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• DISEÑO DE FILTROS IIR
• MÉTODOS DE DISEÑO DE FILTROS IIR
- Diseño a partir del Diseño de un Filtro Analógico
- Diseño por Técnicas en el Dominio Digital
DISEÑO DE FILTROS IIR

FILTROS IIR
• Pueden diseñarse a partir de prototipos analógicos,
transformando resultados. Por ello, se puede partir de
especificaciones y de técnicas de diseño propias de filtros
analógicos, y posteriormente se discretizan los resultados. Una
situación práctica que se beneficia de esta ventaja es cuando se
pretende reemplazar, por motivos de actualización tecnológica,
un filtro analógico por otro digital equivalente.
• Requieren menos coeficientes que un filtro FIR para diseñar
filtros de un mismo orden. Como consecuencia, los requisitos
de tiempo de cálculo y de capacidad de memoria son menores
en los filtros IIR.

• La sensibilidad de la salida del filtro por efectos de
truncamientos y redondeos de los resultados es menor en los
filtros IIR.
Selección de Filtros IIR:
- Diseños en que no se prevean problemas de estabilidad
- Filtros de orden muy elevado.
- Aprovechamiento de especificaciones basadas en
aproximaciones analógicas (de Butterworh, de Chebyscheb,
elípticos, etc.)

Métodos de DISEÑO DE FILTROS FIR
 Diseño de filtros IIR a partir del Diseño de un Filtro Analógico
 Diseño de filtros IIR por Técnicas en el Dominio Digital

DISEÑO A PARTIR DE FILTROS ANALÓGICOS
La mayoría de los métodos de diseño de filtros IIR parten de especificaciones en tiempo
continuo, a partir de las cuales se diseña un filtro analógico que, con las oportunas
transformaciones, se convertirá en un filtro IIR de comportamiento frecuencial
equivalente.
Entre los métodos más comunes de dentro de las técnicas de diseño que parten de
filtros analógicos tenemos:
Método de Transformación Invariante
Método de Invarianza Impulsional
Método de Transformación Bilineal
Para la utilización de cualquiera de estos métodos en el Método de diseño de filtros IIR,
se utilizarán las transformaciones que expresan las relaciones entre sistemas continuos,
transformables al plano S, y sistemas discretos, transformables al plano Z.

Relaciones entre Sistemas Continuos y Discretos:

Relaciones entre Sistemas Continuos y Discretos
La transformada de Laplace de la señal muestreada es:
La transformada de Z de la señal muestreada es:
La equivalencia gráfica entre el eje imaginario del plano S y la
circunferencia de radio unidad del plano Z, de acuerdo a la última
igualda es la de la siguient figura:

CAP8: DISEÑO DE FILTROS IIR
Supongamos que tenemos un filtro analógico con la
curva de amplificación de la figura:
y queremos reproducir exactamente sus
características frecuenciales con un filtro digital.
Es decir, deseamos que la
amplificación del filtro digital sea:

Para comprobar la similitud entre los dos filtros, hacemos el siguiente
montaje:

Como vemos, las amplitudes de los dos espectros difieren en un factor
T (periodo de muestreo). Antitransformando, esta diferencia también se
constatará en el dominio temporal:
Si denotamos como yc(nT) a la señal continua observada en los instantes t=nT
a fin de poder compararla con la secuencia discreta y[n], vemos que y[n]
difiere en amplitud de la señal y(t) que pretendía reproducir:

Siendo h[n] la respuesta impulsional del filtro digital, y hc(nT) la del
filtro analógico particularizada en los instantes t=nT, el método de
Invarianza Impulsional consistirá en forzar a la igualdad entre la
respuesta impulsional del sistema continuo a la del discreto de la
siguiente forma:
El nombre de invarianza impulsional dado a este método viene
precisamente del hecho de que se basa en forzar la igualdad
mencionada.

Aplicación
Si tenemos un sistema continuo, causal, con trasnformada de Laplace:
pudiendo ser los polos sk reales o complejos, y cuya respuesta impulsional
es:
su transformada Z vendrá dada por:
Para que la respuesta impulsional del sistema discreto sea la misma que la del
continuo, deberemos forzar la igualda:

Ejercicio
Supongamos que tenemos el siguiente filtro analógico:
Cuyo comportamiento es satisfactorio, pero que por motivos
tecnológicos tenemos que sintetizar de forma digital.
Determine el prototipo del filtro digital, mediante el método de
Invarianza Impusional de diseño de filtros IIR, considerando que el
filtro es de banda limitada a ωm=50 rad.s-1

Soluación:
Descomponiendo en fracciones parciales:
Determinando los coeficientes se tiene que:
Si calculamos la transformada Z, y corregimos el numerador con el factor de
escala T, tenemos la función de transferencia del filtro digital:
donde queda pendiente la elección del periodo de muestreo T.

