Este documento introduce los conceptos básicos de los espacios topológicos. Define un espacio topológico como un par (X, τX) donde X es un conjunto y τX es una topología sobre X, es decir, un subconjunto de P(X) que cumple con ciertas propiedades. Presenta varios ejemplos de espacios topológicos simples como Rn y discute conceptos como continuidad y límite que pueden definirse en estos espacios a pesar de la ausencia de una métrica.

1. TOPOLOGIA
1

3. CHAPTER 1
ESPACIOS TOPOL´OGICOS
1. Definici´on y Ejemplos
Los espacios topol´ogicos son la base, entre otras cosas, de la estructura matem´atica
que le dar´a forma a los conjuntos. Como veremos en esta secci´on, basicamente dos
espacios topologicos son los mismos (homeomorficos), si se puede moldear uno de
ellos en plastilina y transformar este hasta llegar al otro sin romper la plastilina,
sin hacerle agujeros. Por ejemplo, un vaso para tomar agua y una pelota, ser´ıan
los mismos desde el punto de vista de la topolog´ıa, as´ı mismo, una taza con una
aza es equivalente a una dona, etc. Estos espacios han adquirido importancia en
varias ramas de la f´ısica y la ingenier´ıa para poder hacer modelos. Por ejemplo, en
la ingenier´ıa, las im´agenes que se obtienen en la computadora son dijitales, estan
hechas por pixeles discontinuos. En este caso, resulta muy inexacto para algunas
aplicaciones tomar el espacio m´etrico correspondiente. En la actualidad existen
varios modelos topol´ogicos que prometen ser m´as eficientes. En f´ısica, los campos
estan cuantizados, el campo gravitacional es el espacio tiempo mismo, si ´este est´a
cuantizado, no pude ser metrizable y por tanto no hay una m´etrica que lo repre-
sente, el campo gravitacional vive entonces en espacios que no pueden ser modelados
por espacios m´etricos simples. Los espacios topol´ogicos podr´ıan ser m´as exactos
en modelar espacios cuantizados o los espacios cu´anticos mismos. La geometr´ıa
diferencial es una herramienta que se utiliza hoy en d´ıa intensivamente en varias
ramas de la ciencia. El control autom´atico necesita de esta herramienta en gran
medida. En este cap´ıtulo veremos tanto la topolog´ıa como la geometr´ıa diferencial.
Iniciemos con la definici´on de espacio topol´ogico.
Definici´on 1. Sea X conjunto y τX ⊂ P (X) subconjunto del conjunto poten-
cia P (X) . Un espacio topol´ogico es el par (X, τX) , tal que: φ y X pertenecen a
τX y τX es cerrado bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas.
Vamos a entender esta definici´on. Explicitamente, un espacio topol´ogico es un
subconjunto del conjunto potencia que cumple con los siguientes axiomas:
i) φ, X ∈ τX es decir, el vacio y todo el conjunto siempre est´an en la topolog´ıa
τX de X.
ii) Si Uα ∈ τX con α ∈ J (J un conjunto de ´ındices) entonces ∪
α∈J
Uα ∈ τX, es
decir, la union arbitraria de elementos de τX es un elemento de τX.
iii) Ui ∈ τX con i = 1, · · · , n implica que ∩n
i=1Ui ∈ τX , es decir, la intersecci´on
finita de elementos de τX es un elemento de τX.
Notaci´on 1. A los elementos de τX se les llama abiertos, a sus complementos
cerrados y a τX se le llama topolog´ıa sobre X.
3

4. 4 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
Comentario 1. Noten que tanto el conjungo vacio φ como todo el conjunto X
son abiertos y cerrados a la vez, ya que φc
= X y Xc
= φ. Esta es una propiedad
de todos los espacios topol´ogicos.
M´as adelante veremos algunos ejemplos de espacios topol´ogicos para ser m´as
explicitos, pero por ahora vamos a definir algunos conceptos que nos van a servir
durante nuestra discusi´on.
Definici´on 2. Sea (X, τX ) espacio topol´ogico, U ∈ τX y x ∈ U. Se dice
entonces que U es una vecindad de x, se denota x ∈ Ux. Un entorno de x ∈ X
es un sobconjunto N ⊂ X, tal que x ∈ N y existe Ux ⊂ N, vean la figura 1.
Es decir, una vecindad de alg´un punto es siempre un abierto que contiene
al punto, mientras el entorno es un conjunto m´as grande que alg´un abierto, que
contiene al punto, pero no es un abierto ´el mismo.
Figure 1. Ux es una vecindad de x, es decir, es un abierto que
contiene a x. Un entorno de x, en cambio, es un sobconjunto de
X tal que x esta en N y N contiene a una vecindad de x.
Definici´on 3. Sea (X, τX) espacio topol´ogico. Una cubierta de A ⊂ X, es
una familia de abiertos U = {Uα}α∈K tal que ∪
α∈K
Uα = A. Una subcubierta V
de U, es una familia V = {Vβ}β∈J tal que V es cubierta de A y Vα ∈ V implica
Vα ∈ U.
En forma sencilla, una cubierta de A es simplemente un conjunto de abiertos
que cubre todo el conjunto A y una subcubierta de la cubierta es un subconjunto
de la cubierta que tambi´en cubre A. Ahora veamos algunos ejemplos de espacios
topol´ogicos.
Exemplo 1. τX = P (X) es siempre una topolog´ıa llamada la topolog´ıa disc-
reta de X en donde cada elemento es un abierto de X.
Exemplo 2. τX = {φ, X} es llamada la topolog´ıa indiscreta de X.
Estos dos ejemplos nos dicen que todo conjunto tiene al menos dos topolog´ıas,
la discreta y la indiscreta. Es decir, se puede hacer de cualquier conjunto un espacio
topol´ogico, incluso de un conjunto de borreguitos del campo.

