Recordando qué es una homotecia y sus características

1. Movimientos en el plano
traslación homotecia

2. La homotecia en los movimientos del plano
› Una homotecia es la trasformación geométrica que a partir
de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un
mismo factor. Es una amplificación o simplificación.

3. Partes de una homotecia
› CENTRO DE LA HOMOTECIA: es el punto a partir del cual se
calculan las distancias a los puntos originales . Es invariante, es decir,
su imagen mediante cualquier homotecia es él mismo
RAZÓN: es el número real K por el
que se multiplican las distancias de los originales para transformarlos
mediante la homotecia.
EL PUNTO O:es el centro, 2 es la razón y A' es el transformado de
A. Los triángulos son homotéticos de razón 2.
IMAGEN INTUITIVA: es la proyección de una diapositiva: la
diapositiva y su imagen proyectada son homotéticas.

5. Propiedades de la homotecia
El alineamiento: las imágenes de
puntos alineados son alineados:
(A,B,C) y (A', B', C') en la figura
el centro de un segmento, y más
generalmente
El baricentro: la imagen del
baricentro es el baricentro de las
imágenes. En la figura, B es el
centro de [A;C] y por lo tanto B'
es el de [A';C']

6. Homotecia directa
› La homotecia directa es
cuando k > 0, A y A′ están
al mismo lado de O.

7. 1. Homotecia
1.2 Casos
Al triángulo ABC se le aplica una homotecia de centro O y razón k, transformándose en el triángulo
DEF.
Si k > 1, entonces todas las longitudes se
multiplican por k
O
F
D
E
C
A
B
Si 0 < k < 1, entonces todas las longitudes se
multiplican por k y son
menores en relación al triángulo ABC.
O
C
A
B
F
D
E

8. Homotecia inversa
› La homotecia es inversa
cuando k < 0, A y A′ están a
distinto lado de O.

9. 1. Homotecia
1.2 Casos
Si k = − 1, entonces todas las
longitudes se mantienen,
obteniendo un triángulo DEF
congruente a ABC.
A
B
C
F
D
E
O
Si k < − 1, entonces todas las
longitudes se multiplican por |k|
y son mayores en relación al
triángulo ABC
A
B
C
F
D
E
O
Si − 1 < k < 0, entonces todas
las longitudes se multiplican por
|k| y son menores en relación al
triángulo ABC
A
B
C
D
E
O
F
Si k < 0, la homotecia tiene un efecto simétrico respecto al
centro O, en razón |k|.

10. EJERCICIOS DE
HOMOTECIA

13. MAURITS CORNLIS ESCHER

14. MAURTIS CORNILIS
ESCHER
Maurits Cornelis Escher nació el 17 de junio
de 1898 y murió el 27 de marzo de 1972,
normalmente se conoce como MC Escher,
fue un artista gráfico holandés. Es conocido
por sus grabados en madera a menudo
inspiradas matemáticamente, litografías y
medias tintas. Estos cuentan con
construcciones imposibles, exploraciones
del infinito, la arquitectura y mosaicos.

15. LIMITE CUADRADO
Es un grabado en madera de
1964, fue hecho después de
todas las series de límites
circulares. Su estructura
responde a una reducción
lineal de dentro hacia fuera,
generando una composición
cerrada de cuadrados que se
disponen en una homotecia
central.

16. Grabado en madera del año 1959,
en la que se pueden observar a
peces que nadan en fila uno detrás
de otro, con la cabeza de uno y la
cola del otro en su parte delantera.
En cada conjunto de tres peces
cuyos extremos coinciden en un
punto confluyen también las colas
de otros tres y para que se pueda
adaptar esta estructura a la forma
circular las líneas que siguen los
peces son líneas curvas, de esta
manera el borde del círculo según
se acerca a la circunferencia el
tamaño de los peces se va
reduciendo convirtiendo la
superficie plana en un espacio de
homotecia central.
LIMITE CIRCULAR
TRES

17. Conclusiones
› La homotecia son diferentes transformaciones del plano
que aparte de su valor geométrico, tiene diversas
aplicaciones en la vida practica.
› Para realizar o identificar la homotecia en un plano se
necesita centro de homotecia O y una razón homotética Z.

18. Conclusiones
› Una de las propiedades más importantes de la homotecia,
es las dos figuras homotéticas tienen sus ángulos
homólogos iguales.
› Cada vez que se utiliza una escala, en planos, mapas,
croquis, etc; se está aplicando, de hecho, una razón
homotecia.
› La homotecia solo altera el tamaño de una figura,
haciendo una ampliación o simplificación, pero no
alterando su forma.

19. Bibliografia
› M.C Escher the graphic
work
› Geometría desarrollo
axiomático

20. Links para información ayuda
› www.youtube.com
› www.wikipedia.org
› www.slideshare.net

21. GRACIAS