Este documento describe la historia, conceptos y aplicaciones de la geodesia. Comienza con definiciones clásicas de geodesia y una división en tres áreas: geodesia global, levantamiento geodésico y topografía. Luego discute sistemas de referencia, coordenadas, proyecciones cartográficas, precedentes históricos y desarrollos científicos clave en geodesia a través de los siglos. Finalmente, explica conceptos como el geoide, elipsoide y figura de la Tierra.

1. Universidad de Alcalá
Introducción
y movimiento del polo
Dr. FJGM
Geodesia Superior 1

2. Definición Clásica
F.R. Helmert en 1880
“ciencia de medir y cartografiar la superficie
terrestre”
la determinación del campo de gravedad externo
de la Tierra
la determinación de las superficies de otros
cuerpos celestes
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 2 22

3. División clásica
La geodesia se puede dividir en tres áreas:
Geodesia global
Figura
Forma
Gravedad
Levantamiento geodésico
Superficie de un país.
Puntos de control
Topografía
Detalle
En el plano
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 3 33

4.  Ejemplo de actividades englobadas dentro de la Geodesia:
Determinación de la forma y dimensiones de la Tierra.
Determinación de posiciones sobre la Tierra.
El estudio de las mareas (oceánicas y terrestres).
Diseño, observación y cálculo de redes geodésicas: Cartografía.
Deformaciones de la corteza.
Geodinámica de placas tectónicas.
Microgeodesia: medición de deformaciones en laderas, montañas,
estructuras de ingeniería, etc.
Ingeniería Civil: túneles, puentes...
Determinación de posiciones de satélites para seguimiento.
Gravimetría y Geodesia Física.
Estudio de la rotación de la Tierra: movimiento del Polo, tiempo...
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 4 4 44

5. Geodesia y Sistemas de Referencia
Por lo tanto, una de las soluciones a los problemas de la Geodesia
pasa por el conocimiento relativo de las posiciones de unos puntos
respecto a otros.
Dada la formulación espacial del problema, parece lógico utilizar
algún sistema que nos permita referenciar unos respecto a otros.
Sistema de Referencia
Será un “Sistema Terrestre” ligado al cuerpo de la Tierra.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 5 5 55

6. Sistemas de Referencia
Un sistema de referencia es un conjunto de convenciones usadas
para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un objeto
o sistema físico en el tiempo y el espacio.
En mecánica clásica con formulación vectorial o newtoniana se usa
el término para referirse a un sistema de coordenadas ortogonales
en el espacio euclídeo.
Se emplean sistemas de referencia caracterizados
por un punto denominado origen y un conjunto
de ejes que definen unas coordenadas.
Apoyándonos en la métrica y dirección de estos
ejes se definen los sistemas de coordenadas.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 6 6 66

7. Sistemas de Coordenadas en el plano.
Sistema de Coord. Cartesianas.
“x” Proyección sobre el eje X del
vector OP.
“y” Proyección sobre el eje Y del
vector OP.
Sistema de Coord. Polares.
“r” distancia del vector OP.
“a” ángulo subtendido entre el eje
x y el vector OP
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 7 7 77

8. Sistemas de Coordenadas en el espacio o
tridimensionales (I).
Sistema de Coord. Cartesianas.
“X” Proyección sobre el eje X del
vector OP.
“Y” Proyección sobre el eje Y del
vector OP.
“Z” Proyección sobre el eje Z del
vector OP.
Sistema de Coord. Cilíndricas.
“r” distancia de P a su proyección
sobre el plano del eje x e y, punto Q.
“Φ” ángulo subtendido entre el eje x
y el vector OQ, medido en el plano de
los ejes x e y.
“ρ” distancia del vector OQ.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 8 8 88

9. Sistemas de Coordenadas en el espacio o
tridimensionales (II).
Sistema de Coord. Esféricas.
“r” distancia del vector OM.
“θ” ángulo subtendido entre el eje
x y la proyección ortogonal del vector
OM sobre el plano formado por los
ejes x e y.
“ϕ” ángulo subtendido entre el
vector OM y su proyección ortogonal
sobre el plano formado por los ejes x
e y.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 9 9 99

10. Proyecciones cartográficas
Se necesita la representación de los fenómenos que ocurren en la
superficie de la Tierra en una superficie plana (mapa).
La forma de la Tierra, aún en una aproximación esférica o
elipsóidica hacen imposible su representación en un plano sin
deformarla.
Una proyección cartográfica es una relación matemática biunívoca
que relaciona las coordenadas geográficas (ϕ,λ) con las del mapa
(x,y).
X = f1 (φ,λ) φ = F1 (x,y)
Y = f2 (φ,λ) λ = F2 (x,y)
•CONFUSIÓN MÁS COMÚN: Confundir S.G.R.
con proyección
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 10 10 1010

11. Ejemplo  Coordenadas de un punto.
Curso Avanzado de
Sistemas de
Posicionamiento por
Satélite, Madrid,
Septiembre-Octubre
2011
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 11 11 1111

12. •Precedentes históricos de la Geodesia
 No hay constancia de ninguna civilización con conocimientos superiores
de la figura de la Tierra.
 Griegos:
Homero (900 a.C.): Tierra plana y limitada con monte Olimpo en el
centro.
Tales de Mileto (610 – 547 a.C.): Tierra: barco redondo flotando en
océano.
Parménides (515 – 440 a.C.): Tierra esférica aislada en el espacio.
Pitágoras de Samos (549 - 470 a.C.): Tierra esférica sin movimiento.
Filolao (450 a.C.): Tierra esférica que gira produciendo el día y la noche.
Aristótele Platón (429 – 338 a.C.): Tierra esférica inmóvil.
s (384 – 322 a.C.): Tierra esférica con dimensiones no muy grandes e
inmóvil en el espacio.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 12 1212

13. Dicearco (350 – 285 a.C.): Tierra esférica, meridiano y paralelo de
Rodas. (ϕ,λ)
Euclides enuncia las leyes del movimiento diurno y descubre la Polar.
Eratóstenes de Cyrene (240 a.C.) evalúa las dimensiones de la Tierra
(R = 6207 km) •Método de los arcos:
•Solsticio de verano: sol en pozo.
•Medición de la altura del Sol en
Siena y Alejandría
•Diferencia de alturas = ángulo
central del meridiano Siena -
Alejandría
•Posidonio (100 a.c.) 
Medida de radio R=4615 Km
(utilizado en la Edad Media)
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 13 13 1313

14. Claudio Ptolomeo (100 – 170 d.C.): construyó planetarios y el
primer mapa del mundo georreferenciado con longitudes y latitudes.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 14 14 1414

15.  Edad Media:
Ideas aristotélicas (no es cierto admitir la Tierra plana en esta
época), aunque época oscurantista: no se podía vivir boca abajo en
las antípodas.
Algunas aportaciones chinas: I Hsing (727), medida del radio
terrestre.
Al-mamúm: trabajos determinación de la longitud de un grado
terrestre.
Al-Khwarizmi: avance matemáticas al introducir los números
hindúes (algoritmo) y medición del radio terrestre.
Idrisi (1098 – 1166): publica Geografía Universal.
 Siglos XV y XVI:
El viaje de Marco Polo induce a Toscanelli (1397 – 1482) a
confeccionar el mapa que instigó a Colón su viaje.
Las exploraciones hacen desarrollar la cartografía y las ciencias.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 15 15 1515

16. Edad Moderna
Toscanelli (1397-1482)  Carta usada por
Colón con radio de Posidóneo.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 16 16 1616

17. Edad Moderna
Colón (1451-1506)  en 3er viaje (1499) se percata de que la
Tierra no es esférica.
Copérnico (1473-1543)  Teoría heliocéntrica.
Tycho Brahe (1546-1601)  Observaciones de Marte.
Kepler (1571-1630)  Leyes sobre el movimiento de los
planetas.
Fernel (1485-1558)  distancia París a Amiens. Rueda.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 17 17 1717

18.  Siglos XVII y XVIII:
Nuevos mapas replantean la discusión de la forma y dimensiones de
la Tierra.
Picard (1670) determina el radio de la Tierra: 6275 km.
Controversia Cassini – Newton: expediciones a Laponia y Perú
(1735-1744), Jorge Juan y Antonio de Ulloa.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 18 18 1818

19. Edad Moderna
Cassini (1677-1756) longitud de un arco de
un grado disminuía desde el ecuador hacia el
polo norte y se concluía, que el elipsoide
terrestre debía ser alargado en el sentido del
eje de rotación.
D’Anville (1697-1782), medir la longitud de
un grado de meridiano en las proximidades
del polo y otro en el ecuador., los españoles
Jorge Juan y Antonio de Ulloa fueron a
Perú . Se confirma la teoría Newtoniana.
Para determinar el semieje y el aplanamiento
de la Tierra otras muchas medidas de la
longitud del grado fueron realizadas desde
entonces.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 19 19 1919

20.  Siglo XIX: Determinación de los semiejes del elipsoide (a, b).
Prolongación del meridiano de París hasta Ibiza y Formentera (1806
– 1808).
Struve: arco del Danubio al Ártico (1817 – 1849).
Everest: arco de la India (1823 – 1830).
Clarke: publicación elipsoide para América (1866).
Gauss: numerosas investigaciones y formulación del geoide como
superficie equipotencial de gravedad.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 20 20 2020

21. Edad Contemporánea
Stokes (1819-1903)  método para la determinación del geoide
a partir de anomalías de la gravedad.
Bruns (1848-1919)  Relación entre el potencial perturbador y
la ondulación del geoide.
Bessel (1784-1846) primer valor fiable del aplanamiento de la
Tierra y elipsoide de 1840.
Küstner (1891)  el eje de rotación de la Tierra no está fijo en la
corteza: consecuencia para los sistemas de referencia.
Helmert (1843-1917)  método de nivelación astrogeodésica
para la determinación del geoide a partir de desviaciones de la
vertical.
Hayford (1909)  Elipsoide Internacional adoptado por IUGG.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 21 21 2121