5. 1. DEFINICI ´ON Y EJEMPLOS 5
Exemplo 3. Si X = {x} , la ´unica topolog´ıa que existe es τX = {{x} , φ}
Exemplo 4. Si X = {a, b} , existen 4 topolog´ıas
a) τ
1
X = P (X) = {φ, {a} , {b} , {a, b}}
b) τ2
X = {{a, b} , φ}
c) τ3
X = {φ, {a} , {a, b}}
d) τ4
X = {φ, {b} , {a, b}}
A las topolog´ıas τ3
X y τ4
X se les llama topolog´ıas de Sierpinski.
Estos son, tal vez, los espacios topol´ogicos m´as simples que podemos construir.
Ahora veremos otros espacios m´as interesantes. Vamos a iniciar con los espacios
ℜn
. Estos son espacios topol´ogicos y tienen, claramente, muchas topolog´ıas. Sin
embargo, la topolog´ıa que generalmente usaremos aqu´ı es la siguiente:
Exemplo 5. X = ℜn
, τX = {uni´on de bolas Br (x0)}, donde Br (x0) =
{x ∈ ℜn
| |x − x0| < r} . Esta es la topolog´ıa can´onica de ℜn
.
Observen que la construcci´on de esta topolog´ıa se basa de hecho en la estructura
m´etrica de ℜn
. La demostraci´on de que esta ´ultima es una topolog´ıa para ℜn
la
incluimos en la construcci´on de una topolog´ıa para todo espacio m´etrico en la
siguiente proposici´on.
Proposici´on 1. Sea (X, d) espacio m´etrico y τ = { conjuntos abiertos en (X, d)} .
Entonces (X, τ) es un espacio topol´ogico.
Dem. 1. Se tiene que:
i) X y φ son abiertos en (X, d) , ya que la bola Bǫ (x) = {y ∈ X | d (x, y) |< ǫ}
⊂ X y φ es abierto trivialmente.
ii) Sea {Aα}α∈I una familia arbitraria de conjuntos abiertos en (X, d) . Para
cada α, Aα es uni´on de bolas, Aα = ∪
β∈K
Bβ (Aα) y la uni´on de la uni´on de bolas
es abierto en (X, d) .
iii) Sean Ai, i = 1, · · · , n conjuntos abiertos en (X, d) y V =
n
∩
i=1
Ai. Si x ∈ V
implica que x ∈ Ai para todo i = 1, · · · , n. Entonces existen {ri > 0}i=1,··· ,n tales
que Bri (x) ⊂ Ai. Tomemos r = min {ri}i=1,··· ,n , entonces Br (x) ⊂ Bri (x) para
todo i = 1, · · · , n y por tanto Br(x) ⊂ Ai para todo i = 1, · · · , n. Esto implica que
Br (x) ⊂ V , i.e. V es conjunto abierto en (X, d) .
Ejercicio 1. Demuestren que en todo espacio topol´ogico la intesecci´on arbi-
traria de cerrados es cerrada y la uni´on finita de cerrados es cerrada.
En los espacios m´etricos y normados es posible definir algunos conceptos como
continuidad o l´ımite debido a la existencia de la m´etrica o de la norma. En los
espacios topol´ogicos esto tambi´en es posible, debido a la existencia de los abiertos.
Vamos a ejemplificar esto dando el concepto de l´ımite de una suseci´on. Veamos:
Definici´on 4. Sea (X, τX) espacio topol´ogico y (xi) una sucesi´on en X, i ∈
Z+
. Se dice que (xi) tiene el l´ımite x (o converge a x) si para todo vecindad
de x, Ux ∈ τX existe un entero positivo N ∈ Z+
tal que xi ∈ Ux para todo indice
i ≥ N. Se denota como xi ⇀ x o lim xi = x.
Como ya vimos, todo espacio m´etrico es topol´ogico, usando los abiertos definidos
por su m´etrica. Sin embargo, lo contrario no siempre se cumple, no todo espacio

6. 6 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
topol´ogico es m´etrico. Es en ´este sentido que los espacios topol´ogicos son m´as gen-
erales que los espacios m´etricos. A veces es posible definir una m´etrica en un espacio
topol´ogico, en ´este caso se dice que el espacio topol´ogico es metrizable, formalmente
se dice que:
Definici´on 5. Un espacio topol´ogico (X, τX) cuyos abiertos son los conjuntos
abiertos del espacio m´etrico (X, d), se dice metrizable. A la topolog´ıa τX sobre X
se le llama topolog´ıa inducida por la distancia d.
Veamos la siguiente interesante proposici´on:
Proposici´on 2. En todo espacio topol´ogico (X, τX) metrizable, para cualquier
par de puntos, siempre existen dos vecindades disjuntas.
Dem. 2. (X, τX) es metrizable, implica que existe una distancia d que induce
τX. Sean x, y ∈ X con x = y, entonces d (x, y) = 2ǫ para alg´un ǫ > 0. Tomemos las
bolas Bǫ (x) = {z ∈ X | d (x, z) < ǫ} y Bǫ (y) = {w ∈ X | d (w, y) < ǫ} , los cuales
son abiertos de τX. Supongamos z ∈ Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) , se sigue que d (x, y) ≤
d (x, z) + d (z, y) < ǫ + ǫ = 2ǫ, pero d (x, y) = 2ǫ, lo cual es una contradicci´on. Por
tanto z /∈ Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) se sigue entonces que Bǫ (x) ∩ Bǫ (y) = φ.
De esta proposici´on se desprende que si queremos construir un espacio topol´ogico
metrizable, le tenemos que pedir primero que existan dos vecindades disjuntas
para cada punto. Mas adelante veremos que a estos espacios se les llama espa-
cios topol´ogicos tipo T2 o Hausdorff.
En ocaciones los conjuntos son productos cartesianos de espacios topol´ogicos o
se pueden descomponer en productos cartesianos de estos. En ese caso, si cada com-
ponente es un espacio topol´ogico, el espacio total tambi´en lo ser´a. Este resultado
se sigue de la proposici´on:
Proposici´on 3. El producto cartesiano de espacios topol´ogicos es un espacio
topol´ogico.
Dem. 3. Sean (X, τX) y (Y, τY ) espacios y (X × Y, τX×Y ) con τX×Y =
{uniones de elementos U × V ∈ τX × τY }. Entonces
i) φ ∈ τX×Y ya que φ = φ × φ, y X × Y ∈ τX×Y ya que X × Y ∈ τX × τY .
ii) Sean W = ∪
α∈j
Uα × Vα y W′
= ∪
β∈k
U
′
β × V
′
β, Uα,U
′
β ∈ τX, Vα,V
′
β ∈ τY ,
para toda α ∈ J, β ∈ K. Entonces W ∩ W′
= ∪
α∈J
Uα × Vα ∩ ∪
β∈k
U
′
β × V
′
β =
∪
(α,β)∈J×K
Uα ∩ U
′
β × Vα ∩ V
′
β ∈ τX×Y .
iii) Sea Wα = ∪
γ∈M
(Uαγ × Vαγ) ∈ τX×Y . Entonces ∪
α∈L
Wα = ∪
(α,γ)∈L×M
Uαγ
×Vαγ
∈ τX×Y .
Al par (X × Y, τX×Y ) se le llama producto topol´ogico de los espacios (X, τX)
y (Y, τY ).
As´ı mismo, se puede construir un espacio topol´ogico de un subconjunto de un
espacio topol´ogico utilizando la topolog´ıa del espacio original. Esto se ve en la
siguiente proposici´on:
Proposici´on 4. Sea (X, τX) espacio topol´ogico y A ⊂ X. Sea τA = {A ∩ U, U ∈ τX}.
Entonces el par (A, τA) es un espacio llamado subespacio topol´ogico de X.

