Este documento presenta una introducción a la teoría de los continuos en topología. Define un continuo como un espacio métrico compacto, conexo y no vacío. Presenta varios ejemplos de continuos básicos como el intervalo [0,1], los arcos, la circunferencia unitaria S1, el disco unitario D1 y el toro S1×S1. También introduce conceptos como subcontinuos, continuos degenerados, continuos homogéneos y localmente conexos, e incluye ejemplos de continuos que no son localmente conex
Los densitómetros y colorímetros son instrumentos de medición utilizados para controlar la calidad en la reproducción. Existen dos tipos de densitómetros: de reflexión, que mide la luz reflejada en impresos opacos, y de transmisión, que mide la luz transmitida a través de materiales transparentes como películas. Los espectrofotómetros y colorímetros miden la luz reflejada o transmitida para representarla a través de curvas o valores de color, respectivamente.
Este documento define luz y color, explicando que el color es una percepción subjetiva y no una característica objetiva. Describe la luz como ondas electromagnéticas visibles para el ojo humano entre 400-700 nm. Explica cómo el cerebro percibe el color a través de los conos y bastones de la retina, y cómo la mezcla de colores primarios produce secundarios y blanco. Finalmente, cubre conceptos como colores complementarios, terciarios y cálidos/fríos, y proporciona ejercicios prácticos de me
El documento describe la composición de las tintas líquidas y grasas, incluyendo pigmentos, resinas, disolventes y aditivos. Explica los tipos de pigmentos, resinas y disolventes utilizados, así como los factores que afectan al secado de las tintas. Finalmente, analiza propiedades como el brillo, transparencia, viscosidad, color y mezclas de color en las tintas.
Este documento describe diferentes aspectos del color, incluyendo la mezcla aditiva y sustractiva, las cualidades del color como valor, tono y saturación, y conceptos como gamas cromáticas, monocromía, policromía, colores afines, complementarios, armonía y contraste. También explica la relatividad de los colores y provee enlaces de interés adicionales sobre el tema.
La composición es la distribución intencional de elementos visuales como líneas, colores y formas. Existen diferentes estructuras y principios compositivos como el equilibrio, ritmo y peso visual que guían esta distribución. El peso visual se refiere a la capacidad de un elemento de atraer la atención y depende de factores como el tamaño, posición, color e isolamiento del elemento.
El documento describe los principios básicos del dibujo técnico y su importancia en el diseño y fabricación asistida por ordenador. Explica que el dibujo técnico es un lenguaje gráfico preciso que permite transmitir la información necesaria para la construcción de elementos. Además, detalla los diferentes tipos de vistas, cortes y secciones que se utilizan en los planos, así como la inclusión de cotas, tolerancias y otras anotaciones para proporcionar las especificaciones completas para la fabricación de una pieza.
El documento contiene información sobre diferentes técnicas de impresión como serigrafía, flexografía, offset y digital. También habla sobre el desarrollo histórico de la impresión desde las primeras formas de comunicación oral hasta la impresión digital moderna, mencionando hitos como la imprenta de Gutenberg, la litografía y la fotografía. Explica conceptos como los sistemas de color CMYK y RGB y el proceso de preprensa y prensa para la impresión de documentos.
Los densitómetros y colorímetros son instrumentos de medición utilizados para controlar la calidad en la reproducción. Existen dos tipos de densitómetros: de reflexión, que mide la luz reflejada en impresos opacos, y de transmisión, que mide la luz transmitida a través de materiales transparentes como películas. Los espectrofotómetros y colorímetros miden la luz reflejada o transmitida para representarla a través de curvas o valores de color, respectivamente.
Este documento define luz y color, explicando que el color es una percepción subjetiva y no una característica objetiva. Describe la luz como ondas electromagnéticas visibles para el ojo humano entre 400-700 nm. Explica cómo el cerebro percibe el color a través de los conos y bastones de la retina, y cómo la mezcla de colores primarios produce secundarios y blanco. Finalmente, cubre conceptos como colores complementarios, terciarios y cálidos/fríos, y proporciona ejercicios prácticos de me
El documento describe la composición de las tintas líquidas y grasas, incluyendo pigmentos, resinas, disolventes y aditivos. Explica los tipos de pigmentos, resinas y disolventes utilizados, así como los factores que afectan al secado de las tintas. Finalmente, analiza propiedades como el brillo, transparencia, viscosidad, color y mezclas de color en las tintas.
Este documento describe diferentes aspectos del color, incluyendo la mezcla aditiva y sustractiva, las cualidades del color como valor, tono y saturación, y conceptos como gamas cromáticas, monocromía, policromía, colores afines, complementarios, armonía y contraste. También explica la relatividad de los colores y provee enlaces de interés adicionales sobre el tema.
La composición es la distribución intencional de elementos visuales como líneas, colores y formas. Existen diferentes estructuras y principios compositivos como el equilibrio, ritmo y peso visual que guían esta distribución. El peso visual se refiere a la capacidad de un elemento de atraer la atención y depende de factores como el tamaño, posición, color e isolamiento del elemento.
El documento describe los principios básicos del dibujo técnico y su importancia en el diseño y fabricación asistida por ordenador. Explica que el dibujo técnico es un lenguaje gráfico preciso que permite transmitir la información necesaria para la construcción de elementos. Además, detalla los diferentes tipos de vistas, cortes y secciones que se utilizan en los planos, así como la inclusión de cotas, tolerancias y otras anotaciones para proporcionar las especificaciones completas para la fabricación de una pieza.
El documento contiene información sobre diferentes técnicas de impresión como serigrafía, flexografía, offset y digital. También habla sobre el desarrollo histórico de la impresión desde las primeras formas de comunicación oral hasta la impresión digital moderna, mencionando hitos como la imprenta de Gutenberg, la litografía y la fotografía. Explica conceptos como los sistemas de color CMYK y RGB y el proceso de preprensa y prensa para la impresión de documentos.
El documento describe los conceptos de armonía cromática y contraste de colores. La armonía cromática implica combinar y coordinar valores de color para lograr equilibrio, mientras que el contraste ocurre cuando los colores no comparten características. Se explican diferentes tipos de armonía como la de complementarios, análogos y tríadas, así como varios tipos de contraste.
Vdocuments.mx josef albers-la-interaccion-del-colorpdfAntonia Celli
Este documento resume los estudios del pintor Josef Albers sobre la percepción del color. Explica que la percepción del color depende de factores como la luminosidad, tonalidad, contexto y contraste. Describe experimentos donde se muestran colores iguales que se perciben de manera diferente debido a estos factores. También analiza cómo se producen las mezclas de colores y las ilusiones ópticas relacionadas con la percepción del color.
El documento describe varios problemas relacionados con la impresión y la tinta, incluyendo tinta pálida, tinta que se sale de la superficie impresa, y falta de adherencia del pigmento de la tinta. Para cada problema, se enumeran las posibles causas y soluciones como consultar con los fabricantes de tinta y papel, ajustar parámetros como la concentración de la tinta y la solución de fuente, y mejorar los procedimientos y equipos de impresión.
El documento introduce AutoCAD, un software de diseño asistido por computadora utilizado para dibujo 2D y modelado 3D. Explica que AutoCAD es desarrollado por Autodesk y describe brevemente sus versiones, cómo funciona, los tipos de archivos que utiliza y sus ventajas al poder exportar e importar archivos de diferentes tipos y ser utilizado en diversas industrias. También resume los componentes clave de la interfaz de AutoCAD como la cinta de opciones, explorador de menús, área de dibujo y línea de comandos.
Principios Basicos Del Diseño Según Wucius Wong PeKiiThaz97
Este documento presenta los elementos generales del diseño según Wucius Wong, un artista chino que se interesó por la pintura occidental y el diseño. Wong identifica cuatro grupos de elementos: conceptuales (punto, línea, plano, volumen), visuales (forma, medida, color, textura), de relación (dirección, posición, espacio, gravedad) y prácticos (representación, significado, función). Estos elementos gobiernan la ubicación y la interrelación de las formas en un diseño.
Este documento presenta un curso de AutoCAD 2D. El objetivo del curso es enseñar a los estudiantes a crear dibujos en 2D usando AutoCAD y desarrollar habilidades básicas. AutoCAD es un software CAD popular desarrollado por Autodesk que se usa comúnmente para dibujar planos arquitectónicos e ingeniería. El curso explica la historia, ventajas y comparación de AutoCAD con otros programas de dibujo asistido por computadora como CorelDraw e Illustrator.
IES Luis de Morales. Plástica 1º ESO. Tema 4: Las Formas. Por Cochepocho.cochepocho
IES Luis de Morales. Plástica 1º ESO. Tema 4: Las Formas. Power Point para Windows. Funciona mal en Linex o Linux aunque se ve. Realizado por Cochepocho.
Este documento describe diferentes métodos de diseño gráfico, incluyendo métodos creativos como la lluvia de ideas y la sinectica, que ayudan a estimular el pensamiento creativo. También describe métodos con un marco de referencia lógico como las listas de verificación, que formalizan el proceso de diseño y facilitan el trabajo en equipo. El documento analiza cómo estos métodos pueden complementarse para mejorar el proceso de diseño.
Este documento describe la homotecia, una transformación geométrica que multiplica las distancias de un objeto por un factor desde un punto fijo. Explica que una homotecia tiene un centro y una razón, y que puede ser directa o inversa. También analiza las obras del artista M. C. Escher, que usó homotecias para crear construcciones imposibles y exploraciones del infinito.
Este documento proporciona una lista de comandos y abreviaturas utilizados en el software de diseño y modelado CAD. Incluye comandos para dibujo, edición, modificación, sombras, capas, cotas, bloques, 3D, renderizado y otras herramientas. La lista parece ser exhaustiva y cubre una amplia gama de funciones del software CAD.
Este documento trata sobre la técnica de impresión flexográfica. Explica que la flexografía utiliza planchas de fotopolímero que pueden adaptarse a diferentes soportes e imprimir con tintas de secado rápido. También describe los principales requisitos del diseño flexográfico, las ventajas de la impresión flexográfica digital y algunas aplicaciones comunes de esta técnica.
Este documento explica los diferentes tipos de cortes y secciones que se pueden realizar en dibujos técnicos para mostrar detalles internos de piezas. Describe cortes totales, parciales, por planos paralelos u oblicuos, y secciones abatidas con o sin desplazamiento. El objetivo es hacer visibles las partes internas de una pieza retirando el material que impide verlas.
Este documento describe y compara dos modelos de color fundamentales: RGB y CMYK. RGB usa luz y es el modelo usado en pantallas, mientras que CMYK usa tinta y es el modelo de impresión. RGB combina luces roja, verde y azul de forma aditiva, mientras que CMYK sustrae color usando tintas cian, magenta, amarilla y negra de forma sustractiva. El documento explica los colores primarios, cómo se mezclan para crear otros colores y en qué dispositivos se usa cada modelo.
El documento proporciona información sobre diferentes tipos de impresoras, incluyendo sus características y usos. Describe impresoras monocromo y a color, de matriz de puntos, chorro de tinta, láser, plotters, margarita, térmicas, para fotos, de gran formato, para grupos e impresoras de cera.
Los planos seriados son un conjunto de planos bidimensionales que colocados en orden y distribución adecuada, representan u simulan un objeto tridimensional sólido. Cada plano muestra la silueta de un corte transversal del objeto. Dependiendo del número y orientación de los cortes, se definirá el objeto sólido inicial. Los planos seriados permiten construir maquetas y prototipos de objetos tridimensionales de forma rápida y económica.
El documento habla sobre defectos comunes de pintura en vehículos, sus causas y cómo prevenirlos y solucionarlos. Explica defectos como baja opacidad, suciedad, piel de naranja, marcas de agua, ampollas y más. También cubre causas ambientales como excrementos de aves, lluvia ácida y cómo identificar y resolver los problemas para lograr pinturas de alta calidad.
Este documento trata sobre diferentes tipos de perspectivas utilizadas en dibujo técnico. Explica la perspectiva dimetrica, oblicua, isométrica y caballera. Detalla cómo trazar objetos prismáticos y con detalles paralelos en perspectiva isométrica, incluyendo sólidos con superficies inclinadas u oblicuas. También cubre la representación de círculos isométricos.
Este documento describe las tangencias y sus propiedades fundamentales. Una tangencia ocurre cuando dos líneas o superficies se tocan en un punto sin cortarse. Las propiedades incluyen que cuando dos rectas son tangentes a la misma circunferencia, el centro de esa circunferencia está equidistante de las dos rectas. El documento también discute los enlaces y aplicaciones de las tangencias en el diseño industrial, gráfico, ingeniería civil y arquitectura, y joyería.
Este documento describe los principios básicos del claroscuro y cómo se crea volumen a través del juego de luces y sombras. Explica que los objetos se distinguen del fondo cuando son iluminados debido a su relieve, y que todas las superficies tienen zonas de sombra y luz proyectada. Además, describe diferentes técnicas como el sombreado, la grisalla y el uso de manchas para crear claroscuro en dibujos.
El documento define conceptos topológicos como espacio conexo y continuo lineal. Explica que un espacio es conexo si no puede escribirse como la unión de dos abiertos disjuntos no vacíos. Luego demuestra que cualquier intervalo es conexo en R con la topología usual y que en un continuo lineal cualquier intervalo es conexo. Finalmente, da ejemplos de espacios conexos y no conexos.
Este documento introduce la teoría de la homotopía. Primero, define varios espacios topológicos como esferas, espacios euclidianos y superficies. Luego, explica las nociones de deformación continua y homotopía entre funciones y espacios. Finalmente, presenta algunos problemas típicos en teoría de la homotopía como clasificación, extensión y levantamiento de funciones.
El documento describe los conceptos de armonía cromática y contraste de colores. La armonía cromática implica combinar y coordinar valores de color para lograr equilibrio, mientras que el contraste ocurre cuando los colores no comparten características. Se explican diferentes tipos de armonía como la de complementarios, análogos y tríadas, así como varios tipos de contraste.
Vdocuments.mx josef albers-la-interaccion-del-colorpdfAntonia Celli
Este documento resume los estudios del pintor Josef Albers sobre la percepción del color. Explica que la percepción del color depende de factores como la luminosidad, tonalidad, contexto y contraste. Describe experimentos donde se muestran colores iguales que se perciben de manera diferente debido a estos factores. También analiza cómo se producen las mezclas de colores y las ilusiones ópticas relacionadas con la percepción del color.
El documento describe varios problemas relacionados con la impresión y la tinta, incluyendo tinta pálida, tinta que se sale de la superficie impresa, y falta de adherencia del pigmento de la tinta. Para cada problema, se enumeran las posibles causas y soluciones como consultar con los fabricantes de tinta y papel, ajustar parámetros como la concentración de la tinta y la solución de fuente, y mejorar los procedimientos y equipos de impresión.
El documento introduce AutoCAD, un software de diseño asistido por computadora utilizado para dibujo 2D y modelado 3D. Explica que AutoCAD es desarrollado por Autodesk y describe brevemente sus versiones, cómo funciona, los tipos de archivos que utiliza y sus ventajas al poder exportar e importar archivos de diferentes tipos y ser utilizado en diversas industrias. También resume los componentes clave de la interfaz de AutoCAD como la cinta de opciones, explorador de menús, área de dibujo y línea de comandos.
Principios Basicos Del Diseño Según Wucius Wong PeKiiThaz97
Este documento presenta los elementos generales del diseño según Wucius Wong, un artista chino que se interesó por la pintura occidental y el diseño. Wong identifica cuatro grupos de elementos: conceptuales (punto, línea, plano, volumen), visuales (forma, medida, color, textura), de relación (dirección, posición, espacio, gravedad) y prácticos (representación, significado, función). Estos elementos gobiernan la ubicación y la interrelación de las formas en un diseño.
Este documento presenta un curso de AutoCAD 2D. El objetivo del curso es enseñar a los estudiantes a crear dibujos en 2D usando AutoCAD y desarrollar habilidades básicas. AutoCAD es un software CAD popular desarrollado por Autodesk que se usa comúnmente para dibujar planos arquitectónicos e ingeniería. El curso explica la historia, ventajas y comparación de AutoCAD con otros programas de dibujo asistido por computadora como CorelDraw e Illustrator.
