El documento trata sobre el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de polinomios. Explica que para calcular el MCD y MCM de polinomios se debe tener en cuenta el MCD y MCM de números enteros. A continuación, presenta las propiedades del MCD y MCM de polinomios y ofrece ejemplos resueltos de cómo calcular el MCD y MCM de diferentes polinomios.

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Para hallar el MCD y MCM de polinomios debemos tener en cuenta el MCD y MCM de números enteros
M.C.D. y M.C.M. de
Polinomios
Máximo Común Divisor
(M.C.D.)
Mínimo Común Múltiplo
(M.C.M.)
Propiedades
M.C.D. de dos o más
polinomios es otro polinomio
que tiene la característica de
estar contenido en cada uno de
los polinomios.
M.C.M. de dos o más
polinomios es otro polinomio
que tiene la característica de
contener a cada uno de los
polinomios.
Dos o más polinomios son
primos entre sí, si su M.C.D.
es ± 1.
Obtiene factorizando los
polinomios.
Obtiene factorizando los
polinomios.
Únicamente para dos
polinomios A(x), B(x) se
cumple:
MCD(A;B).MCM(A;B)=A(x).B(x)
Viene expresado por la
multiplicación de los
factores primos comunes
afectados de sus menores
exponentes.
Viene expresado por la
multiplicación de los
factores primos comunes y
no comunes afectados de
sus mayores exponentes.
A(x) y B(x) son polinomios no
primos entre si. Entonces:
1ra
posibilidad:
A(x) – B(x) = MCD
2da
posibilidad:
A(x) – B(x) = contiene al
MCD
MCD Y MCM DE POLINOMIOS TEORÍA Y PRÁCTICA 5TO

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Ejercicios Resueltos
01.- Hallar el M.C.D. de los polinomios siguientes:
A(x) = x3
– x2
– 4x + 4
B(x) = (x + 2)3
(x + 5)
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción:
Dado que A(x) no esta factorizado procedemos a
factorizarlo.
A(x) = x3
– 5x2
+ 4; por divisores binómicos
entonces (x - 1) es divisor ya que x = 1 hace cero el
polinomio.
Obs. Recuerda que el rango de valores que se debe
asignar a “x” está formado por:
I.- Cuando el coeficiente principal es la unidad, por
los divisores del término independiente.
II.- Cuando el coeficiente principal es diferente de 1,
por los divisores del término independiente más las
fracciones que se obtienen de dividir estos valores
entre los divisores del coeficiente.
“En ambos casos se toma el doble signo (±)”
Regresando al ejercicio : Aplicando Ruffini:
0401
4011x
4411
−−−−
−−−−↓↓↓↓====
−−−−−−−−
∴∴∴∴ A(x) = (x2
– 4)(x - 1) = (x + 2)(x – 2)(x - 1)
Luego tenemos:
B(x) = (x + 2)3
(x + 5)
A(x) = (x + 2) (x - 2) (x - 1)
Luego el M.C.D. de los polinomios A(x) y B(x) es:
M.C.D. = (x + 2)
02.- Hallar el M.C.D. de los polinomios:
A = x2
y3
z4
B = x5
y2
z3
M.C.D. = x2
y2
z2
C = x3
y5
z2
03.- Hallar el M.C.M. de los polinomios:
A = x5
y2
z3
B = x3
y3
z4
M.C.M. = x5
y5
z4
C = x4
y5
04.- Hallar el M.C.M. de los polinomios:
A = (x + 1)2
(x + 3)5
(x + 2)3
B = (x + 1) (x + 2)4
C = (x + 1)3
(x + 3)4
(x + 2) (x + 4)
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción:
MCM(A; B; C) = (x + 1)3
(x + 2)4
(x + 3)5
(x + 4)
05.- Sea: P1(x) = Ax2
+ 2x – B
P2(x) = Ax2
– 4x + B
Si (x - 1) es el MCD de P1 ∧ P2,
Hallar el cociente B/A.
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción:
(x - 1) deberá ser divisor de P1(x) y P2(x), entonces:
P1(1) = 0 ∧ P2(1) = 0.