7. 2. CERRADURA, INTERIOR Y FRONTERA 7
Dem. 4. i) φ ∈ τA ya que φ ∩ A = φ y A ∈ τA ya que A ∩ X = A.
ii) Sean Uα ∈ τX y A∩Uα ∈ τA, α ∈ J. Entonces ∪
α∈J
A∩Uα = A∩ ∪
α∈J
Uα ∈ τA.
iii) Sean Ui ∈ τX, i = 1, · · · , n y A ∩ Ui ∈ τA. Entonces
n
∩
i=1
A ∩ Ui =
A ∩
n
∩
i=1
Ui ∈ τA. Se sigue que (A, τA) es espacio topol´ogico.
Notaci´on 2. A τA se le llama la topolog´ıa relativa o inducida por τX
sobre X.
Con esta proposici´on es entonces f´acil ver que muchos espacios son topol´ogicos
porque heredan la topolgia de alg´un espacio mayor. Veamos un ejemplo importante
que usaremos a lo largo de este cap´ıtulo.
Exemplo 6. Sea n ∈ Z. La n-esfera Sn
se define como un subespacio de ℜn+1
como
Sn
= x ∈ ℜn+1
|
n+1
i=1
xi 2
= 1
As´ı,
S0
= x ∈ ℜ | x2
= 1 = {1, −1} ,
S1
= (x, y) ∈ ℜ2
| x2
+ y2
= 1 ,
S2
= (x, y, z) ∈ ℜ3
| x2
+ y2
+ z2
= 1 etc.
La topolog´ıa de Sn
ser´a τSn = {Sn
∩ U | U ∈ τℜn+1 } .
De la misma forma se pueden conocer los cerrados de un subespacio topol´ogico,
conociendo los cerrados del espacio original, usando la proposici´on siguiente:
Proposici´on 5. Sea (A, τA) subespacio topol´ogico de (X, τX) . V ⊂ A es cer-
rado en A s´ı y s´olo s´ı V = A ∩ R con R cerrado en X.
Dem. 5. =⇒) V cerrado en A implica que existe W ∈ τA tal que V = A W,
con W = A ∩ U, lo que implica que V = A A ∩ U = A ∩ Uc
con Uc
cerrado en X.
⇐=) Sea R cerrado en X. Consideremos B = A ∩ R esto implica que Bc
=
A B = A A ∩ R = A ∩ Rc
, y como Rc
es abierto en X, Bc
es abierto en A, es
decir B es cerrado en A.
2. Cerradura, Interior y Frontera
En esta secci´on veremos tres conceptos para distinguir regiones de nuestro
espacio topol´ogico. Si nuestro conjunto tiene una topolog´ıa, podemos distinguir la
regi´on en donde termina el espacio, donde es adentro y afuera. Vamos a definir
estos conceptos. Iniciemos por definir un punto de adherencia.
Definici´on 6. Sea (X, τX) espacio topol´ogico, A ⊂ X y p ∈ X. Un punto de
adherencia p de A es aquel que toda vecindad de p no es disjunta con A, es decir
p es punto de adherencia si para toda Up ∈ τX se cumple Up ∩A = φ, vean la figura
2.
Al conjunto de todos los puntos de adherencia se le llama la clausura, que nos
servir’a para definir el interior del espacio.
Definici´on 7. Al conjunto de puntos de adherencia se le llama clausura y
se denota por A, vean la figura 3

8. 8 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
Figure 2. Los puntos de adherencia del conjunto A. En la figura
se muestran puntos de adherencia y puntos que no son de adheren-
cia del conjunto A.
Figure 3. Los puntos de adherencia forman la clausura del con-
junto A. Hay que comparar esta figura con la figura ??, en donde
se muestran los puntos de adherencia del conjunto A.
Comentario 2. Noten que si p ∈ A, implica que Up ∩A = φ, por tanto A ⊂ A
Veamos una serie de proposiciones referentes a la cerradura de un conjunto,
con el objetivo de concluir que la clausura es un conjunto cerrado. Veamos esto.
Proposici´on 6. A es cerrado ssi A = A.
Dem. 6. =⇒) Sea p ∈ A, i.e. para todo Up ∈ τX se cumple Up ∩ A = φ.
Supongamos que p /∈ A, entonces p ∈ Ac
= X A ∈ τX , ya que A es cerrado.
Entonces existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ X A o sea Vp ∩ A = φ, lo cual contradice el
hecho que p ∈ A, entonces p ∈ A, i.e. A ⊂ A.
⇐=) Sea q ∈ Ac
y por tanto q /∈ A, entonces existe Vq ∈ τX con Vq ∩ A = φ
i.e. Vq ⊂ Ac
para toda q. Entonces Ac
es abierto.

9. 2. CERRADURA, INTERIOR Y FRONTERA 9
Corolario 1. A cerrado implica que A es cerrado.
Proposici´on 7. A es la intersecci´on de todos los cerrados en X que contienen
a A.
Dem. 7. Sea R = {Rα | A ⊂ Rα, Rα cerrado}α∈J . Sea x ∈ ∩
α∈j
Rα. De-
mostremos que x es punto de adherencia de A, o sea que x ∈ A. Sea M ∈ τX con
x ∈ M. Supongamos M ∩ A = φ esto implica que A ⊂ Mc
que es un cerrado
que contiene a A, entonces x ∈ Mc
ya que Mc
= Rα para alg´un α, lo que es una
contradicci´on. Por lo tanto M ∩ A = φ. Sea q ∈ A y sea Rα para alg´un α ∈ J.
A ⊂ Rα implica que A ⊂ Rα = Rα se sigue entonces que q ∈ Rα para todo α ∈ J
es decir q ∈ ∩
α∈J
Rα.
Corolario 2. A es cerrado.
Exemplo 7. Los ejemplos m´as representativos y simples son en la recta real con
la topolog´ıa can´onica. Es claro que [a, b] es cerrado. La cerradura de (a, b) = [a, b],
etc.
Exemplo 8. La cerradura del conjunto de los racionales o del conjunto de los
irracionales son los reales, ya que junto a un racional siempre hay un irracional y
junto a un irracional hay un racional.
Exemplo 9. Un ejemplo m´as interesante es el conjunto ℜZ. Observemos que
ℜZ = ℜ.
Ejercicio 2. Demuestren que
a) A ∪ B ⊃ A ∪ B
b) A ∩ B ⊂ A ∩ B
De una manera an´aloga se puede hacer lo mismo para puntos interiores de un
conjunto. Estos se definen como:
Definici´on 8. Sea (X, τX) espacio topol´ogico y p ∈ X. p es punto interior
de A ⊂ X si existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, vean la figura 4.
Definici´on 9. Al conjunto de puntos interiores de A ⊂ X se le llama interior
y se denota por ˚A. Note que p ∈˚A implica que existe Vp ∈ τX con p ∈ Vp ⊂ A, es
decir ˚A⊂ A, vean la figura 5
Proposici´on 8. A es abierto ss´ı A =˚A.
Dem. 8. =⇒) Sea p ∈ A, implica que existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, es decir
p ∈˚A se sigue entonces que A ⊂˚A.
⇐=) Sea p ∈ A, como A =˚A, entonces existe Vp ∈ τX con Vp ⊂ A, esto es, A
es abierto.
Proposici´on 9. ˚A es la uni´on de todos los abiertos de X contenidos en A .
Dem. 9. Sea U = {Uα | Uα ⊂ A. Uα abierto}α∈J . Sea q ∈ ∪
α∈J
Uα entonces
q ∈ Uβ para alg´un β ∈ J tal que Uβ ⊂ A, por tanto q ∈˚A, sea x ∈˚A. Esto implica
que existe Vx ∈ τX con x ∈ Vx ⊂ A, o sea x ∈ ∪
x∈J
Uα, por lo tanto ˚A= ∪
α∈J
Uα.

