Este documento presenta 10 temas relacionados con la factorización de polinomios. En primer lugar, explica cómo extraer un factor común de un polinomio o de la suma de términos. Luego, cubre conceptos como la diferencia de cuadrados, el trinomio cuadrado perfecto y la combinación de estos con trinomios cuadrados. También aborda la factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c y la suma y diferencia de potencias impares.

1. Nombre: Oriana Llovera 24
Curso: 1° Ciencias “F”
Fecha: 04 de Abril del 2013
Casos de Factorización
1. FACTOR COMÚN
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar las sumas en
productos extrayendo dicho factor.
a*b+a*c=a(b+c)
2*4+2*4=4(2+2)
16+16=8+8
16
16=16
a*b-a*c=a(b-c)
6*5-6*4=6(5-4)
30-24=30-24
6=6
 Sacar factor común es el proceso inverso de la propiedad distributiva.
Ejemplos:
6*9+4*9=9(6+4)
54+36=54+36
90=90
6*4-4*3+4*9-5*4=4(6-3+9-5)
24-12+36-20=24-12+36-20
28=28

2.  FACTOR COMUN EN UN POLINOMIO
Sacar factor común en un polinomio consiste en aplicar la propiedad
distributiva.
a*x+b*x+c*x=x(a+b+c)
Una raíz del polinomio será x=0
Doble extracción de factor común
a2-ax-bx+ab=x(x-a)-b(x-a)=(x-a)*(x-b)
Ejemplos:
xy-2x-3y+6
=x(y-2)-3(y-2)
=(x-3) (y-2)

3. 2. FACTOR COMUN POR AGRUPACION
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un
polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común
diferente en cada grupo.
Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en
cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de
los grupos entre paréntesis, se le saca este como factor común, quedando así
una multiplicación de polinomios.
Deben quedar desde el principio igual los términos del paréntesis así se hará más
sencillo resolver estos problemas.
Ejemplos:
1. 4a+3b+8a+6ab
= (3b+6ab) + (4a+8a)
= 3b (1+2a) +4a (1+2a)
= (1+2a) (3b+4a)
2. (4a+3b) +(8a+6ab)
=1 (4a+3b) +2a (4a+3b)
= (4a+3b) (1+2a)
3. 3abm-2n-2n+3abn=
(3abm+3abm) – (2m+2n)
3ab (m + n) -2 (m + n)
(m + n) (3ab - 2)

4. 3. DIFERNCIA DE CUADRADOS
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a
los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
Al estudiar los productos notables teníamos que:
(a + b) (a - b)= a2-b2
En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capitulo es el
contrario:
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
Donde siempre “la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la
diferencia de sus masas.
Pasos:
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término
del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo)
Ejemplo Explicativo:
Ejemplos:
16m2-36n2= (4m + 6n) (4m – 6n)
=(4m+ 6n) ( 2m – 3n)
16m4-a4= (4m2 + a2) (4m2 – a2)
= (4m2 + a2) (2m + a) (2m – a)
5x3 – 45xy2= 5x (x2 – 9y2)
= 5x (x + 3y) (x – 3y)

5. 4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos)
tal que, dos de sus términos cuadrados perfectos y el otro término es el doble
producto de las bases de esos cuadrados.
NOTA:
El signo es el mismo del segundo término del trinomio.
Recordando el cuadrado de un binomio.
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
TENEMOS:
(a – b)2=a2 – 2ab + b2
REGLAS:
1. Debe ser un trinomio ordenado.
2. (+,+,+) ; (+,-,+)
3. 1er y 3er términos son cuadrados perfectos.
4. El término intermedio es el doble producto de dos raíces.
EJEMPLOS:
 9a2 + 6ab + b2= (3a + b)2
 25 - 10y + y2= (5 – y)2
 64 – 48z + 9z1= (8 – 3z)2
 x2y2 – 4xyz + 4z2= (xy – 2z)2
 o.o1– 0.2x2 + x4= (10 – x2)2

6. 5. CONBINACION DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
CON DIFERENCIA DE CUADRADOS
Algunos polinomios pueden se expresados como diferencia de cuadrados si se
agrupan convenientemente los términos que formen cuadrados perfectos.
PROCEDIMIENTO:
Una vez agrupados los términos se procede a resolver el grupo correspondiente
al trinomio cuadrado perfecto.
Se obtiene dos términos elevados al cuadrado cada uno en una operación de
diferencia.
La diferencia de los cuadrados obtenidos se descompone en el producto de la
suma por la diferencia de las bases de estos cuadrados.
Resolver los grupos obtenidos para agruparlos correctamente.
EJEMPLOS:
1. a2 + b2 – 2ab – b4
= (a2 - 2ab + b2) – b4
=(a – b)2 – b4
=(a – b + b2) (a – b – b2)
2. 1– (x2 – 2xy + y2)
=1 – (x2 – 2xy + y2)
=1 (x – y)2
=(1 + x – y) (1 – x + y)
3. X2 + 2xy – z2 + y2 + 2zw – w2
=(x2 + 2xy + y2)
=(x + y)2 – (w – z)2
=(x + y + w – z) (x + y – w + z)

