Trigonometria.pdf

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ndice
Breve historia de la Trigonometría
La Trigonometría............................................................ 13
Desarrollo de la Trigonometría................................... 13
Aportes durante el Esciavismo...................................... 13
Aportes durante el Feudalismo ................................... 17
Aportes durante el Capitalismo .................................... 19
Sistemas de medición
angular y longitud de arco
Ángulo trigonométrico ...............................................26
- Ángulos positivos y ángulos negativos................... 26
Sistemas de medidas angulares ............... 28
- Sistema sexagesimal ........:.....................................28
- Sistema centesimal ........................................ ..28
- Sistema radial radial, circular o internacional .........29
- Ángulos coterminales............................................... 35
Longitud de arco de una circunferencia .................41
. - Cálculo de la longitud de un arco
de circunferencia............................................ 41
- Cálculo de! área de un sector circular..................... 42
- Ángulo girado o barrido por una rueda.................... 43
- Número de vueltas.................................................... 44
- Pc’ea5y engranajes............................................ 46
- Mr dición de la distancia entre dos puntos
sobre la Tierra ............................... 50
Problemas resueltos ..................................................... 53
Problemas propuestos.................. 67
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
Definición de razón trigonométrica ..........................79
- Propiedad fundamental de las
razones trigonométricas...........................................80
- Razonestrigonométricas de ángulos agudos
(notables) en un triángulo rectángulo..................... 82
- Propiedades de tas razones trigonométricas .........87
- Razones trigonométricas de ángulos
complementarios......................................................87
Resolución de triángulos rectángulos .................... 90
- Dadas las longitudes de dos lados..........................90
- Dados un ángulo agudo y la longitud
de un lado .................. 91
Problemas resueltos %
Ángulos verticales y horizontales ..........................106 -
- Ángulos verticales .................................................. 106
- Ángulos horizontales.............................................. 108
Problemas resueltos...................... 109
Problemas propuestos....................................... 119
Razones trigonom étricas de
un ángulo en posición norm al
Introducción a las desigualdades............................134
- Recta numérica................................................. 134
- Definición .................................................. 136
- Intervalos ......................................................... 140
- Valor absoluto .................................. 148
- Distancia entre dos puntos en la
recta numérica ........................................................ 155
- Segmento dirigido....................................................155
Problemas resueltos .................................................. 157
Sistema de coordenadas rectangulares................ 163
- Distancia entre dos puntos en el
plano cartesiano........................................... 166
- Radio vector (r) .......................................................166
- División de un segmento por un punto
en una razón dada ..................................................167
* Área de una región triangular................................ 168
- Ángulo trigonométrico en posición
normal (estándar o regular)....................................170
Definición de razones trigonométricas ..... 172
- Signos de las razones trigonométricas
en los cuadrantes......................... 174
- Ángulos coterminales............................................. 175
Problemas resueltos ........................................... 179
Problemas propuestos .................................................185 .
Circunferencia
trigonométrica
Circunferencia trigonom étrica.................................200
- Nociones previas............. 200
- Arcos dirigidos en posición normal........................203
- Representación de los números reales en la
circunferencia trigonométrica .................................206
- Representaciones del seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante de un
arco en la circunferencia trigonométrica............... 213
- Representaciones auxiliares..................................223
Problemas resueltos.....................................................225
Problemas propuestos..................................................260

Identidades
trigonométricas
^
g
B
5
?
«
s!e
ee
sa
u
m
m
ss
F u n c io n e s t r i g o n o m é t r i c a s
identidades trigonométricas fundamentales ........279
- Identidades reciprocas......................................... 279
- Identidades por cociente ....................................... 279
- Identidades pitagóricas ......................................... 280
- Tipos de problemas sobre identidades
fundamentales ....................................................... 281
- Demostración de identidades................................281
- Cálculo de razones trigonométricas en función
de otras razones trigonométricas..........................285
Problemas resueltos ...................................................288
Identidades de la suma o diferencia de dos arcos
{dos ángulos) .............................................................300
Identidades de reducción al primer cuadrante .... 317
- Para ángulos positivos menores que una vuelta
(primer caso)...........................................................318
- Para ángulos mayores que una vue’ta
(segundo caso) ...................................................... 319
- Para el arco (-0)(tercer caso) ...............................321
Identidades para el arco doble, mitad y triple
.
325
- Identidades para el arco doble...............................325
- Identidades para el ángulo mitad (x/2).................. 330
- Identidades para el ángulo triple (3x).................... 333
Problemas resueltos .................... 336
Identidades de transformaciones
trigonom étricas..........................................................350
- De sumas y diferencias de senes y
cosenos en producto..............................................350
- De producto de senos y/o cosenos a
suma o diferencia...................................................352
Problemas propuestos .......................................... 377
Relaciones fu n dam entales en
el triángulo oblicuángulo
Teoremas trigonométricos .....................................402
- Teorema de senos................................................... 402
- Teorema de cosenos............................................... 406
- Teorema de tangentes ..........................................407
- Teorema de proyecciones....................... 408
Razones trigonométricas de los semiángulos
de un triángulo en función del semiperímetro
y lados .......................................................................409
- Área de una región triangular................................414
- Área de una región cuadrangular..........................417
Problemas propuestos ................................................441
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
Noción de fu n ció n ......................................................449
- Regla de correspondencia .....................................450
- Gráficas de funciones .............................................452
- Función par ............................................................ 464
- . Función impar ..........................................................464
- Función creciente.................................................... 466
- Función decreciente................................................466
- Funciones periódicas ..............................................467
- Continuidad de una función en un punto ...............470
Análisis de las gráficas de las funciones
trigonométricas elementales ...................................471
* Función seno ...........................................................471
- Función coseno........................................................ 472
- Función tangente............' ......................................472
- Función cotangente............................................. 473
- Función secante....... ?............................................474
- Función cosecante .................................................. 475
- Gráfca de la función que tiene por regia de
correspondencia f{x)-Asert{Bx+C)+D ...................477
- Estudio de las funciones de !a forma y-Ft{B x) .... 479
- Adición y multiplicación de funciones.....................486
- Ejemplos de funciones con dos variables.............489
Problemas resueltos..................................................... 4S1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Noción de la función inversa ....................................518
- Función inyectiva..................................................... 518
- Función sobreyectiva ..............................................522
* Función biyectiva .................................................... 522
- Definición de función inversa .................................523
Funciones trigonométricas inversas.......................524
- Función arco seno.................. 525
* Función arco coseno...............................................526
- Función arco tangente.............................................526
- Función arco cotangente............................ 526
- Función arco secante...............................................526
- Función arco cosecante...........................................527
- Propiedad fundamental............................................528
- Teoremas y propiedades de las funciones
trigonométricas inversas......................................... 533
- Propiedad de¡seno inverso......................................534
- Propiedad del coseno inverso................................. 535
- Propiedad deltangente inverso............................... 535
- Propiedad deicotangente inverso...........................536
- Propiedad delsecante inverso.................................536
- Propiedad de!cosecante inverso............................ 536
Problemas resueltos..................................................... 546
Problemas propuestos.................................................. 566
Ecuaciones
trigonométricas
Ecuación trigonométrica ...........................................594
Ecuación trigonométrica elemental ........................ 595
Desigualdades trigonométricas de una
sola incógnita .............................................................605
Sistemas de ecuaciones trigonométricas .............610
Problemas resueltos .................................................... 612
Problemas propuestos ...............................................^631

Números complejos en el
análisis trigonométrico lar Traslación y rotación
de ejes
Definición de un número compiejo ........................642
- Representación geométrica ...'............................... 642
- Forma poiar o trigonométrica ................................ 644
- Argumento principa! de un número complejo .......645
- Forma exponencial................................................. 646
- Números complejos conjugados ........................... 648
- Inverso aditivo de un número complejo................ 648
- Propiedades del módulo de un número
complejo ............................... 650
- Fórmula de D( Moivre............................................. 652
- La exponencial compleja........................................654
- Relación entre la fórmula de D' Moivre y
el binomio de Newton............................................. 655
- Lugar geométrico y regiones................................. 657
Problemas resueltos ................................................... 663
Problemas propuestos ................................................ 692
Elementos de cálculo:
Límites y derivadas
Noción intuitiva del límite ......... .............................710
- Definición ................................................................. 712
- Definición formal del límite de una función...........713
- Definición (continuidad en un punto) .................... 714
- Definición (continuidad latera!) .............................. 714
- Definición (continuidad en un intervalo cerrado) ..716
- Definición (continuidad en un intervalo abierto) ... 717
- Teorema de -a función intermedia o
d ee sírrció n ............................................................ 718
Límites trigonométricos notables...........................719
- El r uñero e ............................................................. 724
Problemas resueltos ....................................................725
Noción intuitiva de ia derivada de una función.........734
- La recta tangente y la derivada ............................. 734
Derivadas de las funciones trigonométricas.............. 738
- Notación de Leibniz para ia regla de la cadena ... 740
- Regla de la cadena y funciones trigonométricas.. 741
- Diferenciación implícita ..........................................743
- Derivadas sucesivas o de orden superior............. 743
- Diferenciación de funciones
trigonométricas inversas ........................................744
- La diferencial........................................................... 747
- Teoremas sobre las funciones derivables ............ 748
- Teorema de L'Hospital............................................ 751
- Aplicaciones de la primera y segunda derivada .. 752
- Funciones crecientes y decrecientes.................... 753
- Máximos y mínimos de una función.......................754
- Concavidad de puntos de inflexión de
una función.............................................................. 756
- Convexidad.............................................................. 756
- Puntos de inflexión.................... %
.......................... 757
- Criterio de la segunda derivada para máximo
y mínimos..................................................................760
- Método de Newton Raphson...................................762
Problemas resueltos.....................................................764
Problemas propuestos..................................................774
Determinación gráfica de las secciones
cónicas ........................................................................790
Secciones cónicas .......................................... 791
- Definición de parábola ...........................................791
- Definición de elipse ..............................................792
- Definición de la hipérbola...................................... 793
• Ecuación general de una sección cónica ............ 794
Traslación de ejes ........................................ 795
Rotación de ejes ....................................................... 798
- Eliminación del término xy ..................................... 802
- Uso del discriminante............................................804
Problemas resueltos ................ 805
Problemas propuestos................................ 811
E B j B F ’ Trigonometría
esférica
Elementos fundamentales en una esfera ..............818
- Circunferencia máxima ..........................................818
- Circunferencia mínima ...........................................818
- Polos ................... 818
- Ángulo esférico .......................................................818
Triángulo esférico....................................................*
*¡,819
- Propiedades de los triángulos esféricos...............819
- Exceso esférico........................................................820
- Área de un triángulo esférico.................................821
- Triángulo polar o suplementación..........................822
- Triángulo esférico rectángulo ......... 823
- Reglas de N eper.................................................... 824
- Triángulo cuadrantal ..........*.................................825
- Triángulo esférico oblicuángulo.............................826
• Ley de senos .......................................................826
• Ley de cosenos para lados ..........................■
.... 827
• Ley de cosenos para ángulos ............................827
Aplicaciones de la trigonometría esférica
en astronomía y navegación ..... 828
- Sistema de coordenadas geográficas................... 829
- Latitud ......................................................................829
- Longitud ...................................................................829
- Distancia entre dos puntos de la superficie
de la Tierra..................:...........................................829
- Rumbo ............ 830
Problemas resueltos ................................................... 832
Problemas propuestos ......... 839
• Tabla de símbolos
• Bibliografía

------------ -/de la Trigonometría
LA TRIGONOMETRÍA
Lapalabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos. Actualmente laTrigonometría
es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos para determinar distandas
inaccesibles o difíciles de medir de modo directo. El campo de estudio de esta disdplina se ha ido enriqueaendo
progresivamente. Así,abarcatambién elestudio tanto de lasfundones circulares-y su aplicaaón enlavidacotidiana,
en las telecomunicadones, la mecánica, la astronomía, etc.- como del modelamiento matemático, de gran utilidad
en la explicadón de fenómenos naturales como las ondas o vibradones.
Breve historia-----------1
Trigonometría plana Trigonometría esférica
DESARROLLO DE LA TRIGONOMETRÍA
La Trigonometría es una de las disaplinas matemáticas más antiguas. Al igual que otras ramas de la
matemática, la Trigonometría no es fruto de la inteligenaa de un solo hombre, ni aun de una sola rivilizadón,
sino es producto de la experienda y síntesis teórica de diversas sodedades como Egipto, Babilonia y Greda.
Yaen el papiro de Ahmes (1550 a.n.e.) se encuentran alusiones a características de un ángulo análogas
a nuestras razones trigonométricas actuales. En Babilonia, China y otras- civilizaciones antiguas se
realizaban, entre uno y dos milenios antes de nuestra era, cálculos con triángulos en muchos casos en
conexión con problemas de agrimensura y astronomía.
APORTES DURANTE EL ESCLAVISMO
Las. condiciones económicas y políticas de la sociedad esclavista permitieron un nuevo impulso del
conocimiento científico. El desarrollo agrícola y ganadero generó una mayor disponibilidad de tiempo para
la investigadón y observación sistemática de la naturaleza. Asimismo, ante el surgimiento de la propiedad
privada y del Estado esclavista se hizo necesario optimizar los mecanismos para delimitar la propiedad
territorial y controlar tanto la ptpducdón como los impuestos que debía pagar el pueblo. Es así como surge
la necesidad de un mayor desarrollo del conocimiento matemático y, en particular, de la Trigonometría.
13

Lumbreras Editores Trigonometría
IV m ilenio a.n.e
En la Mesopotamia antigua los primeros signos de matemática aparecieron como respuesta a
necesidades prácticas. Así, fueron utilizados para contabilizar las cabezas de ganados o los sacos de
cereales, calcular distancias, etc.
Parece que la numeración caldeo-asiría ha tenido doble origen: una numeración sexagesimal y otra
decimal de origen semítico. En efecto, en documentos que se remontan al tercer milenio antes de nuestra
era, aparece completamente desarrollado el sistema sexagesimal.
Las unidades principales de las diferentes órdenes eran 1,60,3 600 (el sar), 216 000 (el gran sar), los
dos últimos corresponden respectivamente al cuadrado y al cubo de 60 posiblemente; el origen de la
numeración sexagesimal debe buscarse en observaciones astronómicas. El mes sideral sumerjo de 30
días y el año de 360 días son bastante significativos.
Tres instrumentos de importancia permitieron a los caldeos elaborar su Astronomía: la clepsidra, el
gnomon y el polos. Laprimera era un reloj de agua, el segundo consistía en un instrumento que representaba
el cuadrante solar; iba previsto de una varilla que proyectaba su sombra sobre éste según la posición del sol,
el cual marcaba las horas del día, los solsticios y los equinoccios. El denominado polos era una semíesfera
que representaba, invertida, la bóveda celeste. Sobre aquello, en el centro, se colgaba una bola, y la sombra
que proyectaba en la semiesfera mostraba, de forma invertida, el movimiento solar en los cielos.
Los babilonios
Luego de la decadencia de Sumeria,
Babilonia, que tenía una notable
im portancia estratégica comercial y
cultural, logra su independencia e inicia
su extraordinaria ascención hacia los
años 1830 antes de nuestra era. La mayor
atención que tenían los hombres de
ciencia en Babilonia era hacia la
astronomía, ciencia que les daba datos
cada vez más precisos para un
conocimiento de la astrología, a la cual
le daban importancia porque pensaban
equivocadamente en la influencia de los
astros en la vida del hom bre. Es
realmente digno de admirar el desarrollo
que alcanzó su astronomía, desarrollo
logrado a p artir de un im portante
conocimiento trigonométrico.
Los egipcios
El problema 56 del papiro Rhind, presenta un interés especial porque contiene lo que podríamos
llamar uno de los rudimentos de Trigonometría y de una teoría de triángulos semejantes. En la
construcción de las pirámides, un problema esencial era el de mantener una pendiente uniforme en las
cuatro caras, por ende puede haber sido este problema el que llevó a los egipcios a introducir un concepto
equivalente al de la cotangente de un ángulo.
Babilonia, capital de un vasto territorio, fue centro cultura! de oriente a partir del
siglo XVII (a.n.e)- Resulta déstacable el aporte de los babilonios en matemática,
en especia! en la Trigonometría.
14 https://librospreuniversitariospdf.blogspot.com

La mayor parte de nuestro conocimiento acerca de la matemática egipcia proviene del papiro de Ahmes
o de Rhind, el documento más extenso que se tiene del antiguo Egipto. Una relación matemática contenida
en el papiro es: la razón del perímetro-de la base es a la altura de la pirámide de Keops como 44/7 (ciertamente
muy próxima), que es el doble de 22/7, aproximación de ji muy usada modernamente, pero hay que recordar
1 i
que el valor que se deduce de n de los cálculos de Ahmes es algo menor que 3t y no 3 - .
6 7
III
u 1 á ¿ í-í
>1-4
Papiro egipcio. Evidencia del aporte, de este pueblo al conocimiento matemático.
Los griegos
En plena crisis de su sistema esclavista, Grecia inicia al siglo IV(a.n.e), su expansión sobre el este (Persia).
Este proceso de expansión, que fue liderado por Alejandro Magno, trajo como consecuencia el Helenismo
(contacto cultural occidente - oriente) representado por la dudad de Alejandría en Egipto, ciudad que se
convertiría pronto en la punta de lanza de la investigadón dentífica y en sede de los mejores pensadores.
Eratóstenes (275-194 a.n.e.)
Matemático griego, educado en Atenas y Alejandría, llamado
también el medidor de la Tierra, ya que fue el primero en hacer
mediciones de la circunferencia de nuestro planeta. En Alejandría
los rayos solares con la vertical forman un ángulo de 7,2° y es
igual al ángulo que se forma en el centro de la Tierra con la
prolonga :ión de los rayos de Siene como 7,2° es 1/50 de 360°, la
distancia Alejandría-Siene 5 000 estadios (1 estadio=0,1575 km)
es 1/50 de la circunferencia de la Tierra por lo que al multiplicar
por 50 a dicha distancia obtenemos la longitud de la circunferencia
de la Tierra, así como podemos deducir su diámetro. Sus resultados
aproximados fueron 250 000 estadios (o sea, 39 375 km) para la
circunferencia de la Tierra. Los cálculos fueron impresionantemente
certeros, si tenemos en cuenta el nivel técnico de la época; hoy se
calcula en 40 008 km.
Hiparco de Nicea (aprox. 190 a 125 a.n.e.)
LaTrigonometría aparece como necesidad de la Aátronomía, a fin de resolver problemas de la esfera celeste.
Hiparco de Nicea es justamente considerado la autoridad máxima entre los astrónomos griegos, y el astrónomo
más grande de la antigüedad (tuvo un observatorio astronómico en Rodas entre los años 128-127 a.n.e.) Apartir
de observaciones sistemáticas, hechas con los recursos disponibles en esa época, solo era posible deducir
racionalmente que la Tierra era el centro del universo, e Hiparco cometió ese error, difundido posteriormente por
Ptolomeo. Hiparco fue el primero en determinar con precisión el aparecer y el ocaso de varias estrellas, usando
para ello una tabla de cuerdas por él calculada. El resultado fue una obra de doce volúmenes. Según Teón de
Alejandría, ese tratado contenía una teoría general de la Trigonometría y algunas tablas. Estas tomaban como
base la división del círculo en 360° y daban grado por grado el valor de las cuerdas de los diversos arcos.
15

Lumbreras Editores T rigonometría
En cuanto a la Trigonometría rectilínea se refiere, conoció la fórmula que, con nuestra notación, sería
sen2cc+cos2a = l .
Los matemáticos griegos no usaban el seno de un ángulo sino usaban la cuerda del arco duplo AB.
También consideraban el radio OA con longitud 60 y dividían el círculo en 360 partes iguales.
Menelao de Alejandría (100 a.n.e.)
Compone un trabajo en seis libros sobre los cálculos de cordones de arcos (presentado como Geometría
esférica). Menelao demuestra teoremas sobre los triángulos esféricos; probó, por ejemplo, que si dos
triángulos esféricos tienen ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son iguales o
congruentes. Introdujo un teorema, que lleva su nombre, a fin de probar el resultado correspondiente
para triángulos esféricos.
Teorema de Menelao. Si el triángulo ABC
es cortado por una recta que interseca sus
tres lados en Plt P2y P3entonces
PA-PC -P B
j ------- 2-------3_ = 1
PB-PA-PC
Claudio Ptolomeo (180d.n.e.)
Hizo progresar la Trigonometría y la enriquece con nuevas fórmulas
no conocidas por Hiparco. Los trabajos de Ptolomeo están contenidos en
su obra inmortal denominada por los árabes Magiste (El mayor). De ese
vocablo, al cual se le agregó el artículo Al, surgió el nombre Almagesto
(Al-magiste) con el que hoy conocemos la obra, que significa sintaxis
matemática. ElAlmagesto describe matemáticamente el funcionamiento
del sistema solar. Señalaba que la Tierra era el centjo del sistema solar, es
decir defendía la teoría geocéntrica. Posteriormente, dicha teoría fue
sustituida en el siglo XVpor Nicolás Copémico (1473-1543) quien propone
que era el Sol y no la Tierra el verdadero centro (teoría heliocéntrica). En
un segundo libro Ptolomeo difunde una tabla de cuerdas y conceptos
rudimentarios de Trigonometría esférica.
En Geometría demuestra el teorema que hoy lleva su nombre: El
producto de las diagonales de un- cuadrilátero inscrito en una
circunferencia es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
E¡interés de Ptolomeo por la cstroromíc
impulsó el desarrollo de la
Trigonometría. En la imagen. Ptolomeo
observando las estrellas.