22. La figura de la Tierra (I)
Depende de cómo sea definida.
La superficie topográfica real.
Variedad de formas del terreno y áreas de agua.
Irregular y compleja.
Donde se realizan mediciones.
Plana.
Válido para topografía (pequeñas áreas)
Esférica (Pitágoras).
Tratable matemáticamente, simple.
Válida para muchas aplicaciones.
No para los geodestas (grandes distancias).
Elipsoide de revolución.
Elipsoide Triaxial.
Abultamiento ecuatorial
Forma de pera.
Achatamiento adicional Polo Sur y abultamiento Polo Norte.
Geoide
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 22 22 2222

23. • La figura de la Tierra (II)
 La forma de la Tierra viene determinada por las fuerzas de
atracción gravitatoria de la Tierra y la fuerza centrífuga derivada de
su rotación.
 Geoide: superficie (de nivel) equipotencial del campo gravitatorio
de la Tierra. Coincide con el nivel medio del mar (MSL) en un
océano abierto sin perturbaciones o su extensión hipotética por
debajo de las masas continentales.
 Normal en cada punto al geoide: vector
de gravedad g, siendo su dirección la que
define la vertical del lugar.
 El geoide es la superficie de referencia
fundamental para la altitud.
 La superficie del geoide es compleja ->
ϕ, λ elipsoide de revolución.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 23 23 2323

24. La figura de la Tierra (III)
Geoide.
Los instrumentos se nivelan según el
vector gravedad (línea de la
plomada).
El ángulo entre la línea de la plomada
(la vertical) y la perpendicular al
elipsoide (la normal) se denomina 
Desviación de la Vertical
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 24 24 2424

25. La figura de la Tierra (IV)
Elipsoide de revolución.
Elipsoide rotacional.
Tierra achatada en los polos.
Figura “sencilla” que mejor se adapta
a la figura de la Tierra.
Se obtiene por la rotación de una
elipse alrededor de su eje menor.
Lo definen dos parámetros (a,b) ó
(a,f).
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 25 25 2525

26. La figura de la Tierra (V)
Elipsoide de revolución.
Nombre a f Se ha usado en:
Krassowsky (1940) 6,378,245m 1/298.3 Rusia
International (1924) 6,378,388m 1/297 Europa
Struve (1924) 6,378,298m 1/294,73 España
Clarke (1880) 6,378,249m 1/293.46 Francia, África
Clarke (1866) 6,378,206m 1/294.98 Norte América
Bessel (1841) 6,377,397m 1/299.15 Japón
Airy (1830) 6,377,563m 1/299.32 UK
Everest (1830) 6,377,276m 1/300.80 India
WGS 66 (1966) 6,378,145m 1/298.25 USA/DoD
GRS 67 (1967) 6,378,160m 1/298.25 Australia Sudamérica
WGS 72 (1972) 6,378,135m 1/298.26 USA/DoD
GRS 80 (1979) 6,378,137m 1/298.26 USA/DoD
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 26 26 2626

27. • Sistemas elipsoidales de referencia (como
referencia)
 La superficie de la Tierra puede representarse con mucha
aproximación mediante un elipsoide de revolución que mejor se
adapte a la zona, definiéndose este sistema con:
Superficie de referencia: dimensiones (semiejes a, b).
Ejes o líneas de referencia en la superficie que definen un sistema de
coordenadas curvilíneas ortogonales.
Sentidos de medida en dos planos ortogonales.
 El Sistema Geodésico de Referencia es el •Greenwich
conjunto de:
Una superficie de referencia (elipsoide de
revolución).
Un punto fundamental donde coinciden (o no si •Ecuador
se dan sus desviaciones de la vertical) normales
al geoide y al elipsoide (Datum).
Datum altimétrico: geoide (nivel medio del
mar, MSL).
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 27 27 2727

28.  Ejemplo: Sistema geodésico de referencia en
España:
European Datum 1950 (ED50)
Elipsoide de referencia: Internacional Hayford
1924.
• Dimensiones: a = 6378388 m - b=
6356911.946 m - f = 1 / 297
Datum: Potsdam (Alemania).
Datum altimétrico: Nivel medio del Mediterráneo
dado por el mareógrafo de Alicante.
Altitudes: ortométricas (Helmert) sobre el geoide
(H).
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 28 28 2828

29. No existían los Sistemas de Referencia Globales.
Los Sistemas Geodésicos Locales podían (casi siempre) ser distintos en
cada país ó región (Regionales).
Para la definición de su datum se usaban las observaciones astronómicas
sobre la superficie terrestre.
En primera instancia eran referenciadas en el llamado “Sistema
Astronómico”.
El objetivo era acceder finalmente al “Sistemas Geodésico”.
Este “Sistema Geodésico” se solía interpretar con más frecuencia en
forma de “Sistema de Referencia Elipsoidal”.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 29 29 2929

