Trabajo practico de la materia MATEMATICAS Y CIENCIAS de la Universidad Nacional Abierta, República Bolivariana de Venezuela

1. [3]
1) COMPORTAMIENTO DE UN FLUIDO EN UN MEDIO POROSO (Objetivo 6)
Waclaw Sierpinski (1882 – 1969) fue un matemático polaco. Son notables sus
aportaciones a la teoría de conjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría
de funciones. En el estudio de los fractales existe “La alfombra o Tapiz de
Sierpinski”, construya un modelo matemático utilizando este estudio que le permita
describir el comportamiento (cualitativamente) para modelar el fluido en un medio
poroso. Escriba un informe donde reporte su solución al problema planteado
siguiendo los pasos para elaborar un modelo.
Este modelo se construirá de una manera empírica, recreando una
situación didáctica en el aula de clases de educación media general, con el
propósito de evidenciar como una situación real se puede modelar
matemáticamente, de donde se obtienen ecuaciones que se aproximan al
comportamiento de tal situación. Por esto la construcción del modelo no se hará
de forma exhaustiva, pero si tomando en cuenta los pasos de la caracterización
del modelaje matemático propuesta por Edwards y Mason (1989) como se
muestran en la siguiente figura:
(Edwards y Mason, 1989, p. 44)

2. [4]
1. Identificar el problema real:
Se quiere describir el comportamiento de un fluido en un medio poroso,
utilizando el estudio de los fractales (alfombra de Sierpinski).
Un medio poroso es un sólido con espacio abierto dentro o alrededor de las
partículas que lo componen para permitir el paso de un fluido. Al entrar en
contacto un fluido con un medio poroso, el fluido penetra en el mismo (o el medio
absorbe el fluido) a través de los poros, ocupando el espacio libre existente.
Esta situación depende de las condiciones iniciales de las cuales se pueden
nombrar: la densidad del fluido, la cantidad total de fluido, la cantidad de poros que
tiene el medio y el tamaño de los poros. Como el modelo que se quiere construir
depende de las condiciones iniciales, entonces es determinístico.
Se quiere determinar una fórmula que permita obtener el tiempo que tarda
cierta cantidad de fluido en penetrar un medio poroso en función de las siguientes
condiciones iniciales o variables de entrada.
 D: densidad del fluido.
 F: cantidad de fluido.
 C: cantidad de poros.
 T: tamaño de los poros.
2. Formular un modelo matemático:
Se define la densidad “D” como la propiedad de un fluido que determina, la
cantidad de masa que contiene por unidad de volumen (gr/cm3), por lo tanto si la
densidad es menor, el fluido penetra en el medio con mayor facilidad, y a medida
que aumenta disminuye la penetración del fluido en el medio poroso. Esto indica
que “D” es directamente proporcional a “t”, siendo “t” el tiempo que tarda el fluido
en penetrar el medio poroso. Si “D” aumenta, “t” aumenta.
Se define “T” como el tamaño de cada poro, es decir el área (cm2) por el
que debe pasar el fluido, si “T” es pequeño pasa menos fluido y si “T” es grande
pasa más cantidad de fluido, por lo tanto “T” es inversamente proporcional a “t”. Si
“T” aumenta, “t” disminuye.

