Se define una Aritmética Modular en la "Carryless Arithmetic" análoga a la Aritmética Modular Clásica.

1. ARITMÉTICA MODULAR
SIN LLEVAR
Luis Carlos Araúz

2. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
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3. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
AGRADECIMIENTO
En primera instancia a la Vida, por haberme concedido las herramientas suficientes para
progresar académicamente, así como la oportunidad de elaborar este documento; a mis
padres y hermanos, que sin dudar han extendido la mano en mi ayuda siempre que lo he
necesitado; a todos los Profesores que me dictaron clase durante mis estudios, de manera
particular al profesor Jaime Gutiérrez por guiar mi trabajo de graduación. Finalmente a
mis amigos, que han sabido decirme las palabras apropiadas en los momentos en que lo
he necesitado; y a quienes, en mayor o menor escala, han contribuido en mi formación
académica.
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4. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
DEDICATORIA
A mis padres Eriberto Araúz y Aura Ma. Doris Valdés; a mis hermanos y al barrio de El
Chorrillo, lugar en el cual he crecido y educado.
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5. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
INTRODUCCIÓN
“Nada que se consiga sin pena y sin trabajo es verdaderamente valioso”
Joseph Addison
Sin lugar a duda, el título “Otras Aritméticas” es motivo de mucha curiosidad y a su vez
sinónimo de ser algo de gran expectativa; y habiendo asimilado gran parte de este
contenido, se sabe que no es para menos... Con el aperitivo de que se definirían “nuevas
maneras de sumar y multiplicar”, fue suficiente para motivarme a elaborar este
documento, completamente diferente a cualquier trabajo de graduación hecho antes y con
el objetivo fundamental de “Hacer Matemática”.
En las dos primeras secciones, se definieron la Aritmética Dismal y la Aritmética Sin
Llevar. Ahora lo interesante y, a la vez, lúdico es profundizar en la siguiente pregunta:
con esta manera distinta de operar enteros, ¿qué resultados, conjeturas o definiciones de
la Teoría Elemental de Números en la Aritmética Clásica, serán verdaderas o no en estas
nuevas aritméticas? En particular: ¿Será posible definir congruencias en otras
aritméticas? Si la respuesta es sí, ¿en cuál aritmética? ¿Por qué? ¿De qué forma?
La Aritmética Sin Llevar posee definida la resta de enteros, lo que nos hace pensar en una
respuesta positiva a nuestro problema y, en miras de ello, haremos uso de lo que hemos
denominado "algebrización del problema", ya que recurrimos a herramientas como:
polinomios irreducibles, isomorfismos, Teorema Chino de Los Restos, anillos de
polinomios en x con coeficientes en un módulo dado y otros resultados del Álgebra.
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6. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR
1. Antecedentes y planteamiento del problema
La Aritmética Modular fue introducida en 1801 por el alemán Carl Friedrich Gauss en su
obra Disquisitiones Arithmeticae y junto con ella una notación que simplifica muchos
problemas relativos a la divisibilidad de los enteros, “≡”. Consiste en un sistema aritmético
para clases de equivalencia de números enteros llamadas congruencias.
Para quienes estudian Matemática no es desconocida la siguiente definición: dados enteros
con , escribimos si divide la diferencia , lo cual se
lee “ es congruente con módulo ”. Nuestro problema es: ¿Será posible definir
congruencias, bajo otra aritmética distinta a la aritmética clásica? Si la respuesta es sí, ¿de
qué forma? ¿Cuál y cómo es esta nueva aritmética? A continuación iniciamos a dar las
respuestas a estas interrogantes.
2. Aritmética Sin Llevar
Para el 27 de Agosto del 2010 David Applegate, Marc LeBrun y Neil J. A. Sloane
presentan un artículo llamado Carryless Arithmetic Mod 10. Su última revisión fue el 7 de
Julio de 2011; y es ésta la versión en la cual fundamentamos las siguientes líneas. En
dicho artículo se expone la Aritmética Sin Llevar de la siguiente manera:
Cuando se suman o multiplican números, seguiremos reglas similares a las nuestras, con la
excepción de que no hay que llevar dígitos a otras posiciones. Usaremos y para
dichas operaciones y los símbolos “+” y “x” para las operaciones estándares utilizadas por
el resto de mundo. La suma y producto de números de un solo dígito se llevan a cabo por
“reducción Mod 10”. Los dígitos que se suelen llevar simplemente serán ignorados,
entonces 9 4 = 3, 5 5 = 0, 9 4 = 6, 4 5 = 0, etc. La suma y multiplicación de
números grandes también se realiza siguiendo los procedimientos familiares o algoritmos
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7. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
usuales, pero teniendo en cuenta de que no se debe llevar. Por ejemplo: la suma de 785
con 376 es 51 y el producto de 643 por 59 es 417, como se muestra en la tabla siguiente:
Suma Sin Llevar Producto Sin Llevar
6 4 3
7 8 5 5 9
3 7 6 4 6 7
0 5 1 0 0 5 0
0 4 1 7
Sin duda, quienes son indiferentes a la Matemática, considerarán el párrafo anterior como
una completa falta de cordura y seguramente preguntarían, luego de salir de la
estupefacción: “¿Por qué? ¿Eso para qué sirve?” Esto se debe a que su conocimiento se
limita a los algoritmos comunes de las operaciones básicas dentro de la Aritmética
Clásica. Sin embargo para nosotros resulta interesante abordar qué aspectos de la Teoría
Elemental de Números se cumplen o no, bajo esta manera diferente de operar enteros.
Una herramienta fundamental para el desarrollo de este contenido es la tecnología,
específicamente el poderoso lenguaje de programación del software Wolfram
Mathematica en su versión 8.0 (diseñado por el inglés Stephen Wolfram). Es por eso que
se desplegarán funciones con sus respectivos detalles, a lo largo de este documento.
 Función 1. Suma Sin Llevar
La función posee dos parámetros de entrada: m y n, que son los números a sumar. Lo
primero que hace la función es determinar cuál de los dos números tiene más dígitos, ya
que de esto depende el tamaño de la respuesta. Luego el comando “IntegerDigits”
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8. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
convierte tanto a m como a n en dos vectores de tamaño a; finalmente se suman los
vectores (reduciendo módulo 10) y se convierte este último vector en un número con la
ayuda de “FromDigits”. Ejemplo:
 Función 2. Producto Sin Llevar
La función posee dos parámetros de entrada: m y n, que son los números a multiplicar. Si
alguno de los números es cero (o bien ambos), el producto sin llevar también lo será.
Además hay que tener en cuenta que si m es de tamaño r y n es de tamaño s, el producto
de éstos tendrá a lo sumo dígitos. Al igual que en la suma, con “IntegerDigits”
se convierte tanto a m como a n en dos vectores; luego cada elemento de n, iniciando por
el último, se multiplica por cada componente de m (siguiendo la manera usual de
multiplicar), sólo que se va reduciendo módulo 10. Posteriormente en d se arreglan,
adecuadamente, los vectores que se encontraban en c, para finalmente ser sumados sin
llevar en e. Ejemplo:
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9. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
Observación: Para mayor información de esta interesante aritmética, dirigirse a la
monografía de Luris Jaén: Aritmética Sin Llevar.
3. Algebrización
El secreto para entender mejor la Aritmética Sin Llevar es introducir un poco de álgebra.
Sea el anillo de enteros módulo 10 y el anillo de polinomios en con
coeficientes en . Luego podemos representar a los números sin llevar por elementos en
. Por ejemplo, al 374 le corresponde , al 1059 con ,
etcétera. La suma y multiplicación sin llevar se reducen a una simple adición y producto
de elementos de , como sigue:
A la suma sin llevar: 785 376 = 51
Le corresponde:
Donde los polinomios son sumados y multiplicados de la manera usual y sus coeficientes
son reducidos módulo 10. Recíprocamente, cualquier elemento de representa un
único número sin llevar. De hecho, la aritmética en es clara y exactamente la
misma como la Aritmética Sin Llevar. Es más, esto podría ser utilizado como una
definición formal de la aritmética en cuestión. Consecuentemente, se ve que esta
aritmética es conmutativa, asociativa y distributiva.
