Este documento explica los conceptos de interpolación polinómica y ajuste de curvas. En particular, describe dos métodos de interpolación polinómica: la interpolación polinómica de Lagrange y las diferencias divididas interpolantes de Newton. La interpolación polinómica de Lagrange construye un polinomio que pasa exactamente por los puntos de datos dados, mientras que el método de Newton es más algorítmico y útil para polinomios de alto grado. Ambos métodos se utilizan comúnmente para aproximar funciones a partir de un conjunto
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
El método de variación de parámetros permite encontrar una función particular que satisfaga una ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n. Requiere primero resolver la ecuación homogénea asociada para obtener las funciones fundamentales, y luego proponer una solución de la forma de un campo vectorial multiplicado por esas funciones, cuyas componentes se determinan satisfaciendo la ecuación original.
1) El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas y exactas. 2) Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales homogéneas mediante un cambio de variable y ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración. 3) También cubre ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a homogéneas y el concepto de factor integrante.
Este documento presenta aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo aproximar el área de una región mediante rectángulos y cómo definir el área exacta como un límite. También cubre el cálculo del área entre dos curvas y presenta ejemplos resueltos.
El documento presenta un ejemplo de cómo aplicar el Teorema de Lagrange para maximizar el volumen de una caja rectangular dada una restricción en el área del cartón. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar que la dimensión óptima es x=2, y=2, z=1, dando el volumen máximo de 8 unidades cúbicas.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección involucra dividir repetidamente el intervalo que contiene la raíz buscada hasta alcanzar la precisión deseada. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones trazando la tangente a la función en cada punto e intersectándola con el eje x. El documento explica cada método con detalle y provee ejemplos numéricos de su aplicación.
Ecuaciones diferenciales orden superiorJohana lopez
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Este documento presenta el método numérico del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales de la forma f(x)=0. Explica la teoría del método, incluyendo cómo transformar la ecuación en una equivalente de punto fijo x=g(x) y realizar iteraciones para aproximar la raíz. Luego, muestra cuatro ejemplos numéricos aplicando los pasos del método para encontrar raíces de diferentes funciones como x2-2x-3=0, cos(x)=0 y e-x-x=0. Finalmente, propone dos ej
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
El método de variación de parámetros permite encontrar una función particular que satisfaga una ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n. Requiere primero resolver la ecuación homogénea asociada para obtener las funciones fundamentales, y luego proponer una solución de la forma de un campo vectorial multiplicado por esas funciones, cuyas componentes se determinan satisfaciendo la ecuación original.
1) El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas y exactas. 2) Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales homogéneas mediante un cambio de variable y ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración. 3) También cubre ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a homogéneas y el concepto de factor integrante.
Este documento presenta aplicaciones de la integral definida para calcular áreas, volúmenes y longitudes. Explica cómo aproximar el área de una región mediante rectángulos y cómo definir el área exacta como un límite. También cubre el cálculo del área entre dos curvas y presenta ejemplos resueltos.
El documento presenta un ejemplo de cómo aplicar el Teorema de Lagrange para maximizar el volumen de una caja rectangular dada una restricción en el área del cartón. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar que la dimensión óptima es x=2, y=2, z=1, dando el volumen máximo de 8 unidades cúbicas.
Este documento presenta dos métodos para resolver ecuaciones no lineales: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección involucra dividir repetidamente el intervalo que contiene la raíz buscada hasta alcanzar la precisión deseada. El método de Newton-Raphson calcula sucesivas aproximaciones trazando la tangente a la función en cada punto e intersectándola con el eje x. El documento explica cada método con detalle y provee ejemplos numéricos de su aplicación.
Ecuaciones diferenciales orden superiorJohana lopez
1) El documento describe métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, homogéneas y no homogéneas.
2) Explica que para ecuaciones lineales existe una solución única si los coeficientes son continuos. También introduce conceptos como conjunto fundamental de soluciones y wronskiano.
3) Presenta el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución a partir de una solución conocida.
Este documento presenta el método numérico del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales de la forma f(x)=0. Explica la teoría del método, incluyendo cómo transformar la ecuación en una equivalente de punto fijo x=g(x) y realizar iteraciones para aproximar la raíz. Luego, muestra cuatro ejemplos numéricos aplicando los pasos del método para encontrar raíces de diferentes funciones como x2-2x-3=0, cos(x)=0 y e-x-x=0. Finalmente, propone dos ej
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
Este documento trata sobre la derivada de una función dada paramétricamente. Explica que una función paramétrica representa una curva a través de dos ecuaciones que dependen de una tercera variable común llamada parámetro. También describe cómo calcular la derivada de una función paramétrica usando la regla de la cadena, la cual relaciona la derivada de y con respecto a t con las derivadas parciales de x e y.
Este documento explica diferentes métodos de interpolación como la interpolación lineal, la fórmula de interpolación de Lagrange y el método de interpolación de mínimos cuadrados. Incluye ejemplos y aplicaciones prácticas de cada método. También cubre el uso de herramientas computacionales como MATLAB para realizar interpolación de datos.
El método de bisección es un método simple para encontrar las raíces de una ecuación mediante la división sucesiva del intervalo de estudio a la mitad. Se basa en el teorema del valor intermedio y consiste en evaluar la función en el punto medio de cada subintervalo para determinar dónde cambia de signo y así ubicar la raíz. El proceso se repite hasta alcanzar la precisión deseada.
Matlab integración numérica, método del trapecioTensor
Este documento describe el método numérico del trapecio para aproximar integrales definidas en Matlab. Explica que cuando una función no tiene una primitiva analítica, se debe usar un método numérico como el trapecio. Luego detalla los pasos del algoritmo del trapecio, incluyendo dividir el intervalo en subintervalos y sumar las áreas de los trapecios formados. Finalmente, muestra código Matlab que implementa este método para aproximar la integral de una función.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
La ecuación de Cauchy-Euler es una ecuación diferencial de segundo orden donde los coeficientes son constantes. El documento explica que se examinarán las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden y que luego se podrá resolver la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. También resume los métodos de solución para cuando las raíces son distintas o repetidas.