Redundando en el teorema del resto:
P1(1) = A + 2 – B = 0 … (α)
P2(1) = A – 4 + B = 0 … (β)
Resolviendo el sistema:
A – B = -2
A + B = 4
→ A = 1; B = 3
Piden: 3
1
3
A
B
========
06.- El MCD y MCM de dos polinomios son
respectivamente:
MCD(A; B) = (x + 2)(x + 1)
MCM(A; B) = (x + 5)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Si uno de los polinomios es:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Hallar el otro polinomio.
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción:
Sean los polinomios A(x), B(x). Por propiedad:
MCD(A; B) . MCM(A; B) = A(x) . B(x)
Por el dato del problema y adecuando la igualdad
tenemos:
x2
-4
Diferencia de
Cuadrados
Común a los 3
polinomios
No común
Mayores Exponentes

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)x(A
)MCM)(MCD(
)x(B ====
Reemplazando valores:
)3x)(2x)(1x(
)3x)(2x)(1x)(5x)(1x)(2x(
)x(B
++++++++++++
++++++++++++++++++++++++
====
B(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 5)
07.- Hallar MCM/MCD de las siguientes expresiones:
a-1
. xn-1
; b-1
. xn-2
; c-1
. xn-3
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción:
MCD = xn-3
MCM = a-1
. b-1
. c-1
. xn-1
piden:
abc
x
x
x.c.b.a
MCD
MCM 2
3n
1n111
========
−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−
08.-Hallar el MCM de:
x2
– 4x + 3
x2
+ 4x + 3
x4
– 10x2
+ 9
x3
– 9x + x2
- 9
SoluSoluSoluSolución:ción:ción:ción:
Factorizando:
I. x2
– 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) …(α)
II. x2
+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) …(β)
III. x4
– 10x2
+ 9 = (x2
- 9)(x2
- 1)
= (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) …(θ)
IV. x3
– 9x + x2
– 9 = x(x2
– 9) + (x2
– 9)
= (x2
- 9) (x + 1)
= (x + 3)(x - 3)(x + 1) …(γ)
De (α), (β), (θ) y (γ) se tiene:
MCM = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1)
= (x2
- 9)(x2
- 1)
Ejercicios Aplicativos
01.- Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = (x + 6)2
(x - 7)3
(x + 9)4
B(x) = (x + 10)3
(x - 7)2
(x + 6)3
a) x + 9 d) (x - 7)2
(x + 6)2
b) x + 10 e) (x - 7)3
(x + 6)3
c) (x - 7)3
(x + 6)3
Hallar el MCM de los polinomios:
F(x) = (x + 5)4
(x - 6)2
(x + 9)3
(x - 1)4
S(x) = (x + 5)2
(x - 6)4
(x + 7)2
(x - 1)3
a) (x + 5)(x - 6)(x - 1)
b) (x + 5)2
(x - 6)2
(x - 1)3
c) (x + 5)4
(x - 6)4
(x - 1)4
(x + 9)3
(x + 7)2
d) (x + 1)(x - 2)(x + 9)
e) (x - 1)3
(x - 6)4
02.- Hallar el MCD de los polinomios:
A(x) = (x + 2)6
(x - 1)4
(x - 2)6
(x + 3)4
B(x) = (x + 3)6
(x - 1)2
(x + 2)2
(x + 7)2
C(x) = (x - 3)4
(x + 7)2
(x - 1)3
(x + 2)2
a) (x - 1)(x + 2) d) (x + 2)2
b) (x + 1)(x + 3) e) (x - 1)2
c) (x - 1)2
(x + 2)2
03.-Hallar el MCM de los polinomios:
P(x) = (x + 4)3
(x - 7)2
(x + 6)8
(x + 7)3
F(x) = (x + 6)2
(x - 7)3
(x + 7)4
(x - 6)2