Puesto que es un anillo, no sólo podemos sumar y multiplicar, también podemos
restar. Los opuestos de los elementos de son y
similarmente ocurre para los elementos de . Entonces los opuestos de los números
sin llevar son “complementos de 10”, que se obtiene sustituyendo cada dígito distinto de
cero por , por ejemplo: -702 = 308. Para restar A de B, sumamos - A a B:
- . A partir de ahora utilizaremos el símbolo para
indicar la diferencia sin llevar.
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10. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
 Función 3. Resta Sin Llevar
La función calcula la diferencia sin llevar . Lo primero que hace es convertir a n en
un vector; lo multiplica por -1 para poder buscar el complemento de 10 de cada dígito que
compone el número n, es decir el opuesto de n, con la ayuda de “Mod”. Por último este
nuevo vector se convierte en número para ser sumado sin llevar con m, por medio de la
función “SumaCarryless” creada en la sección anterior. Ejemplo:
Observación: Es importante señalar que en la Aritmética Dismal no será imposible
definir una relación de congruencia, puesto que dotado de la suma y producto dismal es
un semianillo, por tanto no está definida la resta de naturales.
La clave para seguir avanzando es saber que si , entonces . En
particular es la suma directa de los anillos y . Dado , lo reducimos
y para obtener el par . Los elementos
(equivalentes a los números sin llevar 0, 1,…, 9) y sus pares correspondientes se muestran
en la siguiente tabla. El Teorema Chino de los Restos garantiza que se trata de una
correspondencia uno a uno.
Correspondencia entre y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
[0,0] [1,1] [0,2] [1,3] [0,4] [1,0] [0,1] [1,2] [0,3] [1,4]
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11. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
Como se observa, {1} es el conjunto de las unidades en , mientras que {1, 2, 3, 4} es el
conjunto de las unidades en , entonces los pares [1,1], [1,2], [1,3] y [1, 4] corresponden
a las unidades en , ya que respectivamente representan a {1, 7, 3, 9}.
De manera similar, polinomios corresponden a pares de polinomios
, que se obtienen reduciendo , respectivamente, y .
Recíprocamente, dado cualquier par de polinomios , hay un único polinomio
que le corresponde. Para indicar esto escribimos .
También, si , entonces
y . Ejemplo:
583 40 736 = 40 219
) + =
+ =
Resulta sencillo llevar un número sin llevar a su representante en y seguidamente a
su representante en , como bien se mostró en el ejemplo anterior con la
suma sin llevar; y, que podría realizarse con el producto y resta sin llevar. Sin embargo,
una consecuencia de esto es lo siguiente: dado un elemento de , ¿quién es
el número sin llevar que le corresponde?
 Función 4. Carryless Number Reverse
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12. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
Debemos tener en cuenta que: si un número sin llevar tiene n cifras, su representante en
será de grado ; por lo menos una de las componentes de su representante en
conservará dicho grado; y que dicha correspondencia es biunívoca.
El parámetro de entrada p, es un vector de dos componentes; esto se debe a que es un
elemento de . Si ambas componentes son nulas, entonces el número sin
llevar que le representa es trivialmente el cero. De lo contrario, la función almacenará en a
el máximo de los grados de los polinomios, por tanto el número sin llevar tendrá
cifras; es por ello que creamos el vector auxiliar b. Posteriormente aplicamos el Teorema
Chino de los restos para resolver el sistema de dos congruencias que surge por cada
componente de b, y que involucran directamente a los coeficientes de términos
correspondientes de los polinomios p1 y p2. Cada solución ocupa una posición adecuada
en el vector auxiliar. Finalmente el vector b es transformado en un número. Ejemplos:
Ahora nos encontramos en una posición que nos permite responder muchas preguntas
acerca de la Aritmética Sin Llevar.