El método de Gauss-Seidel es una técnica para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Funciona iterando los valores de las incógnitas y actualizando uno por uno basado en el coeficiente dominante en cada ecuación, convergiendo a una solución cuando los coeficientes cumplen ciertas condiciones. El documento provee los pasos del método y un ejemplo numérico para ilustrar su aplicación.
se trata de resolver una figura sin curvas, solamente cuadrados y rectangulos para encontrar los esfuerzos internos, las deformaciones unitarias por el metodo de las diferencias finitas
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
Aplicacion Libre 2. Metodos de Trapecio y Metodos de SimpsonRomario Fajardo
Este documento presenta el cálculo del trabajo realizado por un cuerpo que se desplaza linealmente desde 1 hasta 2 metros con una fuerza variable dada por la función f(x)=10x/(x^0.5+1)^5. Usa la fórmula de Simpson 1/3 compuesta con 4 subdivisiones para aproximar la integral numéricamente y obtener un valor de 2,43191067688894 Joules. Compara este resultado con otros métodos numéricos mostrando que Simpson 1/3 es el más preciso dado la complejidad de la función.
Este documento presenta una unidad sobre integración en cálculo vectorial. La unidad cubre varios temas clave como integrales de línea, integrales dobles y triples, y aplicaciones de estas integrales al cálculo de áreas y volúmenes. Incluye ejemplos y definiciones de conceptos matemáticos fundamentales relacionados con la integración en varias dimensiones.
Este documento describe y compara dos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias: el método de Euler y el método de Runge-Kutta. Explica que el método de Euler es el más simple pero introduce errores, mientras que el método de Runge-Kutta es más complejo pero más preciso. También proporciona detalles sobre cómo implementar específicamente el método de Runge-Kutta de cuarto orden.
Este documento describe el modelo de distribución de Weibull, que se usa comúnmente en análisis de fiabilidad. El modelo de Weibull puede tomar diferentes formas dependiendo de sus parámetros, lo que permite usar el mismo modelo para diferentes tasas de falla. El documento explica cómo estimar los parámetros del modelo a través de métodos gráficos y analíticos y cómo usar el modelo para realizar cálculos de fiabilidad.
Este documento describe los diferentes tipos de errores numéricos, incluyendo errores inherentes, de redondeo y por truncamiento. Define el error absoluto como la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado, y el error relativo como el error absoluto dividido entre el valor verdadero. Explica cómo estimar los errores cuando no se conoce el valor verdadero.
The document contains a system of 10 linear equations with 10 unknown variables (x1, x2, ..., x10) across 6 sections. Each section contains 10 equations in the form of Ax=b, where A is a 10x10 coefficient matrix, x is the column vector of 10 unknowns, and b is the column vector of constants. The goal is to solve for the values of the 10 unknowns that satisfy all the linear equations.
El documento contiene instrucciones para resolver varios tipos de problemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones por separación de variables, ecuaciones exactas, ecuaciones con condiciones iniciales, y ecuaciones homogéneas. También recomienda revisar métodos de integración antes de continuar con los ejercicios.
Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para obtener fórmulas de integración numérica. Se usa este método para derivar la fórmula de Simpson de tres puntos. Luego, se introduce la cuadratura de Gauss, la cual permite obtener fórmulas más precisas al no restringir los puntos a ser equiespaciados. Se muestra cómo aplicar este método para obtener una fórmula de dos puntos y cómo generalizarla.
Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales con coeficientes reales y variables incógnitas. Puede representarse mediante una matriz ampliada donde cada fila corresponde a una ecuación. Los sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones tras aplicar operaciones elementales a las filas. Los sistemas se clasifican en homogéneos, que solo admiten la solución trivial, e inhomogéneos, que pueden tener solución única, infinitas soluciones o no tener solución.
Este documento trata sobre diferentes métodos de interpolación numérica como la interpolación polinómica de Lagrange, las diferencias divididas, la interpolación de Newton y la interpolación de Hermite. Explica que la interpolación consiste en obtener nuevos puntos a partir de un conjunto discreto de puntos conocidos, y que estos métodos permiten construir funciones que ajusten los puntos de datos de manera más precisa que polinomios de alto grado.
El documento describe diferentes métodos de interpolación para obtener un polinomio que aproxime los valores de una función en varios puntos: el método de Lagrange, el método de Newton y el método de los mínimos cuadrados. Explica cómo calcular el polinomio de interpolación de Lagrange usando los "multiplicadores de Lagrange" y cómo el método de Newton obtiene el mismo polinomio de forma más eficiente. Finalmente, detalla cómo el método de los mínimos cuadrados minimiza el error al ajustar una curva polinómica a los datos
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
Este documento trata sobre la derivada de una función dada paramétricamente. Explica que una función paramétrica representa una curva a través de dos ecuaciones que dependen de una tercera variable común llamada parámetro. También describe cómo calcular la derivada de una función paramétrica usando la regla de la cadena, la cual relaciona la derivada de y con respecto a t con las derivadas parciales de x e y.
Este documento explica diferentes métodos de interpolación como la interpolación lineal, la fórmula de interpolación de Lagrange y el método de interpolación de mínimos cuadrados. Incluye ejemplos y aplicaciones prácticas de cada método. También cubre el uso de herramientas computacionales como MATLAB para realizar interpolación de datos.
El método de bisección es un método simple para encontrar las raíces de una ecuación mediante la división sucesiva del intervalo de estudio a la mitad. Se basa en el teorema del valor intermedio y consiste en evaluar la función en el punto medio de cada subintervalo para determinar dónde cambia de signo y así ubicar la raíz. El proceso se repite hasta alcanzar la precisión deseada.
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Este documento describe el método numérico del trapecio para aproximar integrales definidas en Matlab. Explica que cuando una función no tiene una primitiva analítica, se debe usar un método numérico como el trapecio. Luego detalla los pasos del algoritmo del trapecio, incluyendo dividir el intervalo en subintervalos y sumar las áreas de los trapecios formados. Finalmente, muestra código Matlab que implementa este método para aproximar la integral de una función.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
La ecuación de Cauchy-Euler es una ecuación diferencial de segundo orden donde los coeficientes son constantes. El documento explica que se examinarán las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden y que luego se podrá resolver la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. También resume los métodos de solución para cuando las raíces son distintas o repetidas.
El método de Gauss-Seidel es una técnica para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Funciona iterando los valores de las incógnitas y actualizando uno por uno basado en el coeficiente dominante en cada ecuación, convergiendo a una solución cuando los coeficientes cumplen ciertas condiciones. El documento provee los pasos del método y un ejemplo numérico para ilustrar su aplicación.
se trata de resolver una figura sin curvas, solamente cuadrados y rectangulos para encontrar los esfuerzos internos, las deformaciones unitarias por el metodo de las diferencias finitas
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
Aplicacion Libre 2. Metodos de Trapecio y Metodos de SimpsonRomario Fajardo
Este documento presenta el cálculo del trabajo realizado por un cuerpo que se desplaza linealmente desde 1 hasta 2 metros con una fuerza variable dada por la función f(x)=10x/(x^0.5+1)^5. Usa la fórmula de Simpson 1/3 compuesta con 4 subdivisiones para aproximar la integral numéricamente y obtener un valor de 2,43191067688894 Joules. Compara este resultado con otros métodos numéricos mostrando que Simpson 1/3 es el más preciso dado la complejidad de la función.
