[PDS-Bio] Unidad_5_2_Filtros_Digitales_IIR_23_I.pptx

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA
Flavio Nireo Carrillo Gomero
fcarrillog@unmsm.edu.pe
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE TELECOMUNICACIONES
E. P. INGENIERIA BIOMÉDICA
Unidad 5: Filtros Digitales
5.2 Filtros Digitales IIR

DISEÑO DE
FILTROS DIGITALES IIR
* Introducción
* Tecnicas de diseño
* Diseño de Filtros IIR
- Método Invarianza Impulsional
- Transformación Bilineal
- Transformación Digital a Digital

Introducción
Introducción
El diseño de un filtro digital es la tarea de determinar una función
de transferencia que viene a ser:
* Una función racional de z-1 en el caso de un filtro recursivo.
* Una función polinomial en z-1 en el caso de un filtro no recursivo.
Ejemplo:
1 2
0 1 2
1 2
1 2
1
a a z a z
b z b z
 
 
 
 
Ejemplo:
1 2 3
0 1 2 3
a a z a z a z
  
  
Diseño de Filtros Digitales

Introducción
……
* Especificaciones: Características de amplitud y frecuencia.
Objetivo: Determinar tal que cumpla las condiciones
de diseño.
 
j
H e 
 
H z
Rizado Pasabanda
Rizado de la Banda
de Atenuación
Filtro Pasabajo Ideal
Banda de Transición
s
  radianes

s
f
2
m
f f Hz
1
1 

1
1 

2

 
j
H e 
c

c
f

Introducción
Selección entre Filtros FIR e IIR
FILTROS FIR FILTROS IIR
La función del sistema
solo contiene ceros
La función del sistema
contiene polos y ceros.
Las estructuras posibles
son recursivos y no
recursivos.
Es posible solo la de
estructura recursiva.
Los filtros FIR pueden
tener una respuesta de
fase exactamente lineal.
La respuesta de fase de
los filtros IIR no son
lineales.
Los efectos de utilizar el
de redondeo del ruido y
el error de cuantificación
son menos severo en
FIR que en IIR.
Debido a los coeficientes
del filtro, un polo puede
moverse fuera de la
circunferencia unidad y
provocar inestabilidad

Introducción
…..
Los filtros FIR requieren
más coeficientes para
un corte abrupto que los
filtros IIR.
IIR requiere unos
cuantos coeficientes
para disponer de un
corte abrupto que los
filtros FIR.
La complejidad es
proporcional a la
longitud de la respuesta
impulsional.
No hay relación directa
entre la complejidad y la
longitud de la respuesta
impulsional.
Los filtros FIR pueden
tener una respuesta de
fase exactamente lineal.
La respuesta de fase de
los filtros IIR no son
lineales.
El procedimiento de
diseño de un filtro FIR
son procedimientos
iterativos.
Los filtros analógicos
pueden ser
transformados en un
filtro digital IIR
equivalente.

Técnicas de diseño
Técnicas de diseño
Ventanas Invarianza impulsional
Frecuencia de muestreo Transformación Bilineal
Métodos de optimización Método de transformación
digital a digital
 
 
 
1
1
0 1 1
.... N
N
Y z
h h z h z
X z
 


   
 
 
 
 
1
1
0 1 1
1
1
1 1
....
1 ....
M
M
N
N
Y z b b z b z
X z a z a z
 


 


  

  

Diseño de filtros IIR
Diseño de filtros IIR
* En la transformación de un filtro analógico a filtro digital, debemos
obtener ya sea H(z) o h[n] del diseño del filtro analógico.
Esto implica que el eje imaginario del plano S dentro del circulo
unitario del plano Z.
* Una segunda condición es que un filtro análogo estable debe ser
transformado en un filtro digital estable.
Es decir, por ejemplo, si el sistema analógico tiene dos polos en la
mitad izquierda del plano S, entonces el filtro digital debe tener los
polos dentro del círculo unitario.

Método de la Transformada de la
Invarianza Impulsional
Diseño de Filtros Digitales Diseño de filtros IIR
* Se inicia a partir de un filtro analógico con respuesta impulsional
y función de transferencia .
 
h t
 
H s
* El objetivo de este método de diseño es realizar un filtro IIR
respuesta impulsional que cumpla con donde Tm es
el periodo de muestreo.
 
h n    
m
h n h nT

Respuesta
Impulsional
Respuesta en
Frecuencia
Aliasing
 
h t  
H 
t 


 
h n  
j
H e 
1
m
T
2 m
f

 2
2
m
f

 2
2
m
f
 2 m
f

m
T
n

……
Problema: Para una mayor o menor extensión del tamaño de la
muestra seleccionada.
*La frecuencia de muestreo afecta a la respuesta en frecuencia del
filtro discreto de invarianza impulsional.
*Debido al aliasing, la respuesta en frecuencia del filtro digital no
será idéntico al filtro analógico.
*¿Cómo podemos encontrar los coeficientes del filtro IIR en este
método?.

