Estudiemos los elementos de la parábola y sus fórmulas...

1. Elementos de una función cuadrática
Distinción entre ceros y raíces de una función cuadrática
Las funciones cuadráticas se llaman de esa forma ya que el
exponente mayor de la variable “x” es 2, es decir es cuadrático.
Por lo tanto la función cuadrática se describe de la siguiente
manera:
Donde los valores de “a”, “b” y “c” son números reales. Existen funciones cuadráticas completas e
incompletas:
 Completas: Son aquellas que tienen la forma:
 Incompletas: Son aquellas que pueden tener las siguientes formas:
Para poder encontrar los valores que resuelven estas funciones es necesario igualar la función a
“cero”, de allí el nombre que se le da a las soluciones de la ecuación cuadrática de “Cero de la
función”. También se les conoce como raíces porque toda ecuación cuadrática se puede
resolver por medio de la fórmula general la cual implica una raíz cuadrada.
Pero es importante hacer una distinción, los valores que cruzan el eje de las “x” se les
llaman cero de función y los valores que no cruzan el eje de las “x” se llaman raíces de la
función.
Si después de resolver las operaciones dentro de la raíz cuadrada de la fórmula general, nos da
como resultado un número negativo entonces, esa función tiene raíces de la función si el valor
es positivo la función tiene ceros.
Ejemplos incisos a, b, c y d
De las siguientes funciones cuadráticas, encontrar cuáles tienen ceros y
cuáles tienen raíces:
Para ello se utilizará la fórmula general para determinar si las funciones
tienen ceros o raíces.

2. Pasos Procedimiento
Inciso a:
Donde:
Sustituyendo en la
fórmula:
Resultado
Como se puede observar dentro de la raíz cuadrada hay un número
negativo, por lo tanto se puede concluir que esta función tiene RAICES.
Pasos Procedimiento
Inciso b:
Donde:
Sustituyendo en la
fórmula:
Resultado
Como se puede observar dentro de la raíz cuadrada hay un número positivo
por lo tanto se puede concluir que esta función tiene CEROS.
Pasos Procedimiento

3. Inciso c:
Donde:
Sustituyendo en la
fórmula:
Resultado
Como se puede observar dentro de la raíz hay un número negativo por lo
tanto se puede concluir que esta función tiene RAICES.
Pasos Procedimiento
Inciso d:
Donde:
Sustituyendo en la
fórmula:
Resultado
Como se puede observar dentro de la raíz hay un número positivo por lo
tanto se puede concluir que esta función tiene CEROS.
Vértice, gráfica e imagen de una función cuadrática
La función cuadrática tiene varios elementos que la componen, en este tema solo se abordarán
tres de esos elementos que son: vértice, gráfica y la imagen de la función cuadrática.
Se debe distinguir que una función cuadrática, puede ser cóncava hacia arriba o cóncava hacia
abajo, tal como lo muestran las siguientes gráficas.

4. Para determinar si la concavidad de la función será hacia arriba o abajo solo es necesario aplicar
la siguiente regla:
 Si el valor de “a” de la función cuadrática es mayor que cero la función es cóncava hacia
arriba.
 Si el valor de “a” de la función cuadrática es menor que cero la función es cóncava hacia
abajo.
En la siguiente gráfica se observa el vértice, el cual es el punto máximo o el punto mínimo de la
parábola.

5. Dentro de una gráfica, es sencillo determinar en donde está el vértice, ¿pero qué pasa si la
función está dada como una ecuación? ¿Cómo se calcula el vértice de la función?
Para resolver estas incógnitas se basará en la representación en forma estándar de una función
cuadrática. La cual permite determinar de manera analítica en qué posición del plano cartesiano
se encuentra localizado el vértice.
La forma estándar de la función cuadrática es la siguiente:
En donde el vértice está dado por el punto para lo cual se tendrán tres casos para
determinar el vértice, dependiendo de la forma de la ecuación:
Si la ecuación tiene la forma:
El vértice esta
en:
El vértice esta
en:
El vértice esta en:
Determinar el vértice de las siguientes funciones cuadráticas:

6. Respuestas a los incisos:
Inciso a:
Como se puede observar la función es de la forma por lo tanto
el vértice está en
Inciso b:
Como se puede observar la función es de la forma por lo tanto
el vértice está en
Inciso c:
Como se puede observar la función es de la forma por lo
tanto el vértice está en
Inciso d:
Como se puede observar la función es de la forma por lo
tanto el vértice está en
Ejemplo inciso e
Encuentra el vértice:
Pasos Procedimiento
Inciso e: Para este ejemplo se debe de
cambiar a la forma estándar, es decir deberá de quedar de la
siguiente manera:
Para poder llegar a ese resultado, a la función original se aplica un
procedimiento de factorización que se llama completar el Trinomio
Cuadrado Perfecto, a continuación se explica el procedimiento
paso a paso con el ejemplo.

7. 1er paso: Para aplicar
este procedimiento el
coeficiente de la variable
al cuadrado deberá de
ser 1.
Esta función sí cumple con esta regla.
2do paso: Se toma el
coeficiente (sin signo)
de la variable con
exponente uno.
En este caso es 6.
3er paso: Este valor se
divide entre 2 (siempre
es entre 2).
El resultado es 3.
4to paso: El resultado
se eleva al cuadrado:
5to paso: Este
resultado se suma y se
resta a la función
original. NOTA: Esto se hace con la finalidad
de no alterar la ecuación original, ya
que el valor que se le está agregando
a la función original es CERO.
6to paso: Se reordena
la ecuación de la
siguiente manera:
7mo paso: Se
factorizan los 3 primeros
términos de la función
reordenada, al realizar
la reordenación se
forma un Trinomio
Cuadrado Perfecto, el
cual queda factorizado
de la siguiente manera:
8vo paso: Se suman
términos semejantes.
Observa la función:
Se parece a la forma
estándar:
y el resultado es:
por lo
tanto despejando
y
Resultado
Por lo tanto el vértice está en el punto

8. Ejemplo inciso f
Encuentra el vértice:
Pasos Procedimiento
Inciso f:
Para este ejemplo se debe de cambiar a la forma estándar, es
decir deberá de quedar de la siguiente manera:
Para poder llegar a ese resultado, a la función original le vamos a
aplicar un procedimiento de factorización que se llama completar
el Trinomio Cuadrado Perfecto, a continuación se explica el
procedimiento paso a paso con el ejemplo.
1er paso: El coeficiente de
“x” al cuadrado no es uno.
Por lo tanto se divide TODA la
función entre 2, para que se cumpla
la primera regla. Quedando de la
siguiente forma:
2do paso: Se toma el
coeficiente (sin signo) de la
variable con exponente uno.
En este caso es
3er paso: Este valor se
divide entre 2 (siempre es
entre 2).
El resultado es
4to paso: El resultado se
eleva al cuadrado:
5to paso: Este resultado se
suma y se resta a la función
original.
NOTA: Esto se hace con la
finalidad de no alterar la ecuación
original, ya que el valor que se le
está agregando a la función original
es CERO.
6to paso: Se reordena la
ecuación de la siguiente
manera:
7mo paso: Se factorizan los

9. 3 primeros términos de la
función reordenada, al
realizar la reordenación se
forma un Trinomio
Cuadrado Perfecto, el cual
queda factorizado de la
siguiente manera:
8vo paso: Se suman
términos semejantes y se
multiplica por 2 cada
término.
Observa la función:
La forma estándar es:
y el resultado es:
, por lo tanto
despejando
y .
Resultado
Por lo tanto el vértice esta en el punto

10. Gráfica de una función cuadrática:
Para realizar la gráfica de una función cuadrática, lo primero que se debe de hacer es
transformarla a la forma estándar, para con ello determinar el vértice y con el valor de “a”
definimos si es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Con dos valores que le demos a “x”
podremos dibujar la función cuadrática.
Ejemplo inciso a
Determina la gráfica de las siguientes funciones:
Pasos Procedimiento
Inciso a:
Primeramente se debe transformar la función a la forma estándar. Para ello se
aplica la técnica de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.

