenas y exógenas no son las mismas en el CP y LP porque a CP somos
keynesianos (P rígidos, dados), y a LP somos clásicos (flexibles de P)
CP: V.Endógenas:
•
P
r
I
C
Y ,
,
,
,
V.Exógenas: Y
M
P
G ,
,
,
LP: V.Endógenas: P
r
I
C
Y ,
,
,
,
V.Exógenas: Y
M
G ,
,
d. Diferencie totalmente el modelo
i. dG
dI
dC
dY +
+
=
ii. dY
C
dC Y
=
iii. Irdr
Iydy
dI +
=
iv. Lrdr
LydY
dP
P
M
P
dM
P
MdP
PdM
P
M
d +
=
−
=
−
=






2
2
v. dY
Y
H
dP
P
P
P
P
d
P
dP
p
P
Pd
P
P
d 





=
−
=
−
=









 •
•
•
•
1
'
2
2
&

15
§ Derivamos la curva IS, reemplazando ii), iii), en i) y la ordenamos en exceso de
demanda:
dG
Irdr
IydY
CydY
dY +
+
+
=
dG
Irdr
dY
Iy
Cy
IS +
+
−
−
−
= )
1
(
0
)
(
§ Ordenando el mercado de dinero en exceso de demanda:
dr
Lr
dY
Ly
dP
P
M
P
dM
LM +
+
+
−
= 2
0
)
(
§ La ecuación v) es la Curva de Phillips que no es más que una curva de oferta agregada.
dP
P
P
P
d
P
dY
Y
H
OA 2
1
1
'
0
)
(
•
•
+
−






=
e. Ordene matricialmente el modelo en el CP. ¿Se puede decir que el modelo es
recursivo en bloques?




















−
−
−
=


























−








−
−
−
•
dP
dM
dG
P
p
P
M
P
P
d
dr
dY
P
y
H
Li
Ly
Ir
Iy
Cy
2
2
/
0
0
/
/
1
0
0
0
1
1
0
1
'
0
0
)
1
(
&
El sistema es recursivo en bloques; es decir el sistema se va retroalimentando en bloques,
en el sentido que las dos primeras ecuaciones pueden resolverse por si mismas, sin
necesidad de la tercera ecuación de la oferta agregada.


















−
−
=















 −
−
−
dP
dM
dG
p
M
p
dr
dY
Li
Ly
Ir
Iy
Cy
A
2
/
/
1
0
0
0
1
1
(
4
4
4 3
4
4
4 2
1
El determinante de esta matriz es distinto de cero, por lo que tiene inversa.
}
0
)
1
( >
−
−
−
−
=
+
+
−
+
8
7
6
4
4
4 8
4
4
4 7
6
4
4 8
4
4 7
6
Ly
Ir
Li
Iy
Cy
A

16
f. Encuentre los multiplicadores de Corto Plazo
Los multiplicadores nos muestran el efecto de una variable exógena como G, M, P sobre
las endógenas (Y, r)


















−
−







 −
−
−
=








−
dP
dM
dG
p
M
P
Li
Ly
Ir
Iy
Cy
dr
dY
2
1
/
/
1
0
0
0
1
)
1
(


















−
−








−
−
−
−
−
=
dP
dM
dG
p
M
P
Iy
Cy
Ly
Ir
Li
A 2
/
/
1
0
0
0
1
)
1
(
1






















−
−
+
−
−
−
−
−
=
dP
dM
dG
Iy
Cy
p
M
p
M
Ir
Iy
Cy
p
Ly
p
Ir
Li
A )
1
(
)
1
(
1
/
1
2
2


















+
−
+
−
+
+
=








dP
dM
dG
A
dr
dY
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
g. Analice la estabilidad o convergencia al equilibrio
§ Para que el modelo sea estable se tiene que cumplir la siguiente condición:
0
<
•
dP
P
d
§ Se asume que Y
Y = se alcanza en el largo plazo (en el equilibrio
§ Vamos a analizar la ecuación dinámica
dY
y
H
dP
P
P
P
d
P 







=
−
•
•
1
'
1
2
→
=
=
= +
+ n
t
t
t P
P
P
dP 1
0 en el LP las variables están en equilibrio.
dY
y
H
P
d
p 







=
• '
1
Y
PH
dY
P
d '
=
•
(1)

17
§ Del modelo de CP tenemos:
Ly
Ir
Li
Iy
Cy
P
M
Ir
dP
dY
+
−
−
−
=
)
1
[(
/ 2
(2)
§ De (1) dY
Y
PH
P
d 





=
• '
(1')
§ De (2) dP
Ly
Ir
Li
Iy
Cy
P
M
Ir
dY
+
−
−
−
=
)
1
[(
/ 2
(2')
§ De (1') y (2')
dP
Ly
Ir
Li
Iy
Cy
P
M
Ir
Y
PH
P
d
+
−
−






−
=
/
•
)
1
[(
/
' 2
{
0
)
1
(
1
'
)
(
)
(
)
(
<
=














+
−
−
−
=
−
+
−
−
+
−
•
θ
4
4
4
4 3
4
4
4
4 2
1
Ly
Ir
Iy
Cy
Li
y
p
M
Jr
H
dP
P
d
0
<
•
dP
P
d
h. Demuestre la estabilidad gráficamente.
Tenemos que la convergencia implica 0
<
•
dP
P
d
0
<
•
dP
P
d
↔ 0
)
1
( <
+
−
−
+
−
−
+
Ly
Ir
Li
Iy
Cy
48
47
6
La condición de estabilidad se puede reducir a analizar )
1
( Iy
Cy −
− > 0
Entonces, podemos demostrar gráficamente la convergencia de dos formas: a través de las
pendientes de las curvas de Oferta y Demanda Agregadas y a través de las pendientes de
las curvas IS y LM.

18
• Análisis de estabilidad a través de las curvas de Demanda y Oferta Agregada








+
−
−
−
=
y
r
i
y
y
r
L
I
L
I
c
P
M
I
dP
dY
)
1
(
2
2
)
1
(
P
M
I
L
I
L
I
C
dY
dP
r
y
r
i
y
y





 −
−
−
−
=
Si (1-cy-Iy)Li+IrLy>0 Si (1-cy-Iy)Li+IrLy<0
Y
P
OA
Y
Y<
DA
A
B
Y
P
OA
A
B
Y
Y<
Ψ
Y
Y<
E
DA
0
)
(
)
(
>
−
+
−
=
dY
dP
DA pendiente + 0
)
(
)
(
<
−
−
−
=
dY
dP
DA pendiente -
Para analizar la estabilidad, asumimos
que estamos en un punto fuera del
equilibrio (B por ej.). B es un punto de
exceso de demanda por lo que los precios
se elevarán con el fin de mantener el
equilibrio en el mercado de bienes
En A, ante el exceso de demanda los precios
se elevaran para mantener el equilibrio en el
mercado de bienes.
Análogamente, en B, ante el exceso de oferta,
los precios ser reducirán para mantener el
equilibrio en el mercado de bienes
• Análisis de estabilidad a través de las curvas IS y LM
(IS): 0
1
<
>
−
−
−
=
r
r
y
I
I
c
dY
dr
(LM): 0
>
−
=
i
y
L
L
dY
dr
Asumiendo:
IS
LM dYy
dr
dY
dr
>

