Este documento introduce el concepto de bola abierta y cerrada en un espacio pseudométrico. Explica diferentes notaciones para denotar bolas y cómo estas se interpretan geométricamente en espacios euclídeos. También presenta propiedades de bolas abiertas y cerradas como que forman bases topológicas y son conjuntos abiertos y cerrados respectivamente. Finalmente, incluye ejercicios relacionados con vecindades y bolas.

1. VECINDADES
INTRODUCCION
Sea un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con
que sea pseudodistancia). Sea un número real . Sea . Se define la bola abierta
de centro y radio (o simplemente bola de centro y radio ) como el
conjunto .
Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es . A veces, si
en el espacio existen distintas (pseudo-)distancias definidas, se hace hincapié en qué (pseudo)-
distancia se está usando para definir el conjunto, utilizando esta notación: . En algunos
textos se denota sin embargo por .
En Análisis Funcional, cuando se trabaja con espacios normados se prefiere la notación
para denotar la bola abierta. Así, denota a la bola de centro y radio . La notación
se reserva para las bolas cerradas (con el peligro de confusión que eso genera).
Cuando hablamos de espacios euclídeos, la bola es "redonda", en el sentido intuitivo del término,
por lo que la bola de centro y radio coincide en esos casos con los puntos encerrados en el
interior de una superficie esférica. En el caso particular del plano, la figura entonces obtenida (es
decir, el conjunto ) es el disco (abierto) de
centro y radio , razón por la cual se denota por . Nótese que esta situación
se da en particular en Variable Compleja, siendo entonces la
notación (donde representa el módulo de ).
Aunque no es estándar, sí es usual encontrar textos en los que denota al disco de radio unidad
centrado en el origen, i.e., .

2. DESARROLLO DEL TEMA
Vecindades
Ahora estamos en capacidad de definir el concepto de vecindad de un
Punto en un espacio topológico.
.1 Definición. Sean X un espacio topológico y xϵ X. Un subconjunto
V de X es una vecindad de x si existe un conjunto abierto A tal que x ϵ A
yA . Denotamos por V(x) el conjunto de todas las vecindades de x.
Nótese que un subconjunto A de un espacio topológico X es un conjunto
Abierto si y solo si A es vecindad de cada uno de sus puntos.
El siguiente resultado resume las propiedades más importantes de las
2 Proposición. Sea (X, r) un espacio topológico.
1. x ϵ V para cada V ϵ V(x).
2. Si U, V ϵ V(x) entonces U V ϵ V(x).
3. Si U ϵ V(x) entonces existe V ϵ V(x) tal que U ϵ V (y) para cada
yϵ V .
4. Si U ϵ V(x) y U _ V entonces V ϵ V(x).
Demostración.
1. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definición de
Vecindad.
2. Si A, B ϵ r, x ϵ A, x ϵ B, A c U y B c V entonces A ∩ B ϵ r,
X ϵ A ∩ B y A ∩ B c U ∩V.
3 Puesto que U ϵ V(x) existe V ϵ r tal que x ϵ V
k y V c U. Entonces para cada y V, U ϵ V(y).
4. Si A ϵ r es tal que x ϵ A y A c U entonces también A c V y
Así V ϵ V(x).
3Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ϵ X se ha asignado
Una colección V(x) de subconjuntos de X tal que:
1. x 2 V para cada V ϵ V(x),
2. si U, V ϵ V(x) entonces U ∩ V ϵ V(x),
3. si U ϵ V(x) entonces existe V ϵ V(x) tal que U ϵ V (y) para cada
yϵ V,

3. 4. si U ϵ V(x) y U c V entonces V ϵ V(x),
Entonces existe una topología sobre X tal que para cada x ϵ X la colección
V(x) es precisamente la colección de vecindades de x.
Demostración. Diremos que un conjunto A c X es “abierto” si para cada
x ϵ A existe V ϵ V(x) tal que V c A. Demostraremos ahora que la colección
De conjuntos “abiertos” es una topología sobre X y que la colección de
Vecindades de cada x ϵ X es V(x).
1. Es inmediato que Ø y X son conjuntos “abiertos”.
2. Si A y B son conjuntos “abiertos” y si x ϵ A∩ B, existen U, V ϵ V(x)
Tales que U c A y V c B. Por hipótesis U ∩ V ϵ V(x) y puesto que
U ∩V c A ∩ B, A ∩ B es un conjunto “abierto”.
3. Si A es una familia de conjuntos “abiertos” y x ϵ A entonces x ϵ A
Paraalgún A ϵ A. Existe V ϵ V(x) tal que V c A, así V c U A y se
Concluye que U A es un conjunto “abierto”.
Entonces la colecciónr de conjuntos “abiertos” es una topología sobre X.
Por otra parte, si W es una vecindad de x existe A ϵ r tal que x ϵ A y
A c W. Como A ϵ r, existe V ϵ V(x) tal que V c A, entonces V c W,
Luego W ϵ V(x).
De manera recíproca, si V 2 ϵ V(x) y si además
U = {y ϵ V: V es una vecindad de y},
Entonces U es un conjunto abierto que contiene a x y está contenido en V.