11. 1er paso: El coeficiente
de “x” al cuadrado es
uno.
2do paso: Se toma el
coeficiente (sin signo) de
la variable con
exponente uno.
En este caso es
3er paso: Este valor se
divide entre 2 (siempre
es entre 2).
El resultado es
4to paso: El resultado se
eleva al cuadrado:
5to paso: Este resultado
se suma y se resta a la
función original. NOTA: Esto se hace con la finalidad de no
alterar la ecuación original, ya que el valor
que se le está agregando a la función original
es CERO.
6to paso: Se reordena
la ecuación de la
siguiente manera:
7mo paso: Se factorizan
los 3 primeros términos
de la función reordenada,
al realizar la
reordenación se forma
un Trinomio Cuadrado
Perfecto, el cual queda
factorizado de la
siguiente manera:
8vo paso: Se suman
términos semejantes.
Observa la función:
La forma estándar es:
y el resultado es:
por lo tanto ,
despejando h
Por lo tanto el vértice esta en el punto

12. Como el valor de “a” es
positivo, es cóncava
hacia arriba, ahora se
asignan valores de “x”
considerando el valor de
“x” del vértice.
Graficando estos datos se obtiene la siguiente gráfica:
Resultado
Ejemplo inciso b
Determina la gráfica de las siguientes funciones:
Pasos Procedimiento
Inciso b:
Primeramente se debe de transformar la función a la forma estándar. Para ello se
aplica la técnica de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.
1er paso: El coeficiente
de “x” al cuadrado no es
uno, por lo tanto se
factoriza con término
común -3, solo los
términos que tienen
variable.

13. 2do paso: Se toma el
coeficiente (sin signo) de
la variable con
exponente uno.
En este caso es
3er paso: Este valor se
divide entre 2 (siempre
es entre 2).
4to paso: El resultado se
eleva al cuadrado:
5to paso: Este resultado
se suma y se resta a la
función original.
NOTA: Esto se hace con la finalidad de no
alterar la ecuación original, ya que el valor
que se le está agregando a la función original
es CERO.
6to paso: Se reordena la
ecuación de la siguiente
manera:
7mo paso: Se factorizan
los 3 primeros términos
de la función reordenada,
al realizar la
reordenación se forma
un Trinomio Cuadrado
Perfecto, el cual queda
factorizado de la
siguiente manera:
8vo paso: Se suman
términos semejantes.
Observa la función:
La forma estándar es:
y el resultado es:
por lo tanto
despejando “h”

14. Por lo tanto el vértice está en el punto
Como el valor de “a” es
positivo, es cóncava
hacia arriba, ahora se le
asignan valores de “x”
considerando el valor de
“x” del vértice.
Graficando estos datos se obtiene la siguiente gráfica:
Resultado
Ejemplo inciso c
Determina la gráfica de las siguientes funciones:
Pasos Procedimiento
Inciso c:
Primeramente se debe de transformar la función a la forma estándar. Para ello se
aplica la técnica de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.
1er paso: El coeficiente

15. de “x” al cuadrado es
uno, pero se factoriza por
el signo negativo.
2do paso: Se toma el
coeficiente (sin signo) de
la variable con exponente
uno.
En este caso es 10
3er paso: Este valor se
divide entre 2 (siempre
es entre 2).
5.
4to paso: El resultado se
eleva al cuadrado:
5to paso: Este resultado
se suma y se resta a la
función original. NOTA: Esto se hace con la finalidad de no
alterar la ecuación original, ya que el valor
que se le está agregando a la función original
es CERO.
6to paso: Se reordena la
ecuación de la siguiente
manera:
7mo paso: Se factorizan
los 3 primeros términos
de la función reordenada,
al realizar la
reordenación se forma un
Trinomio Cuadrado
Perfecto, el cual queda
factorizado de la
siguiente manera:
8vo paso: Se suman
términos semejantes.
Observa la función:
La forma estándar es:
y el resultado es:
por lo tanto
despajando “h”
Por lo tanto el vértice esta en el punto

16. Como el valor de “a” es
positivo, es cóncava
hacia arriba, ahora se le
asignan valores de “x”
considerando el valor de
“x” del vértice.
Graficando estos datos
se obtiene la siguiente
gráfica:
Resultado
Ejemplo inciso d
Determina la gráfica de las siguientes funciones:
Pasos Procedimiento
Inciso d:
Primeramente se debe transformar la función a la forma estándar. Para ello se
aplica la técnica de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.
1er paso: El coeficiente
de “x” al cuadrado es
diferente de uno.
Factorizando solo los