IES Luis de Morales. Plástica 1º ESO. Tema 4: Las Formas. Por Cochepocho.cochepocho
IES Luis de Morales. Plástica 1º ESO. Tema 4: Las Formas. Power Point para Windows. Funciona mal en Linex o Linux aunque se ve. Realizado por Cochepocho.
Este documento describe diferentes métodos de diseño gráfico, incluyendo métodos creativos como la lluvia de ideas y la sinectica, que ayudan a estimular el pensamiento creativo. También describe métodos con un marco de referencia lógico como las listas de verificación, que formalizan el proceso de diseño y facilitan el trabajo en equipo. El documento analiza cómo estos métodos pueden complementarse para mejorar el proceso de diseño.
Este documento describe la homotecia, una transformación geométrica que multiplica las distancias de un objeto por un factor desde un punto fijo. Explica que una homotecia tiene un centro y una razón, y que puede ser directa o inversa. También analiza las obras del artista M. C. Escher, que usó homotecias para crear construcciones imposibles y exploraciones del infinito.
Este documento proporciona una lista de comandos y abreviaturas utilizados en el software de diseño y modelado CAD. Incluye comandos para dibujo, edición, modificación, sombras, capas, cotas, bloques, 3D, renderizado y otras herramientas. La lista parece ser exhaustiva y cubre una amplia gama de funciones del software CAD.
Este documento trata sobre la técnica de impresión flexográfica. Explica que la flexografía utiliza planchas de fotopolímero que pueden adaptarse a diferentes soportes e imprimir con tintas de secado rápido. También describe los principales requisitos del diseño flexográfico, las ventajas de la impresión flexográfica digital y algunas aplicaciones comunes de esta técnica.
Este documento explica los diferentes tipos de cortes y secciones que se pueden realizar en dibujos técnicos para mostrar detalles internos de piezas. Describe cortes totales, parciales, por planos paralelos u oblicuos, y secciones abatidas con o sin desplazamiento. El objetivo es hacer visibles las partes internas de una pieza retirando el material que impide verlas.
Este documento describe y compara dos modelos de color fundamentales: RGB y CMYK. RGB usa luz y es el modelo usado en pantallas, mientras que CMYK usa tinta y es el modelo de impresión. RGB combina luces roja, verde y azul de forma aditiva, mientras que CMYK sustrae color usando tintas cian, magenta, amarilla y negra de forma sustractiva. El documento explica los colores primarios, cómo se mezclan para crear otros colores y en qué dispositivos se usa cada modelo.
El documento proporciona información sobre diferentes tipos de impresoras, incluyendo sus características y usos. Describe impresoras monocromo y a color, de matriz de puntos, chorro de tinta, láser, plotters, margarita, térmicas, para fotos, de gran formato, para grupos e impresoras de cera.
Los planos seriados son un conjunto de planos bidimensionales que colocados en orden y distribución adecuada, representan u simulan un objeto tridimensional sólido. Cada plano muestra la silueta de un corte transversal del objeto. Dependiendo del número y orientación de los cortes, se definirá el objeto sólido inicial. Los planos seriados permiten construir maquetas y prototipos de objetos tridimensionales de forma rápida y económica.
El documento habla sobre defectos comunes de pintura en vehículos, sus causas y cómo prevenirlos y solucionarlos. Explica defectos como baja opacidad, suciedad, piel de naranja, marcas de agua, ampollas y más. También cubre causas ambientales como excrementos de aves, lluvia ácida y cómo identificar y resolver los problemas para lograr pinturas de alta calidad.
Este documento trata sobre diferentes tipos de perspectivas utilizadas en dibujo técnico. Explica la perspectiva dimetrica, oblicua, isométrica y caballera. Detalla cómo trazar objetos prismáticos y con detalles paralelos en perspectiva isométrica, incluyendo sólidos con superficies inclinadas u oblicuas. También cubre la representación de círculos isométricos.
Este documento describe las tangencias y sus propiedades fundamentales. Una tangencia ocurre cuando dos líneas o superficies se tocan en un punto sin cortarse. Las propiedades incluyen que cuando dos rectas son tangentes a la misma circunferencia, el centro de esa circunferencia está equidistante de las dos rectas. El documento también discute los enlaces y aplicaciones de las tangencias en el diseño industrial, gráfico, ingeniería civil y arquitectura, y joyería.
Este documento describe los principios básicos del claroscuro y cómo se crea volumen a través del juego de luces y sombras. Explica que los objetos se distinguen del fondo cuando son iluminados debido a su relieve, y que todas las superficies tienen zonas de sombra y luz proyectada. Además, describe diferentes técnicas como el sombreado, la grisalla y el uso de manchas para crear claroscuro en dibujos.
El documento define conceptos topológicos como espacio conexo y continuo lineal. Explica que un espacio es conexo si no puede escribirse como la unión de dos abiertos disjuntos no vacíos. Luego demuestra que cualquier intervalo es conexo en R con la topología usual y que en un continuo lineal cualquier intervalo es conexo. Finalmente, da ejemplos de espacios conexos y no conexos.
Este documento introduce la teoría de la homotopía. Primero, define varios espacios topológicos como esferas, espacios euclidianos y superficies. Luego, explica las nociones de deformación continua y homotopía entre funciones y espacios. Finalmente, presenta algunos problemas típicos en teoría de la homotopía como clasificación, extensión y levantamiento de funciones.
El documento describe la construcción de una "herradura de Smale", un difeomorfismo con un conjunto hiperbólico introducido por Smale. Se construye un difeomorfismo f que mapea dos franjas horizontales H0 y H1 dentro de un rectángulo R de tal manera que su intersección, f(R) ∩ R, tiene al menos dos componentes conexas. Al iterar f, R ∩ f(R) ∩ f^2(R) se transforma en cuatro franjas verticales más delgadas.
Este documento introduce las propiedades topológicas de compacidad y conexidad. Define compacidad como la capacidad de un espacio topológico de ser cubierto por un número finito de abiertos, y conexidad como la ausencia de separaciones formadas por conjuntos abiertos y cerrados. Explica que estas propiedades se conservan bajo homeomorfismos, haciéndolas propiedades topológicas. Ilustra estas definiciones con ejemplos como intervalos en los reales.
Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios topológicos. Define un espacio topológico como un par (X, τX) donde X es un conjunto y τX es una topología sobre X, es decir, un subconjunto de P(X) que cumple con ciertas propiedades. Presenta varios ejemplos de espacios topológicos simples como Rn y discute conceptos como continuidad y límite que pueden definirse en estos espacios a pesar de la ausencia de una métrica.
El documento describe la historia de la teoría de conjuntos. Georg Cantor creó la teoría de conjuntos entre 1874 y 1897 para proporcionar una fundamentación lógica de la aritmética. Sin embargo, la definición intuitiva de conjunto de Cantor resultó ser inconsistente y condujo a paradojas como la paradoja de Russell. Esto llevó al desarrollo de teorías axiomáticas más rigurosas de la teoría de conjuntos por Zermelo, Fraenkel y otros.
Este documento introduce el concepto de bola abierta y cerrada en un espacio pseudométrico. Explica diferentes notaciones para denotar bolas y cómo estas se interpretan geométricamente en espacios euclídeos. También presenta propiedades de bolas abiertas y cerradas como que forman bases topológicas y son conjuntos abiertos y cerrados respectivamente. Finalmente, incluye ejercicios relacionados con vecindades y bolas.
35 lacan - diccionario de topologia lacanianaDjalma Argollo
El documento define varios términos topológicos clave como abierto, cerrado, compacto, conexo, curva y espacio topológico. También describe superficies no orientables como la banda de Möbius, la botella de Klein y el crosscap, así como operaciones topológicas como cortar y espacio cociente.
El documento define varios términos topológicos clave como abierto, cerrado, compacto, conexo, curva y espacio topológico. También describe superficies no orientables como la banda de Möbius, la botella de Klein y el crosscap, así como operaciones topológicas como cortar y espacio cociente.
Topología relativa y conjuntos conexos pdfrichispam0
Este documento define y discute los conceptos de espacios conexos y separaciones en topología. Primero, define un espacio conexo como aquel que no tiene una separación, la cual es un par de abiertos disjuntos cuya unión es el espacio. Luego, presenta ejemplos de espacios conexos y no conexos, y teoremas como que la unión de subespacios conexos con un punto en común es conexa, e imágenes de funciones continuas preservan la conexidad. Finalmente, plantea ejercicios sobre estas ideas.
Este documento presenta una tesis para obtener el título de Licenciado en Matemáticas. La tesis introduce la teoría de homotopía y el Teorema de Seifert-Van Kampen, el cual describe la estructura del grupo fundamental de la unión de dos espacios topológicos. La tesis contiene cuatro secciones: la primera introduce conceptos básicos de homotopía como lazos y clases de homotopía; la segunda cubre grupos libres y productos libres de grupos; la tercera presenta el Teorema de Seifert
El documento describe los esquemas geométricos. Explica que un esquema está conformado por un conjunto de puntos, una topología y una gavilla estructural de funciones algebraicas. Da como ejemplos los números enteros Z, que pueden verse como el esquema formado por números primos y cero, y la línea afín compleja C[x,y], cuyos puntos incluyen ideales generados por polinomios irreducibles.
Gentile, enzo r. notas de álgebra i (1984)-versión ocrNicolas Arguello
Este documento presenta las notas de un curso de álgebra I. Incluye 7 capítulos que cubren temas como números naturales, enteros, racionales, complejos y polinomios. También introduce conceptos algebraicos como grupos, anillos y morfismos. El objetivo del curso es desarrollar las habilidades para trabajar con las estructuras algebraicas derivadas de la aritmética ordinaria.
35 lacan - diccionario de topologia lacanianaDjalma Argollo
Este documento define varios términos relacionados con la topología, incluyendo:
1) Un conjunto es acotado si está contenido en una bola suficientemente grande o si no contiene sucesiones divergentes.
2) Un conjunto es abierto si es entorno de todos sus puntos.
3) Un espacio es arcoconexo si dos puntos pueden conectarse mediante una curva contenida en el espacio.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su libro Análisis Situs, que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología como disciplina matemática. En 1914, Hausdorff creó la teoría de espacios topológicos abstractos usando la noción de vecindario, lo que estableció formalmente la topología conjuntista.
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. En 1895, Poincaré publicó su obra Análisis Situs, que marcó un punto decisivo en el desarrollo de la topología. En 1914, Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario, definiendo un espacio topológico como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados. Con el trabajo de Hausdorff, la topología conjuntista se afirmó como una disciplina
La topología tiene sus orígenes en los trabajos de Euler, Cantor y Möbius. Fue Poincaré quien publicó en 1895 el trabajo Análisis Situs que es considerado como el punto decisivo en el desarrollo de la topología. Hausdorff creó en 1914 la teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario y estableció las bases de la topología conjuntista como disciplina matemática propia.
1) Euler dividió la curva en intervalos finitos y asumió que cualquier segmento de la curva es un extremo local.
2) Comparó la curva dada con una variación cercana y notó que cualquier diferencia es de segundo orden y por lo tanto despreciable.
3) Esto le permitió derivar su ecuación variacional fundamental que describe curvas extremas.
Ecuación de Euler-Lagrange: Deducción utilizando Cálculo Básico
Topologia de continuos
1. Memorias de la XVII Semana Regional de Nivel Superior
Investigaci´on y Docencia en Matem´aticas.
Departamento de Matem´aticas, Universidad de Sonora, M´exico,
Mosaicos Matem´aticos, No. 20, Agosto, 2007, pp. 59–74.
LA TOPOLOG´I
A DE LOS CONTINUOS
Ra´ul Escobedo Conde1
Carlos Alberto Robles Corbal´a2
Enrique Rodr´ıguez Castillo3
1Facultad de Ciencias F´ısico-Matem´aticas
Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla
2,3Departamento de Matem´aticas
Universidad de Sonora
Resumen
El objetivo de este trabajo es introducir algunas nociones b´asicas en esta ´area de la topolog´ıa
conocida como la Teor´ıa de los Continuos as´ı como ilustrar con muchos ejemplos las clases
de continuos m´as b´asicos; probar algunos resultados que dan idea de las t´ecnicas t´ıpicas de la
teor´ıa y tratar varios ejercicios que involucren a estas clases de continuos.
Introducci´on
Seguramente, uno de los atractivos que tiene la Teor´ıa de Continuos es la simplicidad de los
objetos de estudio: espacios m´etricos compactos y conexos; sin embargo, ´esta misma sim-plicidad
nos invita a plantearnos problemas realmente dif´ıciles de tratar (pero relativamente
f´aciles de entender).
La topolog´ıa, en ocasiones, se torna demasiado abstracta y es complicado tener una idea
geom´etrica de lo que estamos haciendo; por otro lado, en la Teor´ıa de Continuos tenemos
siempre la ayuda de la m´etrica, que nos invita a imaginar por lo menos la distancia que hay
entre los puntos del espacio.
La compacidad es una de las propiedades topol´ogicas m´as deseables pues nos deslinda
de muchas problem´aticas comunes en topolog´ıa general y en an´alisis; la conexidad, por su
parte, mantiene una idea de unidad (en alg´un sentido) del espacio.
´ Este texto intenta dar una invitaci´on a la Teor´ıa de los Continuos, presentando algunos
aspectos de inter´es en el estudio de los continuos como en otras ´areas. Los conocimientos re-queridos
para un mejor entendimiento de ´este escrito son conocimientos b´asicos de Topolog´ıa
y An´alisis Matem´atico, as´ı como familiarizaci´on con los m´etodos que com´unmente se utilizan
en ´estas ´areas; cualquier otro conocimiento es de ayuda.
Se tratar´a de mantener una idea geom´etrica en los ejemplos con la ayuda de figuras, sin
dejar de lado la descripci´on algebraica. As´ı, se espera que el tratamiento de la Teor´ıa de
Continuos en ´este trabajo sea atractiva para la vista y la mente.
1 Definici´on y ejemplos
Antes de comenzar nuestra discusi´on sobre continuos, es oportuno recordar algunas defini-ciones
b´asicas. Un espacio m´etrico es un conjunto X acompa˜nado de una funci´on d :
X × X → R, llamada m´etrica, que satisface las siguientes condiciones para cualesquiera
x, y, z ∈ X:
59
2. (M1) d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(M2) d(x, y) = d(y, x),
(M3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Diremos que un espacio topol´ogico X es metrizable si existe una m´etrica para X de tal
forma que la topolog´ıa en X coincida con la topolog´ıa inducida por la m´etrica en X. Un
espacio compacto es aquel espacio donde a cualquier cubierta por abiertos del espacio le
podemos extraer una subcubierta finita, es decir, a la cubierta le podemos quitar a casi todos
los abiertos y a´un as´ı sigue cubriendo al espacio. Diremos que un espacio es conexo si no
puede ser expresado como la uni´on disjunta de dos abiertos no vac´ıos (o equivalentemente,
no se puede expresar como la uni´on disjunta de dos cerrados no vac´ıos) del espacio , es decir,
viene dado en una sola pieza.
Definici´on 1.1. Un continuo es un espacio topol´ogico metrizable, compacto, conexo y no
vac´ıo.
La condici´on “no vac´ıo”se impone para evitar trivialidades. Para el estudio de los con-tinuos,
es ´util fijarnos en las subestructuras de un continuo as´ı que a continuaci´on, daremos
algunas definiciones de estos objetos. Sea X un continuo y Y ⊆ X. Diremos que Y es
un subcontinuo de X si Y es a su vez un continuo. Diremos que Y es un subcontinuo
propio de X si Y es un subcontinuo distinto de X. Si X es un continuo que consta de un
s´olo punto, diremos que es un continuo degenerado; de lo contrario, diremos que es no
degenerado.
Ejemplo 1. El intervalo [0, 1]. Claramente es un espacio m´etrico y por tanto, metrizable.
De los cursos de An´alisis Matem´atico, sabemos que los conexos en R son los intervalos y
por el Teorema de Heine-Borel, los compactos son los cerrados y acotados por lo que [0, 1]
es compacto. As´ı, [0, 1] es un continuo.
0 1
Figura 1: El intervalo [0, 1].
Un continuo es unicoherente si la intersecci´on de cualesquiera dos subcontinuos propios
es un conjunto conexo. Diremos que un continuo X es hereditariamente equivalente si
todo subcontinuo no degenerado Y es homeomorfo a X. El intervalo [0, 1] es un continuo
que posee estas dos propiedades.