19
r
y
y
i
y
I
I
c
1
L
L −
−
>
−
)
I
-
c
-
(1
L
I
L
- y
y
i
r
y
>
0 > Li (1-cy-Iy) + Ly Ir
Casos en los que el modelo es estable:
Si la pendiente de la curva LM es mayor que la pendiente de la curva IS (condición necesaria y
suficiente para la estabilidad), se cumple la estabilidad del modelo.
A
B
r
'
LM
LM
IS
y
d
y
y <
A
B
r
'
LM
LM
IS
y
d
y
y <
B
a
llegar
hasta
LM
P
M
P
dda
exc
Yd
Y
↓
↓→






↑
→↑
→
<
B
a
llegar
hasta
LM
P
M
P
dda
exc
Yd
Y
↓
↓→






↑
→↑
→
<
Caso en los que el modelo es inestable: cuando la pendiente de la curva LM es menor que la
pendiente de la curva IS.
A
B
r LM
IS
y
d
y
y <

20
En este caso,
IS
LM dY
dr
dY
dr
<
y no se cumple la estabilidad
i. Ordene matricialmente el modelo en el Largo Plazo y halle los multiplicadores
V.Endógenas : Y, r, P, C, I
V.Exógenas: G, M, Y
(IS) dG
dr
I
dY
I
c r
y
y −
=
+
−
−
− )
1
(
(LM)
P
dM
dP
P
M
di
L
dY
L i
y =
+
+ 2
(OA)
•
=
+








′ P
d
P
dP
P
p
dY
y
H
1
1
2
&
En el largo plazo, el producto es igual al producto de pleno empleo Y por lo que la variación del
mismo será igual a cero: Y
d
dY = = 0 =
•
P
d
Dado que el Sistema era recursivo, solo utilizaremos las dos primeras ecuaciones (IS y LM)
dG
dr
Ir −
=
P
dM
dP
P
M
di
Li =
+ 2








i
r
L
P
M
I
2
0








dr
dP
=







−
p
1
0
0
1








dM
dG
Multiplicadores de largo plazo:








dr
dP
=
2
1
P
M
Ir
−








−
− P
I
L
P
M
r
i /
0
2








dM
dG








dr
dP
=











−
M
P
M
I
P
L
I
r
i
r
2
0
1








dM
dG

21
j. ¿Se cumple la Teoría Monetarista de la inflación en el LP?
La teoría monetarista de la inflación nos dice que la inflación se genera por cambios en la
cantidad de dinero.
PQ
Mv =
→
+
=
+
Q
dQ
P
dP
v
dv
M
dM
P
dP
M
dM
=
La teoría cuantitativa nos dice que la velocidad es constante y como la producción está
dada, es decir estamos en una situación de pleno empleo, todo incremento en la cantidad
de dinero se traducirá en cambios en precios.
Analizando los multiplicadores de LP:
→
=
M
P
dM
dP
M
dM
p
dP
=
∴ Si se cumple la teoría monetarista de la inflación.
k. Asuma que el BCR decide controlar la tasa de interés y no la cantidad de dinero.
Presente matricialmente el modelo CP.
(IS) dr
I
dG
dY
I
c r
y
y −
−
=
−
−
− )
1
(
(LM) dP
P
M
di
L
P
dM
dY
L i
y 2
−
−
=
−
(OA) dP
P
p
P
d
P
dY
y
H 2
1
1 &
−
=
−








′
•














−
′
−
−
−
−
P
y
H
P
L
I
c
y
y
y
1
0
0
1
0
0
)
1
(










dP
dM
dY
=














−
−
−
−
−
2
2
i
r
P
p
0
0
P
M
L
0
0
I
1
& 









dP
dr
dG
Como el sistema es recursivo, tomamos solo las dos primeras ecuaciones:


















−
−
−
=
















−
−
−
−
d
dr
dG
P
M
L
I
dM
dY
P
L
I
c
i
r
y
y
y
2
0
0
1
1
0
)
1
(

22


















−
−
−








−
−
−
−
−
=








dP
dr
dG
P
M
L
I
I
c
L
P
I
A
dM
dY
i
r
y
y
y
2
0
0
1
)
1
(
0
|
|
1
























−
−
−
−
+
+
−
−
=








dP
dr
dG
P
I
c
M
I
c
Li
IrLy
Ly
P
Ir
P
P
I
c
dM
dY y
y
y
y
y
y
2
)
1
(
)
1
(
0
1
)
1
(
1
























+
−
−
−
−
−
−
−
−
=








dP
dr
dG
P
M
S
L
L
I
I
c
P
L
I
c
P
I
c
I
I
c
dM
dY
i
y
r
y
y
y
y
y
y
y
r
y
y
)
(
)
1
(
)
1
(
0
)
1
(
)
1
(
1

23
EXPECTATIVAS ADAPTATIVAS
Explique el concepto de Expectativas Adaptativas
Cuando los agentes formulan sus expectativas de manera adaptativa, toman en cuenta solamente
los valores pasados de la variable esperada. En particular, las expectativas para los precios en el
periodo t, son un promedio ponderado entre los precios que efectivamente se dieron en t-1 y los
precios esperados en t-1.
)
P
-
(P
)
-
(1
P
-
P
e
1
-
t
1
-
t
e
1
-
t
e
t
λ
=
donde Pt
e
: nivel esperado de precios para el periodo t
Pt-1
e
: nivel esperado de precios para el periodo t – 1
Pt-1: nivel de precios efectivos para el periodo t – 1
)
1
( λ
− : velocidad de adaptación de las expectativas
Alternativamente, podemos expresar el nivel de precios esperado en t como: )
P
-
(P
e
1
-
t
1
-
t , el
precio que fue esperado en t-1, más una proporción del error de predicción que se cometió en el
pasado
)
P
-
(P
)
-
(1
P
P
e
1
-
t
1
-
t
e
1
-
t
e
t λ
+
=
o como:
Pt
e
= Pt-1
e
+ (1-λ) (Pt-1- Pt-1
e
)
Pt
e
= Pt-1
e
+ Pt-1 – Pt-1
e
- λPt-1 + λ Pt-1
e
)
P
P
)
-
(1
P
e
1
-
t
1
-
t
e
t
λ
+
λ
=
Esta última ecuación nos muestra que los precios esperados son iguales a un promedio ponderado
entre los precios que efectivamente se dieron ayer y los precios esperados de ayer.
1
t
e
t
P
P
:
0 −
=
=
λ Los precios son iguales a los que se dieron efectivamente
ayer. A esto se les llama EXPECTATIVAS ESTATICAS
e
1
t
e
t
P
P
:
1 −
=
=
λ Los precios esperados son iguales a los precios esperados
de ayer. Las EXPECTATIVAS NO SE CORRIGEN
NUNCA, es una caso de MIOPIA.
Una forma más general de presentar las expectativas adaptativas es:
Pt
e
= (1- λ) ∑
∞
=0
i
λi
Pt-i-1 = (1-λ) (Pt-1+λPt-1 + λ 2
Pt-2+ K )
Los precios esperados de hoy son una suma ponderada de los precios del pasado, donde los precios
más antiguos tendrán una menor ponderación o peso, por lo que serán de menor importancia en la
determinación de los precios esperados de hoy.
Pt
e
= (1- λ ) Pt-1 + λ P t-1
e