Método
Sea: la Transformada de Laplace del filtro analógico elegido.
 
1
, 0
H s b
s b
 

Muestrendo obtenemos donde Tm es el periodo de muestreo.
 
h t   m
bnT
m
h nT e

Entonces, es la respuesta impulsional obtenida por medio de la
Transformada Inversa de Laplace del filtro analógico.
  bt
h t e

 
, 0
0, 0
m
bnT
e n
h n
n

 
 


respuesta impulsional discreta
  1
1
1 m
bT
H z
e z
 


transformada Z de h[n]
1
1 1
1 m
bT
s b e z
 

 
H(z) es obtenida a partir de H(s):

......
En esta clase de mapeo, el área sombreada en Plano S es mapeada en el
interior de la circunferencia unidad en el Plano Z.

Ejemplo
Utilizando el método de la Transformada de la Invarianza Impulsional
diseñar un filtro digital que se aproxime a la siguiente función de
transferencia analógica normalizada.
 
 
2
1
2 1
H s
s s

 
Asumir que la frecuencia de corte de 3 dB del filtro digital es 150 Hz y la
frecuencia de muestreo es 1.28 KHz.

Solución:
Antes de aplicar el método de la Transformada de la Invarianza
Impulsional, necesitamos normalizar la función de transferencia.
   
 
1 2
1
2 1
c
s
s
c c
H s
s s
H s

 

 
   
 
   
   
 
 
2
2 2
2
c
c c
H s
s s

 

 
donde 2 150 942.4778
c
 
  
 
 
2
1 2 2
1 2
2
c
c c
A B
H s
s p s p
s s

 
   
  
   
 
     
 
 
2 2
1 2 2 2
2 1
2 2 4 2 2
,
2 2
2
c
c c c c c
c c
j
j
p p
s s

    
 
 
    
  
 
 
 
1
2
2 1
2
2 1
2
c
c
j
p
j
p


 
 
 

 
 
1
2
666.4324 1
666.4324 1
2
2
c
c
p j
p j
A j
B j


  
  
 
 

......
La ganancia es grande, característico de los filtros de Invarianza Impulsional.
 
   
  
2 1
1 2 1 2
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
m m
m m m m
p T p T
p T p T p T p T
A e z B e z
A B
H z
e z e z e z e z
 
   
  
  
   
 
   
 
2 1
1 2 1
1
1 2
1
m m
m m m
p T p T
p T p T p T
A B Ae Be z
H z
e e z e z

 
  

  
  2
393.9264
1 1.0308 0.3530
j
j
j j
e
H e
e e
 

   

 
  0
393.9264
1223
1 1.0308 0.3530
j
H e 

 
 
 
1
1 2
0.3078
1 1.0308 0.3530
z
H z
z z

 

 
 
1
1 2
393.9264
1 1.0308 0.3530
z
H z
z z

 

 
Para mantener una ganancia baja es práctica comun dividir la ganancia por fm.

Diagrama de bloques:
0
b
 
x n
1
z
1
z
1
a
 
y n
2
a
1 1.0308
a   2 0.3530
a  0 0.3078
b 
[ ]
h n

Gráficas:
 
j
H e 
 
j
H e 
 
j
e
 
 
j
e
 

Método de la Transformación Bilineal
La transformación bilineal produce filtros digitales con rendimiento
estable a partir de filtros analógicos estables (la técnica de la invarianza
impulsional no puede).
La transformación bilineal mapea el lado izquierdo de todo el eje
imaginario del plano - s dentro del círculo unitario en el plano - z.
Ω=ωTm

La transformación bilineal es una de primer orden de la
función logaritmo natural que consiste en realizar una asignación
exacta del plano Z al plano S.
m
sT
z e

2 3
2 3
1 1
1 .......
2 2! 2 3! 2
1 1
1 .......
2 2! 2 3! 2
m m m
m m m
sT sT sT
sT sT sT
   
   
   
   

   
   
   
   
2
2
m
m
m
sT
s
sT
T
e
e
e
z

 
1
1
2 1
1
m
s
z
T z


  
  

 
considerando los términos de
orden superior despreciables
1
2
1
2
m
m
z
sT
sT




......
El costo de este método es introducir distorsión en el eje de
frecuencia para evitar el aliasing.
 
