EXPOSICIÓN DE ESTADÍSTICA 3.1.pdf

PRUEBA DE HIPÓTESIS
PARA
MEDIA POBLACIONAL

41
INTEGRANTES
❑ RAMIREZ NONATO,
JHERMY RONALD
❑ FERNANDEZ CHAVEZ,
ADRIAN ANDRES

01 OBJETIVO
02 INTRODUCCIÓN
03 CONCEPTO DE
ESTADISTICA INFERENCIAL
04
DEFINICION Y ASPECTOS
GENERALES
05
CONTRASTES:
UNILATERAL Y BILATERAL
06 EJERCICIOS APLICATIVOS

OBJETIVO
El objetivo de este material es dar a conocer
información referente al proceso de pruebas
de hipótesis para la media poblacional y su
aplicación como parte de las bases de
formación del alumno, de igual forma para
generar habilidades y razonamientos que
apoyen el desarrollo en su ámbito
profesional.
01

INTRODUCCIÓN
Hoy en día el conocimiento y aplicación de pruebas de
hipótesis juega un papel altamente importante dentro del
desarrollo profesional; de manera particular las pruebas de
hipótesis se convierten en una poderosa y fuerte herramienta
para la toma de decisiones razón para considerarlas y
aplicarlas de una manera eficaz y objetiva, el analizar los
elementos que intervienen permiten decisiones adecuadas.

Estadística inferencial
La estadística inferencial es una parte de la estadística que comprende los métodos y procedimientos que por
medio de la inducción determina propiedades de una población estadística, a partir de una parte de esta.
Su objetivo es obtener condiciones útiles para hacer razonamientos deductivos sobre una totalidad, basándose
en la información numérica dada por la muestra.
3

En la estadística uno de los procedimientos para
probar la validez de un enunciado relativo a un
parámetro poblacional basándose en la evidencia
muestral, es sin duda la Prueba de hipótesis.
HIPÓTESIS: es un enunciado que expone supuestos,
sujetos a verificación que orientan la búsqueda de la
información y su relación esperada con las variables.
PRUEBA DE HIPÓTESIS

Para entender bien que es una prueba de hipótesis es
necesario tener claros los conceptos de: variable,
parámetro, estimador de un parámetro, hipótesis
estadística y estadístico de prueba.
VARIABLE: es una característica de interés, que tienen los
individuos u objetos de una población.
PARÁMETRO: es una constante asociada a la distribución de
probabilidades de una variable aleatoria.
ESTIMADOR: es un estadístico (estadístico: variable aleatoria
función de las observaciones muéstrales) que toma
“valores cercanos” al verdadero valor del parámetro.

Fundamentalmente interesan los siguientes estimadores:
• La media muestral es un estimador de la media poblacional “μ”
• La desviación estándar muestral es un estimador de la desviación
estándar poblacional “σ”
• La proporción muestral, es un estimador de la proporción poblacional “p”

Un estadístico de prueba es un valor determinado a partir de
la información de la muestra para determinar si se acepta o
rechaza. Es la que vincula a un parámetro de interés, con un
estimador de ese parámetro.
Parámetro: Media “µ” Estadístico de prueba
Cuando se conoce la desviación
estándar poblacional “σ”. 𝑍 =
ത
𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑛
Cuando se desconoce la desviación
estándar poblacional “σ” y se conoce
la muestral.
𝑡 =
ത
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛

LA POSICION DE LA REGION CRÍTICA DEPENDE DE LA
HIPÓTESIS ALTERNATIVA
𝐻0: 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝐻1: 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎
𝑆𝑒
𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔í𝑜 𝐻0
𝑁𝑜 ℎ𝑎 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
(𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜)
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝑰𝑰
(𝜷 𝒐𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐)
𝑆𝑒
𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔í𝑜 𝐻1
𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝑰
(𝜶 𝒐𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐)
𝑁𝑜 ℎ𝑎 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
(𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜)

EJEMPLO:
problema: ¿ la altura media o promedio de los postes de
la universidad es diferente de 20 m ?
𝐻1: 𝜇 ≠ 20
𝐻0: 𝜇 = 20 tener en cuenta:
𝐻0: = ; ≤ ; ≥
𝐻1: ≠ ; < ; >