17. términos que contienen
variables:
2do paso: Se toma el
coeficiente (sin signo) de
la variable con
exponente uno.
En este caso es 4
3er paso: Este valor se
divide entre 2 (siempre
es entre 2).
2
4to paso: El resultado
se eleva al cuadrado:
5to paso: Este resultado
se suma y se resta a la
función original. NOTA: Esto se hace con la finalidad de no
alterar la ecuación original, ya que el valor
que se le está agregando a la función original
es CERO.
6to paso: Se reordena la
ecuación de la siguiente
manera:
7mo paso: Se factorizan
los 3 primeros términos
de la función
reordenada, al realizar la
reordenación se forma
un Trinomio Cuadrado
Perfecto, el cual queda
factorizado de la
siguiente manera:
8vo paso: Se suman
términos semejantes.
Observa la función
La forma estándar es:
y el resultado es:
, por lo tanto
despejando “h”
Por lo tanto el vértice está en el punto

18. Como el valor de “a” es
positivo, es cóncava
hacia arriba, ahora se le
asignan valores de “x”
considerando el valor de
“x” del vértice.
Graficando estos datos se obtiene la siguiente gráfica:
Resultado
Imagen de las funciones cuadráticas:
Para determinar la imagen de las funciones cuadráticas, sólo es necesario observar hacia donde
está la concavidad, y la imagen está determinada desde el vértice de la función hacia el infinito
positivo o infinito negativo del eje “y”.
Ejemplos:
 Si la función es cóncava hacia arriba y el vértice está en el punto , entonces la imagen
es desde -1 hasta el infinito positivo.
 Si la función es cóncava hacia abajo y el vértice está en el punto , entonces la imagen
es desde el infinito negativo hasta -1.
Crecimiento y decrecimiento
En las funciones cuadráticas se observa que crece (aumenta el valor de “y”) llegando a un punto
llamado vértice, en el cual la función decrece (disminuye el valor de “y”) dependiendo el intervalo
que se considere.
En las siguientes gráficas se observan los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como
determinar si la función tiene un máximo o un mínimo.

19. Por lo tanto, para poder determinar si la función “crece” o “decrece” en el intervalo descrito es
importante realizar la gráfica, observar en los intervalos dónde la función es creciente y

20. decreciente.
Ejemplo 1. En la gráfica 2, en el intervalo de menos infinito hasta cero, la función es creciente.
En el intervalo de cero a más infinito, la función es creciente.
Ejemplo 2. En la gráfica 1, en el intervalo de “x” [-5,-1], la función es decreciente.
Modelación de fenómenos
Cuando se habla de fenómenos, se refiere a que se puede expresar por medio de ecuaciones
cuadráticas la solución de problemas, para ello revisa los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Regina es 7 años mayor que Sebastián. Si el producto de sus
edades es de 60, ¿cuál es la edad de Sebastián?
Pasos Procedimiento
Datos: Edad de Sebastián: ya que no se
conoce la edad.
Edad de Regina:
Producto de la edades: 60 años
Operación:
Resolviendo la
ecuación cuadrática,
utilizando fórmula
general:
Resultado
Como no pueden existir edades negativas, la edad de Sebastián
es de: 5 años.

21. Ejemplo 2
Se fabrica una caja de cartón a partir de una hoja rectangular, a la
cual se le cortan en las esquinas cuadrados de 4 pulgadas y se
doblan los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de 3
pulgadas menos que el largo y la caja contiene 280 pulgadas
cúbicas. Encuentra las dimensiones de la hoja de cartón.
Pasos Procedimiento
Datos: Ancho de la caja: ya que no se conoce.
Largo de la caja
Altura de la caja: 4 pulgadas.
Volumen de la caja: 280 pulgadas cúbicas.
Operación:
Resolviendo la
ecuación cuadrática,
utilizando fórmula
general:
Resultado
Como no pueden existir valores negativos, el ancho de la hoja que
se le cortaron las esquinas es de
Largo es:
Por lo tanto, la hoja rectangular de cartón de la cual se fabricó la
caja es de: 15 x 18 pulgadas.