Temas de mateáticas

“El que quiere hacer algo encuentra los medios y el que no quiere, encuentra una excusa”
1
Profesor: Alexander Ruiz M.
TEMA 1. PRODUCTOS NOTABLES
Objetivos:1. Definir el concepto de producto notable.
2. Explicar y ejemplificar los tipos de productos notables.
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede
ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
Casos de productos notables:
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
c) Cubo de la adición de dos cantidades
d) Cubo de la sustracción de dos cantidades
e) Producto de la suma de la diferencia de dos cantidades
f) Producto de dos binomios de la forma (x+ a) (x+ b)
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades
Elevar al cuadrado a +b equivale a multiplicar ese binomio por símismo, es decir:
(a + b)
2
= (a + b) (a + b)
Resolviendo (a + b) (a + b)=(a) (a) + (a) (b) + (a) (b) + (b) (b)
= a
2
+ 2ab + b
2
Podemos concluir que (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Por tanto el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Ejercicio1
Resuelva cada uno de los siguientes casos del cuadrado de la suma de dos cantidades.
1. (m+3)
2
5. (1 +3x
2
)
2
2. (5+ x)
2
6. (2x + 3y)
2
3. (6a + b)
2
7. (a
2
x + by
2
)
2
4. (x + y)
2
8. (a
m
+ a
n
)
2
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Elevar al cuadrado a - b equivale a multiplicar estadiferencia por sí mismo, es decir:
(a - b)
2
= (a - b) (a - b)
Resolviendo (a - b) (a - b)=(a) (a) - (a) (b) - (a) (b) + (b) (b)
= a
2
- 2ab + b
2
Podemos concluir que (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
Por tanto el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la
segunda cantidad.
Ejercicio 2.
Resuelva cada uno de los siguientes casos del cuadrado de la diferencia de dos cantidades.
1. (a – 3)
2
5. (10x
3
– 9xy
5
)
2
2. (x- 7)
2
6. (x
m
- y
n
)
2
3. (2a – 3b)
2
7. (10x
3
– 9xy
5
)
2
4. (3a
4
– 5b
2
)
2
8. (a
7
– b
7
)
2
c) Cubo de la adición de dos cantidades
Si elevamos (a+ b) al cubo
Tendremos: (a + b)
3
=(a + b)(a + b)(a + b)
=(a + b)
2
(a + b)
= (a
2
+ 2ab + b
2
) (a+ b)
= (a
2
) (a) + (a
2
) (b) + (2ab) (a) + (2ab) (b) + (b
2
) (a) + (b
2
) (b)
= a
3
+ a
2
b + 2a
2
b + 2ab
2
+ ab
2
+ b
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
Podemos concluir que: (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
Po tanto el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el
triplo de del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el
cuadrado dela segunda, más el cubo de la segunda.

