Ss cap8 - diseno filtros iir

CAPITULO 8:
DISEÑO DE FILTROS IIRDISEÑO DE FILTROS IIR

•• DISEÑO DE FILTROS IIRDISEÑO DE FILTROS IIR
•• MÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS IIRMÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS IIR
- Diseño a partir del Diseño de un Filtro Analógico
- Diseño por Técnicas en el Dominio Digital
CAP8: DISEÑO DE FILTROS IIR
- Diseño por Técnicas en el Dominio Digital

FILTROS IIR
• Pueden diseñarse a partir de prototipos analógicos, transformando resultados. Por ello, se
puede partir de especificaciones y de técnicas de diseño propias de filtros analógicos, y
posteriormente se discretizan los resultados. Una situación práctica que se beneficia de esta
ventaja es cuando se pretende reemplazar, por motivos de actualización tecnológica, un filtro
analógico por otro digital equivalente.
• Requieren menos coeficientes que un filtro FIR para diseñar filtros de un mismo orden.• Requieren menos coeficientes que un filtro FIR para diseñar filtros de un mismo orden.
Como consecuencia, los requisitos de tiempo de cálculo y de capacidad de memoria son
menores en los filtros IIR.
• La sensibilidad de la salida del filtro por efectos de truncamientos y redondeos de los
resultados es menor en los filtros IIR.
Selección de Filtros IIR:
- Diseños en que no se prevean problemas de estabilidad
- Filtros de orden muy elevado.
- Aprovechamiento de especificaciones basadas en aproximaciones analógicas (de Butterworh,
de Chebyscheb, elípticos, etc.)

Métodos de DISEÑO DE FILTROS FIR
 Diseño de filtros IIR a partir del Diseño de un Filtro Analógico
 Diseño de filtros IIR por Técnicas en el Dominio Digital

DISEÑO A PARTIR DE FILTROS ANALÓGICOS
La mayoría de los métodos de diseño de filtros IIR parten de especificaciones en tiempo
continuo, a partir de las cuales se diseña un filtro analógico que, con las oportunas
transformaciones, se convertirá en un filtro IIR de comportamiento frecuencial
equivalente.
Entre los métodos más comunes de dentro de las técnicas de diseño que parten de filtrosEntre los métodos más comunes de dentro de las técnicas de diseño que parten de filtros
analógicos tenemos:
Método de Transformación Invariante
Método de Invarianza Impulsional
Método de Transformación Bilineal
Para la utilización de cualquiera de estos métodos en el Método de diseño de filtros IIR, se
utilizarán las transformaciones que expresan las relaciones entre sistemas continuos,
transformables al plano S, y sistemas discretos, transformables al plano Z.

Relaciones entre Sistemas Continuos y Discretos:

Relaciones entre Sistemas Continuos y Discretos
La transformada de Laplace de la señal muestreada es:
La transformada de Z de la señal muestreada es:
La equivalencia gráfica entre el eje imaginario del plano S y la circunferencia de radio unidad del
plano Z, de acuerdo a la última igualda es la de la siguient figura:

Supongamos que tenemos un filtro analógico
con la curva de amplificación de la figura:
y queremos reproducir exactamente sus
características frecuenciales con un filtro digital.
Es decir, deseamos que la amplificación del filtro
digital sea:

Para comprobar la similitud entre los dos filtros, hacemos el siguiente montaje:

Como vemos, las amplitudes de los dos espectros difieren en un factor T (periodo de muestreo).
Antitransformando, esta diferencia también se constatará en el dominio temporal:
Si denotamos como yc(nT) a la señal continua observada en los instantes t=nT a fin de poder
compararla con la secuencia discreta y[n], vemos que y[n] difiere en amplitud de la señal y(t) que
pretendía reproducir:

Siendo h[n] la respuesta impulsional del filtro digital, y hc(nT) la del filtro analógico
particularizada en los instantes t=nT, el método de Invarianza Impulsional consistirá en forzar a la
igualdad entre la respuesta impulsional del sistema continuo a la del discreto de la siguiente
forma:
El nombre de invarianza impulsional dado a este método viene precisamente del hecho de que
se basa en forzar la igualdad mencionada.

Aplicación
Si tenemos un sistema continuo, causal, con trasnformada de Laplace:
pudiendo ser los polos sk reales o complejos, y cuya respuesta impulsional es:
su transformada Z vendrá dada por:su transformada Z vendrá dada por:
Para que la respuesta impulsional del sistema discreto sea la misma que la del continuo,
deberemos forzar la igualda:

Ejercicio
Supongamos que tenemos el siguiente filtro analógico:
Cuyo comportamiento es satisfactorio, pero que por motivos tecnológicos tenemos que
sintetizar de forma digital.sintetizar de forma digital.
Determine el prototipo del filtro digital, mediante el método de Invarianza Impusional de diseño
de filtros IIR, considerando que el filtro es de banda limitada a ωm=50 rad.s-1

Soluación:
Descomponiendo en fracciones parciales:
Determinando los coeficientes se tiene que:
Si calculamos la transformada Z, y corregimos el numerador con el factor de escala T, tenemos la
función de transferencia del filtro digital:
donde queda pendiente la elección del periodo de muestreo T.