3. [5]
La cantidad de poros es inversamente proporcional al tiempo ya que, si “C”
aumenta entonces el fluido penetra en menos tiempo y viceversa.
Ahora se tiene que la cantidad de fluido que penetra por unidad de tiempo
en cada poro (cm3/seg), es Vol / t , donde “Vol” es el volumen (cm3) que penetra
en un poro. Luego el parámetro (Vol / t) depende de la densidad del fluido “D”, si
“D” aumenta entonces Vol / t disminuye y viceversa. Como la unidad de medida
del tamaño de los poros es cm2 entonces se tiene que el flujo por cada poro está
determinado por:
w =
𝑽𝒐𝒍
𝒕 .𝒄𝒎 𝟐.𝑫
. K
( K es una constante de proporcionalidad y homogeneidad de unidades)
Es decir, por cada cm2 de área por donde penetra el fluido, pasa la cantidad
Vol / D por cada segundo. Luego si el medio poroso es homogéneo, es decir,
todos los poros tienen las mismas características, se multiplica “C” por “T”
(cantidad de poros por tamaño de cada poro) y se obtiene el área total por donde
puede penetrar el fluido; finalmente se obtiene que la cantidad total de fluido que
penetra el medio poroso por unidad de tiempo sea:
U = w. C . T
Multiplicando “U” por el tiempo que tarda en pasar la cantidad de fluido “F”
resulta la ecuación:
F = U.t  t =
F
U
=
F
w.C .T
(1)
Es decir, el tiempo que tarda la cantidad de fluido “F” en pasar por un medio
poroso con “C” cantidad de poros de “T” tamaño
Ahora hay que determinar el valor de “C” y “T” en función del tamaño del
medio poroso.
3. Obtener una solución matemática:
Vamos a tomar como referencia la “Alfombra de Sierpinski”. En su
construcción se parte de un cuadrado negro, que se subdivide en nueve
cuadrados iguales, de los cuales el que queda en el medio de todos se pinta de
blanco y el resto se deja de color negro.

4. [6]
n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
Después se va repitiendo este procedimiento en sucesivas iteraciones para
cada uno de los cuadrados negros que se hayan formado. Con esto se van
obteniendo las figuras siguientes:
Para calcular su dimensión fractal se usa el mismo cálculo que para el
triángulo de Sierpinski. Las variaciones están en los parámetros:
 número cuadrados negros = 8n
 tamaño del lado de los cuadrados blancos = 3-n
 dimensión fractal = - lim [ninf.] ((ln 8n) / (ln 3-n)) = 1’89278926…”
(
http://sabia.tic.udc.es/gc/Contenidos%20adicionales/trabajos/Imagenyvideo/fractales/sierpinski.htm)
Ahora bien si relacionamos las variables “C” y “T” (cantidad de poros y
tamaño de los poros respectivamente) con la alfombra de Sierpinski se observa
que su relación es directa con “n” (numero de iteraciones), es decir que a medida
que “n” aumenta, el área por donde penetra el fluido también aumenta lo que
implica un aumento en la rapidez de penetración y por consiguiente una
disminución del tiempo en que todo el fluido atraviese el medio.
El área por donde pasará el fluido está determinada por los cuadrados
blancos, por lo tanto se relaciona “T” con el tamaño de los cuadrados blancos que
es 3-n L. 3-n L = 3-2n L2 , siendo “L” la longitud de los lados de la alfombra, y “C” con
el número de cuadrados blancos.
Como los cuadrados blancos varían de tamaño en cada iteración y la
cantidad de ellos no está determinada de manera directa, y nos interesa en
realidad el área total por donde pasará el fluido, se calcula el área total que cubren
los cuadrados negros y se resta al área total de la alfombra. El tamaño de los
cuadrados negros es igual a la de los cuadrados blancos y entonces el área que
cubren los cuadrados negros viene dada por: N = 8n . 3-2n L2

5. [7]
Si la alfombra tiene lados de longitud “L” entonces el área de ella es “L2” y
resulta que el área total que cubren los cuadrados blancos es:
B = L2 – ( 8n . 3-2n L2) = L2 ( 1 - 8n . 3-2n )
B = L2 (1 - (
8
9
)
𝑛
)
Esto implica que C.T = B y sustituyendo en la ecuación (1) se tiene que:
t =
F
w L2 (1 − (
8
9
)
𝑛
)
4. Interpretar la solución matemática:
Ahora se analiza la ecuación obtenida, primero se observa que si “w” tiende
a cero, entonces “t” tiende a infinito lo que implica que si no pasa fluido por los
poros entonces “F” nunca disminuye por lo que el tiempo se hace infinito. Ahora si
el área de la alfombra “L2” aumenta, “t” disminuye lo que es lógico ya que al
aumentar el área por donde pasa el fluido este pasará más rápido (en menos
tiempo). En cuanto a “n” si es igual a cero se tiene que el denominador se hace
cero por lo que “t” tiende a infinito, es el caso en que no existen cuadrados blancos
por donde pase el fluido, nunca pasará fluido. Si “n” tiende a infinito, como 8/9 es
menor que 1, entonces la ecuación se transforma en
t =
F
w L2
Lo que indica que toda el área de la alfombra “L2” permite el paso del fluido
y entonces: si “F” es mayor que “ w L2
” ,”t” es mayor que 1; si “F” es menor que
“ w L2
” ,”t” es menor que 1.
5. Comparar con la realidad:
Los resultados son compatibles con la realidad y tal como se esperaba,
tomando en cuenta que “w” es un parámetro medible, se pueden realizar
experimentos prácticos para determinarlo y de esta manera describir el
comportamiento del fluido en todo el medio poroso. Se puede determinar el tiempo
“t” que tarda una cantidad “F” de fluido en pasar por el medio de dimensiones “L2”,
pero también es posible calcular la cantidad “F” que pasa por el medio en cierta
cantidad de tiempo “t”.