10. 10 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
Figure 4. La figura muestra los puntos interiores de A y algunos
que no son puntos interiores de A. Compare esta figura con las
figuras ?? y ?? anteriores sobre puntos de adherencia.
Figure 5. El interior de A. Compare esta figura con la figura 3
que muestra la cerradura de A.
Corolario 3. ˚A es abierto.
Exemplo 10. Los ejemplos m´as representativos y simples de nuevo son en la
recta real con la topolog´ıa can´onica. Es claro que (a, b) es abierto. El interior de
[a, b]
o
= (a, b), etc.
Exemplo 11. El interior del conjunto de los racionales o del conjunto de los
irracionales es vacio, ya que no hay abiertos que contengan racionales o irracionales
solamente.
Exemplo 12. Un ejemplo m´as interesante es de nuevo el conjunto ℜZ. Ob-
servemos que (ℜZ)o
= ℜZ

11. 3. FUNCIONES CONTINUAS 11
Entonces, el interior es abierto y la cerradura es un cerrado. Para dar un
criterio de donde termina el espacio topol´ogico, se define la frontera del conjunto.
La idea intiutiva es simple y su definici´on formal es como sigue:
Definici´on 10. La frontera (topol´ogica) de A es la intersecci´on de las cer-
raduras de A y su complemento, se denota ∂A, i.e.
∂A = A ∩ Ac
La frontera de A tiene las siguientes propiedades:
i) ∂A es cerrado, ya que es intersecci´on de cerrados.
ii) ∂Ac
= Ac ∩ (Ac)c
= Ac ∩ A = ∂A
iii) A = A∪∂A ya que si p ∈ A y p /∈ A se sigue que p ∈ Ac
∩A ⊂ Ac ∩A = ∂A,
lo que implica que A ⊂ A∪∂A, de la misma forma, si p ∈ A esto implica que p ∈ A
´o y si p ∈ ∂A implica que p ∈ A ya que ∂A = A ∩ Ac.
iv) ∂A = φ ss´ı A es cerrado y abierto a la vez. Esto es debido a que si ∂A = φ
se sigue que A = A ya que A = A ∪ ∂A, es decir A es cerrado. Por otro lado como
A = A, si A ∩ Ac = φ esto implica que Ac ⊂ Ac
, pero como Ac
⊂ Ac, se sigue que
Ac = Ac
, entonces Ac
es cerrado, por lo que A es abierto. Al contrario, si A es
cerrado, se sigue que A = A, A abierto implica que Ac
es cerrado y por lo tanto
Ac = Ac
. Entonces A ∩ Ac = A ∩ Ac
= φ.
v) ∂X = ∂φ = φ ya que X y φ son abiertos y cerrados.
vi) A es cerrado ss´ı ∂A ⊂ A, ya que A cerrado implica que A = A = A ∪ ∂A y
por lo tanto ∂A ⊂ A. A la inversa ∂A ⊂ A implica que A ∪ ∂A = A = A de donde
se sigue que A es cerrado.
Exemplo 13. Tomemos de nuevo un ejemplo sobre la recta real con la topolog´ıa
can´onica. La frontera de ∂(a, b) = (a, b) (a, b)c = [a, b] (−∞, a]∪[b, ∞) = {a, b},
etc.
Exemplo 14. Regresemos al conjunto ℜZ. Observemos que
∂(ℜZ) = (ℜZ) (ℜZ)c = ℜ Z = Z.
Es decir, el conjunto ℜZ es un conjunto abierto, cuya cerradura es ℜ y su
frontera es Z. Esto tambi´en quiere decir que Z es un conjunto cerrado, pues es la
frontera de ℜZ.
Ejercicio 3. Demuestre que la frontera del conjunto de los racionales o del
conjunto de los irracionales son los reales.
Para terminar esta secci´on, vamos a definir un conjunto denso. Un conjunto es
denso si su cerradura es todo el espacio, esto es:
Definici´on 11. A es denso en X si A = X.
Exemplo 15. Cl´aramente ℜZ es denso en los reales, pues su cerradura son
los reales.
Comentario 3. Note que si A es un espacio m´etrico, A es denso si para todo
x ∈ X y para todo ǫ > 0 existe p ∈ A tal que p ∈ Bǫ(x).
3. Funciones Continuas
En esta secci´on vamos a introducir conceptos t´ıpicos de espacios normados
o m´etricos relacionados con funciones, pero usando s´olo la topolog´ıa del espacio.

12. 12 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
Vamos a iniciar con el concepto de continuidad de funciones en espacios topol´ogicos.
B´asicamente la idea es la misma que en espacios m´etricos, pero como aqu´ı no
tenemos una distancia, tenemos que usar s´olo la existencia de los abiertos. La
idea es entonces, que si podemos mapear un abierto, tan arbitrario (“peque˜no”)
como sea, y ´este es tambi´en abierto en el dominio, entonces la funci´on es continua.
Formalmente se tiene:
Definici´on 12. Sean (X, τX) y (Y, τy) espacios topol´ogicos. Se dice que el
mapeo f : X → Y x → f(x) es una funci´on continua, si f−1
(V ) ∈ τX para todo
V ∈ τY , i.e. preim´agenes de abiertos son abiertas.
Notaci´on 3. Al conjunto de funciones continuas se denota por Map(X, Y ) =
C0
(X, Y ).
Dado que en un espacio m´etrico la topolog´ıa se construye con los abiertos del
espacio, podemos demostrar una serie de proposiciones en espacios topol´ogicos que
despu´es se pueden extender a espacios m´etricos o normados. Veamos la siguiente
proposici´on.
Proposici´on 10. Sean (X, τX ) y (Y, τY ) espacios topol´ogicos f : X → Y,
funci´on. Son equivalentes
1) f es continua.
2) Para todo x ∈ X y Wf(x) ∈ τY existe Vx ∈ τX tal que f(Vx) ⊂ Wf(x)
3) f(A) ⊂ f(A) para todo A ⊂ X
4) f−1(B) ⊂ f−1
(B) para todo B ⊂ Y
5) Si A es cerrado en Y implica que f−1
(a) es cerrado en X.
Dem. 10. 1) =⇒ 2) Sean x ∈ X y Wf(x) ⊂ τY ; como f es continua x ∈
f−1
(Wf(x)) ∈ τx y entonces existe Vx ∈ τX tal que Vx ⊂ f−1
(Wf(x)), se sigue
entonces que f(Vx) ⊂ Wf(x) .
2) =⇒ 3) Sea b ∈ A, entonces para todo Ub ∈ τX se sigue que Ub ∩ A = φ,
entonces φ = f(Ub ∩ A) ⊂ f(Ub) ∩f(A). Sea Wf(b) ∈ τY arbitrario, por 2) existe
Vb ∈ τX con f(Vb) ⊂ Wf(b), por lo que f(Vb) ∩ f(A) ⊂ Wf(b) ∩f(A) es decir
f(b) ∈ f(A).
3) =⇒ 4) Sea a = f−1
(B) con B ⊂ Y ; por 3 f(A) ⊂ f(A) = f (f−1(B)) ⊂ B,
ya que f f−1
(B) ⊂ B. Por lo tanto, tambi´en f−1
f(A) ⊂ f−1
(B) y como
A ⊂ f−1
f(A) tenemos A ⊂ f−1
(B); o sea f−1(B) ⊂ f−1
(B).
4) =⇒ 5) Sea B cerrado en Y , por 4) f−1(B) ⊂ f−1
(B) = f−1
(B) ⊂ f−1(B)
por lo que f−1(B) = f−1
(B), entonces f−1
(B) es cerrado en X.
5) =⇒ 1) Sea B ∈ τY , entonces Bc
es cerrado en Y , como f−1
(Bc
) =
(f−1
(B))c
, por 5) se tiene que f−1
(B)
c
es cerrado en X, o sea f−1
(B) ∈ τX.
Proposici´on 11. La composici´on de funciones continuas es continua.
Dem. 11. Sean (X, τX) , (Y, τY ) y (Z, τz) espacios y f : X → Y, g : Y → Z
funciones continuas. Se tiene que si U′′
∈ τz entonces g−1
(U′′
) ∈ τY y por lo tanto
f−1
(g−1
(U′′
)) = f ◦ g (U′′
) ∈ τZ .
Las funciones en espacios que son productos cartesianos tambi´en tienen un cri-
terio de continuidad. Estas funciones son interesantes y ser´an usadas m´as adelante,
por ahora veamos este criterio de continuidad usando la siguiente proposici´on:

13. 3. FUNCIONES CONTINUAS 13
Proposici´on 12. Sean (X, τX) , (Y, τY ) y (Z, τZ ) espacios y f : X × Y → Z
funci´on. f es continua ss´ı para todo Wf(x,y) ∈ τz existe Ux ∈ τX y Vy ∈ τY tales
que f(Ux × Uy) ⊂ Wf(x,y).
Dem. 12. ⇐=) Sea Wf(x,y) ∈ τZ esto implica que existe Ux ∈ τX, Vy ∈ τY con
f(Ux×Vy) ⊂ Wf(x,y) con Ux×Vy ∈ τX × Y , esto implica que para todo (x, y) ∈ X×
Y existe Ux×Vy ∈ τX × Y tal que Ux×Vy ⊂ f−1
(Wf(x,y)) por lo que f−1
(Wf(x,y)) ∈
τX×Y .
=⇒) Sea Wf(x,y) ∈ τZ , entonces f−1
(Wf(x,y)) ∈ τX×Y esto implica que para
todo (x, y) ∈ f(Wf(x,y)) existe Ux × Vy ∈ τX×Y tal que Ux × Vy ⊂ f−1
(Wf(x,y)),
por tanto f(Ux × Vy) ⊂ Wf(x,y).
Mas adelante, en la construcci´on de los haces, vamos a necesitar el uso de la
proyecci´on, que es una funci´on que mapea solo una parte de un producto cartesiano
de espacios topol´ogicos. Vamos a introducir ahora este concepto.
Definici´on 13. Sea (X × Y, τX×Y ) espacio producto de los espacios (X, τX) y
(Y, τY ). A las funciones Πx : X ×Y → X, (x, y) → x y Πy : X ×Y → Y, (x, y) → y
se les llama las proyecciones de X × Y , ver figura 6.
Figure 6. La proyecci´on del producto cartesiano de X y Y . El
mapeo va de X × Y a X, y mapea el punto (x, y) en x.
Proposici´on 13. Πx y Πy son continuas.
Ejercicio 4. Demostrar la proposici´on.
Definici´on 14. Sea (A, τA) subespacio topol´ogico de (X, τX ). La inclusi´on
de A en X es la funci´on identidad restringida a A , i.e.
i : A → X
x → i(x) ≡ id |X |A
Tambi´en se denota como i : A ֒→ X.

14. 14 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
Proposici´on 14. Sea f continua, f = X → Y y (A, τA) subespacio topol´ogico
de (X, τX). Entonces la restricci´on de f a A es continua.
Ejercicio 5. Demostrar la proposici´on
Ejercicio 6. Demostar que i es continua.
El concepto m´as importante en espacios topol´ogicos es tal vez ´este que nos
da el concepto de isomorfismo entre ellos. Los isomorfismos aqu´ı son llamados
homeomorfismos. Ahora vamos a introducirlos, para esto necesitamos primero el
concepto de funci´on abierta. Iniciemos con ´este.
Definici´on 15. Sea f : X → Y funci´on. f se llama abierta si imagenes de
abiertos son abiertas, i.e. si para todo U ∈ τX se tiene que f(U) ∈ τY .
Definici´on 16. Un homeomorfismo es una funci´on continua, biyectiva y
abierta.
Esta difinici´on nos garantiza entonces que la inversa es una funci´on continua y
abierta. Es decir:
Proposici´on 15. Sea f homeomorfismo, entonces f−1
es continua.
Dem. 13. Por ser biyectiva existe f−1
con f−1
◦ f = Id |X. Por ser abierta
se sigue que f(U) = V ∈ τY para todo U ∈ τx ya que la inversa de f−1
es f. De
donde que f−1
es continua.
Definici´on 17. Dos espacios topol´ogicos se dicen homeomorfos si entre
ellos existe un homeomorfismo. A las propiedades invariantes bajo homeomorfismos
se les llama propiedad topol´ogica.
Es decir, los homeomorfismos me dan un criterio para decir cuando dos espacios
topol´ogicos son el mismo, desde el punto de vista de espacio topol´ogico. Es m´as,
los homeomorfismos separan el conjunto de los espacios topol´ogicos en clases de
equivalencia. Vamos a ver esto, primero veamos que la relaci´on: dos espacios estan
relacionados entre si, si son homeomofos, es una relaci´on de equivalencia.
Proposici´on 16. Sean (X, τX ), (Y, τY ), (Z, τz) espacios. La relaci´on X
hom
∼ Y
“dos espacios son homeomorfos”, es una relaci´on de equivalencia.
Ejercicio 7. Demostrar la proposici´on.
Entonces los espacios homeom´orficos forman clases de equivalencia en las cuales
se conservan sus propiedades topol´ogicas. Estas clases sirven para clasificar a los
espacios topol´ogicos. Otra propiedad interesante y muy importante es el hecho que
los homeomorfismos con la operaci´on de composici´on de funciones forma un grupo,
llamado el grupo de automorfismos. Veamos esto.
Proposici´on 17. Sea (X, τX) espacio topol´ogico y
Aut (X) = {f | f : X − X homeomorfismo}. Entonces el par (Aut(X), ◦) es
un grupo llamado el grupo de automorfismos de X.
Ejercicio 8. Demostrar la proposici´on.
Para terminar esta secci´on veamos ahora el concepto de camino y trayectoria.
Estos conceptos son muy usados para definir geod´esicas y conceptos relacionados
con estas. Formalmente, la definici´on de camino o trayectoria es:

