Este documento presenta información sobre el teorema del límite central. Explica que este teorema establece que la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal cuando la muestra es suficientemente grande. También indica que la media muestral se acercará a la media de la población a medida que aumente el tamaño de la muestra. Por último, proporciona fórmulas para calcular la probabilidad de que la media o proporción muestral se encuentre dentro de ciertos rangos.

1. FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y
EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y
NEGOCIOS INTERNACIONALES
SESIÓN 3: TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
CAPACIDAD:
Aplica adecuadamente el comportamiento probabilístico de las medias y
proporciones muestrales, en casos prácticos de la especialidad.
https://www.youtube.com/watch?v=46DgBP9VwtE
1. PARÁMETROS:
Así se dice que una característica X sigue una distribución Normal de media µ y
varianza σ2 , y se denota como X~ N(µ, σ). Figura 30. Distribución de probabilidad
normal o de Gauss y simetría respecto a µ La distribución Normal se define por
presentar ciertas propiedades importantes. Es una función continua que tiende
asintóticamente a infinito por los extremos, es simétrica con respecto a su media µ,
por lo que existe una probabilidad de un 50% de observar un valor mayor a la media
y la misma probabilidad de observar un valor menor. Dadas las características de
esta distribución, la media, la mediana y la moda coinciden siempre. La forma de la
campana depende de los parámetros µ y σ. La media indica la posición de la
campana, de modo que para diferentes valores de µ la gráfica se desplaza a lo largo
del eje horizontal. El parámetro σ indica la dispersión de los datos entorno a la
media, así cuando mayor sea σ mas plana será la curva, tal como se indica en la

2. siguiente figura. De un modo gráfico, podemos decir que σ es la distancia que existe
entre la media µ y el punto de inflexión de la curva.
2.EL TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL: Es una teoría estadística que establece que,
dada una muestra suficientemente grande de la población, la distribución de las medias
muestrales seguirá una distribución normal.
Además, el TLC afirma que a medida que el tamaño de la muestra se incrementa,
la media muestral se acercará a la media de la población. Por tanto, mediante el TCL
podemos definir la distribución de la media muestral de una determinada población con
una varianza conocida. De manera que la distribución seguirá una distribución normal si el
tamaño de la muestra es lo suficientemente grande.
Sea X1,X2,X3,…,Xn, una m.a.s., de tamaño n de una población con distribución de probabilidad
no especificada, con media µ y desviación típica σ.
La variable aleatoria Z, definida como:
Nota: El factor
√
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
2
Se denomina factor de corrección para una población finita.

3. .
3.Distribución muestral de Proporciones
Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra,
sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción
de alumnos reprobados en la muestra. La distribución muestral de proporciones es
la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de
igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer
las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde
“x” es el número de éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra)
en lugar del estadístico media.
La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución

4. muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución
normal a la binomial . Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del
comportamiento de la proporción en la muestra.
Z=
ṗ−𝑝
√
𝑝∗𝑞
𝑛
2
Donde ṗ= factor de éxito muestral.
p= factor de éxito poblacional
q= factor de fracaso poblacional
n= tamaño de la muestra
Cuando se tiene la población finita:
Z=
ṗ− 𝑝
√
𝑝∗𝑞
𝑛
2
√
𝑁−𝑛
𝑁−1
2
3. LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT: La distribución de la t de Student es una
distribución de probabilidad teórica, muy similar a la distribución normal estándar. Uno de
los parámetros necesarios en la distribución normal es la desviación estándar poblacional,
pero en el caso de no disponer de ella, puede utilizarse la desviación estándar muestral. En
este caso ya no se trata de una distribución normal, sino que se conoce como la distribución
t de Student. Esta distribución se diferencia de la distribución normal ya que en ella aparece
un parámetro, llamado grados de libertad Esto significa que para cada medida de la muestra
n, en realidad tenemos una distribución diferente. La distribución t de Student con n grados
de libertad, denotada como tn , es muy parecida a la distribución normal N (0,1):

5. NOTA: Cuando las muestras son menores o iguales que 30, debe aplicar:
4. Uso de la tabla Z de una cola

7. Ejercicios del uso de la tabla Z de una cola

8. 5. Uso de la tabla tstudent

11. REFORZANDO LAS FÓRMULAS

12. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1)
2)

13. 3.
Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma
normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9
centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo
de esta población, determine:
a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8
centímetros.
b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

14. PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO
1) Un auditor extrae una muestra aleatoria de tamaño n= 36. De una población de mil
cuentas por cobrar. La media poblacional de las cuentas por cobrar es 260 soles y la
desviación estándar poblacional es 45 soles
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que 258.00 soles?
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este a menos de 16 y más de 16
de la media poblacional?
2) Un fabricante de bombillas de luz afirma que la vida útil de sus bombillas tiene una
media de 54 meses y una desviación estándar de 6 meses. Un grupo de defensa del
consumidor prueba 50 de ellos. Suponiendo que la afirmación del fabricante es

15. verdad, ¿Cuál es la probabilidad que encuentre una vida media de menos de 52
meses?
3) Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye
aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar
de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos
tenga una vida promedio de menor de 775 horas.
4) Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma
normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9
centímetros. Si se extraen una muestra aleatoria de tamaño 36 de esta población,
determine:
El número de las medias muestrales que caen entre 173.5 y 175.5 centímetros.
El número de medias muestrales que caen por debajo de 174 centímetros.
5) Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman
cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad
de que la media de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor o igual que
0,55
6) Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos
usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que
alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150
personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de
que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una
reacción adversa sea mayor o igual que el 4%.
7) Una empresa indica en un paquete de arroz que el peso medio del paquete es de
900 gramos.
En una inspección hemos analizado el peso en gramos de 10 paquetes de arroz y
hemos obtenido los datos siguientes: 890 901 893 893 896 895 894 895 904 899
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia entre la media poblacional y la media
muestral
sea mayor de 3 gramos?.
8) En una determinada población, los pesos se distribuyen según una normal de
media 65 kg y varianza 49. Si extraemos muestras de tamaño 64: ¿Cuál es la
probabilidad de que la media de los pesos en una de esas muestras sea mayor o igual
que 66,5 kg?
9)Una máquina llena cajas de arroz, Como la varianza era desconocida se procedió a
escoger una muestra piloto. Los resultados fueron los siguientes: 12,48; 12,14; 11,86;
11,98, 11,74;12;11,99; 11,36; 12,45;12,34;13,72;12;13;12,5.
HALLAR LA P (X<12,90)
P(11,65<X<12,90)

16. 10) Los pesos en libras de una muestra aleatoria de bebés de seis meses son: 14.78;
13.5; 15.89; 16,18; 14.4; 12.9; 13.7 ; 14.79;12;13;13,42;12,9.
HALLAR LA P(X< 12,35)
P(X>13.47)
11) Los siguientes números representan el tiempo(en minutos) que tardaron los
operarios en familiarizarse con el manejo de una nueva máquina adquirida por la
empresa: 3,6; 2,9; 4,2; 3,4; 3,3; 4; 4,3; 3,1; 3,6;4,2; 3,7;3; 3,6;2,9; 4.HALLAR LA P(X>3,0)
P(X>3,6),
P(3,2 <X<4)
NUNCA CONSIDERES EL ESTUDIO COMO UNA OBLIGACIÓN, SINO COMO UNA
OPORTUNIDAD PARA PENETRAR EN EL BELLO Y MARAVILLOSO MUNDO DEL
SABER.