 
 
1
1
1
1
1
2 2
2 1
1
m
m m
m
bT z
b
H z
bT bT z
z
b
T z





 
  
  


  

 
 
La Transformada Bilineal se utiliza para el diseño de filtros digitales
cuando la distorsión puede ser compensada.
Ejemplo
Dada la siguiente función de transferencia de un sistema H(s):
 
b
H s
s b


Aplicando la Transformada Bilineal:

......
Suponiendo que b=1000 y Tm=1/1000 segundos.
|H(f)|
f (Hz)|
 
j
H e 
Ω (radianes)
-π π
Rango de operación
de frecuencia completo
f
     
   

......
1
1
2 1
1
m
z
s
T z


  
  

 
2 1
1
2
tan
2
j
j
m
m
e
j
T e
j j
T


 
 
  
  

 
  
 
    
 
 
1
2
tan
2
2tan
2
m
m
T
T



  
 
    
 
 
 
   
 
Supongamos: y
j
z e 
 s j

Se proyecta
jω
σ
Plano-S
Im
Re
Plano-Z

......
1
tan
2 2
m m
T T
 
  

 
 
2
2
m
m
T
T



 
ωTm (radianes)
Ω (radianes)
-π
π
Efecto ¨Warping¨ Relación no lineal entre ω y Ω
Ventaja: no puede ocurrir aliasing
1
2
tan
2
2tan
2
m
m
T
T



  
 
    
 
 
 
   
 

......
Verificar con cuidado las diversas características de frecuencia.

......
En este método de diseño primero realizar un análisis de predeformación
de las especificaciones del filtro.
Ejemplo
A continuación, se muestra las especificaciones de un filtro digital pasabajo
deseado:
Frecuencia de muestreo:
Frecuencia del pasabanda:
Frecuencia de la banda de atenuación:
1
8 ( ) 125uS
m m
m
f KHz T
f
  
2.6 ( 2 0.65 )
c
c c
m
f
f KHz
f
 
   
, arriba de 3 ( 2 0.75 )
s
s s
m
f
f KHz
f
 
   c
 s


......
 
 
2
2 tan 2 4155
2
2
2 tan 2 6148
2
4.1
6.1
55
48
c
c c
m
s
s
c
s
m
s
f
f
f kHz
kHz
T
f
T
  
  
  
 
   
   
 
 
  
 
   
   






Iniciamos el proceso a partir de un filtro analógico con las siguientes
especificaciones:

......
Ejercicios propuestos:
Determinar, utilizando el método de la Transformada Bilineal la función de
transferencia y la ecuación en diferencia para el filtro digital equivalente al
filtro RC analógico. La función normalizada para el filtro RC es:
 
1
1
H s
s


Asumir la frecuencia de muestreo de 150 Hz y una frecuencia de corte de
30 Hz.
Ejercicio 10.1
Ejercicio 10.2
Se requiere diseñar un filtro digital que se aproxime al filtro analógico:
  2
1
2 1
H s
s s

 
Utilizando el método de la Transformada Bilineal obtener la función
de transferencia H(z) del filtro digital asumiendo una frecuencia de
corte en 3dB de 150 Hz y una frecuencia de muestreo de 1.28 KHz.

......
EJEMPLO DE DISEÑO
Diseñar un filtro pasabajo digital con las siguientes especificaciones:
Especificaciones:
Frecuencia de muestreo:
Frecuencia de corte pasabanda:
Frecuencia de corte en la banda de atenuación:
Máximo rizado en el pasabanda:
Mínima atenuación en la banda de atenuación:
8
m
f KHz

1.3
c
f KHz

2.6
s
f KHz

1 0.1 dB
 
2 33.5 dB
  

......
Paso 1:
De la frecuencia de muestreo fm y la frecuencia de corte fU podemos
determinar y .:
s

c

m
f c
f
2 1.0210
c
c
m
f
f

   2 2.0420
s
s
m
f
f

  
Paso 2:
Determinar la frecuencia analógica de borde en la banda de atenuación
o utilizando
y
s

s
f
2
1
2 c
c
m
rad s
tg g
T
e


 
 
 
 
2
2
s
s
m
tg
T


 
  
 
En las tablas de diseño de filtros es normalizado a 1 rad/seg.
c

2
1 .7856
2
c
c
m
T
tg

 

 
 
 
2.0420
1.7856 2.9139
2
s tg

 
 
 
 

......
Paso 3:
Determinar una función apropiada. Es decir, necesitamos un filtro analógico
con un rizado máximo de 0.1 dB en el pasabanda (0 ≤ ω ≤ 1) y atenuación
mínima de -33.5 dB en la banda de atenuación (2.914 ≤ ω ≤ ꝏ).
De las tablas seleccionamos un filtro elíptico de 3er orden con una
función de transferencia:
 
  
2
2
10.2089
5.8881 1.0398 0.8700 1.6674
s
H s
s s s


  
que cumple estas especificaciones.