15. 4. TOPOLOG´IA COCIENTE 15
Definici´on 18. Sea (X, τX) espacio topol´ogico e I ⊂ ℜ. A una funci´on c :
I → X se le llama un camino o trayectoria en X.
Entonces, una curva es la imagen de una trayectoria, esto es:
Definici´on 19. Sea c ∈ C0
(I, X). A la imagen de c se le llama la curva de
c.
Estos dos conceptos deben quedar claros, un camino es la funci´on misma mien-
tras que la curva es la imagen de la funci´on. Son conceptos muy distintos, el primero
es un elemento del conjunto de funciones y el segundo es un subconjunto del codo-
minio de la funci´on. Por otro lado, una reparametrizaci´on es una composici´on de
la curva con un automorfismo monotono creciente del dominio I de ℜ de la curva,
es decir:
Definici´on 20. Sea ϕ ∈ Aut+(I) = {f ∈ Aut(I) | f(t′
) > f(t), t′
> t} y c ∈
C0
(I, X). A la funci´on ϕ∗
: C0
(I, X) → C0
(I, X), c → ϕ∗
(c) = c ◦ ϕ se le llama
una reparametrizaci´on de c.
Lo interesante de este concepto es que las curvas (no los caminos) son invari-
antes ante estos automorfismos, es decir:
Proposici´on 18. Las curvas son invariantes bajo reparametrizaciones.
Dem. 14. Sea c ∈ C0
(I, X) trayectoria y Γc = c(I) la curva correspondiente.
Entonces Γϕ∗(c) = ϕ∗
(c)(I) = c ◦ ϕ(I) = c(ϕ(I)) = c(I) = Γc.
Exemplo 16. Al camino c(t) = p para todo t ∈ I se le llama camino con-
stante.
Exemplo 17. Sea c : [0, 1] → X con c(0) = c(1) = p. A este camino se le
llama lazo o loop en X.
4. Topolog´ıa cociente
Imaginemos que podemos construir una funci´on entre dos conjuntos y que el
dominio tiene una topolog´ıa. Entonces podemos mapear los abiertos del dominio
al codominio y definir estos como abiertos del codominio. Surge la pregunta si
ahora las imagenes de estos abiertos forman una topolog´ıa para el codominio. La
respuesta la podemos dar en la siguiente proposici´on.
Proposici´on 19. Sean (X, τX) espacios Y conjunto y f : X → Y funci´on so-
bre. El conjunto τf = V ∈ P(Y ) | f−1
(V ) ∈ τX es una topolog´ıa para Y , llamada
topolog´ıa cociente de Y respecto a f.
Dem. 15. i) φ ∈ τf ya que f−1
(φ) = φ ∈ τX y Y esta en τf ya que f es sobre
y por lo tanto f−1
(Y ) = X ;
ii) Sean V1, · · · , Vn ∈ τf , entonces f−1
(∪n
i=1Vi) = ∪n
i=1f−1
(Vi) ∈ τX se sigue
que ∩n
i=1Vi ∈ τf ya que cada f−1
(Vi) ∈ τX;
iii) Sea {Vα}α∈K con Vα ∈ τf . Entonces f−1
( ∪
α∈K
Vα) = ∪
α∈K
f−1
(Vα) ∈ τX
pues cada f−1
(Vα) ∈ τX, se sigue entonces que ∪
α∈K
Vα ∈ τf .
Vamos a estudiar unos ejemplos de como podemos construir espacios topol´ogicos
usando mapeos sobre. Para hacer esto, lo importante es construir la funci´on sobre
con la cual construimos el espacio topol´ogico del codominio. Sea (X, τX) espacio

16. 16 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
topol´ogico y ∼ una relaci´on de equivalencia en X. La funci´on p = X → X/ ∼ es
una funci´on sobre que asocia a cada elemento de X, x → [x] su clase. La topolog´ıa
τX/∼ = {V ∈ P(X/ ∼) | p−1
(V ) ∈ τX} es una topolog´ıa para el conjunto de clases
de equivancia X/ ∼.
Sea I × I = (x, y) ∈ ℜ2
| 0 ≤ x ≤ 1, 0 < y < 1 subespacio topol´ogico de ℜ2
.
Entonces:
Exemplo 18. Sea la relaci´on de equivalencia pr1
q si p = q ∈ ℜ2
i.e. (x, y) =
(x′
, y′
) , ´o si p = q (p, q) = ((0, y), (1, y)) ´o ((1, y), (0, y)) y la relaci´on pr2 q como
p = q ´o si p = q, (p, q) = ((0, y), (1, 1 − y)) ´o ((1, y), (0, 1 − y)) . Gr´aficamente se
ve en las figura 7 y figura 8.
Figure 7. El producto cartesiano de los intervalos [1, 1] × [1, 1]
con la relaci´on r1, es topologicamente igual al cilindro.
Figure 8. De la misma forma, el producto cartesiano de los in-
tervalos [1, 1] × [1, 1] con la relaci´on r2, es topologicamente igual a
la cinta de M¨obius
Cilindro= I × I/r1, τI×I/r1
Cinta de M¨obius= I × I/r2, τI×I/r2

17. 5. ESPACIOS COMPACTOS 17
Exemplo 19. Sea I
2
= (x, y) ∈ ℜ2
| 0 ≤ x, y ≤ 1 . Sea la relaci´on pr3q si
p = q, ´o p = q, (p, q) = ((0, y), (1, y)) ´o ((1, y), (0, y)) y (p, q) = ((x, 0), (x, 1)) ´o
((x, 1), (x, 0)). Y la relaci´on pr4q si p = q ´o (p, q) = ((0, y), (1, y)) ´o ((1, y), (0, y))
y (p, q) = ((x, 0), (1 − x, 1)) ´o ((1 − x, 1), (x, 0)). Gr´aficamente se ve en las figura
9 y figura 10
Figure 9. El producto cartesiano de los intervalos [1, 1] × [1, 1]
con la relaci´on r3, es topologicamente igual al Toro.
Figure 10. De la misma forma, el producto cartesiano de los in-
tervalos [1, 1] × [1, 1] con la relaci´on r4, es topologicamente igual a
la Botella de Klein.
Toro= I
2
/r3, τI
2
/r3
Botella de Klein= I
2
/r4, τI
2
/r4
5. Espacios Compactos
Entre las nociones intuitivas que tenemos de conjuntos, existen dos clases que
se diferencian notablemente. Existen espacios como ℜ que no tienen fin y otros
como la esfera que son finitos. Por supuesto, desde el punto de vista matem´atico
podemos dar una diferenciacion de estos espacios, ya que no es lo mismo que un