24
EXPECTATIVAS RACIONALES
1. Defina brevemente el supuesto de expectativas racionales
El supuesto de expectativas racionales implica que los agentes formulan sus expectativas sobre
una variable determinada tomando en cuenta toda la información disponible para ellos hasta el
período t. A diferencia de las expectativas adaptativas, los agentes toman en cuenta no sólo
valores pasados de la variable que se quiere predecir; si no también de otras que afectan a esta
variable.
Matemáticamente: [ ]
t
t
e
t E Ω
Π
=
Π +
+ |
1
1
Alternativamente, podemos expresar las expectativas sobre una variable como:
[ ]
1
1 +
+ Π
=
Π t
t
e
t E
De esta forma, bajo expectativas racionales se supone que se conoce:
§ El modelo de comportamiento, es decir se conocen todas las variables que explican la variable
que se espera.
§ Tanto los valores pasados como las variables que afectarán a mi variable esperada.
§ Las decisiones de política son conocidas
2. Responda y comente la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.
a. Un agente que realiza sus expectativas racionalmente nunca puede cometer errores en su
predicción.
Falso. En promedio, los agentes no se equivocan; pero en algún momento podrían hacerlo.
Los agentes quieren hacer su mejor predicción, por lo que si se equivocaron una vez, en el
siguiente período incorporarán mayor información y no cometerán los mismos errores. La
predicción puede ser distinta para cada agente, porque cada agente forma su expectativa según
la información que tenga.
b. Bajo expectativas racionales existe la posibilidad de que se generen rentas
extraordinarias en el mediano y largo plazo.
Falso. Es cierto que obtendrán rentas extraordinarias en un primer momento; pero luego los
demás agentes obtendrán esta información, ya sea por terceros o por los mismos agentes que
tenían la información privilegiada. El que tiene la información privilegiada querrá
aprovecharse de esta información, entonces la venderá y por tanto, en el largo plazo todos
tendrán la misma información.
c. Los agentes no pueden formar sus expectativas racionales si no tienen información
perfecta.
Falso. Pueden formar sus expectativas sin tener toda la información, los agentes forman sus
expectativas dada una información.

25
PROPIEDADES DEL OPERADOR DE EXPECTATIVAS RACIONALES
Dado el siguiente modelo para la variable consumo:
1
t
t
1
t
E
C
C +
+
+
= (1)
con : )
,
0
(
N
~ 2
t
σ
ε
j
i
0
]
E
,
E
[
E j
t
i
t
t
≠
=
+
+
j
i
0
]
,
E
[
E j
t
i
t
t
>
=
Ω +
+
1. Demuestre que el valor esperado calculado en el momento "t" del consumo en "t+1" es
igual al consumo en "t".
t
1
t
t
C
C
E =
+
Tomando esperanzas a (1)
]
[
E
]
C
[
E
]
C
[
E 1
t
t
t
t
1
t
t +
+
ε
+
=
0
C
]
C
[
E t
1
t
t
+
=
+
t
1
t
t
C
]
C
[
E =
+
Si condicionamos la esperanza matemática de la variable xt al conjunto de información
disponible en t, It; tendremos:
0
C
]
I
|
[
E
]
I
|
C
[
E
]
I
|
C
[
E
]
I
|
C
[
E
C
E
t
t
1
t
t
t
t
t
t
1
t
t
t
t
1
t
t
1
t
t
+
=
ε
+
=
ε
+
=
=
+
+
+
+
t
1
t
t
C
C
E =
+
2. Demuestre que 1
t
t
C
E +
es un predictor insesgado de 1
t
C +
, es decir, que el valor esperado
del error de predicción es cero.
0
C
C
C
E
C
E
]
C
C
[
E
]]
C
[
E
C
[
E
t
t
t
t
1
t
t
t
1
t
t
1
t
t
1
t
t
=
−
=
−
=
−
=
−
+
+
+
+
Por lo tanto, en promedio el error de predicción ]
C
[
E
C 1
t
t
1
t +
+
− es cero.

26
3. Demuestre que 1
t
t
C
E +
es un predictor eficiente de 1
t
C +
es decir, que la varianza del
error de predicción es mínima e igual a 2
σ .
2
1
t
t
1
t
t
1
t
t
1
t
]
C
E
C
[
E
)
C
E
C
(
Var +
+
+
+
−
=
−
2
t
1
t
t
]
C
C
[
E −
= +
]
[
E
2
1
t
t +
ε
=
2
σ
=

27
MODELO DINÁMICO DE OFERTA Y DEMANDA AGREGADAS Y
LA CURVA DE PHILLIPS
Sea el modelo dinámico representado por las siguientes ecuaciones:
(1) Pt = Pt
e
- )
( n
t
µ
−
µ
α Curva de Phillips
(2) Π t = m - )
y
y
(
1
1
t
t −
−
φ
Demanda Agregada Dinámica
(3) )
(
)
y
y
( n
t
t
µ
−
µ
λ
α
−
=
− Ley de Okun
1. Encuentre la curva de Oferta Agregada dinámica y plantee nuevamente el modelo.
De (1) Pt = Pt
e
- )
( n
t
µ
−
µ
α
(Pt – Pt-1) = (Pt
e
– Pt-1) - )
( n
t
µ
−
µ
α
)
( n
t
e
t
t
µ
−
µ
α
−
Π
=
Π … (4)
De (3) )
(
)
y
y
( n
t
t
µ
−
µ
λ
α
−
=
−
)
y
y
(
)
( t
n
t
−
α
λ
−
=
µ
−
µ … (5)
Reemplazando la ecuación (5) en (4) obtenemos la Curva de oferta agregada dinámica
)
y
y
( t
e
t
t
−
λ
+
Π
=
Π … (6)
Replanteando el modelo tendríamos:
Π t = Π t
e
+ )
y
y
( t
−
λ (OA)
Π t = )
y
y
(
1
m 1
t
t −
−
φ
− (DA)
t
Π
φ
−
1
)
,
y
,
m
(
DA 1
t
t
+
+
+
+
φ
t
y
t
Π
t
y
)
,
y
,
(
OA e
t
t
+
+
+
λ
Π
λ

28
2. Exprese el modelo en la forma estructural y reducida de forma matricial. Asuma que las
agentes forman sus expectativas de manera adaptativa, en particular estáticas:
Π t
e =
Π t-1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
1
−
−
−
−
=
Π
−
+
Π
=
Π
t
t
t
t
t
t
y
y
m
DA
y
y
OA
φ
λ
Variables Endógenas : Π t , Yt
Variables Exógenas : Π t-1, Yt-1, Y , m
Reacomodando las ecuaciones para expresarlas en la forma estructural:
1
1
1
1
)
(
)
(
−
−
+
=
+
Π
+
Π
=
−
Π
t
t
t
t
t
t
y
m
y
DA
y
y
OA
φ
φ
λ
λ
Matricialmente, la forma estructural sería:
{
X
C
Y
B
Y
A
m
Y
1
0
0
Y
1
0
0
1
Y
1
1
1
1
t
1
t
1
t
t
t
+
=