6. [8]
Como conclusión se puede expresar que el comportamiento de un fluido en
un medio poroso con las características de la “Alfombra de Sierpinski” depende
de la cantidad de iteraciones (n), el área total de la alfombra (L2) y la cantidad de
flujo en cada poro por unidad de tiempo (w).
2) FRACTALES, LA CURVA DE KOCH (Objetivo 7, actividad 1)
Construya un tipo de fractal (Conjunto de Cantor, Triangulo de Sierpinski, Curva
de Von Koch, entre otros) y genere una situación didáctica para explicar el tema
en los estudiantes de cuarto año de Educación Media. Debe anexar la
planificación, incluyendo las estrategias de enseñanza, algunos ejemplos de los
problemas que les serían propuestos a los estudiantes y la manera en que se
realizará la evaluación.
El tipo de fractal a construir es la curva de Von Koch, la cual parte de un
segmento de recta (iteración cero), que se divide en tres partes iguales, luego se
suprime el segmento central, y se reemplaza por dos segmentos de igual longitud
pero con un ángulo de 60º entre ellos. El proceso de iteración descrito se
comprende mejor al apreciar las gráficas resultantes que se muestran a
continuación.
Iteración 0
Iteración 1
Iteración 2

7. [9]
Para presentar el tema a los estudiantes de 4to año, se hace una
introducción al tema de los fractales, su historia, sus principales precursores y
algunos fractales conocidos.
Por tanto la clase a realizar esta organizada de la manera siguiente:
1. Se inicia con un resumen de la historia de los fractales.
“A mediados del siglo XIX los matemáticos le fueron dando paso a una idea
matemática revolucionaria como la Geometría Fractal, la cual consiste en la
descripción de objetos geométricos que son autosemejantes o simétricos
en escala, es decir, sus partes guardan semejanzas con el todo,
prolongándose la similitud con las partes de las partes y así hasta el infinito.
Benoit B. Mandelbrot acuña el término Fractal en su libro The Fractal
Geometry of Nature (1977) al referirse a ciertos objetos de estructura
irregular” (Colección Bicentenaria, Matemática 4to año).
El término Fractal proviene del latín fractus que significa fragmentado o
quebrado.
2. Se nombran algunos precursores de la Geometría Fractal y sus aportes.
 Georg Cantor en 1883 creó el primer fractal que se conoce y fue
llamado el Conjunto de Cantor.
 Giuseppe Peano ideó la Curva de Peano, es una curva que, en su
límite, recubre todo el plano. Al cambiar la dimensión en su límite se
sitúa en el contexto de la geometría fractal.
 David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental)
quien construyó la curva fractal que lleva su nombre.
 La Curva de Niels Helge von Koch.
 Waclaw Sierpinski, matemático polaco que introdujo La Alfombra y El
Triángulo de Sierpinski.
 Gastón Julia, matemático francés, publicó en el año 1918 sus
trabajos acerca de Los Conjuntos de Julia. Estos conjuntos son la
fuente de algunos de los fractales más interesantes y conocidos de
la actualidad.