18. 18 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
conjunto no tenga fin o principio o que este conjunto sea simplemeten muy grande.
Para dar una noci´on concreta de estos conceptos, diremos que los conjuntos como
la esfera, son compactos. Basicamente la diferencia es que a la esfera la podemos
cubrir con un n´umero finito de abiertos. La definici´on formal es:
Definici´on 21. Sean (X, τX ) espacio topol´ogico y A ⊂ X. A es un conjunto
compacto si toda cubierta U de A contiene una subcubierta finita.
Proposici´on 20. Sean (X, τX), (Y, τY ) espacios y f : X → Y funci´on con-
tinua. Entonces la imagen de subconjuntos compactos de X son subconjuntos com-
pactos de Y .
Dem. 16. Sea A subconjunto compacto de X y sea V = {Vα}α∈K una cu-
bierta de f(A), entonces V−1
= f−1
(Vα) α∈K
es una cubierta de A. Como A
es compacto, existe una cubierta finita de A, U = f−1
(Vj)
N
J=1
, subcubierta de
V−1
. Como f f−1
(Vj) ⊂ Vj tenemos que f(A) ⊂ f ∪N
j=1f−1
(Vj) ⊂ ∪N
j=1
f f−1
(Vj) ⊂ ∪N
j=1Vj, por lo que {Vj}N
J=1 es una cubierta finita de f(A).
El punto m´as importante de los espacio compacto es el hecho que:
Proposici´on 21. Ser espacio compacto es una propiedad topol´ogica.
Dem. 17. S´olo daremos una idea de la demostraci´on. Se desprende del hecho
que si X es compacto, f(X) lo es y si f es homeomorfismo, f−1
(X) tambi´en es
compacto.
En lo que sigue hablaremos de algunas propiedades de los espacios compactos
y de como se puede saber si un espacio es o no compacto. Por lo general no es f´acil
demostrar que un espacio es o no compacto. Pero usando las dos siguientes proposi-
ciones, de la segunda no daremos su demostraci´on, se puede verificar la propiedad
de compacto en muchas ocaciones. Comencemos por la siguiente proposici´on.
Proposici´on 22. Si (X, τX) es compacto y Y tiene la topolog´ıa cociente τf
con respecto a f : X → Y , sobre, entonces se sigue que (Y, τf ) es compacto.
Dem. 18. Como τY = τf , f es continua y como f es sobre f(X) = Y . Entonces
Y es imagen continua de un compacto por lo tanto es compacto.
Proposici´on 23. [0, 1] ∈ ℜ es compacto.
Otra propiedad que ayuda a verificar si un espacio es o no compoacto es la
siquiente:
Proposici´on 24. Todo subconjunto cerrado de un espacio compacto, es com-
pacto.
Dem. 19. Sea A subconjunto cerrado de X y sea U = {Uα}α∈J una cubierta
de A. A cerrado implica que Ac
∈ τX y Uext = {Uα, Ac
}α∈J es una cubierta de X,
ya que A ⊂ ∪
α∈J
Uα. Si X es compacto, entonces existe una subcubierta finita V de
Uext. Vext = {Vi, Ac
}
n
i=1 que cubre X. Por tanto V = {Vi}
N
i=1 es cubierta finita
de A, ya que para todo Vj ∈ Vext existe Ur ∈ Uext tal que Vj = Ur, es decir, A es
compacto.
Tambi´en es f´acil imaginarse que el producto cartesiano de espacios compactos,
es compacto. Formalmente se tiene la siguiente proposici´on:

19. 5. ESPACIOS COMPACTOS 19
Proposici´on 25. El producto topol´ogico (X × Y, τx×y) es compacto s´ı cada
(X, τX) y (Y, τy) es compacto.
Dem. 20. Solo demostraremos una direcci´on. =⇒) Como X × Y es compacto,
entonces Π1 : X × Y = X y Π2 : X × Y → Y son compactos, ya que Π1 y Π2 son
continuas.
De estas propiedades resultan algunos ejemplos y resultados sencillos. Por
ejemplo tenemos que el n-cubo es compacto, i.e. I
N
⊂ ℜn
es compacto.
Otro concepto relacionado con espacios compactos, es el concepto de conjunto
acotado, concepto que se puede dar en un espacio normado. Entonces podemos
definir conjuntos acotados en los reales, utilizando su norma can´onica. Intuiti-
vamente, un espacio compacto debe ser acotado, finito. Formalmente se tiene la
definici´on:
Definici´on 22. Sea A subconjunto de (ℜn
, τℜn ) y n ∈ Z+
. Se dice que A es
un conjunto acotado si para todo x = (x1
, · · · , xn
) ∈ A, existe K ∈ ℜ+
, tal que
xi
≤ K para todo i = 1, · · · , xm.
Con el siguiente teorema podemos relacionar entonces ambos conceptos.
Teorema 21 (de Heine-Borel). Todo subconjunto de ℜn
cerrado y acotado, es
compacto.
Dem. 22. A acotado ⇒ A ⊂ [−K, K]
n hom
≅ I
n
para alg´un K. A cerrado y
[−K, K]n
compacto implica A compacto.
Ahora usemos lo anterior para verificar si algunos espacios son compactos,
veamos algunos ejemplos.
Exemplo 20. I
n
⊂ ℜn
es cerrado y acotado, por lo tanto es compacto.
Exemplo 21. Sn
⊂ Rn+1
es cerrado y acotado, por lo tanto es compacto, etc.
Otro concepto interesante, que s´olo mencionaremos, es el de espacios paracom-
pactos. Para definirlo, es necesario introducir la siguiente definici´on.
Definici´on 23. Una familia F de subconjuntos de (X, τX) es localmente
finita o finita por vecindades, si para todo x ∈ X existe Ux ∈ τX tal que Ux
intersecta a lo m´as un n´umero finito de elementos de F.
Definici´on 24. Un refinamiento de U es una cubierta V = {Vβ}β∈K de
(X, τX) tel que para todo Vβ ∈ V existe Uα ∈ U con Vβ ⊂ Uα. Se denota por
{Vβ}β∈J < {Uα}α∈J .
Proposici´on 26. Toda subcubierta de una cubierta es un refinamiento.
Dem. 23. Sea V una subcubierta de U, esto implica que para todo Vβ ∈ V
existe Uα ∈ U con Vβ = Uα ⊂ Uα.
Definici´on 25. Un espacio es paracompacto si toda cubierta tiene un refi-
namiento finito por vecindades.
Este concepto, en cierta forma, es m´as general que el concepto de espacios
compactos, ya que:
Proposici´on 27. Todo espacio compacto es paracompacto.