30. •1918 •1987
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 30 30 3030

31. •ED50
•ED77 •ED79 •ED87
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 31 3131

32. Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 32 3232

33. Universidad de Alcalá
Movimiento del polo, movimiento tectónico de placas,
carga oceánica, efectos de marea
Geodesia Superior 33

34. Movimiento del polo
Conceptos sobre el movimiento de la Tierra
Se mueve solidariamente en la galaxia respecto a
otras galaxias.
Se mueve con el sistema solar dentro de nuestra
galaxia.
Se traslada en su movimiento anual alrededor del
sol.
Rota sobre su eje instantáneo de rotación.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 34 3434

35. Movimiento del polo
Conceptos sobre el movimiento de la Tierra
Se mueve solidariamente en la galaxia respecto a
otras galaxias.
Se mueve con el sistema solar dentro de nuestra
galaxia.
Se traslada en su movimiento anual alrededor del
sol.
Rota sobre su eje instantáneo de rotación.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 35 3535

36. Movimiento del polo
De los dos primeros movimientos se ocupa la astronomía,
nosotros, por lo general, observaremos a objetos dentro de
nuestra galaxia. Por tanto, nos centraremos en los
movimientos de carácter anual y diurno.
El movimiento anual puede ser adecuadamente explicado
usando la mecánica celeste, esto es, asumiendo que la Tierra
y otros cuerpos celestes son cuerpos puntuales con su masa
concentrada en el centro de gravedad.
Para explicar el fenómeno diurno, con sus efectos de
precesión y nutación el modelo de Tierra tiene que ser
refinado teniendo en cuenta la reología (comportamiento
ante esfuerzos), atmósfera, océanos...
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 36 3636

37. Movimiento anual de la tierra
En la descripción del movimiento anual, las
dimensiones de la tierra y otros cuerpos celestes
pueden ser consideradas despreciables con respecto a
las del sistema solar.
Bajo estas condiciones se cumplen las leyes de Kepler:
Los planetas describen órbitas elípticas con el sol en uno de
sus focos
La velocidad superficial es constante
El cociente periodo2/semi_eje_mayor3
es constante
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 37 3737

38. Movimiento anual de la tierra
Debido a la segunda ley, ya sabemos que la Tierra
se mueve más rápidamente en el perihelio.
En realidad la luna y los planetas perturban la
órbita provocando que no sea elíptica ni plana. Para
muchos propósitos prácticos estas perturbaciones
son inapreciables.
Como hemos citado anteriormente la totalidad de la
elipse orbital se mueve respecto a las estrellas que
la rodean dentro de la galaxia, este movimiento es
extraordinariamente lento.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 38 3838

39. Rotación, precesión y nutación
En este caso, no se pueden despreciar sus
dimensiones
El siguiente modelo dinámico más simple es aquel
que toma la Tierra como un cuerpo rígido que viaja
alrededor del sol y gira a través de un eje que pasa
por su cuerpo. En mecánica se denomina giróscopo
a este cuerpo.
.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 39 3939

40. Rotación, precesión y nutación
A manifestación diaria del efecto giroscópico, la
rotación alrededor del eje polar de la tierra es el
movimiento diurno.
A la Tierra le lleva 366.2564 rotaciones respecto de
la estrellas , lo que se llama día sidéreo, 365.2564
respecto del sol, lo que llamamos día solar medio,
para completar una revolución alrededor del sol.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 40 4040

41. Rotación, precesión y nutación
En el siguiente grado de exactitud el eje de
rotación, denominado instantáneo, no coincide con
el eje principal que corresponde al máximo
momento de inercia que pasa por el centro de
masas de la tierra.
Cuando existe un momento externo ejercido sobre
el giróscopo, el eje de giro describe un cono circular
en cuyo centro está el centro de masas del
giróscopo, este movimiento es conocido como
precesión. Para la Tierra los cuerpos celestes son
los que proporcionan este momento .
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 41 4141

42. precesión
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 42 4242

43. precesión
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 43 4343

44. Rotación, precesión y nutación
El hemisferio más cercano al sol es atraído
más que el alejado.
Para obtener el torque con respecto a C,
punto de referencia para describir la
precesión, debemos de restar la fuerza que
actúa en C de ambas fuerzas hemisféricas.
Si no existiera abultamiento ecuatorial el
torque desaparecería debido a que el par
de fuerzas descansan sobre el plano C-H.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 44 4444

45. Rotación, precesión y nutación
En nuestro caso el eje de rotación
terrestre no está fijo en el espacio y se
mueve describiendo un cono
perpendicular al plano de la Eclíptica.
El ciclo de precesión es de 26000 años,
un año platónico.
El movimiento del punto vernal es de
unos 50" por año en el sentido de las
agujas del reloj.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 45 4545

