La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, llamadas restricciones. Consiste en optimizar una función objetivo lineal sujeta a restricciones también lineales. El conjunto de soluciones factibles satisface todas las restricciones simultáneamente.

2. Contenido

3. INTRODUCCION
La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el
cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de
inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada
función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a
una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones
lineales
Es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar
decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto
de restricciones lineales variables no negativas. En el ambiente de negocios
actual, pueden encontrarse gran cantidad de aplicaciones.
La función objetivo define la cantidad que se va a maximizar o minimizar en un
modelo de programación lineal.
Las restricciones limitan o reducen el grado en que puede perseguirse el objetivo.
Las variables son las entradas controlables en el problema.

4. 1. Entender el problema a fondo.
2. Describir el objetivo.
3. Describir cada restricción.
4. Definir las variables de decisión.
5. Escribir el objetivo en función de las
variables de decisión.
6. Escribir las restricciones en función de
las variables de decisión.
7. Agregar las restricciones de no negatividad.

5. Representación de un problema donde el objetivo y todas las condiciones de restricción
se describen con expresiones matemáticas.
Conjunto de restricciones que requiere que todas las variables sean no negativas.
Solución que satisface simultáneamente todas las restricciones.
Conjunto de todas las soluciones factibles.
Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para
convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede
interpretarse como la cantidad de recurso no usado.
Programación lineal en el que todas las restricciones están escritas como igualdades.
La solución óptima de la forma estándar de un programa lineal es la misma que la
solución óptima de la formulación original del programa lineal.
Desde el punto de vista gráfico, los puntos extremos son los puntos de solución factible
que ocurren en los vértices o "esquinas" de la región factible. Con problemas de dos
variables, los puntos extremos están determinados por la intersección de las líneas de
restricción.
Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para
convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable
puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido

6. La programaciónlineal estudialassituacionesenlasque se exige maximizarominimizarfunciones
que se encuentransujetasadeterminadas limitaciones,que llamaremosrestricciones.
Funciónobjetivo
La programaciónlineal consiste enoptimizar(maximizarominimizar) unafunciónobjetivo,que es
una funciónlinealde variasvariables:
Función objetivo
Restricciones
Maximizarominimizar
Condicionesque satisfacen el
sistema de igualdad y
desigualdad >o<

8. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000
m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para
cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se
fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe
suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima?
Resolución
x = número de pantalones
y = número de chaquetas
Función objetivo
f(x,y)= 50x + 40y
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
Pantalones chaquetas disponibles
Algodón 1 1.5 750
Poliéster 2 1 1000
x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos
restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
Ejercicios 1

9. 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y ≤ 1500, para ello tomamos un punto del
plano, por ejemplo el (0,0).
2·0 + 3·0 ≤ 1 500
Como 0 ≤ 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la
desigualdad.
De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.
2·0 + 0 ≤ 1 00

10. La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de
inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos son las
soluciones a los sistemas:
2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)
2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de
los vértices.
f(x, y) = 50x + 40y
f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20000 €
f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25000 €
f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28750
€ Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y
250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €

11. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un
espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con
igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte
de 3 000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m3 de otro que no la necesita. El
coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones
de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
x = camiones de tipo A
y = camiones de tipo B
2 Función objetivo
f(x,y) = 30x + 40y
3 Restricciones
A B TOTAL
Refrigeradora 20 30 3000
No refrigeradora 40 30 4000
20x + 30y ≥ 3 000
40x + 30y ≥ 4 000
x ≥ 0
y ≥ 0
EEJERCICIO 2
2ERCICIO2

12. 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
.-
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 400/3) = 30 · 0 + 40 · 400/3 = 5 333.332
f(150, 0) = 30 · 150 + 40 · 0 = 4 500
Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y.
f(50, 67) = 30 · 50 + 40 · 67 = 4180 Mínimo
El coste mínimo son 4 180 € para A = 50 yz B = 67.

13. Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes
quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta,
empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta
y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de
cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de
cada tipo para obtener el máximo beneficio?
1 Elección de las incógnitas.
x = P1
y = P2
2 Función objetivo
f(x, y) = 6.5x + 7y
3 Restricciones
P1 P2 DISPONIBLE
CUADERNOS 2 3 600
CARPETAS 1 1 500
BOLIGRAFOS 2 1 400
2x + 3y ≤ 600
x + y ≤ 500
2x + y ≤ 400
x ≥ 0
y ≥ 0
EJERCICIO 3

14. 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €
f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €
f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 € Máximo
La solución óptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675 €

15. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada
anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa
y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un
pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni
menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1 Elección de las incógnitas.
x = nº de lotes de A
y = nº de lotes de B
2 Función objetivo
f(x, y) = 30x + 50y
3 Restricciones
A B MINIMO
CAMISAS 1 3 200
PANTALONES 1 1 100
x + 3y ≤ 200
x + y ≤ 100
x ≥ 20
y ≥ 10
Ejercicio 4

16. 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €
f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €
f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €
f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 € Máximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.

17. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas.
Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y
al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un
beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase
para que el beneficio sea máximo?
1 Elección de las incógnitas.
x = Pastillas grandes
y = Pastillas pequeñas
2 Función objetivo
f(x, y) = 2x + y
3 Restricciones
40x + 30y ≤ 600
x ≥ 3
y ≥ 2x
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Ejercicio 5

18. 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €
f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 €
f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

19. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas.
Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y
al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un
beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase
para que el beneficio sea máximo?
1 Elección de las incógnitas.
x = Pastillas grandes
y = Pastillas pequeñas
2 Función objetivo
f(x, y) = 2x + y
3 Restricciones
40x + 30y ≤ 600
x ≥ 3
y ≥ 2x
x ≥ 0
y ≥ 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices
del recinto de las soluciones factibles.
Ejercicio 6

20. 6 Calcular el valor de la función objetivo
f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €
f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 €
f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 € Máximo
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

21. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su
fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos
para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el
trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el
beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la
producción para obtener el máximo beneficio.
1 Elección de las incógnitas.
x = nº de lámparas L1
y = nº de lámparas L2
2 Función objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
3 Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
L1 L2 TIEMPO
MANUAL 1/3 1/2 100
MAQUINA 1/3 1/2 80
1/3x + 1/2y ≤ 100
1/3x + 1/6y ≤ 80
Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
EJERCICIO 7

22. 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar gráficamente las restricciones.
Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; para ello tomamos un punto
del plano, por ejemplo el (0,0).
1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100
1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80
La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de
inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.
La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las
soluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)
1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)
1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

23. 6 Calcular el valor de la función objetivo
En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €
f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €
f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € Máximo
La solución óptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un
beneficio de 3 750 €

24. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición
mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado
sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad
de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B.
El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de
comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
1 Elección de las incógnitas.
x = X
y = Y
2 Función objetivo
f(x,y) = 10x + 30y
3 Restricciones
X Y Mínimo
A 1 5 15
B 5 1 15
x + 5y ≥ 15
5x + y ≥ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
EJERCICIO 8

25. 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

26. 6 Calcular el valor de la función objetivo
f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450
f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150
f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100 Mínimo
El coste mínimo son 100 € para X = 5/2 e Y = 5/2.