Este documento presenta una unidad sobre integración en cálculo vectorial. La unidad cubre varios temas clave como integrales de línea, integrales dobles y triples, y aplicaciones de estas integrales al cálculo de áreas y volúmenes. Incluye ejemplos y definiciones de conceptos matemáticos fundamentales relacionados con la integración en varias dimensiones.
Este documento describe y compara dos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias: el método de Euler y el método de Runge-Kutta. Explica que el método de Euler es el más simple pero introduce errores, mientras que el método de Runge-Kutta es más complejo pero más preciso. También proporciona detalles sobre cómo implementar específicamente el método de Runge-Kutta de cuarto orden.
Este documento describe el modelo de distribución de Weibull, que se usa comúnmente en análisis de fiabilidad. El modelo de Weibull puede tomar diferentes formas dependiendo de sus parámetros, lo que permite usar el mismo modelo para diferentes tasas de falla. El documento explica cómo estimar los parámetros del modelo a través de métodos gráficos y analíticos y cómo usar el modelo para realizar cálculos de fiabilidad.
Este documento describe los diferentes tipos de errores numéricos, incluyendo errores inherentes, de redondeo y por truncamiento. Define el error absoluto como la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado, y el error relativo como el error absoluto dividido entre el valor verdadero. Explica cómo estimar los errores cuando no se conoce el valor verdadero.
The document contains a system of 10 linear equations with 10 unknown variables (x1, x2, ..., x10) across 6 sections. Each section contains 10 equations in the form of Ax=b, where A is a 10x10 coefficient matrix, x is the column vector of 10 unknowns, and b is the column vector of constants. The goal is to solve for the values of the 10 unknowns that satisfy all the linear equations.
El documento contiene instrucciones para resolver varios tipos de problemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo ecuaciones por separación de variables, ecuaciones exactas, ecuaciones con condiciones iniciales, y ecuaciones homogéneas. También recomienda revisar métodos de integración antes de continuar con los ejercicios.
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Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales con coeficientes reales y variables incógnitas. Puede representarse mediante una matriz ampliada donde cada fila corresponde a una ecuación. Los sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones tras aplicar operaciones elementales a las filas. Los sistemas se clasifican en homogéneos, que solo admiten la solución trivial, e inhomogéneos, que pueden tener solución única, infinitas soluciones o no tener solución.
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Este documento presenta una introducción a la teoría de interpolación. Explica que la interpolación involucra construir una función que coincide con los datos de interpolación conocidos. Describe varios métodos de interpolación como Lagrange, Taylor, Hermite y splines. Finalmente, discute aplicaciones de los métodos numéricos de interpolación para resolver problemas.
Este documento trata sobre polinomios interpolares en análisis numérico. Explica que los polinomios interpolares son funciones que pasan por puntos de datos conocidos y se usan para aproximar funciones desconocidas. Describe métodos como la tabla de diferencias, polinomios de Newton-Gregory, Gauss y LaGrange para determinar los coeficientes de polinomios interpolantes. Finalmente, indica que estos métodos numéricos de interpolación son útiles para resolver problemas al permitir aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta un análisis numérico sobre la teoría de la interpolación polinómica. Explica los diferentes métodos para obtener el polinomio de interpolación, incluyendo la forma normal, los polinomios de Lagrange y la forma de Newton. También incluye un ejemplo numérico de interpolación lineal y cuadrática para estimar temperaturas.
Este documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas. Define funciones exponenciales como f(x)=a^x donde a es la base, y funciones logarítmicas como log_a(x) donde a es la base. Explica propiedades como que las funciones exponenciales son siempre positivas y las logarítmicas no están acotadas, y cómo resolver ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicas usando estas propiedades.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Yanira Castro
Este documento explica las funciones exponenciales y logarítmicas. Define funciones exponenciales como f(x)=a^x donde a es la base, y funciones logarítmicas como log_a(x) donde a es la base. Explica propiedades como que las funciones exponenciales son siempre positivas y las logarítmicas no están acotadas, y cómo resolver ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicas usando estas propiedades.
Este documento introduce el tema de la aproximación de funciones. Explica que la aproximación discreta implica encontrar la función que mejor se ajusta a un conjunto finito de puntos de datos, mientras que la aproximación continua aproxima una función continua en un intervalo dado mediante otra función de una clase dada. Además, distingue entre aproximación lineal, donde la función depende linealmente de sus parámetros, y no lineal. Finalmente, describe el método de mínimos cuadrados para la aproximación discreta lineal, que minimiza la
Este documento describe varios métodos de interpolación para construir una función que coincida con una serie de datos de entrada. Estos métodos incluyen interpolación polinómica de Lagrange, interpolación usando splines, y diferencias divididas de Newton. El objetivo general es determinar una función interpolante que pase por los puntos de datos de entrada y sea fácil de construir y manipular.
El documento resume los conceptos fundamentales del teorema fundamental del cálculo, incluyendo: (1) la definición del teorema como la afirmación de que la derivación e integración son operaciones inversas, (2) una discusión sobre cómo el teorema unificó el cálculo diferencial y el cálculo de áreas, y (3) detalles sobre cómo el teorema permite calcular integrales definidas mediante el uso de funciones primitivas.
Este documento trata sobre diferentes métodos de interpolación y regresión para aproximar valores desconocidos de una función a partir de datos conocidos. Explica la interpolación lineal y cuadrática, así como los polinomios de interpolación de Newton y Lagrange. También cubre conceptos como diferencias divididas y regresión lineal y cuadrática.
Resolver ecuaciones lineales y no lineales buenofrankkqqzz
Este documento presenta diferentes métodos en MATLAB para resolver ecuaciones no lineales, sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de problema usando métodos numéricos como bisección, Newton, punto fijo y el método de Newton para sistemas, así como funciones internas de MATLAB como fzero y roots.
La regla de la cadena es una técnica matemática para calcular la derivada de una función compuesta de otras funciones. Se explica con un ejemplo de dos funciones vinculadas y cómo calcular la derivada de la función exterior con respecto a la variable de entrada de la función interior. Luego, se demuestra que aplicar la regla de la cadena o calcular directamente la derivada sustituyendo funciones produce el mismo resultado. Finalmente, se explica que la regla de la cadena es importante para entrenar redes neuronales.
