La hidrodinamica es el campo del los movimientos de fluidos, evaluando el principio de Bernoulli y una derivada de ella: la ecuación de continuidad

1. Movimiento de fluidos
Caida de agua en el
parque Nacional de
Yellowstone.
El agua en la parte
superior de la
catarata pasa por un
estrechamiento en
donde su velocidad
se incrementa.

2. HIDRODINÁMICA
Estudia el movimientos de los fluidos, es
decir, el flujo de los fluidos

3. 3
Ideas previas
Los fluidos que se considerarán son líquidos que cumplen
con las siguientes características:
Fluidos incompresibles: de densidad
constante.
Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya
velocidad y presión no dependen del tiempo.
Flujos laminares: no turbulentos, las líneas de
flujo no se cruzan entre sí.
Flujos irotacionales: sus líneas
de flujo no se cierran sobre sí
mismas.
Flujos no viscosos: no hay
resistencia al movimiento entre
capas contiguas de fluido.
Si no son viscosos se podrá
hablar de conservación de la
energía, ya que no habrá
disipación de energía por efecto
de roce.

4. VISCOCIDAD
• Aparece como producto de la interacción de las moléculas
del fluido cuando éste se mueve a través de ductos en los
flujos laminares y turbulentos. Es decir la viscosidad se
debe al rozamiento interno del fluido
• La viscosidad en los líquidos disminuye con el aumento de
la temperatura mientras que en los gases sucede lo
contrario

5. 5
Tubo de flujo
Está formado por líneas de flujo adyacentes que corresponden a un fluido en
movimiento y cuya sección transversal no es necesariamente uniforme.
En la figura, cada línea representa una
capa de fluido, también se le puede
llamar línea de corriente.
Una molécula de fluido tiene una
velocidad que en cada punto es
tangente a la línea de corriente.
En condiciones ideales, tal como se ha
presentado hasta ahora, en el
movimiento de un fluido se cumplen los
siguientes principios:
- Conservación de la masa
- Conservación de la cantidad de
movimiento
- Conservación de la energía
v1
v2

6. 6
Ecuación de continuidad
Supongamos un fluido, de densidad ρ, que se mueve
por un tubo con distintas secciones.
1 2
Movimiento del fluido
La cantidad de fluido que
entra por la sección 1, de
área A1, es igual a la que
sale por la sección 2, de
área A2, en todo momento.
v1
v2
Δm1
Δm2
A1
A2
Δx1
Δx2
Por la sección 1 ingresa una cantidad Δm1 de fluido, con
volumen ΔV1, con velocidad v1 y recorre una distancia
Δx1 en un tiempo Δt.
En el mismo tiempo Δt, por la sección 2 sale una
cantidad Δm2 de fluido, con volumen ΔV2, a una
velocidad v2 recorriendo una distancia Δx2.
Δm1 = Δm2
ρ ΔV1 = ρ ΔV2
ρA1 Δx1 = ρA2 Δx2
ρA1v1 Δt = ρA2v2 Δt
A1v1 = A2v2

7. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La masa no se crea
ni se destruye. Es
decir siempre se
conserva

8. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
De acuerdo a la conservación de la
masa, la cantidad de masa que fluye
a través de la tubería es la misma
1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
m
Av
t
m m
Av t A v t
Av A v
Q Av

 


  
  


Si el flujo es incompresible,
la densidad es constante
Ecuación de continuidad
A esta ecuación se llama caudal o gasto

9. 9
Un ejercicio
Primero una observación:
A la expresión Av se le llama
“tasa de flujo”, y se mide en m3/s.
Una manguera para incendios tiene un diámetro
de 12 cm y en la boquilla se reduce a un
diámetro de 3 cm. Si el agua en la manguera se
mueve a razón 2 m/s.
¿Cuál es la velocidad con que sale el agua por
la boquilla?
Se tiene:
A1v1 = A2v2
Datos:
R1 = 0,06 m
v1 = 2 m/s
R2 = 0,015 m
Entonces:
A1 = πR1
2
A2 = πR2
2
Despejando:
v2 = A1v1/A2
v2 = πR1
2v1/ πR2
2
Haciendo los cálculos, se
tiene:
v2 = 32 m/s
Y.. ¿la tasa de flujo?
A2v2 = πR2
2v2
A2v2 = 0,00226 m3/s

