Segunda parte de la Sesión impartida dentro de la asignatura Sistemas de Información Avanzados (Comercio electrónico) del
Máster de estudios avanzados en dirección de empresas, centrada en la discusión de líneas de innovación posibles
Primera parte de la sesión impartida dentro de la asignatura Sistemas de Información Avanzados (Comercio electrónico) del
Máster de estudios avanzados en dirección de empresas
La perversión de Bolonia. Gestión de la Calidad, Calidad y Excelencia: Tres c...Joaquín Borrego-Díaz
Diapositivas utilizadas para la presentación durante II CONGRESO NACIONAL sobre
CALIDAD, EVALUACIÓN Y ENCUESTAS DE LA DOCENCIA UNIVERSITARIA:
BALANCE DEL PLAN BOLONIA
Información Adaptativa, Ingeniería del Conocimiento e Inteligencia Colectiva ...Joaquín Borrego-Díaz
Segunda parte del Tema, impartido dentro de la asignatura "Sistemas de Información Avanzados (Comercio electrónico)" dentro del
Máster de estudios avanzados en dirección de empresas de la Universidad de Sevilla
Información Adaptativa, Ingeniería del Conocimiento e Inteligencia Colectiva ...Joaquín Borrego-Díaz
Primera parte del Tema, impartido dentro de la asignatura "Sistemas de Información Avanzados (Comercio electrónico)" dentro del
Máster de estudios avanzados en dirección de empresas de la Universidad de Sevilla
Segundo bloque de la sesión que impartí en la asignatura "Sistemas de información avanzados (comercio electrónico)" del Master de estudios avanzados en dirección de empresas
Primer bloque de la sesión que impartí en la asignatura "Sistemas de información avanzados (comercio electrónico)" del Master de estudios avanzados en dirección de empresas
Innovación en el tratamiento de la información desde la Ingeniería del Conoc...Joaquín Borrego-Díaz
1ª parte de la charla que impartí en el Sistemas de Información Avanzados (Comercio electrónico)
Máster de estudios avanzados en dirección de empresas de la U. de Sevilla en Febrero de 2012
Innovación en el tratamiento de la información desde la Ingeniería del Conoc...Joaquín Borrego-Díaz
2ª parte de la charla que impartí en el Sistemas de Información Avanzados (Comercio electrónico)
Máster de estudios avanzados en dirección de empresas de la U. de Sevilla en Febrero de 2012
Oportunidades para la economía basada en la Ingeniería del Conocimiento en In...Joaquín Borrego-Díaz
Las transparencias de la clase que he impartido en el Master de estudios avanzados en dirección de empresas (en el curso Sistemas de Información Avanzados (Comercio electrónico)). Amplía con casos de estudio temas que he tratado en otros cursos. Pero éstas son más completas.
Presentación de la conferencia sobre la basílica de San Pedro en el Vaticano realizada en el Ateneo Cultural y Mercantil de Onda el jueves 2 de mayo de 2024.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Triduo Eudista: Jesucristo, Sumo y Eterno Sacerdote; El Corazón de Jesús y el...
Tema 8
1. Tema 8:
Verificaci´n de
o
programas.
Tema 8: Verificaci´n de programas.
o Introducci´n
o
Joaqu´ Borrego
ın
Introducci´n
o D´ıaz
Ciencias de la Computaci´n 2012-13
o Outline
Motivaci´n
o
Definiendo la
correcci´n
o
Formalismos y
problemas
Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Ejemplos
Programas no
verificables
Joaqu´ Borrego D´
ın ıaz
Depto. de Ciencias de la Computaci´n
o
2. Tema 8:
Verificaci´n de
o
programas.
Motivaci´n
o Introducci´n
o
Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
Definiendo la correcci´n
o Outline
Motivaci´n
o
Definiendo la
correcci´n
o
Formalismos y problemas
Formalismos y
problemas
Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Sem´ntica y programaci´n
a o
Ejemplos
Programas no
verificables
Ejemplos
Programas no verificables
3. Tema 8:
Motivaci´n
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Objetivo: Matematizar, el problema de la correcci´n,
o Joaqu´ Borrego
ın
para poder obtener una soluci´n mecanizada
o D´ıaz
Primera formalizaci´n: Descripci´n del problema X (E :
o o Outline
entradas, S: salidas): Motivaci´n
o
Descripci´n funcional: fX : E → S
o Definiendo la
correcci´n
o
Descripci´n relacional RX ⊆ E × S
o
Formalismos y
Programa en un modelo de computaci´n, modo
o problemas
determinista: Produce funciones Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Ejemplos
p → fp Programas no
verificables
Programa en un modelo de computaci´n, modo no
o
determinista: Produce relaciones entre estados,
fp ⊆ E × P(S)
4. Tema 8:
Dos cuestiones Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Correcci´n parcial:
o
Joaqu´ Borrego
ın
En la descripci´n funcional (modo determinista)
o D´ıaz
Outline
∀x ∈ E [fp (x) ↓=⇒ fp (x) = fX (x)]
Motivaci´n
o
En la descripci´n relacional (modo no determinista)
o Definiendo la
correcci´n
o
Formalismos y
∀x ∈ E [fp (x) ↓=⇒ ∀y ∈ fp (x) [xRX y ]] problemas
Sem´ntica y
a
Parada: programaci´n
o
Modo determinista, ∀x ∈ E [ fp (x) ↓] Ejemplos
Modo no determinista, condici´n fuerte:
o Programas no
verificables
∀x ∈ E [{↑} ∈ fp (x)]
/
Modo no determinista, condici´n d´bil:
o e
∀x ∈ E [{↓} ∈ fp (x)]
5. Tema 8:
Limitaciones computacionales: Irresolubilidad Verificaci´n de
o
programas.
algor´
ıtmica Introducci´n
o
Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
Correcci´n parcial: dada f computable,
o
Outline
{p ∈ Programas : fp ⊆ f } Motivaci´n
o
Definiendo la
correcci´n
o
no es recursivo (ni siquiera recursivamente enumerable)
Formalismos y
Parada: problemas
Sem´ntica y
a
programaci´n
o
{p ∈ Programas : ∀x ∈ N fp (x) ↓} Ejemplos
Programas no
no es recursivo (ni recursivamente enumerable) verificables
Consecuencia: s´lo podemos esperar obtener
o
procedimientos de semidecisi´n y parciales
o
6. Tema 8:
Especificaci´n de un problema
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Especificaci´n: colecci´n de criterios que, si lo
o o Joaqu´ Borrego
ın
satisface el programa, lo calificamos de correcto D´ıaz
Se necesita un lenguaje de especificaci´n
o Outline
Motivaci´n
o
Calidad de la especificaci´n:
o
Definiendo la
Mayor abstracci´n posible (evitamos manejar
o correcci´n
o
propiedades de la m´quina donde se ejecuta)
a Formalismos y
problemas
Grado de detalle de la especificaci´n:
o Sem´ntica y
a
programaci´n
o
+ detalle =⇒ − manejable; − detalle =⇒ + manejable Ejemplos
(inconveniente: p´rdida de informaci´n, especificaci´n incorrecta)
e o o Programas no
verificables
Cuestiones acerca de las especificaciones: ¿Completa?
¿Aplicable? ¿Consistente?
Calidad de la implementaci´n: correcci´n con
o o
respecto a requerimientos, etc.