Breve historia de la Trigonom etría
Este teorema, en el caso particular de que uno de los lados del cuadrilátero sea el diámetro, conduce a las
identidades trigonométricas de seno y coseno de la suma y diferencia de dos arcos.
seií(a ± (3)= sena cos|3± cosa senP
Aportes de China
El primer texto que aparece sobre matemática fue
gracias a los aportes de Chou Pei Suan Ching (400 a.n.e.
aproxim adam ente). En esta obra encontram os las
propiedades de los triángulos rectángulos así como una
demostración geométrica del Teorema de Pitágoras.
Es preciso indicar que el matemático chino Tsu Chung
Chi (hacia el año 450) había conseguido idear, por el método
del perímetro, la siguiente desigualdad:
3,1415926 < r. < 3,1415927
APORTES DURANTE EL FEUDALISMO
En Europa occidental, el conocimiento científico y por tanto matemático, no logra un desarrollo
considerable. Esto se debió al predominio de la escolástica, que priorizaba el estudio de la biblia antes
que el uso de la experiencia y la razón para interpretar la realidad. Además por la organización económica
del feudalismo (autarquía), escaso comercio, no había incentivos para desarrollar el conocimiento científico.
Sin embargo, en Oriente los árabes, herederos de la ciencia oriental, conocedores de las obras griegas, y
en contacte con el Imperio Bizantino y la India, fueron los que más aportaron al progreso y difusión de la
ciencia.
La antigua India
En los siglos V- XII d.n.e. tenemos eminentes científicos indios, matemáticos y astrónomos: Aryabhata
(finales del siglo V), Brahmagupta (nace en el año 598); Mahavira (siglo IX), Braskara Akaria (nace en el
año 1114).
De Aryabhata, que vivió en el noreste de la India, quedaron sus obras en versos de contenido
matemático y astronómico. En ellas están formuladas las reglas de la matemática elemental: la Aritmética,
la Geometría y la Trigonometría. La matemática Hindú avanzó considerablemente, en método y precisión,
más allá de la Trigonometría griega, dando una tabla de senos calculada para cada 3,75° de arco
hasta 90°. Es innegable al aporte de los hindúes en funciones trigonométricas: seno, coseno, senoverso
(versa = l-c o s a ).
Los árabes
A la edad media del mundo occidental corresponde la edad de oro del mundo musulmán que desde
el siglo VII al XII se extendió desde la India hasta España.
Durante esa época, el árabe fue la lengua internacional de la matemática. Los matemáticos árabes
conservaron el patrimonio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la
India, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto la Trigonometría como el Álgebra.
Obser/atorio chinode ungrabadodehistoriadesvoyoges, 1747.
17

Abu Al-Wafa (940-997)
De origen iraní, fue un destacado astrónomo y matemático. Entre sus aportes en Trigonometría
tenemos el cálculo del segmento AM como la tan 9 en un círculo unitario. Asimismo, logra estudiar las
identidades trigonométricas.
CSC0 =
1 sen0
sen0 ’ cos0
= tan0
sec0 =
COS0
cos0 ’ sen0
= cot0
Al Battani (Albatenus 858—
929)
Tiene el mérito de haber empleado por primera vez, después de ios hindúes, los
senos-en vez de las cuerdas. Además, en la traducción latina de sus obras hace su
a b e
primera aparición sinus (senos). El Teorema de los s e n o s-------= —- = -------
sen A senB senC
aparece aplicado por Al Eattani; y años más tarde, por el persa Abn-Nasr. Al Battani
tenía una motivación especial para el estudio de la astronomía, demostró que la
distancia más lejana del Sol de la Tierra varía y, consecuentemente, los eclipses del
Sol son posibles así como los eclipses totales.
AI-Biruni (Irán 973-1048)
A l B a tta n i aplica
conocimientospropios de
Trigonometría para sus
estudios astronómicos.
Filósofo, astrónomo y matemático. Su contribución más grande a la matemática probablemente
está en Trigonometría (once libros) donde, tomando y corrigiendo los resultados de Ptolomeo, establece
tablas muy precisas: los cálculos de medio cordón (los senos futuros).
Aplica a la Astronomía los métodos geodésicos de triangulación (los cálculos de distancias y áreas).
Nasir A l-Tusí (Irán 1201 —1274)
Gentífico, matemático, astrónomo. Escribe diversos tratados sobre asuntos variados de Álgebra, Aritmética,
Geometría, Trigonometría, Lógica, Medicina, etc. Construye un observatorio en Meragha, incluso utilizó el
Astrolabio e introdujo una tabla muy exacta de los movimientos planetarios. Aportó a la Trigonometría esférica,
aporte que induye seis fórmulas fundamentales para la soludón de triángulos esféricos.
A I-K ashani (Irán 1350-143.9)
Uno de los matemáticos más grandes de aquellos tiempos. Desarrolla el uso del sistema de numeración
en base 60, que fue utilizado por los astrónomos babilonios.
Se debe a Al-Kashani la generalización del Teorema de Pitágoras, posteriormente expresado por
Vieta bajo la forma
a2= b2+ c2-2 b c eos A
Si la m < A = 90° se recupera la fórmula de Pitágoras a2= b2+ c2

APORTES DURANTE EL CAPITALISMO
- Será durante el Capitalismo, el periodo en que la matemática, las ciencias naturales y la ciencia en
general alcanza el mayor desarrollo. Esto se explica porque ya predomina una nueva forma de ver el
mundo que nos rodea, desarrollada por la emergente burguesia. La lógica imperante consistía en sacar
el mayor provecho de la naturaleza, producto' de ver en toda ella una fuente de mercancía.
El Humanismo, que sostenía el conocimiento basado en la razón y el estudio de la cultura greco-latina,
sirve de base para lograr nuevos conocimientos, no solo en Matemática, sino en todos los campos del saber. Se
avanza no solo en la observación sino en la preparación de herramientas (telescopio) y en la experimentación.
Georg Von Peurbach (1423-1461)
Astrónomo austríaco, fundador de la astronomía alemana y profesor en la Universidad de Viena, se
ocupó de la teoría del movimiento de los planetas. Enseñó durante algunos años en Italia. Entre sus
alumnos se encontró el famoso Johann Müller. Admirador de Ptolomeo. Abandonando el cartabón del
maestro, dejó de considerarlas cuerdas y compuso una tabla de valores del seno. Tradujo el Almagesto de
Ptolomeo directamente del griego.
Johan Müller (1435- 1476)
Astrónomo y matemático alemán, naddo en Konigsberg y fallecido en
Roma, conocido por Regiomontano, presentó en 1454 una obra titulada
Trianguíis omnimondis libre quinqué, primer libro tratado de Trigonometría
plana y esférica escrito por un europeo. Esta obra además es interesante desde
el punto de vista matemático pues en ella se expusieron sistemáticamente los
métodos de •esoludón de triángulos. Los aportes de Peurbach y Regiomontano
no pasarían inadvertidos a unjoven que estudiaba en la UniversidadJagiellonsky
de Cracc ría: se trata de Nicolás Copémico. Regiomontano, considerado padre
de la Trigonometría moderna, desarrolla a la Trigonometría como una rama
independiente de la Astronomía. Entre los problemas que planteó
Regiomontano se puede citar ¿a qué distancia debe ubicarse un observador
para que una estatua situada en un pedestal le parezca lo mayor posible?
Jorge Joaquín Réíico (1314- 1367)
I V
Müiier cpcrta significativamente a la
Trigonometría, en especial a través de
una teoría sistemática sobre métodos
de resolución de triángulos.
Astrónomo y matemático av siríaco. Es conocido por la publicación de cálculo de tablas de los valores
del seno, de la tangente y de la secante; para tal efecto empleó las identidades siguientes
sen raa = a sen (m -.1) a . eos a - senfm - 2) a
eos ma —a eos (ro - 1) a . eos a - cos(m - 2) a
El texto que muc-stra las tablas de funciones trigonométricas fue completado y publicado en 1596.
Ludolph Van Ceulcn (1540-1610)
Matemático holandés que introduce las identidades para un arco mitad, a saber
a
s e n - ;
2
1-cosa
2
a
eos - =
o
1+cosa
19

Francisco Vieta (1540-1610)
Matemático francés. Publica su primer trabajo de matemática en París en
1571 (Canónigo Mathematicus). Sistematiza la Trigonometría y presenta las
tablas trigonométricas; es el primer autor de las fórmulas analíticas que sirven
para la resolución de los triángulos, expone reglas para la construcción de los
senos, de las tangentes y de las secantes. Para sus tablas aplica las fórmulas
cos2a = r2-s e n 2cc
o 2 a
r -c o s a = 2sen —
2
4senj^ —■
— j = (sena - sen(3)2+ (cos(3 - cosa)2
Para el cálculo de los valores de las tangentes y secantes emplea las fórmulas
í a ( a.)
tan 45° + — = 2 tan a + tana; 45°- —
1 2 I 1 2 i
Los trabajos de Vieta permitieron
ampliar y profundizar los estudios
trigonométricos.
seca = - tan
2
45° +
a ) 1
— !+ -ta n 45° 1
J
Para la resolución de triángulos evita hacer trazos como el de una altura y aplica la ley de los senos
Presenta la ley de tangentes
a b c
senA senB senC
tan |
a + b 'i
a + b 2 i
a ~ b
tan |
V
A -B")
2 J
Para la resolución de los triángulos oblicuángulos en que se conocen los tres lados, Vieta descompone
el triángulo dado en dos triángulos rectangulares y para el cálculo del ángulo aplica la ley de los cosenos,'
que él presenta en la forma
2a _ 1
a2+ b2- c 2 sen (90°-c)
Asimismo, Vieta sistematiza la trigonometría esférica que hasta entonces era un conjunto de fórmulas
inconexas, y demuestra que
D _ f a + f n f a - P A
sena-senB = 2cos ------ eos;---- -
{ 2 J { 2 J
También dedujo fórmulas para sen(n0) y cos(n9).
Durante el gobierno del rey de Francia Enrique IV, específicamente en 1593 el matemático belga
Adriano Roonen propone un problema de ecuación de grado 45.
x45- 45x43+ 945x41- ... —3795x3 + 45x =K
20

Para entonces el embajador de los Países bajos hizo el desafio a Enrique IVque la calidad de los matemáticos
franceses era pobre y que ningún francés podrá resolver el problema de Roonen. Enrique IV
, que era amigo de
Vieta convocó a este que lo percibió y resolvió rápidamente la ecuación dada indicando que es el desarrollo de
sen450 en términos de sen0 con K= sen450 y x = 2sen0 . Vieta sabía que la ecuación podía ser
descompuesta en una de grado 5 y dos de grado 3 por lo que él las resolvió, para sorpresa de todos.
Tycho Brahe (1546-1601)
Astrónomo danés. Considerado el observador más grande del periodo anterior a la invención del
telescopio. Construye instrumentos cada vez mayores y más precisos. El rey de Dinamarca Federico I
cede a Brahe en 1576 la pequeña isla de Hven (hoy territorio sueco). Aquí Tycho Brahe hizo construir el
observatorio más grande de la época al que llamó Uraniborg, “ciudad del cielo”; construyó cuadrantes,
sextantes, esferas amulares, escuadras y gnómones con gigantescas escalas graduadas. Más adelante
estos datos recopilados fueron utilizados por Kepler (1571 - 1630).
Tilomas Fincfe (1561-1656)
De origen danés. En el libro 14 de su Geometría Rotundi introduce las palabras tangente y secante,
que fueron adoptadas prontamente por el inglés. Quizás fue el primero que usó las abreviaturas para la
razones trigonométricas.
Edmundo Gunter (1581-1626)
Aparece la expresión co-sinu, abreviación de complemento del seno; la palabra cotangente cuyo origen
es análogo al del coseno; y finalmente la palabra cosecante, probablemente por complemento de secante.
Bartolom é Pitiscus (1561-1613)
Matm ¿tico alemán. Eltérmino trigonometría aparece por primera vez como título de su obra Trigonometría,
publicada en Heidelberg en 1595. La misma que consistía de 5 libros sobre trigonometría plana y esférica.
Ihon N apiero Neper (1550-1617)
Matemático escocés. Usó la expresión del seno en
un círculo; elabora fórmulas simplificadas para cálculos
trigonométricos en Astronomía. Neper inventa los
logaritmos. Destaca por definir el logaritmo de seno (para
seno entre 0 y 1).
Neper es más conocido en Trigonometría porque
presentó 10 fórmulas prácticas para la resolución de
triángulos esféricos rectángulos, conocidas como Reglas de
Neper, las cuales se obtienen a partir del siguiente esquema
Henry Briggs (1561-1631)
Matemático inglés, amigo de J. Napiers. Se unieron para la construcción de uná tabla logarítmico-
trigonométrica, publicada por Henry Gellibrand (1597 - 1637), en su obra Trigonometría Británica.
Un primer ejemplo de grado centesima] se halla en un manuscrito del año 1446. La subdivisión centesimal
fue usada por Briggs. En tiempo de la Revolución Francesa se intentó implantar el sistema centesimal para
la medida de los ángulos. Ytrabajaron en ello los grandes matemáticos franceses Lagrange y Callet.
90°-Bjr"
90°-c j b
90°-A
21

Leonardo Euler (1707- 1783)
Suizo, aportó en la Astronomía (las órbitas globales, trayectorias de
los cometas), en las ciencias físicas (los campos de naturaleza magnética,
aerodinámica, óptica, ondulatoria de luz, etc.) y en la matemática. En esta
última, contribuyó en todas las ramas de la Aritmética, en la Geometría
del diferencial, análisis numérico y funcional.
Realiza importantísimos trabajos en Trigonometría, investiga la
trigonometría esférica, aunque también tuvo aportes en trigonometría
rectilínea. Considera el radio del círculo trigonométrico igual a 1, define las
seis razones trigonométricas como fundones del ángulo y las designa en forma
en que aparece como una dependenda fúndonal. Sólo con este matemático
comienza a tenerse una idea exacta de la variadón de las fundones seno, coseno.
Utilizó Al para el aíro tangente en Scientia síve del mofas Mechanica.
En 1770, Euler publica en alemán una introducción completa del
Álgebra, donde explica plenamente los números negativos y realiza un
estudio definitivo del número real.
A Euler se le debe la notación de jt, i para v -1 ó rí= -l (desde
1727, el tenía sólo 20 años). La fórmula de Euler, que establece el lazo
entre la Trigonometría, el exponencial y el análisis complejo, es
Resulta innegable la contribución de
Euler al desarrollo dé la matemática.
Sus estudios sobre trigonometría
esférica y rectilínea son fundamentales.
e“ = cosx -r ísenx
Elfamoso número e, también conoddo como número de Euler tal que Lne=1, se establece también en la serie
=l + x + -
x
3!
x
n!
Vincenzo Riccati (1707 - 1775)
Introdujo las funciones hiperbólicas, utilizó sh y ch para el seno y el coseno hiperbólico. También se
y cc para las funciones circulares.
George Simón Klügen (1739-1812)
Matemático alemán. Introduce la denominadón de funciones trigonométricas y posteriormente se
usa la expresión fundones circulares.
Abraham de Moivre (1667-1754)
De origen francés, pero nadonalizado inglés. Era miembro de la Soaedad Real desde 1697. Publica los
trabajos en el libro Cálculo de las probabilidades. Era el introductorio de la trigonometría de las cantidades
imaginarias. En 1730 introduce los números imaginarios en Trigonometría y establece la fórmula de De Moivre
(cosB + isenS)" = cosn0 + isennQ
Otro importante avance del análisis fue el estudio desarrollado porJoseph Fourier (1768-1830). Fourier
en 1812 presenta las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas. Estas se conocen hoy
como series de Fourier y son herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Durante los siglos XVI, XVII y XVIII la Trigonometría se configura prácticamente como es hoy. Por
otra parte, el desarrollo de los estudios astronómicos, geodésicos, etc. y sus aplicaciones en la navegación
y la técnica la convierten en una materia de alto interés práctico.
22

TRIGONOMETRÍA
I
CAPÍTULO
I
l . . ■ ■ ..................I
Sistemas de medición
anguiar y longitud de arco
Sector 1
Ptato.,3
; Sector 1 en
cilindro 1
Pista 1 /
Pista 0
..... .......... .. ■ — ' " “ ” * ................ “ — ~
Tecnología en discos duros
El diseño de los discos que almacenan información está compuestopor uno o
más platos, hechos de aluminio recubiertos poruña sustancia magnética por
ambascarasy un radio aproximado de 4 cm. Cadadisco se encuentra dividido ¡
en 8 sectores circulares de igualárea, por lo que a cada sectorle corresponde
un ángulo central de k/4 rad (sistema radial). La información será registrada en
‘ las llamadaspistas, las cuales son anillos circulares concéntricos.

MÉTODOS ANTIGUOS DE MEDIR LÍNEAS Y ÁNGULOSEN UNA CIRCUNFERENCIA
Los egipcios y los babilonios inventaron métodos para
medir los ángulos determinados por varias estrellas.
En ese tiempo, alrededor de dieciséis siglos antes de
nuestra era, el escriba Ahmes escribió su famoso papiro
en el que se evidencia que los egipcios conocían, entré
otras muchas cosas, que la circunferencia de un círculo
es un número fijo de veces su propio diámetro.
Es un número inconmensurable que desde el
siglo XVII es designado con la letra griega n .
La medida de los ángulos que hoy nos es común, se
remonta af tiem po de la Escuela de Alejandría en
los principios de nuestra era. Los matemáticos
griegos de dicha escuela dividieron la circunferencia
en 360 partes iguales, posiblemente copiando a los
babilonios, llamando a cada una de dichas partes
una moira. Esta palabra griega se tradujo en latín
medioevo como de gradas, "un grado o paso a partir
de". Así pues, nuestra palobro "grado" significa el
primer paso para determinar la medida de un giro o
revolución completa, es decir ^ de una revolución.
360
La siguiente etapa fue dividir cada grado
en sesenta partes ¡guales, a cada una de las
cuales se le dio el nombre de pars minuta
prim a, 'p rim e ra parte m enor". De dicho
nombre se deduce nuestra palabra "m inuto"
(abreviada) con un significado doble de
"p rim e ra p a rte m enor de un g ra d o " o
"prim era parte menor de una hora". Dicha
pars minuta prima se dividió nuevamente en
60 partes iguales, cada una de las cuales
recibió el nombre de pars minuta secunda,
"segunda parte m enor". De ahí se deriva
nuestra palabra "segundo", (abreviada) con
un doble significado de "segunda parte menor
de un grado" o "segunda parte menor de una
hora". Sexagesimus es la palabra latina,
correspondiente a sesentavo, por tal razón
esta m e d id a a n g u la r se conoce com o
sexagesimal. En la práctica, se toma por unidad
de arco el cuarto de la circunferencia, o bien la
360va. parte de la circunferencia o grado. Desde
luego los ángulos pueden también medirse de
dos maneras: en ángulos rectos o fracciones de
ángulos rectos, o en grados, minutos y segundos,
pudiendo fácilmente pasarse de una a otra de
estas medidas. *
Representación de Euclides quien, bajo el reinado
de Tolomeo I, fundó la Escuela de Alejandría hacia
el año 300 antes de nuestra era.
]
Las bases de 200 metros de las pirámides eran exactas
hasta una o dos pulgadas. Los hombres que supervisaban j
las operaciones de la construcción lograban esta exactitud
usando estaquillas y lienzas para calcular un ángulo recto !
preciso. Logrado esto se clavan postes en la tierra para j
señalar el área del lugar de la construcción.
í

Sistemas de medición.— :
---- 7
— -/angular y longitud de arco
OBJETIVOS
• Diferenciar el ángulo como figura geométrica y el ángulo generado por la rotación de un
rayo alrededor de un punto fijo (vértice), todo ello en un mismo plano.
• Conocer las principales unidades de medición angular.
• Aplicar la medida en radianes de un ángulo para calcular la longitud de un arco y el área de
un sector circular.
• Establecer una relación para el número de vueltas y el ángulo girado por una rueda, disco,
polea, engranaje, etc.
INTRODUCCION
En la vida cotidiana, es com ún ver el
movimiento de las manecillas de un reloj, el
radio de la rueda de una bicicleta, la hélice de
un helicóptero, etc., los cuales nos dan la idea
de ángulo generado que presenta características
dinámicas. Dicho concepto será aplicado en
capítulos posteriores, como por ejemplo, en la
representación de ángulos en posición normal,
arcos en la circunferencia trigonom étrica y
rotación de ejes. Sin embargo, para indicar la
m edida de un ángulo, es necesario asignarle
ciertas unidades, ya sea grados o radianes. Los
grados tienen utilidad diversa en la resolución de
triángulos, topografía, coordenadas geográficas,
etc.; pero en física, m atem ática superior e
ingeniería, es insuficiente tener ángulos en grados,
de allí la importancia de expresarlos en radianes.
La lectura de ía página 24 explicaaquello y a la vez
nos invita a formularnos preguntas tales como ¿Qué
Figura l.l
Instrumentos náuticos. De arriba hada abajo: un compás, reglas paralelas
paro trazar líneas direccionales sobre la carta, compás de división,
transportador para medir ángulos y sextante.
es un sector circular?, ¿qué es un ángulo central?, ¿qué es sistema radial?, etc. Para averiguar la respuesta
a estas y otras interrogantes le invitamos a que nos acompañe en el desarrollo del presente capítulo.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO______________________ ' ____________ _________________
Con la finalidad de estudiar el ángulo trigonométrico es necesario conocer el concepto de rayo. El
rayo es una parte de la recta limitada de un extremo por un punto llamado origen e ilimitada en el otro
extremo. A continuación sugerimos que observe la figura 1.2.
Notación: OA
O A (1° cual usted leerá como rayo OA)
Figura 13 v
Es conveniente indicar el ángulo trigonométrico, tomando en cuenta su amplitud y orientación. El
ángulo trigonométrico es generado por la rotación de un rayo en un plano alrededor de un punto fijo,
denominado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) a una posición final (lado final).
En la figura 1.3 el rayo OA gira hasta la
posición OA' en el sentido m ostrado
generando así el ángulo trigonométrico a ,
no debe olvidar que esta rotación de giro se
realiza en el plano P
La letra P que se halla en la parte inferior
izquierda indica que la región sombreada
representa a un plano de nombre P.
Ángulos Positivos y Ángulos Negativos
Por convención se generan ángulos positivos cuando el rayo gira en sentido contrario del movimiento
de las manecillas del reloj (sentido antihorario); el giro del rayo en el sentido del movimiento de las
manecillas del reloj (sentido horario)generará ángulos negativos. En la figura 1.4 se gráfica lo mencionado.
a) Giro Antihorario b) Giro Horario
Figura 1
La magnitud tomada en cualquier dirección de rotación del rayo que genera un ángulo
trigonométrico, asume cualquier valor numérico puesto que dicho rayo puede ser rotado en sentido
positivo o negativo tal como se quiera.

CAPÍTULO I Sistemas de medición angular y longitud de arco
Antes de hacer girar un rayo, la medida del ángulo es cero, a medida que éste gira en sentido
antihorario (figura 1.5) se generan ángulos cada vez mayores. Para entender aquello, observe con detalle
la secuencia de cuánto ha rotado cada ángulo, notando que va en aumento al pasar de a a ¡3, de p a
0 y finalmente de 0 a y , aunque esto puede seguir aumentando.
Figura 1.5
Luego de observar estas gráficas podemos entender ahora la siguiente desigualdad: O<CX<P<0<Y
Yal girar en el sentido horario (figura 1.6) se generan ángulos cada vez menores.
Figura 1.6
De igual forma que en el caso anterior, dada la secuencia de los gráficos podemos entender la
desigualdad: O > 0 > y > Á > co
«-
| Observación
1 '■ . ■ ____ _____________ ___
Como el ángulo trigonométrico se genera por la rotación de un rayo, entonces desde este punto de
vista, el ángulo de una vuelta (<1V) es aquel que se genera cuando la posición final y posición
inicial coinciden por primera vez (figura 1.7)
En la presente obra consideramos al ángulo de una vuelta en sentido antihorario por su aplicación
de sistemas de medición angular.
Figura 1.7

SISTEMAS PE MEDIDAS ANGULARES_________________________ __________
Los sistemas de medidas angulares más usados son tres: sexagesimal, centesimal y radial. A
continuación explicaremos los pormenores de cada sistema.
El Sistema Sexagesimal
Tiene como unidad de medida a! grado sexagesimal (Io), el cual es igual a 1/360 del ángulo de una
vuelta, así: ____ ________
; m< vuelta; 360° i
Las subunidades de este sistema son el minuto sexagesimal (I') y el segundo sexagesimal (1"), los
cuales cumplen
f F = 60' a 1 = 60”
____________ _____ f
Entonces T = 60x1'=60 x60"
Por lo tanto
V : 3600" '
El Sistema Centesimal
Tiene com o unidad d e m ed id a al grado cen tesim al ( l s), el cual es igual a
1/400 del ángulo de una vuelta, así
[ m <lvuelta=400g j
Las subunidades de este sistem a son el minuto centesimal ( l m
) y el segundo centesimal (T), los
cuales cumplen
* f ls =100m a r = i o o s j
Entonces ls = 100x lm= 100 x 100s
Por lo tanto
í l8= 10000* J
Nota Históríta
El sistema centesimal intentó desplazar al sistema sexagesimal, pero no resultó práctico, porque para su
empleo era necesario modificar las tablas, cartas geográficas, náuticas, astronómicas, y cambiar la
graduación de muchos aparatos. Este sistema fue ideado por el geodesta francés J. C. Borda, y aún se usa
en el ejército del país de este científico.
28

El Sistema Radial, Circular o Internacional
Tiene com o unidad de medida al radián (1 rad.). En la matemática, com o en otras ciencias (física,
ingeniería, astronomía, etc), se utiliza ampliamente la medición de ángulos en radianes.
Definición
Si un ángulo central mide en radianes 0 en un
círculo de radio r y subtiende un arco de
longitud { (figura 1.8), entonces 6 se halla
con la fórmula
Figura 1.8
■ id l Nota
Un radián (1 rad) es la medida del ángulo central
que determina sobre una circunferencia un arco
de igual longitud al radio de la circunferencia que
lo contiene.
Figura 1.10
Por ejem plo, si { =2r, se tiene que 0 = 2,
entonces la medida del ángulo central es 2 rad.
(ver figura 1.9)
En una circunferencia, la relación entre las
medida de su ángulo central, la longitud de una
circunferencia y su radio se determina así
q _ ^circunferencia
radio
Entonces
m « l vuelta=2rt rad
Nota Hktóríia
El físico e ingeniero inglés James Thomson (1822 -1892) presenta el 5 de junio de 1873 por primeraivez la
palabra radián usado en Funciones Trigonométricas y en octubre de 1960, la Décima Primera Conferencia
General (Internacional) sobre pesas y medidas redefinió algunas de las unidades métricas originales y
amplió el sistema con el fin de incluir otras unidades físicas y de ingeniería. A este sistema ampliado
se le dio el nombre de Sistema Internacional de Unidades, y la unidad de medida angular, de dicho
sistema es el radián (1 rad).
29