20. 20 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
Dem. 24. X compacto implica que toda cubierta U de X tiene una subcubierta
finita, esto quiere decir que cualquier vecindad Ux de x ∈ X intersecta a lo m´as un
n´umero finito de elementos del refinamiento V de U.
Los espacios que no son compactos, se pueden en ocaciones, compactificar. La
forma m´as simple de entenderlo es dando un ejemplo sencillo. Imaginemos la recta
real, la cual se extiende indefinidamente hacia los n´umeros positivos y negativos.
Ahora tomemos la recta real y unamos los puntos extremos, tanto de lado negativo
como del lado positivo. Lo que se tendr´a es un c´ırculo, que puede ser de radio 1,
por simplicidad. Este c´ırculo es una forma compacta de escribir la recta real, donde
ahora si tenemos un n´umero que representa el infinito (en los reales, el infinito no es
un n´umero, es solo un concepto para designar muy grande). Formalmente se puede
hacer este proceso, siguiendo los pasos de la siguiente proposici´on que enunciaremos
sin demostraci´on.
Proposici´on 28. Sea (X, τX) espacio topol´ogico y ∗ /∈ X. Sea
∧
τ = τX ∪
{V ∪ {∗}}V ∈K con K = {abiertos con complemento compacto en X}. Entonces
1)
∧
τ es una topolog´ıa para
∧
X = X ∪ {∗}
2) (X, τX) es subespacio topol´ogico de
∧
X,
∧
τ
3)
∧
X,
∧
τ es compacto
4) X es denso en
∧
X,
∧
τ si X no es compacto.
Notaci´on 4. A la topolog´ıa
∧
τ = τX ∪ {V ∪ {∗}}V ∈K con K = {abiertos con
complemento compacto en X} se le llama la compactificaci´on por un punto de
(X, τX) o simplemente compactificaci´on de X.
Ahora veamos el ejmplo de la compactificaci´on de la recta real formalmente. Lo
que vamos a hacer es agregarle un punto a la recta real, que podemos llamar tambi´en
el infinito, pero puede ser lo que sea. Y luego definimos un homeomorfismo que vaya
del c´ırculo a la recta real. As´ı demostramos que el c´ırculo es una compactificaci´on
de la recta real. Aqu´ı estudiaremos el ejemplo m´as general de la compactificaci´on
de ℜn
, esto es:
Exemplo 22. La compactificaci´on por un punto de ℜn
est´a dada por
∧
ℜn
=
ℜn
∪ {∞}, veamos esto.
Consideremos la funci´on:
σ : Sn
→ˆℜn
es decir
σ : x1
, · · · , xn+1
→
x1
, · · · , xn
/ 1 − xn+1
si x = (0, · · · , 0, 1)
∞ si x = (0, · · · , 0, 1)
el cual es un homeomorfismo, con inversa σ−1
: ˆℜn
→ Sn
dada por
σ−1
:
x1
, · · · , xn
→ 1
1+(x1)2
+···+(xn)2 2x1
, · · · , 2xn
, (x1
)2
+ · · · + (xn
)2
− 1
∞ → (0, · · · , 0, 1)
Entonces Sn
hom
∼= ˆℜn
. Ejemplos de esto son el c´ırculo S1
hom
∼= ˆℜ y la esfera S2
hom
∼=
ˆℜ2
= ℜ2
∪ {∞} ∼= C ∪ {∞} llamada esfera de Riemann, etc. A la funci´on σ se
le llama proyecci´on estereogr´afica . Vean la figura 11

21. 6. ESPACIOS CONEXOS 21
Figure 11. La proyecci´on estereogr´afica en el plano. Esta funci´on
proyecta los puntos del c´ırculo 1 -1 en la l´ınea recta. De la misma
forma, la proyecci´on estereogr´afica proyecta 1 -1 cualquier esfera
de dimensi´on arbitraria (finita) en un plano de la misma dimensi´on.
Para terminar esta secci´on daremos una clasificaci´on interesante de los espacios
topol´ogicos seg´un su estructura.
Definici´on 26. Sea(X, τX) espacio topol´ogico.
· Se dice que X es espacio T0 si para todo x, y ∈ X , x = y, existe Ux con
y /∈ Ux ´o existe Uy con x /∈ Uy
· Se dice que X es espacio T1 si para todo x, y ∈ X, x = y, existe Ux y Uy
con y /∈ Ux y x /∈ Uy
· Se dice que X es espacio T2 o Hausdorff si para todo x, y ∈ X, x = y,
existe Ux, Uy con Ux ∩ Uy = φ
· Se dice que X es espacio T3 o espacio regular, si X es T1 y si para todo
x ∈ X y F cerrado en X con x /∈ F, existe Ux y U en τX con F ⊂ U y Ux ∩U = φ
· Se dice que X es espacio T4 o espacio normal , si X es T1 y para todo
F, G cerrados disjuntos en X, existe U, V ∈ τX tal que U ∩V = φ y F ⊂ U, G ⊂ V ,
ver figura 12.
Ejercicio 9. Muestre que todo espacio T2 es T1
Ejercicio 10. Muestre que todo espacio T1 es T0
Ejercicio 11. Muestre que todo espacio metrizables es T2
Ejercicio 12. Muestre que todo espacio m´etrico es Hausdorff.
6. Espacios Conexos
Un espacio topol´ogico puede ser tambi´en hecho de piezas separadas, o pedazos
sin uni´on. Cuando los espacios son hechos de una sola pieza, se dice que son espa-
cios conexos. Para definir los espacios conexos es m´as sencillo definir los espacios
disconexos, es decir:
Definici´on 27. Un espacio topol´ogico (X, τX) es disconexo si existen A, B ∈
τX tales que A, B = φ, A ∪ B = X y A ∩ B = φ.

22. 22 1. ESPACIOS TOPOL ´OGICOS
Figure 12. Clasificaci´on de los espacios topol´ogicos.
Definici´on 28. Un espacio es conexo si no es disconexo.
Definici´on 29. Sea (X, τX) espacio topol´ogico y A ⊂ X (subespacio). A es
conexo si lo es como subespacio topol´ogico de X.
Algunos ejemplos simples son:
Exemplo 23. El espacio de Sierpinski es conexo, ya que X = {a, b} y τX =
{φ, {a, b} , {a}}, siempre, ya que {a, b} ∪ {a} = X y {a, b} ∩ {a} = φ.
Exemplo 24. La topolog´ıa discreta es disconexa, ya que para todo A = φ, X
con A ∈ P(X), Ac
∈ P(X) y A ∩ Ac
= φ, con A ∪ Ac
= X
Por definici´on, en un espacio topol´ogico el vacio y todo el espacio son abiertos
y cerrados a la vez. En base a esto, un criterio para decidir si un espacio es conexo,
es el siguiente.
Proposici´on 29. Sea (X, τX) espacio. X es conexo, ss´ı los ´unicos abiertos y
cerrados a la vez son X y φ, adem´as no existe f ∈ C0
(X, {0, 1}) sobre.

23. 6. ESPACIOS CONEXOS 23
Finalmente, ser conexo es tambi´en una propiedad topol´ologica. Para ver esto,
veamos la siguiente proposici´on.
Proposici´on 30. La imagen continua de conexos es conexa.
Dem. 25. Sea f : X → Y continua y (X, τX) espacio conexo. Supongamos que
f(X), τf(x) ⊂ (Y, τY ) no es conexo. Entonces existe g : f(X) → {0, 1} continua
y sobre y por lo tanto g ◦ f ∈ C0
(X, {0, 1}) y es sobre, lo que implica que (X, τX)
no es conexo, lo que contradice la hip´otesis.
Proposici´on 31. Ser conexo es una propiedad topol´ogica.
Dem. 26. Basta tomar un homeomorfismo, como es sobre y continuo, la ima-
gen de un conexo ser´a conexa y lo mismo para la inversa.
Vamos a ver algunos ejemplos representativos:
Exemplo 25. Todos los intervalos en ℜ son conexos.
Exemplo 26. ℜ es conexo, ya que ℜ
hom
∼= (−1, 1) que es conexo.
Exemplo 27. S1
es conexo ya que f : [0, 1] → S1
, τ → (cos (2πt) , sen (2πt))
es continua.