7. Tema 8:
Representaci´n
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Formalismos internos (p.e. la l´gica de Hoare)
o Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
Analizan el comportamiento de instrucciones
Outline
Formalismos externos (p.e. la l´gica temporal)
o
Motivaci´n
o
Analizan el efecto de la ejecuci´n de m´dulos del
o o Definiendo la
sistema sobre el estado actual correcci´n
o
Formalismos y
Problemas de la representaci´n: o problemas
¿Podemos asegurar que la especificaci´n expresa
o Sem´ntica y
a
programaci´n
o
correctamente la intenci´n intuitiva?
o
¿Cu´l es el grado de especificaci´n aceptable?
a o Ejemplos
¿Se pueden especificar cualquier tipo de sistemas? Programas no
verificables
8. Tema 8:
Tres enfoques Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Teor´ Prueba = correcci´n
ıa: o Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
Desarrollo matem´tico
a
Outline
Cient´
ıfico correcci´n experimental
o
Motivaci´n
o
Estudio matematizado de la relaci´n entrada/salida
o Definiendo la
correcci´n
o
Ingenier´ Dise˜o de sistemas correctos
ıa: n
Formalismos y
Programar a partir de la especificaci´n
o problemas
Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Ejemplos
Programas no
verificables
9. Tema 8:
Enfoque te´rico
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Idea: seguir en la verificaci´n de programas el m´todo
o e Joaqu´ Borrego
ın
deductivo matem´tico,
a D´ıaz
Programar = Demostrar Outline
Motivaci´n
o
Aproximaci´n debida a R. Floyd y C.A.R. Hoare:
o
Definiendo la
Programaci´n
o Matem´ticas
a correcci´n
o
Leng. de programaci´n
o Leng. Matem´tico
a Formalismos y
problemas
Propiedades de instr. b´sicas
a Axiomas Sem´ntica y
a
Especificaci´n
o Teorema programaci´n
o
Ejemplos
Formalizaci´n (sintaxis):
o
Programas no
Lenguaje preciso de programaci´n
o verificables
Especificaci´n de las propiedades (L´gica)
o o
Sem´ntica:
a
Sem´ntica de los formalismos matem´ticos
a a
Expresi´n de la correcci´n
o o
10. Tema 8:
Enfoque cient´
ıfico-emp´
ırico Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Descubrir errores mediante un gran n´mero de
u Joaqu´ Borrego
ın
ejemplos-tests, una vez que se ha dise˜ado el
n D´ıaz
sistema Outline
Desventajas: Motivaci´n
o
No garantiza la ausencia de errores (errores no Definiendo la
correcci´n
o
descubiertos mediante tests)
Formalismos y
No es eficiente: es necesario generar muchos tests problemas
Una vez construido el sistema, se hacen adaptaciones Sem´ntica y
a
programaci´n
o
para resolver los nuevos errores, lo que lo hace m´s
a
complejo Ejemplos
Programas no
Conclusi´n:
o verificables
El testeo puede ser un m´todo muy efectivo para
e
mostrar la presencia de errores, pero es completamente
inadecuado para justificar la ausencia de ´stos
e
(E. Dijkstra)
Siempre existe un error m´s
a
11. Tema 8:
Enfoque Cient´
ıfico/Ingenier´
ıa Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Revisar junto a dise˜ar
n Joaqu´ Borrego
ın
Producir software integrando los procesos de D´ıaz
salvaguardia y calidad Outline
Coste econ´mico m´s reducido
o a Motivaci´n
o
Software m´s seguro
a Definiendo la
correcci´n
o
Inconveniente: complejidad formal
Formalismos y
Soluci´n: Mecanizar la verificaci´n
o o problemas
Sem´ntica y
a
Consecuencia: Es necesario dise˜ar sistemas de
n programaci´n
o
verificaci´n autom´tica
o a Ejemplos
Programas no
verificables
12. Tema 8:
Programaci´n verificable
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
Outline
Motivaci´n
o
Definiendo la
correcci´n
o
Formalismos y
problemas
Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Ejemplos
Programas no
verificables
13. Tema 8:
Sem´ntica
a Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Lenguaje de programaci´n: Lenguaje para la
o Joaqu´ Borrego
ın
descripci´n de procesos din´micos (variables en el
o a D´ıaz
tiempo), relacionados con la noci´n de ejecuci´n por
o o Outline
una m´quina
a Motivaci´n
o
Sem´ntica de los lenguajes:
a Definiendo la
correcci´n
o
Sem´ntica operacional: asociada a la descripci´n
a o Formalismos y
funcional problemas
Sem´ntica relacional: asociada a la descripci´n
a o Sem´ntica y
a
programaci´n
o
relacional
Ejemplos
Otros...