8. [10]
 Benoît Mandelbrot, que en 1979 comenzó a estudiar un conjunto de
puntos en el plano complejo Z. Dicho conjunto de puntos se conoce
también como conjunto de Mandelbrot o Fractal de Mandelbrot.
(La idea es tener cada uno de estos fractales en láminas y mostrarlas a los
estudiantes a medida que se nombran para que puedan visualizar la forma
de cada fractal)
3. Se introduce la curva de Von Koch. Se explica detalladamente cómo se
construye dicha curva.
1º Se traza un segmento de recta de longitud “L”.
2º Se divide el segmento anterior en tres partes iguales.
3º Se elimina el segmento que queda ubicado en el centro.
4º Con un compas se hace centro en el extremo interno de uno de los
segmentos que quedan y se traza una circunferencia.
5º Se traza la circunferencia ahora con centro en el extremo interno del otro
segmento.
6º Las dos circunferencias se intersecan en dos puntos, del punto superior
se trazan dos segmentos, cada uno hasta el extremo interno de los
segmentos iniciales.

9. [11]
Y este es el resultado de la primera iteración, luego a cada segmento
resultante se aplica el mismo procedimiento y así recursivamente.
Se sugiere a los estudiantes que consulten las siguientes páginas en
internet:
http://linuxmusica.com/curva-y-copo-de-nieve-de-von-koch-con-python-3/
http://fralbe.com/2010/09/29/fractales-clasicos-fractal-de-mandelbrot/
http://www.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/2.html
4. Se propone a los estudiantes construir la curva de Koch pero iniciando con
un triangulo equilátero y aplicando el procedimiento a cada lado del
triangulo hasta la iteración número 3. Después de tener la figura geométrica
construida se les dice que esta se llama Copo de Nieve de Koch.
5. Otro ejercicio que se propone en clase es construir el Conjunto de Cantor
hasta la iteración 4, de manera que el estudiante se familiarice con el
concepto de iteración y obtenga la experiencia para realizarlas.
Hasta aquí la clase a los estudiantes. La planificación sería la siguiente:
Nº
Objetivo
Objetivo o Propósito Contenidos Estrategia fecha Evaluación
1
Identificar algunos
fractales y construir
la curva de Koch
 Fractales
 Curva de
Koch
Exposición Oral del
Profesor
Presentación de
Laminas
09 – 06 – 14
Sumativa
Nº 1

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La evaluación a los estudiantes se realizará de forma práctica escrita y
consiste básicamente en la construcción de la curva de Koch hasta la iteración
numero 2. (ver anexos)
También se incluyen algunas cuestiones teóricas como:
 Describir un Fractal.
 Nombrar algunos Fractales conocidos.
 ¿Cuál es el Origen de la palabra Fractal?
 Describir como se construye el Conjunto de Cantor.
 ¿Quién le dio el nombre de Fractal a estas estructuras geométricas?
3) LA GEOMETRÍA PRESENTE EN LA VIDA (Objetivo 7, actividad 2)
Seleccione un tema de geometría presente en la planificación de segundo año de
Educación Media General. Identifique una situación de la vida real problemática y
genere dos problemas con su solución donde este la aplicación de este tema de
geometría escogido por usted. Debe reportar: el tema, la situación problemática
con sus dos problemas y su solución.
El tema seleccionado es Área y Volumen de Cuerpos Geométricos. La
situación problemática consiste en lo siguiente:
“En una granja cultivan maíz en un área aproximada de 100 hectáreas, para
la semana siguiente necesitan aplicar fertilizante al suelo, pero el proveedor
regular, que era el que realizaba los cálculos y suministraba el fertilizante con su
transporte, notificó que no podía abastecer a la granja del fertilizante. Por esta
razón el encargado de la granja se ve obligado a realizar todos los cálculos para
determinar la cantidad de fertilizante que necesita y el medio de transporte más
adecuado para buscarlo”.
Los datos de los cuales dispone el encargado son los siguientes:
 En primer lugar el fertilizante se utiliza en una proporción de 400 Kg/Ha
 El fertilizante se presenta en sacos con 50 Kg de contenido.