46. Rotación, precesión y nutación
La presencia de la Luna hace que el estudio de la
cinemática de la Tierra sea todavía más
complicada.
El primer hecho importante es que la luna orbita en
un plano inclinado 5º11' respecto a la Eclíptica.
La intersección de estos dos planos es la línea
nodal, que rota cada 18.6 años.
Esto introduce un momento adicional.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 46 4646

47. Rotación, precesión y nutación
Por tanto, la luna además de perturbar la órbita
anual, también perturba la precesión. Esta
perturbación da como resultado otro movimiento del
eje de rotación llamado nutación forzada o
simplemente nutación.
El cono de nutación es mucho más estrecho que el de
precesión, su ángulo es de 18º42' (47º para la
precesión).
La nutación es mucho más rápida que la precesión
completándose un ciclo en 18.6 años en vez de 26000.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 47 4747

48. Rotación, precesión y nutación
Evidentemente la nutación también afecta al punto vernal
La descripción matemática del momento es sumamente
tediosa debido a que el momento lunisolar que causa estos
movimientos es función de las posiciones del sol y de la luna
y ésta varía constantemente.
El movimiento compuesto, es decir, precesión
lunisolar+nutación tiene periodicidades bien definidas.
Los dos periodos mencionados 18.6 y 26000 años son sólo los
principales cuya contribución tiene las amplitudes más
grandes.
Otros periodos que contribuyen apreciablemente son:
a) Semianual de amplitudes 0.15"
b) Quincenal de amplitudes 0.1"
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 48 4848

49. Nutación libre
Dinámicamente el movimiento conocido
como nutación libre de la tierra o
"bamboleo" (wobble) es la nutación libre de
momento.
Adoptemos el “sistema de coordenadas
geocéntrico” cartesiano relacionado con los
principales momentos de inercia.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 49 4949

50. Nutación libre
Los ejes de este sistema de referencia están dados
por los vectores propios del tensor de inercia J. En
otras palabras es un sistema dextrógiro xyz con
origen en el centro de masas de la Tierra y ejes
coincidentes con el tensor principal de inercia
formando el elipsoide de inercia (no confundir con
el elipsoide geodésico)
Para un cuerpo rígido este sistema de coordenadas
está rígidamente unido al cuerpo, en caso contrario
el sistema está definido instantáneamente por la
distribución de las masas dentro del cuerpo.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 50 5050

51. Nutación libre
 Si denomino I1,I2,I3 a los principales momentos de inercia respecto a x, y, z
respectivamente, la ecuación de Euler para la nutación libre es:
 ecuación diferencial de primer orden
 son las componentes del vector velocidad angular
 son las componentes del vector aceleración angular

 I1 e I2 no difieren significativamente el uno del otro, pero si difieren del I 3.
 Las tres ecuaciones diferenciales que definen la nutación libre son:

 Se observa que w3=cte=µ
 Si diferenciamos las ecuaciones respecto del tiempo las dos ecuaciones se transforman en
ecuaciones diferenciales de segundo grado con variables separadas.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 51 5151

52. Nutación libre

 Resolviéndolas:

 Con ψ β constantes de integración
 Si observamos la figura inferior vemos que el polo instantáneo de
rotación describe un cono circular alrededor del eje principal de
inercia de sentido contrario al de las agujas del reloj mirándolo desde
el polo. (amplitud, fase y periodo)

Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 52 5252

53. Nutación libre
 La solución de la ecuación de Euler no muestra información sobre las constantes
que han de ser definidas por observación.
 La observación si indica que w1 y w2 son muy pequeños comparados con w3, en
otras palabras, el eje instantáneo de rotación se desvía un ángulo muy pequeño.
Por tanto w3=w, prácticamente igual a la velocidad angular de rotación de la tierra.
 día sidéreo

 EL aplanamiento dinámico, es 305 días sidéreos. Este valor es el
denominado periodo de Euler.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 53 5353

54. Nutación libre
A final de siglo se descubrió que el periodo realmente era un
40% mayor que el de Euler (Newcomb), ello es debido a la
falta de rigidez de la Tierra.
Esta falta de rigidez eleva el periodo a 435 días y es el
llamado periodo de Chandler.
Debido a que la Tierra es un sólido deformable en vez de
rígido, se hace necesario tener en cuenta la fricción interna y
por tanto la disipación de energía.
A medida que un sistema disipa energía se produce un
amortiguamiento del movimiento.
En nuestro caso, al menos teóricamente, debemos de esperar
una amortiguación de β exponencialmente en el tiempo.
La descripción de la nutación para un cuerpo deformable
está dada por la ecuación de Liouville
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 54 5454