ESTABLECIMIENTO DE HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA

SELECCIÓN DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA

Prueba de hipótesis
para una media
poblacional
Ramirez Nonato, Jhermy
4

EVALUACIÓN DE LA HIPÓTESIS
RECHAZO ACEPTAR RECHAZO
Júpiter es el planeta
más grande de todos
RECHAZO
Venus es el segundo
planeta desde el Sol.
ACEPTACIÓN
HD 100546b
Tiene un diámetro 7 veces mayor que el de Júpiter y una masa 60 veces más grande

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA
Se utiliza una prueba de una muestra para probar una afirmación con respecto a
una media de una población única.
A este respecto, pueden darse 3 casos a saber:
● Cuando el muestreo se realiza a partir de una población de valores que siguen
una distribución normal con varianza conocida.
● Cuando el muestreo se realiza a partir de una población con distribución normal
y con varianza desconocida.
● Cuando el muestreo se realiza a partir de una población que no presenta una
distribución normal.

Nota: Se considera práctico utilizar la distribución t solamente cuando se requiera que el tamaño de la
muestra sea menor de 30, ya que para muestras más grandes los valores t y z son aproximadamente iguales,
y es posible emplear la distribución normal en lugar de la distribución t.

La dirección de la prueba involucra proposiciones que
comprenden las palabras “ha mejorado”, “es mejor que”,
y el cómo dependerá sobre la variable que esté siendo
medida. Por ejemplo, si la variable involucra tiempo para
que un cierto medicamento haga efecto, las palabras
“mejor” “mejore” “o más efectivo” se traducen como “<”
(menos que, i.e. alivio menos rápido). Por otro lado, si la
variable se refiere a un resultado de una prueba,
entonces las palabras “mejor” “se mejora” o “más
efectiva” se traducen como “>” (más grande que, i.e.
resultados del examen más altos).

APLICACIÓN
EJERCICIOS RESUELTOS

1. De acuero a las normas establecidas en
una prueba de aptitud académica, las
personas que an concluido su estudio
universitario debían tener un promedio de
76.7 puntos. Si se sabe por una
investigación anterior sobre el caso, que la
desviación estandar fue de 8.6 puntos y si
45 personas que concluyeron su estudio
universitario son elegidos aleatoriamente y
alcanzan un promedio de 73.2 a un nivel de
confianza de 95% , pruebe la hipótesis de
que el promedio ha disminuido.

Solución:
𝜇 = 76.7
𝜎 = 8.6
𝑛 = 45
ത
𝑋 = 73.2
𝐻0: 𝜇 ≥ 76.7
𝐻1: 𝜇 < 76.7
𝑍𝐶 =
ത
𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑛
=
73.2 − 76.7
8.6
45
= −2,73
∴ 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻0 y se dice
que sí es verdad

2. Suponga que en un estudio relativo a
28 familias de la urbanización el sol,
arrojo un ingreso medio durante el
2023 de s/. 6548 con una desviación
estándar de s/. 952. pruebe la hipótesis
de que el verdadero ingreso familiar
promedio en día urbanización es de s/.
6000 (en el año), frente ala alternativa
de que no fue s/. 6000 , use un nivel de
significancia del 5%

Solución:
𝜇 = 6000
𝑆 = 952
𝑛 = 28
ത
𝑋 = 6548
𝐻0: 𝜇 = 6000
𝐻1: 𝜇 ≠ 6000
𝛼 = 0.05
𝛼/2 = 0.025
𝑡𝛼/2
= 1 − 𝛼/2
𝑡𝛼/2
= 0.975
𝑔. 𝑙 = 𝑛 − 1
𝑔. 𝑙 = 27
𝑡𝛼/2
= 2.052
𝑇𝐶 =
ത
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
=
6548 − 6000
952
28
= 3.0459 ∴ 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻0
Por lo tanto no hay un ingreso de 6000

3. En una muestra aleatoria de 10
bolsas de cemento extra embolsado, se
obtuvo una media de 9.4 kg. Con una
desviación estándar de 1.8 kg. ¿
contiene esta muestra suficiente
evidencia para indicar que el peso
medio es menos de 10 kg de cemento ,
a un nivel de significación de 0.1?