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 Cada saco tiene un volumen aproximado de 0,12 m3
 En la granja hay tres vehículos de carga:
o Una camioneta con capacidad máxima de 1200 kg y 2 m3
o Un camión 350 con capacidad máxima de 3500 Kg y 10 m3
o Un camión 750 con capacidad máxima de 9000 Kg y 24 m3
El primer cálculo es determinar la cantidad de sacos de fertilizantes que se
necesitan. Como la proporción utilizada es de 400 Kg/Ha y se quiere aplicar a 100
Ha, entonces se multiplica (400 Kg/Ha).(100 Ha) y es igual a 40.000 Kg que es la
cantidad de fertilizante que se necesita para las 100 hectáreas. Luego se divide
40.000 Kg entre 50 Kg y resulta que son 800 la cantidad de sacos que se deben
utilizar.
Ahora se presenta el problema del transporte, como se deben utilizar los
vehículos de carga para obtener mejor rendimiento. Como cada saco de
fertilizante pesa 50 Kg y tiene un volumen de 0,12 m3, entonces:
 Para la camioneta se tiene que 1200 KG entre 50 Kg es igual a 24 sacos,
pero 24 sacos equivalen a un volumen de 24 . 0,12 m3 = 2,88 m3 lo que
supera el volumen máximo que soporta la camioneta, por lo tanto se divide
2 m3 entre 0,12 m3 y se obtiene que la cantidad máxima de sacos que
puede cargar la camioneta es de 16.
 Para el camión 350 se tiene que 3500 Kg entre 50 Kg es igual a 70 sacos,
luego el volumen que ocupan estos 70 sacos esta dado por el producto
70.(0,12 m3) = 8,4 m3 < 10 m3, por lo tanto este camión puede cargar 70
sacos.
 Para el camión 750 se tiene que 9000 Kg entre 50 Kg es igual a 180 sacos,
luego el volumen que ocupan los 180 sacos esta dado por el producto
180.(0,12 m3) = 21,6 m3 < 24 m3, por lo tanto este camión puede cargar los
180 sacos.
Ahora se calculan los viajes que debe dar cada vehículo. El camión grande
puede transportar 180 sacos, entonces se divide el total de sacos entre 180 y
resulta 4,4444. Es decir que el camión grande hace 4 viajes de 180 sacos lo que
equivale a 720 sacos.

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El resto es 80 sacos que se pueden transportar 70 en el camión 350 y 10 en
la camioneta.
Otra situación problemática que se plantea es la siguiente:
“Se quiere construir un tanque de agua cilíndrico para el riego de una
pequeña parcela de 400 m2, se sabe que cada m2 requiere 20 litros de agua cada
dos días, se pide las medidas del tanque para almacenar la cantidad de agua
necesaria para regar la parcela por un tiempo mínimo de 6 días, sabiendo que la
altura del tanque es la cuarta parte del radio de la circunferencia de la base”
1. Para calcular la cantidad de agua que se quiere almacenar se sigue el
siguiente procedimiento:
 (20 lt / m2).(400m2) = 8000 lt de agua para 2 días
 8000 lt . 3 = 24000 lt de agua para los 6 días.
2. Para determinar las medidas del tanque, se tiene que el volumen de un
tanque cilíndrico viene dado por V = A . h donde “A” es el área de la base
y “h” es la altura del tanque. Si se llama “R” al radio de la base del tanque
entonces A = π . R2, luego V = π . R2 . h pero como h = R/4 entonces se
obtiene la ecuación V = π . R2 . R/4 ;Como el volumen total que se desea
almacenar es de 24000 lt se realiza el cálculo siguiente:
V = π . R3/4  R =√
4.𝑉
𝜋
3
= √
4.(24000)
3,1416
3
= √30557
3
= 31,26
Este resultado expresa que el radio del tanque debe ser de 32 mts y como
consecuencia la altura es igual a 32 / 4 = 8mt.
El tanque tendrá 64 mts de diámetro con un área en la base de:
A = 𝜋 R2 = 3,1416 . (32 mts)2 = 3216.99 mts2