2
Ejemplo1.
(X+3)3
=(x+3) (x+ 3)(x + 3)
=(x+3)2
(x+3)
= (x2
+ 2(x) (3) + (3)2
) (x+ 3)
= (x2
+ 6x + 9) (x+ 3)
= (x2
) (x) + (x2
)(3) + (6x) (x) +(6x) (3)+ (9) (x) + (9)(3)
= x3
+ 3x2
+ 6x2
+ 18x + 9x + 27
= x3
+ 9x2
+ 27x + 27
Por tanto: (X+3)3
= x3
+ 9x2
+ 27x + 27
Nota: Este problema lo podemos resolver de manera más abreviada, el cuál
llamaremossimple inspección. Para ello debemos utilizar la fórmula
obtenida:
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
Observe:
(X+3)3
=(x)3
+ 3(x)2
(3) + 3(x) (3)2
+ (3)3
=x3
+ 9x2
+ 27x + 27
Ejemplo 2.
(2x+ 5)3
= (2x+ 5)(2x+ 5) (2x+ 5)
= (2x+ 5)2
(2x+ 5)
= ((2x)2
+ 2 (2x) (5) + (5)2
) (2x+ 5)
= (4x2
+ 20x + 25) (2x+ 5)
= (4x2
) (2x) + (4x2
) (5) + (20x) (2x) + (20x) (5) + (25) (2x) + (25) (5)
= 8x3
+ 20x2
+ 40x2
+ 100x + 50x + 125
= 8x3
+ 60x2
+ 150x + 125
Por simple inspección seria:
(2x+ 5)3
= (2x)3
+ 3(2x)2
(5) + 3(2x) (5)2
+ (5)3
= 8x3
+ 60x2
+ 150x + 125
Ejercicio 3
Resuelva cada uno de los siguientes casos: usando los dos métodos (por
procedimiento y por simple inspección).
1. (a + 2)3
5. (4n+3)3
2. (m + 3)3
6. (2x + 3y)3
3. (2x + 1)3
4. (2 + y2
)3
d) Cubo de la diferencia de dos cantidades
Si elevamos (a - b) al cubo
Tendremos: (a - b)3
=(a - b)(a - b)(a - b)
=(a - b)2
(a - b)
= (a2
- 2ab + b2
) (a- b)
= (a2
) (a) - (a2
) (b) - (2ab) (a) + (2ab) (b) + (b2
) (a) - (b2
) (b)
= a3
- a2
b - 2a2
b + 2ab2
+ ab2
- b3
= a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
Podemos concluir que: (a - b)3
= a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
Po tanto el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la
primera cantidad menos el triplo de del cuadrado de la primera por la
segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el
cubo de la segunda.

3
Ejemplo1.
(X-3)3
=(x-3) (x- 3) (x - 3)
=(x-3)2
(x-3)
= (x2
- 2(x) (3) + (3)2
) (x- 3)
= (x2
-6x + 9) (x- 3)
= (x2
) (x) - (x2
) (3) - (6x) (x) +(6x) (3)+ (9) (x) - (9)(3)
= x3
- 3x2
- 6x2
+ 18x + 9x - 27
= x3
- 9x2
+ 27x - 27
Por tanto: (X-3)3
= x3
- 9x2
+ 27x - 27
Por simple inspección seria
(X-3)3
=(x)3
- 3(x)2
(3) + 3(x) (3)2
- (3)3
=x3
- 9x2
+ 27x - 27
Ejercicio 4
Resuelva cada uno de los siguientes casos: usando los dos métodos (por
procedimiento y por simple inspección).
1. (x – 1)3
4. (1 – 2n)3
2. (n – 4)3
5. (a2
– b)3
3. (1- 3y)3
6. (1 – a2
)3
e) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.
Sean los términos (a + b)(a – b) resolviendo el producto se tiene que:
(a + b) (a – b)=(a) (a) - (a) (b) + (a) (b) – (b) (b)
= a2
–ab – ab - b2
= a2
– b2
Podemos concluir que (a + b) (a – b) = a2
– b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual: al
cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.
Desde ahora en adelante resolveremos `por simple inspección
Ejemplo 1
(3 + x) (3 – x)= (3)2
–(x)2
= 9 – x2
Ejemplo2
(6 +3x) (3x – 6) = (3x + 6) (3x – 6)
= (3x)2
– (6)2
= 9x2
- 36
Ejercicio 5
Resuelva los siguientes problemas
1. (x + y) (x – y) 6. (6x2
– m2
x) (6x2
+ m2
x)
2. (m – n) (m + n) 7. (am
+bn
) ( am
– bn
)
3. (2a – 1) (1 + 2a)8. (2m + 9) (2m – 9)
4. ( n – 1) (n + 1)
5. (y2
– 3y) (y2
+ 3y)
f) Producto de dos binomios de la forma (x + a) (x + b)
Para resolver este tipo de producto notable por simple inspección, debes
aplicar los siguientes pasos:

4
1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos
delos binomios.
2. El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica
de los segundos términos de los binomios y en este término la parte
literal esta elevada a un exponente que es la mitad del que tiene la
parte literal del primer término del producto.
3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos
de los binomios.
Ejemplo 1
(x – 7) (x - 6)= x2
+ (-7 -6) x+ (-7) (-6)
=x2
– 13x + 42
Ejemplo 2
(x2
– 12) (x2
– 3) = x4
+ (-12 – 3)x2
+ (-12) (-3)
= x4
-15x2
+ 36
Ejemplo 3
(y - 11) (y + 9)= y2
+ (-11 + 9)y + (-11) (9)
= y2
– 2y – 99
Ejercicio 6
1. (x + 2) ( x + 3)
2. (n + 3) (n + 5)
3. (a2
+ 8) (a2
-7)
4. (m -8)(m + 12)
5. (x3
+ 6) (x3
– 8)
6. (x4
- 2) (x4
+ 5)
7. (a3
+ 12) (a3
– 15)
8. (x4
+ 7) ( x4
– 11)

5
Tema nº 2
FACTORIZACIÓN
Objetivos de aprendizaje
 Emplea la factorización como proceso que le permite descomponer en
factores una expresión algebraica para resolver ejercicios y situaciones del
entorno.
 Analiza la ecuación de primer grado para expresar y resolver expresiones
del lenguajecomún con el lenguaje algebraico y viceversa.
 Emplea métodos para resolver situaciones presentadas en ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas.
INDICADORES DE LOGROS
 Identifica correctamente los casos de factorización, sus reglas y
procedimientos.
 Deduce el m.c.d. de expresiones algebraicas a través de la descomposición
de factores.
 Multiplica los factores de fracciones algebraicas aplicando la factorización y
simplificación.
CONTENIDOS CONCEPTUALES
 Conceptos generales
 Casos de factorización
A. Factor común monomio
B. Factor común polinomio
C. Factor Común por agrupación de términos
D. Trinomio cuadrado perfecto
E. Trinomio de la forma x2
+ bx + c
F. Trinomio de la forma ax2
+ bx + c
G. Diferencias de cuadrados perfectos
H. Suma de cubos perfectos
I. Diferencias de cubos perfectos
 Reconocimientos de los diferentes casos de factorización
Desarrollo del contenido
 CONCEPTOS GENERALES
¿Qué es factorizar o factorar un polinomio?
Esto significa transformar en multiplicación
¿Por qué se le llama factorizar o factorear?
Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les
llama factores
Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar
un producto.
Por ejemplo: Observe los siguientes productos
(3)(2)= 6, por los que los factores de 6 son: 3 y 2

6
(5)(3)(2)=30, por lo tanto los factores de 30 son: 5,3 y 2
¿Para qué sirve factorizar un polinomio?
Es de gran utilidad pues nos permite obtener información de manera más
rápida por ejemplo:
1. Tener factorizada una función polinómica sirve para encontrar o
visualizar los ceros o raícesde esa función.
2. Para analizar si la función es negativa o positiva
3. Para encontrar los máximos y mínimos de la función
4. Para Resolver ecuaciones de segundo grado…,otros
¿Cómo puedo saber si factorice correctamente?
Es fácil solo debemos multiplicar los factores que obtuvimos y nos debe dar
exactamente el mismo problema original
Observe el siguiente ejemplo:
X2
+ 3x + 2 = (x +2) (x + 1)
Resolvamos (x +2) (x + 1) = x2
+ x + 2x + 2 = x2
+ 3x + 2
Podemos concluir que la factorización consiste en descomponer una expresión
algebraica en uno o más factores de tal forma que al multiplicar dichos factores
entre sí dan como resultado la expresión original.
 AHORA VEREMOS ALGUNOS CASOS DE FACTORIZACIÓN
A.FACOR COMÚN MONOMIO
Se llama así porque en general se aplica cuando en todos los términos hay un
factor en común.
Pero ¿Qué es un factor común?
Es un número, letra, una expresión algebraica, que se está multiplicando en todos
los términos. Tiene que estar en todos los términos por es común.
El factor común monomio es un número o letra que siempre aparece en cada
término. De existir un factor común en números debemos buscar el máximo
común divisor (m.c.d.) y para el caso de las letras si lo hay debemos elegir la de
menor exponente.
Es importante señalar que el factor común es:
1. Una letra
2. Un número
3. Letra y número
El máximo factor común de un polinomio está formado por:
a. El máximo común divisor (m.c.d.) de los coeficientes numéricos.
Definición de máximo común diviso (m.c.d.):Son factores comunes con su
menor exponente.
Ejemplo
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:

7
72 = 23
· 32
108 = 22
· 33
60 = 22
· 3 · 5
Así el máximo común divisor seria 22
· 3= 4 x 3=12
b. Las variables que están en todos los términos, con el menor exponente con
que aparecen.
Pasos a seguir para factorizar completamente un polinomio por el método
de factor común monomio:
 Se divide cada término del polinomio entre el máximo factor común
 Se escribe la multiplicación del máximo factor común y la suma de los
coeficientes obtenidos.
El factor común polinomio puede ser un monomio u otro polinomio de dos o
más términos.
Ejemplos:
1. Factorizar el polinomio 18x2
y3
+ 12x3
y + 6x2
y2
En estos tipos de problemas el máximo factor común es un monomio
Pasos:
a. Determino el máximo factor común del polinomio.6x2
y
b. Divido cada término del polinomio original entre el máximo factor común
2. 18x2y3 12x3y 6x2y2
= 3y2
=2x =y
6x2
y 6x2
y 6x2
y
3. Escribimos la factorización del polinomio original, que es producto del
máximo factor común por la suma de los coeficientes obtenidos.
18x2
y3
+ 12x3
y + 6x2
y2
= 6x2
y (3y2
+ 2x + y)
2. 2x2
+ 16x3
3. 10xy3
+ 20x2
y2
– 50yx3
4. 5m2
– 5m + 45m3

8
5. 8m2
n3
– 8m2
n2
– 8m4
n6
B. FACTOR COMÚN POLINOMIO
Es un polinomio que se repite en cada uno de los términos de la expresión
algebraica.
Ejemplos:
1. Factorizar el polinomio 2x (x + 1) – 3y (x + 1)
En estos tipos de problemas el factor común es un polinomio
Pasos:
a. Determino el máximo común factor del polinomio. X + 1.
b. Divido cada término del polinomio entre el máximo común factor.
2x (x + 1) 3y (x + 1)
= 2x = 3y
X+1 x + 1
c. Escribo la factorización del polinomio original, que es el producto del
máximo factor común por la suma de los coeficientes obtenidos.
2x (x + 1) – 3y (x +1)= (x + 1) (2x – 3y)
2. 2a (x +a) + 4b(x + a)
3. a (x+1) + b (x+ 1)
4. 3x3
(x + y) + 9x (x +1) + (x +y)
5. 5a2
(3a + 2c)- 15a5
(3a +2c) + 25 (2c + 3a)
Práctica
Resuelva la siguiente práctica en tu cuaderno de matemática
1. Factorice las siguientes expresiones algebraicas según sea el caso y diga
cual caso es.
1. 5y4
– 10y2
13. 66x3
– 44y2
– 88y
2. 5 (x -1) + 10 bx 14. 48b5
c4
d3
– 72b3
c4
d5
3. 21m – 35n – 42 16. P(x –z)-(x-z)
4. 8a2
– 6a3
c – 4a2
17. (a – 3)- (3 – a) + (a- 3)3
5. 25 x3
y2
– 45 x2
y3
18. 8x3
+ 6x8
6. 28y + 56y3
+ 42y5
19. 4 (a + b) + 3x(b + a)
7. 12m3
n2
– 6m2
n2
+ 18m2
n 20. P -1 + 2 (p – 1) + y (p – 1)
8. 3p2
+ 6p(x –y) 21. 4x2
(2w – 3) – 5 (2w – 3)
9. 17 x6
y6
– 51 pt4
y4
+ 85 x2
y2
10.75 x5
– 50x4
+ 25x3
11.3mn3
– 6m3
n
12.15w5
z + 20w3
z – 25w4
zc