Programas no
Necesitamos Reglas que describen la correspondencia verificables
entre programas y especificaciones
14. Tema 8:
Problemas relacionados Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
S´
ıntesis: Dada ϕ especificaci´n, construir un programa
o Joaqu´ Borrego
ın
p correcto seg´n ϕ (satisface ϕ)
u D´ıaz
An´lisis: Dado p, construir la especificaci´n
a o Outline
demostrable m´s adecuada para describir su
a Motivaci´n
o
comportamiento Definiendo la
correcci´n
o
Verificaci´n de propiedades: Dados p y ϕ, ¿p
o Formalismos y
problemas
satisface ϕ?
Sem´ntica y
a
Equivalencia: Dados p y p y una especificaci´n ϕ,
o programaci´n
o
Ejemplos
¿Son p y p equivalentes seg´n ϕ?
u
Programas no
verificables
Optimizaci´n: Dado p, dise˜ar un programa
o n
equivalente mejor, seg´n cierta medida de complejidad
u
Depuraci´n: Dado p que no satisface ϕ, modificar p
o
para satisfacer ϕ
15. Tema 8:
Observaciones Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Son problemas indecidibles, en general Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
No estudiaremos eficiencia
Herramientas fundamentales: Outline
Motivaci´n
o
Inducci´n computacional (sobre la ejecuci´n)
o o Definiendo la
correcci´n
o
Inducci´n estructural (sobre la sintaxis de
o Formalismos y
programas/especificaciones) problemas
Dos situaciones de partida: Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Caso a posteriori Ejemplos
Caso constructivo: construir el programa junto con la Programas no
especificaci´n.
o verificables
16. Tema 8:
Correcci´n constructiva versus a posteriori
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Algoritmo cl´sico A1 de la multiplicaci´n
a o Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
Funci´n mult1 (x, y )
o
si y = 0 entonces devolver 0 Outline
si no Motivaci´n
o
i ←x
Definiendo la
j ←y correcci´n
o
mientras j > 1 hacer
Formalismos y
i ←i +x problemas
j ←j −1
Sem´ntica y
a
devolver i programaci´n
o
Viene de que la aplicaci´n f caracterizada por
o Ejemplos
Programas no
1. f (x, 0) = 0, ∀x ∈ N. verificables
2. f (x, y + 1) = f (x, y ) + x, ∀x, y ∈ N.
define el producto de dos n´meros naturales. A1 es
u
correcto, ya que ha sido dise˜ado mediante una definici´n
n o
“constructiva” de f .
17. Tema 8:
Multiplicaci´n rusa
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
Funci´n mult2 (x, y )
o
Vector A, B Outline
si x = 0 entonces devolver 0 Motivaci´n
o
si x = 1 entonces devolver y Definiendo la
si no Para x = 52 e y = 27 correcci´n
o
A[1] ← x ; B[1] ← y
52 27 Formalismos y
i ←1 problemas
26 54
mientras A[i] > 1 hacer
→ 13 108 Sem´ntica y
a
A[i + 1] ← A[i]div2 programaci´n
o
B[i + 1] ← B[i] + B[i] 6 216
Ejemplos
i ←i +1 → 3 432
prod ← 0 → 1 864 Programas no
verificables
i ←i −1
mientras i > 0 hacer 52 · 27 = 108 + 432 + 864 =
si A[i] = A[i]div2 + A[i]div2 entonces = 1404
prod ← prod + B[i]
i ←i −1
devolver prod
18. Tema 8:
Correcci´n parcial
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Teorema: Si A2 para sobre (x, y ) ∈ N × N, entonces Joaqu´ Borrego
ın
devuelve x · y . Es decir, fA2 (x, y ) = x · y . D´ıaz
Demostraci´n:
o Outline
Motivaci´n
o
Si x = 0, trivial
Definiendo la
Si x > 0, entonces correcci´n
o
x = ak 2k + ak−1 2k−1 + · · · + a2 22 + a1 2 + a0 ai ∈ Formalismos y
problemas
{1, 0} ak = 1 Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Obs´rvese que
e 2k
≤x < 2k+1 . Por tanto k = log2 x ,
Ejemplos
que notaremos por log2 (x).