<>£■ Observación
• Usualmente en el lenguaje matemático no se escribe “radianes”pues ya se sobreentiende; por ejemplo,
se escribe m <AOB=2 en lugarde lanotacióncompleta m<AOB=2rad, tan| ~ J enlugarde tajaj j.
• El número n experimentalmente se obtiene dividiendo la longitud de cualquier circunferencia por su
respectivo diámetro y al efectuar dicha división se obtiene ;
ir = 3,14159265........
„ _ longitud de circunferencia . . , . >
.
o sea , ------ — ------------------ => longitud de circunferencia=2itr
• Como Ioes la 360ava parte del ángulo de una vuelta, 13es la 400ava parte del ángulo de una vuelta, y
1rad es 2n ó 6,28... ava parte del ángulo"de una vuelta, entonces
1 rad > 1° > l3
• Es necesario mostrar las equivalencias entre los sistemas de medidas mencionados, veamos los
siguientes ángulos trigonométricos y sus respectivas medidas.
<1 vuelta = 360° = 400? = 2ir rad - <1 vuelta = 270° = 300* = — —d
4 2
(a) (c)
- < 1vuelta = 180° = 2003 = it rad
2
- < 1vuelta = 90° = 100“ =
4 2
O
(b)
Figura 1.11
(d)
30

Ejemplos de Conversión entre Sistemas
Ejemplo 1
Exprese en radianes el ángulo 30°
Resolución
30c = 30° x f
[ 180°
Equivale a l
dado que 180° = n rad
rtrad
Nótese que en el factor de conversión del
ejemplo 1 se tiene que en el numerador está la
unidad deseada (radianes) y en el denominador,
la unidad del ángulo a convertir (grados
sexagesimales).
Con este razonamiento podemos desarrollar más
ejemplos.
Ejemplo 2
Exprese en radianes cada uno de los ángulos
siguientes
a. 20° b. 558 c. ( | )
= 30x L 0x
t
i rad
180x } “
Jt j
=- rad
6
Como lpie = 0,3048 m
1,68 m = 1,68 m x 1 Pie ]
0,3048 m J
=s 1,68 m =5,518 pies
Figura 1.12
Para convertir grados sexagesimales a grados
centesimales y viceversa, es conveniente que
tengamos en cuenta que 90°=100*. Entonces
9°=10*
Ejemplo 3
Exprese 81° en grados centesim ales, y 45* en
grados sexagesimales.
Resolución
a. 20° = 20°í
1 180°
n rad
9
b. 55* = 55*
n rad
2008
1ln rad
40
Resolución
a. 81° = 81°^
b. 45* = 45s
9° ) _ 405°
10* J 10
= 40,5°
c.
( 9
2
9 1 ( n rad )_ n rad
2 j X[ l 80=
~j" 40
Esta form a de convertir (m étodo del factor
unitario) también puede ilustrarse con el siguiente
ejemplo:
¿Cuál será la estatura de una persona en pies, si
la persona tiene una estatura de 1,68 m1
Ejemplo 4
Exprese en grados sexagesimales cada uno de los
ángulos siguientes.
a rcrad
50
k 2rtrad
3 ~ ~
31

Resolución
Ttjad _ 7t rad( 180° V 180° _ .
50 50 [ Tirad ) 50
b 2t
trad 2itrad( 180° )2Q0
3 3 i ti rad j
Nota __________
Cuando se escribe grados, se refiere a los grados
sexagesimales. Observar que se están realizando
mayor cantidad de ejemplos con ángulos en
radianes y sexagesimales.
Modernamente se ha propuesto al sistema
centesimal, pero este sistema ha prosperado
poco, no ha sido muy usado en la matemática.
(convirtiendo los decim ales de grados a
6 0 1
minutos, note que — = 1)
* 1=
Tirad Tirad
32
urad
~32~
= 5°+37, 5'
= 5° + 37'+0,5'xf
32
60"
= 5°+37'+0, 5'
(convirtiendo los decim ales de minuto a
segundos sexagesimales)
Tirad
32
= 5° + 37'+ 30"
Pero por notación 5o+ 37'+30" = 5°37'30"
en general A° + B'+ C”= A°B' C"; B,C < 60j
Ejemplo 5
nrad
Exprese en grados, minutos y segundos
Resolución
Como usted podrá entender se presentan dos
casos:
a. Sistema sexagesimal
b. Sistema centesimal
Así tenemos
a. = ”§2” • ■ • (O (porque 18(f = nrad)
ti rad
" ~ 3 2 ~
= 5= 37’ 30"
Otra forma; de (1) se puede verificar
nrad 45°
3' 32 8
45° 8 . 300' 8
40= 5 60 37'
5= 56
4'
240' 8
240" 30"
! 0
este residuo a minutos este residuo a segundos
5°=5(60')=300' : 4'=4(60") =240"
Jirad
Tirad
~32~
nrad
32
= 5,625°
= 5°+0,625°
= 5°+0,625)*x|
Para dar la resp u esta se sum arán los
cocientes obtenidos
45°
= 5° + 37'+30" = 5°37'30"
nrad
~32~
= 5°37'30"

b. Se divide hasta obtener 5 cifras decim ales
tirad _ 200^ = 25^ = 25ofro“ " red°nde°
32 " 32 4 j ’~ T
(se agrupa de dos en dos de la coma a la derecha)
=» í ^ = 6 s +25m + 05 = 6825m
32
Pero por notación: 68+25m=6s 25m
en general
A8+ Bm+ Cs = A8B™Cs; B,C<100
Jt
— rad = 6825m
32
De igual forma usted puede verificar
208
/) a grados, m inutos y segundos
centesimales
— = 6,6666666 ...
3
(pero se lo se necesitan 5 cifras decim ales)
_Para el redondeo
■ —
=> “ - = 6-6666 ©
^ g m s2
0
20s *
=> = 68+66m+67s
3
Ejemplo 6
La m edida del < P en la figura 1.13 es de
144°18'35". Convierta dicha medida a grados
expresado en decimales.
Resolución
Expresamos el ángulo dado com o una suma de
grados, minutos y segundos.
144° 18'35" = 14 4 °+ 1 8 '+ 3 5 " ,
conviniendo los minutos y segundos a grados
( p i ( Io
-148°+ 18' — +35"
i 60' ) l 3600"
144° + 0,3°+0,0097°
144°18'35" = 144,3097°
208
— = 6866m67s
«) (2,003)8 = 2,00 30 = 28+ 0m +30’
g m s
(2,003)s =2830s
iii) (1,974)* = ^ , 9740 = ls +97m +40s
g m s **
(1,974)8 = l897m40s
l r a d = l r a d M = ^ '
^tirad J n
Considerando n=3,14159
se tiene 1 rad = 57,296°
Ahora 1 rad en grados, minutos y segundos
sexagesim ales (usando calculadora) sería
1 rad = 57°17‘44,8" con error menor de una
centésima de segundo.
33

Ejemplo 7
Exprese el ángulo 1,5 rad a grados (notación
decimal)
Resolución
1,5 rad = 1,5(1 rad) = 1,5(57,296°) = 85,944°
.-.1,5 rad=85,944°
Ejemplo 8
Elxprese el ángulo 3 rad a grados, minutos y
segundos sexagesimales.
Resolución
3 rad = 3(1 rad) = 3(57°17'44,8") •
3 rad =3(57°+17'+44,8') = 171°+5r+ 134,4"
120' + 14.4"
3 rad = 171°+53' +14,4"
3 rad = 171°53'14,4"
Ejemplo 9
Exprese a en grados m inutos y segundos
sexagesimales, siendo a = 9Í — )rad
Resolución
Convirtiendo 1° a grados centesimales
a = 9
r v ( 10s
rad=10 rad
Observadón
• Cuando dos ángulos trigonométricos tienen la
misma ámplitud de rotación pero
orientaciones contrarias, entonces estos
ángulos tienen diferente signo.
Ejemplo
(a) (b)
Figura 1.14
• En Geometría existen propiedades para
ángulos, entonces para aplicar cualquiera de
estas propiedades a los ángulos
trigonométricos, estos deberán tener en
primer lugar una misma orientación (o un
mismo sentido de rotación).
a = 10(57°17'44,8") = 10(57° + 17'+44,8")
a = 570°+ 170; + 448','
120 +50' 420- + 28"
a = 570° + 2° + 50'+ 7’ + 28" = 572° + 57’+ 28"
a = 572°57'28"
Ejemplo 10
De la figura 1.15, ¿qué alternativa es correcta?
a. a + p = 90°
b. a - P = 90°
c. p - a = 90°
d. - a - P = 90°
e. P = -2a

Resolución
Cambiando a (3 a su respectivo sentido opuesto
(ver figura 1.16), entonces, en dicha figura se
aprecia que los ángulos trigonom étricos
a,~P y 90° tien en la m ism a orientación
(antihorario), por lo que podemos plantear que
G+ (- p) = 90° a -p = 9 0 °
NotaHistorna
Rarausos militares se utilizauna unidadangularque
fue adoptada debido a que permite un cálculo fácil,
rápidoypreciso de distanciasrelativamentegrandes,
como es el caso de blancos para tiro de artillería
Tal unidad es la llamada milésima o mil (símbolo:
mil) que se consideró ser el ángulo central que
subtiende un arco circularde una unidad lineal de
longitud a una distancia de 1000 unidades lineales.
Talmedida corresponde a lrev=2 jt 1000 unidades
de esta clase, pero 1rev=6283,18 .... no es un valor
numérico simple ni fácil de utilizar. De modo que
se eligió 6400. En consecuencia:
1mil = —— de revolución
6400
Por lo tanto
6400 mil= 2rt; 3200 mil=rt ; 1600 m il=^
La artillería del ejército suizo empezó a utilizar la
milésima en 1864. Francia la adoptó en 1879, y el
ejército de ios Estados Unidosen 1900. Eluso militar
de esta unidad es para dirigir el fuego de artillería,
determinar el alcance y efectuar correcciones de
tiro. Los observadores emplean a menudo
binoculares con escalas interconstruidasparamedir
milésimas entre objetos situados en el campo visual.
Ejemplo 11
a. Convierta 800 mil a grados sexagesimales.
b. Convierta 400° a mil.
„ . . 37trad
c. Convierta — -— a mu.
Resolución
a. Como 1600 mil = 90°
90°
=> 800 mil = 800 x ——
-— - = 45°
1600 mil
b. 400° = 400° x
1600 mil
90°
400° = ^ m i l= 7 1 1 1 ,l l mil
3itrad 3ítrad 3200mil . . . . ..
c. = — - — x --------— = 2400 mil
4 4 n rad
Ángulos Cotorminalos
Es importante observar que hay m uchos
ángulos diferentes que tienen el m ism o lado
inicial, lado terminal y mismo vértice. A cualquier
par d e esto s ángulos se les llam a ángulos
coterminales.
35

Lumbreras Editores Trigonom etría
Los infinitos ángulos coterminales a 0 se
obtienen con la expresión 360°K+ 0, donde K es
un núm ero entero cualquiera
(K = 0, ±L ± 2 ,...). Por ejemplo, en la figura
1.17(a), (3 es coterminal con 0 y se obtiene
cuando K=2. Es decir {3= 36O°x2 + 0
Así análogamente los infinitos ángulos a
coterminales a -120° se obtienen por la expresión
siguiente 360°K+(-120°); K=0, ±1, ±2, ± 3 , . . .
Por ejemplo 240° es coterminal con (-120°) y se
obtiene cuando K=1 (figura 1.17(b))
Aplicación
La palabra radián se com prende aun si no
aparece escrita. No es el caso con la medida en
grados; su unidad siempre se debe incluir. El
siguiente ejemplo enfatiza la diferencia entre estas
dos medidas angulares.
Ejemplo
Compare el ángulo de 30 (o 30 rad) con el de 30°
(considere n = 3,14)
Resolución
Del ángulo 30 ó 30 rad (figura 1.18 (a)) se obtiene
cuatro revoluciones consecutivas del lado
terminad más 4,88 adicionales.
Luego el ángulo de 30 ó 30 rad es coterminal con
el ángulo de 4,88 ó 4,88 rad.
30 rad = 30 = 4(2n)+4,88
y el ángulo de 30° aparece en la figura 1.18( b)
4,88 rad
* 30grados sexagesimales
(b)
Figura 1.18
Teorema
En la figura 1.19 se muestra un ángulo
trigonométrico a , tal que sus medidas en los tres
sistemas estudiados son S°, Cs y Rrad, las cuales,
al representar la medida de un mismo ángulo,
resultan ser equivalentes.
Entonces se verifica la siguiente fórmula:
_S__ JL = J1
180 200 ji
De la fórmula anterior se deducé que
S = C
^ . J ^ = J3 . _C^= _R
? 10 ’ 180 n ’ 200 Tí
donde
S: número de grados sexagesimales de a.
C: número de grados centesimales de a.
R: número de radianes de a.
Demostración
Como S°=CS = R rad
Dividiendo por la m < IV
S° Cs R rad
=>---------- =----------- =---------
m < l V m < l V m «lV
36

Luego
S° = _C*_ = Rrad
^ 360° “ 400s ~ 2n rad
(ya que m < IV =360°=400s=2 n rad)
S _ C R
180 200 ti
(simplificando unidades y operando)
Ejemplo 1
El ángulo de 90 ° medido en los otros dos sistemas
estudiados resulta ser 100s y ^rad (ver figura
1.20)
Entonces de la figura identificamos que
Ejemplo 2
Calcule el valor de cada una de las expresiones
dadas.
a. y =
C + S
C -S
b. S + 2C
58R
c. Si para un mismo ángulo se cumple:
S=3xjr+6 y C=7x*-8
Halle el número de radianes de dicho ángulo.
d. El producto de los números que expresan la
m ed id a de un ángulo en los sistem as
7
1
estudiados es - .
O
S=90, C=100 y R= -
90°=100s = y r a d
Figura 130
Halle la m edida del ángulo en grados
sexagesimales.
Resolución
a. Utilizamos
- = — = K=>S = 9K a C=10K
9 10
Luego reemplazamos en y
10K + 9K 19K tft
10K-9K K
..
En los ejemplos desarrollados o propuestos'que
siguen, se considera que S, Cy Rson los números
convencionales para un mismo ángulo (número
de grados sexagesimales, número de grados
centesimales y número de radianes de un mismo
ángulo). Vale aclarar también que las formuléis
vistas en el teorema anterior soa válidas tanto
para ángulos positivos como negativos.
.-. y = 19
Otra forma
De S__C
9 10
tenemos —=
C
_9
10 ’
aplicando propiedad de proporciones
C+S 10 + 9
C -S " 10-9
C + S
'■ C - S
= 19
37

b. Utilizamos = ~ = —= K=
180 200 n
Luego reemplazamos en P
180K + 2(200K) 580K 10
P
•••P =
58(nK) 58nK
10
n
Otra forma como
S + 2C
P=:
58R
tenem os
1 f S+2C ) _ 1 ( S t 2C
58l R j 581 R + R
P 58 vH ,
Reduciendo
„ 1 ( 580 ^ 10
P
58 n
, P = ^°
JC
n
S=180K
C=200K
R=rcK
c. Como S C 3 x v + 6 7x* - 8
9 10 9
10(3xJt+6) = 9(7xt -8 )
30x' + 60 = 63xr - 72
33^^ =132
x x =4 => x =2
com o 3xJ
C
+6 = 3(4) + 6 = 18
=>m« = 18° = — rad
10
=> m< = 18° = — rad
10
, R = ^
10
10
d. Del enunciado SCR= ...0 )
s c
com o —=
com o '
S _ C .
9 10'
10
, también se puede expresar
= k
S=9k
C=10k
nk ...00
R=-
20
Reemplazamos (II) en (I) 9k. 1Ok .
luego k3=
27
7tk _ 7
1
20 “ 6
1
k = ;
=> S = 9k = 9 j= 3°
.-. la medida del ángulo es 3°
E jercicios
I. En los ejercicios del 1 al 4, exprese el ángulo dado en notación decimal de grados.
1. 22°30' 2. 5°10' 3. 120°10'2" 4. 10°25'
II. En los ejercicios del 5 al 8, exprese el ángulo dado en términos de grados, minutos y segundos
sexagesimales.
5. 180,20° 6. -9,25° 7. 225,15° 8. 30,81°
III. En los ejercicios del 9 al 11, exprese el ángulo dado en notación decimal de grados centesimales.
9. 30s20m15s 10. 100820m 11. 1s 02m
IV. En los ejercicios del 12 al 14, exprese el ángulo dado en grados, minutos y segundos centesimales.
12. 45,5S 13. 63,2018 14. -33,2*
38

V. En los ejercicios del 15 al 24, convierta de grados sexagesimales a radianes.
15. 45° • 16. 30° ' 17. 270° 18. 37° 19. 0o
20. -180° 21. -120° 22. 131° 36' 23. -45,2° 24. -540°
CAPÍTULO 1
___________ _________________ Sistemas de medición angular y longitud de arco
VI. En los ejercicios del 25 al 33, convierta de radianes a grados sexagesimales
26. ,7n 27. 1,5 28. 15 29. 4 1 -
2
31. 32. 33. 0,25
12 12
Vil. En los ejercicios del 34 al 36, convierta de radianes a grados centesimales
7
1 7
1
34. - 35. 3 36. -
VIII.En los ejercicios del 37 al 39, considere que: 1 rad=57°17'44,8" y convierta los ángulos dados «
grados, minutos y segundos sexagesimales.
37. 2 rad 38. 1,5 rad 39. - 4 rad
25.
30.
2t
3
3rt
8
IX. De los ejercicios del 40 al 45, calcule el valor numérico de cada expresión (siendo S, C y R k
convencional para un mismo ángulo trigonométrico)
40.
44.
S + C
s - c
41.
S2 +C2
s e
42.
S + C
R
- S + C 10 r s + c + R ' i
? --------- 13
V S-C
45.
{ 380 + t
i J
R espuestas
43. 7tS+7tC+20R
1. 22,5° 2. 5,16° 3. 120,1672° 4 10,416° 5 180°12'
6. -9 o,15' 7. 225°9’ 8. 30°48’36" 9 30,2015* 10 100,20*
11. l,02s 12. 45s50m 13. 63s20m10s 14 -33*20m 15 7t/4 rad
16. ti/ 6 rad
37trád
17. 2 18.
377trad
180
19 Orad 20 -7trad
21.
2nrad
3
3297irad
22. ---— —
450
23.
1137trad
450
24 -3 n rad 25 120°
26 1260° 27. 270°/ t
j 28. 2700°/Tt 29 3690° 30 67,5°
31 15° 32. 75° 33. 45° / k 34 200*/7 35 600*/ t
i
36. 40* 37. 114°35'30" 38. 85°56'37” 39 -229°10'59" 40 -19
41. 181/90 42. 380/t
i 43. 400 44 -2 45 I

LONGITUD EN UNA ÓRBITA
Un s is te m a de te le m e tría desea
h a lla r la distancia que separa (sobre la
ó rb ita geoe sta cio naria) a dos satélites
geoestacionarios A rab sat-IA (localizado a
19,2° Este) e ln te !s a tV -F 4 ¡localizado a
3 4 ,4 ° Oeste) sabiendo que la distancia de
la superficie de la Tierra a un satélite
g e o e s ta c io n a rio es a p ro x im a d a m e n te
35 800 km, considere que el radio de la
Tierra es aproximadamente 6 400 km.
¿Podría usted decir qué distancia halló el sistema de Telemetría?
Haciendo uso de una relación trigonom étrica sencilla podemos concluir que dicha
distancia es 39477,92 km. Invitamos al lector nos acompañe en el desarrollo teórico para
hallar la mencionada relación trigonométrica, la cual se explica en las páginas siguientes,
pero antes de eso le hacemos llegar un alcance más.
El sistema Intelsat (Organización Internacional de Telecomunicaciones por Satélite) fue
creado en 1964 y actualmente interconecta a 165 países, territorios y dependencias en
todo el mundo. Es utilizado principalmente para las comunicaciones internas, al no
contar con satélites domésticos propios.
Arabsat (Arab Satellite Communications Organizaron) es una organización de la Liga de
Países Arabes, fundada en 1976, cuya función primordial es adquirir los satélites necesarios y las
facilidades de su lanzamiento y control, así como operarlos para la prestación de servicios de
comunicaciones a sus 22 países participantes. El Arabsat lA fu e lanzado en febrero de 1985.
Una estación geoestacionaria es en
primer lugar un satélite que debe
desplazarse en e l mismo sentido de
rotación que la Tierra; además, para
que no perdiese altura poco a poco
y completase una vuelta cada 24
horas, debía estar a
aproximadamente 36000 km de
altura sobre el nivel del mar; para
lograrlo el satélite debía tener una
velocidad constante de
3075 m¡s, siguiendo una órbita
circular alrededor de la Tierra.
i
i

¡

?
]
f
|
j
j
I
i
|
¡
i
I
40 jhsf

LONGITUD PE ARCO PE UNA CIRCUNFERENCIA______________ ________________ __
Si se pidiese medir manualmente la longitud de un arco de curva com o la mostrada en la figura
1.21 (a), una forma de realizar aquello sería que adapte un hilo a su forma y luego se mida con una regla.
Veamos el siguiente gráfico:
Figura 1J21
A Hiloestirado B
1 2 3 4 5 6 7 8
(b)
Sin embargo, matemáticamente se determina
la longitud de un arco utilizando el cálculo integral.
La longitud del arco de la figura 1.22 de
y=f(x), entre x =a y x=b, se calcula por la fórmula
Los circos de circunferencia se pueden medir
en unidades angulares y en unidades de longitud,
si co n sid era m o s un ángulo central a en
circunferencias concéntricas, tal com o se ve en
la figura 1.23.
Cálculo de la Longitud de un Arco de
Circunferencia
Para calcular la longitud de un arco de
circunferencia partimos de la definición (ver
página 29) que expresa la medida circular de un
ángulo central com o e =|/r (ver figura 1.24) de
donde se obtiene que
De esta fórmula, nótese que e rad puede ser
cualquierángulo positivo menor o igual a una vuelta. -
( O < 0 < 2 t
O ' '
Figura U S
Para e=2n la fórmula anterior nos da la longitud
de la circunferencia í = 2nr.
La m edida de arco en AA' y BB' en unidades
angulares son iguales a a . Pero la medida en
unidades de longitud del arco AA' es menor que
la del arco en BB'.
Ejemplo 1
Una carretera tiene una curva de 20° con un radio
de 630 pies. Calcule la longitud de la curva.
(Considere rt = 22/7 ).

Resolución
De la figura 1.26
. rtrad ■ „ Jt ,
m<AOB = 20~ = ^ , => 6 = - (en radianes)
Por fórmula
Cálculo del Área de un Sector C ircular '
Un sector circular viene a ser una porción de
círculo taf como AOB (véa¿e figura 1.28) limitada
por los radios OA, OB y el arco AB. Así el área S
del sector AOB se calcula mediante la siguiente
fórmula
- Figura 1.28
Ejemplo 2
El péndulo de un reloj tiene 20 cm de longitud y
recorre un arco de 258 por segundo. ¿Cuántos
centímetros recorre la punta del péndulo en un
segundo? (Dato: jr =3,14)
Resolución
Datos:
r = 20 cm
0 =25? (en grados centesimales)
=> 0 = g en radianes.
En la figura 1.27, ! representa la longitud recorrida
por la punta del péndulo
en un segundo.
Así, por fórmula
( = 0r
=> C= - x 2 0 cm
8*
* O TI
(= — cm
Considerando Jt = 3,14 se tiene que C= 7,85cm
Deducción
Área de un círculo de radio r es n r
Como S y 0 son directamente proporcionales,
entonces el área del círculo con el ángulo de una
vuelta también lo serán, siendo r constante, así
S _ Área del círculo S _ rtr2 , g _ | 0rí
0 2rt ^ 0 ~ 2m " 2
Además como f = 0r, expresando S en función de
• Longitud de arco y el radio S - — :
• Longitud de arco y el ángulo central
El término círculo y área de sector, es frecuente
en elementos de máquina. En la figura 1.29 se
observa una mesa divisora circular, que en un
torno determina el avance y la velocidad de corte.
Figura 1.29
Mesa Divisora Circular
42

CAPÍTULO 1 Sistemas de medición angular y longitud de arco
Ejemplo 1
Calcule el área de la región que determ ina el
borde inferior de una puerta de “va y ven” al girar
un ángulo de 135°, sabiendo que dicho borde
mide 112 cm (considere Jt = 3,14)
Resolución
En la figura 1.30 se ha graficado la puerta en giro.
Datos del sector circular
r = 112 cm
Orad = 135°=
3n rad
Aplicando la fórmula
S= ^ 6 r2
2
Sustituyendo datos
;(112)2
U 3k
2( 4
( 3x3,14
(112)2
S = 2
Efectuando S = 14 770,56 cm2
Ejemplo 2
Exprese el área de un trapecio circular en función
de la longitud de sus áreas y el ángulo central.
Resolución
Considerando 0 (en radianes) como el ángulo
central de los arcos f, y ,(verfigura 1.31), tenemos
Figura 1.31
Se deja para el lector, la demostración del área
de un trapecio en función de sus lados.
De la figura 1.32 se cumple
s = [ ! ± i
Figura 1.32
Ángulo Girado ó Barrido por una Rueda
¿Cuál es el número de vueltas que da una rueda
de la bicicleta?
(a)
Supóngase que una rueda de radio r gira una
trayectoria recta com o en la figura 1.33(b).
Entonces el centro de la rueda también se mueve
en línea recta.
A B
i •(= flr ,
(b)
A medida que la rueda gira, un radio genera
un ángulo 0.
Cuando el ángulo generado es de 27t, la rueda
tam bién se m ueve una distancia igual a su
perímetro, es decir í = 2nr.
Figura 1.33
Entonces observamos que cuando el centro
de la rueda avanza una longitud igual a 27tr, la
rueda ha dado una vuelta (ver figura 1.33 (c)).
Luego para saber el número (n) de vueltas que
dará la rueda de radio r, en una pista horizontal,
cuando su centro se desplaza una longitud (,
aplicamos una regla de tres simple; así
1 puerta _ nycueltas
27tr P
De donde n= -—
2nr
43

• v •
!>■ Observación
—
... —
---------- :
_
posición posición posición posición posición posición
(1) (2) (3) (4) ' (5) (6)
----- 2rrr -
figura 1.34
En la figura 1.34 se tiene una rueda que se desplaza sobre una pista horizontal, la curva entrecortada es la
trayectoria que sigue el punto A de la rueda, que en la posición (1) toca el piso. A medida que la rueda
avanza sin resbalar, ésta gira distintos ángulos, así:
• De la posición (1) a la posición (2) la rueda gira un ángulo a .
• De la posición (1) a la posición (3) la rueda gira un ángulo p .
• De la posición (1) a la posición (4) la rueda gira un ángulo 180°.
• De la posición (1) a la posición (5) la rueda gira un ángulo e .
• De la posición (1) a la posición (6) la rueda gira un ángulo de 360°.
En la posición (4) el punto Aalcanza su máxima altura (en esta posición (4) la rueda ha dado media vuelta
con respecto ala posición (1)). En la posición (6) el punto Avuelve a tocar el piso otra vez; entonces de la
posición (1) a la posición (6) la rueda ha dado una vuelta (porque el ángulo girado por la rueda es 360°).
La cicloide
La cicloide es la curva generada por el
m ovim iento de un punto dado en una
circunferencia cuando ésta gira sin deslizarse sobre
el eje x. Por ejemplo se pone un pequeño foco en
el borde de una llanta de bicicleta, entonces la
curva descrita por la luzdel foco cuando la bicicleta
va desplazándose es la cicloide.
Como la posición del punto P depende del ángulo
girado e y la constante r (radio de la rueda),
entonces las ecuaciones param étricas de la
cicloide serán:
x=r(0-sen0) ; y=r(l-cos0)
Número de Vueltas
En forma general, el número de vueltas que
da una rueda sobre cualquier terreno se calcula
mediante la siguiente fórmula
44

Donde:
•_ nv : número de vueltas que da la rueda
al desplazarse, desde A hacia B.
• 'c : longitud recorrida por el centro de
la rueda.
• r : radio de la rueda.
jjS^- O b s e rv a c ió n
También podemos plantear qiie la longitud
recorrida por el centro de la rueda C
c al
desplazarse de Ahacia B (véase figura 1.36) es
cc = eg
r
Donde 6g es el ángulo girado por la rueda y r es
el radio de dicha rueda.
En consec renda, para cálculo del ángulo girado
La distancia recorrida por cualquier punto en la
rueda nos da la longitud del arco recorrido por
dicho punto, el cual además es igual a la longitud
recorrida por el centro de la rueda. Imaginemos
que una cuerda está enrollada alrededor de la
rueda y que se desenrrolla a medida que la rueda
se desplaza.
De la figura 1.37 se observa
C
e = 1Im = 1100 cm => r=25cm
Por la fórmula
h. 1100 firú
nv= ^ ™------------- ••• nv= 7
2m 2x — x25prn
7
Ejemplo 2
6g por una ruedade radio rtendremos las fórmulas:
0g= — ó 9g=nvx27i
(Enambas fórmulas 6g está expresado en radianes)
Ejemplo í
Calcule el número de vueltas que recorre una de
las ruedas de un auto, en una pista horizontal, a!
desplazarse 11 m. Además el radio de una de las
ruedas es 25 crn. Considere t
: =
22
Figura 1.37
La figura 1.38(a) m uestra un trabajador
transportando un barril de pintura que debe
desplazarse sin resbalar por la pista desde A hasta
C. Si O, y 0 2son centros de las pistas circulares,
calcule el número de vueltas que da el barril en
el trayecto de A hasta C.
45

Lumbreras Editores
Cuando el barril se desplaza sobre la pista AC; se
generan sectores circulares con centro en O, y
0 2 de radios 15r y 25r, respectivamente; luego la
longitud (Ce) que describe el centro de la rueda
de .radio r es
C
c =^(15r) + |(2 5 r)
Cálculo del número de vueltas
- -?£-
v 2nr
I(15r) +Í(25r)
n..= 2______ 2____
2jtr
5(40r)
n. =
_ 2_
2rtr
/. nv=10
Ejemplo 3
En la figura 1.39 (a) se muestra un ciclista que se
desplaza por una autopista de ancho 6 m, desde
A hasta B.
Si el ciclista recorre sobre los segm entos
direccionales de la autopista, calcule el ángulo
girado por la rueda delantera si la longitud de su
radio es 30 cm.
Resolución
Si sólo analizamos para la rueda delantera la
gráfica correspondiente en la autopista.
Ahora considerando que la rueda es perpendicular
a la pista en todo el recorrido (véase figura 1,39(b)),
se cumplirá que la longitud recorrida por el centro
de la rueda será igual a la longitud del arco AB.
Trigonometría
Así C
e = C
S
En el sector circular AOB de la figura 1.39(b
tenemos
. 2jt 20t
i
=— x 10 m = ---- m =
^ 3 3
Cálculo del ángulo girado
20n
— t - r - n i
0 = — = —
2----- :
r 0,3 m
20ji
= ~3~ m
2 0 0 ji
lo cual indica que el ángulo girado es
200n rad
~ 9
ó 4000°
Poleas y Engranajes
En los engranajes se denom inan ruedas
motrices o conductoras a las que transmiten la
fuerza, en tanto que las otras se denom inan
ruedas impulsadas o conducidas.
Motriz Conducida
Figura 1.40
Dosruedas dentadas comoAy B(figura 1.40) que
tienen el mismo número de dientes giran con la
misma rapidez. Supongamos que A es la rueda
motriz y B la conducida. Si A gira en el sentido de
las agujas del reloj, esto es en la dirección
indicada por la flecha; Bgirará en sentido opuesto.

Supongamos que cada rueda tiene 20 dientes.
Cuando gira A, cada uno de sus dientes pasa por
el punto C y engrana con un diente de B. Cuando
A ha dado una vuelta completa, esto es, cuando
sus 20 dientes han pasado por el punto C éstos
habrán engranado con 20 dientes de B y éste
habrá dado también una vuelta completa
Pero si A tiene 20 dientes y B tiene 40 (figura
1.41); en una vuelta completa de A sus 20 dientes
habrán pasado por C y habrán engranado con 20
dientes de B. Pero como B tiene 40 dientes, A
tendrá que dar dos vueltas completas para que B
de una. Con este caso se dice que la relación de
.velocidades es de 1 a 2; esto es, una revolución
de B corresponde a 2 revoluciones de A. Si A
tuviera 20 dientes y B tuviera 60, A efectuaría 3
revoluciones mientras Brealizaría una, las ruedas
tendrían una relación de velocidades de 3 a 1en
cada caso la rueda más pequeña es la que gira
con mayor rapidez y la mayor es la más lenta.
Entre las velocidades de las ruedas dentadas
y el número de dientes hay una proporcionalidad
inversa, esto es, la velocidad de una rueda
disminuye al aum entar el número de dientes.
En la figura 1.42 se tiene dos poleas en
contacto; si la polea A gira un ángulo 0, entonces
B girará 02 .
Cumpliéndose
=> 0, r =02R
=* w,r = vv2R(W] y w 2:velocidades angulares)
=> n,r = n2R(n, y n2:número de vueltas)
Si A y B fueron engranajes, se tendrá que:
(núm ero de dientes de A) w, = (núm ero de
dientes de B)w2.
A: Rueda menor B: Rueda mayor
Ejemplo 1
Dos ruedas que engranan tienen 40 y 60 dientes,
respectivamente. Si la rapidez de la rueda más
pequeña es de 120rpm(revoluciones por minuto)
¿Cuál será la rapidez de la rueda mayor?
Resolución
Datos:
W, = 120rpm de rapidez de la rueda menor
N° de dientes de la rueda menor: 40
N° de dientes de la rueda mayor: 60
por fórmula:
» de dientes de la rueda menor = # de dientes de la rueda mayor w2
(40) »('»> (60) *(W¿)
.-. W2 = 80rpm
Ejemplo 2
En la figura 1.43 (a) se tiene dos poleas de radios
r= 30 cm y R=50 cm, además dichas poleas están
unidas por una correa (o faja). Si la polea m enor
gira 30°, en el sentido indicado en la figura,
entonces calcule
a. La longitud recorrida por los puntos P, Q y T.
b. El ángulo girado por la polea mayor.
47

Resolución
La longitud recorrida por P, Q y T es la misma; si
dicha longitud es ( (vea la figura 1.43 (b)) y como
el ángulo girado por la polea menor es 0. =30°=^
6
y suponiendo que el ángulo girado por la polea
mayor fuese 02 , tendremos que:
• En la polea menor: l = 0,r
• En la polea mayor: v= Q2R
En consecuencia: 0ir=02R
Reemplazando datos: —x30 = 02x5O
nRxR =ríxr
nRx50=35x30
nR =21.
Esto significa que cuando la polea menor gira 35
vueltas la mayor girará solo 21 vueltas.
Ejemplo 4
En la figura 1.44 se tiene dos ruedas de radios
r= 15 cm v R=35 cm, dichas ruedas se encuentran
unidas por un eje. Calcule las longitudes
recorridas por los puntos P y Q cuando
a. La rueda menor gira 120°
b. La rueda mayor gira 510°
c. Las ruedas giran 10 vueltas
ángulo girado en radianes j
por la polea mayor j
La longitud recorrida por P ó Q será:
(= 0,xr=^ x30 cm = 5jicm
o
Resolución
En el caso de la figura 1.44 se debe tener presente
que los ángulos girados por las ruedas resultan
ser iguales, así si la rueda menor gira 120° la rueda
mayor también girará 120°. También el número
de vueltas que dan las ruedas es la misma.
También se puede calcular como:
{= 02R=— x50 cm=5!t cm
¿ in
Ejemplo 3
De la figura 1.43 (a) calcule el número de vueltas
que da la polea mayor(n„) cuando la polea menor
da 35 vueltas(R=50 cm ; r=30 cm).
Resolución
Sea n el número de vueltas que da la polea menor.
En este caso se cumple
[ longitud W medida en radianes
a i recorrida por P ¡ ^^ej < gjracjo por la rueda
{ longitud ^
Írecorrida por Pj 120°x—
í —|15cm
180° J
( longitud
i recorrida por Pj lOncm = 31,4 cm
Análogamente,
(Longitud recorrida por Q)=í I20.°x—— 135cm
( 180°j
70
(Longitud recorrida por Q)= — Ttcm=73.3 cm
48

b. (Longitud recorrida por P)= ^510ox j15 cm
(Longitud recorrida por P) = 135,45 cm
(Longitud recorrida por Q)= I 510ox —
— ¡35 cm
^ 180° J
(Longitud recorrida por Q) = 311,38 cm
c. Si la rueda gira 10 vueltas, la mayor también 10
vueltas así:
(Longitud recorrida por P) = (10x2 n )x(15) cm
(Longitud recorrida por P) = 300 rt cm
(Longitud recorrida por P) = 9,42,48 cm
(Longitud recorridapor Q) = (10x2 ti )x(35) cm
(Longitud recorrida por Q)= 720 « cm -
(Longitud recorrida por Q)= 2199,11 cm
Ángulo Girado en Elementos de Máquina
En mecánica, se observa a menudo diversos
movimientos que ejercen las máquinas como un
torno, fresadora, cepilladora, taladro, etc, cuyo
objetivo puede ser generar una pieza que sirva
de repuesto a otra máquina. Estas máquinas en
su interior poseen un conjunto de elementos,
como poleas, fajas de transmisión, engranajes y
ejes. En éste capítulo se analizan las relaciones
entre sus ángulos de giro (revoluciones por
minuto). En el siguiente esquem a se muestra
parte del funcionamiento de un tomo automático.
Figura 1.45
( I ) motor. (2) caja de cambio, (3) faja de
transmisión. (4) barra o eje. La velocidad o ángulo
de giro depende de los elementos anteriores.
Ejemplo
En el siguiente esquema, ¿cuál es la velocidad del
eje de la máquina “si la velocidad del motor es
1740 RPM?
RPM (revoluciones por minuto)
Resolución
• Para las poleas a y b, tenemos
n a r a = r V b
=>nb = na^ ...(l)
Como los elementos b y c, están unidos por
un eje, se tiene: n,.=nb ...(2)
• Para los engranajes c y d; tenemos:
ncrc
nd=nc.5L...(3)
«d
Reemplazando (1) y (2) en (3)
Sustituyendo datos
nd = 1740x-x—
d 9 10
nd=406 RPM
49

Medición de la Distancia entre Dos
'Puntos Sobre la Tierra
Sean dos puntos A y B sobre la Tierra
(ver figura 1.47 (a)). La longitud AB se mide
sobre la circunferencia m áxim a (su centro
coincide con el centro de la Tierra O). Se
considera que el radio de la Tierra es igual a
6371 km, aproximadamente.
Si el ángulo central 0 está en radianes se tiene:
C= 0.r
Cálculo del ángulo central, por regla de tres simple
2iirad ------
>24 horas
6rad ------> 2 horas
Luego 0 rad x 24 horas =2r. rad x 2horas
En el sector circular AOB ( =^x6371 km
6
C= 3335,85 km
i ;» ^ O b servac ió n
Si el ángulo central es relativamente pequeño, se
puede tomar la longitud del arco como un valor
aproximado de la longitud de la cuerda
correspondiente.
Así en el sector circular AOB tenemos {= AB
Como ejemplo podemos calcular la distancia
entre dos ciudades ubicadas en la línea ecuatorial,
cuya diferencia horaria es de 2 horas (vea la figura
1-47 (b)).
Figura 1.47
Nota „ ________ ■
La Tierra gira alrededor de su eje 2 ti rad
aproximadamente en 24 horas.
Ejemplo
Desde el ojo de un guardabosque, un árbol que
se halla a 400 m subtiende un ángulo de 2°, ¿cuál
es la altura aproximada del árbol?
Resolución
(b)
Figura i.48
Del gráfico, tenemos 2° =
Tirad
9Ó~
como el ángulo
dado es muypequeño. Entonces la altura del árbol
es aproximadamente a ta longitud del arco ?.
n = (— x400m
90
4071
n = — m
9
50

;:L '
f e : " J
LOS HUSOS HORARIOS
Debido a la moderna facilidad de comunicaciones se ha acordado unificar las horas en
todo el mundo. A tal fin se ha dividido el globo terráqueo en 24 zonas, llamadas husos
horarios. Cada huso tiene 15° de am plitud (longitud geográfica).
Este cálculo de 15o de longitud geográfica lo podemos obtener a partir de la siguiente
aproximación: Consideremos que la Tierra realiza su m ovim iento de rotación sobre su
propio eje (1 vez: una vuelta completa) en 24 horas, entonces sobre la linea ecuatorial se
tendría la siguiente relación
Sobre la línea Tiempo
ecuatorial
1vuelto --------> 24 horas
360° --------> 24 horas

fc
S
S
S
fr"
í.- . . . .
BgSraW
l1
^--
*
• Lumbreras Editores Trigonom etría
E jercicios
I. Un círculo tiene un radio de 6 m, entonces el
ángulo central que subtiende un arco para
cada uno de los siguientes casos será:
3ji
a) — m b) Tim c) 6 m d) 8 m
II. Un círculo tiene un radio de 3 pies. Halle la
longitud del arco subtendido por un ángulo
central de
4n
a) 30° b) 120° c ) y r a d d) 5rad
III. Obtenga el radio del círculo en el cual un
ángulo central de 210° subtiende un arco de
a) 10 m b) 4 m c) 2itm d) ^ m
O
IV. Una cuerda esta enrollada alrededor de un
cilindro de 4 pulgadas de radio. La cuerda
completa 4,25 de circunferencia. i.Cuál es la
longitud de la cuerda?
V. Dos poleas de 20 cm y 60 cm de diámetro,
respectivam ente, están unidas por una
correa, como se observa en la figura. Calcule
la velocidad, en revoluciones por minuto, de
la polea m ayor
cuando la m ás
pequeña gira a 240
revoluciones por
minuto.
VI. El m inutero de un reloj tiene 15 cm de
longitud. ¿Cuál es la longitud que recorre su
extremo entre las 7:35 am y las 8:00 a.m.?
VII. Un péndulo está'sujeto a un hilo de 40 cm de
longitud y describe un arco de 54°. ¿Cuál es
la longitud del arco descrito por el punto
medio del hilo?
VIII. Para un círculo de 6 cm de radio, el área de
un sector circular es de 9 cm 2. Obtenga en
radianes, el ángulo central de! sector.
IX. Una polea con un diámetro de 36 cm, como
se muestra en la figura, se utiliza para levantar
un bloque.
En los ejercicios II y IV se utilizan unidades de
longitud, a veces no muy familiares para el lector.
Por este motivo m ostram os las siguientes
equivalencias, que le permitirán tener una mejor
aproximación. ¿Acuánto equivale una pulgada o
un pie?
1pulgada < > 2,54 cm
1pie < > 0,3048 m
1pie < > 12 pulgadas
R espuestas
nrad
I- a ) g b)
nrad
6
c) 1 rad
4 rad
d ) 3
IV. 34 7tpulgadas V. 80 rpm
VI. (12,5) ítem VII. 6 7tcm
H. a) f 6S b) 2ti pies c) 4rcpies d) 15 pies
VIII. 0,5 rad
60 m
IH.a) - b)
24 m
7n
, 12m
c) y
lm
d) y IX. a) 42ncm
3rt cm
b) —

Problemas Resueltos
Problema 1
En la figura 1.49(a), se m uestra los ángulos
trigonométricos x, (3y 0. Halle x en términos de <
)
>
yP-
Resolución
En la figura del problema los ángulos (3y x tienen
el m ism o sentido, m ientras <
¡
>tiene sentido
opuesto a estos. Entonces antes e operar sumas
o restas para estos ángulos, es necesario que
tengan el mismo sentido, así cuando <
t>cambia
de sentido se obtiene -ó según la figura 1.49 (b).
Problema 2
De la figura, determine el valor de (x-3y)
Resolución
Ordenando los sentidos de los ángulos se tiene
De la figura 1.50 (b), tenemos
90° + (-y8) + (18a:)' = 360°
r-y8 + (18x)’ = 270°
Figura 1.49
Como x, P y -ó tienen el mismo sentido, entonces
entre ellos podem os sumar y restar, así
x = AOB + P .... (1)
360° = m ¿ AOB + (-ó).... (2)
Restando (1) a (2)
x - 360° = p - ( 4 )
.-. * = P + ó + 360°
convirtiendo a grados
cancelando los grados
3 3 = 270
10 10
-9y + 3x = 2700
-3y + x = 900
.-. x - 3y = 900
53

Problema 3
Si un grado equis (l*) equivale a la 480ava. parte
de una vuelta, ¿a cuántos grados equis equivale
5/4 de radián?
Resolución
Condición m < lv = 480*
C om o piden en grados eq u is 5/4 rad,
consideramos
< 1 vuelta = 2it rad
así. 2Tirad = 480* => 1 rad =
Finalmente
480*
2tt“
5 rad 5 ,, 5Í 480*1 300*
— J ~ r ■
5rad . . 300 ,
.-. -----equivale a -— grados equis.
4 T
t
Problema 5
El número de grados sexagesimales de un ángulo
con el número de grados centesimales de otro
ángulo están en la relación de 11 a 9, si además
el suplemento de la suma de dichos ángulos es
8,1°. Calcule la medida del ángulo mayor en el
sistema circulen.
Resolución
Sean los ángulos
Problema 4
Los ángulos internos de uiTpentágono son: 6x°,
10x®, 7rra<^ , 30° y 150®, calcule el valor numérico
4 *
de x.
Resolución
La suma de los ángulos internos de un pentágono
(polígonos de 5 lados) es equivalente a 540°,
entonces
6x° + lOx® + + 30° + 1508 = 540°
4
H om ogenizando unidades (tod o a grados
sexagesim ales)
6x° +10x!í — l+írad( — l+30°+150sf -^1=540°
l 10s J 4 l road J l 10s J
6x°+9xo+45o+30°+135°=540°
15x°+210°=540°
15x°=330°
15x = 330
.-. x = 22
Figura 1.51
medidos en grados sexagesimales y centesimales
respectivamente.
Datos
a _ 1
_
1
b 9
Además
el suplemento de la suma (a°+b®) es 8,1°
81°
=> 180°-(a° + bs) = — ; multiplicando por 10
ambos miembros y hom ogenizando unidades,
tendremos
„ í 9o
1800o -1 0 a °-1 0 b s x rr;
=> 1800°-81°= 10a° + 9b°
1719= 10a + 9b ...(2)
de (1)
54

En (2)
1719 = 10
=> 1719 =
+9b
U b '
•9
110b + 81b
1719 =
191b
>b =81
De (1)
a=99
Como
= x sym => x 8ym = 13850m
Se deduce que
x = 13, y = 50
Finalmente, reemplazando en E
E=
5 0 -3 7
13
Luego m < AOB =99°
m < A'0'B'=81S
Como
99° = 99° x f 151 ]= 1108
=> m<AOB > m<A'0'B'
, i i
99° 81 8
Finalmente, el ángulo mayor en el sistema circular
se obtendrá, com o sigue
m<AOB = 99°
m < AOB =
Jtrad
180°
1ln rad
20
Problema 6
Si
243
20
se expresa en la forma x8ym
_ y -37
Calcule E =
R esolución
Convirtiendo a grados centesimales.
243 =f 243Y í 151U —
20 J [ 2 0 ' J_{ 9'
243
13,5S
20
100"
243
20
= 13s + 0,5s [ - p - j = 13g + 50"
= 13s50rl
=» E = 1 - 1
E=0
Problema7
Si las m edidas d e los ángulos x az ' y
( fi83mY
* ( 5'6H
V
I ■ I j son equivalentes. Calculex+ z .
Resolución
Del enunciado obtenem os
Expresamos
68com o 600my
5' como300"
Luego
r603*Y f 3 0 6/1
Xo z' = 9/rf 17/
x ° ¿ = 67°18’
Entonces
x = 67 y z = 18
.-. x+ z = 85
55

Problema 8
Determine el ángulo entre - 180° y -90° que sea
coterminal con 1290°.
Resolución
Seax el ángulo buscado, el cual por ser coterminal
a 1290° cumple
x - n(360°) + 1290o, n e Z
Asignando a n valores enteros, se obtienen
ángulos coterminales a 1290°, así
Si 2 ~
n = -1 => x —930° V 1
n —-2 => x = 570° ¿ ¡se ( r
n = -3 => x = 210°
n = -4 => x = -150° se encuentra entre -180°
y -90°
n = - 5 => x = -510°
El ángulo x buscado será -150° t
Usted debe tener en cuenta que para encontrar
jr=-150°, a n se le asigna valores negativos, de
otro modo nos alejaremos de lo buscado.
Problema 9
Los números que expresan las medidas de un
ángulo en grados centesimales y radianes, están
relacionados de la siguiente manera
C
40R = 8ji - — Calcule x, sabiendo que dicho
óX
ángulo mide 13°30'.
Resolución
Graficando el ángulo
Expresando en centesimales y radianes
i=;s
27° 108
13,5° = =—x-!^- = io»
♦ 2 9o
, „ c. 27° rrrad 3n rad
13,5° = —- x -------= ---------
2 180° 40
Identificando los números convencionales para
dicho ángulo
S = — ;C = 1 5 ;R = —
2 40
Como 40R = 8n -
3x
Reemplazando 40
15
= 8 7 t - —
3x
3x
=5n
1
x = -
n
Problema10
Si la diferencia entre un tercio del número de
grados sexagesimales y el cuádruple del número
de radianes del mismo ángulo es la ti ava parte
de (15-ti ). Calcule dicho ángulo en radianes.
Resolución
Planteando lo en unciado en el problem a,,
tendremos
^(S)-4(R ) = i (15- ti) ....(1)
como
S R
180 n
180R
7t
Reemplazando en (1)
I f !? ^ _ 4 (R ) =1(15 - ti)
3 n I n
6°R l n , x
-------- 4R = -(1 5 -7t)
71 71
— (15-n) = -(1 5 - t
i)
7
1 7
1
56

