SUMAS EN SYMPY

1. SUMAS EN SYMPY
Siéntase libre de volver a esta barra lateral más tarde cuando aprenda más sobre SymPy.
SymPy, que usamos para graficar funciones, es en realidad una biblioteca matemática
simbólica; hablaremos de lo que esto significa más adelante en este capítulo. Pero tenga
en cuenta para referencia futura que una operación de sumaen SymPy se realiza utilizando
el operador Sum(). En el siguiente código, iteramos i de 1 a n, multiplicamos cada i y los
sumamos.Peroluego usamos la función subs()para especificar n como5, que luego iterará
y sumará todos los elementos i del 1 al n :
fromsympy import*
i,n = symbols('i n')
# iterate eachelementi from1 to n,
# thenmultiplyandsum
summation = Sum(2*i,(i,1,n))
# specifynas5,
# iteratingthe numbers1through5
up_to_5 = summation.subs(n, 5)
print(up_to_5.doit()) # 30
Tenga en cuenta que las sumas en SymPy son perezosas, lo que significa que no se
calculan automáticamente ni se simplifican. Así que usa la función doit() para ejecutar la
expresión.
Exponentes
Los exponentes multiplican un número por sí mismo un número específico de veces.
Cuando elevas 2 a la tercera potencia (expresado como 2 3 usando 3 como superíndice),
eso es multiplicar tres 2 juntos:
23 = 2 * 2 * 2 = 8
La base es la variable o valor que estamos exponenciando, y el exponente es el número de
veces que multiplicamos el valor de la base. Para la expresión 2 3
, 2 es la base y 3 es el
exponente.
Los exponentes tienen algunas propiedades interesantes. Digamos que multiplicamos x 2
y x 3
juntos. Observe lo que sucede a continuación cuando amplío los exponentes con una
simple multiplicación y luego los consolido en un solo exponente:
x2
x3
= (x*x)*(x*x*x) = x2+3
= x5
Cuando multiplicamos exponentes con la misma base, simplemente sumamos los
exponentes, lo que se conocecomola regla del producto. Permítanme enfatizar que la base
de todos los exponentes multiplicados debe ser la misma para que se aplique la regla del
producto.
Exploremos la división a continuación. ¿Qué sucede cuando dividimos x 2
por x 5
?

2. Como puedes ver, cuando dividimos x2
por x5
podemos cancelar dos x en el numerador y
el denominador, dejándonos con . Cuando existe un factor tanto en el numerador como
en el denominador, podemos cancelar ese factor.
¿Qué pasa con el x-3, te preguntas? Este es un buen punto para introducir exponentes
negativos, que es otra forma de expresar una operación exponencial en el denominador de
una fracción. Para demostrar, es lo mismo que x -3 :
Al vincular la regla del producto, podemos ver que también se aplica a los exponentes
negativos. Para obtener intuición detrás de esto, abordemos este problema de una manera
diferente. Podemos expresar esta división de dos exponentes haciendo negativo el
exponente “5” de x 5
y luego multiplicándolo por x 2
. Cuando agrega un número negativo,
está realizando efectivamente una resta. Por lo tanto, la regla del producto de exponentes
que suma los exponentes multiplicados aún se mantiene como se muestra a continuación.
:
Por último, pero no menos importante, ¿puedes averiguar por qué cualquier base con un
exponente de 0 es 1?
x0 = 1
La mejor manera de obtener esta intuición es razonar que cualquier número dividido por sí
mismo es 1. Si tienes x 3 x 3 es algebraicamente obvio que se reduce a 1. Pero esa
expresión también se evalúa como x 0 :
1 = x 3 x 3 = x 3 x -3 = x 3+-3 = x 0
Por la propiedad transitiva, que establece que si a = b y b = c, entonces a = c, sabemos que
x 0 = 1.
SIMPLIFICAR EXPRESIONES CON SYMPY
Si no se siente cómodo con la simplificación de expresiones algebraicas, puede usar la
biblioteca SymPy para que haga el trabajo por usted. He aquí cómo simplificar nuestro
ejemplo anterior.:
from sympy import *
x = symbols('x')
expr = x**2 / x**5
print(expr) # x**(-3)
Ahora, ¿qué pasa con los exponentes fraccionarios? Son una forma alternativa de
representar raíces, como la raíz cuadrada. Como un breve repaso, un pregunta
"¿Qué número multiplicado por sí mismo me da 4?" que por supuesto es 2. Note aquí que
4 1/2 es lo mismo que :
Las raíces cúbicas son similares a las raíces cuadradas, pero buscan un número
multiplicado por sí mismotres veces para dar un resultado. Una raíz cúbica de 8 se expresa
como y pregunta "¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces me da 8?" Este