Solución:
𝜇 = 10
𝑆 = 1.8
𝑛 = 10
ത
𝑋 = 9.4
𝐻0: 𝜇 ≥ 10
𝐻1: 𝜇 < 10
𝑇𝐶 =
ത
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
=
9.4 − 10
1.8
10
= −1.054
𝛼 = 0.1
𝑡𝛼 = 1 − 𝛼
𝑡𝛼 = 0.9
𝑔. 𝑙 = 𝑛 − 1
𝑔. 𝑙 = 9
𝑡𝛼 = 1.383
∴ 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻0,
por lo tanto la muetra tiene
suficiente evidencia.

4. En un sistema educativo se aplicaran dos
métodos A y B para enseñar el curso de
estadística. En un grupo de 80 estudiantes se
aplicó el método A y en otro de 120 se aplicó
el método B. las medias de las calificaciones
obtenidas fueron 13 y 13.5 respectivamente. ¿
podemos admitir que los métodos e
enseñanza no son diferentes y que las
diferencias encontradas en las muestras se
deben al azar? Experiencias anteriores dicen
que las variables X1y X2 que presentan los
rendimientos con los métodos A y B
respectivamente, tienen distribución normal
con varianza 3 y 3.5, y 𝛼 = 0,05

𝑆2
1 = 3
𝑛1 = 80
ത
𝑋1 = 13
𝑆2
2 = 3.5
𝑛2 = 120
ത
𝑋2 = 13.5
𝐻0: ത
𝑋1 = ത
𝑋2
𝐻1: ത
𝑋1 ≠ ത
𝑋2
𝑍𝐶 =
( ത
𝑋1− ത
𝑋2) − 𝜇
𝑆2
1
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
=
13 − 13.5 − 0
3
80
+
3.5
120
= −1,94
𝛼 = 0.05
𝛼/2 = 0.025
𝑛 ≥ 30
𝑍𝛼/2 = 1.96
∴ 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻0,
es decir A y B son iguales.

PRUEBA PARA UNA MEDIA DE UNA POBLACIÓN
CON DESVIACIÓN ESTANDAR
Los servicios coordinados de salud de un municipio de alta marginación
reportan en la época de verano, un número promedio de 200 obreros,
menores de veinte años, con problemas de deshidratación. Supongamos que la
incidencia de obreros deshidratados sigue la distribución de probabilidad
normal con una media de 200 y una desviación estándar de 16. Recientemente,
se realizó una campaña de información sobre hábitos de hidratación durante el
verano, que duró 50 semanas. Se quiere investigar si ha habido un cambio en la
incidencia de casos de deshidratación obreros semanal en el municipio de alta
marginación.
EJEMPLO 05

Paso 1: Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.
Paso 2: Seleccione el nivel de significancia.
Paso 3: Seleccione el estadístico de prueba.
Use la distribución de Z en virtud de que σ es conocida (recuerde que en la unidad anterior esta
la tabla de z en anexos, úsela para este ejemplo).
Paso 4: Formule la regla de decisión.
Solución:
𝐻1 ≠ 200

CÁLCULOS:
Debido a que 1.98 no cae en la región de
rechazo, H0: μ = 200 no se rechaza.

Concluimos que la media poblacional no es diferente de 200. Así que reportaríamos que
la incidencia de deshidratación en verano, en obreros menores de veinte años, en el
municipio de alta marginación no ha cambiado con una campaña de salud e higiene en
las últimas 50 semanas.
Recuérdese contrastar esto con el valor de p:
Conclusión:
Concluimos:
No se rechaza H0

El Departamento de Reclamaciones de una Empresa de construcción reporta que el
costo medio para procesar una reclamación es de $60 soles. Una encuesta mostró que
esta cantidad es más grande que cualquier otra compañía de seguros, así que la
aseguradora instituyó medidas para reducir costos. Para evaluar el efecto de las medidas
de reducción de costos, el supervisor del Departamento seleccionó una muestra
aleatoria de 26 reclamaciones procesadas el último mes. La información muestral se
reporta en el recuadro inferior. ¿Con un nivel de significancia de p=0.01, es razonable
afirmar que el costo de una reclamación es actualmente menor de S/.60?
EJEMPLO 06

