...

1. MÓDULO
03
FÍSICA 2
PRINCIPIO DE
BERNOULLI

2. Primera edición digital
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Curso:Física 2
Módulo: Principios de Bernoulli.

3. Contenido
Introducción
Ecuación de continuidad
Principio de Bernoulli
Aplicaciones del principio de Bernoulli
Medidor de Venturi
Ley de Torricelli
Conclusiones
3
3
6
8
8
11
13
14
1.
2.
3.
4.
4.1
4.2.
5.
Bibliografía

4. pág. 3
Módulo 03: Principios de Bernoulli
1 INTRODUCCIÓN
Tal vez ha experimentado la sensación de conducir en una autopista y que un gran camión pasa
junto a usted con gran rapidez. En esta situación, es posible que haya tenido la aterradora
sensación de que su automóvil era jalado hacia el camión mientras este pasaba; esta sensación es
generada debido a que el aire (fluido) está en movimiento. En los módulos anteriores, el estudio
de los fluidos se restringió a fluidos en reposo; en este módulo, analizaremos los fluidos en
movimiento.
Cuando el fluido está en movimiento, su flujo puede ser estable o turbulento. Se dice que el fluido
es estable, o laminar, si cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme de tal modo que
las trayectorias de diferentes partículas nunca se cruzan unas con otras; en el flujo estable todas
las partículas de fluido que llegan a un punto dado tienen la misma velocidad. Sobre cierta rapidez
crítica, el flujo de fluido se vuelve turbulento. El flujo turbulento es un flujo irregular que se
caracteriza por pequeñas regiones con forma de remolino, como se muestra en la figura 1 (Serway
& Jewett, 2005).
2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La masa de un fluido en movimiento no
cambia al fluir. Esto conduce a una relación
cuantitativa importante llamada ecuación
de continuidad. Considere una porción de
un tubo de flujo entre dos secciones
transversales estacionarias con áreas y
. Los valores de la rapidez del fluido en
estas secciones son y , respectivamente
(figura 2). No fluye el fluido a través de los
costados del tubo porque la velocidad del
fluido es tangente a la pared en todos sus
puntos (Young et al., 2009)
FÍSICA 2
Flujo Turbulento Flujo Laminar
Figura 1
Figura 2
El producto es constante en el
caso de un fluido incomprensible.
1
2
1 2
1
1
1
1
2
2

5. pág. 4
FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
Según la figura 2, en un intervalo de tiempo , el elemento de fluido recorre una distancia ,
así que en el pasará por el volumen del fluido:
Durante ese mismo lapso de tiempo, pasará por el volumen del fluido:
Y se considera que el fluido es incompresible y que su densidad tiene el mismo valor en todos
los puntos. Luego, si consideramos un dm que fluye en el tubo por en el tiempo :
Lo mismo para la masa que sale por :
Entonces, en un mismo flujo estable, la masa total en el tubo es constante, es decir:
O bien:
Que vendría se ser la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles.
Flujo volumétrico o caudal: Es la rapidez con que el volumen cruza una sección transversal del
tubo, también conocida como taza de flujo volumétrico.
Si el fluido es compresible, entonces las densidades son diferentes y la ecuación (2) sería:
1
1
1 = 1 1
2 = 2
2
2
1 = 1
1
1
2
2
= 2
2
2
1 = 2
1 1 = 2 2
(1)
(2)
(3)
=
= =
1 1 1 = 2 2 2

6. pág. 5
FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
EJEMPLO 1. En un conducto de calefacción de una
habitación, ¿qué área debe tener el conducto de calefacción
si el aire que se mueve a través de él a 3.0 m/s puede
reponer el aire cada 15 minutos en una habitación de 300m3
de volumen? Considere que la densidad del aire permanece
constante.
La habitación se considera como una sección grande del conducto, además que el aire iguala al
volumen de la habitación cuando pasa por el punto 2 en = 15 min (esto equivale a 900 s).
Como despejamos:
De modo que:
Donde:
esto es:
Luego, usamos la ecuación (1):
SOLUCIÓN
Datos:
1 = 3.0 m s
⁄
= 15 min
2 = 300 m3
2 =
2
2 = 2
2 2 = 2
2
2 2 = 2
2 2 =
2
1 1 = 2 2 =
2
1 =
2
1
1 =
300 m3
(3.0m s) (900 s)
⁄
∴ 1 = 0.11 m2
1
2
𝑙
2
Punto 2
Punto 1
1