Ejercicio 1. Encuentre un continuo que sea hereditariamente equivalente pero que no sea
homeomorfo al intervalo [0, 1].
Este ejercicio muestra que con poca teor´ıa, podemos formularnos preguntas como esta,
que son algo complicadas de responder pero f´aciles de entender.
60
3. Definici´on 1.2. Diremos que una propiedad P de un espacio topol´ogico X es una propiedad
topol´ogica si para todo espacio topol´ogico Y homeomorfo a X se tiene que Y tambi´en posee
la propiedad.
La conexidad y compacidad son propiedades topol´ogicas; si (X, dX) es un espacio m´etrico
y Y es un espacio topol´ogico homeomorfo a X, podemos ver que la funci´on
dY (y1, y2) def = dX(h(y1), h(y2)),
donde h : Y → X es un homeomorfismo, es una m´etrica para Y con la cual, la topolog´ıa
en Y coincide con la topolog´ıa inducida por ´esta m´etrica. As´ı, el ser un continuo es una
propiedad topol´ogica.
Ejemplo 2. Los arcos. Un arco es cualquier espacio topol´ogico A que sea homeomorfo al
intervalo [0, 1].
Figura 2: Arcos.
En realidad, un arco no es muy diferente (topol´ogicamente hablando) a un intervalo
pues al ser homeomorfo al intervalo, todas las propiedades topol´ogicas (que son las que
generalmente interesan en Topolog´ıa) del intervalo las posee tambi´en el arco. Sin embargo,
lo consideramos aparte para tener acceso a un objeto m´as general.
Ejemplo 3. La circunferencia unitaria. Consideremos el conjunto
S1 def = n(x, y) ∈ R2 : k(x, y)k = px2 + y2 = 1o,
que gr´aficamente se ve como se muestra en la figura:
Figura 3: El c´ırculo unitario
Por ser un subconjunto del espacio m´etrico R2, S1 es un espacio metrizable. Es compacto
por el Teorema de Heine-Borel y es conexo por ser imagen continua del intervalo [0, 2]
mediante la funci´on t7→ (cos t, sen t). Por tanto, S1 es un continuo.
61
4. Evidentemente, S1 no es hereditariamente equivalente pues un subcontinuo que no es
homeomorfo a S1 es un arco. Es claro que S1 no es unicoherente, pues al tomar las semicir-cunferencias
superior e inferior como subcontinuos, su intersecci´on resulta ser {(−1, 0), (1, 0)}
que no es un conjunto conexo.
Definici´on 1.3. Un continuo X es homog´eneo si para cualesquiera dos puntos x1, x2 ∈ X
existe un homeomorfismo hx1,x2 : X → X tal que hx1,x2(x1) = x2.
Vemos que S1 es un continuo homog´eneo, pues dados dos puntos p y q es S1, existe una
rotaci´on que lleva a p en q y las rotaciones son homeomorfismos.
Ejercicio 2. Encuentre otros continuos homog´eneos que no sean homeomorfos a S1.
Todo espacio topol´ogico homeomorfo a S1 se llama curva cerrada simple, y como en
el caso de los arcos, no es un continuo diferente de S1 sino es una versi´on generalizada de ´el.
Ejemplo 4. El disco unitario. Definimos el conjunto
D1 def = (x, y) ∈ R2 : k(x, y)k ≤ 1 ,
que se representa geom´etricamente como sigue:
Figura 4: El disco unitario
Nuevamente, por ser un subconjunto de R2, es un espacio metrizable y por Heine-Borel, es
compacto. Se puede demostrar que el disco es un conjunto convexo, es decir, dados dos
puntos x, y ∈ D1 todos los puntos (1 − t)x + ty est´an en D1. As´ı, se muestra que D1 es
conexo por trayectorias y por tanto, conexo. As´ı que D1 es un continuo.
A diferencia de S1, el disco si es unicoherente ya que la intersecci´on de dos subcontinuos
propios resulta ser un punto, una banda o un anillo, que son conjuntos conexos.
Del mismo modo en que se definen los Ejemplos 3 y 4, podemos definir los conjuntos
Sn−1 = {x ∈ Rn : kxk = 1}, Dn−1 = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1},
para n ≥ 2, los cuales tambi´en son continuos.
Ejemplo 5. El toro. Denotemos por S1 × S1 a la imagen del cuadrado [0, 2] × [0, 2], que
es compacto y conexo, bajo la funci´on
(u, v)7→ ((R + r cos u) cos v, (R + r cos u) sen v, r sen u),
la cual es continua por lo que S1 × S1 es compacto y conexo. Por ser un subconjunto de R2,
es metrizable y por tanto, S1 × S1 es un continuo. Gr´aficamente, un toro es una superficie
muy familiar pues tiene forma de “dona”, como se puede ver en la siguiente figura.
62
5. Figura 5: El toro
Se puede ver que el Toro es un continuo homog´eneo, s´olo hay que dar giros sobre los
meridianos y paralelos; no es unicoherente pues al partir verticalmente al Toro por la mitad,
tenemos dos subcontinuos que se intersectan en la uni´on de dos circunferencias ajenas, lo
que no es un conjunto conexo; no es hereditariamente equivalente pues S1 y los arcos son
suncontinuos no degenerados del Toro y no son homeomorfos a ´el.
Definici´on 1.4. Un espacio topol´ogico X es localmente conexo si para cada punto x ∈ X
existe una vecindad conexa de x.
Hasta este momento, todos los ejemplos que hemos visto son continuos localmente conexos.
Ahora, veremos cuatro ejemplos de continuos que no son localmente conexos.
Ejemplo 6. El abanico arm´onico. Considere la sucesi´on arm´onica 1
n ∞
n=1 y formemos con
ella la siguiente sucesi´on de puntos en R2: definamos a−1 = (0, 1), a0 = (0, 0) y para n ∈ N,
an = 1
n, 0. Ahora, para n ≥ 1, unamos cada uno de los puntos an−1 con el punto a−1 por
el segmento de l´ınea (1 − t)an−1 + ta−1. Gr´aficamente, tenemos
Figura 6: El abanico arm´onico.
Es claro que es un espacio metrizable; es compacto por el Teorema de Heine-Borel y es
conexo por ser union de conexos que coinciden en un punto.
´ Este es un continuo que no es localmente conexo, pues para cada punto (0, x), con
0 ≤ x 1, existe una vecindad no conexa.
Ejemplo 7. El continuo sen 1
x . Considere la gr´afica de la siguiente funci´on f : (0, 1] → R
definida por x7→ sen 1
x , es decir, el conjunto
Graf(f) def = x, sen
1
x ∈ R2 : x ∈ (0, 1].
63
6. ´ Este conjunto es conexo por ser la gr´afica de una funci´on continua definida en un conexo.
Adem´as, Graf(f) es un conjunto acotado, pues 0 x ≤ 1 y −1 ≤ sen 1
x ≤ 1; sin embargo,
no es cerrado. Tomando la cerradura de Graf(f) se tiene un continuo, pues la cerradura de
un conexo es conexo. La figura siguiente, muestra como se ve ´este continuo gr´aficamente:
1
−1
1
Figura 7: El continuo sen 1
x
Nuevamente, los puntos de la forma (0, x), con −1 ≤ x ≤ 1, poseen vecindades no conexas
en Graf(f), por lo que ´este continuo no es localmente conexo. Tambi´en podemos ver que
´este continuo no es conexo por trayectorias ya que el punto (1, sen 1) no lo podemos conectar
con ning´un punto de la forma (0, x) por una trayectoria en Graf(f).
Considere el conjunto de Cantor, denotado por C, que se obtiene mediante un proceso
de intersecci´on de subconjuntos cerrados anidados de R. La construcci´on es como sigue:
Comenzamos con C1 = [0, 1] y definimos el conjunto C2 ⊂ [0, 1] al dividir al intervalo
en tres partes iguales y sustrayendo el tercio medio, 1
3 , 2
3; el conjunto C3 ⊂ C2 se obtiene
repitiendo la divisi´on en tercios de los dos intervalos cerrados de C2 y sustrayendo el tercio
medio de cada uno de ellos. Inductivamente definimos Cn como el conjunto que se obtiene
de remover los tercios abiertos medios de cada subintervalo cerrado de Cn−1 y finalmente,
C = T∞
Cn.
n=1 ´ Este conjunto no es conexo; de hecho es totalmente disconexo, es decir, los ´unicos
conexos en C son los subconjuntos de un s´olo punto. As´ı, el conjunto de Cantor no es un
continuo. Sin embargo, con ´el se pueden construir algunos continuos interesantes como lo
veremos a continuaci´on.