Paso 1: Establezca las hipótesis nula y alternativa.
Paso 2: Seleccione el nivel de significancia.
α = 0.01 como se estableció en el problema
Paso 3: Seleccione el estadístico de prueba.
Use la distribución t de Student en virtud de
que σ es desconocido
Solución:

Paso 4: Formule la regla de decisión.
Rechace H0 si t < -tα, n-1
CALCULAMOS:
Debido a que -1.818 no cae en la zona de rechazo, no se rechaza H0 al
nivel de significancia de p=0.01. No hemos demostrado que las
medidas para reducir el costo medio por reclamación de una empresa
constructora sea menos de S/. 60.

DONDE SE DESCONCE LA DESVIACIÓN ESTANDAR
Se sabe que la media del consumo de energía eléctrica en cierta provincia es de 721 kwh.
Una empresa tecnológica de la región cree que sus empleados consumen más que el promedio
provincial. Recoge información sobre los consumos de 20 empleados escogidos al azar, y obtiene
los siguientes datos:
EJEMPLO 07
Si la distribución del consumo mensual de energía eléctrica es normal:
1. ¿Hay evidencias para afirmar que el promedio del consumo de energía eléctrica hogareño de los empleados de
la empresa es superior a la media del consumo a nivel provincial? Usar un nivel de significación del 10%
2. ¿Cuál es el valor p de la decisión?

Queremos hacer una prueba de hipótesis para saber si la media del consumo mensual de los
empleados de la empresa tecnológica es superior a la media provincial. Es decir: una prueba de
hipótesis sobre la media poblacional.
RESOLUCIÓN:
Paso 1: Definir la variable.
X: consumo mensual de energía eléctrica hogareña de un empleado de la empresa tecnológica
Sabemos que la distribución es normal. Pero desconocemos la media y el desvío estándar.
𝐗 ∼ 𝐍~(𝛍 =? ; 𝛔 =? )
Paso 2: Plantear las hipótesis estadísticas
La hipótesis nula postula que el promedio del consumo de los empleados es igual al provincial:
𝐻0: 𝜇 = 721
La hipótesis alternativa es que el promedio del consumo es superior al promedio provincial:
𝐻1: 𝜇 > 721

RESOLUCIÓN:
Paso 3: Establecer un estadístico de prueba
Este punto es importante.
Sabemos que si la variable X es normal y se conoce el desvío estándar poblacional σ, entonces el estadístico es:
𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑛
~𝑁 0,1
Pero si la variable X es normal y no se conoce el desvío estándar poblacional, entonces se lo estima usando el
desvío estándar muestral S. Y el estadístico que resulta de sustituir σ por S tiene distribución t de Student
con n–1 grados de libertad:
ത
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
~𝑡𝑛−1
Ese es el estadístico que vamos a usar.
Paso 4: Seleccionar un nivel de significación
El nivel es del 10%.

RESOLUCIÓN:
Paso 5: Determinar la zona de rechazo y la regla de decisión
Como la prueba es unilateral derecha, rechazaremos la hipótesis nula si se observan valores “grandes” del
estadístico de prueba.
¿Qué significa “grandes”? Como el nivel de significación es del 10%, el valor crítico desde el cual se van a
considerar “grandes” a los valores del estadístico de prueba será aquel valor de la variable t de student que deja
un área de 0,1 a su derecha.
𝑡19;0,9 = 1,3277
Este valor se busca en tabla, o en GeoGebra (app para Windows o MacOs), o en Probability Distributions (app
para smarthphones).

EN PROBABILITY DISTRIBUTIONS:
Entonces:
• Rechazamos 𝐻0 si el estadístico de prueba es mayor o
igual a 1,3277
• No rechazamos 𝐻0 si el estadístico de prueba es
menor que 1,3277

RESOLUCIÓN:
Paso 6: Calcular el valor observado del estadístico de prueba
Con los 20 datos podemos calcular la media muestral y el desvío estándar muestral
ҧ
𝑥 = 745
S = 49,63
Entonces el valor observado del estadístico de prueba es:
745 − 721
49,63
20
= 2,16
El valor observado 2,16 pertenece a la zona de rechazo (1,3277; ∞).