55. Movimiento del polo observado y variación en la
velocidad de rotación de la tierra
Tradicionalmente la variación del movimiento del polo ha
sido observada por la variación de latitud de observatorios.
Se comenzó a observar el fenómeno a partir de 1899 en la
latitud 39º08' (Mizusawa, Kitab, Caloforte, Gaithersburs y
Ukiah)
Las dos agencias que las controlaban era el IPMS
(International Pole Motion Service) y el BIH. Los EEUU
introdujeron una nueva, el DPMS (Dal Pole Motion Service
monitorizándolo el polo a través de la red TRANSIT.
En la actualidad hay una gran abundancia de datos
comparativamente homogéneos revelando que el
movimiento es relativamente más complicado de lo que se
pensó en un principio.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 55 5555

56. Movimiento del polo observado y variación en la
velocidad de rotación de la tierra
En la figura de la derrecha se observa el
movimiento del polo respecto del polo CIO, polo
medio 1900-1905.
A primera vista no revela un amortiguamiento, la
explicación más verosímil es que detrás del
amortiguamiento existe un mecanismo que
ocasionalmente o continuamente excita el
"wobble".
La hipótesis de que la excitación está generada por
terremotos tectónicos no es muy realista (Jeffreys
1970 et al.)
No se tienen datos totalmente precisos y
convicentes del mecanismo de excitación.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 56 5656

57. Resumen de periodos
Nutación forzada:
Causada por la inclinación de la órbita de la Luna respecto a la
Eclíptica, que es de unos 5º11' . Contiene los términos periódicos del
movimiento del polo. Esta inclinación introduce cambios periódicos en
el momento externo y es lo que se llama la nutación forzada o
simplemente nutación.
Periodo principal: 18.6 años 9” de amplitud
Nutación libre:
Por el contrario, se entiende por nutación libre a la nutación libre de
Torque y es un efecto que acompaña cualquier movimiento giroscópico
en el que el eje de giro sea distinto al de inercia C.
Periodo de Chandler: 435 días 0.1”-0.2” de amplitud
Periodo de Euler 305 días 0.1”-0.05”
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 57 5757

58. Coordenadas del polo
Los ángulos que caracterizan la dirección del
polo rotacional dentro de la Tierra es lo que se
llaman coordenadas polares x e y. Estas
coordenadas refieren el polo instantáneo a en
un marco de referencia adoptado por los
observatorios encargados de determinar estos
parámetros.
La coordenada x está medida a lo largo del
meridiano de Greenwich y la coordenada y
medida a lo largo del meridiano 90W. Estas
dos coordenadas determinan sobre un plano
las direcciones del movimiento del polo.
El meridiano, el ecuador, las coordenadas o el
acimut astronómicos de una estación están
siempre referidos al sistema de referencia
instantáneo y en consecuencia están
sometidos a cambios en el tiempo.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 58 5858

59. Coordenadas del polo
En el Boletín IERS las coordenadas x e y del polo
son las coordenadas del Polo Celeste de Efemérides
respecto al polo convencional IERS (IERP IERS
Reference Pole). El CEP difiere del polo
instantáneo de rotación en aproximadamente 0.01”.
Estos desplazamientos del polo celeste fueron
descubiertos gracias a las observaciones VLBI y
LLR poniendo de manifiesto los modelos de
precesión y nutación de la IAU (International
Astronomy Union).
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 59 5959

60. Boletín A del IERS
http://data.iers.org/products/6/14860/orig/bull
*********************************************************************
* * * * I E R S B U L L E T I N - A * * * * Rapid Service/Prediction
of Earth Orientation *
*********************************************************************
* 22 September 2011 Vol. XXIV No. 038
COMBINED EARTH ORIENTATION PARAMETERS:
IERS Rapid Service
MJD x error y error UT1-UTC error
" " " " s s
11 9 16 55820 0.18149 .00009 0.40257 .00009 -0.306133 0.000018
11 9 17 55821 0.18214 .00009 0.40141 .00009 -0.306667 0.000015
11 9 18 55822 0.18235 .00009 0.40027 .00009 -0.307105 0.000014
11 9 19 55823 0.18218 .00009 0.39902 .00009 -0.307504 0.000012
11 9 20 55824 0.18205 .00010 0.39718 .00009 -0.307915 0.000010
11 9 21 55825 0.18226 .00010 0.39501 .00009 -0.308419 0.000011
11 9 22 55826 0.18242 .00010 0.39306 .00009 -0.309044 0.000010
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 60 6060

61. Coordenadas del polo
MJD x(arcsec) y(arcsec) UT1-UTC(sec) Donde MJD es el día Juliano
51080 0.1177 0.4545 -0.15193 modificado:
51081 0.1193 0.4528 -0.15295 Forma de obtención: M=Mes:
51082 0.1209 0.4511 -0.15389
Y=año, D=día
51083 0.1223 0.4495 -0.15475 Si M<=2 entonces m=M+12, en
caso contrario m=M
51084 0.1237 0.448 -0.15558
Si M<=2 entonces y=Y-1, caso
contrario y=Y
JD=ENTERO(365.25*y)
+ENTERO(30.6001*(m+1))
+D+1720981.5
MJD=JD-2400000.5
Año Mes Día y m Día Juliano Día
Juliano Modificado
1997 6 30 1997 6 2450629.5 50629
1993 1 1 1992 13 2448988.5 48988
1998 9 24 1998 9 2451080.5 51080
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 61 6161

