1. Introducción a la teoría
de la computabilidad
Lógica y Computabilidad 2010/11
Joaquín Borrego Díaz
Joaquín Borrego Díaz
Departamento de Ciencias de la Computación e IA
Universidad de Sevilla

2. Contenido
• Un problema
• Modelos de Computación
• Tesis de Church-Turing
• ¿Cómo resolvemos el
problema?
• Guía de viaje por la T.
Computabilidad

3. Un problema en el
trabajo
• Sr. Pérez, deseo que me programe un
verificador automático de programas

4. Escenario 1: El sr. Pérez no
ha estudiado computabilidad
• ...(Dos meses de sufrimiento después)
• Jefe, a mí no me sale
• Bueno, Sr. Pérez, no se preocupe

5. Escenario 2: El sr. Pérez ha
estudiado computabilidad
• (Unas horas después):
• Jefe, he estudiado el problema y NO se puede
resolver con un programa de ningún tipo
• Excelente análisis, Sr. Pérez

6. Cuestiones
• ¿Existen problemas que no se pueden
resolver mediante programas?
• ¿Qué tipo de análisis ha realizado en Sr.
Pérez?
• ¿Cómo puede afirmar que no se puede
resolver en ningún tipo de lenguaje de
programación, modelo de computación
etc.?

7. Primera cuestión
• Existen problemas que NO
se pueden resolver
algorítmicamente
• Demostrado por A.Turing
en 1936
• Matemático
• Rompió el código enigma
• Máquinas de Turing
• Test de Turing

8. La máquina enigma

9. Apuntes de Turing

10. La máquina diseñada por
Turing (Bletchley Park)

11. Modelo formal de computación:
la máquina de Turing

12. Segunda Cuestión
• El análisis que ha realizado
el Sr. Pérez está basado en
el argumento diagonal
• Diseñado por Georg
Cantor en 1834
• para demostrar que el
cardinal de los reales es
mayor que el de los
naturales

13. Tercera Cuestión
• Tesis de Church-Turing
(versión informal):
• Cualesquiera dos
modelos de
computación resuelven
los mismos problemas
• Se puede considerar un
“axioma” en Informática
• Es cierto en todos los
modelos creados
• Otra versión:
• Todo algoritmo o
procedimiento efectivo
es Turing-computable

14. ¿Cómo demostrar que un
problema es indecidible?
• Demostramos, en primer lugar, que
el problema no se puede resolver
en un modelo de computación
concreto
• Entonces, por la tesis de Church-
Turing, no es resoluble en ningún
modelo

15. Guía de viaje por la
computabilidad
El lenguaje GOTO
Definiciones por recursión
Codificación de programas
Programa Universal
El problema de la parada
El Teorema de Rice
Matemáticas
Computabilidad

16. El lenguaje elegido:
GOTO
Lenguaje de programación
muy simple
Usa variables como registros
Es computacionalmente completo
Modelo de computación basado en
lenguaje

17. Sintaxis de GOTO

18. Programa Universal en GOTO
• Entrada: datos
+Programa
• Salida: Resultado
de aplicar el
programa al dato
•¡ES UN
ORDENADOR!

19. Definiciones por
recursión
• Necesitamos utilizar
mecanismos de
definición por
recursión
• Potente
herramienta de
programación

20. Haskell, Lisp...

21. NO es un
juguete
matemático

22. El problema de la parada
• Entrada: Un programa
y un dato de entrada
• Salida:
• 1 (sí) si el programa
para sobre ese dato
• 0 (no) si no para
• Se prueba usando el
método diagonal
(usando el programa
universal)

23. Teorema de Rice
• Método para detectar la no computabilidad
de ciertos problemas. Por ejemplo lo
aplicaremos para demostrar la indecidibilidad
de:
• Equivalencia entre programas
• Reconocer los programas que siempre
paran
• Clases de complejidad algorítmica

24. Aplicaciones (I):
imposibilidad de la corrección parcial

25. Aplicaciones (II):
imposibilidad de la verificación
automatizada de la equivalencia