RESOLUCIÓN:
Paso 7: Obtener la conclusión
Con un nivel de significación del 10% podemos afirmar que hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis
nula que afirma que el consumo promedio mensual de energía eléctrica de los empleados es de 721 kwh, a favor
de la hipótesis alternativa que afirma que el consumo promedio mensual de energía eléctrica de los empleados
es superior a 721 kwh.
Ítem b
El p valor de la decisión es la probabilidad a la derecha de 2,16:
Usando software o tablas se obtiene:
𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃 𝑡 ≥ 2,16 = 0,0219
Es decir que el p valor de la prueba es de 0,0219
Hay una probabilidad de 2% de que el consumo haya dado cómo dio o aún mayor por azar.
Lo cual nos hace pensar que no fue “por azar” sino que fue porque los empleados de la empresa efectivamente
consumen más en promedio que el promedio provincial general.

DONDE SE DESCONCE LA DESVIACIÓN ESTANDAR
Después de escuchar las quejas de una serie de clientes acerca del tiempo de fraguado del yeso que
vende una compañía, afirmando que duran 18 horas en promedio, un comité de defensa del
consumidor tomó una muestra aleatoria de 10 yesos y midió su fraguado. Los resultados se
muestran más abajo. Suponiendo que el tiempo de fraguado de los yesos sigue una distribución
normal, realice una prueba de hipótesis para averiguar si la duración del fraguado del yeso es
menor a lo estipulado por el fabricante. Usar un nivel de significancia 0.10.
EJEMPLO 08

RESOLUCIÓN:
Paso 1: Establecer las hipótesis.
Paso 2: Nivel de significancia
𝛼 = 0.10
𝑛 = 10
𝑛 − 1 = 9
𝑡𝛼;𝑛−1 = 𝑡0.10;9 = 1,383
𝐻0: 𝜇 = 18
𝐻1: 𝜇 < 18

RESOLUCIÓN:
Paso 3: Establecer un estadístico de prueba
Este punto es importante.
ത
𝑋 = 17.77 𝑆 = 1.0893
𝑡 =
ത
𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
=
17.77 − 18
1.0893
10
= −0.6676
Paso 4: Regla de decisión:
Si se rechaza 𝐻0 𝑠𝑖 𝑡 < −𝑡𝛼;𝑛−1 − 0.6676 < −1.383
𝐻0: 𝜇 = 18
𝐻1: 𝜇 < 18
Paso 5: Interpretación
No se cumple la regla de decisión, por lo tanto no rechazamos 𝐻0,
quien se rechaza es 𝐻1, con esto se tiene evidencia estadística a favor
del fraguado de la compañía, rechazamos que sea menor a 18 horas .

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Teoría
● https://blogs.ugto.mx/enfermeriaenlinea/unidad-
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hipotesis-medias-excel-y-winstats/prueba-hipotesis-
medias-excel-y-winstats
● https://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica_infer
encial#Estudio_de_la_estad%C3%ADstica_inferencial
● Prueba de Hipótesis para media, ejemplos y teoría
– YouTube
● https://www.jmp.com/es_co/statistics-knowledge-
portal/t-test/one-sample-t-test.html
● http://ri.uaemex.mx/bitstream/handle/20.500.11799/1
03516/secme-30735_1.pdf
BIBLIOGRAFÍA
Ejemplos
● https://probafacil.com/prueba-de-hipotesis-sobre-la-media-
poblacional/
● https://www.jmp.com/es_co/statistics-knowledge-portal/t-
test/one-sample-t-
test.html#:~:text=La%20prueba%20t%20de%20una%20muestra%
20es%20una%20prueba%20de,diferente%20de%20un%20valor%
20espec%C3%ADfico.
● https://www.youtube.com/watch?v=TCAtYnKI-
Jk&list=PLOGrBzmBZUPPLPnNFNbS4ZV2ORzoCDYmN&index=15
● PROBLEMA 2 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA
DE UNA POBLACIÓN CON Ơ DESCONOCIDA – YouTube
● PROBLEMA 2 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA
DE UNA POBLACIÓN CON Ơ CONOCIDA – YouTube
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