Demostración del teorema de Bernoulli

1. UNIVERSIDAD SAN PEDRO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ASIGNATURA FÍSICA II
TEMA Ecuación de Bernoulli
CICLO IV
GRUPO B
DOCENTE Lic. Carlos Torres Chacón
Estudiante Emerson Guimaray Haya
Código 1112200172
Chimbote junio del año 2014

2. Ecuación de Bernoulli 2
ECUACIÓN DE BERNOULLI
OBJETIVO:
Estudiar la validez de la ecuación de Bernoulli para dos líquidos de viscosidad diferente.
MARCO TEÓRICO:
Daniel Bernoulli (Groninga, 8 de febrero de 1700 - Basilea, 17 de marzo de 1782)
Fue un matemático, estadístico, físico y médico holandés-suizo. Destacó no sólo en
matemática pura, sino también en las llamadas aplicadas, principalmente estadística y
probabilidad. Hizo importantes contribuciones en hidrodinámica y elasticidad.
El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de
Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente
de agua. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa
que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un
conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su
recorrido.
Esquema del Principio de Bernoulli
La Ecuación de Bernoulli:
La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:
Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido;
Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea;
Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee.

3. Ecuación de Bernoulli 3
La siguiente ecuación conocida como "ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli)
consta de estos mismos términos.
𝑉2 𝑝
2
+ 𝑃 + 𝑝𝑔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Donde:
 velocidad del fluido en la sección considerada.
 densidad del fluido.
 presión a lo largo de la línea de corriente.
 aceleración gravitatoria
 altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.
Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:
Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la
cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.
Caudal constante
Flujo incompresible, donde ρ es constante.
La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo sin rotación.
Ecuación de Bernoulli con fricción y trabajo externo
La ecuación de Bernoulli es aplicable a fluidos no viscosos, incompresibles en los que no
existe aportación de trabajo exterior, por ejemplo mediante una bomba, ni extracción de
trabajo exterior, por ejemplo mediante una turbina. De todas formas, a partir de la
conservación de la Cantidad de movimiento para fluidos incompresibles se puede escribir
una forma más general que tiene en cuenta fricción y trabajo:
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛤
+ 𝑧1 + 𝑊 = ℎ 𝑓 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛤
+ 𝑧2
Donde:
 Γ es el peso específico (). Este valor se asume constante a través del recorrido al
ser un fluido incompresible.
 W trabajo externo que se le suministra (+) o extrae al fluido (-) por unidad de
caudal másico a través del recorrido del fluido.
 ℎ 𝑓 disipación por fricción a través del recorrido del fluido.

4. Ecuación de Bernoulli 4
 Los subíndices y indican si los valores están dados para el comienzo o el final del
volumen de control respectivamente.
 g = 9,81 m/s2.
Aplicaciones del Principio de Bernoulli
Permite calcular las velocidades y presiones en distintos tramos, pero además sirve para
evaluar las pérdidas de presión, y simular la distribución de caudales (gastos, flujos, en
litros /s, m³/s, o por hora, etc.) en cañerías y sistemas hidráulicos con diferencia de
diámetros, alturas, distintas obstrucciones al paso del fluido (líquido o gaseoso, o sea
neumáticos también).
Una evaluación que suele hacerse es evaluar la fuerza de sustentación sobre las alas de
un avión. Se basa en despreciar la diferencia de alturas geométrica entre las caras
superior e inferior del ala, pero considerando la diferencia de velocidades y la superficie
alar.
Otra aplicación es el tubo Venturi, que sirve para medir caudales y velocidades de fluidos
en cañerías por diferencia de presiones entre dos puntos en uno de los cuales hay una
restricción a la circulación.
EQUIPOS Y MATERIALES:
 2 Tubos de Metacrilato (Diámetro superior: 42 mm; diámetro inferior 2 mm)
 90 cm3
de aceite de hidrolina
 90 cm3
de agua potable
 Cronómetro
PROCEDIMIENTOS Y TOMADE DATOS:
Se instalan los dos tubos de metacrilato en uno de ellos (de boquilla más angosta) se
procede a verter el agua potable hasta que alcance una altura de 90 cm o almacenemos
los 90 cm3
, en el otro se llena el aceite de hidrolina hasta que alcance la misma altura, se
coloca un recipiente debajo del caño de cada tubo, abrimos el caño para que caigan