......
Paso 4:
Aplicar la Transformada Bilineal para obtener la función de transferencia de
un filtro digital:
 
  
  
1 2 1
1 1 2
0.1256 1 1.0478 1
1 0.2640 1 0.4748 0.5153
z z z
H z
z z z
  
  
  

  
Sustituyendo s, obtenemos:
 
 
1
1
1
2
1
m
z
s
T z



 
  

 
 
 
1
1
1
1.7856
1
z
s
z






......

......
clear;clc;
fm = 8000; # en Hz 44100
Npts = fm;
fpass = 1300; # en Hz 4000
fstop = 2600; # en Hz 13713
Rpass = 0.1; # en dB 3
Rstop = 33.5; # en dB 40
Wpass = 2/fm * fpass;
Wstop = 2/fm * fstop;
[n, Wn] = ellipord (Wpass, Wstop, Rpass,Rstop)
[b, a] = ellip (n, Rpass, Rstop, Wn);
f = 0:fm/2;
W = f * (2 * pi / fm);
H = freqz (b, a, W);
plot (f, 20 * log10 (abs (H)));
outline_lp_pass_x = [f(2) , fpass(1), fpass(1)];
outline_lp_pass_y=[-Rpass, -Rpass , -80];
outline_lp_stop_x=[f(2),fstop(1),fstop(1),max(f)];
outline_lp_stop_y=[0,0,-Rstop,-Rstop];
hold on
plot (outline_lp_pass_x, outline_lp_pass_y,"m",
outline_lp_stop_x, outline_lp_stop_y, "m");
ylim ([-80, 0]);
grid on
xlabel ("Frecuencia (Hz)");
ylabel ("Atenuacion (dB)");
title ("Filtro pasabajo digital eliptico de 2nd
orden(sin margen)");

Pasa bajo a pasa bajo
'
c
 
c
 
 
20log j
H e 
 
20log j
H e 
Método de la Transformación
Digital a Digital
Se puede formar un conjunto de transformaciones a partir de un filtro
digital de pasa bajo, se convierta en un filtro pasa alto, pasa banda,
antipasa banda u otro filtro digital de paso bajo.
Las transformaciones se dan a continuación:
1
1
1
1
z
z
z








 
 
'
'
sin 2
sin 2
c
c
c
c

 
  
 

 
  
 

'
c
 
c
 
 
20log j
H e 
 
20log j
H e 
Pasa bajo a pasa alto
1
1
1
1
z
z
z






 

 
 
'
'
cos 2
cos 2
c
c
c
c

 
  
 
 
 
  
 
Las transformación mas simple es cambiar los signos de los polos y
ceros de la transformación de LP LP.

 
 
cos 2
cos 2
U L
U L

  
 
 

  
 
 
c
 
 
20log j
H e 
 
20log j
H e 
Pasa bajo a pasa banda
L
 
U

 
 
cot 2
2
c
U L
k tg

 
     
 
2 1
1 1 2
2 1
2 1 1
z a z a
z
a z a z
 

 
 
 
 
2 1
1 2
1 1
k k
a a
k k


 
 

Ejemplo
Convertir el filtro pasa bajo de un solo polo con función de transferencia:
 
 
1
1
0.245 1
1 0.509
z
z
H z





en un filtro pasabanda con frecuencias digitales de corte superior e
inferior y , respectivamente. El filtro pasa bajo tiene un ancho de
banda en -3 dB .
U
 L

0.2
c 
 
 
 
cos 2
cos 2
U L
U L

  
 
 

  
 
 
 
 
cot 2
2
c
U L
k tg

 
     
 
Solución
La transformación deseada es:
donde los valores de y k es como sigue:

2 1
2
1 1
2 1
2 1 1
z a z a
z
z
a z a


 

 
 
 

……
Sustituyendo en H(z):
 
2 1
1 2
2 1
2 1
2 1
1 2
2 1
2 1
0.245 1
1 0 5
1
1
. 09
H
z a z a
a z a z
z a z a
z
z
a a z
 
 
 
 
 
 
 

 







 


 

 
 
cos 2
cos 2
0
U L
U L

  
 
 
 
  
 
 
 
 
cot 2
2
1
c
U L
k tg

 
    
 
 
Reemplazando en H(z):
 
 
2
2
0.245 1
1 0.509
z
H z
z





Evaluando para:
3 y 2
5 5
U L
 
   

……
Grafica del módulo de H(z):

c
 
 
20log j
H e 
Pasa bajo a antipasa banda
L
 
U

 
20log j
H e 
2 1
1
2 1
2 1
1 1
1 2
1
1 1
k k
z z
k k
z
k k
z z
k k


 

 

 
 


 
 

Bibliografía
[1] J. G. Proakis, y D. G. Manolakis, TRATAMIENTO DIGITAL DE
SEÑALES - Capítulo 8: Diseño de filtros digitales. 8.3 Diseño de filtros IIR
a partir de filtros analógicos,, 3.ª Edición, Editorial Prentice Hall, pp. 675 -
702, 2000.
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