7. pág. 6
FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
3 PRINCIPIO DE BERNOULLI
En nuestro estudio sobre fluidos, hemos destacado cuatro parámetros: presión ,densidad ,
velocidad y altura sobre algún nivel de referencia. El primero en establecer la relación
entre estas cantidades y su capacidad para describir fluidos en movimiento fue el matemático
suizo Daniel Bernoulli (1700 - 1782).
En la figura 3, de secciones transversales y , que se encuentran a una distancia y
del nivel de referencia, respectivamente, el fluido genera una fuerza .
Puesto que un fluido tiene masa, debe obedecer a las mismas leyes de la conservación
establecidas para los sólidos. En consecuencia, el trabajo necesario para mover cierto volumen
de fluido a lo largo de la tubería debe ser igual al cambio total en energía potencial y cinética
(Tippens, 2007).
( ) ( )
( ) (ℎ)
1 2 1 2
1 = 1 1 y 2 = 2 2
( )
Figura 3
1
2
1
∆ 1
𝑙
∆ 2
𝑙
2
1
2
1
2
Tenemos lo siguiente:
Considerando que y despejando, tenemos:
Como los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera, la ecuación de Bernoulli se puede enunciar de
una forma más simple:
Trabajo neto = ∆K + ∆U
( 1 − 2) = (
1
2 2
2
−
1
2 1
2
) + ( 2 − 1)
=
1 + 1 +
1
2 1
2
= 2 + 2 +
1
2 2
2
+ +
1
2
2
=

8. pág. 7
FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli muestra que la presión de un fluido disminuye conforme la rapidez
del fluido aumenta Además, la presión disminuye conforme aumenta la elevación Este
último punto explica por qué la presión del agua de los grifos en los pisos superiores de un edificio
es débil, a menos que se tomen medidas para proporcionar mayor presión en el agua para dichos
pisos (Serway & Jewett, 2005).
Considerando que las secciones transversales de las tuberías son circulares, entonces:
Utilizamos la ecuación (1), que es la ecuación de continuidad, para determinar la rapidez en el
segundo piso.
(P)
(v) (P) (y)
EJEMPLO 2. El agua circula por toda una casa en un sistema
de calefacción de agua caliente. Si el agua se bombea con
una rapidez de 0.50 m/s a través de una tubería de 4.0 cm
de diámetro en el sótano, bajo una presión de 3.0 atm,
¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en una tubería de
2.6 cm de diámetro en el segundo piso, 5.0 m arriba? Se
supone que las tuberías no se dividen en ramificaciones.
SOLUCIÓN
Datos:
1 = 0.50 m/s
1 = 4.0 cm = 0.04 m
1 = (3.0 atm)
1.013 105
Pa
1 atm
= 3.013 × 105
Pa
2 = 2.6 cm = 0.026 m
2 = 5.0 m
= 2
2 =
1 1
2
2 =
1 1
2
2
2
2 =
(0.5 m s
⁄ )(0.02 m)2
(0.013)2
2 = 1.2 m s
⁄
1
2
1
5.0
m
segundo
piso
Tanque de
agua caliente
Medidor de agua
Del
suministro
de agua