7. 6. TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x,
o sea la raíz cuadrada del primer término.
En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio
y en el segundo factor, después de x se escribe se escribe el signo que resulta de
multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino
del trinomio.
Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se busca dos
números cuya suma sea el valor del segundo término y cuyo producto sea el
valor del tercer término del trinomio.
Si los dos factores binomios tienen en el medio signos diferentes se busca dos
números cuya diferencia sea el valor del segundo termino y el producto se el
valor del tercer termino del trinomio.
El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio y el menos es el
segundo término del segundo binomio.
El signo del primer binomio, es el signo del segundo término del trinomio, el signo del
segundo binomio es la multiplicación del signo del segundo y tercer termino del
trinomio.
EJEMPLOS:
m2 + 8m + 15
(m + ) (m + )
(m + 3 ) (m + 5)

8. 7. TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C
Este tipo de trinomios se diferencia del anterior debido a que el termino al
cuadrado (x2) se encuentra procedido por un coeficiente diferente de uno
(debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente:
1. Multiplicamos el coeficiente “a” del factor “ax2” por cada termino del trinomio,
dejada esta multiplicación indicada en el término “bx“ de la manera “b(ax)” y en
el término ax2.
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será
la raíz cuadrada del termino “(ax2)” que será (ax).
3. Al producto restante lo dividimos entre el factor “a” con el fin de no variar el
valor del polinomio.
4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el
signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y
de “c”.
5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro
del caso del trinomio anterior.
Ejemplos:

9. 8. TRINOMIO INCOMPLETO
PASOS PARA RESOLVER:
1. Ordenar en forma ascendente y descendente.
2. El primer y el tercer término deben tener raíz cuadrada exacta.
3. Los signos deben ser todos positivos o alternos.
4. No cumple con la regla del trinomio cuadrado perfecto.
5. Para que cumpla con la regla del trinomio cuadrado perfecto hay que sumarle y
restarle un término que debe cumplir con una condición, tener raíz cuadrada
exacta.
(9x4 – 13x2 + 4 + x2) – x2
3x 2
=(9x4 – 12x2 + 4) – x2
=(3x2 – 2) –x2
=(3x2 – 2 + x) (3x2 – 2 – x)
(x4 + 64y4 + 16x2y2) – 16x2y2
X2 8y2
=(x4 + 64y4 + 16x2y2) – 16x2y2
=(x2+8y4) -16x2y2
=(x2 + 8y2 + 4x2y2) (x2 +8y2 – 4x2y2)

10. 9. SUMA Y DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES
SUMA:
Sabemos que multiplicando la suma de dos expresiones algebraicas
cualesquiera por el polinomio homogéneo ordenado de segundo grado
formado por dicha expresiones y coeficientes +1, -1, +1 se obtenía los números
de dichas expresiones algebraicas.
Por lo anterior vemos que:
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
Por, consiguiente:
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
EJEMPLOS:
a5 + b5 = (a + b)
(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4)
DIFERENCIA:
PROCEDIMIENTO:
1. La suma de dos potencias con el mismo exponente impar se descompone en
suma de las bases.
2. Se multiplica por un polinomio homogéneo de grado n – 1 con coeficiente +1 y
-1 alternativamente.
EJEMPLOS:
a5 - b5 = (a - b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)
Y, análogamente se comprueba que:
an - bn = (a - b) (an-1+ an-2b + an-3b2 + ...+ bn-1)
Siempre que n sea un entero positive impar.

11. 10. FACTORIZACION POR EVALUACION
División sintética o regla de RUFINI
Se aplica para dividir cualquier polinomio P (X) para un binomio de primer
grado de la forma (ax + b). Nosotros aquí vamos a estudiar para el caso
particular en que a = 1. Es decir, es decir dividiremos para el binomio (x + b).
REGLA:
La regla dice que se debe igualar el divisor a cero y despejar el valor de x.
EJEMPLOS:
(x+a)(x+b)(x+c) = (x+3)(x+3/2)(x-2/3) = (x²+9x/2+9/2)(x-2/3)
=x³+9x²/2+9x/2-2x²/3-18x/6-18/6 = x³+23x²/6+9x/6-3
=x³+23x²/6+3x/2-3
(x+a)(x+b)(x+c) = (x+9)(x-1)(x+0,5) = (x²+8x-9)(x+0,5)
=x³+8x²-9x+0,5x²+4x-4,5 = x³+8,5x²-5x-4,5 ≠ x³-x²/2-9x+4,5