Ejemplo 8. El abanico sobre el conjunto de Cantor. La construcci´on que haremos ahora es
similar a la realizada en el ejemplo 6. Considere el conjunto de puntos en R2, (c, 0) con c ∈ C,
y unamos a cada punto de ´estos con el punto 1
2 , 1 con los segmentos (1−t)(c, 0)+t 1
2 , 1.
Por argumentos similares a los dados en el ejemplo 6, ´este es un continuo. Gr´aficamente,
tenemos
´ Este continuo tiene la propiedad de que es localmente conexo en s´olo un punto, a saber,
el punto 1
2 , 1. Ahora, veremos un caso m´as extremo en cuanto a conexidad local se refiere.
64
7. Figura 8: Abanico sobre el conjunto de Cantor.
Ejemplo 9. El arcoiris de Knaster. A partir del conjunto de Cantor (como subconjunto de
R2), construiremos otro continuo como sigue:
Uniremos a los puntos del conjunto de Cantor (c, 0) que equidisten del punto p1 = 1
2 , 0 con semicircunferencias superiores centradas en p1 y de radio c. Despu´es, uniremos a los
puntos del conjunto de Cantor que equidisten del punto p2 = 5
3·2 , 0 con semicircunferencias
inferiores con centro en p2 y radio c. Inductivamente, se unen los puntos del conjunto de
Cantor que equidisten del punto pn = 5
3n−1·2 , 0 con semicircunferencias inferiores de centro
pn y de radio c. En la figura siguiente se muestra una parte del arcoiris de Knaster.
Figura 9: El arcoiris de Knaster
El arcoiris de Knaster es un continuo que no es localmente conexo en ning´un punto, pues
cualquier vecindad de cualquier punto es union de arcos disjuntos.
Ejercicio 3. ¿Existir´a alg´un continuo que no sea localmente conexo en un s´olo punto?.
Ahora, presentaremos una herramienta para construir continuos a partir de continuos ya
conocidos, pero antes prepararemos el camino con dos resultados previos.
Proposici´on 1. Si A es una colecci´on anidada de subconjuntos cerrados de un espacio
compacto X y U es un abierto en X tal que ∩{A : A ∈ A } ⊂ U, entonces existe E ∈ A tal
que E ⊂ U.
Demostraci´on. Sabemos que XU es un cerrado de X, que es compacto, por lo que XU es
compacto y
XU ⊂ X (∩{A : A ∈ A }) =[{XA : A ∈ A },
65
8. es decir, S{XA : A ∈ A } es una cubierta abierta de XU, por lo que existe una subfamilia
finita F ⊂ A tal que XU ⊂ S{XA : A ∈ F}.
Como la colecci´on A es anidada y F es finita, existe en F un conjunto E tal que E ⊂ A
para todo A ∈ F. Luego, XA ⊂ XE para todo A ∈ F por lo que XU ⊂ XE. Se
infiere entonces que E ⊂ U.
Corolario 2. Si A es una colecci´on anidada de cerrados no vac´ıos en un espacio compacto
X, entonces ∩{A : A ∈ A }6= ∅.
Demostraci´on. Suponga que ∩{A : A ∈ A } = ∅ y tome U = ∅ en la Proposici´on 1 para
encontrar un conjunto E ∈ A tal que E ⊂ ∅, lo que es absurdo.
Teorema 3. Si A es una colecci´on anidada de continuos en un espacio m´etrico compacto
X, entonces A = ∩{A : A ∈ A } es un continuo.
Demostraci´on. Claramente, A es m´etrico por ser subconjunto del espacio m´etrico X; por
la misma raz´on, cada conjunto A ∈ A es cerrado y as´ı A es un cerrado no vac´ıo, por el
Corolario 2. Luego, todo cerrado de un compacto es compacto.
Finalmente, para ver que A es conexo, supongamos que no lo es, entonces existen dos
cerrados disjuntos no vac´ıos, digamos A y B, tales que A = A ∪ B. Como A es un espacio
m´etrico , existen abiertos disjuntos no vac´ıos U y V tales que A ⊂ U y B ⊂ V ; se concluye
f´acilmente que A ⊂ U ∪ V , con U ∪ V abierto en X. Por la Proposici´on 1, existe E ∈ A tal
que E ⊂ U ∪ V . Observe que A = A ∪ B ⊂ E y as´ı ∅6= A ⊂ E ∩ U y ∅6= B ⊂ E ∩ V , lo
que contradice la conexidad de E.
En general, la intersecci´on anidada de conexos no es necesariamente conexo.
Ejercicio 4. Encuentre una colecci´on anidada de conjuntos conexos cuya intersecci´on no
sea un conjunto conexo.
A continuaci´on, veremos tres ejemplos importantes de continuos construidos mediante
intersecciones anidadas.
Ejemplo 10. La carpeta de Sierpi´nski. ´ Este continuo es una versi´on bidimensional del
conjunto de Cantor. La construcci´on es como sigue:
Sea S1 = [0, 1]×[0, 1]; S2 ⊂ S1 el conjunto que se obtiene sustrayendo el cuadrado abierto
central al dividir S1 en 9 subcuadrados de igual area; ´S3 ⊂ S2 se define analogamente, ´al
dividir cada uno de los 8 = 23 cuadrados de S2 en nueve cuadrados de igual area ´y sustrayendo
el cuadrado abierto del centro. Inductivamente, definimos Sn ⊂ Sn−1 como el conjunto que
queda al remover el cuadrado abierto central de cada uno de los 2n cuadrados que conforman a
Sn−1 despu´es de dividirlos en 9 cuadrados de igual area. ´Finalmente, se define S = T∞
Sn.
n=1 Se puede ver que para cada n ∈ N el conjunto Sn es un continuo y adem´as Sn+1 ⊂ Sn. Por
el Teorema 3, se sigue que S es un continuo. En la siguiente figura se muestran los primeros
3 pasos del proceso de construcci´on de la carpeta de Sierpi´nski:
66
9. Figura 10: Carpeta de Sierpi´nski.
´ Este continuo tiene la propiedad de que contiene una copia homeomorfa de cada continuo
de dimensi´on 1 (subconjuntos de Rk con interior vac´ıo en Rk, para k ≥ 2) que est´e en el
plano. Se dice que la Carpeta de Sierpi´nski es un continuo universal para los continuos de
dimensi´on 1 del plano.
Ejercicio 5. Encuentre subcontinuos en la carpeta de Sierpi´nski homeomorfos a:
1. El continuo sen 1
x ,
2. El abanico sobre el conjunto de Cantor,
3. El arcoiris de Knaster.
Ejemplo 11. La curva de Menger. El continuo que se presenta aqu´ı, es una versi´on tridi-mensional
del conjunto de Cantor y de la carpeta de Sierpi´nski. La construcci´on es an´aloga,
solo ´que ahora comenzaremos con el cubo M1 = [0, 1]×[0, 1]×[0, 1]; luego, se define M2 ⊂ M1
como el conjunto que resulta al dividir al cubo M1 en nueve partes iguales por cada cara y
remover la barra central abierta de cada cara. El proceso con el que se obtiene cada Mn es
similar. Definimos M = T∞
Mn y nuevamente, por el Teorema 3, M es un continuo. A
n=1continuaci´on, presentamos una figura con los primeros tres pasos de la construcci´on de la
curva de Menger:
Figura 11: Curva de Menger.
La curva de Menger es un continuo universal para todo continuo de dimensi´on 1, est´e o
no en el plano.
67
10. Ejemplo 12. El solenoide di´adico. Considere un toro solido ´X1 y dentro de ´el, X2 un toro
s´olido que le da dos vueltas a X1; despu´es, X3 sera ´un toro s´olido que le de dos vueltas a
X2, es decir, que le de 22 vueltas a X1. En general, Xn es un toro solido, ´dentro de Xn−1,
que le da dos vueltas a ´este, o bien, 2n−1 vueltas a X1. Finalmente, el continuo T∞
Xn es
n=1 denotado por 2.
Si en vez de dar dos vueltas en cada paso, damos 3, o bien, p vueltas, el continuo que
se obtiene al intersectar ´esa familia de continuos se conoce como solenoide p-´adico y se
denota por p.
Definici´on 1.5. Diremos que un continuo es descomponible si se puede expresar como la
uni´on de dos subcontinuos propios; de otro modo, diremos que el continuo es indescom-ponible.
Ejemplos de continuos descomponibles son: el intervalo (ejemplo 1), el c´ırculo (ejemplo
3), el disco (ejemplo 4), el continuo sen 1
x (ejemplo 7), el abanico arm´onico y el abanico sobre
el conjunto de Cantor (ejemplos 6 y 8).
Ejemplos de continuos indescomponibles son: el arcoiris de Knaster y el solenoide di´adico.
Aparentemente, casi todo continuo que podemos imaginar es descomponible, pero la verdad
es que existen muchos m´as continuos indescomponibles que descomponibles (similar a lo que
ocurre con los n´umeros racionales e irracionales).
Ejercicio 6. Dar una descomposici´on de cada uno de los continuos descomponibles que se
mencionan.
Es momento de invitar a recordar la topolog´ıa producto: Sea {Xα, pα} una colecci´on
de espacios topol´ogicos junto con una colecci´on de funciones, indexada en el conjunto ,
donde pα : QXβ → Xα es la proyecci´on sobre el -´esimo factor. La topolog´ıa
β∈producto es la que tiene como subbase a la familia
S = p−1
α (A) : A es abierto en Xα para cada ∈ ,
es decir, cada abierto del producto topol´ogico QXβ se obtiene al tomar uniones de
β∈ intersecciones finitas de elementos de S.
Recordemos que el producto numerable de continuos es un continuo: Si tenemos una
sucesi´on de espacios m´etricos (Xn, dn), podemos metrizar al producto Q∞
n=1Xn
def = {(xn)∞n
=1 :
xn ∈ Xn} definiendo
((xn)∞
n=1, (yn)∞
n=1) =
∞
Xn=1
1
2n
dn(xn, yn)
1 + dn(xn, yn)
,
que resulta ser una m´etrica para la topolog´ıa producto. El Teorema de Tychonoff asegura
que el producto de compactos es compacto. Con argumentos sencillos de conexidad, se puede
probar que el productos de conexos es conexo.
68
11. Ejemplo 13. El cubo de Hilbert. Considere el producto numerable del intervalo [0, 1] y
denot´emoslo como I∞; tome la m´etrica
((xn)∞
n=1, (yn)∞
n=1) =
∞
Xn=1
|xn − yn|
2n .
El continuo I∞ se llama cubo de Hilbert.
Teorema 4. Todo continuo X es homeomorfo a un subcontinuo de I∞.
Demostraci´on. Si d es la m´etrica en X, considere en X la m´etrica acotada d′(x, y) =
min{1, d(x, y)}. Ahora, sea D = {pi : i ∈ N} un conjunto denso y numerable de X (el
cual existe, pues X es compacto y por tal raz´on, es separable) y definamos la siguiente
funci´on:
f(x) = (d′(x, pi))∞
i=1 .
Claramente, f es continua, ya que la funci´on distancia lo es. Adem´as, es uno-a-uno pues si
x6= y, existe un abierto A tal que x ∈ A y y /∈ A. Como D es denso, existe pk ∈ D ∩ A
y se tiene d′(x, pk) d′(x, y), es decir,f(x) difiere en la k-´esima componente con f(y). Se
concluye que f es un homeomorfismo por ser X compacto y el espacio I∞ es Hausdorff.
2 L´ımites inversos
Una sucesi´on inversa es una sucesi´on de espacios Xn, junto con una sucesi´on de funciones
continuas fn : Xn+1 → Xn (llamadas funciones de ligadura), y se denota {Xn, fn}∞n
=1.
X1
f1 ←− X2
f2 ←− · · ·
fn−1 ←− Xn
fn ←− · · ·
=1 es el subespacio del producto Q∞
El l´ımite inverso de una sucesi´on inversa {Xn, fn}∞n
n=1 Xn
definido como
X∞ ≡ l←im−Xn
def = {(xn)∞
n=1 : fn(xn+1) = xn}.
Si para cada n ∈ N tenemos que
n :
∞
Yi=1
Xi → Xn
es la proyecci´on natural sobre el n-´esimo factor, entonces denote por n a la restricci´on de
n al l´ımite inverso X∞, es decir, n = n|X1
para cada n´umero natural n.
X∞
π2
}}zzzzzzzz π1
vvmmmmmmmmmmmmmmm
D
DD DD πn
DD !! D
oo · · ·
X1 X2 f1
ooXn f2
fn−1
oo · · ·
fn
oo
Observemos que n = fn ◦ n+1 y en general, si m n tenemos que
m = fm ◦ fm+1 ◦ · · · ◦ fn−1 ◦ n.
Adem´as, si cada funci´on de ligadura es suprayectiva, entonces todas las proyecciones n
tambi´en son suprayectivas.
69
12. Ejemplo 14. Para cada n ∈ N, tome Xn = [0, 1] y fn = f, donde
f(x) = 2x si 0 ≤ x ≤ 1
2
−2x + 2 si 1
2 ≤ x ≤ 1
y tiene como gr´afica la siguiente:
1
1
Figura 12: La gr´afica de f.
El Teorema 5 mostrar´a que X∞ es un continuo; de hecho, se puede demostrar que X∞
es homeomorfo al arcoiris de Knaster.
Ejemplo 15. Para cada n ∈ N, tomemos Xn = S1 y fn(z) = z2, viendo a z como n´umero
complejo de modulo 1.
f1
ss · · ·
8?9:=; 8?9:=;
f2
fn−1
ss · · ·
ss8?9:=;
fn
ss
Figura 13: Sucesi´on inversa para Xn = S1 y fn(z) = z2.
Al probar el Teorema 5, sabremos que X∞ es un continuo y puede mostrarse que X∞ es
homemorfo al solenoide di´adico.
El resultado que necesitamos para encontrarle sentido a la presentaci´on de ´este concepto
es el siguiente.
Teorema 5. El l´ımite inverso de una sucesi´on inversa de continuos es un continuo.
Demostraci´on. Sea {Xn, fn}∞n
=1 una sucesi´on inversa de continuos y definamos para cada
k ∈ N el conjunto
Qk = {(xn)∞
n=1 : fn(xn+1) = xn, para 1 ≤ n ≤ k} .
Si definimos adem´as, hk((xn)∞n
=1) = (xn)∞n
=k+1, entonces cada hk es un homeomorfismo entre
Qk y Q∞
n=k+1Xn (para la inyectividad, use las funciones de ligadura). Claramente, Qk+1 ⊂
Qk y X∞ = T∞
k=1 Qk.
70
13. Ahora, veremos un criterio para saber si el l´ımite inverso de una sucesi´on inversa de
continuos ser´a un continuo indescomponible.
Una sucesi´on inversa de continuos {Xn, fn}∞n
=1 tiene la propiedad (#) si cumple con lo
siguiente:
(#) Para cada n ∈ N, si Xn+1 = An+1 ∪ Bn+1, con An+1 y Bn+1 subcontinuos de Xn+1,
entonces fn(An+1) = Xn o bien fn(Bn+1) = Xn.
Teorema 6. Si una sucesi´on inversa de continuos {Xn, fn}∞n
=1 tiene la propiedad (#), en-tonces
X∞ es un continuo indescomponible.
La propiedad (#) se le conoce como indescomponible para la sucesi´on inversa de continuos.
Para la demostraci´on, necesitamos del siguiente
Lema 1. Si A es un subconjunto compacto de X∞, entonces
A = ←lim−
{n(A), fn|πn+1(A)}.
A ⊂ X∞
ttiiiiiiiiiiiiiiiiii
π2
yyssssssssss π1
K
KK KK πn
KK K%%KK oo · · ·
1(A) 2(A)
f1|2(A)
oo · · ·
oo n(A)
f2|3(A)
fn−1|n(A)
oo
fn|n+1(A)
Ejercicio 7. Demuestre el Lema usando el diagrama anterior.