+





 λ
−
+





Π








φ
=





Π








φ
λ
−
−
−
−
4
3
4
2
1
y la forma reducida sería:
A-1
A Y = A-1
B yt-1 + A-1
CX
Y = A-1
B yt-1 + A-1
CX
A-1
=








−
λ
φ
λφ
+
φ
=








−
λ
φ
∆
1
1
1
1
1
1
1
1
φ
λφ
+
=
λ
+
φ
=
∆
1
1
λφ
+
φ
=
φ
λφ
+
=
∆ 1
1
1
1












λφ
+
φ
λφ
+
φ
−
λφ
+
λφ
λφ
+
φ
/
φ
/
=
−
1
1
1
)
1
(
A 1

29
Entonces:















 λ
−












λφ
+
φ
λφ
+
φ
−
λφ
+
λφ
λφ
+
+







Π








φ












λφ
+
φ
λφ
+
φ
−
λφ
+
λφ
λφ
+
=







Π
−
−
m
y
1
0
0
1
1
1
1
1
Y
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Y 1
t
1
t
t
t




















+
+
+
+
−
+







Π












+
+
−
+
+
=







Π
−
−
m
y
Y
Y t
t
t
t
4
4
4 3
4
4
4 2
1
4
4
4 3
4
4
4 2
1
λφ
φ
λφ
λφ
λφ
λφ
λφ
λ
λφ
λφ
φ
λφ
λ
λφ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Multiplicadores de corto Multiplicadores
plazo (porque hay dinámica) de Impacto
3. Plantee y verifique la condición de Estabilidad de este modelo de dos ecuaciones en
diferencia de orden uno.
1
|
|
,
1
|
| 2
1
<
λ
<
λ
Condiciones de estabilidad: a) det (M) < 1
b) tr (M) < 1 + det (M)
a) det (M) < 1
0
1
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
2
2
2
>
λφ
+
=
λφ
+
φλ
+
=
λφ
+
φλ
+
λφ
+
Además: 1
1
1
<
λφ
+
; pues 0
,
0
;
1
1
)
(
>
φ
>
λ
λφ
+
<
+
3
2
1
b) tr (M) < 1 + det (M)
λφ
+
+
<
λφ
+
+
λφ
+ 1
1
1
1
1
1
1
λφ
+
λφ
+
<
λφ
+ 1
2
1
2
2 < 2 +λφ
0
0
;
0
:
Pues
>
φ
>
λ
>
λφ

30
4. Exprese matricialmente el modelo en el largo Plazo
En el largo plazo las variables se encuentran en reposo, es decir, no varian a lo largo del
tiempo:
*
1
t
t
Π
=
Π
=
Π −
*
y
y
y 1
t
t
=
= −
Entonces del modelo de la forma estructural:
X
C
Y
B
Y
A t +
= −1
X
C
*
Y
B
*
Y
A +
= (notación matricial)
X
C
*
Y
)
B
A
( =
−
X
C
)
B
A
(
*
Y 1
−
−
= Modelo en largo Plazo
• Hallamos (A-B)–1







 λ
−
=








φ
−








φ
λ
−
=
−
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
)
B
A
(








λ
−
=








−
λ
λ
=
− −
0
1
1
0
0
1
0
1
)
B
A
( 1
• Y ∗
= (A-B)-1
CX















 λ
−








λ
−
=







Π
∗
∗
m
y
1
0
0
0
1
1
0
y








=







Π
∗
∗
0
1
1
0
y 







m
Y
5. Analice intuitiva, gráfica y matemáticamente el efecto de un incremento de la oferta
monetaria
En el corto plazo un incremento en la oferta monetaria presenta un efecto positivo sobre el
producto y sobre la tasa de inflación:
0
1
y
d
d t
<
λφ
+
λ
−
=
Π
0
1
y
d
dyt
>
λφ
+
λφ
=

31
0
1
>
+
=
Π
λφ
λφ
dm
d t
0
1
>
+
=
λφ
φ
dm
dyt
y en el largo plazo el incremento en la tasa de crecimiento del dinero (m) tiene solo efectos
nominales, es decir solo tiene efectos sobre la inflación mas no sobre el producto. Es decir,
se estaría cumpliendo la dicotomía clásica.
0
y
=
∂
Π
∂
∗
1
m
*
=
∂
Π
∂
→
En el largo plazo, sube la tasa de crecimiento del dinero (m) trae
efectos sobre la inflación. Valor nominal (m) afectan a valor nominal
)
(Π . En el largo plazo, economía es clásica.
1
y
d
dy
=
∗
0
dm
dy*
= →
En el largo plazo, el incremento en la tasa de crecimiento del dinero
no afectan al producto de equilibrio. Variables nominales afectan sólo
a variables nominales )
(Π , más no a variables reales *)
y
( .
Gráficamente
t
Π
*
π
)
,
y
,
m
(
'
'
DA '
1
t
1
φ
−
)
,
y
,
m
(
'
DA 1
t
1
φ
−
)
,
y
,
m
(
DA 1
t
0
φ
−
y
*
0
y
OA(Π0
t-1, yt-1)
OA(Π1
t-1,
yt-1
)
OA(Π2
t-1,
yt-1
)
En el primer momento (t=0), ante aumentos en la tasa de crecimiento del dinero (m), la
Demanda Agregada se traslada a la derecha y estamos en B. En este punto, aumento tanto el
producto como la inflación. (Multiplicadores de corto plazo)
En el segundo momento, ante el ↑ m , tanto Π t como yt se vieron afectadas, por tanto en el
siguiente período 1
t−
Π e yt-1 van a afectar tanto al producto como la inflación.
0
1
1
d
d
1
t
t
>
λφ
+
=
Π
Π
−
0
1
dy
d
1
t
t
>
λφ
+
λ
=
Π
−

32
0
1
d
dy
1
t
t
<
λφ
+
φ
−
=
Π −
0
1
1
dy
dy
1
t
t
>
λφ
+
=
−
Este modelo nos permite explicar porque no se observa una curva de Phillips todo el tiempo.
La curva de Phillips en el largo plazo es vertical, z es el equilibrio de largo plazo y para llegar
al equilibrio de largo plazo. Existe una dinámica de transición en la cual en algunos períodos
se cumple la curva de Phillips (tramo F, H) y en otros no (G). La transición hacia el equilibrio
es un espiral porque las raíces son complejas. (es sinusoide cuando se gráfica la serie respecto
al tiempo).
F: Curva de Phillips y
,↑
Π
↑
G: No se cumple c.p. y
,↓
Π
↑
H: se cumple c.p. y
,↓
Π
↓