La regla de la cadena es una técnica matemática importante para calcular derivadas de funciones compuestas. Se explica el concepto con un ejemplo de dos funciones vinculadas y cómo la regla de la cadena permite calcular la derivada de la función exterior con respecto a la variable de entrada de la función interior multiplicando las derivadas individuales de cada función. También se muestra cómo las integrales encuentran el área bajo una curva mediante la aproximación del área con rectángulos cada vez más pequeños entre los límites de integración.
Este documento describe el método de interpolación de Lagrange y su aplicación para aproximar funciones mediante polinomios. Explica que el método construye un polinomio de grado n que pasa exactamente por n+1 puntos de datos, interpolando la función en el intervalo definido por esos puntos. Además, introduce el concepto de error de interpolación y cómo calcular un límite superior para este error. Finalmente, presenta un programa informático que implementa el método de Lagrange de forma didáctica.
Este documento presenta una guía de laboratorio sobre los métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, como el método del punto fijo y el método de Newton-Raphson. Explica los objetivos de encontrar soluciones aproximadas a este tipo de ecuaciones usando software matemático. Además, muestra ejemplos concretos de aplicación de ambos métodos y representaciones gráficas de los resultados.
Ecuaciones y sist de ecuaciones no linealesRonny Malpica
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones no lineales. Explica que estos sistemas no siguen el principio de superposición como los sistemas lineales. Luego describe métodos para resolver este tipo de sistemas, incluyendo la iteración de punto fijo, el método de Newton y el método del descenso más rápido. Finalmente, introduce conceptos como valores y vectores propios de una matriz, así como aproximaciones de valores propios para matrices simétricas.
Este documento presenta información sobre autómatas finitos no deterministas y expresiones regulares. Explica cómo determinar si ciertas cadenas son aceptadas por un autómata finito no determinista dado y define expresiones regulares y su lenguaje. También describe cómo construir un autómata finito no determinista equivalente a una expresión regular dada y resuelve un ejemplo usando ecuaciones características. Por último, introduce conceptos básicos sobre fractales como su dimensión fractal y ejemplos como el conjunto de Mandelbrot y el triá
Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica como las formas de Newton-Gregory, Gauss, Hermite y Lagrange. Explica cómo usar tablas de diferencias divididas de Newton para construir polinomios interpoladores y proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el proceso. También compara los métodos de interpolación de Lagrange y Hermite.
Este documento trata sobre la interpolación polinómica, un método de interpolación numérica que aproxima un conjunto de datos por un polinomio. Explica que dado un número de puntos muestrales, se busca un polinomio que pase por todos los puntos. Describe formas de representar el polinomio de interpolación, incluyendo la forma de Lagrange que utiliza coeficientes de Lagrange.
Similar a Guia de estudio 3 (tema 3 ajuste de curvas) (20)
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
CINE COMO RECURSO DIDÁCTICO para utilizar en TUTORÍA
Guia de estudio 3 (tema 3 ajuste de curvas)
1. Guía de estudio Matemática V
19
TEMA 3
POLINOMIOS INTERPOLANTES Y AJUSTE DE CURVAS
3.1. INTERPOLACIÓN
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la
construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto
de puntos.
En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de
puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir
una función que los ajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación
de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo
cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e
interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por
supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que
si evaluásemos la función original, si bien dependiendo de las características del
problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede
compensar el error cometido.
En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una
función f que verifique
n
k
y
x
f k
k ,
,
1
,
)
(
a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les
llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la
interpolación polinómica, la interpolación lineal (la cual es un caso particular de la
anterior), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de
Hermite.
3.1.1. Interpolación polinómica de Lagrange:
En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-
Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la
forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto
más tarde por Leonhard Euler en 1783.
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de
puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de
Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de
Lagrange.
Dada un conjunto de n + 1 puntos:
2. Guía de estudio Matemática V
20
))
(
,
(
,
)),
(
,
( 0
0 n
n x
f
x
x
f
x
donde todos los i
x se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de
Lagrange es la combinación lineal:
)
(
)
(
)
(
)
(
:
)
( 0
0
0
x
L
y
x
L
y
x
L
x
f
x
P n
n
j
n
j
j
de bases polinómicas de Lagrange:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
:
)
(
1
1
1
1
1
1
0
0
,
0 n
j
n
j
j
j
j
j
j
j
j
n
j
i
i i
j
i
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
Desventajas de su uso
Debido a que el polinomio interpolador de Lagrange ajusta a todos los puntos que
le son especificados, en situaciones con una gran cantidad de datos se obtiene un
polinomio de grado muy alto, lo cual normalmente resulta impráctico. Es por esta
razón que en la práctica no es común utilizar este método, sino que se prefiere
ajustar los datos lo mejor posible, utilizando un polinomio de menor grado, incluso
si este polinomio no pasa por ninguno de los puntos que le son especificados
(pero ajusta en forma aproximada siguiendo algún criterio de optimalidad).
Otro problema del polinomio interpolador de Lagrange es lo que se conoce como
overfitting (término inglés, algunas veces castellanizado a sobre fiteo): a medida
que crece el grado del polinomio interpolador, se percibe una creciente variación
entre puntos de control consecutivos, lo que produce que la aproximación entre
dos puntos continuos sea muy distinta a la que uno esperaría.
A pesar de estos problemas, el polinomio interpolador de Lagrange es muy simple
de implemetar y tiene interés teórico más que práctico por su sencillez.
Ejemplo:
Construya los polinomios interpolantes de Lagrange para la función f(x) = sen(x)
en los puntos x0 = -1.5, x1 = − 0.75, x2 = 0, x3 = 0.75, x4 = 1.5 , evalúe en x = 1.
Solución:
x0 = -1.5 f(x0) = − 0.99749
x1 = − 0.75 f(x1) = − 0.68164
x2 = 0 f(x2) = 0
x3 = 0.75 f(x3) = 0.68164
x4 = 1.5 f(x4) = 0.99749
3. Guía de estudio Matemática V
21
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro
(es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la
base polinómica.