CAPITULO 1 Sistemas de medición angular y longitud de arco
Problema 11
Halle la m ed id a en radianes de un ángulo
trigonométrico positivo que satisface la siguiente
condición:
siendo S y C lo conocido para dicho ángulo.
Problema 12
Determine la medida, en el Sistema Internacional,
de un ángulo cuyos números convencionales
cumplen la relación
n 20
-----+ JT + ./------h
30R V
3C
fe _ 1
7t + S + n 2
R esolución
Com o en la condición del problem a sólo
aparecen C y S, entonces podemos utilizar la
fórmula
^ = í - = K=>S = 9K a C=10K; K>0
9 10
porque se hace mención de que el ángulo debe
ser positivo
Resolución
En este problema, aparecen R, C y S, entonces
S C R
utilizam os— = 2^ = - •
de donde
g _ 180R c 200R
Reemplazando
1 2 J 19 ( 10K 9K
=» 3>fetíIKi — = — >/rfí x —í — +—1;
2 19 K ljO 9 /
pero
| K| =K porque K>0
— = — xl
2 >9. 90 A K
1 8
K = 27
K = 3— => K = -
V27 - 3
reemplazando en la relación
f n
, -----+ rr +
V30R
20
+ 71 +
6 1
180R +n ~ 2
n
Se puede observar que todo quedó en términos
de R (que viene a ser lo pedido), simplificando
tendremos
[~ñ n ¡ f~ñ 1
, -----+ n '+,/------+ it + ,/------+ ir = -
30R 30R 30R 2
, n
a i na i
>3J — —+ Jt = - = > ,/------ + n = —
V30R 2 . 30R 6
Sustituyendo para valores de Sy C
=> S=9K=9(2/3)=6 y C=10K=10(2/3)=20/3
n 1
------------+71 = --------
30R 36
Para hallar R, se puede utilizar
S R 6 R _ jt
---- = — =♦----- = —=> R ' —
180 J t 180 ti 30
El ángulo medido en radianes resulta ser
Jt 1- 36ti
30R 36
.R =
6n
5-180JI
57

Lumbreras Editores
Problema 13
La sum a de los números que representan el
complemento de un ángulo en los tres sistemas
conocidos es igual a la suma de los números que
representan las medidas en los tres sistemas.
Halle dicho ángulo en radianes.
Resolución
Del enunciado
(90-S) + (100-C) + ( ^ - R ) = S + c + R
=>190 + - = 2(S + C + R)
2
=>190 + Í = 2 Í ! M + ?00R+ r )
2 { n k J
=>190 + í = 2 ^ ^ 5 R + R j
= — (380 +n)
2 7t
/. R = 7i/4
Problema14
Si x e y representan a los números de minutos
cen tesim a les y m inutos sex a g esim a les
respectivam ente de un ángulo, adem ás se
cum ple que x-y=368, entonces, ¿cuál es la
medida de dicho ángulo en radianes?
Trigonometría
Con este razonamiento, se deduce el siguiente
cuadro que se verifica para cualquier ángulo
trigonométrico. „
Sexagesimales Centesimales
Nro. de grados S C
Nro. de minutos 60 S 100 C
Nro. de segundos 3600 S 10000 C
Ahora de lo planteado en el problem a (14)
tendremos
x = 100C a y=60S
reemplazando en la condición
100C-6ÓS = 368
100
200R )
60
180R
V 71 J V 71
20000R 108Q0R
= 368
368
K
9200R
n
368
.'. R =
25
Resolución
Antes de solucionar este problema, tomemos en
cuen ta lo siguiente: Para un ángulo
trigonométrico se cumple que su núm ero de
minutos sexagesimales es igual a 60 veces su
números de grados, en efecto si convertimos a
minutos S° tendremos
S°=S°x— = (60S)'
1=
Problema 15
Reduzca la siguiente serie
jtrad
90°+508+22°30"+ +
1b
Resolución
Convirtiendo a radianes tenemos
90° =
n rad
50* =
n rad
22°30"=
k rad
8
58

CAPITULO I Sistemas de medición angular y longitud de arco
entonces la serie N quedará Resolv iendo (1) y (3)
.. n rad tí rad n rad n rad
N = -------+ ------- + ------- + ------- +
2 4 8 16
_ 379 . _ 19
X ~ 6 ’ y ' 6
x. . . 1 1 1
>N—
Tirad —+ —!
— i-----r.
2 4 8 16
379
y - -
19 1
Z 3
sea A =
l i l i
---h---1
—
—
h---+ . . , .
2 4 8 16
, 1 1
1+ - + - +
2 4

8
A -
=>A = -(1 + A)
2
=> A = 1
Reemplazahdo en N
.-. N = n rad
y N en grados sexagesim ales y grados
centesimales son respectivamente 180° y 200®.
Problema 16
Los ángulos interiores de un triángulo equilátero
son (x-y)° ; z n rad <j(x+y+z)s.
Calcule x, y a z
Resolución
Condición
• (x-y)° = 60° => x-y=60 ... (1)
• zrad = 60°= y y => z= y...(2)
Problema 17
Si el sistema sexagesimal (o inglés) y el sistema
centesim al (o francés) son conocidos y
estudiados en varios países, es por el poder
económ ico que tienen algunos países en el
planeta como es sabido. Supongamos que en el
Perú se inventa un sistema de medición angular
donde la unidad es el grado Atahualpa (Ia) que
equivale a la 500ava parte de la medida del ángulo
de una vuelta, así también podemos definir sub
m últiplos tal que 1 =50 (1 : Un m inuto
* ** **
Atahualpa) y 1 =50 (1 :Un segundo Atahualpa).
Entonces se concluye que inventar un sistema de
medición angular no crea dificultad. Con estas
definiciones del nuevo sistema, convierta n/3 rad
a grados, minutos y segundos Atahualpa.
Resolución
Definición
jA_ m < 1vuelta
500
m < 1vuelta=500a
com o piden convertir it/3 rad al sistem a
Atahualpa, consideramos
m < 1vuelta = 2itrad
=* 500A=27irad .-. 250A= nrad
• (x+y+z)s=60°=60°x— = —
9' 3
200 „ 1
Luegox+y+z= - y , pero com oz= ^
Entonces
ruad _ Tiradí 250a V 250a
3 3 ^ rtrad j 3
nrad
=>'------
3
59

Tirad
>------
3
Tirad
> 3
nrad
s ------
3
Tirad
3
= 83a+
' *
50
3
a * 2*
= 83a+16 + ~
3
= 83a+16*+ "
= 83A
+16*+ 33,3 **
=83a16* 33,3**
Problema 18
Si S y C son los números de grados sexagesimales
y centesimales respectivamente para un mismo
ángulo, los cuales cum plen: 40<S + C<120.
Calcule el m ayor ángulo entero en grados
centesimales.
Resolución
Dato: 40<S+C< 120 ...(1)
S _ C ÍS= 9k
Sabemos 9~10-kjc=10k
Como el ángulo es el mayor entero entonces
k e Z .
Resolución
Sabemos que para un ángulo negativo se cumple
R>S>C %
Dato: 7R-S=C2........(1)
Sabemos que
180
C
200
R
7
1
180C . tiC
200 ’ “ 200
Reemplazando en (1)
J nC W 180C |_ c2
l 200 j l 200 ]
7 i — )c-180C
_____ — = C2
200
=* - ^ = C2
200 100
=>C = 0 ó C
-79
100
Reemplazando en (1)
40<9k+10k<120 40<19k<120
2,105... < k< 6,315........
Como el ángulo es negativo, tenemos C =
el ángulo es -0,79s
Luego k={3,4,5,6} => ^ ^ = 6
Además C= 10k= 10(6) => C=60
El mayor ángulo medirá 60s
Problema 19
Determine la medida de un ángulo negativo en el
sistema centesimal, sabiendo que al medirlo en
los tres sistemas convencionales, se relacionan
de la siguiente forma: la diferencia de siete veces
el mayor yel intermedio es igual al menor número
elevado al cuadrado. (Considerar n = 22/7 )
Problema 20
La diferencia de la cuarta parte del número de
segundos centesimales de un ángulo y veinticinco
veces el número de minutos sexagesimales de
otro ángulo es igual a 19 000, además los ángulos
son complementarios. Calcule dichos ángulos en
grados sexagesimales.
Resolución
Sean los ángulos a y p , cuyos núm eros
convencionales en los tres sistemas son S,, C,, R,
y S2, C2, R2respectivamente.
60

CAPÍTULO I Sistemas de medición anguiar y longitud de arco
Del enunciado
-(1 OOOOC,)- 25(60S,) = 19000 ....(1)
4
S,+S2=90 ....(2)
simplificando (1)
5Cj -3 S 2 = 38 ....(3)
multiplicando 3 a (2)
3S,+3S2=270....(4)
sumando (3) y (4)
3S¡+5C, =308..... (5)
sabemos s, =Ci=kí s,=9k
9 10 [C ,= lOk
Reemplazando en (3)
3(9k)+5(1 Ok)=308 => k=4
luego
S,=9k=9(4)
.-. S,=36
Resolución
Graficando un sector circular
De la condición, para calcular 8
5 20R _ 1 (1)
6 n ~2
Recordamos
S R ■ 180 R
— = — => S = ------
180 n *
En (1)
J/180R ) 20R= i ^ 10R_ 1
6 ( k j n 2 => K 2
R= ^ ,e n to n c es 8 = ~
luego r =
2ncm
n/20
.-. r = 40cm
Reemplazando en (2)
••• S2=54
Por lo tanto, los ángulos serán 36° y 54°.
Problema 21
Sabiendo que el ángulo central de un sector
circular (para sus números convencionales) se
relaciona de la siguiente forma
Calcule la medida del radio de dicho sector, si la
longitud del arco que sostiene es 2rtcm.
Problema22
Calcule el penmetro de la región sombreada. Si
AOB es un cuadrante, además A y B son centros
de los arcos OM y ON, respectivamente.
Dato: OA = 12 cm
61

Resolución
Sea x el perímetro de la región sombreada
=> x = (_ + (_ + .... (I)
ON NM OM
Los AAOMy A BON son equiláteros de lado igual
al radio del cuadrante (12 cm).
• En el sector circular OBN
= —x l2 cm = 47tcm
on 3
* En el sector circular NOM
C_ = -x l2 c m = 2ncm
nm 6
Resolución
Considerando AO=r => OD=2r
Condición del problema
Perímetro del Perímetro del
sector AOB sector COD
AO + OB + (_ = OD + OC + (-
AB CD
r + i + (rr-0)r = 2r + 2r + 0.2r
(rt-0)r=(2+20)r
jt- 0 = 2 + 20
i:-2 = 30
,. 0 = ^
3
* En el sector circular MAO
(— = —x 12 cm = 4n cm
OM 3
Luego en 1
x = 4it cm + 27i cm + 4it cm
.-. x = 10n cm
Problema 24
De la figura 1.56 (a) calcule la longitud recorrida
por el extremo P de la cuerda AP, si ésta tiene una
longitud exacta para envolver al trapecio sólo
hasta el punto medio del lado DC.
Datos: AB=DC=2BC=20cm
Problema 23
En la figura 1.55 (a) se muestran los sectores
circulares AOBy COD de perímetros equivalentes,
calcule 0.

CAPITULO I Sistemas de medición angular y longitud de arco
Resolución
Figura 1.56
De la figura 1.64 )a longitud recorrida por el punto
P será:
^TOTAL _ {PQ + C
QÑ + - ( 1 )
Condición del problema
AB = 2BC = DC = 20 cm
=> AB = 20 cm ; BC = 10 cm ; DC = 20 cm
Luego del gráfico
CM = Í0 cm ; BN = 20 cm ; AQ = 40 cm
En (1)
«total = "(40cm )+ ^ (2 0 c m )+ ^ ( 1 0 cm)
10
V u = 177lcm
Problema 25
De la figura 1.57(a) AOB, COD y EOF son sectores
s, S. p
circulares. Además -r- = = S(.
D d ^
{_ ' í_ '
Calcule K = j a - - a .
t_ C_
EF AB
Resolución
De la condición del problema:
h - h - s s>B5s'
5 3 •j S2= 3S,
Considerando, el ángulo central 0 (en radianes),
luego
0r 0r
4S = —— =» S, = —i
1 2 1 8
(2)
0r; 0r3
9S, = => S, = —i (3)
1 2 1 18 ;
Igualando (1), (2) y (3)
0 r2 0rf 0r;
i — 2 _ 3
2 8 18
r 2 r2
=* r2 = r 2 _ r 3
i
4 9
r r
=> r = 2 _ 3
. i
2 3
63

Evaluando en K
K % _
0r, 0r o K = 5/3
•i - 3 ‘ 1
3
A partir de este problema podemos -concluir la
siguiente relación de áreas
l^asáreas son proporcionales a los números impares.
Y de igual forma se puede verificar
Las áreas son proporcionales a los cubos
consecutivos.
freMema26
Del gráfico mostrado, AOB es un cuadrante,
determine el valor de a sabiendo que las áreas
de las regiones sombreadas se relacionan de la
siguiente manera
Resolución
Figura 1.58
Sea ON = r
De la figura
í 7
1 "
1 2
- a . r
Í 2 i
-S
'C
O
D B
O
M
S2= l(ct)(3r)2-l(a )(2 r)2
c _
Reemplazando S, y S2en la condición
S, 1
I_—=> 2S. =S„
s„ 2 i 2
2
2.1 fí-a )r2=l(a)r2 =
> n
2U .J 2 2
-
= 2
resolviendo esta última ecuación obtenemos:
rt
a = —
7
Problema27
De la figura 1.59(a), calcule el área del sector
circularAOB cuando la longitud del arco AB toma
su mínimo valor entero. Además x e Z+ .
64

CAPÍTULO 1 Sistemas de medición angular y longitud de arco
Resolución
De la figura 1.59(a); expresando el ángulo en
radianes
frtra d W m a d _ jrnrad
I 180° J 180 180
A
f =
Figura 1.59
Además
" 2 Ü L Y x
—
v180 J U j 180
x 2 = 180 f (com oxe Z" y 5 es mínimo y entero
=> x = 30 y 5 =5
Luego, sea SA
0Bel área del sector circular AOB.
S - '
°AOB -
7t 71
C _75 2
AOB n U
Problema 28
En la figura 1.60(a) se tiene arcos de
circunferencia AB, CD y EF con centro común en
O, donde el área de los sectores circulares cumple
SA
O
B= 5cod _ ^EOF
2 3
Calcule la longitud del circo CD, si la del circo EF
es ¡6 u. p
Resolución
Considerando
SA
0B —S, entonces —2S, S^qp —3S
Además sea .el ángulo central 0 (en radianes) y
la longitud del arco CD sea x obtenemos
Ve
Figura 1.60
Aplicando la fórmula del área de un sector circular,
en términos del arco y el ángulo central f2/20 .
En el sector circular EOF
3S = — =* S = i ........ ( 0
20 0 x2
En sector circular COD 2S = — ........ (2)
Sustituyendo (1) en (2) 2
=> x2 = 4, de donde x=2 v x=-2,
pero co m o r es una longitud (debe ser positiva).
x=2 u
Problema29
De la figura, las ruedas de radios r, y r2 giran
alrededor de la rueda de radio r3 (rueda fija), en
sentidos opuestos y con la m ism a velocidad.
Calcule la relación del número de vueltas entre
dichas ruedas (r, y ,r2) hasta chocar por primera
vez; sabiendo adem ás que
r, = lu ; r2 = 2u ; r3 = 3u.
(Las ruedas r, y r2no resbalan).
65

Figura 1.61 (b)
Figura 1.62
De la figura 1.61 piden
A.
2nr,
46
"i . 2tiQ)
t2 5a
2jtr„ 2t
t
(2)
A = M ...(1)
n„ 5a
Además, por condición las ruedas r, y r2tienen la
misma velocidad y, para un mismo tiempo t,
ambas ruedas han recorrido los mismos espacios
relativo a sus centros, es decir
C
, =«2 => ct(5) = 6(4)
a 4
Reemplazando (2) en (1)
Entonces de la figura f = 8, r
donde 8, es el ángulo girado por la rueda de radio
r, cuando el disco de radio r3 gira 63 = 2n (dato)
y com o los discos de radios r2 y r3 están
conectados por una cadena, se cumple
82r2 = 83r3
02 = e3 ~ .(2)
r2
donde 62 es el ángulo girado por el disco de
radio r2.
Como la rueda de radios r, y el disco de radio r2
están conectados por un mismo eje, se cumple
6, = 62 .... (3)
(3) en (2)
6, = 83 h ....(4)
n ' - 8Í 5 1
r2
n 5 4 J (4) en (1)
2
, 8, r,
J — 3 3 1
Problema 30
En la figura 1.62(a) se muestra el esquem a de la
cadena de transmisión de una bicicleta. ¿Qué
longitud horizontal en metros recorre la bicicleta
por una revolución del disco de radio?
Reemplazando datos
. „ ( lOcm )
f = 2n ------- 40 cm
4cm )
£= 200rrcm = 628cm
66

Problemas propuestos
1. Del gráfico, halle x en radianes.
D) — rad E ) ^ í rad
90 90
2. Del siguiente gráfico
A) -28° B) -22° O -20°
D) -26° E) -25°
4. Halle x, en términos de a y P; a partir del
siguiente gráfico
A) - < * - P - y B ) - a + P - y
d
O
n 7ir „ 7n
D) a - p - — E )a + P --jr
5. Los ángulos internos de un heptágono se
encuentran en progresión aritmética. Se sabe
que su ángulo intermedio (en la progresión)
es equivalente a a sPmós . Calcule p + <t>-a,
aproximadamente.
A )-16 B) -15 C) 16
D) 17 E )14
6. Del 'gráfico, halle el valor de a, cuando P
toma su mínimo valor entero. , , ..
A) 116° B) 122° ^ H 1 8 °
D) 119° E) 121°
7. Se tiene dos ángulos donde la suma en el
sistema sexagesimal es 81° y su diferencia en
el sistema centesimal es 3O
3. Calcule dichos
ángulos en el sistema radial.
A)
7t 3rt
12’IT
rr . jt 3n k
B
) T
ó’¥ c) T- lo
D) - • —
5 ’ 10 20 ’ To
67

8. Si se idea un nuevo sistem a de m edida
angular donde una vuelta equivale a 300
grados de dicho sistema ya su vez cada grado
posee 20 minutos y cada minuto 20 segundos,
¿a cuántos segundos del nuevo sistem a
equivale un segundo centesimal?
D)
_3_
100 B) 100
E)
40
9.
100 x
ÍCt , XQ*3 «
¿Cuánto mide un ángulo en el cual se ha
cometido un error de 0,0092 nrad al escribir
a' en lugar de a™?.
A) 3,1®
D) 2,163
B) 2,14® C) 3,12*
^E>2,1*
10. a° y b* son las medidas de dos ánguíos cuya
suma es 180° y su diferencia es de ia forma
kjr
— rad ; k e Z. Calcule a+b, comprendido
entre 190 y 200.
A) 192
D) 198
’fe) 195 C) 196
E) 199
11. Se mide un ángulo trigonométrico en e l
sentido horario y se observa lo siguiente: el
cociente entre la diferencia y la sum a del
núm ero de grados sex a g esim a les y
centesim ales es igual al cociente entre el
número de radianes y 5n . Encuentre el valor
del ángulo en sexagesimales.
A) ~
O
O
§s
800° 400°
19 B) “ T tíT C) ~"Í9n
400° 900°
E) - T dT
17ji
12. El número de grudos equis de cierto ángulo
es igual cMasemidiferencia entre n veces su
núm ero de grados sexagesim ales y el
cuádruple de su núm ero de radianes.
Entonces halle un grado equis en radianes.
1 1 1
i
A) 8! B) 88 C) 32
50 1 1
1 ° > 7 l E ) 4-9
13. ¿A cuántos minutos centesimales equivalen
81 minutos sexagesimales?
A) 120 B) 142 C)150
D) 160 E) 130
k L
14 Si — = ----
81 250
adem ás k representa los núm eros de
segundos sexagesimales y L los números de
segundos centesim ales para un m ismo
ángulo. Calcule L, si la medida del ángulo es
AT
25 J
de
A) 1 200
D ÍA 000
B) 3 200 C) 4 500
E) 2 700
15. Dada la igualdad
n + m _ R 2
n - m 23
1
donde m, n y R representan el número de
minutos sexagesimales, número de minutos
centesimales y número de radianes de un
mismo ángulo, respectivamente. Calcule el
menor ángulo en radianes que cumple dicha
condición.
A )-12
D) - 8
B) -14 c)-io
E )-6
68

16. Siendo S y C ios números que expresan la
medida de un mismo ángulo en los sistemas
sexagesimales y centesimal que cumple
S C , C S
-------<7< —+ —
2 3 2 3
Halle N=Rm-
Si Rmy R„, son los números de radianes del
mayor y menor ángulo respectivamente que
satisfacen la relación anterior y adem ás Sy C
son números enteros.
A)
3n
10
17. Al medir un ángulo generado en el sentido
antihorario, se observó que los números que
representan sus m edidas en los sistemas
convencionales se relacionan en la forma
siguiente: el doble del menor número más el
triple del número intermedio es 1912. Calcule
la medida de dicho ángulo en radianes.
(Dato: re =22/7)
A) 118 rad B) 11 rad C) 48 rad
D) 52 rad E) 64 rad
18. S y C son lo convencional.
Además S"*" 1= 3_
;>*
Calcule
M = VC+10
Vs^9v
-VC+6
fF~.iv’L
’
w
S
-*
-7
A) 3 B) 4 C) 5
D) 7/2 E) 8
20. Un estudiante observó que el número de
grados sexagesim ales S y el núm ero de
grados centesim ales C del ángulo que
formaban las agujas de un reloj (horario y
minutero) estaban expresados por
S = (x + y f-2 x y , C = (x+y)(x-y).
Entonces la hora que indicaba el reloj podría
ser
A ) 4:15p.m.
B) 2:100/11 p.m.
C) 4:30 p.m.
D) 3:180/11 p.m.
E) 1:00 p.m.
21. En el gráfico adjunto, AOB y ROP son sectores
circulares. Halle el área de la región sombreada
si las longitudes de los arcos QS yTB son como
2 es a 3, además O yQ son centros; OQ = 2 cm.
22. Calcule el número de vueltas realizada porta
rueda ideal de radio r ; (r = 1); al recorrer por
prim era vez el perím etro de la región
sombreada, siendo dicho perímetro igual a
5 ir m.
19. S y C son ló convencional y son números
enteros, además se cumple
VlO-S n
/C - 9
Calcule k=Cs-9- Sc_1°
A) 9 B) -1
D) 0
A) 1/2
B) 3/2
] p ) 5/2
D) 7/2
E) 9/2
O B
C)1
E) 2
69

23. Halle la m edida del ángulo central de un '
sector circular, sabiendo que la longitud de
arco de dicho sector es igual al perímetro de
la circunferencia inscrita en dicho sector.
A) 5 rad B) 5 rad C) rad
3 2 6
D) n rad E) Z írad
6
24. Dos ciudades M y N s e encuentran situadas
sobre la línea ecuatorial. Cuando en M son
las 9:00 am; en Nson las 10:12 am. Calcule la
distancia entre dichas ciudades (asumir radio
terrestre 6 300 km)
A) 6307t km B) 3l5n km C) 210n km
D) 90rckm E) 540nkm
25. Se tiene un sector circular de radio R y
perímetro 15R/7, ¿cuánto hay que aumentar
el ángulo central de dicho sector, para que
su perímetro no varíe, si su radio disminuye
en la mitad del anterior7
A) rad B) - rad C) — rad
7 7 7
„ 10
D) y rad y f r a d
26. Los radios de las ruedas de una bicicleta son:
(x+ l)m y (x-l)m . Si la rueda mayor da (x-2)
vueltas y la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas
vueltas en total darán las dos ruedas?
A) 1vuelta ^ 3 vueltas C) 5 vueltas
D) 7 vueltas E) 9 vueltas
27. De la figura calcule el área som breada
(AOB: sector circular); siendo MN=4.
A
’ ¡ x
/ 1

D)
71 •>
- r
4
71 o
B) 8 r 2 C)
TI •
~ r
6
7T 2
r *
16
E)
71
----- j
20
28. Siendo O centro de ios sectores circulares
x
AOB y COD. Halle —, si § expresa área
y
29. Si AOB y la rueda de centro O' están en un
mismo plano. Determine el ángulo girado por
este último tal que recorra internamente el
perímetro de AOB por primera vez.
(Dato: R=3r=3)
D) 1 rad E)K/3+2-Hrad

30. Se tiene el sector circular AOB, con centro en
O, internamente se traza el sector CBD con
centro en B (D en OB y C en AB), tal que
OD = DB y ígg + = . Determine la
medida del radio del sector AOB si su área
e s | l + 4arcsen^ju2
A) i u B) lu C)3u
2
D) E) 2u
31. Si los radios de las ruedas delantera y
posterior de una bicicleta miden 30 cm y
40 cm respectivamente. Calcule la distancia
en metros que deberá recorrer la bicicleta
para que la rueda delantera dé 10vueltas más
que la posterior.
A )2 4 n m B)24m C)12nm
D) 18 itm E) 15 nm
32. Considerando los datos de la bicicleta del
prob'erna anterior, halle el ángulo girado por
la rueda posterior, teniendo en cuenta que la
rueda delantera de la bicicleta gira 5000°.
A) 3 750° B) 4 000° C) 2 750°
D) 2 500° E) 2 740°
33. Calcule en términos de r la altura a la que se
encontrará el punto A de la rueda, cuando
ésta gire un ángulo de 1305°, desplazándose
sobre una pista horizontal (ver figura)
/[¥>
m 372
D) — r
B) 272i C) 2 r
E)
2v'2
22
34. En el sistema de poleas mostrado, calcule el
ángulo girado por la polea A (en grados
sexagesimales) si la persona desenrrolla un
metro de cuerda.
Datos: r, =30 cm r2=40cm r3=20cm
A) 20:
9
D) 20 rad
e í —
n
E) 22 rad
35. En la figura se tiene una rueda de tranvía de
un juego de montaña rusa de radio 6 u, que
sube sobre un nivel en forma de semicir
cunferencia de diámetro 2148 u. Si la rueda
sube desde A y sobre la semicircunferencia
da 60 vueltas, calcule la altura en la que se
encontrará la rueda luego de las 60 vueltas
que da con respecto a la recta horizontal L.
L
r
A) (54073 +6)u B) 540 V2u C) 540 73 u
D) (54072 + 6)u E) 540 u
71

36. En el gráfico se muestra la trayectoria que
genera el punto P perteneciente a la rueda al
rodar sin resbalar, si P' es la posición final del
punto P. Halle el área máxima de la región
triangular APP'.
/ . Y '
r ‘ -'Y
A
/ Y ' - í
p p1
A) TtR2 B) ti73R2 C) 27tR2
D) = R2 E) ti72R:
37. Del gráfico halle el área de la región
som breada, siendo AOB y POQ sectores
circulares. Además OM = 0,Q y 6 = n /6 •
A
A) w * B) ^ 7 3 C) ^ 7 §
D) ~ E) 2m 2
4
38. En el gráfico se muestra el recorrido que
describe la esferita al ser soltada en el punto A
que pasa por B y se detiene en C. Halle la
longitud que recorre la esferita si la trayectoria
AB es mínimo.
Dato: H = R73
3
A) 2nR B) — R C) * R
3 4
D) 2rtRV3 e) 4n R
39. Del gráfico mostrado halle el perímetro de la
región sombreada.
A) (1071+673 +18)m
B) (571+373 + 9)m
C) (4jt+373)m
D) (7n+2T3)m
E) (8ti+73 + 2)m

40. Dos ciudades, A y B, están a 42° de latitud
norte. Las longitudes de Ay Bson 110°oeste
y 160° oeste. ¿Cuál es la distancia entre Ay B
a lo largo de la circunferencia de 42° de latitud
norte? Suponga que el radio de la tierra mide
3960 millas.
1 , 2 10 3 3 15
® 3 + í ° 5 + l
D) 7 0 7 + ;
A) 2450 millas
C) 2564 millas
D) 2400 millas
B) 2568 millas
E) 2600 millas
43. Determine el número de vueltas que da la
rueda al ir de un lado á otro rodando
alrededor del sistema mostrado sin resbalar.
41. En el gráfico se muestra la trayectoria que
describe el punto P perteneciente a la rueda,
al completar el circuito en una pista circular
R
de radio R. Halle | — ) si r es radio de la rueda.
'
/
°
.. 7^3 + n
A) 3*
á___ □_
_ / ^ y
7 S + 2n
B) 3n
í ' ' ' V W * ' J
j
y r . 7¡3 + n
} 3
w
M 7V3 + 2*
E) 3
A) 2 B) 3 'C ) 5
D) 8 E) 10
42. Calcule el número de vueltas que da la rueda
ideal al recorrer el perímetro de la región
som breada (r = 6), siendo T punto de
tangencia. (O: centro)
44. Un tren se mueve a razón de 6336 pies/hora
por una vía curvilínea de 300 pies de radio.
¿Qué ángulo recorre en 1 minuto?
A) 15,30° B) 16,16° C) 18,42°
D) 20,16° E) 21,34°
45. Un punto del borde de una rueda hidráulica
de 10 pies de diámetro se mueve con una
velocidad lineal de 45 pies/s. Encuentre la
velocidad angular de la rueda en rev/s.
A) 9 rev/s
B) 2,3 rev/s
~C) 1,43 rev/s
D) 2,1 rev/s
E) 1,42 rev/s
73

TRIGONOMETRIA
CAPITULO
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
Pistón
Mecánica y razones trigonométricas
En el motor adjunto, la distancia x (en metros) del centro de la biela a la
cabeza del émbolo esta dada p o r.x =(cosQ +'Jl6+0,5cos2Q ).
Donde 9 es el ángulo entre el brazo del cigüeñaly la trayectoria de la cabeza
del émbolo. Por ejemplo, si 6 fuese 30°, entoncesxmediría 4,895 m.
.......................................................................................................... .................J

SUR G IM IEN TO DE LOS TÉRMINOS SENO Y TANGENTE
Origen del térm ino seno
Por el año 500, después de n.e., los matemáticos de
la India empezaron a considerar el movimiento de una
recta que gira en sentido contrario al de las manecillas del
reloj alrededor de un punto fijo, y a medir las longitudes
de las semicuerdas o perpendiculares trazadas desde el
extremo de la recta (en diversas posiciones de su
movimiento) alaposición inicial de ella. (Véase laprimera
figura). Esarectase conoce hoy en díacomo radio vector
o “radio movimiento” (del latín: vector, “portador", de
vehor, “muevo"; compárese con “vehículo”).
Por esta razón la longitud de la semicuerda se asoció
a un ángulo, el ángulo determinado por el giro de la
recta.
Los indios dieron el nombre de jva a dicha semicuerda, nombre que en hindú significa cuerda. La
palabra pasó al árabe como¡iba y más tarde se confundió con la palabra árabejgib debido probablemente
aque las palabras en árabe se escribían frecuentemente sin vocalesy por ser iguales las consonantes de
ambas jiba y jaib, es decir jb. Sin embargo, la palabra jaib no tiene relación alguna con la longitud de
la semicuerda ya que significa la abertura en el cuello de una prenda de vestir. Pese a ello, los árabes
tomaron la costumbre de designar a la semicuerda por medio de dicha palabra jaib sin sentido, que
hacía referencia a un “doblez” o “curva". Por ese tiempo, los matemáticos europeos se familiarizaron
con la palabra árabe referente asemicuerda y tradujeron jaib por la palabra slnus que significa “doblez"
o “curva” . Dicho error se ha perpetuado en nuestra palabra seno. Así pues, originalmente el seno de un
ángulo representaba la longitud de la semicuerda de una circunferencia de un radio uno. En nuestros
días, como pronto veremos, cuando hablamos del seno de un ángulo, no hablamos de una longitud.
Origen del térm ino tangente
Como se ha visto, en la mente de los antiguos ya existía la idea de la relación entre la altura de un
poste y la longitud de su sombra. Para rnedir el paso de! tiempo inventaron el reloj de sol de dos tipos: uno
con la varilla vertical de modo que su sombra se proyectara sobre una superficie horizontal; el otro tipo
con su varilla inclinaday sujeta a una pared vertical, de modo que susombra seproyectaba sobre la pared.
No obstante que la relación existente entre la altura de un poste y su sombra se estudió desde los
tiempos más remotos, no fue sino hasta el siglo X d.n.e. cuando los árabes empezaron a estudiar
longitudes análogas relacionadas con el radio de una circunferencia.
Tuvieron que pasar otros cinco siglos para que la palabra
tangente se le asignara a una recta tal como la indicada por TN
en la segunda figura. La tangente a una circunferencia es la recta
que latoca en un solo punto (del latín: tango, “toco"). Una mejor
definición que abarca otras curvas, además de la circunferencia,
es: “ Una tangente es la posición límite de una secante”. Sin
embargo, como aquí sólo estamos considerando tangentes a
circunferencias, por el momento será suficiente la primera
definición.
Supongamos que TN es parte déla tangente alacircunferencia;
ON el radio y OT laprolongación de una recta en movimiento o
radiovector. En el siglo XVI los matemáticos empezaron adesignar
a TN como la tangente del ángulo TON.
|'
j
l
i
i
i
I
I
f
1 ■
1
á
3,
1
*
I
f •
J

Razones trigonométricas__
--------— / de un ángulo agudo
OBJETIVOS
• Analizar y com prender la definición de las razones trigonométricas de ángulos agudos.
• Deducir y familiarizarse con los valores de las razones trigonométricas de ángulos notables.
• Aplicar, a casos de la vida práctica, los conceptos sobre razones trigonométricas.
INTRODUCCION
En la construcción de carreteras, puentes, canales y edificaciones, observemos que los topógrafos
manipulan instrumentos como el teodolito, el metro y las reglas graduadas con el objeto de medir
ángulos y d.stancias generalmente en triángulos, ya que la triangulación es muy empleada para trábajos
de topografía que son indispensables en la preparación y ejecución de proyectos de ingeniería.
En el presente capítulo analizaremos los triángulos rectángulos. Las propiedades que se exponen
tendrán su utilidad en los ejercicios de ángulos verticales y horizontales. Como una de las aplicaciones,
podemos indicar el cálculo del diámetro de la
Tierra yla distancia del Sol a la Tierra. Además se
sabe que, en sus inicios, la Trigonometría se basa
en la Astronomía que en la antigüedad desarrolla
Hiparco y que, posteriormente, Galileo Galilei
utiliza para analizar el desplazamiento de los
planetas.
Alcalcular la medida del diámetro de laTierra
desde un satélite se observa que la bisectriz del
ángulo así determinada señala al centro de la
Tierra. (El punto P se halla en la superficie).
El uso de las razones trigonométricas en
el triángulo rectángulo generado nos permite
%.
obtener
2h
d = -
cscx-1
Calcular el diámetro de la Tierra ha sido un afán del hombre
desde tiempos remotos. Los sofisticados instrumentos actuales
permiten que dicho cálculo sea exacto.
77

Consideremos un triángulo rectángulo ABC, tomando a Bcomo vértice del
ángulo recto y dos ángulos agudos en A y C. Designando a al ángulo cuyo
vértice es A, así tenemos que c es la longitud del lado adyacente a a , a es
la longitud del lado opuesto a a y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo
recto (90°), siendo su longitud b .
Es necesario resaltar algunas propiedades del triángulo rectángulo.
• La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, y menor que la
suma de ellos.
• La suma de los ángulos agudos es 90°; es decir, dichos ángulos son
complementarios(A+C=90°)
• Al mayor ángulo se opone el mayor lado y así recíprocamente.
• El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de
los catetos.
De la figura 2.2 establecemos la relación: a2+c2= b2........llamado Teorema de Pitágoras.
La demostración de la escuela de Pitágoras puede muy bien haber sido la que ilustran las siguientes figuras:
b
a
a b
(a) (b)
Figura 2.3
Del cuadrado que tiene a+ b como lado, retiramos 4 triángulos iguales al dado. Si hacemos esto
como en la figura de la izquierda, obtenemos un cuadrado de lado c. Pero si la misma operación se hace
como en la figura de la derecha, quedarán dos cuadrados, de áreas a2 y b2 respectivamente, luego, el
área del cuadrado de lado c es la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados miden a y b.
b a
C T
Figura 2.2
L Pitágoras de Somos T
Todo lo expuesto sobre Pitágoras está basado en una tradición
persistente, pero no en un documento histórico conocido. Pitágoras fue
una especie de profeta y de místico, nacido en Samos; una de las islas
de Dodecaneso próximo a Mileto, la patria de Thales.
Alrededor del año 540 a.n.e. Pitágoras fundó una secta semireligipsa,
semimatemática en Cretona, ciudad griega en el sur de Italia. Junto con
los matemáticos, inculcó a sus discípulos la veneración a los números
(se dice que el lema de la escuela pitagórica era :Todo es un número).
Entre las enseñanzas de Pitágoras que más se recuerdan están,
naturalmente, el teorema que dice que en un triángulo rectángulo el
cuadrado del lado más largo (la hipotenusa) es igual a la suma de
cuadrados de los otros dos lados más cortos (los catetos). Los babilonios
habían descubierto esté teorema con mil años de anterioridad, pero se
le atribuye a la escuela pitagórica por ser la primera en difundirlo.
Pitágoras
(Grecia 580 a rt e - 500 a.n.e)
78

CAPÍTULO II Razones trigonométricas de un ángulo agudo
DEFINICIÓN DE RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Es el cociente entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo respecto de uno de sus
ángulos agudos. Es importante observar que las razones trigonométricas son cantidades numéricas o
adimensionales (no poseen unidades). Entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se
establecen 6 razones trigonométricas, a saber:
Sea 0 un ángulo agudo de dicho triángulo rectángulo, entonces:
Nombre Definición
seno de theta sen0=
longitud del cateto opuesto de 0
longitud de la hipotenusa
coseno de theta
longitud del cateto adyacente de 0
tangente de theta
cotangente de theta cot©=
secante de theta
longitud del cateto adyacente de 0 '
cosecante de theta
C
Aplicando la definición en la figura 2.4
tenemos
sen 0 - ¡ csc6 = —
u a
cos0 = — • sec0 = —
b ’ c
tan 9 = cot 0 = —
Ejemplo
Emplee el triángulo rectángulo de la figura 2.5 y
obtenga las seis-razones trigornétricas del ángulo a .
Resolución
En la figura dada, vemos que el tercer lado se
calcula por el teorem a de Pifágoras; así
x2+152=172
x2=172-152=(17-15)(17+15)
jt = 64 =>x= 8
79

Luego tenemos
cateto opuesto de a : 8
cateto adyacente de a : 15
hipotenusa : 17
de donde se obtienen ios siguientes valores
8 15 8
se n a = — • eos a-=— • tana = —
17 ’ 17 ’ 15
„ 15 . 17 17
8 ’ 15 ’ 8
Observación _____________ _
• Como en la figura 2.4 la hipotenusa b es
mayor que los catetos a y c, entonces el
seno y coseno de un ángulo agudo son
menores que 1 pero mayores que cero, así
0 < sen8 <l y -0 <cos6 <l
• Asimismosecanteycosecantesonmayoresque 1
sec0 >1 y cscG > 1
• Para las razones trigonométricas tangente, y
cotangente, un cateto puede ser mayor que el
•otro cateto o induso iguales (caso que no se
da entre un cateto yuna hipotenusa), entonces
tan9>0 y cot9>0
Propiedad Fundamental de las Razones
Trigonométricas
Como todos los triángulos rectángulos que
tienen un ángulo de medida a son semejantes,
los valores de las razones trigonom étricas
dependen únicamente de la amplitud del ángulo
agudo, es decir, es independiente de las
longitudes de los lados del triángulo.
En la figura 2.6 se observa que los triángulos
rectángulos OAB, ODCy OFE son semejantes, esto
es *
i^OAB - ÍS.ODC - C^OFE
AB CD EF
OB OC OE
= sen«
Ejemplo
Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo es
0 , donde sen 8 = 3/4 . Calcule las razones
trigonométricas restantes de 0
Resolución
„ , , 3 Cateto Opuesto
Del dato: sen 0= - = ——---------------,
4 Hipotenusa
considerando al cateto opuesto de 0 como 3n se
obtiene por hipotenusa 4n siendo n una constante
de proporcionalidad, generam os el siguiente
triángulo rectángulo (observe la figura 2.7 (a))
3n
Cálculo de x
x2=(4n)2-(3n) 2
v7n
Así por definición, tenemos
Q -Jlfi -Jl . 4 /í Asjl
cos0 = ------= — , sec6 = 7=—
7 = ------
4n 4 VtV 7
f Q 3 / V7 3^7 „ j f f{
tan0 = - ;= -7x-7= = — co t0 = ^—7-
V7yí V7 7 3 rT 3
csc0 =
4 /
3rí
Debe entender usted que encontrará diversas
formas de resolver un problema y este ejemplo
no es la excepción.
80 jhsf

La forma práctica para resolver este ejemplo
es asumiendo que la constante n sea 1, entonces
(b)
Figura 2.7
n V?
COS0 = —
A
n 4v/7
; sec0 = - y -
, . 3^7
tan0 = -----
7
; cot0 = ^
4
y 3
Se deja para el lector lo siguiente
¿Cuál es el valor de sen 9 + eos 0 siendo 0 un
ángulo agudo?, si tan0 = 3?
La respuesta de este ejercicio es jVjj)
5
A continuación, veamos un ejemplo referido
a un perfil de instalación para tuberías de desagüe.
Ejemplo
En la figura se muestra el perfil de la instalación
de tuberías de desagüe. Si el buzón ubicado en A
se encuentra a 1 m de la superficie, calcule la
suma de las alturas a la que se encuentran los
buzones instalados en B, C y D sabiendo que las
pendientes de las tuberías AB, BC y CD son 3%,
2% y 1% respectivamente.
(a)
Resolución
Según el enunciado se pide calcular la siguiente
suma de longitudes: hg+hc+ho donde
hB: Altura a la cual se encuentra ubicado el buzón
B respecto de la superficie.
hc : Altura a la cual se encuentra ubicado el buzón
C respecto de la superficie.
hD: Altura a la cual se encuentra ubicado el buzón
D respecto de la superficie.
!^ Observado* 2 ^
La pendiente se define como el valor de Urna,
donde a es el ángulo que hace una recta con la
recta horizontal.
Es decir, para el primer tramo AB el enunciado
indica que la pendiente es 3%, por lo que a partir
de ello se puede plantear lo siguiente
(b)
Figura 2.8
tané = 3% = ----
100
=> tan(j>= — ...(1)
v 100K
Kes una constante positiva
Análogamente para los otros casos
Para el tramo BC la pendiente es 2%, por lo que
se puede plantear
2 9K
tanP = 2% = —
— =»tanP = — ...(2)
100 H 100K
Para el tramo CD la pendiente es 1% , entonces
i 1K
tan5 = l% = — =>tan5 = —— ...(3)
100 100K

A partir de los datos mostrados en (1), (2), (3) y
del enunciado, podemos entender la figura 2.8 ;
donde se señalan los ángulos de inclinación para
cada una de las tuberías AB, BC y CD.
A partir del gráfico podemos plantear
A'B' + B'C' + C'D' =600 m
100K+100K+100K=600m
De donde resolviendo obtenemos K=2 m
Pero según el gráfico:
hB= 3K+1 y como K=2 m=> hB=7 m ..... (4)
hc= 5K+1y Como K=2 m =» hc= 11 m (5)
y hD= 6 K+l y como K=2 m=> hD
=13 m (6)
Luego de las ecuaciones (4),(5) y (6) obtenemos:
hB+hc+hD= 7 m + 11m+13 m
.. hB+ hc "thjj =31m
Razones Trigonom étricas de Ángulos
Agudos (no tab les) en un T riá n g u lo
Rectángulo
Los ángulos que m iden 30°
rt rad Y
6 '’
45° ' nrad
l~ 4 ~
y'60°í—ad
l 3
son muy utilizados en
Trigonometría. Podemos calcular los valores de
las seis razones trigonométricas de estos ángulos
notables sin necesidad de utilizar tablas o
calculadoras. Para encontrar los valores de las
razones trigonom étricas del ángulo de 45°,
consideremos un cuadrado cuyo lado tiene una
longitud 1, como muestra la figura 2.9(a) . Si
trazamos su diagonal tenemos que los ángulos
agudos del triángulo rectángulo som breado
miden 45°. Con el teorema de Pitágoras podemos
encontrar la longitud de la hipotenusa.
(b)
Figura 2.9
De la figura 2.9 (a): (d)2= (l)2+ (l)2; de tal manera
d= v2 , luego de la figura 2.9 (b)
..o 1 V2 1
•56043°=-= = — • COt45°= 7 =1
V ¿ i
1 lo *2
• cos45°= ~¡£ = ~ • sec45°= — = /2
1 J2
•ta n 4 5 ° = -= l • csc45°= — = v/2
Para encontrar los valores de las razones
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°;
consideramos un triángulo equilátero AOB
cuyo lado tiene longitud 2 como lo muestra la
figura 2 .10(a).
(a) (b)
Figura 2.10 .
Sabemos que los tres ángulos del triángulo
equilátero miden 60° cada uno. Si hacemos una
bisección del ángulo en “O”, entonces CO es la
bisectriz perpendicular al lado AB.
Aplicando el teorem a de Pitágoras en el
triángulo rectángulo ACO (ver figura 2.10(b))
obtenemos:
(CO)2+ (l)2=(2)2=> (CO)2=(2)2- ( l ) 2
82

De tal m anera que CO= >/3 , entonces de la figura 2.10(b) podemos obtener los siguientes valores
sen30°= csc30°= - =2
tan30
J _ = V3
V3~ 3
S ' r-
cot30°= ~ = S
,73 2 2¡3
cos30°= - y ; se c 3 0 °= ^
3
J S
tan60°= — = & ; COt60°=-L _V3
1 & 3
La siguiente tabla sintetiza los valores de las razones trigonométricas de los ángulos agudos notables
de 30°, 45° y60°; los cuales son utilizados con mucha frecuencia, siendo importante por ello su estudio.
e
(grados)
0
(radianes)
senQ cose tanG cote sec0 CSC0
30°
7
1 1 V3 S
S
2&
2
6 2 2 3 3
45°
n
4
V2
2 2
1 i V2 V2
C
T
>
O
0
71 s 1
■J3
■J3
2
2Í3
3 2 2 3 3
obs” Y
atió" . . ¿ w .................................................
A menudo se utilizan triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos han
sido aproximados. Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo de lados 3,
4 y 5 (vea la figura 2.11) los ángulos Ay C han sido aproximados a 37° y 53°
respectivamente, ya que estos ángulos medidos con transportador no
coinciden exactamente con estas medidas.
En la figura 2.11 se tiene que tan A=3/4 yhaciendo uso de una calculadora
científica tendremos que A=36°52'l 1,63", logrando así una mayor exactitud.
Así, considerando la aproximación en la figura 2.11 calculem os los valores de las razones
trigonométricas de los ángulos de 37° y 53°, los cuales obviamente serán aproximados.
3 4
sen37°= - =cos53° ; cos37° = ^ =sen53°
3 4
tan37°= - =cot53° ; cot37° = - =tan53°
♦
5 5
sec37°= ^ =csc53° ; csc37° = - =sec53°
83

Para un m ejor uso de ios triángulos
rectángulos cuyos ángulos son notables, se hace
la siguiente presentación:
Figura 2.12
Ejemplo 1
Calcule tanl5°y cotl5°
Resolución
Graficamos el triángulo rectángulo notable de 30°
y 60°. Prolongando el cateto CO hasta un punto P,
tal que la longitud OP sea igual a la hipotenusa
AO. Luego se tiene que m<APC=15°
Así en KACP planteamos:
• tanl5°=
AC __
_ 1
CP 2+ 73
M ultiplicando y dividiendo
2 -7 3 tenemos
tan 15o= •
1
2 + 73
2- 73
2-73
tan!5° = 2 -v 3
por
• c o tl5 ° = ~ = ^ y - cotl5°=2+73
Ejemplo 2
Calcule tan(45°/2) y cot(45°/2)
Resolución
Graficamos el triángulo rectángulo notable de 45°
yaplicando métodos análogos al ejemplo anterior,
tendremos:
Así en el triángulo rectángulo BAP, planteamos
1
_
72 + 1
1 v 72-1
72 +1 72-1
72+1
~ 1
, « ( f
Qbservatión
Se puede utilizar también
Figura 2.14
84