Demostraci´on. (Teorema 6). Supongamos que X∞ = A ∪ B, con A y B subcontinuos de
X∞. Demostraremos que alguno de los dos es el total.
Observe que (#) implica que las funciones de ligadura son suprayectivas; as´ı, n es
suprayectiva para cada n ∈ N y
n+1(X∞) = n+1(A) ∪ n+1(B) = Xn+1.
Luego, por (#) fn ◦ n+1(A) = Xn o bien fn ◦ n+1(B) = Xn, es decir,
n(A) = Xn o bien n(B) = Xn para toda n ∈ N.
Es claro que existe un subconjunto infinito J ⊂ N tal que n(A) = Xn para todo n ∈ J o
bien n(B) = Xn para todo n ∈ J. Sin p´erdida de generalidad, supongamos que n(A) = Xn
para n ∈ J y tomamos k ∈ N arbitrario, entonces existe j ∈ J tal que k j y j(A) = Xj ,
as´ı que
k(A) = fk ◦ fk+1 ◦ · · · ◦ fj−1 ◦ j(A) = fk ◦ fk+1 ◦ · · · ◦ fj−1(Xj) = Xk.
{n(A), fn|πn(A)} = lim ←−
Aplicando el Lema 1, A = ←lim−
{Xn, fn} = X∞.
71
14. 3 La propiedad del punto fijo
De los cursos de C´alculo, se puede recordar una propiedad que tiene el intervalo que dice:
“Si f : [0, 1] → [0, 1] es continua, entonces intersecta en al menos un punto a la funci´on
identidad g(x) = x ”.
Se dice entonces que el intervalo posee la propiedad del punto fijo, que a continuaci´on
enunciaremos.
Definici´on 3.1. Decimos que un continuo X tiene la propiedad del punto fijo si para
cualquier funci´on continua f : X → X existe un punto x ∈ X tal que f(x) = x.
As´ı pues, el intervalo es el primer ejemplo que tenemos de un continuo con tal propiedad.
En lo que resta, nuestro objetivo ser´a el ver que el intervalo hereda, en alg´un sentido, la
propiedad del punto fijo a un l´ımite inverso de intervalos. Primero, una definici´on.
Definici´on 3.2. Un continuo se dice ser tipo arco si se puede expresar como l´ımite inverso
de una sucesi´on de arcos con funciones de ligadura suprayectivas.
Necesitaremos m´as adelante del siguiente resultado, que es una generalizaci´on de lo que
ocurre en el intervalo.
Lema 2. Sean X un espacio conexo y f, g : X → [0, 1] dos funciones continuas con g
suprayectiva, entonces existe x ∈ X tal que f(x) = g(x).
X
f
,,
g
2222 [0, 1]
Demostraci´on. Definamos los conjuntos
A = {x ∈ X : f(x) ≤ g(x)}, B = {x ∈ X : f(x) ≥ g(x)}.
Claramente, A y B son subconjuntos cerrados en X, pues son imagen inversa de cerrados bajo
una funci´on continua; tambi´en son no vac´ıos, pues por ser g suprayectiva, existen x0, x1 ∈ X
tales que g(x0) = 0 y g(x1) = 1 por lo que x1 ∈ A, x0 ∈ B. Es evidente que X = A ∪ B y
por ser conexo, A ∩ B6= ∅. Ahora es claro que si x ∈ A ∩ B, entonces f(x) = g(x).
Una funci´on continua g : X → Y es universal si para toda funci´on continua f : X → Y
existe x ∈ X tal que f(x) = g(x). El Lema 2 afirma que toda funci´on continua y sobre el
intervalo [0, 1] es universal.
Lema 3. Sea X un continuo. Si para cada 0 existen un espacio Yε y una funci´on
universal fε : X → Yε tal que para cada y ∈ Yε el di´ametro de f−1
ε (y) es menor que ,
entonces X tiene la propiedad del punto fijo.
A la funci´on fε de la que se habla en el Lema se le denomina -funci´on. Veamos un
ejemplo de este tipo de funciones para entender mejor el enunciado del Lema 3.
72
15. Ejemplo 16. Considere el continuo sen 1
x , denot´emoslo por X. Para 0 sea b ∈ (0, 1] tal
que sen 1
b = 1, con b . Sea A = {sen 1
x : x ≥ b} y B = {sen 1
x : x ≤ b}, entonces X es la
uni´on de A y B; ahora, definamos
fε(x, y) = x si (x, y) ∈ A
h(0, y) si (x, y) ∈ B
donde h : {0} × [−1, 1] → [0, b] es un homeomorfismo que manda al punto (0, 1) en b
y (0,−1) en 0. Claramente, fε es continua en A, pues es la proyecci´on sobre la primer
componente; en B, tenemos que fε es la proyecci´on sobre la segunda componente seguida de
un homeomorfismo. Como fε coincide en la intersecci´on A ∩ B, entonces es continua en
todo X. M´as a´un, por construcci´on tenemos que diamf−1
ε (x, y) y es suprayectiva; por
el Lema 2, fǫ es universal y por el Lema 3, X tiene la propiedad del punto fijo.
Demostraci´on. (Lema 3). Sean f : X → X una funci´on continua y para cada n ∈ N tome
fn : X → Yn una funci´on universal con diamf−1
n (y) 1
n para todo y ∈ Yn.
Observe que para cada n ∈ N, la funci´on fn ◦ f : X → Yn es continua, y por el Lema 2,
existe un punto qn ∈ X tal que
yn ≡ fn ◦ f(qn) = fn(qn).
Como X es compacto, podemos suponer que qn → q ∈ X (por la compacidad secuencial,
existe una subsucesi´on convergente) y por la continuidad de f, tenemos que limn→∞ f(qn) =
f(q); por otro lado, observe que
d(q, f(q)) ≤ d(q, qn) + d(qn, f(q))
≤ d(q, qn) + d(qn, f(qn)) + d(f(qn), f(q)). (1)
n (yn), por lo que d(qn, f(qn)) 1
Es claro que qn, f(qn) ∈ f−1
n; as´ı, por (1) vemos que
d(q, f(q)) ≤ d(q, qn) +
1
n
+ d(f(qn), f(q)),
y tomando l´ımite cuando n → ∞, tenemos que f(q) = q.
Finalmente, presentamos el resultado anunciado.
Teorema 7. Todo continuo tipo arco tiene la propiedad del punto fijo.
Demostracio´n. Sea X∞ = ←lim−{[0, 1], fn} ⊂ Q∞
n=1[0, 1] un continuo tipo arco. Dado 0,
fijamos N ∈ N tal que P∞
n=N
1
2n ε
2 ; demostraremos que N : X∞ → [0, 1], la cual es
suprayectiva y por el Lema 2 universal, es una -funci´on.
=1, (yn)∞n
=1 ∈ −1
Sean t ∈ [0, 1] y (xn)∞n
N (t), entonces xN = yN = t y as´ı, xk = yk para
toda 1 ≤ k ≤ N (use las funciones de ligadura). Luego, tenemos
((xn)∞
n=1, (yn)∞
n=1) =
∞
Xn=1
|xn − yn|
2n =
∞
X n=N+1
|xn − yn|
2n
≤
∞
Xn=1
1
2n
2
.
Por tanto, diam−1
N (t) . Finalmente, el Teorema se sigue aplicando el Lema 3.
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16. Bibliograf´ıa
[1] Nadler, S. B., Continuum Theory, An Introduction. New York: Marcel Dekker, 1992.
[2] Illanes, A., Hiperespacios de Continuos. M´exico: Aportaciones Matem´aticas #28
SMM, 2004.
[3] Escobedo, R.; Mac´ıas, H., Invitaci´on a la Teor´ıa de los Continuos y sus Hiperespacios.
M´exico: Aportaciones Matem´aticas #31 SMM, 2006.
[4] Mac´ıas, H., Topics on Continua. Chapman Hall/CRC, 2005.
[5] Dugundji, J., Topology. Boston: Allyn and Bacon, Inc, 1966.
[6] Hocking, J. G.; Young, G. S., Topology. New York: Dover Publications, Inc, 1988.
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