4. INTERPRETACION GEOMETRICA
Del Análisis de estas funciones puede extraerse la idea intuitiva de que el límite de una
Función f, cuando x
Tiende a x0, es L si puede lograrse que f(x) esté tan próximo a L como se desee, siempre
que se tomen valores
De x lo suficiente próximos a x0. Esto significa que la distancia entre f(x) y L puede
hacerse tan pequeña
Como se desee y de aquí que para cada número positivo £, por pequeño que este sea, se
tenga que: | f(x) - L
| < £ "http://www.ecured.cupara ciertos valores de x"http://www.ecured.cu.
Podemos concluir que para cada £ > 0 debemos encontrar un número ð > 0 de tal forma que
para todo x
Satisfaga
0 < | x - x0 | < ð se tenga | f(x) - L | < £. Si para todo £ > 0 se puede hallar este número ð >
0, diremos que el
Límite de la función f cuando x tiende a x0 es L

5. PROPIEDADES
Toda bola abierta es un conjunto abierto.
El conjunto de todas las bolas abiertas de un espacio pseudométrico (
) forman una base de la topología asociada a la pseudodistancia.
Si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (por ejemplo, el punto ), el conjunto
de bolas abiertas centradas en ( ) forman una base de entornos de . En
concreto es una base de entornos abiertos, conexos, conexos por caminos y simplemente
conexos. Si el espacio es además un espacio vectorial topológico, también es base de
entornos convexos. De hecho, podemos tomar la siguiente base de
entornos: que (además de tener todas las propiedades
antedichas) es numerable. Esto prueba que todo espacio pseudométrico cumple el Primer.
Si el espacio es un espacio normado, toda bola abierta es homeomorfa al espacio.
En matemática (en concreto en topología y en las ramas que la utilizan), una bola cerrada es un
conjunto de puntos que distan de otro no más que un cierto radio. Es un concepto fundamental en
el Análisis.
Toda bola cerrada es un conjunto cerrado.
El conjunto de todas las bolas cerradas de un espacio pseudométrico (
) no forman una base de los cerrados de la topología asociada a
la seudodistancia.Sin embargo, si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (por
ejemplo, el punto ), el conjunto de bolas cerradas centradas en ( )
forman una entornos de . En concreto es una base de entornos
cerrados, compactos, conexos, conexos por caminos y simplemente conexos. Si el espacio es
además un espacio vectorial topológico, también es base de entornos convexos. De hecho,
podemos tomar la siguiente base de entornos: que (además de
tener todas las propiedades antedichas) es numerable. Esto prueba que todo espacio
pseudométrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.

6. EJERCICIOS
1. Suponga que T1 y T2 son dos topologías sobre el mismo conjunto X y
Que T1 es más fina que T2. Compare las colecciones de vecindades de un
Mismo punto en los dos espacios topológicos.
2. Sea X un espacio topológico y suponga que para cada x ϵ X la colección
B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x. Pruebe los
Siguientes hechos:
a) Si V ϵ B(x), entonces x ϵ V.
b) Si V1, V2 ϵ B(x), entonces existe V3 ϵ B(x) tal que V3 c V1 ∩ V2.
c) Si V ϵ B(x), existe U ϵ B(x) tal que sí y ϵ U entonces W c V
Para algún W ϵ B (y).
d) Un subconjunto A de X es abierto si y solo si contiene una vecindad
Básica de cada uno de sus puntos.
3. Sea t = {(x, y) ϵ R2: y ≥ 0}. Para cada z = (x, y) ϵ t considere
La colección B (z) definida de la siguiente manera: Si y > 0 B (z) es la
Colección de todas las bolas abiertas usuales centradas en z con radio
Menor o igual que yy si y´ = 0, V (z´) es la colección de todos los
Conjuntos de la forma {z´} U A donde A es una bola abierta contenida en
t tangente al eje real en z´. Demuestre que estas colecciones satisfacen
Las hipótesis de la Proposición.
4. Para cada punto z del plano definimos B (z) como la colección de todos
Los conjuntos de la forma {z} U A donde A es una bola abierta usual,
Centrada en z, de la cual se ha removido un número finito de segmentos
De línea que pasan por z. Demuestre que estas colecciones satisfacen
Las hipótesis de la Proposición.
5. Para cada número real x distinto de 0 definimos B(x) como la colección
De todos los intervalos abiertos centrados en x mientras que los elementos
De B (0) serán los conjuntos de la forma (−∞, −n) U (−ϵ , ϵ ) U (n, ∞)
Donde n ϵ N y ϵ > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las
Hipótesis de la Proposición
6. Consideremos el conjunto R” de todas las funciones definidas del intervalo
I = [0, 1] en R. Para cada f ϵ R” definimos B (f) como la colección de todos los conjuntos
de la forma U (f, F, ð) = {g ϵ R”: |g(x) −f(x)| < ð, para cada x ϵ F} donde F es un
subconjunto finito de I y ð > 0. Demuestre que estas colecciones satisfacen las hipótesis de
la Proposición.