Ejemplo 3
Calcule aproximadamente tan(37°/2) y tan(53°/2)
Resolución
Utilizamos el triángulo rectángulo ABC visto en la
figura 2.15 donde se aplicaran los m étodos
utilizados en los ejemplos anteriores.
De la figura tendremos:
Figura 2.15
I. En el L PBC
f 37° i BC _ 3 _ 2
,anl 2 J'PB 9 3
II. En ( I Ls. ABP'
tan
(53M AB = 4
^ 2 j P'B 8
1
2
Finalmente se muestra a estos triángulos de
uso frecuente en los problemas y aplicaciones:
(2+-/3)a
(a)
También se puede utilizar
Es común que ciertos ángulos aproximados
sean utilizados como notables, así tenemos
S3° 37°
_ , , 14°, 8o , 28°, 62°.
2 2
■Í6 +i~2
(b)
(h)
Figura 2.16

Es posible aproximar el ángulo agudo a en el
siguiente triángulo rectángulo.
Figura 2.17
Si -> 1 0
a
se calculará de manera aproximada mediante
Ejemplos
/.a = 5,73° .-.0 = 3,82° .-.(3= 2,865°
Los catetos y la hipotenusa
¿Sabía usted que Pitágoras y los demás geómetras griegos se ocuparon tanto del triángulo, porque lo
usaban mucho en la construcción? Así fue ellos los que inventaron las cubiertas de dos aguas. Eso les
permitió ensanchar mucho las naves de los templos y los grandes salones.
Descubrieron la manera de repartir el peso de la techumbre entre tres vigas, de tal manera que el trabajo
que realizaba cada una al trabajar conjuntamente, era muy inferior que les correspondería si se distribuyese
entre las tres colocadas como vigas planas. Y según el trabajo que hacen, así las nombraron: a las dos
vigas que sostienen la techumbre las llamaron catetos, porque tienden a ir hacia abajo (kazíemi); y a la
viga de abajo la llamaron hipotenusa porque es la que tira (tenusa) por abajo (hipo) de las otras dos para
que no se abran.
86

P ro p ied ad es de las Razones
Trigonométricas
Razones Trigonom étricas Recíprocas
De la figura 2.19 establecimos que
a b
sen e = — y esc 6 = —
¿Qué relación hay entre sen0 y csc0?
Véamos csc0
b/b 1 1
= ----- -- => CSC0 = --------- i
a/b _sen0 sen 9 )
Los dos ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son ángulos complementarios. Así,
aplicando las definiciones de las razones
trigonométricas se observa lo siguiente:
se n a = —= cos{3 ; c o ta = - = tanP
b a
c a b „
co sa = —= senp ; s e c a = —= csc p
b c
ci b
t a n a = - = cotp ; c s c a = —= secP
c a
Asimismo se cumple que
sec0 = —— !
i COS0
Ejem plos
Si sencc = - => csca = 8
8
Si e o s0 = 4/11 =>sec0 = ll/4
Si tan (p = 100 => cot<p = —
100
Conclusión
Siendo 0 un ángulo agudo, se cumple
se n 0 . csc0 = 1 j
co s0 . se c 0 = 1 j
tan 0 . co t0 = 1 j
Razones Trigonom étricas de Ángulos
Complementarios
En el triángulo rectángulo de la figura 2.19,
a y P son dos ángulos agudos. Como la suma de
los ángulos interiores de un triángulo es 180°,
entonces a + P =90°
(o en radianes a + P = 7t / 2 ).
1 ;
cot9 = ------ ;
• tan© ¡
Entonces, el seno de un ángulo agudo es igual
al coseno del ángulo complementario; la tangente
de un ángulo agudo es igual a la cotangente del
ángulo complementario; la secante de un ángulo
agudo es igual a la cosecan te del ángulo
complementario.
Así podemos plantear
razón trigonométrica (a)=co- razóntrigonométrica (90°- a)j
Ejemplos
sen20° = cos(90°-20°)=cos70°
tan(90o- 10o) = tan80°
cotí 0o
/ ti
sec'
esc, 3
cos50‘
tan30c
sec37‘
i t ) ( 5n
=CSC| 2 7 J=cscl I 4
n n.
= s e c - - j = s e c 6
=sen(90° - 50°)=sen40°
:cot(90°-30°)=cot60°
=csc(90°- 37°)=csc53°
csc25°=sec(90° - 25°)=sec65°
( n (
eos - = sen
M l
n f n
tan— = cot -
10 - . 1.2
n _
_n
2 ~ 8
10
3n
1—
8
. 2it
= cot —
5
87

A continuación se muestran ejercicios donde se emplean las propiedades de razones trigonométricas
recíprocas y de razones trigonométricas de ángulos complementarios.
1. Calcule el valor de P donde
P=sen40°sec50°
Resolución
Cambiando por la co-razón trigonométrica de
sec50°=csc(90°-50°)
reduciendo
P=sen40° csc40°
'observam os que las R.T. seno'
y cosecante son recíprocas, j
y los ángulos son ¡guales.
Entonces, dado lo anterior concluimos que
el producto es 1
. . P = l
2. Sea (0 + 32°) un ángulo agudo tal que
verifique
tan( 0 + 32°)= cot0
¿Cuál es el valor de 0 ?
Resolución
son co -Razones Trigonométricas
i t-^-t
tan (0 +32°)=cot0
Entonces los ángulos son complementarios,
por lo que planteam os la siguiente
ecuación:
(0 + 32°)+ 0 = 90°
=> 29 = 90°-32°
=> 20 = 58°
.-. 0 = 29°
3. Siendo (20-10°) un ángulo agudo tal que
sen(20°- 30 )csc( 20 -1 0o)= 1
Calcule 0.
Resolución
Son razones trigonométricas recíprocas
i-^ ^
sen(2O°-30)csc(2 0 - 10°)= 1
Entonces los ángulos son iguales, por lo que
planteamos la siguiente ecuación
20°-30 = 20-10°
=> 20°+10°= 30 +20
=> 30° = 50
0 = 6°
4. Siendo (2a + 10°) un ángulo agudo tal que
verifique sen(2a + 10°) = cos(a + 20°), halle
el valor de a .
Resolución
son co-razones trigonométricas
seri(2a + 10°) = eos (a+ 20°)
Entonces los ángulos son complementarios
por lo que planteamos la siguiente ecuación.
(2a + 10°) + (a +20°) = 90°
=> 3 a +30° = 90°
3a = 90°-30° = 60°
a = 20°
5. Siendo 2a un ángulo agudo, halle el valor de
a , si se cumple
tan2a.tan40° = l
Resolución
no son recíprocos
tan 2a tan40° = 1
Entonces se sugiere despejar una de las R.T.
por ejemplo tan40°, luego
tan 2a = — *
—
tan 40°
recíproco de la
tan40°(cot40°)
son co-razones trigonométricas
tan 2a = cot40°
.-. a = 25°
88

LA TRIG O N O M ETR IA Y EL ESTUDIO DE LOS MINERALES
Una aplicación muy importante para un m ejor estudio de los minerales es el de los
Rayos X y sus efectos de difracción. Esta técnica perm ite establecer una estructura ordenada
tridim ensionalm ente (sistema de cristalización), estructura cuyo ordenamiento puede ser
explicado mediante la utilización de razones trigonométricas.
Así del gráfico se cumple:
n A = GE+EH, por resolución de triángulos rectángulos:
G E=dsen0 yE H = dse n0 r^ n A = d s e n 0 +dsen0 n A = 2 d se n tf
Donde: n es el número de planos atómicos donde incide el rayo, A es la longitud de onda
del rayo y 0 es el ángulo con la que inciden los Rayos X.
En el gráfico se muestra una cantera de donde se está extrayendo el
mineral.
89

tumbreras Editores Trigonometría
Como usted puede verificar a partir de la lectura anterior, hay ciertas longitudes que pueden ser
expresadas en términos de otras longitudes y de razones trigonométricas de ángulos agudos; esto recibe
el nombre de resolución de triángulos. A continuación veremos'cómo se hallan ciertas longitudes en
triángulos donde uno de sus ángulos interiores es un ángulo recto.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo cualquiera significa
determ inar la m edida de los tres ángulos
interiores yla longitud de sus tres lados. En el caso
de un triángulo rectángulo, se resuelve obteniendo
los dos ángulos agudos (ya que uno mide 90°) y
las longitudes de los tres lados del triángulo
rectángulo. Esto se puede hacer si se da como
dato la longitud de un lado y la medida de un
ángulo agudo o si se conocen las longitudes de
dos de sus lados. Una razón trigonométrica de un
ángulo agudo comprende tres cantidades: las
longitudes de dos lados y la medida de un ángulo,
en consecuencia conociendo dos elementos de
los tres podemos determinar el tercero.
Dadas las Longitudes de Dos Lados
Por el teorema de Pitágoras, si se conocen
dos lados se puede calcular el tercero. Luego se
puede hallar cualquier razón trigonométrica de
cualquiera de los ángulos desconocidos y
consultando una tabla de valores o usando una
calculadora, se hallara el valor de dicho ángulo.
Luego, una vez conocido éste ángulo agudo se
puede encontrar el otro, porque la sum a de ellos
es 90° ó ^ rad
Ejemplo 1
Resuelva el triángulo mostrado
Resolución
Elementos desconocidos: r, o y 0
Por el teorema de pitágoras
132= 52 + x2 => x = 12
r
Lueeo sena = —
S 13
usando calculadora tendremos: a = 22,6°
como a + 6 =90° => 6 =90°- a = 67,4°
De esta forma los valores obtenidos son
x = 12; a = 22,6° y 0 = 67,4°
Ejemplo 2
Resuelva el siguiente triángulo
2
Figura 2.21
Resolución
Elementos desconocidos: x, a y P
Por el teorema de Pitágoras
(
V
3)
2
=
[
4 J
+
x
2
=
"
X
Luego
o V s/2 „ -1
sen(3= ~ ^ -= > sen (i = -
por razones trigonométricas de ángulos notables
tenemos (3= 30° como:
a = 90°-P = 60° => a = 60°
3
2
90
Figura 230

De igual forma que en el ejemplo anterior, los
valores que se pedían son
x = ~ ; P = 30° y cí = 60°
2
Dados un Ángulo Agudo y la L o n g i t u d
de un Lado
En los casos siguientes se resolverán los
triángulos rectángulos. Para esto se da com o
conocido un ángulo agudo ( e ) y la longitud de
un lado (m).
2. Si m es la longitud del cateto adyacente
a 9
— = tan0=>BC=mtan0
m
1. Si m es la longitud de la hipotenusa
Lado dato: m
Lados incógnitas: BC y AB
C
La idea es generar una razón trigonométrica
para 0 con el lado dato y el lado incógnita,
pero sugerimos que dicha R.T. lo obtenga
relacionando el lado incógnita con el lado
dato, esto es:
Cálculo de BC (véase figura-2.22)
BC Cateto opuesto a 9
— = ----------------------- s e n 0
m Hipotenusa
luego
BC
— = sen0=>BC=msen0
m
De igual forma
AB Cateto adyacente a 0 „ . _
— = ------------— --------= cos0 =>AB=mcos0
m Hipotenusa
cálculo de la m < C : C = 9O°^A=>C=9O°-0
Los dem ás casos se resolverán de forma
análoga.
• — = sec0=>AC = m sec0
m
• C =90°-A =
=
> C=90°- 0
3. Si m es la longitud del cateto opuesto a 0
C
— = cot 0 =s AB = mcot0
m
• — = csc0=>AC = mcsc0
m
• C=90° -A =>C =9O °-0
Para la resolución de problem as, se
recom ienda al lector recordar los triángulos
de la figura 2.25 (a), (b) y (c)
msen0
mcos0
(a)
91

mtan0
Figura 235
Ejemplo 3
Resuelva el triángulo ABC que se muestra
Resolución
De la figura 2.26(a)
• =sen45° => BC = V6sen45°=>/3
• "yg =cos45° => AB = V6cos45°=/3
. C =90°-A =>C = 45°
En forma directa
Ejemplo 4
Resuelva el triángulo ABC que aparece en la figura
mostrada
Resolución
^p=tan30° = •BC=5tan30°=
5V3
3
= sec30° =>AC=5sec30"= 5|
3 J 3
• C=90°-A =>C=60°
En forma directa
c
1^
(b) (c)
Figura 237
Ejemplo 5
De la figura 2.28, se tiene una pared de 7 m de
alto. Calcule la longitud de la cuerda ( t ) y la
distancia de P hacia la pared(d).
Figura 2.26 Figura 2.28
92

^Resolución
Aplicando el caso de resolución de un triángulo
^rectángulo mostrado en la figura 2.28, tenemos
• í = (7m )csc37° = (7 m )- = — m
ó O
4 28
• d = (7m )cot37° = (7m )-.= — m
á O
Ejemplo 6
En el triángulo OPQ mostrado, demuestre que la
longitud de la base (x) es 2acosa
P
a / a
I
-----
Resolución
a
(b)
Figura 2.29
Del punto P trazamos PR _h_ OQ
En el triángulo ORP
OR = acosa
%
Como R es punto medio de OQ , tendremos
x=20R =2acosa
Ejemplo 7
De la figura 2.30 (a) demuestre que la longitud de
la cuerda AB es 2rsen|^ | j
(O: centro de la circunferencia de radio r)
Resolución
De la figura 2.30 (b) trazamos la perpendicular
OH que a su vez es bisectriz del <AOB, entonces
(e'l
AH=rsen ^ I
como H es un punto medio de AB, tenemos
AB=2AH=2rsen
Área de una región triangular
El área de cualquier región triangular es igual al
semiproducto de las longitudes de dos de sus
lados, multiplicado por el seno del ángulo que
forman dichos lados.
Demostración
En el AABC de!adosa,byc(véaselafigura2.31),
se traza BH _h_ AC, de donde BH=csenA
B
93

Se sabe
c _ (base)(altura)
^A
A
B
C _ 2
c _ (b)CcsenA)
^.lASC - 2 "
^aabc = "y sen A
Análogamente se demuestra que
Saabc = y s e n B ; = y s e n C
donde ( S^ c =área de la región triangular ABC)
Ejemplo 8
Calcule el área de la región limitada por un terreno
de form a triangular, donde dos de sus
dimensiones miden 8 m y 11 m y el ángulo que
forman dichas dimensiones es 45°.
B
Resolución
Sea S el área de la región triangular
(véase la figura 2.32)
Entonces
(8m )0 1m )sen45o
2
c 88 2 72
2 2
S = 2272 m 2
Ejemplo 9
La longitud de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es m y uno de sus ángulos agudos
mide 0. Halle el área de dicha región en términos
de m y 6 .
Resolución
msenO
De la figura: S=
(m cos0)(m sen 0)
S=—-s e n 0 cos0
2
Ejemplo 10
En un triángulo ABC, se tiene que B=60°, se traza
la bisectriz BD(De AC). Calcule BD, si AB=4 u;
BC=2 u
Resolución
Del enunciado podem os obtener el siguiente
gráfico.
Sea la longitud de BD=x, S,= S ^ BD(área de la
región ABD) y S2= S^gc (área de la región
triangular DBC)
como S^g^ —
Sj + S2
=> sen 60° = — sen 3 0 ° + sen 30°
i 2 í
fo
=> 4 y = x sen 30° (2 + 1)
473
:.x =-----u
3
94

roblemas Resueltos
$>
^frablema 1
i, En un triángulo rectángulo ABC (recto en “A”) se
' cumple a2senBsenCtanB= 16.
Calcule M=acscB - ctanC
Por condición cosA = -
Además cosA=p
1_
5
f Resolución
De la figura, reemplazando en la condición
a2senB senC tanB = 16
u = 16 b2=16=>b =4
EnM
Además por el teorema de Pitágoras
a2=b2+c2=> a2-c 2=b2
luego M= — =b M=4
Problema 2
Calcule el perímetro de un triángulo rectángulo
ABC(B=90°), si el cosA es igual a 0,2. Además el
cateto BC es igual a 6JE u .
Resolución
Tomando c= K ; obtenemos b=5K ... (1)
Por el teorema de Pitágoras
b2= a2+ c2 =* (5k)2= (6 >/6 )2+ (k)2
24k2=216=> K=3 ...(2)
Reemplazando (2) en (1) se obtiene b= 15; c=3
.-. Perímetro^^Bc = a+ b + c = 6(3 + ÍS) u
Problema 3
Si AB//CD,yademásCD=2uyAB=6u.
Calcule M=csc 9 + >/2cota, siendo O centro de
la semicircunferencia.
2 ------1
Figura 2.36
A
De la figura, el triángulo COD es isósceles, donde
la m<COD=20 (igual a la medida del arco CD).

Trazando la altura OQ y aplicando el Teorema de
Pitágoras en tOQD se tiene OQ= 2V2
Luego
• LsDHO: csc0 = y =3
• tDHA: cota = -4 = = >/2
2-J2
Reemplazando en M: M=(3)+ 72 ( ^ 2 )
M = 5
Problema 4
De la figura, si AOB es un sector circular,
adem ás MN= ¡2 u; OH=5t
/2u.
Calcule cot <
|>
A
Resolución
Se trazan MQ _h_ AB y la NP -h. OA, luego los
triángulos MQN y APN son notables de 45°.
- A
Figura 2.38
En el APN se tiene que NP= 5-Í2 ,de donde se
d ed u ce que: AN= 5Í2xÍ2 = 10, adem ás
AQ=AN-QN=> AQ=9
En el triángulo rectángulo sombreado
9
cotó = Y cot(¡) = 9
Problema 5
De la figura, calcule L=cot0 cota
B
Resolucióri
Prolongam os CD y desd e A trazam os la
perpendicular AH.
B
A
rlU r—
Notable' sea AD=2n =».AH=n; HD=nV3
MA
f 8
.. :AB=4n;BD=2nV3
Notable
ABCD (Equilátero):BC=CD=BD=2n V3
4n 2
iABC= cot0=----= => cot 0 = —
j=
2 n S V3
, . HD+CD , 3nÍ3 „ r x
C^AHC:cota=---------- => cot a = --------= 3V3
AH n
L= 6
Luego L=| -yj |(3n
/3)
96

CAPÍTULO II . Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Problema 6
CF AE r-
De la figura = — ; AF=4 y CE= 4^3 ,
calcule M =cot2a tan3|3
Cálculo de cot2 a
De la figura inicial se observa que
6a + 6(3= 90° => a + (3= 15o
CF AE i—
Por condición = — =n => CF=/2n; AE = 2n
En la figura 2.40(b) prolongamos CE y trazamos
desde A la perpendicular AH.
Luego mcAEH= 2a+ 2(3=30°.
Además tAHE notable de 30° y 60°.
„ , K nV3+4v/3
En el =>cot2a = --------------
n
B
En la figura 2.40(c) prolongamos AF y trazamos
desde C la perpendicular CM.
Luego m<CFM=3a+3P=45°.
Además ÍS.CMF notable de 45°. En el ts.CMA
=»tan3p = —
5—
4 + a
Reemplazando en M
„ f n
V
¡3+ 4 ^ 3 Y n 3
( n jU+nj
.M = v/3
Problema7
De la figura, AOC es un sector circular,
calcule cot ó
Resolución
A

En la figura mostrada
Sea OA=5K
=> OE=3K
L
xqhb :Trazamos BH _h_ OC , luego BH=3K;
OH=4K
1
tA
O
o; OD = 5 K tan 3 7 °= ^
Además DH=OH-OD=4K-
15K
=> DH= —
4 K
k „ D H _ 4
, c o t d 4
Problemas
Siendo ot, p y 0 ángulos agudos que se
relacionan de la siguiente manera
sen^ jcscG = 1 ....(1)
tan^“ + 10°.jcot(P-5°) = l ....(2)
cos(p-6°)sec50°=l -—
(3)
Calcule '
L=sen(p +4° )-c o s (e _ 39°) + tan(a-37°)
Resolución
Las condiciones satisfacen la propiedad de
razones trigonométricas recíprocas, entonces los
ángulos en cada caso son iguales, es decir:
de(l): ° y ^ = e =>a + P = 20
de(2): | + 10° = P - 5» = * P - | = 15°
de(3): p-6°=50°=>p = 56°
Reemplazando en las dos primeras ecuaciones
se obtiene
a =82° y . 0 = 69°
Sustituyendo valores en L
L=sen(56°+4°) - cos(690-39°)+tan(820-37°)
L= _sen€0“ - £os30° +tan45°
L = 1
Problema 9
Si y , 9 y w son ángulos agudos, los cuales
cumplen *
sen2 y = cos( y + <
!>
) --(1)
3o
tan — =cot(w+34°) ....(2)
sec(y +v
v
)= csc(2y -16°) ....(3)
calcule K=3cot|—j-sec(w + 28°)+csc(o+14°)
Resolución
. de(l): 2y+y+o = 90» =» 3y + <
¡
>= 90° ....(4)
3o
de(2):^r +w+34°=90° => 3ip+2w = 112o ....(5)
* de(3): y+w+2y-16o=90o=s 3y+w=106° ....(6 )
de (4) y (6) se tiene que w = 16°+ <
¡
>
sustituyendo en (5) 3 <
¡
>+2(16°+ ó )= l 12°
. => 0 = 16°
luego en (5) w=32°
sustituyendo en (6 ) 3y +32°= 106°
=>Y = 74°/3
Luego en K
K=3co sec(320+28°)+csc(160+14°);
K=3cot37°-sec60°+csc30°
K = 3 ( | J - ( 2 ) - h(2) k = 4
Problema 10
Si x e y son ángulos, los cuales cumplen
sen0r+20°)sec(y+16) = l ....(1)
tan(y+29°)tan(ll°—
*0=1 .—
(2)
Calcule el valor de
M= cot| ~ + 4o | ■
+tan(30x)
Resolución
De la condición(l)
f
sen(x+20°)= sec( v ¡ it;° j Por R.T. recíprocas
~ =>sen(x + 20°) = cos(y + 16°)
98

Como se vio en la página 87, esta igualdad es
válida para ángulos complementarios.
x+20°+y+16o=90°
es decirx+20°+y+16°=90o
=> x + y = 54° ... (3)
De la ecuación (2)
f Í 1
|
tan(y+29°)=; (an^ |0_x ^ Por R.T. recíprocas
___________ j
=> tan(y + 29°) = cot( 11°- x )
Aquí también los ángulos son complementarios
y+29°+l l°-x=90°
=> y - x = 50° ... (4)
De las ecuaciones (3) y (4)
x=2° ; y =52°
Reemplazando valores en M, se tiene
' f 52° 4
M=COt ^ +4° + tan(30 x2°)
M=cot30° + tan60”
.M = 273
Problema 11
BD
De la figura, simplifique —
HC,
Si O es centro de una semicircunferencia.
Resolución
En la figura 2.42(b) aplicamos las propiedades de
resolución de triángulos rectángulos
En t^ABD: BD=2rsen20
Ent^OHC: CH=rsen20
Problema 12
Si ABCD es un cuadrado, calcule tanp+cotp
Resolución
Del gráfico se tiene que (PQ=CD). Donde CD, lado
del cuadrado.
PQ= 2senp + 3cosp
Figura 2.43
Pero en el LADN AD= 4senp
entonces PQ=AD => 2sen p +3eos p = 4sen p
senp _ 3
~2
. . 3
tañó = -
2
cosp
.-. tanp + cotó = 13/6
99