5. Ecuación de Bernoulli 5
ambos líquidos (agua e hidrolina) y cada 10 cm que bajen tomamos las medidas
correspondientes usando el cronómetro.
h cm Agua (t) Hidrolina (t)
0,90 20”88 = 21 s 1´26”09
0,80 43”47 = 43 s 3´01”35
0,70 1´07”19 = 67 s 4´46”02
0,60 1´32”34 = 92 s 6´44”09
0,50 1´58”85 = 118 s 9´00”77
0,40 2´29”09 = 149 s 11´38”22
0,30 3´02”34 = 182 s 14´47”04
0,20 3´41”36 = 221 s 18´01”58
0,10 4´26”29 = 266 s 27´59”59
* Sólo tomamos los datos del agua por ser un fluido ideal porque es incompresible y tiene
despreciable viscosidad.
ANÁLISIS Y RESULTADOS:
Descomponemos la ecuación de Bernoulli:
𝑃1 +
1
2
𝑣1
2
+ 𝑔ℎ1 = 𝑃2 +
1
2
𝑣2
2
+ 𝑔ℎ2
𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2
𝑣1 =
𝐴2 𝑣2
𝐴1

6. Ecuación de Bernoulli 6
1
2
(𝐴2
𝑣2
𝐴1
)
2
+ 𝑔ℎ1 =
1
2
𝑣2
2 + 𝑔ℎ2
𝑔ℎ1 =
1
2
𝑣2
2
( 1 −
𝐴2
2
𝐴1
2
)
𝑣2 = √
2𝑔ℎ1
𝐴1
2
− 𝐴2
2
Finalmente:
𝒗 𝟐 = √
𝟐𝒈𝒉 𝟏 𝝓 𝟏
𝟒
𝝓 𝟏
𝟒
− 𝝓 𝟐
𝟒
Aplicando la fórmula obtenemos V2 que es la velocidad del agua al atravesar la
boquilla del tubo en cada altura respectiva:
h (m) V2 (m/s)
0,9 4.20
0,8 3.96
0,7 3.70
0,6 3.43
0,5 3.13
0,4 2.80
0,3 2.42
0,2 1.98
0,1 1.40
El promedio de V2 es 3 m/s.

7. Ecuación de Bernoulli 7
Entonces tenemos que:
El agua tarda 21 s en llegar desde los 0,90 a 0,80 m que es una distancia de 0,1
m → su velocidad en ese tramo es 0.1/21 = 4.76 x 10-3 m/s.
De 0,80 a 0,70 tarda 43 s → v =0.1/43 = 2.32 x 10-3 m/s
De 0,70 a 0,60 tarda 67 s → v =0.1/67 = 1.49 x 10-3 m/s
De 0,60 a 0,50 tarda 92 s → v =0.1/92 = 1.08 x 10-3 m/s
De 0,50 a 0,40 tarda 118 s → v =0.1/118 = 8.47 x 10-4 m/s
De 0,40 a 0,30 tarda 149 s → v =0.1/149 = 6.71 x 10-4 m/s
De 0,30 a 0,20 tarda 182 s → v =0.1/182 = 5.49 x 10-4 m/s
De 0,20 a 0,10 tarda 221 s → v =0.1/221 = 4.52 x 10-4 m/s
De 0,1 hasta 0 tarda 226 s → v = 0.1/226 = 4.42 x 10-4 m/s
n y
h (m)
x
v x 10-3 (m/s)
x2 xy
1 0,9 4.76 22.66 4.284
2 0,8 2.32 5.38 1.856
3 0,7 1.49 2.22 1.043
4 0,6 1.08 1.17 0.648
5 0,5 0.847 0.72 0.4235
6 0,4 0.671 0.45 0.2684
7 0,3 0.549 0.30 0.1647
8 0,2 0.452 0.20 0.0904
9 0,1 0.442 0.20 0.0442
Ʃ 4.5 12.611 33.3 8.8222

8. Ecuación de Bernoulli 8
𝒎 =
𝟗(𝟖. 𝟖𝟐) − ( 𝟏𝟐. 𝟔𝟏)(𝟒. 𝟓)
𝟗(𝟑𝟑. 𝟑) − ( 𝟏𝟐. 𝟔𝟏)^𝟐
= 𝟎. 𝟏𝟔
𝒃 =
𝟒. 𝟓 − (𝟎. 𝟏𝟔)(𝟏𝟐. 𝟔𝟏𝟏)
𝟗
= 𝟎. 𝟐𝟖
CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS:
 Cuando la velocidad del fluido aumenta su presión disminuye.
 Debido a ser un fluido ideal el agua es incompresible y por lo tanto su
densidad no varía por la altura del tubo o la presión.
 A mayor altura el agua desciende con mayor velocidad debido a la energía
potencial y cinética que se expresa en la variación de velocidad en los
diferentes tramos hasta vaciar completamente el líquido del tubo.
 La velocidad máxima que alcanza el agua en V1 es 4.76 x 10-3 m/s.
 La velocidad mínima que alcanza V1 es 4.42 x 10-4 m/s.
 El promedio de velocidades en V1 es 1.29 x 10-3 m/s.
 La velocidad máxima que alcanza V2 es 4.20
 La velocidad mínima que alcanza V 2 es 1.40
 El promedio de V2 es 3 m/s.
REFERENCIAS:
http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli