Este documento presenta un tutorial sobre optimización restringida mediante el uso de derivadas parciales y multiplicadores de Lagrange. Explica cómo calcular derivadas parciales y luego utiliza un ejemplo para mostrar cómo formar una función de Lagrange a partir de una función objetivo y una restricción, derivar parcialmente la función de Lagrange, y resolver el sistema resultante de ecuaciones para encontrar los valores óptimos de las variables.

1. Optimización
restringida:
tutorial sencillo
Cálculo diferencial e integral
17 de marzo de 2011

2. Derivadas parciales
Antes de realizar la optimización, se
debe recordar cómo realizar una
derivada parcial, como en el ejemplo
mostrado.
f (x, y) = x2 + y 2 + xy + y
fx = 2x + y
fy = 2y + x + 1

3. Derivación parcial
Recuérdese que en la derivación
parcial sólo se derivan los términos
que tienen la variable de interés y
el resto de variables y constantes,
permanecen fijas, como en fy anterior
no se derivó x2 porque no contiene la
y.

4. Multiplicador de
Lagrange
Para obtener los valores óptimos
(máximos, mínimos o incluso puntos de
silla), se recurre a los
multiplicadores de Lagrange y se
utiliza la derivación parcial. Vamos
a resolver el ejemplo siguiente:
OPT f (x, y) = x2 + y 2
SA 2x + 3y = 7

5. Multiplicador de
Lagrange
1. Construir la función de Lagrange
(recordar que la restricción debe
estar igualada a cero):
2 +
L(x, y, λ) = x + y λ(2x + 3y − 7)

6. Multiplicador de
Lagrange
2. Se obtienen las derivadas
parciales de la función de Lagrange y
posteriormente se igualan a cero:
Lx = 2x + 2λ = 0
Ly = 2y + 3λ = 0
Lλ = 2x + 3y − 7 = 0
Por lo tanto, se forma un sistema de
3 ecuaciones que se puede resolver
manualmente o mediante el servicio de
http://www.quickmath.com

7. Multiplicador de
Lagrange
Vamos a hallar las soluciones óptimas
de x* e y* con ayuda de quickmath y
en clase las veremos manualmente.

8. Multiplicador de
Lagrange
Ir al website de quickmath y entrar a Equations / Solve /
Advanced

9. Multiplicador de
Lagrange
Ir al website de quickmath y entrar a Equations / Solve /
Advanced

10. Multiplicador de
Lagrange
En el recuadro de Equation(s)
escribir las tres derivadas parciales
igualadas a cero.
En el recuadro de Variable(s)
escribir x, y, b. Ojo: b = λ porque
quickmath no acepta ese símbolo.
Dar clic en Solve para obtener los
valores óptimos de x e y.

11. Multiplicador de
Lagrange
¡Clic!

12. Multiplicador de
Lagrange
Los valores
óptimos
Conclusión del
aparecen al ejercicio con
final de la los valores
página,
óptimos de las
exactos o
aproximados variables