Soluación:
Selección del periodo de muestreo T:
Como el filtro es de banda limitada en 50 rad.s-1, aplicando la condición de Nyquist:
Si sustituimos dicho valor en la expresión anterior de H(z), tenemos:Si sustituimos dicho valor en la expresión anterior de H(z), tenemos:
y, de esta ecuación, se deduce la ecuación en diferencias que habrá que programar para realizar
el filtro IIR deseado:
En la siguiente gráfica se muestran los diagramas de polos y ceros del sistema analógico y los del
digital obtenido por invarianza impulsional

Soluación:
Diagramas de polos y ceros del sistema analógico y los del digital obtenido por invarianza
impulsional:
En realidad el cero debería estar en z=1, ya que este es el punto en el que se mapea la frecuencia
continua wc=0, y el prototipo analógico tenía un cero en esta frecuencia (en el origen). El cero en
z = 1.06 (debería estar en z=1) se ha producido por errores de truncamientos y redondeos en los
cálculos. Como este tipo de errores puede ser importante (imagine que se hubiera tratado de un
cero: ¡el sistema discreto sería inestable!

DISEÑO POR TÉCNICAS EN EL DOMINIO DIGITAL
Hasta ahora nos hemos planteado el diseño de filtros IIR partiendo de prototipos
analógicos. También se pueden diseñar los filtros IIR usando técnicas puramente digitales,
sin tener que referirse a diseños analógicos previos.
En este caso, las especificaciones deben postularse en el dominio digital, sea como h[n] del
filtro deseado, o como una plantilla de la respuesta frecuencial buscada H(ω).
Entre los métodos más comunes de dentro de las técnicas de diseño en el dominio digital
tenemos:
 Los métodos que parten de especificaciones sobre la respuesta impulsional deseada
hd[n] y se calculan en el dominio temporal:
El método de Pade
El método de Mínimos Cuadrados
 Los métodos que parten de especificaciones sobre la respuesta frecuencial deseada
Hd(ω) y se calculan en el dominio frecuencial:
El método de Fletcher y Powell
El método de Deczky

Método de Padé y Método de Mínimos Cuadrados
Los métodos de Padé y de mínimos cuadrados parten de especificaciones sobre la
respuesta impulsional deseada hd[n], y se calculan en el dominio temporal.
Ambos métodos persiguen la minimización del error cuadrático entre la respuesta
impulsional deseada hd[n] y la del filtro, h[n].
siendo P el número de muestras que intervienen en el cálculo de la función de coste (E).
Para ello se parte de una H(z) del tipo:
siendo ak y bk coeficientes que fijan los polos y ceros del filtro
E: Error cuadrático ó
Función de Coste

Método de Padé y Método de Mínimos Cuadrados
El Método de Padé empieza particularizando la ecuación en diferencias del filtro para una
entrada en forma de impulso unitario, y va resolviendo un sistema de ecuaciones de modo
que los coeficientes ak y bk de la ecuación en diferencias reproduzcan la hd[n] deseada.
El problema de este método es que el resultado suele contener muchos polos y ceros, por
El problema de este método es que el resultado suele contener muchos polos y ceros, por
lo que es poco útil en aplicaciones prácticas.
En Método de Mínimos Cuadrados, como su nombre indica, también busca la
minimización de la función de coste E, pero la función de transferencia del filtro obtenido
sólo contiene polos. Para estimar también los ceros se puede usar el método de Prony, que
básicamente es una combinación del método de mínimos cuadrados para estimar los polos
y del de Padé para estimar los ceros.
Otro método que estima polos y ceros es el de Shanks que descompone el filtro IIR en la
conexión en cascada de un filtro con sólo polos y otro con sólo ceros.

Método de Fletcher y Powell y Método de Deczky
Los métodos de Fletcher y Powell y de Deczky parten de especificaciones sobre la
respuesta frecuencial deseada Hd(ω), y se calculan en el dominio frecuencial.
Ambos métodos son métodos iterativos que van variando los coeficientes del filtro hasta
que su respuesta frecuencial H(ω), calculada en un número finito de muestras en
frecuencia, se aproxima (en diferencia cuadrática) lo suficiente a la deseada.frecuencia, se aproxima (en diferencia cuadrática) lo suficiente a la deseada.
Además permiten ponderar en qué bandas de frecuencia el error de aproximación es más
importante que en otras.

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