3. número sería 2 porque 2 * 2 * 2 = 8. En exponentes, una raíz cúbica se expresa como un
exponente fraccionario, y se puede reexpresar como 8 1/3 :
Para volver a cerrar el círculo, ¿qué sucede cuando multiplicas la raíz cúbica de 8 tres
veces? Esto deshará la raíz cúbica y producirá 8. Alternativamente, si expresamos la raíz
cúbica como exponentes fraccionarios , queda claro que sumamos los exponentes
para obtener un exponente de 1. Eso también deshace la raíz cúbica:
Y una última propiedad: un exponente de un exponente multiplicará los exponentes. Esto
se conoce como la regla de la potencia. Entonces se simplificaría a 86:
Si no está seguro de por qué esto es así, intente expandirlo y verá que la regla de la suma
lo aclara:
Por último, ¿qué significa cuando tenemos un exponente fraccionario con un numerador
distinto de 1, como ? Bueno, eso es sacar la raíz cúbica de 8 y luego elevarla al
cuadrado. Echar un vistazo:
Y sí, los números irracionales pueden servir como exponentes como 8 π
, que es 687,2913.
Esto puede parecer poco intuitivo, ¡y es comprensible! En aras del tiempo, no
profundizaremos en esto, ya que requiere algunos cálculos. Pero esencialmente, podemos
calcular exponentes irracionales aproximando con un número racional. Esto es
efectivamente lo que hacen las computadoras,ya que de todos modos solo pueden calcular
hasta tantos lugares decimales.
Por ejemplo, π tiene un número infinito de decimales. Pero si tomamos los primeros 11
dígitos, 3.1415926535, podemos aproximar π como un número racional 31415926535 /
10000000000. Efectivamente, esto nos da aproximadamente 687.2913, que debería
coincidir aproximadamente con cualquier calculadora.:
logaritmos
Un logaritmo es una función matemática que encuentra una potencia para un número y una
base específicos. Puede que no suene interesante al principio, pero en realidad tiene
muchas aplicaciones. Desde la medición de terremotos hasta la gestión del volumen de su
estéreo, el logaritmo se encuentra en todas partes. También encuentra su camino en el
aprendizaje automático y la ciencia de datos. De hecho, los logaritmos serán una parte
clave de las regresiones logísticas en el Capítulo 6.
Comience su pensamiento preguntando "¿2 elevado a qué potencia me da 8?" Una forma
de expresar esto matemáticamente es usar una x para el exponente:

4. 2x = 8
Intuitivamente sabemos la respuesta, x = 3 , pero necesitamos una forma más elegante
de expresar esta operación matemática común. Para esto es la función log().
Como puede ver en la expresión logarítmica anterior, tenemos una base 2 y estamos
encontrando una potencia que nos dé 8. De manera más general, podemos reexpresar un
exponente variable como un logaritmo:
a x = b
Hablando algebraicamente, esta es una forma de aislar x, lo cual es importante para
resolver para x. El ejemplo 1-12 muestra cómo calculamos este logaritmo en Python.
Ejemplo 1-12. Usando la función de registro en Python
frommath importlog
# 2 raisedto whatpowergivesme 8?
x = log(8, 2)
print(x) # prints3.0
Cuando no proporciona un argumento base a una función log() en una plataforma como
Python, normalmente tendrá una base predeterminada. En algunos campos, como las
mediciones de terremotos, la base predeterminada para el registro es 10. Pero en la ciencia
de datos, la base predeterminada para el registro es el número e de Euler. Python usa
este último, y hablaremos de een breve.
Al igual que los exponentes, los logaritmos tienen varias propiedades cuando se trata de
multiplicaciones, divisiones, exponenciaciones, etc. En aras del tiempo y el enfoque, solo
presentaré esto en la Tabla 1-3. La idea clave en la que centrarse es que un logaritmo
encuentra un exponente para una base dada para dar como resultado un número
determinado.
Si necesita sumergirse en las propiedades logarítmicas, la Tabla 1-3 muestra los
comportamientos de exponentes y logaritmos uno al lado del otro que puede usar como
referencia.
Tabla 1-3. Propiedades para exponentes y logaritmos
Número de Euler y logaritmos naturales

5. Hay un número especial que aparece bastante en matemáticas llamado número e de Euler.
Es un número especial muy parecido a Pi π y es aproximadamente 2.71828. e se usa
mucho porque matemáticamente simplifica muchos problemas. Cubriremos e en el
contexto de exponentes y logaritmos.
Número de Euler
En la escuela secundaria, mi profesor de cálculo demostró el número de Euler en varios problemas
exponenciales. Finalmente le pregunté: “Sr. Ahora, ¿qué es e de todos modos? ¿De dónde viene?"
Recuerdo que nunca estuve completamente satisfecho con las explicaciones que involucraban a las
poblaciones de conejos y otros fenómenos naturales. Espero dar una explicación más satisfactoria
aquí.
¿POR QUÉ SE USATANTO EL NÚMERO DE EULER?
Una propiedad del número de Euler es que su función exponencial es una derivada de sí mismo, lo cual es
conveniente para funciones exponencialesy logarítmicas. Aprenderemos acerca de las derivadas más adelanteen
este capítulo. En muchas aplicacionesdonde la base realmente no importa, elegimos la que resulta en la derivada
más simple, yese es el número deEuler. Por esotambiénesla basepredeterminada enmuchasfuncionesdeciencia
de datos.
Así es como me gusta descubrir el número de Euler. Digamos que le prestas $100 a alguien con un 20% de
interés anual. Por lo general, el interés se capitalizará mensualmente, por lo que el interés de cada mes sería . 20
/ 12 =. 01666. ¿A cuánto ascenderá el saldo del préstamo después de dos años? Para simplificar, supongamos
que el préstamo no requiere pagos (y no se realizan pagos) hasta el final de esos dos años.
Reuniendo los conceptos de exponentes que aprendimos hasta ahora (o tal vez sacando
un libro de texto de finanzas), podemos encontrar una fórmula para calcular el interés.
Consiste en un saldo A para una inversión inicial P, tasa de interés r, lapso de tiempo t
(número de años) y períodos n (número de meses en cada año). Aquí está la fórmula:
Entonces, si fuéramos a capitalizar el interés cada mes, el préstamo crecería a $148.69
como se calcula aquí:
Si quiere hacer esto en Python, pruébelo con el código del Ejemplo 1-13.
Ejemplo 1-13. Cálculo de interés compuesto en Python
from math import exp
p = 100
r = .20
t = 2.0
n = 12
a = p * (1 + (r/n))**(n * t)
print(a) # prints 148.69146179463576
Pero, ¿y si capitalizáramos el interés diariamente? ¿Qué pasa entonces? Cambie n a 365:

6. ¡Eh! Si capitalizamos nuestro interés diariamente en lugar de mensualmente, ganaríamos
47.4666 centavos más al final de dos años. Si nos volvimos codiciosos, ¿por qué no
componer cada hora comose muestra a continuación? ¿Eso nos dará aún más?Hay 8.760
horas en un año, así que establezca n en ese valor:
¡Ah, exprimimos aproximadamente 2 centavos más en intereses! Pero, ¿estamos
experimentando un rendimiento decreciente? ¡Intentemos capitalizar cada minuto! Tenga
en cuenta que hay 525.600 minutos en un año, así que establezcamos ese valor en n :
Bien, solo estamos ganando fracciones cada vez más pequeñas de un centavo cuanto más
frecuentemente calculamos. Entonces, si sigo haciendo estos períodos infinitamente más
pequeños hasta el punto de capitalizarlos continuamente, ¿adónde lleva esto?
Permítame presentarle el número e de Euler, que es aproximadamente 2,71828. Aquí está
la fórmula para capitalizar "continuamente", lo que significa que estamos capitalizando sin
parar:
Volviendo a nuestro ejemplo, calculemos el saldo de nuestro préstamo después de dos
años si capitalizamos continuamente:
Esto no es demasiado sorprendente considerando que la capitalización de cada minuto nos
dio un saldo de 149.1824584. Eso nos acercó mucho a nuestro valor de 149.1824698 al
capitalizar continuamente.
Por lo general, usa e como base de exponente en Python, Excel y otras plataformas que
usan la función exp(). Descubrirá que e se usa con tanta frecuencia que es la base
predeterminada para las funciones de exponente y logaritmo.
El ejemplo 1-14 calcula el interés continuo en Python usando lafunción exp().
Ejemplo 1-14. Cálculo de interés continuo en Python
from math import exp
p = 100 # principal, starting amount

7. r = .20 # interest rate, by year
t = 2.0 # time, number of years
a = p * exp(r*t)
print(a) # prints 149.18246976412703
Entonces, ¿de dónde derivamos esta constante e? Compara la fórmula de interés
compuesto y la fórmula de interés continuo. Estructuralmente se ven similares pero tienen
algunas diferencias:
Más técnicamente hablando, e es el valor resultante de la expresión a medida
que n crece cada vez más, acercándose así al infinito. Intente experimentar con valores
cada vez más grandes para n. Al hacerlo cada vez más grande notarás algo:
A medida que aumenta n, hay un rendimiento decreciente y converge aproximadamente en
el valor 2.71828, que es nuestro valor e. Encontrará que este e se usa no solo para
estudiar poblaciones y su crecimiento. Desempeña un papel clave en muchas áreas de las
matemáticas.
Más adelante en el libro, usaremos el número de Euler para construir distribuciones
normales en el Capítulo 3 y regresiones logísticas en el Capítulo 6.
Logaritmos naturales
Cuando usamos e como nuestra base para un logaritmo, lo llamamos logaritmo natural.
Dependiendo de la plataforma, podemos usar ln() en lugar de log() para especificar un
logaritmo natural. Entonces, en lugar de expresar un logaritmo natural expresado como
loge10 para encontrar la potencia elevada en e para obtener 10, lo abreviaríamos como
ln(10):
loge10 = ln (10)
Sin embargo, en Python, la función log() especificaun logaritmo natural. Comose mencionó
anteriormente, la base predeterminada para la función log() es e. Simplemente deje vacío

8. el segundo argumento para la base y usará de forma predeterminada e como la base
que se muestra en el Ejemplo 1-15.
Ejemplo 1-15. Cálculo del logaritmo natural de 10 en Python
from math import log
# e raised to what power gives us 10?
x = log(10)
print(x) # prints 2.302585092994046
Usaremos e en varios lugares a lo largo de este libro. Siéntase libre de experimentar con
exponentes y logaritmos utilizando Excel, Python, Desmos.com o cualquier otra plataforma
de cálculo de su elección. Haz gráficos y siéntete cómodo con el aspecto de estas
funciones.
Límites
Como hemos visto con el número de Euler, surgen algunas ideas interesantes cuando
siempre aumentamos o disminuimos una variable de entrada y la variable de salida se
acerca a un valor pero nunca lo alcanza. Exploremos formalmente esta idea.
Tome esta función, que se representa en la figura 1-5 :