Solución:
Selección del periodo de muestreo T:
Como el filtro es de banda limitada en 50 rad.s-1, aplicando la condición de
Nyquist:
Si sustituimos dicho valor en la expresión anterior de H(z), tenemos:
y, de esta ecuación, se deduce la ecuación en diferencias que habrá que
programar para realizar el filtro IIR deseado:
En la siguiente gráfica se muestran los diagramas de polos y ceros del sistema
analógico y los del digital obtenido por invarianza impulsional

Solución:
Diagramas de polos y ceros del sistema analógico y los del digital obtenido
por invarianza impulsional:
En realidad el cero debería estar en z=1, ya que este es el punto en el que se mapea la
frecuencia continua wc=0, y el prototipo analógico tenía un cero en esta frecuencia (en el
origen). El cero en z = 1.06 (debería estar en z=1) se ha producido por errores de
truncamientos y redondeos en los cálculos. Como este tipo de errores puede ser
importante (imagine que se hubiera tratado de un cero: ¡el sistema discreto sería
inestable!

DISEÑO POR TÉCNICAS EN EL DOMINIO DIGITAL
Hasta ahora nos hemos planteado el diseño de filtros IIR partiendo de prototipos
analógicos. También se pueden diseñar los filtros IIR usando técnicas puramente
digitales, sin tener que referirse a diseños analógicos previos.
En este caso, las especificaciones deben postularse en el dominio digital, sea como h[n]
del filtro deseado, o como una plantilla de la respuesta frecuencial buscada H(ω).
Entre los métodos más comunes de dentro de las técnicas de diseño en el dominio
digital tenemos:
 Los métodos que parten de especificaciones sobre la respuesta impulsional
deseada hd[n] y se calculan en el dominio temporal:
El método de Pade
El método de Mínimos Cuadrados
 Los métodos que parten de especificaciones sobre la respuesta frecuencial
deseada Hd(ω) y se calculan en el dominio frecuencial:
El método de Fletcher y Powell
El método de Deczky

siendo ak y bk coeficientes que fijan los polos y ceros del filtro
Método de Padé y Método de Mínimos Cuadrados
Los métodos de Padé y de mínimos cuadrados parten de especificaciones sobre la respuesta
impulsional deseada hd[n], y se calculan en el dominio temporal.
Ambos métodos persiguen la minimización del error cuadrático entre la respuesta impulsional
deseada hd[n] y la del filtro, h[n].
E: Error cuadrático ó Función
de Coste
siendo P el número de muestras que intervienen en el cálculo de la función de coste (E). Para ello
se parte de una H(z) del tipo:

Método de Padé y Método de Mínimos Cuadrados
El Método de Padé empieza particularizando la ecuación en
diferencias del filtro para una entrada en forma de impulso unitario, y
va resolviendo un sistema de ecuaciones de modo que los coeficientes
ak y bk de la ecuación en diferencias reproduzcan la hd[n] deseada.
El problema de este método es que el resultado suele contener
muchos polos y ceros, por lo que es poco útil en aplicaciones
prácticas.

En Método de Mínimos Cuadrados, como su nombre indica, también
busca la minimización de la función de coste E, pero la función de
transferencia del filtro obtenido sólo contiene polos. Para estimar
también los ceros se puede usar el método de Prony, que básicamente
es una combinación del método de mínimos cuadrados para estimar
los polos y del de Padé para estimar los ceros.
Otro método que estima polos y ceros es el de Shanks que
descompone el filtro IIR en la conexión en cascada de un filtro con
sólo polos y otro con sólo ceros.

Método de Fletcher y Powell y Método de Deczky
Los métodos de Fletcher y Powell y de Deczky parten de
especificaciones sobre la
respuesta frecuencial deseada Hd(ω), y se calculan en el dominio
frecuencial.
Ambos métodos son métodos iterativos que van variando los
coeficientes del filtro hasta que su respuesta frecuencial H(ω),
calculada en un número finito de muestras en frecuencia, se aproxima
(en diferencia cuadrática) lo suficiente a la deseada.
Además permiten ponderar en qué bandas de frecuencia el error de
aproximación es más importante que en otras.

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