TEMA II

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
BARQUISIMETO-LARA
Expresiones Algebraicas,
Factorización y Radicación
Alumna: Gabriela Yacobucci
30.759.826
Sección 0104-0113

2. Expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica contiene letras, números y signos.
La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas
propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya
que las letras se comportan como si fuesen números. Las
expresiones algebraicas que se tratarán en este curso tendrán,
por lo general, una o dos letras. Un ejemplo de expresión
algebraica con una única letra es:
3x2 + 4x − 2 − x2 + 7x
Ante cualquier expresión, lo primero que debe hacerse es
simplificarla, utilizando las propiedades de las expresiones, que
son equivalentes a las propiedades de los números. En el caso
del ejemplo, deben agruparse los términos con las mismas
letras. Por un lado, debemos sumar 3x2 y − x2 y, por el otro, se
tienen que sumar 4x y 7x:
3x2 − x2 = 2x2
4x + 7x = 11x
Así pues, la expresión de segundo grado 3x2 + 4x – 2 − x2 + 7x
es igual a 2x2 + 11x − 2
El valor numérico de una expresión algebraica se halla
sustituyendo la letra por un número de terminado. Por ejemplo,
el valor numérico de 2x2 + 11x − 2 Cuando x = 3 es igual a 2 ⋅
32 + 11 ⋅ 3 − 2 = 18 + 33 − 2 = 49.
El grado de una expresión algebraica con una única letra es el
exponente máximo de esta letra en la expresión. Por ejemplo, el
grado de 2x2 +11x – 2 es 2.

3. Suma
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más
términos, se deben reunir todos los términos semejantes que
existan, en uno solo. Se puede aplicar la sociedad distributiva
de la multiplicación con respecto de la suma.
: cuando los factores son iguales, por
Suma de monomio
ejemplo, 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal
es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin
exponente). En este caso sumaremos solo los términos
numéricos, ya que en ambos casos, es lo mismo que multiplicar
por x: 1ejercicio. 2x + 4x = 6x
: un polinomio es una expresión algebraica
Suma de polinomios
que está formada por sumas y restas de los diferentes términos
que conforma el polinomio.
Para sumar dos polinomios, podemos también:
o 3a2 + 4a + 6b – 5c – 8b2 con c + 6b2 – 3a + 5b
4a + 3a2 + 6b – 8b2 – 3a + 5b + 6b2 + c
[4a – 3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [-8b2 + 6b2] + c
[4a – 3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [-8b2 + 6b2] + c
= a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
o P(x) = x2 + x4 – 4x3 + 6x2 + x – 7
q(x) = x6 + 2x4 + x2 + 5
P(x) + q(x) = x6 + x5 + 3x4 – 4x3 + 7x2 + x – 2
Resta
-Se define claramente como la operación de comparación entre
lo que son dos polinomios, se determina qué le falta a uno para
llegar a ser exactamente igual que el otro.

4. -El minuendo es el polinomio que va a disminuir y el
sustraendo es el que viene a determinar cuánto es lo que va a
“menguar” el minuendo.
-El orden del minuendo y del sustraendo afecta al resultado que
se obtendrá en la resta, de ahí que haya que prestar mucha
atención al mismo a la hora de acometer la citada operación
algebraica.
-En este tipo de resta algebraica no existe la posibilidad de que
tome protagonismo la llamada propiedad asociativa, ya que la
resta únicamente se puede acometer entre dos polinomios.
Ej.
2 + x = 8
x = 8 – 2
x = 6
Valor Numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que
resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por
valores concretos y completar las operaciones. Una misma
expresión algebraica puede tener muchos valores numéricos
diferentes, en función del número que se asigne a cada una de
las variables de la misma.
La única precaución necesaria es respetar el orden y las
propiedades de las operaciones. Por ejemplo, no tiene sentido
calcular el valor numérico de 1/x para x=0, porque no se puede
dividir entre cero. En la siguiente animación puedes ver cómo se
haría la sustitución para calcular el valor numérico de (3x+2y)/z

5. para x=2, y=-1 y z=4. Faltaría completar las operaciones (el
resultado final es 1), pero lo más importante es que te fijes en
los elementos que se añaden al hacer la sustitución: El punto
del producto entre el 3 y el 2 (valor de x) y los paréntesis de -1
(valor de y), que son necesarios para indicar la multiplicación
con el 2.
Multiplicación
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra
expresión algebraica, en otras palabras, es una operación
matemática que consiste en obtener un resultado llamado
producto a partir de dos factores algebraicos llamada
multiplicando y multiplicador.
:
Multiplicación de monomio
o Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio
o Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables
según las leyes de los exponentes que estudiamos
anteriormente.
o Aplicamos la ley distributiva
o Por ultimo aplicamos finalmente las leyes de los signos.
Ej.
Multiplicar 3x2 y 4x4.
Solución:
(3x2) (4x4) = (3 ⋅ 4) (x2 ⋅ x4)
= (12) (x2 + 5)
= 12x7
Multiplicar − 2y3 y 3y4.
Solución:
(− 2y3) (3y4) = (− 2 ⋅ 3) (y3 ⋅ y4)
= (− 6) (y3 + 4)
= − 6y7

6. Multiplicar 5xy2 y 3x2y
Solución:
(5xy2) (3x2y) = (5 ⋅3) (xy2 ⋅x2y)
= (15) (x1 + 2y2 + 1)
= 15x3y3
Multiplicar – 3a2 y a2
Solución:
(− 3a2) (a2) = (− 3 ⋅ 1) (a2 ⋅ a2)
= (− 3) (a2 + 2)
= − 3a4
: Para saber cómo resolver la
Multiplicación de polinomios
multiplicación entre polinomios, tan solo debemos tener en
cuenta la propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de
la potenciación.
La forma más básica o reducida de la multiplicación entre dos
polinomio es de la forma: (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd esto
es, la multiplicación entre dos binomios, su prueba es muy
sencilla, es tan solo aplicando la propiedad distributiva.
Veamos, la propiedad nos dice que x (y + z) = xy + xz si
suponemos que x = a + b y = c y z =d.
Ej.
(x + 2) (x + 3) = x ⋅ x + x ⋅ 3 + 2 ⋅ x + 2 ⋅ 3
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
División
División de dos monomios. En esta operación se vuelve aplicar
la regla de los signos, en cuanto a los demás elementos se
aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes, si esto
es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto

7. en el numerador como en el denominador, si el exponente del
numerador es el mayor se pone la literal en el numerador y al
exponente se le resta el exponente de la literal del denominador,
en caso contrario se pone la literal en el denominador y a su
exponente se le resta el del numerador.
Ej.
Dividir 9x3y2 entre 3x2w
9x3y2 / 3x2w
9x3y2 / 3x2w = 3xy2
/ w
División de un Polinomio entre un monomio:
En esta operación se distribuye el polinomio sobre el monomio,
como si fueran una fracción. Por ejemplo:
32x2+20x-12x3 entre 4x
Se coloca el monomio como denominador de el polinomio.
32x2+20x-12x3 / 4x
Se separa el polinomio en diferentes términos separados por el
signo y cada uno dividido por el monomio.
(32x2 / 4x) + (20x / 4x) - (12x3 / 4x)
Se realizan las divisiones correspondientes entre monomios.
8x+5-3x2
Es muy parecida a la división algebraica, y se deben de seguir
los siguientes pasos:
 Se deben de ordenar los polinomios ya sea descendente o
ascendente por medio de una misma letra, en caso de que
el polinomio no este completo se dejan los espacios
correspondientes.

8.  El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el
primer termino del dividendo entre el primer miembro del
divisor.
 Se multiplica el primer término del cociente por todos los
términos del divisor, se coloca este producto debajo de él
dividendo y se resta del dividendo.
 El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el
primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del
paso anterior), entre el primer termino del divisor.
 Se multiplica el segundo término del cociente por todos los
términos del divisor, se coloca este producto debajo de él
dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
 Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o
un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser
dividido por el primer termino del divisor.
Productos Notables
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas
que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber
factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo
paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales)
precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

9. El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad
multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda
cantidad.
Entonces, nos encontramos con una expresión de la forma a2 +
2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a + b)2.
Ej.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al
cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera
cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad.
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos
encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2
debemos identificarla de inmediato y saber que podemos
factorizarla como (a – b)2.
Factorización
Factorizamos cuando reescribimos una expresión numérica o
algebraica como una multiplicación.

10. Si la expresión es numérica, los factores suelen ser números
primos, por ejemplo, la factorización de 385 es
385 = 7*5*11.
Si la expresión es algebraica, la factorización son otras
expresiones algebraicas más pequeñas, por ejemplo
x2 - x - 2 = (x + 1) (x - 2)
Factor común:
Usualmente en polinomios de 2 o más términos que comparten
al menos una variable o un factor en los coeficientes.
Primero se determina cuál es el factor común entre los
términos, luego se calculan los factores correspondientes y
finalmente se reescribe la expresión.
Paso 1. Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los
factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16
son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.
Paso 2. Conseguimos los factores comunes de las variables. Las
variables comunes son x y. La mayor potencia común de x es x6
y la mayor potencia común de y es y3.
Paso 3. Escribimos el factor común del polinomio como el
producto de los pasos 1 y 2 anteriores.
Paso 4. Reescribimos cada término del polinomio en función del
factor común. Para esto dividimos cada término entre el factor
común para obtener un segundo factor.

11. Paso 5. Sustituimos cada término por el factor común y el
segundo factor respectivo.
Nota: 8x6 y3 (3x2) - 8x6 y3 (2y4z3) no es la forma factorizada
porque aún no están separados los factores.
Paso 6. Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor
común.
Paso 7. Revisamos los pasos realizados y reescribimos la
expresión factorizada.
24x8 y3 – 16x6 y7 z3
8x6 y3
24x8 y3 = 3x2
8x6 y3
16x6 y7 z3 = 2y4 z3
8x6 y3
24x8 y3 = 8x6 y3 . (3x2)
16x6 y7 z3 = 8x6 y3 . (2y4 z3)
8x6 y3 . (3x2) - 8x6 y3 . (2y4 z3)
8x6 y3 (3x2 . 2y4 z3)
24x8 y3 – 16x6 y7 z3 = 8x6 y3 (3x2 . 2y4 z3)
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:

12. Cuando tenemos un trinomio cuadrado de la forma ax2 ± bx + c
y se cumple que ax2 y c tienen raíces cuadradas exactas, tales
que al multiplicar una por la otra y duplicar el resultado, se
obtiene el término medio.
Primero se ordenan los términos para que queden en orden
descendiente de grado, luego se calculan las raíces cuadradas
del primer y tercer término, se verifica que dos por el producto
éstas sea el segundo término. Para terminar se reescribe la
expresión factorizada como ax2 ± bx + c = (√ (ax2) ± √ c )2 El
signo del segundo término de la expresión del lado derecho debe
ser igual al signo del término medio del lado izquierdo.
Paso 1. Ordenamos la expresión para que el grado de los
términos vaya de mayor a menor.
Paso 2. Calculamos las raíces del primer y tercer término.
Paso 3. Verificamos que el doble producto de las raíces
anteriores sea igual al segundo término de la expresión.
Paso 4. Escribimos la expresión factorizada. El signo del
segundo término de la expresión ordenada, es decir b,
determina el signo de del binomio que factoriza (están marcados
en rojo).
Expresión original: 9 + 4a2 – 12a
Expresión ordenada: 4a2 – 12a + 9
4a2 = 2a
9 = 3
2 (2a * 3) = 2 (2 * 3a) = 12a
4a2 – 12a + 9 = (2a – 3)ª
Factorización de binomios:

13. Cuando tenemos una expresión de la forma:
(x2 - y2) Que se conoce como diferencia de dos cuadrados
(x3 – y3) Llamada diferencia de dos cubos
(x3 + y3) Conocida como suma de dos cubos
Dependiendo del caso se sigue la fórmula correspondiente, para
lo que se deben calcular las raíces cuadradas o cúbicas de los
términos involucrados.
La factorización de la diferencia de dos cuadrados (x2-y2) es:
x2 – y2 = (x + y) (x - y)
Ej.
9x2 – 25y2 = (3x + 5y) (3x – 5y)
La factorización de la diferencia de dos cubos (x3-y3) es:
x3 – y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
Ej.
64a3 – 125 = (4a – 5) (16a2 + 20a + 25)
La factorización de la suma de dos cubos (x3+y3) es:
x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)
Ej.
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)
Factorización en números primos:
Cuando la expresión es numérica, es decir, no tiene variables.
Utiliza una tabla de números primos para identificar cuáles
primos dividen a la expresión original. Un número primo es
aquel que es divisible únicamente entre 1 y él mismo. Por
ejemplo, el 2 es primo porque solamente se puede dividir entre 1
y 2.

14. 1540 2
770 2
385 5
77 7
11 11
1
La factorización será el producto de los números que anotaste a
la derecha de la línea. En este caso, la factorización de 1540 es:
1540 = 22 * 5 * 7 * 12
Recomendaciones…
Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que
se repita en los diferentes términos.
Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos
percatamos de las posibilidades de factorización.
Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos
en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas
en factores.
Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.
Reseña bibliográfica
 http://cimanet.uoc.edu/cursMates0/IniciacionMatematicas/s2/1_2_1.ht
ml
 https://es.slideshare.net/oswardQuintero/suma-resta-y-valor-numrico-
de-expresiones-algebraicas

15.  https://definicion.de/resta-
algebraica/#:~:text=Se%20dice%20que%20la%20resta,que%20disminuye%
20en%20la%20operaci%C3%B3n).
 https://www.edu.xunta.gal/centros/espazoAbalar/aulavirtual/pluginfile.p
hp/2556/mod_imscp/content/1/valor_numrico_de_una_expresin_algebrai
ca.html
 https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-
algebraicas/multiplicacion-
algebraica/#:~:text=La%20multiplicaci%C3%B3n%20de%20dos%20expresi
ones,algebraicos%20llamada%20multiplicando%20y%20multiplicador.
 http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro1/154_divisin_
de_expresiones_algebraicas.html
 https://sites.google.com/site/expresionesalgebraicasalex/contenido/prod
uctos-notables-1
 https://www.todamateria.com/factorizacion/