33
DINÁMICA DE LA INFLACIÓN Y EL DESEMPLEO: LA CURVA DE PHILLIPS
EN TIEMPO CONTINUO 3
Sea el modelo dinámico representado por las siguientes ecuaciones:
(1) e
h
U
T Π
+
−
−
=
Π β
α , 0 < h ≤ 1, 0
, >
β
α
(2) )
( e
e
j Π
−
Π
=
Π
•
, 0 < j ≤ 1,
(3) )
( Π
−
−
=
•
m
k
U , k > 0
donde:
Π : inflación efectiva
e
Π : inflación esperada
U: Tasa de desempleo
m: Tasa de crecimiento de la oferta monetaria
1. Utilizando (1) (2) y (3) construya una ecuación diferencial de segundo orden, cuya
variable sea la inflación esperada.
Reemplazando la ecuación (1) en (2)
)
h
U
T
(
j e
e
e
Π
−
Π
+
β
−
−
α
=
Π
•
(4)
e
e
)
h
1
(
j
)
U
T
(
j Π
−
−
β
−
−
α
=
Π
•
Ecuación diferencial de orden 1, pero
todavía depende de la tasa de desempleo U.
Diferenciando la ecuación (4) un período y reemplazando la ecuación (3) en (4):
e
e
)
h
1
(
j
)
U
(
j
•
•
•
•
Π
−
−
β
−
=
Π
•
•
•
Π
−
−
Π
−
−
β
−
=
Π e
e
)
h
1
(
j
))
m
(
k
(
j
(5)
•
•
•
Π
−
−
Π
β
−
β
−
=
Π e
e
)
h
1
(
j
k
j
km
j
Como buscamos que e
Π sea la endógena; reemplazamos la ecuación (2) en (5)
Despejamos Π de (2): Π
=
Π
+
Π
•
•
j
j e
e
En (5):
•
•
•
Π
−
−










Π
+
Π
−
=
Π e
e
e
e
j
j
j
j
k
j
km
j )
1
(
β
β
3
Chiang, Alpha. Métodos Fundamentales de Economía Matemática. México: Mc Graw Hill

34
e
e
e
k
j
h
j
k
km
j Π
−
Π
−
+
−
=
Π
•
•
•
β
β
β )]
1
(
[
km
j
)
k
j
(
)]
h
1
(
j
k
[ e
e
e
β
=
Π
β
+
Π
−
+
β
+
Π
•
•
•
Ecuación diferencial de segundo orden.
2. Resuelva la ecuación diferencial y encuentre la trayectoria de la e
Π .
La Solución particular nos muestra el valor al que se converge, tenemos:
Ecuación característica:
b
a
r
a
r 2
1
2
=
+
+
0
'
y
'
'
y
:
b
y =
=
=
b
y
a
'
y
a
'
'
y 2
1
=
+
+
b
y
a
0
0 2
=
+
+
jbk
jbkm
a
b
y =
=
2
m
yb
=
e
Π en el largo plazo va a converger a m; esto quiere decir que la inflación esperada va a
ser igual a la tasa de crecimiento del dinero nominal.
Por otro lado, la solución homogénea nos muestra la dinámica de transición, es decir si existe un
equilibrio al cual se convergerá.
Las raíces características están dadas por:
2
a
4
a
a
r
,
r
2
2
1
1
2
1
−
±
=
t
r
2
t
r
1
e 2
1
e
A
e
A
m
y +
+
=
Π
=
Para que exista una dinámica de transición, la condición es que las raíces sean negativas, ya que a
medida que t crece, si la raíz característica es negativa, la solución homogénea )
0
( →
t
r
i
i
e
A tenderá
a un valor de equilibrio, en este caso particular al valor m.

35
No sabemos si: 2
2
1
a
4
a <
> , por tanto no sabemos si las raíces son reales e iguales, reales y
distintas o complejas. Veamos los 3 casos:
• R. REALES ≠ S 0
a
,
0
a
;
a
4
a 2
1
2
2
1
>
>
>
2
a
2
1
1
4
a
a −
>
0
r
,
0
r 2
1
<
<
⇒
∴el equilibrio es dinámicamente estable.
• R. REALES IGUALES: 2
2
1
a
4
a =
→
−
=
=
2
a
r
r 1
2
1
Equilibrio dinámicamente estable.
• R. COMPLEJAS: Para ver la convergencia, en el caso que tengamos raíces complejas, sólo
nos interesa la parte real.
La parte real es
2
a
h 1
−
= por tanto el equilibrio en este caso, también es estable.
Notemos que la convergencia en este caso oscilante y ondeada porque en la solución tenemos las
funciones seno y coseno.
ht
e
e
Y =
Π
= (A1 cos vt + A2 sen vt)
donde h: la parte real de la raíz
v: la parte imaginaria de la raíz.
La solución compleja, está replicando bien la economía, por que la trayectoria de una variable en
el tiempo es oscilante.
t
)
(t
e
Π
∴ La trayectoria de Π e
es estable, converge a m.

36
ECUACIONES EN DIFERENCIA Y OPERADORES DE REZAGO (CAGAN,1956)
Sea el modelo de CAGAN (1956):
0
;
)
P
P
(
P
m t
e
1
t
t
t
<
α
−
α
=
− +
(1)
1. Tipos de operadores.
Operador de Rezagos: Rezaga un periodo una variable que dependa del tiempo.
Ej.: →
t
X Variable que depende del tiempo.
1
t
t
X
LX −
=
1
t
t
LX
)
LX
(
L −
=
2
t
t
2
X
X
L −
=
M
n
t
t
n
X
X
L −
=
Operador de adelanto: Adelanta un período una variable que depende de tiempo.
Ej.: →
t
X Variable que depende del tiempo
1
t
t
1
X
X
L +
−
=
1
t
1
t
1
1
X
L
X
L
L +
−
−
−
=
2
t
t
2
X
X
L +
−
=
M
n
t
t
n
X
X
L −
−
=
t
1
t
t
Z
aX
X +
=
→ −
t
t
t
Z
)
LX
(
a
X +
=
t
t
t
Z
aLX
X =
−
t
t
Z
X
)
aL
1
( =
−
*
Z
aL
1
1
X t
t
−
=
2. Propiedades del operador de rezagos.
si 1
|
a
| <
∑
=
+
+
+
+
=
−
∞
=0
i
i
i
3
3
2
2
L
a
...
L
a
L
a
aL
1
aL
1
1
∑
=
+
+
+
−
∞
=0
i
t
i
i
t
2
2
t
Z
L
a
Z
...)
L
a
aL
1
(
Z
aL
1
1

37
∑
=
+
+
+
∑ =
∞
=
−
−
−
∞
= 0
i
i
t
i
2
t
2
1
t
t
0
i
t
i
i
Z
a
...
Z
a
aZ
Z
Z
L
a
Entonces podemos reexpresar (*):
t
t
Z
aL
1
1
X
−
=
∑
=
∞
=0
i
t
i
i
t
Z
L
a
X
3. Encuentre e interprete la solución para Pt, asumiendo expectativas adaptativas. ¿Cuál es
la condición que debe cumplirse para que esta solución sea convergente?
Expectativas Adaptativas: )
p
p
(
p
P 1
t
t
t
e
1
t −
+
−
γ
=
−
(El precio esperado de mañana depende del precio de hoy y de una proporción de la
diferencia de precios de hoy y de ayer).
Despejamos e
1
t
P +
de la ecuación de expectativas adaptativas:
)
P
P
(
P
P 1
t
t
t
e
1
t −
+
−
γ
+
= (2)
Reemplazando (2) en (1):
)
( 1 t
e
t
t
t P
P
P
m −
α
=
− +
)
P
)
P
P
(
P
( t
1
t
t
t
/
−
−
γ
+
/
α
= −
1
t
t
t
t
P
P
P
m −
αγ
−
αγ
+
=
1
t
t
t
P
P
)
1
(
m −
αγ
−
αγ
+
=
Aplicando el operador de rezagos:
t
t
t
LP
P
)
1
(
m αγ
−
αγ
+
=
t
t
P
]
L
1
[
m αγ
−
αγ
+
=
Dividiendo todo entre: )
1
( αγ
+ :
αγ
+
=