62. Métodos modernos de determinación del polo
DORIS (Doppler Doppler de doble Los transmisores están en 1-2 milisegundos de arco
Orbitography by frecuencia que fue tierra (unos 49)
Radiopositioning incluido como mientras que los
Integrated on experimento en varias receptores están en el
Satellite) misiones espaciales: satélite.
Spot2 y 3 y
Topex/Poseidon
SLR (Satellite Laser Mediante Pulso laser. Se mide los intervalos de 0.3-0.4 milisegundos de
Ranging) Satélites Lageos 1 y 2 tiempo requeridos arco
para que un pulso
laser viaje hasta el
satélite y vuelva
VLBI (Very Long Baseline Radiotelescopios Se mide la llegada de Mejor de 0.2 milisegundos
Radio Interferometry) señales de microondas de arco
procedentes de
fuentes
extragalácticas
GPS (Global Positioning Receptor GPS, 30 Procesado continuo en fase 0.2 milisegundos de arco
System) estaciones IERS) bifrecuencia.
LLR (Lunar Laser Pulso laser. Se mide los intervalos de Sólo se determinan largos
Ranging) tiempo requeridos periodos de nutación
para que un pulso y precesión. Sirve de
laser viaje hasta conexión entre
cuatro reflectores diferentes sistemas de
situados en la Luna y ref. CCRS ITRS
vuelva. 62 6262
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia

63. DORIS
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 63 6363

64. SLR
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 64 6464

65. VLBI
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 65 6565

66. LLR
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 66 6666

67. GPS (Global Positioning System)
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 67 6767

68. Fórmulas de reducción de observaciones
Reducción de coordenadas
astronómicas
Sean u’,v’,w’ los cosenos directores de la vertical local. Sean Λ’φ’ la longitud y latitud
astronómica observada.
Para pasar de estas componentes del coseno director a las convencionales, tendremos
que aplicar dos rotaciones: de eje X y valor -yp, y de eje Y y valor -xp. Las matrices
quedan:
N'
N w
yp
v
xp
u
G
Y
Ec ua do r
X
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 68 6868

69. Fórmulas de reducción de observaciones
Aproximando el seno al arco, el coseno a la unidad y despreciando dobles productos
tengo:
Para obtener finalmente las coordenadas corregidas emplearemos.
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 69 6969

70. Cálculo
En Madrid se realiza una observación astronómica la latitud, longitud y azimut astronómicas. La
latitud obtenida es de: 40º24'30.1253", la longitud: -3º14'26.2535", el azimut: 95º25'12.369". El día de
la observación es el 13/Octubre/1998.
Datos del movimiento del polo:
MJD Xp Yp
51097 0.1352 0.4317
51098 0.1358 0.4306
51099 0.1364 0.4295
51100 0.1369 0.4284
51101 0.1374 0.4273
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 70 7070

71. Cálculo
CORRECCIÓN DE LATITUD/LONGITUD OBSERVADA POR MOVIMIENTO DEL POLO
Latitud Longitud
observada ' m ss rad observada m ss rad u' v' w'
40 24 30.1253 0.70525907 -3 14 26.2535 -0.05655959 0.76022604 -0.04304398 0.64823112
xp yp xp(rads) yp(rads)
0.1364 0.4295 6.6129E-07 2.0823E-06
Matriz de
rotación u' / v' / w' u/v/w
Lat/Long
corregida
(radianes) 1 0 6.6129E-07 0.76022604 0.76022647
-3.24072555 0 1 -2.0823E-06 -0.04304398 -0.04304533
40.4083236 -6.6129E-07 2.0823E-06 1 0.64823112 0.64823053
Latitud Longitud
corregida m ss corregida m ss
40 24 29.9648386 -3 14 26.6119922
Incrementos -0.160461 -0.35849222
Según fórmulas reducidas -0.160461 -0.35849
0
CORRECCIÓN DE AZIMUT POR MOVIMIENTO DEL POLO
Latitud Longitud
estación m ss rad estación m ss rad
40 24 30.1253 0.70525907 -3 14 26.6119922 -0.05656133
Azimut
xp yp xp(rads) yp(rads) Observado m ss rad
0.1364 0.4295 6.6129E-07 2.0823E-06 95 25 12.369 1.66539496
Corrección Azimut
(ss) Azimut (g) Corregido m ss
-0.55303148 95.4199489 95 25 11.81597
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 71 7171