9
C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
Se llama así porque se toman grupos de términos para sacar factor común entre
ellos.
¿Por qué se elige grupos de términos?
Porque en el polinomio no hay factor común para todos los términos, pero si los
hay para algunos términos entre sí. Y con estos términos que tienen factor común
entre sí es que se arman los grupos.
Pasos a seguir para la factorización de términos:
 Asociar los términos de forma tal que cada grupo tenga un monomio como
factor común.
 Factorizar nuevamente teniendo en cuenta que cada factor común es un
polinomio.
Ejemplo:
1. 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b
Agrupo los términos que tienen un factor común:
(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)
Saco el factor común de cada grupo:
a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )
Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:
(2x -y +5)(a + b)
Que es nuestra respuesta.
2. 17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = (17ax +3ay +7z) - (17mx + 3my +7mz)
= a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z) (a – m)
3. m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = m(x + 2) -1(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(m + 3 -1)
= (x + 2) (m + 2)
Práctica

10

11
D. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Cuando estudiamos los productos notables, analizamos un caso en el cual
encontramos el cuadrado de un binomio. Al resultado se este cuadrado lo
llamamos TRINOMIO CUDRADO PERFECTO.
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto, cuando el
primero y el tercer término son cuadrados perfectos; es decir, tienen raíz cuadrada
exacta y son positivos; y además, el segundo término es el doble producto de sus
raíces cuadradas.
REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
a) ordenar los términos si es necesario (Recuerda que los términos de los
extremos deben ser positivos).
b) extraer la raíz cuadrada de los términos de los extremos
c) se multiplica por dos las raíces obtenidas.(debe dar exactamente el
término del medio, no consideres el signo)
Ejemplos:
1. x2
– 20 xy + 25 y2
= (2x – 5y)2
2x 5y
2 (2x) (5y)
20x
2. = 2
2 ( (

12
PRÁCTICA
1. 1/4 b6
+ x4
a2
- x2
ab3
2. x2
+ 2 x + 3
3. 1/4 b6
+ x4
a2
- x2
ab3
4. -x2
+ 6x - 9
5. x2
+ 6x +9
6. 16x2
+ 8x +1
7. y2
+ 10y + 25
8. 4y2
- 24y + 36
9. 25x2
+ 30xy + 9y2
10.x2
+ 14x +49
11.x2
− 20x + 100
12.100x10
-60c4
x5
y6
+9c8
y12
E. Trinomio de la forma x2
+ bx + c
Este tipo de trinomio presenta las siguientes características:
 Él primertérmino debe ser una letra cualquiera positivay elevada a un
exponente par; su coeficiente 1. Ejemplo X2
; X4
; X10
;…etc.
 El segundo término que tiene debe tener la misma letra que el término
anterior pero su exponente es la mitad del primero y puede ser negativo o
positivo.
1. El tercertérminoes independiente de la letra que aparece en los otros dos
primeros términos y es una cantidad cualquiera (+ o -).
Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:
1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término
será la raíz cuadrada del primer término.
2. El signo del primer binomio después de la letra será el mismo signo que
tenga el segundo término “bx”, el signo del segundo binomio después de la
letra será igual a la multiplicación de los signos del segundo término “bx” y
del tercer término “c”.
3. Si los dos factores del binomio tienen signos iguales en el medio entonces
se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del
factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”,
estos números son los segundos términos de los factores binomios.
4. Si los dos factores del binomio tienen signos diferentes en el medio
entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor
absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto

13
del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del
primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo
término del segundo factor binomio.
Sugerencia: si el tercer término es una cantidad bastante elevada, lo
conveniente es que lo descompongas en factores primos; de esta manera
podemos saber, que cualquier combinación que hagamos al multiplicar estos
números para formar los dos que busco cumplirán con el requisito multiplicativo
y solo nos preocuparemos por cumplir la suma algebraica. Así: por ejemplo si
quiero descomponer 380 en números primo procedo de la siguiente forma:
Ejemplos explicativos:
1.m2
+ 8m + 15
Paso 1. (m ) (m )
Paso 2. (m + ) (m + )
Paso 3 (m +3) (m + 5)
2. m2
– 7x +12
Paso 1. (m ) (m )
Paso 2. (m - ) (m - )
Paso 3 (m -4) (m - 3)
3. m2
+ 2m – 15
Paso 1. (m ) (m )
Paso 2. (m + ) (m - )
Paso 4 (m + 5) (m - 3)
4. m2
- 66m + 1080
Paso 1. (m ) (m )
Paso 2. (m - ) (m - )
Como 216 es un número elevado lo descomponemos en factores primos
1080 2 2x2x2 = 8Luego combinemos estos
540 2 2x2x2x3 = 24 resultados.
270 2 2x3x5 = 30 135 + 8 = 143 no sirve
135 3 45 + 24 = 69 no sirve
45 3 3x3x3x5 = 135 30 + 36 = 66 si sirve
15 3 3x3x5 = 45
5 5 2x2x3x3 = 36
1

14
Paso 3 (m -36) (m - 30)
Casos especiales
1. X4
– 5x2
– 50
Paso 1. (x2
) (X2 )
Paso 2. (x2
- ) (x2
+ )
Paso 4 (x2
-10) (x2
+5)
2. m2
n2
– mn - 42
Paso 1. (mn ) (mn )
Paso 2. (mn - ) (mn + )
Paso 4 (mn - 7) (mn + 6)
3. (5m)2
– 9(5m) + 8
Paso 1. (5m ) (5m )
Paso 2. (5m - ) (5m - )
Paso 3 (5m - 8) (5m - 1)
Estimados alumnos los problemas anteriores están resueltos paso a paso con la
finalidad que usted valle adquiriendo el dominio de este tipo de factorización pero
con la práctica usted debe resolverlos problemas directamente usando el paso 3 ó
4 dependiendo el caso.
Por ejemplo:
X2
+ 2x -15 = (x + 5) (x – 3)
Práctica
1. X2
- 6X – 40
2. X2
- X – 6
3. X2
- 9X + 8
4. X2
+ 4X + 3
5. X2
- 16X + 63
6. m2
+ 10m – 200
7.k2
- 3k – 180
8. t4
- 8t2
+ 12
9. -c2
- 13c + 30
10. X2
- 39X + 108
11. X4
- 5X – 50
12. X2
- X + ¼
13. b2
+ 17b + 70
14. s2
+ 24s + 135

15
F Trinomio de la forma ax2
+ bx + c
Expresiones como 2x2
+ 3x - 2, 6a4
+ 7a2
+ 2, 7m6
- 33m3
-10,
Son trinomios de la forma ax2
+ bx + c.
Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:
1. El coeficiente del primer término es diferente de 1.
2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con
exponente a la mitad.
3. El tercer término es independiente de la letra que aparece enel primer y
segundo términos del trinomio.
Para factorizar trinomios de la forma ax2
+ bx + c, existen variasformas, a
continuación se describirá una de ellas.
Ejemplos:
1. Factorizar 6x2
-5x – 6
Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2
que en este caso es 6, y se
deja indicado el producto de 6 por 5x y se tiene que:
36x2
-6(5x) – 36
Observa que solo se multiplican el primero y tercer término por el coeficiente de x.
Pero 36x2
= (6x)2
y 6(5x) = 5 (6x)
Por tanto podemos escribir el trinomio como
(6x)2
– 5(6x) – 36 es decir hemos llevado al trinomio a la forma x2
+ bx+ c ver
ejemplo 3 del caso especial pag 14.
El primer término de cada factor serála raíz cuadrada del primer término en este
caso la raíz cuadrada de (6x)2
seria 6x, luego:
(6x– ) (6x + )
Buscamos dos números que multiplicado me de 36 pero que restado me de 5 que
serían 9 y 4con lo que tenemos que:
(6x – 9) (6x + 4)
Como al principio el trinomio se multiplico por 6, ahora tenemos que dividirlo entre
6 para que no se altere el trinomio. Esto se debe hacer siempre y depende del
coeficiente de la x2
. Así tenemos que:
(6x – 9) (6x + 4)
6
Pero como ninguno de los binomios es divisible exactamente por 6,
descomponemos 6 en 2 x 3 y dividimos (6x – 9) entre 3 y (6x + 4) entre 2 dando
como resultado:
(6x – 9) (6x + 4)
3 . 2
(2x – 3) (3x + 2) luego
6x2
-5x – 6 = (2x – 3) (3x + 2)