La base polinómica es:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
0
4
3
0
3
2
0
2
1
0
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
)
2
/
3
2
/
3
(
)
2
/
3
(
)
4
/
3
2
/
3
(
)
4
/
3
(
)
0
2
/
3
(
)
0
(
)
4
/
3
2
/
3
(
)
4
/
3
(
x
x
x
x
x
x
x
x
9
1
27
2
81
16
243
32 2
3
4
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
1
4
3
1
3
2
1
2
0
1
0
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
)
2
/
3
4
/
3
(
)
2
/
3
(
)
4
/
3
4
/
3
(
)
4
/
3
(
)
0
4
/
3
(
)
0
(
)
2
/
3
4
/
3
(
)
2
/
3
(
x
x
x
x
x
x
x
x
9
8
27
32
81
32
243
128 2
3
4
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
2
4
3
2
3
1
2
1
0
2
0
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
)
2
/
3
0
(
)
2
/
3
(
)
4
/
3
0
(
)
4
/
3
(
)
4
/
3
0
(
)
4
/
3
(
)
2
/
3
0
(
)
2
/
3
(
x
x
x
x
1
9
20
81
64 2
4
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
3
4
2
3
2
1
3
1
0
3
0
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
)
2
/
3
4
/
3
(
)
2
/
3
(
)
0
4
/
3
(
)
0
(
)
4
/
3
4
/
3
(
)
4
/
3
(
)
2
/
3
4
/
3
(
)
2
/
3
(
x
x
x
x
x
x
x
x
9
8
27
32
81
32
243
128 2
3
4
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
4
3
2
4
2
1
4
1
0
4
0
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
4. Guía de estudio Matemática V
22
)
4
/
3
2
/
3
(
)
4
/
3
(
)
0
2
/
3
(
)
0
(
)
4
/
3
2
/
3
(
)
4
/
3
(
)
2
/
3
2
/
3
(
)
2
/
3
(
x
x
x
x
x
x
x
x
9
1
27
2
81
16
243
32 2
3
4
Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal
entre los y los valores de las abscisas:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 4
4
3
3
2
2
1
1
0
0 x
L
x
f
x
L
x
f
x
L
x
f
x
L
x
f
x
L
x
f
x
P
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
9
1
27
2
81
16
243
32
99749
.
0
9
8
27
32
81
32
243
128
68164
.
0
9
8
27
32
81
32
243
128
68164
.
0
9
1
27
2
81
16
243
32
99749
.
0
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
3
4
x
x 99014
.
0
14451
.
0 3
Ahora evaluamos este polinomio en x = 1 para obtener
84564
.
0
)
1
(
99014
.
0
)
1
(
14451
.
0
)
1
( 3
P , tenemos que para )
1
(
)
1
( sen
f
84147
.
0
, por lo que el error relativo cometido es
Er = %
496
.
0
100
84147
.
0
84564
.
0
84147
.
0
100
*
p
p
p
P(x)
f(x)
5. Guía de estudio Matemática V
23
3.1.2. Diferencias divididas interpolantes de Newton:
Éste método es más algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados
casos, sobre todo cuando queremos calcular un polinomio interpolador de grado
elevado.
Tomemos f una función y escribamos su polinomio interpolador de grado m como
sigue:
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
( 1
1
0
1
0
2
0
1
0
n
n
n x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
x
a
x
x
a
a
x
P
(1)
)
)
(
(
)
(
1
0
1
0
i
j
j
m
i
i
n x
x
a
a
x
P
Estos coeficientes se calculan mediante diferencias divididas, cuya expresión
general esta dada por:
i
j
i
j
i
i
j
i
i
j
i
i
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
1
1
1
1
]
,
,
[
]
,
,
[
]
,
,
[
Como se ve en la fórmula, las diferencias divididas se calculan de modo recursivo
usando coeficientes anteriores. Una vez hayamos realizado todos los cálculos,
notaremos que hay (muchas) más diferencias divididas que coeficientes ai. El
cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse simplemente porqué son
necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin embargo, los
términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquéllos
que involucren a x0, así:
]
[ 0
0 x
f
a , ,
],
,
[ 1
0
1
x
x
f
a ]
,
,
,
[ 1
0 i
i x
x
x
f
a
Con esta notación, podemos reexpresar la ecuación (1) como:
)
(
)
)(
](
,
,
,
,
[
)
)(
](
,
,
[
)
](
,
[
]
[
)
(
1
1
0
2
1
0
1
0
2
1
0
0
1
0
0
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
P
A esta ecuación se le conoce con el nombre de fórmula de diferencias divididas
interpolantes de Newton
Ejemplo:
Queremos hallar el valor de la función
1
)
(
x
e
x
f para x = 0.75 mediante el
método de las Diferencias Divididas de Newton de grado 2.
Solución:
Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es determinando
sucesivamente las entradas de un arreglo triangular:
6. Guía de estudio Matemática V
24
x )
(x
f Primeras diferencias
divididas
Segundas diferencias
divididas
0
x )
( 0
x
f
0
1
0
1
1
0
)
(
)
(
]
,
[
x
x
x
f
x
f
x
x
f
0
2
1
0
2
1
2
1
0
]
,
[
]
,
[
]
,
,
[
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
1
x )
( 1
x
f
1
2
1
2
2
1
)
(
)
(
]
,
[
x
x
x
f
x
f
x
x
f
2
x )
( 2
x
f
x )
(x
f Primeras diferencias
divididas
Segundas diferencias
divididas
0 e 0
2
/
1
]
,
[
2
/
3
1
0
e
e
x
x
f
)
(
2 2
/
3
e
e
0
1
2
2
2
2
]
,
,
[
2
/
3
2
/
3
2
2
1
0
e
e
e
e
x
x
x
f
)
2
(
2 2
/
3
2
e
e
e
2
1 2
/
3
e 2
/
1
1
]
,
[
2
/
3
2
2
1
e
e
x
x
f
)
(
2 2
/
3
2
e
e
1 2
e
El polinomio de diferencias divididas interpolantes de Newton de grado 2 es:
)
)(
](
,
,
[
)
](
,
[
]
[
)
( 1
0
2
1
0
0
1
0
0
2 x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
P
)
2
/
1
)(
0
)(
2
(
2
)
0
)(
(
2
)
( 2
/
3
2
2
/
3
2
x
x
e
e
e
x
e
e
e
x
P
)
2
/
1
)(
0
)(
2
(
2
)
0
)(
(
2
)
( 2
/
3
2
2
/
3
2
x
x
e
e
e
x
e
e
e
x
P
e
x
e
e
e
x
e
e
e
x
P
)
3
4
(
)
2
(
2
)
( 2
/
3
2
2
2
/
3
2
2
Ahora evaluamos este polinomio en x = 0.75 para obtener
792377
.
5
)
75
.
0
)(
3
4
(
)
75
.
0
)(
2
(
2
)
75
.
0
( 2
/
3
2
2
2
/
3
2
2
e
e
e
e
e
e
e
P ,
tenemos que para 75460
.
5
)
75
.
0
( 75
.
1
e
f 84147
.
0
, por lo que el error relativo
cometido es
Er = %
66
.