10. 10
Ecuación de Bernoulli
Corresponde a una consecuencia del teorema del Trabajo y la Energía.
Es decir, el trabajo realizado – sobre el fluido en un tubo de flujo – es equivalente
al cambio de energía cinética que experimenta el fluido.
Vamos a considerar un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida,
están en desnivel además de ser de diferente área.
h1 ≠ h2
A1 ≠ A2
A1
A2

11. 11
F1
P1
F2
P2
Δx1
Δx2
v1
v2
A1
A2
En el segmento inferior actúa una fuerza F1
que produce una presión P1, y se cumple:
F1 = P1A1
A su vez, en el segmento superior actúa una
fuerza F2 que produce una presión P2, y se
cumple:
F2 = P2A2
El trabajo realizado por F1 es:
ΔW1 = F1 Δx1 = P1A1 Δx1 = P1 Δ V
El trabajo realizado por F2 es:
ΔW2 = - F2 Δx2 = - P2A2 Δx2 = - P2 ΔV
ΔV
ΔV
Por lo tanto, el trabajo realizado por las
fuerzas es:
ΔWF = ΔW1 + ΔW2 = (P1 – P2) ΔV
Δm = ρ ΔV
La cantidad Δm sube desde h1 hasta h2,
contra la gravedad, por lo tanto el trabajo
hecho por la fuerza gravitacional, es:
ΔWg = - Δmg(h2 – h1) = - ρ ΔVg(h2 – h1)
Por otro lado, el cambio de energía cinética de
Δm es:
ΔK = ½ Δm(v2
2 – v1
2) = ½ρ ΔV(v2
2 – v1
2)

12. 12
F1
P1
Δx1
Δx2
v1
v2
A1
A2
ΔV
ΔV
Δm = ρ ΔV
F2
P2
Según el teorema del trabajo y la energía,
se tiene:
ΔW = ΔK
por lo tanto:
ΔWF + ΔWg = ΔK
(P1 – P2) ΔV - ρ ΔVg(h2 – h1) = ½ρ ΔV(v2
2 – v1
2)
Dividiendo por ΔV y ordenando se tiene la expresión:
P1 + ½ ρ v1
2 + ρgh1 = P2 + ½ρv2
2 + ρgh2
A esta expresión se le conoce como la Ecuación de Bernoulli

13. Resumen: Ecuación de Bernoulli
 Es una ecuación de importancia en la mecánica de los fluidos ideales (se
desprecia las fuerzas de rozamiento, el flujo debe ser estable e
incompresible) y constituye una expresión del principio de conservación de
la energía. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía: la
energía cinética debida al movimiento, la energía debida a la presión y la
energía potencial gravitatoria debida a la elevación. Matemáticamente se
escribe
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p v p v
y y
g g
 
    
2
2
p v
y H Cte
g

   

14. 14
Interpretación de la Ecuación de
Bernoulli
P1 + ½ρv1
2 + ρgh1 = P2 + ½ρv2
2 + ρgh2
En la ecuación se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la suma
de las condiciones finales. Esto significa que:
P + ½ρv2 + ρgh = constante
Se puede deducir que:
Si la velocidad del fluido aumenta, su presión disminuye.
Si la velocidad del fluido disminuye, su presión aumenta.
Si un fluido asciende su presión puede disminuir.
Si un fluido asciende su velocidad puede disminuir.

15. Para determinar la ecuación
hidrostática se aplica la ecuación de
Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la
Como el depósito está abierto sobre
la superficie libre del fluido actúa la
presión atmosférica p0. Así mismo,
debido a que el fluido está en reposo,
v1 y v2 son nulas, con lo que la
ecuación anterior se escribe
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p v p v
z z
g g
 
    
 
0
1
1 2
1 0 2 1
1 0
0 0
p
p
z z
p p z z
p p h
 


    
  
 

16. • Otra de las aplicaciones más importantes de la
Ecuación de Bernoulli es el principio de
sustentación del ala de un avión.
• Aplicando la Ecuación, se deduce que por la parte
superior del ala del flujo tiene mayor rapidez que por la
parte inferior, por lo tanto la presión del aire es menor
arriba que abajo, lo que genera una fuerza resultante en
dirección ascendente.
16

17. • Como hemos visto, la condición para que esto ocurra es que el aire
pase a una cierta velocidad por el ala. Cuanto mayor la velocidad
mayor la sustentación (dentro de unos límites físicos, claro está).
Así que será necesario impulsar el avión hacia delante con una
fuerza de tracción, en contra de la resistencia al aire, para que el ala
pueda crear la fuerza de sustentación necesaria para vencer el
peso del avión y pueda elevarse. La fuerza de sustentación siempre
será perpendicular al perfil ala.
• Cuando la tracción, la resistencia al aire, la sustentación y el peso
están en equilibrio, el avión volará a una velocidad y altura
constante.
17