Programas no
verificables
Las columnas A y B
A[1] = 2k + ak−1 2k−1 + · · · + a2 22 + a1 2 + a0 B[1] = y
A[2] = 2k−1 + ak−1 2k−2 + · · · + a2 2 + a1 B[2] = 2 · y
A[3] = 2k−2 + ak−1 2k−3 + · · · + a2 B[3] = 2 · B[2] = 22 · y
... ...
A[k] = 2 + ak−1 B[k] = 2k−1 y
A[k + 1] = 1 B[k + 1] = 2k y
19. Tema 8:
Correcci´n total: Parada
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Para cada j = 1, . . . , k + 1 se verifica: Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
A[j] es impar ⇐⇒ aj−1 = 0 ⇐⇒ aj−1 = 1 Outline
Motivaci´n
o
Por tanto, Definiendo la
fA2 (x, y ) = B[j] = 2j−1 · y = correcci´n
o
A[j] impar aj−1 = 1 Formalismos y
problemas
1≤j ≤k +1 1≤j ≤k +1
Sem´ntica y
a
= aj−1 · 2j−1 y programaci´n
o
Ejemplos
1≤j ≤k +1
Programas no
=y· aj−1 · 2j−1 = y · x verificables
1≤j ≤k +1
Teorema (Prueba de parada): El algoritmo A2 para sobre
todo (x, y ) ∈ N × N.
Demostraci´n: Los dos bucles considerados constan, a lo
o
sumo, de k + 1 = 1 + log2 (x) pasos.
20. Tema 8:
Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Ejemplo: Error del procesador Pentium Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
A˜o 1994, 67.000 millones de pesetas)
n Outline
p
Algoritmo de divisi´n del procesador (C´lculo de
o a d ):
Motivaci´n
o
Definiendo la
correcci´n
o
Division SRT4 (p, d) Formalismos y
p0 ← p problemas
Para cada k = 1, ... hacer Sem´ntica y
a
programaci´n
o
determinar qk ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} tal que Ejemplos
8
si pk+1 = 4(pk − qk d), entonces |pk+1 | ≤ 3 d Programas no
verificables
p qi
Se verifica que =
d 4i
i∈N
8 2
Propiedad: |pk | ≤ 3 d =⇒|pk − qk d| ≤ 3
Para alg´n qk ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}
u
21. Tema 8:
Ejemplo (cont.) Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Si pk+1 = 4(pk − qk d) y |pk+1 | ≤ 8 d, entonces
3
Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
pk −k qk pk + 1 −(k+1)
4 = k + 4
d 4 d Outline
p pk Motivaci´n
o
Aplicando inducci´n
o d
= (q0 + · · · + qk−1 ) + d
4−k y por l´
ımite se
tiene la igualdad Definiendo la
correcci´n
o
Elecci´n del qk (unidad: d/3):
o
Formalismos y
problemas
Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Ejemplos
Programas no
verificables
El algoritmo eleg´ 0 en vez de 2 para ciertos n´meros en [5/3, 8/3],
ıa u
debido a errores de precisi´n
o
22. Tema 8:
Otros ejemplos Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
1985-87, Canad´: Fallo en el software de un emisor de
a Joaqu´ Borrego
ın
rayos para el tratamiento del c´ncer: cuatro muertos
a D´ıaz
Banco de Nueva York: En el contador de mensajes de Outline
compra/venta: Motivaci´n
o
32767 + 1 = 0 Definiendo la
correcci´n
o
P´rdida de la nave Phobos (U. Sovi´tica, 1988)
e e Formalismos y
problemas
Un s´
ımbolo: Explosi´n de la lanzadera espacial
o Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Verificaci´n de propiedades para sistemas con n´mero
