Séptima presentación del curso de estadística CIMACO, Probabilidad y teorema de límite central.

1. Teorema del límite central y aplicaciones Estadística CIMACO Dr. Carlos Cáceres Martínez, presentación preparada a partir del trabajo de la Dra. Eleonora Romero Vadillo y otros mas

2. Teorema del Límite Central SeaXuna variable aleatoria con cualquier distribución, con mediay varianza2. La función de distribución de la media muestral es aproximadamente normal con mediay desviación estándar Cuando el tamaño de la muestra (n) es grande. Distribución de la media muestral

3. Distribución de la media muestral 0.95

4. Distribución de la media muestral Cuando la distribución deXes normal la distribución de la media muestral es normal con media m y desviación estándar Sin importar el tamaño de la muestra. ¿Que tan grande debe ser el tamaño de la muestra para que la distribución de la media muestral sea aproximadamente normal, cuando proviene de una población con distribución diferente a la normal? El tamaño de la muestra depende del grado de no normalidad de la población. Sin embargo, una regla empírica señala que una muestra de tamaño 30 es suficiente, en la mayoría de las situaciones, para aplicar el teorema del límite central.

5. Para ilustrar este procedimiento construiremos la función de distribución de la media muestral de una pequeña población conformada por el número de huevos de 5 tortugas Laud que desovaron en cierta playa. El número de huevos por tortuga fue de 68 70 72 74 y 76 El número de muestras posibles de tamaño 2 con sustitución es de 25 (68,68), (68,70), (68,72), (68,74), (68,76), (70,68), (70,70), (70,72), (70,74), (70,76), (72,68), (72,70), (72,72), (72,74), (72,76), (74,68), (74,70), (74,72), (74,74), (74,76), (76,68), (76,70), (76,72), (76,74), (76,76) Ejemplo

6. Cuales son los valores que podríamos esperar encontrar ya que el número de huevos que produce cada tortuga es una variable continua… 68 69 70 71 72 68 1 0.04 69 70 71 72 73 0.08 69 2 70 73 71 72 74 70 3 0.12 71 73 72 74 75 71 4 0.16 72 73 74 75 76 72 5 0.20 73 4 0.16 74 3 0.12 Construyendo su distribución de frecuencias tendríamos: 75 2 0.08 76 1 0.04

7. Que se representa por esta figura o histograma

8. La media de la población es: La varianza de la población es:

9. Calculando ahora la media de todas las medias: Por lo tanto Recordemos esto se debe al teorema del límite central…

10. Calculando ahora la varianza de la media muestral Por lo tanto Recordemos esto se debe al teorema del límite central…

11. Los resultados anteriores se obtuvieron suponiendo que el muestreo es con reemplazo o que las muestras se han extraído de una población finita. En general no se muetrea con reemplazo, y en muchas ocasiones se muestrea a partir de poblaciones infinitas. En el ejemplo, bajo un muestreo sin reemplazo, el número de muestras posibles es 10 (las que están por encima de la diagonal en la tabla). 68 69 70 71 72 69 70 71 72 73 70 73 71 72 74 71 73 72 74 75 72 73 74 75 76

12. El número de muestras de tamañon en una población de tamaño N está dado por la combinación En el ejemplo: (68,70), (68,72), (68,74), (68,76), (70,72), (70,74), (70,76), (72,74), (72,76), (74,76). Con medias 69, 70, 71, 72, 71, 72, 73, 73, 74, y 75, respectivamente y la media de estas

13. y la varianza de la media muestral: En este caso la varianza de la media muestral no es igual a la varianza poblacional entre el tamaño de la muestra. Sin embargo, existe una relación entre estas y está dada por:

14. En el ejemplo: Se conoce como factor de corrección por población finita Este factor puede ignorarse cuando el tamaño de la muestra es pequeño en comparación con el tamaño de la población. Como sugerencia, el factor de corrección por población finita se usa si la muestra contiene mas del 5% de las observaciones de la población, esto es, si :

15. Ejemplo: Se sabe que el peso de los juveniles de pargos se distribuye aproximadamente de manera normal con media 2.4 kg. y desviación estándar de 0.6 kg. Si se toma una muestra al azar de 10 pargos, calcule la probabilidad de que tengan un peso medio entre 2.56 y 2.74. La población es muy grande comparada con el tamaño de la muestra y se sabe que: y Entonces:

16. 0.16

17. Creo que ya saben como trabajar así que aquí esta un ejercicio que habrá que resolver dos preguntas: Tomemos el archivo de los ostiones y sabemos entonces que la media de la longitud (talla) de la población es X= 30.21 mm y una = 9.51(recordemos que es sin el dato atípico). Entonces calcule cual es la probabilidad de encontrar en un muestreo aleatorio un ostión de 27.5 mm de longitud

18. Continúa ejercicio Ahora para la misma población de ostiones puede estimar cual es la probabilidad de que en un muestreo aleatorio encontremos un ostión tenga una de longitud media de 30.1 y 29.8 mm La tabla de probabilidades de ocurrencia bajo la curva normal la puede encontrar en cualquier libro de estadística o bien acudir a la siguiente liga de matemáticas para niños… http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/distribucion-normal-estandar.html