4. Primos Sin Llevar
En la Aritmética Sin Llevar, los números 1, 3, 7 y 9 son divisores de 1, es decir, son las
unidades; y que representaremos como elementos del conjunto . Ahora bien, un número
es primo sin llevar si y sólo si es distinto de las unidades y su única factorización es de
la forma , donde es una unidad y es entero.
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13. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
Precisamente, es el conjunto de las unidades en . Por tanto un primo sin llevar
está definido como un elemento irreducible en , esto es: un polinomio
, tal que , cuya única factorización es de la forma , donde
y .
¿Cuáles son los elemento irreducibles en ? Si es
irreducible entonces, ciertamente, y deben ser unidades o irreducibles, pues si
tendríamos la factorización . También
; así que de y , uno debe ser irreducible y el otro una unidad. Luego los
elementos irreducibles e n son de la forma , donde es un polinomio
irreducible en de grado y , junto con los elementos de la forma
, donde es un polinomio irreducible en de grado .
 Función 5. Prime Carryless Question
La función básicamente pregunta si un polinomio es irreducible en , devolviendo un
valor de verdad: “true” o “false”. Esto lo realiza, en términos generales, llevando a m a su
representante en para luego verificar si se cumplen o no las condiciones
para que n sea irreducible; para ello usamos el comando “IrreduciblePolynomialQ”, que
nos permite saber si un polinomio es irreducible en un módulo primo, en nuestro caso: 2 y
5. Si n es irreducible, entonces el número m es primo; de lo contrario m es compuesto.
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14. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
Ejemplos:
Con el propósito de hacer comparaciones con los primos de la Aritmética Sin Llevar con
los primos de la Aritmética Clásica, realizamos la siguiente y sencilla función, que cuenta
y determina los primos sin llevar en el intervalo , utilizando la función
“PrimeCarrylessQ” y devolviendo dichos primos sin llevar en una lista.
 Función 6. Prime Carryless
Basado en el ejemplo anterior, cabe mencionar que en la Aritmética Sin Llevar los
números 52, 54, 56 y 58 son primos sin llevar, mientras que en la Aritmética Clásica
números terminados en cifra par son compuestos. ¿Cuántos serán en total?
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15. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
Decimos que m es 2 - primo, si es irreducible sobre y es constante no
nulo, por ejemplo: 54 y 557 son 2-primo. De igual forma m es 5 - primo, si y
es irreducible sobre , por ejemplo: 61 y 20 063 son 5-primo. Además le
daremos el adjetivo de “evenish” a los números cuyos dígitos que le conforman son todos
pares, por ejemplo: 8462, 204 y 624; y “fiveish” a los números cuyos dígitos que le
componen son 0 o 5, por ejemplo: 505, 50 505 y 55.
5. Relación de Equivalencia
Como sabemos, una relación definida sobre un conjunto es de equivalencia si es reflexiva,
simétrica y transitiva. De manera puntual, en la Aritmética Clásica, la congruencia módulo
, con , es una relación de equivalencia. Ahora, procedemos a definir la
Congruencia Modular Sin Llevar, de manera análoga a la ya conocida.
5.1. Congruencia Sin Llevar Módulo . Dados enteros con , se
tiene que si divide la diferencia sin llevar , lo cual se lee “ es
congruente sin llevar con módulo ”. Dicho de otra manera, es equivalente a la relación
de divisibilidad sin llevar, tal como se muestra:
(a )
(a ) donde –
donde
Es fácil probar que esta última relación es de equivalencia. Algunos ejemplos son:
Pues,
Pues,
Pues,
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16. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
A pesar de los ejemplos, dados enteros y no resulta tan fácil determinar el valor (o los
valores) de que permita que se cumpla la relación de congruencia sin llevar
. En la Aritmética Clásica, dado se sabe que los posibles valores de
son , es decir, los representantes de las clases de equivalencia o bien el
sistema completo de restos. ¿Éstos últimos serán análogos en la Aritmética Sin Llevar?
Para responder esto, haremos uso de la algebrización.
5. 2. Algebrización de la Congruencia Sin Llevar. De inmediato pasamos a
resolver, ya que en la sección 2 se explicó la algebrización. Lo primero que haremos es
determinar un sistema completo de restos, dado el módulo de la congruencia:
Consideremos un módulo fijo . Designamos por al conjunto de todos los enteros
tales que y llamemos a la clase de restos sin llevar de módulo .
Dado
Se lleva a cada elemento de la congruencia a su polinomio correspondiente en y
posteriormente a sus correspondientes elementos en :
Supongamos que es un dígito con cifras, por tanto su representante en será
de grado y, consecuentemente, por lo menos una de las componentes de su representante
en tendrá, necesariamente, grado ; mientras que la otra componente tendrá
grado menor o igual a . Cabe resaltar que sucede de forma similar tanto para como
para .
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17. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
Cuando se realice la congruencia, ésta se lleva a cabo componente a componente,
respectivamente, así:
Ahora supongamos que el polinomio de grado es , por tanto el polinomio
tendrá a lo sumo grado . Luego tendremos opciones para . Por otro lado, el
polinomio de grado sería ; por tanto el polinomio tendrá grado ,
como máximo. Luego tendremos opciones para . Finalmente, como
, habrían posibilidades para el polinomio y por consiguiente,
el mismo número de posibilidades para el valor de .
Si supusiéramos el caso contrario que y , el
razonamiento sería análogo.
 Función 7. Carryless Residues
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18. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
La función determina un sistema completo de restos sin llevar módulo p. Lo primero que
hace es determinar el elemento correspondiente de p en , vector que
llamamos e. Luego almacena el grado de cada componente en f1 y f2, respectivamente; ya
que sus grados determinarán la cantidad posible de polinomios restos: en y
en . Las líneas siguientes del programa se encargarán de darnos las distintas
posibilidades para los polinomios y , con la ayuda del comando “Tuples” que
permuta los distintos coeficientes de dichos polinomios: {0, 1, 2} para y {0, 1, 2, 3, 4} para
.
Finalmente se crea el vector auxiliar g3 de tamaño , que albergará al sistema
completo de restos. Posteriormente por cada opción de se recorre a las posibilidades
de y se hace “CarrylessNumberReverse” para conocer qué número sin llevar le
corresponde e inmediatamente es ubicado en g3. Se continúa sucesivamente hasta que se
determine el número sin llevar que represente el último polinomio posible de con la
última posibilidad de . Ejemplo:
El sistema completo de restos módulo 6 829 está formado por 125 elementos. Ahora
mostramos la gráfica del sistema con la ayuda de “ListPlot”.
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19. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
Resulta curiosa la simetría de la gráfica. Hay que añadir que en la Aritmética Clásica el
sistema completo de restos módulo p está formado precisamente por p elementos, que son:
; sin embargo en nuestra aritmética no ocurre así. A continuación
mostramos otros ejemplos con sus respectivos grafos, para luego exponer algunas
observaciones particulares.
En este caso son 100 los elementos que conforman el sistema completo de restos módulo
139. Veamos su gráfica y seguidamente un ejemplo en donde el módulo es primo.
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20. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
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21. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
Observaciones:
1. Si p un 2-primo con r cifras, entonces el sistema completo de restos estará formado
por elementos.
2. Si q un 5-primo con k cifras, entonces el sistema completo de restos tendrá
elementos. Por ejemplo: 883 con 25 elementos en .
3. Si el módulo es un evenish el conjunto tendrá infinitos elementos, esto se debe a
que lo cual daría infinitas opciones para . De forma similar ocurre
si el módulo es un fiveish, ya que y las posibilidades para serían
infinitas.
Hasta este punto ya hemos respondido en gran parte la interrogante principal de si era
posible definir una congruencia modular en la Aritmética Sin Llevar, pero para hacer más
preciso nuestro trabajo monográfico planteamos lo siguiente: dados a y m en una
congruencia modular sin llevar . ¿Quién es b? La siguiente función
determina el valor de b, además calcula k tal que .