o u Ejemplos
finito de estados, pero existen 1010 estados o m´s
a Programas no
verificables
Ariane 5: mal env´ de la altitud correcta
ıo
Los errores tienen su causa en una deficiente verificaci´n
o
Costes en EEUU: 300.000 millones de pesetas en 2002
Costes en UK: 900 millones de pesetas (2002)
23. Tema 8:
Verificaci´n en la NASA
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Joaqu´ Borrego
ın
D´ıaz
Outline
Motivaci´n
o
Definiendo la
correcci´n
o
Formalismos y
problemas
Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Ejemplos
Programas no
verificables
24. Tema 8:
Programas no verificables Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
(Fijamos x > 1) Procedimiento 1: Dado n > 0, Joaqu´ Borrego
ın
apl´
ıquese recursivamente la siguiente regla: D´ıaz
Escribir n en base x, aumentar en 1 la base, y restarle 1 Outline
al nuevo n´mero
u Motivaci´n
o
Definiendo la
Ejemplo: si n = 20098, y x = 3, entonces correcci´n
o
Formalismos y
n = 39 + 35 + 34 + 32 + 30 problemas
Sem´ntica y
a
programaci´n
o
y el resultado es 49 + 45 + 44 + 42 + 40 −1 Ejemplos
(Goodstein) Procedimiento 2: similar al 1, pero se Programas no
verificables
aplica la regla al n´mero escrito en base x pura:
u
2 1
En el caso anterior, n = 33 + 33 +2 + 33+1 + 32 + 30
2 1
y el resultado es n = 44 + 44 +2 + 44+1 + 42 + 40 − 1
Teorema: Despu´s de un n´mero finito de pasos los pro-
e u
cedimientos anteriores paran, llegando a 0
25. Tema 8:
Programas no verificables (II) Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Consecuencia del teorema de la forma normal: Joaqu´ Borrego
ın
Cualquier programa aritm´tico se puede traducir a una
e D´ıaz
f´rmula Σ1 , esto es, f´rmulas del tipo
o o Outline
Motivaci´n
o
∃xϕ(y , x) Definiendo la
correcci´n
o
donde ϕ s´lo posee cuantificadores acotados
o Formalismos y
problemas
Existe traducci´n p ∈ Programas → ϕp tal que:
o Sem´ntica y
a
programaci´n
o
Es autom´tica (mecanizable)
a
Ejemplos
Se tiene que para cualesquiera x, y ∈ N
Programas no
verificables
[[p]](~) = y ⇐⇒ N |= ψp (~, y)
x x
26. Tema 8:
Imposibilidad de verificaci´n
o Verificaci´n de
o
programas.
Introducci´n
o
Teorema: Supongamos que la teor´ deıa Joaqu´ Borrego
ın
especificaciones s´lo admite inducci´n sobre f´rmulas
o o o D´ıaz
Σ1 . Entonces el sistema no puede demostrar que el Outline
procedimiento 1 para Motivaci´n
o
Potencia de ese sistema: Programas LOOP, funciones Definiendo la
correcci´n
o
primitivas recursivas Formalismos y
problemas
Teorema: Supongamos que la teor´ de ıa
Sem´ntica y
a
especificaciones admite inducci´n sobre cualquier
o programaci´n
o
f´rmula aritm´tica. Entonces el sistema no puede
o e Ejemplos
demostrar que el procedimiento 2 para Programas no
El sistema es la Aritm´tica de Peano.
e verificables
Para demostrar la parada se necesita usar t´cnicas de
e
teor´ de conjuntos
ıa