αγ
+
αγ
−
αγ
+
αγ
+
1
mt
p
1
L
1
1
t
αγ
+
=














αγ
+
αγ
−
1
m
p
L
1
1
x
t
t

38








αγ
+
•








αγ
+
αγ
−
=
1
1
1
1
x
t
t
m
L
P (3)
Esto tiene la forma:
t
t
Z
aL
1
1
P ⋅
−
=
tenemos que verificar si: 1
X
1
|
a
| <
αγ
+
αγ
=
Si 1
1
<
αγ
+
αγ
, entonces podemos aplicar las propiedades de una expresión como
aL
1
1
−
, donde
1
|
a
| < para obtener una suma convergente.
La condición para que la solución sea convergente es que:
[
0
,
5
.
0
]−
∈
αγ
Para que 1
1
<
αγ
+
αγ
es necesario que:
1
1
1 <
αγ
+
αγ
<
−
αγ
+
<
αγ
<
αγ
+
− 1
)
1
(
De la primera desigualdad αγ
<
αγ
−
−1
αγ
<
− 2
1
αγ
<
−
2
1
y como 0
<
α , tenemos que la condición que debe satisfacer αγ para que
αγ
+
αγ
1
<1 es que αγ
∈ ] [
0
,
5
.
0
− . Bajo este supuesto, aplicamos la propiedad de los operadores de regazo:
Reexpresamos (3):
αγ
+
⋅








αγ
+
αγ
−
=
1
m
L
1
1
1
P t
t

39
c
1
m
1
1
1
P i
t
i
0
i
t 







αγ
+
αγ
+








αγ
+
αγ
∑
αγ
+
= −
∞
=
(I)
Esta es la solución del modelo de Cagan con expectativas adaptativas.
Interpretación: Cuando los agentes formulan sus expectativas de manera adaptativa, los precios
dependerán de una ponderación de la cantidad de dinero pasada, donde cada vez se
le da menos peso a la cantidad de dinero para explicar los precios.
4. Encuentre e interprete la solución para Pt asumiendo expectativas racionales (previsión
perfecta).
Expectativas racionales: 1
t
e
1
t
P
P +
+
= (4)
Reemplazamos la hipótesis de expectativas racionales (4) en (1)
)
P
P
(
P
m t
e
1
t
t
t
−
α
=
− +
; 0
<
α
t
1
t
t
t
P
P
P
m α
−
α
+
= +
t
1
t
t
P
)
1
(
P
m α
−
+
α
= +
dividiendo todo entre α :
t
t
1
t
m
1
P
1
P
α
=






α
α
+
+
+
aplicando el operador de rezagos invertido o el operador de adelanto:
t
t
t
1
m
1
P
1
P
L
α
=






α
α
−
+
−
Factorizando Pt:
t
t
1
m
1
P
1
L
α
=












α
α
−
+
−
Multiplicando todo por L:
t
t
Lm
1
P
L
1
1
α
=












α
−
α
−
1
t
t
m
1
P
L
1
1 −
α
=












α
−
α
−

40
t
1
t
t
1
C
m
L
1
1
1
1
P 





α
−
α
+


















α
−
α
−
α
= − (5)
Dado que 1
1
1
1
1
)
aL
(
1
)
aL
(
)
aL
(
aL
)
aL
(
)
aL
(
aL
1
1
−
−
−
−
−
−
−
=
+
−
−
=
−
Aplicando esto a (5):
1
1
t
1
1
1
1
t
1
C
m
L
1
1
L
1
1
P
−
−
−
−
−
−






α
−
α
+


















α
−
α
−






α
−
α
−
α
=
( ) 1
1
t
1
1
1
1
t
1
C
m
L
1
1
L
1
1
P
−
−
−
−
−
−






α
−
α
+


















α
−
α
−
−
α
α
α
−
=
t
1
t
1
1
1
1
t
1
C
m
L
L
1
1
1
)
1
(
P 





α
−
α
+


















α
−
α
−
−
α
α
α
−
= −
−
−
−
−
t
t
1
t
1
C
m
L
1
1
1
)
1
(
1
P 





α
−
α
+


















α
−
α
−
α
−
=
−
(6)
pero
1
L
1
1
1
−






−
α
α
−
tiene la forma 1
aL
1
1
−
−
y esto puede expresarse:
t
0
i
i
i
t
3
3
2
2
1
t
1
m
L
a
m
...)
L
a
L
a
aL
1
(
m
aL
1
1
∑
=
+
+
+
+
=
−
∞
=
−
−
−
−
−

41
i
t
0
i
i
3
t
3
2
t
2
1
t
1
t
t
2
2
t
1
1
t
0
0
0
i
i
i
m
a
...
m
a
m
a
m
a
m
...
m
L
a
m
L
a
m
L
a
(
m
L
a
+
∞
=
+
+
+
−
−
∞
=
−
∑
=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
∑
Aplicando esta propiedad a (6)
t
t
1
t
1
C
m
L
1
1
1
1
1
P 





α
−
α
+


















α
−
α
−
α
−
=
−
t
i
t
0
i
i
t
1
C
m
1
1
1
P 





α
−
α
+
∑ 





α
−
α
α
−
= +
∞
=
(II)
La solución para los precios asumiendo Expectativas Racionales, nos muestra que los precios
dependen de la cantidad de dinero actual y futura.
5. Analice el impacto en t de un incremento de la cantidad de dinero en t-1 en el modelo
con expectativas adaptativas.
De (I):
C
1
m
1
1
1
P
t
0
i
i
t
i
t 







αγ
+
αγ
∑ +








αγ
+
αγ
αγ
+
=
∞
=
−
C
1
...
m
1
m
1
m
1
1
P
t
2
t
2
i
t
t
t 







αγ
+
αγ
+








+








αγ
+
αγ
+








αγ
+
αγ
+
αγ
+
= −
−
Diferenciando totalmente:
t
2
t
2
1
t
t
t
1
d
C
...
dm
1
dm
1
dm
1
1
dP 







αγ
+
αγ
+








+








αγ
+
αγ
+








αγ
+
αγ
+
αγ
+
= −
−
haciendo
t
3
-
t
2
-
t
t
1
d
C
0
dm
dm
dm 







αγ
+
αγ
=
…
=
=
=
1
t
t
dm
1
1
1
dP −








αγ
+
αγ
α
+
=
1
t
2
t
dm
)
1
(
dP −
αγ
+
αγ
=

42
Entonces el efecto de un incremento de mt-1 en el corto plazo sobre Pt es:
0
0
0
)
1
(
dm
dp
2
1
t
t
>
γ
<
α
<
αγ
+
αγ
=
−
5. Analice el impacto de un incremento permanente de la cantidad de dinero en t-1.
En el largo plazo: *
2
t
1
t
t
m
m
m
m =
=
= −
−
Reemplazando esto en (I):