9. pág. 8
FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
Para encontrar la presión en el segundo piso, empleamos la ecuación de Bernoulli:
Despejamos :
Considerando que el nivel de referencia está ubicado en el mismo nivel que , entonces .
Reemplazamos los datos:
1 + 1 +
1
2 1
2
= 2 + 2 +
1
2 2
2
2 = 1 + 1 +
1
2 1
2
− ( 2 +
1
2 2
2
)
2 = 1 + ( 1 − 2) +
1
2
( 1
2
− 2
2)
2
1 1=0
2 = 1 + ( 1 − 2) +
1
2
( 1
2
− 2
2)
2 =3.013×105
Pa+(1000kg m3
⁄ )(9.81m s2
⁄ )(−5m) + 1
2
(1000 kg m3
⁄ )(0.5m s
⁄ 2
−1.2 m s
⁄ 2
)
∴ 2 = 2.5 × 105
Pa
2 = 251 900 Pa
4 APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE BERNOULLI
4.1. MEDIDOR DE VENTURI
La figura 4 ilustra un medidor Venturi, que se usa para medir la rapidez de flujo en un tubo.
La parte angosta del tubo se llama garganta. Deduzca una expresión para la rapidez de flujo
en términos de las áreas transversales y y la diferencia de altura del líquido en
los dos tubos verticales (Young et al., 2009).
Al identificar que el flujo es estable, suponiendo que es incompresible y que no tiene fricción
interna, se puede utilizar la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli en los puntos
1 y 2:
1 1 2 ℎ
1
1
1 2 2
1
ℎ
1 2
La diferencia de altura es
resultado de la presión reducida
en la garganta (punto 2).
Figura 4

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FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
1 1 = 2 2
1 + 1 +
1
2 1
2
= 2 + 2 +
1
2 2
2
1, 1 = 0 ; 2 = 0 ; 1− 2 = ℎ ; 2 = 1
2
1
1 − 2 =
1
2 2
2
−
1
2 1
2
Despejando y considerando
2 ℎ = � �
1
2
�
2
− 1� 1
2
1 =
2 ℎ
� 1
2
�
2
− 1
ℎ =
1
2
1
2
2
1
2
−
1
2 1
2
ℎ =
1
2
1
2
1
2
−
1
2 1
2
ℎ = �
1
2
1
2
2
−
1
2
� 1
2
2 ℎ
�� 1
2
�
2
− 1�
= 1
2

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FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
EJEMPLO 3. Circula agua por un tubo horizontal que tiene la
forma que se muestra en la figura. En el punto 1 el diámetro
es de 6.0 cm, mientras que en el punto 2 es de 2.0 cm.
Además, en el punto 1, y .
Calcule y .
SOLUCIÓN
Datos:
1 = 2.0 m s
⁄ 1 = 180 kPa
2 2
1 = 6.0 cm → 1 = 3.0 cm
2 = 2.0 cm → 2 = 1.0 cm
1 = 2.0 m s
⁄
1 = 180 kPa
2 = 1
1
2
2 = 1
1
2
2
2
2 = (2.0 m s
⁄ )
32
12
2 = 18 m s
⁄
Aplicamos la ecuación de continuidad:
Luego, usamos la ecuación de Bernoulli:
Donde: y
Despejamos:
1 + 1 +
1
2 1
2
= 2 + 2 +
1
2 2
2
1 =0 2 = 0
1 +
1
2 1
2
= 2 +
1
2 2
2
2 = 1 +
1
2
( 1
2
− 2
2
)
2 = 180 × 103
+
1
2
(1000)(22
− 182
)
2 = 20 000 Pa
2 = 20 kPa
1 2
6.0 cm
2.0 cm

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FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
4.2. LEY DE TORRICELLI
Un tanque cerrado que contiene un líquido de
densidad tiene un orificio en su costado, a una
distancia , desde el fondo del tanque (figura 5). El
orificio está abierto a la atmósfera y su diámetro es
mucho menor que el diámetro superior del tanque. El
aire sobre el líquido se mantiene a una presión .
Determine la rapidez del líquido que sale del orificio
cuando el nivel del líquido está a una distancia sobre
el orificio (Serway & Jewett, 2005).
Como se puede observar, en la figura 5, . Esto hace que en la parte superficie del
agua, es decir en el punto 2, el líquido esté cerca del reposo, a una presión y en el punto
1, la presión es la presión atmosférica.
Aplicamos la ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 2:
Si , entonces ,esto hace que es decir, su valor es despreciable,
considerando además que
1
ℎ
1 ≪ 2
;
1 + 1 +
1
2 1
2
= 2 + 2 +
1
2 2
2
0 + 1 +
1
2 1
2
= + 2
1
2 1
2
= − 0 + 2 − 1
1
2
= 2( − 0) + 2 ( 2 − 1)
1
2
=
2( − 0)
+ 2 ℎ
1 ≪ 2 1≫ 2 2≈0 ,
2 − 1 = ℎ.
1 =
2( − )
+ 2 ℎ
1
De aquí se obtiene la rapidez del líquido que sale del orificio:
2
1
ℎ
2
2
0
1
1
2
Figura 5