16
2. Factorizar 15x4
- 23x2
+ 4
=15(15x4
- 23x2
+ 4) Se multiplica y se divide el trinomio
15 por el coeficiente del primer término.
=(15x2
)2
- 23(15x2
) + 60 Se resuelve el producto del primero
15 y tercer término dejando indicado el
del segundo término.
=(15x2
- 20)(15x2
- 3) Se factoriza como en el caso del trinomio
15 de la forma x2
+ bx + c, o sea, se buscan
dos números que multiplicados de 60 y
sumados 23. (Se suman por que los
signos de los dos factores son iguales)
=5(3x2
- 4)3(5x2
- 1) Se factorizan los dos binomios resultantes
5 . 3 sacándoles factor común monomio, se
descompone el 15 y por último se simplifica.
por tanto
15x4
- 23x2
+ 4 = (3x2
- 4)(5x2
- 1)
OTRO MÉTODO ES EL SIGUIENTE( por ensayo y error)
Factorizar 15x4
- 23x2
+ 4
1. Se descomponen el primero y tercer término en factores, tomando en cuenta
que al multiplicarlo debe dar exactamente al término que se descompuso tanto en
signo, coeficiente, letras, exponentes.
15x4
- 23x2
+ 4
3x2
- 4
5x2
- 1
2. Se multiplica los factores obtenido de manera cruzada tomando en cuenta los
signos. Y se suman algebraicamente
3x2
- 4
5x2
- 1
= -20x2
- 3x2
= -23x2

17
3. Si al aplicar el paso 2 da exactamente el término del medio procedemos a
factorizar. Para ello abrimos dos paréntesis y colocamos los factores obtenidos
pero usando una combinación horizontal.
3x2
- 4
5x2
-1
(3x2
– 4) (5x2
-1)
Práctica
1. 6x2
- 7x – 3 R. (2x – 3) (3x +19
2. 20x2
+ 7x – 6 R.(4x + 3) (5x – 2)
3. 18a2
-13a – 5 R. (a - 1) (18a + 5)
4. 12m2
- 13m – 35 R.(3m - 7) (4m + 5)
5. 20s2
+ s – 1 R. (4s + 1) (5s – 1)
6. 8m2
-14m – 15 R. (2m – 5) (4m + 3)
7. 16m + 15m2
– 15 R. (3m +5) (5m – 5)
8. 15x4
– 11x – 12 R. (3x2
– 4) (5x2
+ 3)
9. 12x2
y2
+ xy – 20 R. (3xy + 4) (4xy -5)
10. 20 – 3x – 9x2
R. – (3x + 5) (3x – 4)
G. Diferencias de cuadrados perfectos
En el tema anterior, hablamos de los productos notables, vimos que la suma de
dos cantidades por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el
cuadrado del sustraendo. O sea (a + b) (a – b) = a2
– b2
; luego recíprocamente:
a2
– b2
= (a + b) (a – b)
Expresiones como a2
- b2
, 42
- p2
q2
, 1/9y2
- m2
n2,
se denominan diferencias de
cuadrados perfectos, ya que los términos que lo forman tienen raíz cuadrada
exacta.
La regla para factorar una diferencia de cuadrado es:
Se extrae la raíz cuadrada a minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de
estas raíces cuadradas por la diferencia ente las raíces del minuendo y del
sustraendo.
Ejemplos:
1. x2
- y2
Raíz cuadrada de x2
= x
Raíz cuadrada de y2
= y

