Estadistica Teorema

1. Teorema de Limite Central
Si se seleccionan muestras aleatorias de observaciones de una población con
media y desviación estándar finita, entonces, cuando es ``grande'' la
distribución de muestreo de la media muestral tendrá aproximadamente
una distribución normal con media y desviación estándar . Además la variable
aleatoria
Es aproximadamente normal estándar.
Lo anterior implica que mientras que el tamaño de la muestra no sea demasiado
pequeño, tiene una distribución aproximadamente normal independientemente
de la forma de la distribución de la que se obtenido la muestra.
Qué tamaño de muestra es grande?
Se ha realizado una gran investigación estadística sobre este tema. Como regla
general los estadísticos han encontrado que par la mayor parte de las distribuciones
poblacionales siempre que el tamaño de la muestra sea por lo menos 30,
la distribución muestral de la media será aproximadamente normal. Sin
embargo, quizás sea posible aplicar el Teorema Central del Límite para tamaños de
muestra incluso más pequeña, si se cuenta con algún conocimiento de la población,
como por ejemplo, si la distribución es simétrica se puede apreciar en las figuras
que se presentan a continuación la aplicación del Teorema Central del Límite, cuando
el muestreo se hace de una población continua, uniforme y exponencial. Se toma
para cada uno 500 muestras de tamaño . Se puede observar que según
aumenta el tamaño de la muestra, la distribución se aproxima a una normal. De los
gráficos se pueden obtener las siguientes conclusiones:
1. Para la mayor parte de las distribuciones de la población, independientemente de
su forma, la distribución muestral de la media tendrá distribución aproximadamente
normal si se seleccionan muestras de por lo menos 30 observaciones.
2. Si la distribución de la población es bastante simétrica, la distribución muestral
de la media será aproximadamente normal y se seleccionan muestras de por lo
menos quince observaciones.

2. 3. Si la población tiene distribución normal, la distribución muestral de la media
tendrá distribución normal independientemente del tamaño de la muestra.
Figura 3. Distribuciones para diferentes tamaños de muestra.
Estimación por intervalo de la media cuando la varianza es
desconocida
En la mayor parte de los casos cuando se realiza un estudio estadístico por primera
vez, no hay forma de conocer previamente cuál es la media o la varianza de la
población. En esta sección se considerará la inferencia sobre la media cuando la
varianza de la población es desconocida.
Para obtener el intervalo estimador se para bajo estas condiciones se debe tener
en cuenta que no es posible utilizar la variable aleatoria
Ya que el valor de no es conocido, por ello debe ser estimado y además la
distribución de probabilidad no es normal estándar.

3. Un buen estimador de es la desviación muestral a pesar de que no es un
estimador insesgado de (ver ejercicio 6.5 parte 9 de Susan). Al reeplazar en la
expresión anterior la deviación poblacional por entonces se conoce teóricamente
que la distribución de probabilidad de la variable aleatoria es T de
Student.
¿Cuáles son las características de una variable aleatoria t-
Student?
Como características principales se tienen:
1. Hay un número infinito de variables aleatorias , cada una identificada por un
parámetro , llamado grados de libertad, el cual es siempre un entero positivo.
2. Cada variable aleatoria T es continua.
3. El gráfico de la densidad de cada variable aleatoria es una curva simétrica en
forma de campana centrada en cero.
4. La media y la varianza de una variable aleatoria son respectivamente:
5. Cuando el número de grados de libertad crece, la curva de densidad se aproxima
a la de una distribución normal, como se observa en la figura 4.
Figura 4. Algunas Distribuciones T-Student

4. Nótese que si la distribución T se transforma en la distribución normal
estándar.
El intervalo de confianza
Se obtiene de manera análoga al caso con varianza conocida pero utilizando la
variable . De esta manera el intervalo estimador es
Ejemplo
Suponga que en una muestra se , , , un intervalo estimado
con un grado de confianza del 95% es dado por
Otra manera de expresar lo anterior es: