Este documento presenta los siguientes conceptos clave: 1) Define los productos notables como expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que pueden factorizarse a simple vista. 2) Explica cómo factorizar binomios al cuadrado, binomios al cubo, diferencias de cuadrados, sumas y diferencias de cubos, y más. 3) Introduce conceptos como trinomios al cuadrado, diferencias de cuadrados perfectos, y factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c.

1. Bloque 2:
Productos Notables
Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos
que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque
son muy utilizados en los ejercicios.
A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la
igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
Formulas:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo
a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados
a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos
a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos
a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + Trinomio al cuadrado
2bc
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un b in om io al cuadr ado (su ma ) e s
igu a l e s igu a l al cu a dr a do de l p r imer
t é r min o , m ás e l do bl e p ro du ct o de l pr ime ro
p o r el se gu n do m ás e l cu a dr a do se gu n do .
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3 ) 2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x2 + 6 x + 9

2. Binomio de resta al cuadrado
Un b in om io al cuadr ado (r e st a ) e s
igu a l e s igu a l al cu a dr a do de l p r imer
t é r min o , m en os e l do bl e pr o du cto de l
p r ime r o p or el segu n do , m ás e l cua dr a do
se gu n do .
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2 x − 3 ) 2 = (2 x) 2 − 2 · 2 x · 3 + 3 2 = 4x2 −
12 x + 9
Suma por diferencia
Un a sum a por difer en cia e s igu al a
dife r en cia de cuadr ados .
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2 x + 5 ) · (2 x - 5 ) = (2 x) 2 − 5 2 = 4 x 2 − 2 5
Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un b in om io al cubo (su ma ) e s igu a l a l
cu bo de l p r ime r o , m ás e l t r ip l e de l cu a dr a do
de l p r ime ro p or e l se gu n do , m ás el t r ip l e del
p r ime r o po r e l cu adr a do de l se gu n do , m ás e l
cu bo de l se gu n do .
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3 ) 3 = x 3 + 3 · x 2 · 3 + 3 · x· 3 2 + 3 3 =
= x 3 + 9 x 2 + 2 7 x + 27
Binomio de resta al cubo
Un b in om io al cubo (r e st a ) e s igu al a l
cu bo de l p r ime r o, m en os el tr ip le de l
cu a dr a do de l p r imer o p o r e l se gun do , m ás e l
t r ip le de l p r ime ro p o r e l cua dr ado de l
se gu n do , m en os e l cu bo de l se gu n do .

3. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2 x - 3 ) 3 = (2 x) 3 - 3 · (2 x) 2 ·3 + 3 · 2 x· 3 2
- 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un tr in om io al cuadr ado e s igua l a l
cu a dr a do de l p r ime r o , má s el cu a drado de l
se gu n o , má s el cu adr a do de l te r ce r o , má s e l
do bl e de l p r ime r o p o r e l se gu n do , má s e l
do bl e de l p r imer o po r el t e r ce ro , má s el do bl e
de l se gu n do po r e l te r ce r o .
( a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 · a · b + 2
· a · c + 2 · b · c
(x 2 − x + 1 ) 2 =
= (x 2 ) 2 + (− x) 2 + 1 2 + 2 · x 2 · (− x) + 2 x 2 ·
1 + 2 · (− x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a 3 + b 3 = ( a + b ) · ( a 2 − ab + b 2 )
8 x 3 + 2 7 = (2 x + 3 ) (4 x 2 - 6 x + 9 )
Diferencia de cubos
a 3 − b 3 = ( a − b ) · ( a 2 + ab + b 2 )
8 x 3 − 2 7 = (2 x − 3 ) (4 x 2 + 6 x + 9 )
Producto de dos binomios que tienen un término
común

4. ( x + a) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab
(x + 2 ) (x + 3 ) =
= x 2 + (2 + 3 )x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
P RACTI CA 1 .
Desarrollar:
a) (a-5)(a+5)
b) (x-6)2
c) (a-4)3
d) 4-a2
e) X2-16
f) X3-a3
g) X3-27
h) (x+3)(X+4)
i) (2x+1)3
Factorizacion
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO: Como veremos no todo polinomio se
puede se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, pues en el mismo
modo que en aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y
por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que
, por lo tanto, o son el producto de otras expresiones algebraicas, el teorema
fundamental del álgebra puede dar la respuesta de cuando se puede obtener una
descomposición.
Factor común
El caso mas simple es cuando todos los términos de un monomio o en general un
polinomio tienen un factor común.
a).- Factor común monomio.
Se pretende descomponer en factores la expresión algebraica: . Como los
factores de la expresión son y , los cuales tienen en común a escribiremos
al factor común como coeficiente de la expresión teniendo

5. b).- Factor común polinomio.
Se pretende descomponer la expresión .
Los términos y tienen en común el factor por lo que
Como podemos observar en ambos casos, factor común monomio y factor común
polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por
el factor común.
Ejemplos:
Expresión algebraica Factor común descomposición
2+2x 2 2 + 2x =2(1+x)
x(a + b) + m(a + b) (a + b) x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)
3x2 + 3 3 3x2 + 3 = 3(x2+1)
2x+1 Ninguno
3x2 + 1 Ninguno
En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede
realizar.
polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por
el factor común.
Ejemplos:

6. En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede
realizar.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Se dice que una expresión es un cuadrado perfecto cuando la expresión se puede
descomponer como producto de un mismo factor.
Por ejemplo:
1.- Se puede expresar como 9x2 como 9x2= (3x)(3x)
2.- x4 se puede descomponer como x4=(x2 )(x2)
Un trinomio es cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio, o el producto de
dos binomios iguales.
Por ejemplo: x2 + 2xy + y2 se puede expresar como:
Nota cuando se utiliza el signo mas la expresión es:
(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2
con signo menos:
(x - y )2 = (x - y) (x - y ) = x2 - 2xy + y2

7. o en una sola expresión:
(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2
También se lee como: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer
término mas o menos, según el caso, el doble producto del primero por el segundo mas el
cuadrado del segundo.”
Ejemplos de Trinomios cuadrados perfectos
x2/4 + xy + y2= (x/2 + y )2= (x/2 + y) (x/2 + y )
4x2 + 12xy + 9y2= ( 2x + 3y)2= (2x + 3y) (2x + 3y )
x2/4 - 2xy +4y2= ( x/2 - 2y )2= ( x/2 - 2y ) ( x/2 -2y )
25a2 + 30ab + 9b2= ( 5a + 3b)2= ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.
En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicados por su
diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea
Se conoce como diferencia de cuadrados a la expresión formada por el producto de una
suma de dos términos y la diferencia de los mismos términos.
(x + y ) (x – y) = x2 – y2
Regla para factorizar una diferencia de cuadrados.
Dada la diferencia de cuadrados, x2 – y2, se saca la raíz a los dos términos,
considerando la raíz positiva y se multiplica la suma de las dos raíces por la diferencia de
las dos raíces.
4x2-64=(2x+8)(2x-8)

8. Ejemplos
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx +c.
La descomposición de factores de la forma x2 + bx +c depende de los valores de b y c,
positivos o negativos (ecuación de segundo grado).
Ejemplos:
Ejemplos de expresiones algebraicas de segundo grado de laformax2+ bx+c
x2-2x +1= (x -1)(x -1) = (x -1)2
x2-2x +5 no se puede descomponer en el campo de los reales.
x2-2x-5=(x - 5/2)(x +1/2) (ver solución de ecuaciones cuadráticas).
PRA CTI CA 2
Fa c t o r iz a r y c a lc ula r la s r a íc es de lo s po lino m io s
a. x 3 + x 2
b . 2x 4 + 4 x 2
c. x 2 − 4
d. x 4 − 16
e . 9 + 6x + x 2
f. x 2 - 64
g. 25x 2 − 1

9. h. x 2 − 2x + 1
i. 6x 2 − 6 x + 9
j . x 2 − 20 x + 1 00
k . 8x 2 + 1 0x + 25
l . 9x 2 + 1 4x + 49