0
100
75460
.
5
79238
.
5
75460
.
5
100
*
p
p
p
7. Guía de estudio Matemática V
25
ACTIVIDAD No. 8
1. Usando los siguientes datos, calcúlese f(2) con un polinomio de interpolación
de Lagrange de segundo orden.
x 1 4 5 6
f(x) 0.000 0000 1.386 2944 1.609 4379 1.791 7595
Sugerencia: Tome los puntos x0 = 1, x1 = 4, x3 = 6.
2. Queremos hallar el valor de la función )
(
)
( x
sen
x
f para 1
x usando un
polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.
(Tome los puntos x0 = 0, x1 = 0.75, x2 = 1.5 y compare con el ejercicio resuelto
en clase)
3. .Dados los datos:
x 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5
f(x) 2 8 14 15 8 2
a) Calcule f(2.8) con un polinomio de interpolación de Lagrange de orden 2,
tomando los puntos x1 = 2, x3 = 3.2, x5 = 4.5.
b) Calcule f(2.8) con un polinomio de interpolación de Lagrange de orden 3,
tomando los puntos x1 = 2, x2 = 2.5, x4 = 4 , x5 = 4.5.
4. Los datos siguientes muestran la relación entre la temperatura y la presión de
un fluido.
T 10 20 30 40 50 ºF
P 0.5 1.7 3.4 5.7 8.4 Psia
a) Usando un polinomio interpolador de Lagrange de grado 1 encuentre una
formula que relacione la presión con la temperatura. Determine la presión a
una temperatura de 35 ºF. (Tome los puntos T1 = 20, T3 = 40)
b) Repita la parte (a) usando un polinomio interpolador de Lagrange de grado
2. (Tome los puntos T1 = 20, T2 = 30, T3 = 40)
Grafique e Interprete los resultados.
5. En los ejercicios 1-4, ajuste mediante un polinomio interpolador de Newton con
diferencias divididas y compare los resultados.
8. Guía de estudio Matemática V
26
3.2. AJUSTE DE CURVAS POR MINIMOS CUADRADOS
El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el
asteroide Ceres. Fue capaz de seguir su órbita durante 40 días. Durante el curso
de ese año, muchos científicos intentaron estimar su trayectoria con base en las
observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de
movimiento es muy difícil). La mayoría de evaluaciones fueron inútiles; el único
cálculo suficientemente preciso para permitir a Zach, astrónomo alemán,
reencontrar a Ceres al final del año fue el de un Carl Friedrich Gauss de 24 años
(los fundamentos de su enfoque ya los había plantado en 1795, cuando aún tenía
18 años). Pero su método de mínimos cuadrados no se publicó hasta 1809,
apareciendo en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste,
Theoria Motus Corporum Coelestium in sctionibus conicis solem ambientium.
Mínimos cuadrados es una técnica de optimización matemática que, dada una
serie de mediciones, intenta encontrar una función que se aproxime a los datos
minimizando la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas
residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los
datos.
Un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que
los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de
Gauss-Markov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo
y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución
normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos,
para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar
más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).
3.2.1. Mínimos cuadrados y análisis de regresión lineal:
El ejemplo mas simple de una aproximación por mínimos cuadrados es ajustar
una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos:
)
,
(
,
),
,
(
),
,
( 2
2
1
1 n
n y
x
y
x
y
x . La expresión matemática para la línea recta es
bx
a
y
Donde los coeficientes a y b son que representan la pendiente y la intersección
con el eje y respectivamente. ε es el error o diferencia entre el modelo y las
observaciones. Así el error o residuo puede expresarse como:
bx
a
y
Luego la suma de los cuadrados de dichas desviaciones estaría dada por:
n
i
i
i
n
i
r bx
a
y
S
1
2
1
2
)
(
9. Guía de estudio Matemática V
27
La obtención de los valores de los coeficientes, tales que esta suma sea mínima
es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la
función en términos de a y b e igualando a cero:
0
)
(
2
)
1
(
)
(
2
1
1
n
i
i
i
n
i
i
i
r
bx
a
y
bx
a
y
a
S
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i y
b
x
na
x
b
a
y
1
1
1 1
1
0 (1)
0
)
(
2
)
(
)
(
2
1
1
i
n
i
i
i
n
i
i
i
i
r
x
bx
a
y
x
bx
a
y
b
S
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
i
n
i
i
i y
x
b
x
a
x
x
b
x
a
y
x
1
1
2
1
1 1
2
1
0 (2)
De esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del
modelo que pueden ser resueltas por cualquier método.
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial tenemos:
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
x
y
b
a
x
x
x
n
1
1
1
2
1
1 ;
2
1
1
2
1
2
1
1
)
det(
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
x
x
n
x
x
x
n
A
Si usamos la regla de Cramer:
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
)
det(
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
x
x
n
y
x
x
x
y
A
x
y
x
x
y
a
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
)
det(
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
x
x
n
y
x
y
x
n
A
y
x
x
y
n
b
10. Guía de estudio Matemática V
28
2
2
2
x
x
n
xy
x
x
y
a ;
2
2
x
x
n
y
x
xy
n
b
Otra forma de calcular los coeficientes es a partir de las medias aritméticas de las
observaciones:
n
x
x
;
n
y
y
, x
b
y
a
;
2
2
x
n
x
y
x
n
xy
b
Se debe tener presente la diferencia entre el valor obtenido con la ecuación de
regresión y el valor de Y observado. Mientras es una estimación y su bondad en la
estimación depende de lo estrecha que sea la relación entre las dos variables que
se estudian. Esta diferencia se conoce como error en la estimación, este error se
puede medir a partir de la Desviación estándar de la estimación:
2
n
Sr
Sxy , Donde
n
i
i
i
r bx
a
y
S
1
2
)
(
Como esta medida trata de resumir la disparidad entre lo observado y lo estimado,
es decir, trata de medir la diferencia promedio entre lo observado y lo estimado ó
esperado de acuerdo al modelo, puede considerarse como un indicador del grado
de precisión con que la ecuación de regresión, describe la relación entre las dos
variables. No es posible comparar con las relaciones de variables dadas en
distinta unidad de medida. Es necesario entonces calcular una medida que
interprete o mida mejor el grado de relación entre las variables:
Coeficientes de determinación y de correlación:
El coeficiente de determinación es la relación entre la variación explicada y la
variación total. Este Coeficiente de correlación mide la fuerza de la relación entre
las variables. Su valor siempre estará 0 < r < 1
t
r
t
S
S
S
r
2
; donde t
S es el error residual asociado con la variable dependiente
antes de la regresión. Una presentación alternativa es la siguiente:
2
2
2
2
y
y
n
x
x
n
y
x
xy
n
r
Criterios:
0 a 0.2 Correlación muy débil, despreciable
0.2 a 0.4 Correlación débil. baja
0.4 a 0.7 Correlación moderada
11. Guía de estudio Matemática V
29
0.7 a 0.9 Correlación fuerte, alta, importante
0.9 a 1.0 Correlación muy fuerte, muy alta
La correlación entre los valores de dos variables es un hecho. El que lo
consideremos satisfactorio o no, depende de la interpretación. Otro problema que
representa la correlación es cuando se pregunta si una variable, de algún modo
causa o determina a la otra. La correlación no implica causalidad. Si las variables
x e y están correlacionadas, esto puede ser por que x causa a y, o porque y causa
a x o porque alguna otra variable afecta tanto a x como y, o por una combinación
de todas estas razones; o puede ser que la relación sea una coincidencia.