αγ
+
αγ
+








αγ
+
αγ
∑
αγ
+
=
α
= 1
C
m
1
1
1
P *
i
0
i
t
C
1
1
m
1
1
P
i
0
i
*
t 







αγ
+
αγ
+
















αγ
+
αγ
∑
αγ
+
=
∞
=
Dado que 1
1
<
αγ
+
αγ
, la sumatoria converge a








αγ
+
αγ
−
1
1
1
Entonces:








αγ
+
αγ
+




















αγ
+
αγ
−
αγ
+
=
1
C
1
1
1
m
1
1
P
*
t








αγ
+
αγ
+












γ
/
α
/
+
/
γ
/
α
/
+
γ
/
α
/
+








γ
/
α
/
+
/
=
1
C
1
1
1
1
1
*
m
Pt








αγ
+
αγ
+





 αγ
+








αγ
+
=
1
C
1
1
1
1
*
m
Pt








αγ
+
αγ
+
=
1
C
*
m
Pt
*
t
dm
dP =

43
Entonces el efecto de un incremento permanente de m* es:
1
dm
dp
*
t
=
7. Analice el impacto en t de un incremento en la cantidad de dinero ( 1
t
m +
↑ ) en el modelo
con expectativas racionales
De (II):
t
i
t
i
0
i
t
1
C
m
1
1
1
P 





α
−
α
+






−
α
α
∑
α
−
= −
∞
=
t
2
t
2
1
t
t
t
1
C
....
m
1
m
1
m
1
1
P 





α
−
α
+








+






−
α
α
+






−
α
α
+
α
−
= +
+
Diferenciemos totalmente, tomando en cuenta
t
3
t
2
t
t
1
d
c
0
dm
dm
dm 





α
−
α
=
=
…
+
=
= +
+
1
t
t
dm
1
1
1
dP +






−
α
α
α
−
=
Entonces, el efecto de un incremento de mt+1 sobre pt es:
0
)
1
(
1
1
1
dm
dp
2
1
t
t
>
α
−
α
−
=






α
−
α
α
−
=
+
; 0
<
α
8. Analice el impacto de un incremento permanente de la cantidad de dinero sobre Pt,
cuando los agentes forman sus expectativas racionalmente
En el largo plazo; *
m
m
m
m 2
t
1
t
t
=
=
= +
+
y reemplazando esto es II
*
i
0
i
t
m
1
1
1
P 





−
α
α
∑
α
−
=
∞
=
*
t
m
1
1
1
1
1
P












−
α
α
−
α
−
=

44
*
t
m
1
1
1
1
1
P












−
α
α
/
−
−
α
/
α
−
=
*
m
)
1
(
1
1
Pt
α
−
α
−
=
*
dm
dpt
=

45
LA CRÍTICA DE LUCAS
Sea el siguiente modelo con Expectativas racionales:
(1) t
1
t
2
t
1
t
t
1
0
t
y
a
))
m
(
E
m
(
a
a
y µ
+
+
−
+
= −
−
Curva de Oferta Agregada
(2) t
1
t
1
0
t
y
b
b
m ε
+
+
= −
Regla de Política
donde )
,
0
(
iidN
~ 2
E
t
σ
ε
]
y
b
b
[
E
)
m
(
E t
1
t
1
0
1
t
t
1
t
ε
+
+
= −
−
−
(3) 1
t
1
0
t
1
t
y
b
b
)
m
(
E −
−
+
=
t
1
t
2
t
1
0
t
1
t
1
1
2
t
1
0
1
0
t
1
t
2
1
t
1
1
0
1
t
1
0
t
1
t
2
1
t
1
0
t
1
0
t
y
m
y
)
b
a
a
(
m
a
b
a
a
y
a
y
b
a
b
a
m
a
a
y
a
)
y
b
b
m
(
a
a
y
µ
+
θ
+
θ
+
θ
=
µ
+
−
+
+
−
=
µ
+
+
−
−
+
=
µ
+
+
−
−
+
=
−
−
−
−
−
−
)
b
,
a
,
a
(
f
)
a
(
f
)
b
,
a
,
a
(
f
1
2
1
2
1
1
0
1
0
0
=
θ
=
θ
=
θ
Notemos que si cambia la regla de política tendría que cambiar b0 o b1 y si estos cambian, 2
0
y θ
θ
también cambian, por lo que no se puede suponer que 1
0
y θ
θ son constantes (fijos).
Por tanto, este modelo si es compatible con la crítica de Lucas; ya que no se puede hablar del
impacto de la política porque los parámetros 2
1
0
,
, θ
θ
θ no reflejan los parámetros estructurales.

46
MODELO CON INFORMACIÓN PERFECTA DE LUCAS
Dadas las siguientes ecuaciones:
(1) i
i
L
Q = Es la tecnología individual
(2)
P
Q
P
C i
i
i
= Valor real del consumo (individual) deflactado por inflación
(3) γ
γ
−
= i
i
i
L
1
C
U Fn utilidad dada por el consumo y el trabajo (es un mal)
1
>
γ elasticidad
1. Encuentre la curva de oferta de trabajo del bien "i" en términos logarítmicos.
Reemplazando (1) en (2) y (2') en (3):
(2')
P
L
P
C i
i
i
=
(3')
γ
γ
−
= i
i
i
i
L
1
P
L
P
U
Condición de Primer Orden:
1
i
i
i
L
1
P
P
0
L
U −
γ
γ
/
/
⋅
γ
/
−
=
=
∂
∂
(4)
s
i
1
1
i
i
Q
P
P
L =






=
−
γ
(5)
En términos logarítmicos:
s
i
i
i
Q
ln
]
P
ln
P
[ln
1
1
L
ln =
−
−
γ
=
s
i
i
i
q
]
p
p
[
1
1
l =
−
−
γ
= (6)
Esta es la oferta individual (del bien i) en logaritmos la oferta nos muestra la relación entre empleo
y precios si los cambios en precios relativos son mayores a los cambios en precios agregados,
p
pi ∆
>
∆ , se responde contratando más trabajo y produciendo más.