18. 18
Efecto Venturi
Ahora se considera un tubo donde h1 = h2
Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli queda:
P1 + ½ρv1
2 = P2 + ½ρv2
2
Entonces:
P1 – P2 = ½ρ(v2
2 – v1
2)
Si v1 > v2, entonces P1 – P2 < 0
Y ello ocurre solo si P2 > P1
Por lo tanto, se puede afirmar que donde la velocidad es mayor la presión es menor, o
también, que donde la velocidad es menor la presión es mayor.
P1 P2
v1
v2

19. 19
Algunas explicaciones a partir del
efecto Venturi
En una carretera, si dos vehículos pasan
cerca, en el espacio entre ellos el aire se
mueve a gran velocidad respecto a los
vehículos, por lo tanto en esa zona
disminuye la presión del aire y con ello se
justifica que los vehículos se atraen entre
sí. Esto es más manifiesto si uno de los
vehículos es mucho más pequeño que el
otro.
P
Pinterior Velocidad
del aire
Se tiene
P > Pinterior
por lo tanto el vehículo
más pequeño es atraído
hacia el más grande.
F

20. 20
Tubo de Venturi
Es un tubo donde hay un
angostamiento. Esto se aprecia en
la figura, donde en un sector hay
una sección de área A1 y en otro
tiene una sección reducida a A2.
En el sector más grande la velocidad
del fluido es v1 y en el más pequeño
la velocidad aumenta a v2.
De acuerdo a la ecuación de continuidad
A1v1 = A2v2, entonces v2 = A1v1/A2
Por otro lado, de acuerdo a la ecuación de
Bernoullí, en el efecto Venturi, se tiene:
P1 – P2 = ½ρ(v2
2 – v1
2)
Reemplazando v2
P1 – P2 = ½ρ(A1
2v1
2/A2
2 – v1
2)
Si se despeja v1, se tendrá:
 











1
A
A
P
P
2
v
2
2
2
1
2
1
1


21. Tubo Venturi
• Para aplicar las ecuaciones de mecánica de
fluidos es necesario observar las líneas de
corriente

22.  Para determinar el caudal en primer
lugar se determina la velocidad de
flujo del fluido aplicando la ecuación
de continuidad entre los punto 1 y 2
 Por otro lado aplicando la ecuación de
Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se
tiene
• Observando la figura se ve que
z1 y z2 se encuentran en un
mismo nivel horizontal por lo
que
• Combinando las ecuaciones 1 y 2
Tubo Venturi
1 1 2 2
2
2 2
1
A v A v
A
v v
A


2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p v p v
z z
g g
 
    
2 2
1 1 2 2
2 2
p v p v
g g
 
  
 
2 2
2 1 1 2
2g
v v p p

  
 
1 2
2 2
2
1
2
1
g p p
v
A
A



 
 

 
 
 
 
 

23.  La diferencia de presiones se
determina a partir de las
lecturas de los piezometros,
es decir
 Entonces la velocidad se expresa en
la forma
 Entonces el caudal Q o régimen
de flujo volumétrico se expresa en
la forma
Tubo Venturi
1 0 1
p p h

 
2 0 2
p p h

 
1 2
p p h

 
2 2
2
1
2
1
g h
v
A
A



 
 

 
 
 
 
 
 
1 1 2 2
1 2 2 2
1 2
2
Q Av A v
gh
Q A A
A A
 



24. 24
Ejercicio
Supongamos que un estanque con agua tiene
un orificio pequeño en la parte inferior.
Según la información de la figura que se
muestra: ¿con qué velocidad sale el chorro de
agua en el orificio?
v2
h1
h2
P2
P1
v1
El agua cae lentamente, por lo tanto
se puede considerar v1 = 0 m/s
También se tiene que P1 = P2 = P0
P1 + ½ρv1
2 + ρgh1 = P2 + ½ρv2
2 + ρgh2
Si aplicamos la ecuación de Bernoulli:
Se tendrá:
ρgh1 = ½ρv2
2 + ρgh2
Y, despejando v2, se obtiene que:
)
(
2 2
1
2 h
h
g
v 


25. Tubo de Venturi