Ejemplo:
Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13
departamentos y se determina por los datos del censo el porcentaje de graduados
en educación superior y la mediana del ingreso de cada ciudad, los resultados son
los siguientes:
% de Graduados (x): 7.2 6.7 17.0 12.5 6.3 23.9 6.0 10.2
Mediana Ingreso (y): 4.2 4.9 7.0 6.2 3.8 7.6 4.4 5.4
x y xy x2 y2 ŷ 2
)
ˆ
( y
y
1 7.2 4.2 30.24 51.84 17.64 4.6133 0.1708
2 6.7 4.9 32.83 44.89 24.01 4.5109 0.1514
3 17.0 7.0 119.00 289.00 49 6.6201 0.1443
4 12.5 6.2 77.50 156.25 38.44 5.6986 0.2514
5 6.3 3.8 23.94 39.69 14.44 4.429 0.3956
6 23.9 7.6 181.64 571.21 57.76 8.033 0.1875
7 6.0 4.4 26.40 36.00 19.36 4.3676 0.001
8 10.2 5.4 55.08 104.04 29.16 5.2276 0.0297
89.8 43.5 546.63 1292.92 249.81 1.3317
8
.
89
x , 5
.
43
y , 63
.
546
xy , 92
.
1292
2
x , 81
.
249
2
y
3317
.
1
)
ˆ
( 2
y
y
1389
.
3
)
8
.
89
(
92
.
1292
8
63
.
546
8
.
89
92
.
1292
5
.
43
2
2
2
2
x
x
n
xy
x
x
y
a
20477
.
0
)
8
.
89
(
92
.
1292
8
5
.
43
8
.
89
63
.
546
8
2
2
2
x
x
n
y
x
xy
n
b
12. Guía de estudio Matemática V
30
Por tanto la ecuación de regresión nos queda:
x
y 20477
.
0
1389
.
3
ˆ
Esta ecuación permite estimar el valor de ŷ para cualquier valor de x, por ejemplo:
Una ciudad que tiene un porcentaje de graduados a nivel superior del 28% la
mediana de ingreso para la ciudad será:
87246
.
8
)
28
(
20477
.
0
1389
.
3
ˆ
y
La suma de los cuadrados de dichas desviaciones y la Desviación estándar de la
estimación esta dada por:
3317
.
1
)
(
1
2
n
i
i
i
r bx
a
y
S , 4711
.
0
2
8
3317
.
1
2
n
Sr
Sxy
El coeficiente de correlación:
)
)
5
.
43
(
81
.
249
8
)(
)
8
.
89
(
92
.
1292
8
(
5
.
43
8
.
89
63
.
546
8
2
2
2
2
2
2
y
y
n
x
x
n
y
x
xy
n
r
9485
.
0
r
Se observa que la correlación entre los valores de las dos variables es muy fuerte.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 5 10 15 20 25 30
Observaciones
y=a+bx
Grafica de dispersión elaborada en Excel
EXCEL - fx-570ES ó 991 ES
En el apéndice 5 se muestra la hoja de cálculo en EXCEL y se explica como
trabajar en la calculadora con el modo de REGRESION LINEAL.
13. Guía de estudio Matemática V
31
ACTIVIDAD No. 9
1. Los datos siguientes muestran la relación entre la temperatura y la presión de
un fluido. Usando regresión lineal encuentre una formula que permita
determinar la presión a una temperatura de 35:
T 10 20 30 40 50 60 70
P 0.5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5.5
Calcule la desviación estándar de la estimación y el coeficiente de correlación.
Grafique e Interprete los resultados.
2. Demuestre que los datos que se indican a continuación no se ajustan a una
línea recta.
x 1 2 3 4 5 6 7
y 32 11.7 6.8 5 8.3 23 43
Calcule la desviación estándar de la estimación y el coeficiente de correlación.
Grafique e Interprete los resultados.
3. Se quiere resolver un problema de hipótesis relacionado con la caída del
paracaidista de la actividad No. 5, en la cual se dio el siguiente modelo
matemático teórico:
t
m
c
e
c
gm
t
v 1
)
( donde m=98.1 Kg, g=9,8 m/s2 y el coeficiente de
arrastre c=12.5 kg/s.
Un modelo empírico alternativo para la velocidad del paracaidista esta dado
por:
t
t
c
gm
t
v
75
.
3
)
(
Compruebe la veracidad de esos modelos matemáticos. Esto podría hacerse al
medir la velocidad real del paracaidista con valores conocidos del tiempo y
comparar estos resultados con las velocidades predichas por cada modelo.
Velocidades medidas del paracaidista en m/s
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y 10 16.3 23 27.5 31 35.6 39 41.5 42.9 45 46 45.5 46 49 50
Calcule la desviación estándar de la estimación y el coeficiente de correlación.
Grafique e Interprete los resultados.