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FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
EJEMPLO 4. Desde un depósito de gran extensión fluye agua
en régimen de Bernoulli como se indica en la figura. El depósito
está abierto a la atmósfera y la presión es .
La altura del 1 es de 12 m con respecto a los 3
y 4. La sección transversal de la tubería en los 2 y 3
es 300 cm2, y en el 4 de 100 cm2. Calcular:
a) El caudal de agua que fluye por el punto 4.
b) La presión en el punto 3.
SOLUCIÓN
Datos:
= 740 mmHg ×
1.013 105
Pa
760 mmHg
= 98634.21 Pa
1 = 12 m
2 = 3 = 300 cm2
= 0.03 m2
4 = 100 cm2
= 0.01 m2
=740
Para determinar el caudal en el punto 4, se debe determinar , utilizando la
ecuación de Bernoulli en los puntos 1 y 4, y además aplicar el teorema de Torricelli.
Considerando que es depreciable, ya que
Despejamos
a) = 4
1 + 1 +
1
2 1
2
= 4 + 4 +
1
2 4
2
1 ≪ 4 ; 4 = 0; 1 = 4 =
1 =
1
2 4
2
4:
4 = 2 1
4 = 2(9.81)(12)
4 = 15.34 m s
⁄
1
2
1
3 4
12
m

14. pág. 13
FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
Ahora determinamos el caudal 4:
4 = 4 4
4 = (0.01 m2
)(15.34 m s
⁄ )
4 = 0.1534 m3
s
⁄
Para determinar utilizaremos primero la ecuación de continuidad y luego la ecuación
de Bernoulli en los puntos 3 y 4, considerando que
Ahora usamos la ecuación de continuidad:
Finalmente, reemplazamos:
b) 3,
3= 4=0 y 4= =98634.21Pa.
3 = 4
4
3
3 = (15.34) �
0.01
0.03
�
3 = 5.11 m s
⁄
3 +
1
2 3
2
= 4 +
1
2 4
2
3 = 4 +
1
2 4
2
−
1
2 3
2
3 = +
1
2
( 4
2
− 3
2
)
3 = 98634.21 +
1
2
(1000)(15.34 2
− 5.112
)
3 = 203235.96 Pa
3 = 203.2 kPa
De la ecuación de continuidad se puede afirmar que a menor sección, mayor velocidad; y
que a mayor sección, menor velocidad.
De la ecuación de Bernoulli, se concluye que a menor velocidad, mayor presión; y a mayor
velocidad, menor presión.
5 CONCLUSIONES

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FÍSICA 2
Módulo 03: Principios de Bernoulli
BIBLIOGRAFÍA
Domingo, A. (2011). Apuntes de mecánica de fluidos [Archivo PDF].
Giancoli, D. (2009). Física 1, principios con aplicaciones. Pearson Prentice Hall.
Serway, R. & Jewett, J. (2005). Física para ciencias e ingeniería. (6.ª ed). Cengage Learning Editores.
Tippens, P. (2007). Fisica, conceptos y aplicaciones. McGraw-Hill.
Young, H., Fredman, R., Sears, F. & Zemansky, M. (2009). Física universitaria con física moderna. (2.ª
ed., vol 2). Pearson Education.
Medina, H. (2009). Física 2 [Archivo PDF]. Pontificia Universidad Católica del Perú.

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