S(x) = (x + 2)3
(x + 6)4
(x + 4)8
(x + 7)2
a) (x + 7)4
(x + 6)8
(x + 4)8
b) (x + 7)4
(x + 6)8
c) (x + 7)4
(x + 6)8
(x + 4)8
(x - 7)3
(x - 6)2
(x + 2)3
d) (x + 7)4
(x + 6)8
(x + 4)8
(x - 7)3
(x - 6)2
e) (x + 7)4
(x + 4)8
(x - 7)3
(x - 6)2
(x + 2)3
04.- Dados los polinomios:
A(x; y; z) = x4
y3
z6
B(x; y; z) = x5
y4
z10
C(x; y; z) = x6
y2
z5
Indicar:
)C;B;A(MCD
)C;B;A(MCM
S ====
a) x2
y4
z6
b) x2
y4
z3
c) x2
y2
z5
d) xyz4
e) xyz
05.- Señale el MCD de los polinomios:
A(x) = x4
– 1
B(x) = x2
– 3x + 2
a) x – 2 b) x – 1 c) x + 1
d) x2
– 1 e) x2
+ 1

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06.- Hallar el MCM de:
P(x; y) = x2
– y2
F(x; y) = x2
– 2xy + y2
S(x; y) = x2
+ 2xy + y2
a) x – y b) (x + y)3
c) (x2
– y2
)2
d) (x2
– y2
)3
e) (x - y)3
07.- Indique el MCD de:
P(x; y) = x3
+ x2
y + xy2
+ y3
Q(x; y) = x3
– x2
y + xy2
– y3
R(x; y) = x4
– y4
a) x2
+ y2
b) x2
– y2
c) x2
+ 1
d) y2
+ 1 e) x + y
08.- Indique el MCD de:
P(x) = 3x3
+ x2
– 8x + 4
Q(x) = 3x3
+ 7x2
- 4
a) 3x2
+ 4x – 4 b) 3x2
– 4x + 4 c) 3x2
+ x - 4
d) x2
– 4x + 4 e) x + 2
09.- Hallar el MCD de los polinomios:
P(x; y) = x3
– xy2
+ x2
y – y3
F(x; y) = x3
– xy2
– x2
y + y3
C(x; y) = x4
– 2x2
y2
+ y4
a) x + y b) x – y c) x2
– y2
d) (x + y)(x – 3y) e) x2
– y4
10.- Si el MCD de:
P(x) = x3
– 6x2
+ 11x – m
Q(x ) = x3
+ 2x2
– x - n
es (x - 1). Hallar: “m + n”
a) -8 b) 8 c) 4
d) 6 e) 2
11.- Se tienen dos polinomios cuyo MCD es:
x2
+ 2x - 3
si uno de los polinomios es:
P(x) = 2x4
+ 3x3
– 2x2
+ Ax + B
entonces “A + B” es:
a) 33 b) -3 c) 12
d) -6 e) 1
12.- El cociente de los polinomios es “2x” y el
producto de su MCM por su MCD es: 2x3
(x + y)2
entonces uno de los polinomios es:
a) x2
+ xy b) xy + y2
c) (x + y)2
d) x + y e) 2x + 2y
13.- El cociente de dos polinomios es (x - 1)2 y el
producto de su MCM por su MCD es:
x6
– 2x4
+ x2
Halle la suma de factores primos del MCM.
a) 2x b) 4x – 1 c) 3x
d) 2x + x2
e) 3x + 1
14.- El producto de dos polinomios es (x2
- 1)2
y el
cociente de su MCM y MCD es (x - 1)2
.
Calcular el MCD.
a) x + 1 b) x2
+ 1 c) (x + 1)2
d) (x - 1)2
e) x - 1
15.- Si el MCM de los polinomios:
x2
+ x – 2
x4
+ 5x2
+ 4
x2
– x - 2
es equivalente a: x8
+ Ax6
+ Bx4
+ Cx2
+ D
Determinar: “A + B + C + D”
a) 0 b) 1 c) -1
d) 2 e) -2
EJERCICIOS ADICIONALES
01. El producto de dos polinomios es: (x6
+ 1)2
– 4x6
y el cociente del MCM entre el MCD de ambos es:
(x2
+ 1)2
– 4x2
Luego el MCD es:
a) (x + 1)(x3
- 1)
b) (x - 1)(x3
+ 1)
c) (x2
+ x + 1)(x + 1)
d) (x2
– x + 1)(x2
+ x + 1)
e) (x2
+ x + 1)(x2
- 1)
02. Si el MCM de “A” y “B” es θx
a
y4
y el MCD de
los mismos es βx5
yb
. Calcular:
nm
ma
E
b
b
++++−−−−θθθθ
++++ββββ−−−−
====
Siendo: A = 12xn-1
. ym+1
B = 16xn+1
. ym-1
a)
35
43
b)
17
44
c)
36
43
d)
43
35
e) 16
15