14. Guía de estudio Matemática V
32
3.2.2. Regresión Polinomial:
En muchos casos una curva es más adecuada para ajustar los datos. El
procedimiento de mínimos cuadrados puede extenderse fácilmente para ajustar un
polinomio de grado superior un conjunto de observaciones definidas por puntos:
)
,
(
,
),
,
(
),
,
( 2
2
1
1 n
n y
x
y
x
y
x . Por ejemplo, supongamos que ajustamos un
polinomio de segundo grado o cuadrático:
2
cx
bx
a
y
Donde los coeficientes a, b y c son lo coeficientes a determinar y ε es el error o
diferencia entre el modelo y las observaciones. En este caso el error o residuo
puede es:
2
cx
bx
a
y
Luego la suma de los cuadrados de dichas desviaciones estaría dada por:
n
i
i
i
i
n
i
r cx
bx
a
y
S
1
2
2
1
2
)
(
Recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a, b y c e
igualando a cero:
0
)
(
2
1
2
n
i
i
i
i
r
cx
bx
a
y
a
S
0
)
(
2
1
2
i
n
i
i
i
i
r
x
cx
bx
a
y
b
S
0
)
(
2 2
1
2
i
n
i
i
i
i
r
x
cx
bx
a
y
c
S
De esta forma se obtienen tres ecuaciones normales del modelo.
n
i
i
n
i
i
n
i
i y
c
x
b
x
na
1
1
2
1
(1)
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i y
x
c
x
b
x
a
x
1
1
3
1
2
1
(2)
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i y
x
c
x
b
x
a
x
1
2
1
4
1
3
1
2
(3)
15. Guía de estudio Matemática V
33
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial tenemos:
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
x
y
x
y
c
b
a
x
x
x
x
x
x
x
x
n
1
2
1
1
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
Resolviendo se obtienen los coeficientes a, b y c.
Desviación estándar de la estimación:
3
n
Sr
Sxy , Donde
n
i
i
n
i
i
i
i
r y
y
cx
bx
a
y
S
1
2
1
2
2
)
ˆ
(
)
(
Coeficientes de determinación y de correlación:
El coeficiente de determinación es la relación entre la variación explicada y la
variación total. Su valor siempre estará 0 < r < 1
t
r
t
S
S
S
r
2
; donde t
S es el error residual asociado con la variable dependiente
antes de la regresión
n
I
t y
y
S
1
2
)
( .
Este Coeficiente de correlación mide la fuerza de la relación entre las variables.
t
r
t
S
S
S
r
Ejemplo:
Los datos siguientes muestran la relación entre la distancia recorrida (m) y la
velocidad alcanzada por un cuerpo (m/s2). Usando regresión polinomial encuentre
una formula que permita determinar la velocidad a una distancia de 4.5 m:
x 0 1 2 3 4 5
v 2.1 7.7 13.6 27.2 40.9 61.1
Calcule la desviación estándar de la estimación y el coeficiente de correlación.
Grafique e Interprete los resultados.
Solución:
16. Guía de estudio Matemática V
34
x y xy x2 x2y x3 x4
0 0 2,1 0 0 0 0 0
1 1 7,7 7,7 1 7,7 1 1
2 2 13,6 27,2 4 54,4 8 16
3 3 27,2 81,6 9 244,8 27 81
4 4 40,9 163,6 16 654,4 64 256
5 5 61,1 305,5 25 1527,5 125 625
15 152,6 585,6 55 2488,8 225 979
15
x
, 6
.
152
y
, 6
.
585
xy
, 55
2
x
, 8
.
2488
2
y
x
,
225
3
x
, 979
4
x
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial tenemos:
n
i
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
y
x
y
x
y
c
b
a
x
x
x
x
x
x
x
x
n
1
2
1
1
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
8
.
2488
69
.
585
6
.
152
979
225
55
225
55
15
55
15
6
c
b
a
Resolviendo este sistema de ecuaciones se tiene a = 2.47857 , b = 2.35929 , c
= 1.86071
Por tanto la ecuación de regresión es:
2
86071
.
1
35929
.
2
47857
.
2
ˆ x
x
y
El valor de la velocidad ŷ estimado para x = 4.5 m es:
775
.
50
)
5
.
4
(
86071
.
1
)
5
.
4
(
35929
.
2
47857
.
2
ˆ 2
y m/s
Calculando el error residual asociado con la variable dependiente antes de la
regresión y la suma de los cuadrados de las desviaciones:
n
I
t y
y
S
1
2
)
( ;
n
i
i
r y
y
S
1
2
)
ˆ
(
17. Guía de estudio Matemática V
35
ŷ 2
)
( y
y 2
)
ˆ
( y
y
1 2,4786 544,4444 0,14334
2 6,6986 314,4711 1,0028
3 14,64 140,0278 1,0816
4 26,3029 3,1211 0,80479
5 41,6871 239,2178 0,61953
2513,3933 3,74637
833
.
2513
r
S ; 74637
,
3
r
S
Desviación estándar de la estimación:
1175
.
1
3
6
74637
.
3
3
n
Sr
Sxy
Coeficientes de determinación y de correlación:
99851
.
0
933
.
2513
74637
.
3
933
.
2513
2
t
r
t
S
S
S
r
99925
.
0
r
Se observa la correlación entre los valores de dos variables es muy fuerte.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 2 4 6
Observaciones
y=a+bx+cx2
Grafica de dispersión elaborada en Excel
EXCEL - fx-570ES ó 991 ES
En el apéndice 6 se muestra la hoja de cálculo en EXCEL y se explica como
trabajar en la calculadora con el modo de REGRESION POLINOMIAL.
18. Guía de estudio Matemática V
36
ACTIVIDAD No. 10
1. Emplee la regresión por mínimos cuadrados para ajustar a una línea recta:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 1 1.5 2 3 4 5 8 10 13
a) Además de la pendiente y la intersección, calcule el error estándar de la
estimación y el coeficiente de correlación. Grafique los datos y la línea recta.
Evalúe el ajuste.
b) Vuelva a hacer el cálculo del inciso (a), pero usando regresión polinomial
para ajustar los datos a una parábola. Compare los resultados con los
obtenidos en (a)
2. Los datos siguientes representan el crecimiento bacterial en un cultivo líquido
durante cierto número de días.
dia 0 4 8 12 16 20
cantidad x10-6 67 84 98 125 149 185
Encuentre la ecuación de mejor ajuste (recta o parábola) a la tendencia de
datos. Grafique en cada caso e interprete los resultados. Pronostique la
cantidad de bacterias después de 40 días.
3. Un objeto se suspende en un túnel de viento y se mide la fuerza para varios
niveles de velocidad del viento. A continuación están tabulados los resultados
v (m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80
F (N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450
Encuentre la ecuación de mejor ajuste (recta o parábola) a la tendencia de
datos. Grafique en cada caso e interprete los resultados.
4. Usando regresión polinomial para ajustar a una parábola los datos del ejercicio
No 2 de la actividad No 9. Compare los resultados con los obtenidos
anteriormente.
5. Diseñe hojas de cálculo para aplicar la regresión lineal y la polinomial. Tome
algunos de los ejercicios propuestos y varíe algún o varios de los valores de y.
Anote sus observaciones con respecto al cambio de la desviación estándar y el
coeficiente de correlación. ¿Ofrecerá en estos casos la ecuación de regresión
un ajuste adecuado?