18
x2
- y2
= (x + y)(x - y)
2. 4a2
b2
- 9x2
y4
Raíz cuadrada 4a2
b2
= 2ab
Raíz cuadrada 9x2
y4
= 3xy2
Entonces
4a2
b2
- 9x2
y4
= (2ab + 3xy2
)(2ab - 3xy2
)
3. 25m2
- 16n2
4
Raíz cuadrada de 25m2
= 5m
4 2
Raíz cuadrada de 16n2
= 4n
Entonces:
25m2
- 16n2
= (5m + 4n)(5m - 4n)
4 2 2
Caso especial
1. 4x2
– (x + y)2
2x (x + y)
4x2
– (x + y)2
= (2x + (x + y)) ((2x - (x + y))
= (2x + x + y) (2x -x - y)
= (3x + y) (x – y)
Práctica
1. m2
-1 10. 196x2
y4
– 225z12
2. d2
– 4 11. – 9m2
3. 1 – 4m2
4. 16 – n2
12. ( x –y)2
– 4z2
5. 25 – 36x2
6. 1 – 49x2
y2
7. 4x2
– 81y4
8. m2
k8
– c4
9. 100m2
n4
– 169y6
Recuerda extraer
la rices del
minuendo
ydelsustraendo

19
H. Suma de cubos perfectos
Expresiones como x3
+ 1; 8x3
+ 27b3
; 64 +a3
son ejemplos de suma de cubos
perfectos. Para resolver estos tipos de problemas se usa la siguiente formula:
a3
+ b3
= (a + b) (a2
– ab + b2
)
Esta fórmula nos dice que la suma de los cubos perfectos se descompone en dos
factores.
 En el primer factor se coloca la suma de raíces cúbicas
 En el segundo factor se coloca : el cuadrado de la primera raíz, menos el
producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz
Ejemplos:
Buscar los factores de:
1.x3
+ 1 = (x + 1) (x2
–x(1) + 12
)
= (x + 1) (x2
–x + 1)
2. 27a3
+ b6
=(3a + b2
) ⦋(3a)2
– (3a)(b2
)+ (b2
)2
⦋
=(3a + b2
) ⦋9a2
– 3ab2
+ b4
⦋
Práctica
1. 64 +a3
2. 8x3
+ 27b3
3. 1+ 343n3
4. 1 + d3
5. x3
+ y3
6. b3
+ 27
7.8x3
+ y3
I. Diferencia de cubos perfectos
Expresiones como x3
- 1; 8x3
- 27b3
; 64 - a3
son ejemplos de suma de cubos
perfectos. Para resolver estos tipos de problemas se usa la siguiente formula:
a3
- b3
= (a - b) (a2
+ ab + b2
)
Esta fórmula nos dice que la diferencia de los cubos perfectos se descompone en
dos factores.
 En el primer factor se coloca la diferencia de raíces cúbicas
 En el segundo factor se coloca : el cuadrado de la primera raíz, más el
producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz
Ejemplos:
Buscar los factores de:
1. x3
- 1 = (x - 1) (x2
+x(1) + 12
)

20
= (x - 1) (x2
+x + 1)
2. 27a3
- b6
=(3a - b2
) ⦋(3a)2
+ (3a)(b2
)+ (b2
)2
⦋
=(3a - b2
) ⦋9a2
+ 3ab2
+ b4
⦋
Práctica
1. a3
- 125
2. 1 -216 x3
3. x6
– b9
4. 8x3
– 27m3
5. 1 - p3
6. b3
– c3
8. x3
– 8
9. 8x3
- 125
 RECONOCIMIENTOS DE LOS DIFERENTES CASOS DE
FACTORIZACIÓN: coloca al lado a qué tipo de factorización pertenece
1. b3
– c3
_________________________________________________
2. x3
+ y3
_________________________________________________
3. 6x2
- 7x – 3_____________________________________________
4. 2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b_______________________________
5. m2
-1 _________________________________________________
6. X2
- 39X + 108__________________________________________
7.x2
− 20x + 100_____________________________________
8. x2
+ 6x +9____________________________________________
9. 25x2
+ 30xy + 9y2
_________________________________________
10. 16m + 15m2
– 15________________________________________
11. t4
- 8t2
+ 12____________________________________________
12 . 4x2
(2w – 3) – 5 (2w – 3)__________________________________

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