47
Dadas las ecuaciones de oferta anteriores y las siguientes ecuaciones por el lado de la demanda:
i
z
n
i
d
i
e
P
P
y
Q
−






=
Tomando logaritmos:
)
p
p
(
n
z
y
q i
i
d
i
−
−
+
= (7)
donde: )
,
0
(
~
z 2
i
σ
0
n >
d
i
q es la demanda del bien "i", la cual depende del producto agregado (y), de shocks de demanda
(zi) y de la respuesta de la demanda al precio (n) cuando el cambio en los precios relativos es
mayor que el nivel general de precios, asumiendo que la Demanda Agregada esta dada por:
p
m
y −
= ; m: instrumentos de Política (8)
2. Encuentre el precio de equilibrio del bien "i":
En equilibrio:
d
i
s
i q
q =
)
p
p
(
n
z
y
)
p
p
(
1
1
i
i
i
−
−
+
=
−
−
γ
np
np
z
y
p
1
1
p
1
1
i
i
i
+
−
+
=
−
γ
−
−
γ
i
i
z
y
p
n
1
1
p
n
1
1
+
+








+
−
γ
=








+
−
γ
)
z
y
(
n
n
1
1
p
p i
i
+








−
γ
+
−
γ
+
= (9)
3. ¿Qué pasa en el equilibrio si trabajamos en términos promedios?
y
q
)
q
(
E i
i
=
= (10)
p
p
)
p
(
E i
i
=
= (11)
0
z
)
z
(
E i
i
=
= (12)
Tomando esperanzas a (9)
( )
)
z
(
E
)
y
(
E
n
n
1
1
]
p
[
E
]
p
[
E i
i
+








−
γ
+
−
γ
+
=

48
)
0
y
(
n
n
1
1
p
p +








−
γ
+
−
γ
+
= (13)
1
;
1
0
.
..........
0
1
1
>
=
=
〈
=








−
+
−
⇒
γ
γ
γ
γ
pero
y
y
n
n
Entonces tenemos que:
y = 0 (14)
ln y = 0
y = e0
= 1
y = 1
De (14) y (8) tenemos:
p
m
y
0 −
=
=
p
m = (15)
P
M =
El dinero es neutral (oferta inelástica)

49
MODELO CON INFORMACIÓN IMPERFECTA DE LUCAS
Sea la siguiente definición del precio relativo del bien i:
P
p
R i
i
= (1)
Ri : precio relativo del bien "i"
Pi : precio del bien "i"
P : Nivel de precios agregados
- Tomando logaritmos a (1)
↓
↓
↓
−
=
−
=
p
p
r
P
ln
P
ln
R
ln
i
i
i
i
(2)
señal a extraer observado ruido aleatorio
- Estimando ri por MCO:
p
p
r i
1
0
i
−
β
+
β
=
[ ] i
1
0
i
i
p
b
b
p
/
r
E +
=
[ ] [ ]
)
p
(
p
vp
vr
vr
p
/
r i
i
i
Ε
−
+
=
Ε (3)
Los precios relativos (ri) no son conocidos, por eso los estimamos.
1. Encuentre la curva de oferta del bien "i" y la curva de oferta agregada (o curva de oferta
agregada de Lucas), dada la siguiente curva de oferta de trabajo para el individuo "i":
)
p
p
(
1
1
l i
s
i
−
−
γ
= (4)
- Reemplazando (2) en (4)
)
r
(
1
1
l i
s
i
−
γ
=
]
p
/
r
[
1
1
l i
i
s
i
Ε
−
γ
= (5)
- Reemplazando (3) en (5)
[ ]
)
p
(
p
vp
vr
vr
1
1
l i
s
i
Ε
−








+
−
γ
= (6)
[ ] s
i
i
s
i
q
)
p
(
p
b
l =
Ε
−
= (7)

50
- Promediando (7) entre todos los productores:
s
i
q
q = y dado que
s
i
q
y = y que i
p
p =
)]
p
(
E
p
[
b
y −
= (8) curva de oferta agregada
o de Lucas
-








+
−
γ
=
p
r
r
v
v
v
1
1
b
Si 0
b
v
:
0
v p
r
→
⇒
∞
→
→
y si 0
b → , la Curva de Oferta de Lucas es vertical, es decir el producto no respondería ante
cambios en precios.
2. Sea la curva de demanda agregada p
m
yd
−
= , encuentre los niveles de precio y
producto de equilibrio.
En equilibrio: s
d
y
y =
)]
p
(
E
p
[
b
p
m −
=
−
)
p
(
E
b
bp
p
m −
=
−
)
p
(
E
b
m
)
1
b
(
p +
=
+
)
p
(
E
b
1
b
m
b
1
1
p
+
+
+
= (9)
El precio está dado por una parte política y por otra de los precios esperados.






Ε
−
Ε
+
+
+
= )
p
(
)
p
(
b
1
b
m
b
1
1
b
y
)
p
(
b
b
1
b
m
b
1
b
y
2
Ε






−
+
+






+
=
)
p
(
b
1
b
b
b
m
b
1
b 2
2
Ε






+
−
−
−






+
=
)
p
(
E
b
1
b
m
b
1
b
y 





+
−






+
= (10)
Aplicando esperado a (9)
)
p
(
b
1
b
)
m
(
b
1
1
)
p
( Ε
+
+
Ε
+
=
Ε

51
)
m
(
b
1
1
)
p
(
b
1
b
1 Ε
+
=
Ε






+
−
)
m
(
b
1
1
)
p
(
b
1
1
Ε
+
=
Ε
+
)
m
(
E
)
p
(
E = (11)
Los individuos esperan una inflación igual, en promedio, a la variación de la cantidad de dinero.
Es decir, todo cambio de la política afecta solo a precios y no al producto.
Usando (11) y [ ]
)
m
(
m
E(m)
m Ε
−
+
=
Reescribiendo (9):
[ ] )
p
(
b
1
b
))
m
(
m
(
)
m
(
b
1
1
p Ε
+
+
Ε
−
+
Ε
+
=
))
m
(
m
(
b
1
1
)
m
(
b
1
b
b
1
1
p Ε
−
+
+
Ε






+
+
+
=
))
m
(
m
(
b
1
1
)
m
(
p Ε
−
+
+
Ε
= (12)
)
m
(
E
b
1
b
m
b
1
b
y 





+
−






+
=
))
m
(
E
m
(
b
1
b
y −
+
= (13)
Sólo los shocks no anticipados de dinero tendrán efecto sobre el producto más no los shocks
anticipados ya que y=0 (porque m = E(m)); sin embargo los precios si cambiarían.
vr está asociado a vz
vp está asociado a vm








+
−
γ
=
p
r
r
v
v
v
1
1
b
1
n
cuando
;
v
v
v
1
1
b
m
r
z
=








+
−
γ
=

52
3. ¿Se cumple la relación establecida por la curva de Phillips en este modelo?
En este modelo encontramos que la inflación y el producto están correlacionadas positivamente,
por lo que podemos decir que el modelo de información imperfecta implica que se cumple la
relación establecida por la Curva de Phillips.
Por otro lado podemos decir que shocks inesperados de oferta de dinero afectan tanto al producto
como a los precios, en cambio shocks anticipados afectarán solo a precios. En este contexto,
podriamos decir que se cumple la curva de Phillips a corto plazo, mas no a largo plazo.
A pesar de que existe una relación estadística entre inflación )
(Π , y producto (y), no existe un
trade-off aprovechable en términos de política económica, ya que si ∞
→
m
v o
0
b
0
vz
→
⇒
→ , el producto no respondería ante cambios en la cantidad de dinero.
4. Explique la Crítica de Lucas
Si los diseñadores de política tratan de aprovechar las relaciones estadísticas, los efectos que
operen a través de las experiencias pueden ocasionar el colapso de estas relaciones. Si las
autoridades abusan de este trade off, el producto no responderá.
;
0
v
v
v
1
1
b
V
)
p
(
E
P
p
r
r
p
→








+
−
γ
=
∧
∞
→
− 0
y =
Por tanto, la política monetaria puede afectar a la producción sólo si los diseñadores de política
tienen información que no está disponible para los agentes privados.

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