En este material tenemos los tipos de simetrías,tipos de intersecciones,clasificación de las asíntotas y una descripción de una gráfica de funciones

1. INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCACIÓN “Dr. Raúl Peña”
Decreto de Creación Nº 31.003 del 16 de enero de 1968
Ley de Autonomía Institucional Nº 1.692 del 7 de Mayo del 2001
LICENCIATURA ARTICULADA
Módulo: Análisis Matemático
Tema: Análisis de Funciones.
Alumna: Angela María Duarte Verdún.
Profesor: Lic. Nelson Aldana Romero
Asunción-Paraguay
2012

2. Análisis de Funciones
Simetría
a. Simetría respecto del eje de ordenadas
Función par
f(-x) = f(x)
b. Simetría respecto al origen
Función impar
f(-x) = -f(x)

3. Intersecciones
Puntos de corte con los ejes
Puntos de corte con el eje OX
Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos f(x) = 0 y resolvemos la
ecuación resultante.
Punto de corte con el eje OY
Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor
de f (0).
Ejemplo de puntos de corte con los ejes
Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

4. Asíntotas
ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando
indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al
infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal
forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras
que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta
recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
Si existe un número “a” tal, que:
La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
Es la asíntota vertical.

5. b.Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite:
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
Es la asíntota horizontal.

6. b. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites:
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
Es la asíntota oblicua.
Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de
unas, implica la no existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites
laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas
por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

7. Ejemplo:
Gráficas de funciones
Repasemos el procedimiento para obtener la gráfica de una función:
Determinar el dominio.
Determinar intersecciones con los ejes.
Determinar si tiene simetría.
Encontrar las asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) si las hay
Calcular y .
Obtener los puntos críticos de (donde es cero o no existe), en estos puntos
es donde pueden estar los máximos y mínimos locales.
Obtener los puntos críticos de (donde . es cero o no existe), en estos
puntos es donde pueden estar los puntos de inflexión.
Determinar los intervalos de crecimiento ( ) y decrecimiento ( ).
Determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba ( ) y
cóncava hacia abajo ( ).
Encontrar los máximos y mínimos locales con la prueba de la primera derivada y/o
de la segunda derivada.
Encontrar los puntos de inflexión (donde cambia de signo)
Veamos un ejemplo donde apliquemos esto para la función
El dominio de la función son todos los reales pues es un polinomio.
Haciendo tenemos que es la intersección con el eje . Las raíces están
dadas por la solución de la ecuación
Para resolverla hacemos con lo que obtenemos una ecuación cuadrática en
Usando la fórmula cuadrática obtenemos y , y como
Las raíces de son
La función es par pues y no
tiene asíntotas. Calculando la primera y segunda derivadas:
está definida para todo los reales
y y . Estos son los puntos críticos de
, donde pueden estar los máximos y mínimos locales.

8. . Está definida para todos los reales y
. Estos son los puntos críticos de
, donde pueden estar los puntos de inflexión.
Dividimos el dominio de la función en intervalos utilizando todos estos puntos y obtenemos
el signo de y en los intervalos, de donde deducimos los intervalos de crecimiento,
decrecimiento y concavidad. Así mismo esto nos permite determinar los máximos, mínimos
y puntos de inflexión. Todo esto se resume en la siguiente tabla
Vemos que cambia de negativa a positiva en por lo que la función tiene
un mínimo en esos puntos (prueba de la primera derivada). Alternativamente vemos que
y , lo que corresponde a mínimos (prueba de la segunda
derivada). En la primera derivada cambia de positiva a negativa, lo que indica que
se tiene un máximo (y se comprueba con la segunda derivada), mientras que en
cambia la concavidad por lo que son puntos de inflexión. Con toda esta información
obtenemos la gráfica que se muestra en la figura.

9. Fuente de Consulta
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html
 http://www.vitutor.net/1/44.html
 http://html.rincondelvago.com/estudio-de-una-funcion.html
https://calculouam.wordpress.com/2011/03/30/graficas-de-funciones/