 Función 8. Carryless Modular Congruence
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22. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
El razonamiento para esta función es el mismo que se utilizó en la función precedente, con
la excepción de que este caso se conocen dos de los valores involucrados en la
congruencia: a y m. Lo que implica que el interés sea en tan solo uno de los elementos del
sistema completo de restos del módulo m, además de encontrar k. Cabe indicar que, a
menos que , deseamos encontrar el valor de b distinto del trivial, es decir, .
Lo primero es llevar los valores conocidos a sus representantes en : n y o,
respectivamente. Seguidamente nos apoyamos en “PolynomialQuotientRemainder”,
función que admite tres parámetros de entrada: un dividendo y un divisor, ambos
polinomios; la variable en la que se encuentran los polinomios y un cuarto parámetro
indicando un módulo primo, que en nuestro caso es 2 o 5. Dicho comando devuelve un
vector donde la primera componente es el cociente y la segunda es el residuo. Lo que
hicimos fue crear una matriz q de orden 2, cuya primera fila es el cociente y residuo de
dividir la primera componente de n por la primera componente de o y la segunda fila es el
cociente y residuo de dividir la segunda componente de n por la segunda componente de
o. Finalmente para conocer el valor de b hacemos “CarrylesNumberReverse” de la
primera columna de q y para encontrar el valor de k hacemos “CarrylessNumber Reverse
de la segunda columna de q. Ejemplos:
Es fácil comprobar cada congruencia, además de verificar que 440 y 60 forman parte de
los sistemas completos de residuos de 6829 y 883, respectivamente.
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23. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
CONCLUSIÓN
Conocer la Aritmética Sin Llevar estimuló la formulación de innumerables preguntas que
quizás ni siquiera fueron formuladas en clase. Aventurarse a comprobar la veracidad de
resultados, conjeturas o definiciones de la Aritmética Clásica en la Aritmética Sin Llevar
es, sin duda, un gran reto. Incluso está la posibilidad de refutar resultados trascendentales
y llegar a construir nuevos conceptos. Al final del camino, valiéndose de herramientas
matemáticas conocidas durante los cursos de la Licenciatura, resulta realmente
satisfactorio llegar a decir “lo hice”; y sentir, aunque sea en lo más mínimo, lo que han
experimentado grandes matemáticos de la historia.
Una de las tantas preguntas fue: ¿será posible definir congruencias en alguna aritmética
distinta a la clásica? E inmediatamente descartamos la posibilidad de una analogía en la
Aritmética Dismal puesto que no es posible una resta dismal. Sin embargo, apoyándonos
en el álgebra, se definió una resta sin llevar; esto nos permitió un mayor optimismo para
responder a la interrogante.
En la búsqueda de dicha respuesta logramos construir una aritmética modular sin llevar
análoga a la aritmética modular clásica: definiendo una congruencia modular sin llevar
módulo m; contabilizando y reconociendo los elementos de un sistema completo de restos.
No obstante para alcanzar estos resultados recurrimos a polinomios irreducibles,
isomorfismos, Teorema Chino de Los Restos, anillos de polinomios. Debimos aprender a
llevar un elemento de a su número sin llevar correspondiente; incluso
abordamos módulos con números evenish y fiveish, los criterios de primalidad, con el
objeto de minimizar cálculos, y así, obtuvimos resultados muy particulares. Todo eso
aparte de los programas realizados con Wolfram Mathematica.
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24. V [OTRAS ARITMÉTICAS]
RECOMENDACIÓN
Estudiar otros resultados de la aritmética modular clásica y comprobar su veracidad o no
en la aritmética modular sin llevar, entre los que podemos citar: el Pequeño Teorema de
Fermat o bien el Teorema que abordamos en nuestro primer trabajo monográfico, el cual
enuncia que: “La tabla de multiplicación para contiene 1’s solamente en la diagonal si
y solo si n es divisor de 24”.
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25. [ARITMÉTICA MODULAR SIN LLEVAR] V
BIBLIOGRAFÍA
1. DAVID APPLEGATE, MARC LEBRUN Y NEIL SLOANE. Julio 7, 2011. Carryless
Arithmetic Mod 10.
2. TOM APOSTOL. Editorial Reverté. 2002. Introducción a la Teoría Analítica de
Números. España.
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