72. Corrección en latitud
� 𝑐𝑜�ΦcosΛ 1 0 �� 𝑐𝑜�Φ′cosΛ′ �′
De ቆ� ቆ = ൭ 𝑐𝑜�ΦsenΛቆ = ቆ 0 1 −�� ቆ ൭ 𝑐𝑜�Φ′senΛ′ቆ = ൭ �′ ቆ [1]
� senΛ −�� −�� 1 senΛ′ �′
Obtengo de la última fila �𝑒�Φ = ൫ � 𝑐𝑜�Λ′ + −�� �𝑒�Λ′ ൯
−� cosΦ′ + senΦ′ [2] que desarrollando
por Taylor la función seno quedaría
�𝑒�Φ = senΦ′ + (Φ − Φ′ )cosΦ′ pues �(�)� →� 0 = � ቆ 0 ቆ+ (� − �0 ),
�
si igualo esto a [2] tendría
�𝑒�Φ′ + (Φ − Φ′ )cosΦ′ = ൫ � 𝑐𝑜�Λ′ + −�� �𝑒�Λ′ ൯
−� cosΦ′ + senΦ′ Quedando finalmente
(Φ − Φ′ )= −�� 𝑐𝑜�Λ′ + �� �𝑒�Λ′ [3]
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 72 7272

73. Corrección en longitud
De la segunda ecuación de [1] 𝑐𝑜�Φ�𝑒�Λ = 𝑐𝑜�Φ�𝑒�Λ′ senΦ′ − �� senΦ, [4] desarrollando por
Taylor 𝑐𝑜�Φ y senΛ en el entorno de Φ′ y Λ′ respectivamente tendríamos
𝑐𝑜�Φ = cosΦ′ + ΔΦsenΦ′ y �𝑒�Λ = �𝑒�Λ′ + ΔΛcosΛ′
que al sustituirlo en [4] quedaría
𝑐𝑜�Φ′ �𝑒�Λ′ + ΔΛ𝑐𝑜�Φ′ cosΛ′ − ΔΦsenΦ′ senΛ′ − ΔΦΔΛsenΦ′ cosΛ′ = 𝑐𝑜�Φ′ senΛ′ − �� �𝑒�Φ′
, despreciando ΔΦΔΛ y sustituyendo ΔΦ por su valor [3]
tengo ΔΛ𝑐𝑜�Φ′ cosΛ′ = (−�� 𝑐𝑜�Λ′ + −�� �𝑒�Λ′ )senΦ′ senΛ′ − �� �𝑒�Φ′
= −�� 𝑐𝑜�Λ′ senΦ′ senΛ′ − �� �𝑒�Λ′ senΦ′ senΛ′ − �� �𝑒�Φ′ =
−�� 𝑐𝑜�Λ′ senΦ′ senΛ′ + �� �𝑒�Φ′ − �� senΦ′ cos2 Λ′ − �� �𝑒�Φ′ =
( −�� �𝑒�Λ′ + �� 𝑐𝑜�Λ′ )𝑐𝑜�Λ′ senΦ′
quedando finalmente ΔΛ = −( �� �𝑒�Λ′ + �� 𝑐𝑜�Λ′ )tanΦ′
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 73 7373

74. Corrección en azimut
=
�𝑒� −Δ� �𝑒� (Λ+� )
�𝑒�� �𝑒� (90−Φ)
Utilizando la relación de los senos, y aproximando el seno al arco tengo
Δβ = bsenቆ + Λቆ= b[senβcosΛ + cosβsenΛ]
β
y dado que
�𝑐𝑜�� = �� y ��𝑒�� = ��
quedaría la expresión final como
ΔA = −( �� �𝑒�Λ + �� 𝑐𝑜�Λ)/cosΦ′
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 74 7474

75. Ejemplo en software Bernese
Earth Rotation Parameters or Pole Coordinates in Bernese
Format
Pole coordinates, UT1-UTC, UTC-GPS, nutation off sets
The pole files contain time series of pole coordinates,
length of day, etc. necessary to perform the
transformation between the terrestrial and the celestial
(inertial) reference frame. This information is exchanged
using a large variety of file formats.
Within the IGS the IGS pole file format version 2 is used.
The format description can be found at
ftp://ftp.igs.org/igscb/data/format/erp.txt
•IERS C04 POLE 07-JAN-04 18:36
•------------------------------------------------------------------------------------------------
•NUTATION MODEL : IAU80 SUBDAILY POLE MODEL: IERS2000
•DATE TIME X-POLE Y-POLE UT1-UTC GPS-UTC RMS XP RMS YP RMS DT DE-CPO DP-C..
•YYYY MM DD HH MM (") (") (S) (S) REM (") (") (S) (") (")..
•..
•2004 1 1 0 0 0.03134 0.15381 -0.389583 13. C04 0.00000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00..
•2004 1 2 0 0 0.02881 0.15364 -0.390051 13. C04 0.00000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00..
•2004 1 3 0 0 0.02665 0.15381 -0.390382 13. C04 0.00000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00..
•2004 1 4 0 0 0.02421 0.15425 -0.390536 13. C04 0.00000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00..
•2004 1 5 0 0 0.02171 0.15487 -0.390534 13. C04 0.00000 0.00000 0.000000 0.00000 0.00..
Fecha del Congreso Nombre del Congreso Superior
Geodesia 75 7575