Problema 13
Sobre el cateto BC de un triángulo rectángulo ABC,
donde la m<BCA=30°, se construye otro
triángulo rectángulo BDC (recto en D), además la
m <ADB =x y la m«BCD = 0
Calcule coUr-cot0 si cot 9=— —
senfi
Resolución
A partir del enunciado podem os plantear el
siguiente gráfico.
Figura 2.44
De la figura, haciendo que
AC=2n => AB=n y BC = n S
prolonguem os DB y desde A tracem os la
perpendicular AH (H en la prolongación de DB)
En el tsCDB: DB=n/3sen0
En el b>.AHB: AH=nsen0
BH=ncos0
Luego en el tAHD
n>/3sen0 +ncos0 n/3sen0 ncos0
coDr=— ------------ ------ -=—---------+ ---------
ijsen0 nsen0 nsen0
cotx= V3 + cot0
.-.cotx-cot0 = ¡3
Problema 14
Si COB es un sector circular con centro en O y
radio r. Además AB=6r.
Calcule sen2a(cot0 +cota)
Resolución
Figura 2.45
De la figura unim os BC y trazam os OH
perpendicular a BC (OH: altura, bisectriz,
medicina).
=> BH=CH=rsena
Tracemos perpendicular CM a AB en el t^.CMB
CM =CBsena=(2rsena)sena = 2rsen2a
MB = CMcota = 2r sen2a c o ta
En el tCMA: AM=CMcot0 =2r sen2acÓte
Luego AM+MB=AB
=i>2rsen2acot0+ 2rsen2a cota = 6r
2r sen2a(cot 0 + cot a) = 6r
.-. sen2a(cot 0 + cot a) = 3
Problema 15
Determine el área de la región cuadrangular ABCD,
en función de sus diagonales d, y d2 (AC=d,;
BD=d.¿)yelánguloque forman dichas diagonales (a ).
Resolución
Sbcd : Área de la región cuadrangular ABCD.
S^c : Área de la región triangular ABC.
^adc : Área de la región triangular ADC.
100

De la figura, se trazan las perpendiculares BP y
DH a la diagonal AC.
tBPM: BP=BMsena
tDHM: DH=DMsena
Luego
Â B C D = ÂABC + ÂAO C
c _ d,.BP d,.DH
ÂBCD _ g + 2
S abcd = y(B M sena) + y(D M sena)
SABcD = -sena(B M +D M )
2 í
Ordenando se tiene que _
i ^ d,.d2
SA
BCD=-J2^ s e n a :
Problema 16
En un triángulo rectángulo ABC(recto en B) se
toma interiormente un punto E. Si las áreas de las
regiones triangulares ABE y AEC son iguales.
Además 0 = m«BAE=m<BCA.
Calcule sen20sec20
Resolución
> B
Figura 2.47
De la figura sea
Sa8ae: Area de la región triangular BAE
SiEA
C: Área de la región triangular EAC
AC=m => AB=msen0
Luego
• Sa
bae ~ S -
Saeac = S =
^ ~ ^ . s e n 9
(-AE^ m ).sen(90°-2e) •~(2)
Igualando (1) y (2) ^ — sen26 = eos28
Reduciendo sen20 = cos2 0
luego, la expresión pedida sería
sen20sec20 = (cos29)sec20 = 1
sen20sec 20 = 1
Problema-17
De la figura mostrada, calcule serur; si ABCD es un
cuadrado. Además H y P son puntos de tangencia.
Resolución
L - / - 4
- | 2/ .
Figura 2.48
De la figura, trazamos perpendiculares desde
O, y 0 2 a la prolongación de BC, finalmente
formamos el trapecio rectángulo C^RHC^.
Aderhás por Teorema de Pitágoras
kMRO,:MO, =V(5)2+(7)2 =V74
C
s.02HM:M02= V(6)2+C2)2 = 2VTÓ
Luego por suma de áreas
So,MO, + ^0¡RM + S mo2
H = So ,RH02
V74x 2VT0 senx+Ií5+6x2=/7+2
2 I 2 2 l 2
4.Vi85sen* = 52 sen* = —
185
101

Problema 18
En un triángulo rectángulo se dan las longitudes de
la hipotenusa c y la bisectriz b del ángulo recto, halle
sen<¡>; siendo á el menor ángulo que forma dicha
bisectriz en la hipotenusa.
Resolución
Q
Prolongando la bisectriz NS, hasta tocar la
circunferencia en el punto F
¡se traza el diámetro PQ.
luego m«PQN= 0
En tPNQ: NP=PQsenp =>NP=csen<j>
luego PS=csen ó -b
OP
En t^POS: senó = —
PS
c
csenO -b
sustituyendo senp =
Ordenando
2c sen2ó - 2bsen ó - c= 0
Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos
sen(j>=
b ± /b 2 +2c2
2c
como serK()> 0
b W b 2 +2c2
seno
2c
Problema 19
En un triángulo acutángulo ABC está inscrito la
circunferencia del radio r. En paralelo con BC se
ha trazado una tangente a ésta circunferencia que
intersecta los lados AB y AC del triángulo en los
puntos Dy E respectivamente. Halle el área de la
región limitada por el trapecio BCED, en términos
de r y los ángulos B y C.
B^-
Designamos
O al centro de la circunferencia y Sal área limitado
por el trapecio.
Recordando la fórmula para el área de una región
limitada por un trapecio.
a
Aplicando dicha fórmula en el problema
B . C B . C"
S =
rta n - + rtan—+ rcot —-r-rcot —
•2 2 2 2
x (2r)
.> j í , B B . C .C
/. S = r tan —+ cot —+ tan —+ cot —
Otro Método
Resolución
Sea : O: centro de la circunferencia
S : área del trapecio EDBC
102https://librospreuniversitariospdf.blogspot.com

Donde
p+q
m+n
(b)
Figura 2.51
En el problema
(m + n+ p+ q) r
2
En el tDBH m + q = 2rcscB en el tEIC
n+p=2rcscC
S = (m + q+ n+ p)r
S=(2rcscB + 2rcscC)r
S=2r2(cscB+cscC)
Problema 20
A partir del gráfico mostrado, calcule el valor de
-(7 2 + 1)“' ' tana t siendo AOB sector circular;
T: punto de tangencia y AO = 3MN.
Resolución
Del gráfico
En el t MTC tana =
MT
TC
Pero si m<TOC = 0
En el ts. OTC TO = 3K
luego OC=3Ksec 0 ,
TC=3Ktan 0
En el k MTC MT = 3K -K csc0
TC = 3Ktan 0
3 -csc 0
luego tana = ;
Además
C.COA~kCNM
de lo cual
3tan0
3Ksec0 3 K sec0-K cot0
3K
sec0 = 3sec0-cot0
2
2sec0 = cot0
COS0
eos© sen0
2sen0 = cos20=> 2sen0 = l- s e n 20
sen20 + 2 s e n 0 -l = O=>sen0 = — ~
2
sen0 = -l± 7 2 sen0= x/2-l = -7
J —
7 2 + 1
luego
72 + 2 7 2
(c)
Figura 2.52
reemplazando
3 - ( n
/2 + 1)
tana =
1
3tana
V2VTW2
'V2 + 2VÍ
= 2 - 7 2
- ( 7 2 + l)"'/2tana = 7 2 - 1
103

E jercicios
I. Halle el valor numérico de las siguientes
expresiones
1. tan30° sen60° - cot45°
2. 4cos2
45°-
tan 60°
eos30°
_
_ 1
sec45°
cot230° sec 60° cot 45°
2tan230°+sec245°_
4 1
4. 3tan230°+ - sen260°- - csc245°
5- Vsen260°-sen245° + v'tan 15°+cot 30°
4sen45°cos30° tan 45°
tan 60° sec245° + eos 45°
7. Sitana =^»[®< o t halle se n aco sa
8. Si cosa = 0,4 ; halle 8tan2a s e c a
3
9. Si sena = - , halle 3seca.tana
10. Si cota = 4,5; halle 3 c o s a -5 se n a
II. En cada caso calcule el menor valor positivo
dex.
11. senx=cos(20°+x)
12. tan3x=cotx
13. sec2x=csc(x+30°)
14. sen(x+8°).csc3x=l
15. tan4x.cot60°=l
16. eos —. sec9°20'=l
III. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B
en los siguientes casos, determine
17. La hipotenusa. Si cosC=0,3 y a=12
18. El cateto a. Si tanA=15,8 y c=10
3
19. La hipotenusa. Si sec A= - y a =60
20. El cateto c. Si sec A=9 y b=6
21. P órcatetosaybsisenc= 0,8yb= 16
R espuestas
1. - i 6.
3¡2
2 2
o ^ 3
2- T
7.
10
3. * 8. 105
4
4. 1
9. 63/40
5. ' + 2^
10.
V85
2 5
11. 35° 17. 40
12. 22°30'
18. 158
13. 20°
19. 80
14. 4o
15. 15°
20. 2/3
16. 46°40' 21. 12,8 y 9,6

Antes de em pezar con el desarrollo de los problem as resueltos sobre ángulos verticales y
horizontales, debe saber que los conceptos que se han vertido, tienen varias aplicaciones en nuestra

vida cotidiana, por citar un caso en las telecomunicaciones. Para que tenga un mejor panorama sobre
este ejemplo, se le sugiere proseguir con la siguiente lectura.
L ;
E '
C
T
U
R
A
A N T E N A S PA R A B Ó LIC AS M O T O R IZA D A S
En la instalación de antenas parabólicas, la persona que lo va a realizar debe tener en
cuenta ciertos parámetros técnicos como son el azimut y la elevación de la antena parabólica
los cuales se explican a continuación.
Azimut.- Por azimut se entiende la orientación real
respecto al punto donde.se encuentra el observador.
Se m ide en grados absolutos to m a n d o com o
referencia el NORTE a Ogrados, siguiendo el sentido
de las agujas del reloj hasta llegar al ESTE a 90
grados, el SUR a 180 grados, el OESTE a 270 grados
y de nuevo el NORTE a 360 grados.
Elevación.- Por elevación entendemos la inclinación
que debe poseer una línea recta imaginaria que pase
por el borde superior e inferior de la parábola,
resp’ecto a la vertical, cuando el foco apunta al satélite.
en tierra
105

ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES
En el presente tema estudiaremos aplicaciones de triángulos rectángulos que tienen gran utilidad
en la vida diaria, como por ejemplo en la topografía, geodesia, navegación, o en el cálculo indirecto de
distancias inaccesibles.
Los ángulos verticales y horizontales tienen en común la referencia de un observador o punto de
observación y el objeto observado.
Antes de definirlos ángulos verticales yhorizontales debemos tener claro algunos conceptos importantes.
Línea Vertical
La vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada en equilibrio
(figura 2.53).
(a) (b) .
Figura 2.53
Línea Horizontal
Es toda perpendicular a la línea vertical
Línea Visual
Es aquella línea imaginaria que une los ojos del observador con un punto al objeto, el cual se está
observando.
Plano Vertical
Es todo aquel plano que contiene una línea vertical. -
j Nota ____ ___ ____ ___ ___ _______ _______ _______
La línea vertical apunta al centro de la Tierra (observe la figura 2.53 (b)); la vertical depende del lugar
donde nos encontremos.
Ángulos Verticales
Son aquellos ángulos agudos contenidos en un plano vertical, el cual contiene tanto al observador
como al objeto observado. Dentro de este tipo de ángulos tenemos el ángulo de elevación y el ángulo
de depresión. ■

1. Angulo de Elevación
Se forma entre una línea horizontal que parte
de la vista del observador y una línea visual,
cuando el objeto observado se encuentra por
encima de dicha línea horizontal. Para apreciar
dicho ángulo, observemos la figura 2.54
Figura 2.54
La actividad económica de las comunidades
humanas representa un elemento cultural de
gran importancia, cuya función primoraial es
atender a las necesidades básicas de la vida.
En la imagen, cultivo de cacao en SanMartín.
3. Ángulos de Observación
Es aquel ángulo formado por dos visuales que
parten desde un mismo punto, al observar
un objeto de un extremo a otro.
Así por ejemplo, en la figura 2.56 se observa
a la persona bajo un ángulo 0 .
Figura 2.56
2. Ángulo de Depresión
Se forma entre una línea horizontal que parte de
la vista del observador y la visual, cuando el
objeto observado se encuentra por debajo de
dicha línea horizontal. Para poderapreciardicho
ángulo, le sugerimos observar la figura 2.55
Figura 2.55
E
Jobjetivo principal de la ingeniería genética
consiste en el estudio y la modificación de la
estnjcturade los caracteres hereditarios de
las diferentes especiesanimalesyvegetales
quepueblan elplaneta yque se transmiten
de una generación a la siguiente.
Plano Horizontal
Es todo aquel plano perpendicular a la-vertical.
Figura 2.57
Bahía de Paracas
107

Ángulos Horizontales
Son aquellos ángulos que están contenidos en un plano horizontal.
La rosa náutica o com pás marino: Es la representación esquemática de la brújula náutica, la cual
está dividida en 32 partes iguales, por lo tanto cada parte es 360-^32 = 11° 15'; la figura 2.58 muestra el
nombre que se da a las diferentes direcciones. Los puntos norte, sur, este y oeste se llaman puntos
cardinales y sobre el papel estas direcciones se toman generalmente hacia arriba, hacia abajo, hacia la
derecha y hacia la izquierda, respectivamente.
ROSA NÁUTICA
Angulo formado por dos direcciones
principales (consecutivas)
Figura 2.59
La Dirección: la dirección de un punto Acon relación a un
Observador P puede darse de dos formas: el punto A se
encuentra del Este 60° hacia el Norte (E60°N) del punto P o
Ase encuentra del Norte 30° hacia el Este (N30°E) del punto P.
•Análogamente, el punto B se encuentra en la dirección S40°
E del punto P o B se encuentra del este 50° hacia el Sur de P
y C se encuentra en la dirección 020°N del punto P, o C se
encuentra del Norte 70° al Oeste del punto R Observe la figura
2.60
El Rumbo: es una dirección la cual está dada como el ángulo
entre la línea de dirección magnética Norte, Sur y la línea de
dirección hacia el objeto. Observe la figura 2,61. Se debe
tener presente para este capítulo que no toda dirección es
un rumbo, pero sí todo rumbo es una dirección.

Rumbo NI I°E
o Dirección E79°N
(a) (b)
(O (d)
Figura 2.61
I C k N o t a = ______ _____ „ = , _ _______________
Los rumbos N11°E, N65°0 y S67°0 pueden ser considerados como direcciones (ver figura 2.61); en cambio
las direcciones E79°N, E49°S, 025°N y 023°S no son consideradas rumbos.
I ^ Observación ___________________________ _________________________________ ____________________
En náutica y en aeronáutica el rumbo se mide a partir del norte y con el sentido dirigido hacia el este (ver
la figura 2.62) Es decir, se mide un ángulo de 0oa 360° en sentido de las manecillas del reloj (en este caso
se asigna una medida positiva al ángulo en lugar de la medida negativa a la que no está acostumbrado
para rotaciones en el sentido del reloj).
o
N N
V 30
N
■) E
S
£ 0
S
V ° /
S
■¿60°
Rumbo 60° Rumbo 150° Rumbo 260°
(a) (b) (c)
Figura 2.62
109

COORDENADAS GEOGRAFICAS
Al hablar sobre las brújulas, se plantea que para trazar una dirección cualquiera, existe
la necesidad de tomar un punto de origen respecto al cual se encuentran los ángulos. En
topografía se suelen tomar en cuenta los siguientes puntos de origen:
• El norte geográfico y verdadero.
• El norte magnético.
Por convención los ángulos que vamos a medir
a continuación se harán en'el sentido en que están
las manecillas de! reloj a partir del punto de origen.
Según el punto de origen que se tom e, estos
ángulos son y se denominan:
Azimut Verdadero o Geográfico
Es el ángulo formado por una dirección cualquiera
y el norte geográfico. Se le representa por (Z)
Rumbo o Azimut Magnético
Es el ángulo formado por una dirección cualquiera
y el Norte Magnético (el que nos da la brújula). Se
le representa por (R).
De manera que si tomamos un ángulo con la
b rú ju la , estam os fo rm a n d o un ru m b o . Si
marchamos por medio de direcciones tom adas por
la brújula, estamos marchando por rumbos.
La declinación (D) de un punto P no es más que la diferencia entre el azimut verdadero y el
azimut magnético (ver la figura)
D = Z - R , de donde Z=D + R
Es decir, que el azimut verdadero geográfico es la suma del rumbo más la declinación; o lo que
es lo mismo, para hallar el N geográfico no hay más que agregar la declinación al N Magnético.
|
!
!
S
|
5
1
|
!
5
Generalmente cuando se plantean ángulos
verticales y horizontales a la vez, el gráfico
resultante es de 3 dimensiones.
En la figura 2.63 se tienen ángulos verticales
a y (3 y ángulos horizontales 20° y 50°. La persona
observa la parte más alta del árbol con un ángulo
de elevación a {V/ AH); en cambio desde el punto
C el ángulo de elevación p (AHQy CHQ son piemos
verticales). La persona se encuentra al S20° O del
árbol, en cam bio B y C están al sur y este
respectivam ente del árbol, también podem os
afirmar que B se encuentra al este de A(o de la
persona) y al S50°O de C.
Q

Problemas Resueltos
Problema 1
En la figura adjunta se desea calcular la altura de
una montaña, para lo cual se utiliza ün teodolito
de h metros de longitud. Si en la primera posición
el ángulo de elevación mide a y en la segunda
posición el ángulo de elevación es p ,y por último,
d es la distancia en metros entre las posiciones
del teodolito. Demuestre que la altura de la
montaña es igual a j ------ --------+ h
j cotp-cota
Resolución
Sea x la longitud (en metros) de la altura de la
montaña, del gráfico tendremos
Figura 2.64
co tp -co ta
co tp -co ta
Problema 2
Desde un punto situado a 20 m sobre el nivel del
piso, los ángulos de elevación y depresión de la
parte más alta y baja de una torre son 30° y 37°,
respectivamente. Calcule la altura de la torre.
Resolución
En la figura adjunta, P se encuentra a 20 m sobre
el nivel del piso. La longitud de la torre está dada por
AC=AB+BC
AC=AB+20....(I)
Por resolución de triángulos rectángulos
Figura 2.65
t^CBP: PB=20cot37°
fcsPBA: AB=PBtan30°
C^BDC: BD=(jc-h)cota
tADC: A D =(x-h)cotp
Pero AD=AB+BD
(x - h) cot P = d +(x - h) cot a
(x -h )(co tp -co ta)= d
AB= 20cot37°tan30°
A B=(20)|J
En(l) AC=j t t 'i t +
9
20 m
111

Lumbreras Editores i rigonometría
Problema 3
Un poste está pintado hasta un punto P que se
encuentra a 10 m sobre el nivel de! suelo. Si el
ángulo de elevación del punto P con respecto a
un observador en el suelo es 30° y la parte no
pintada es observada bajo un ángulo de 15° con
respecto a dicho observador. Calcule la longitud
del poste que falta pintar.
Resolución
Lo planteado en el problem a se ha
esquematizado en la figura 2.66
Sea x la longitud de la parte-no pintada, así
jc=AB-10 ....(1)
Nótese que la estatura del observador se omite
ya que no ha sido dato del problema.
Hallando AB
b,OAP: OA=10cot30°=1073
LsOAB: notable(45°y45°)
AB=OA=10V3
En (1) jc=10n
/3 - 10=7,3 ; x = 7,3m
Resolución
Graficando el problema, además sea S el área er.
metros cuadrados del terreno.
Del gráfico, el terreno acotado nos representa al
trapecio rectángulo; como nos piden su área
trazamos BH -h. AD
GBHA (Notable)
=*BH=250V3m
luego, el área del terreno será
S=^50m+1000mjx25oV3m
S = 218750 73 m 2
Problema 4
Calcule en metros cuadrados el área de un terreno
acotado como sigue; Se parte de un roble y se
camina 1000 m en dirección Sur, se da vuelta
hacia N0E y se camina 500 m. Desde este punto
se camina 750 m en dirección Norte y se da vuelta
en dirección Oeste para volver al punto de partida.
Problema 5
Dos ciudades Ay B están separadas 50 millas una
de la otra, la ciudad Bestá situada con respecto a
la ciudad A58° al Este del Sur. Una tercera ciudad
C se ve desde A en la dirección S28°E y desde la
ciudad B en la dirección 62° al Oeste del Sur.
Calcule la distancia en millas de la ciudad B a la
ciudad C.
112

Resolución
Planteado el enunciado del problema, tenemos
el siguiente gráfico, -
Figura 2.68
de donde
L^ACB es notable (30° y 60°)
=> * = 25 millas
Resolución
Tener en cuenta que
^(hora) = ^(3600 s) = 1800s
Asumiendo que los autos realizan un movimiento
rectilíneo uniforme, tenemos que los espacios
recorridos son respectivamente
e ,=20 x 1800=36000 m A e2=40 x 1800=72000 m.
A partir de las condiciones del problema tenemos
el gráfico respectivo (figura 2.69).
Entonces, de dicho gráfico obtenemos
Problema E
Dos autos parten de un m ismo lugar, en los
rumbos 70° y 190°, con velocidades 20 m/s y
40 m/s, respectivamente. Calcule la distancia que
los separa al cabo de media hora.
Por el teorema de Pitágoras:
^ = (9 0 000)2+(18 OOOx
/3 )2
x 2=(1000)2(902+ (18/3)2)
x 2=(1000)2x42x92x7
x = 1000x4x9x%/7
x = 36000v/7
Luego, al cabo de media hora estarán separados
•3 6000 ^7 rn
Problema 7
Una avioneta se desplaza horizontalmente a una
altura H sobre el nivel del suelo, en un
determ inado instante sufre un desperfecto
cayendo con una depresión angular de 37°, el
piloto arregla el desperfecto justo a una altura h
sobre el nivel del suelo y comienza a elevarse con
un ángulo de 16o,llegando a ubicarse nuevamente
a una altura H; si la velocidad de la avioneta en
todo instante es de 1000/21 m/s, ¿cuánto tiempo
perdió la avioneta debido al desperfecto en su
vuelo normal? (Dato H-h=500 m).
113

Resolución
Del enunciado del problem a planteam os el
gráfico siguiente
V
kAPC:AP=(H-h)coí37°
^CNB:CN=(H-h)cotl6°
Además, el recorrido hecho por la avioneta en su
vuelo normal sería AB
AR
AB=V.tAR^ t AR= ~
luego tA
B=
(H - h)cot 37° +(H - h) cot 16o
1000
21
(H -h)(cot37°+cotl6°)
1000
21
^A
R—
500*1™
21
1000
21
^ 1ar“ 50s
Pero debido al desperfecto la avioneta realiza el
siguiente recorrido AC+CB
AC + CB
AC + CB - V(tA
C+ tCB)=> (ac+ ^cb - '
(H -h)(csc37°+cscl6°)
V
tAr + trR —
500:
tAr + IrR " "
110
2
1
1000
21
tA
p + trn —
55s
Ahora, la' pérdida de tiem po (P,) debido al
desperfecto lo calculamos c6mo
= ((c+W) “ e
ab
P, = 55 s - 50 s
Pt = 5 s
Problema 8
Sobre un plano se ha construido un edificio donde
cada piso mide 2 m. Si se sabe que desde dos
puntos más abajo sobre el plano inclinado se
observa la parte superior del edificio con ángulos
de elevación de 20° y 30°, ¿cuánto será el número
de pisos del edificio, si los puntos de observación
están distanciados 100 m, adem ás el plano
inclinado forma un ángulo de 10ocon la horizontal?
(Dato: senl0°=0,l 7)
Resolución
Para determinar el número de pisos, necesitamos
calcular*, ya que el número de pisos se obtendrá
, altura del edificio * , ,
considerando--------------------------= —;paracalcular
altura de cada piso 2
x, planteamos el siguiente gráfico (figura 2.71b).
Figura 2.71
114

En el tx AHC: HC = ACsenlO0
HC = 200cosl0° sen 10°
EnelíxD H C : x = HCseclO0
x = 200cosl00senl00sec10°
i - ¡
x = 200senl0°
x = 200(0,17)=34
34
Por lo tanto el número de pisos será — = 17
2
| Comentario
Debemos saber que nuestra geografía es muy
accidentada, dentro de esta gama de accidentes
geográficos contam os con distintos planos
inclinados como son las montañas, quebradas y
otros. Para poder observar esto, se le muestra la
siguiente fotografía, la cual corresponde a un
paisaje natural de nuestra serranía.
' ' ■- V • -«e:
Línea representativa
de la subida de esta
Cultivos a orillas de la laguna de Paca (junín).
Problema 9
La mayoría de los aviones llega al aeropuerto en
una planeación recta 0 con respecto a su
horizontal. Un piloto experimenta cori una nueva
técnica de aterrizaje que consiste en una
planeación recta de a empezando en un punto
situado a 7 millas (horizontales) del punto de
aterrizaje, luego cambia a un planeación recta de
9 a 3 millas (horizontales) del pünto de aterrizaje.
Si la planeación empieza a una altura h. Halle h.
Resolución
Planteando, en un gráfico las condiciones del
problema tenemos
Figura 2.72
En la figura 2.72 y S£2son rectas horizontales.
Por resolución de triángulos rectángulos, tenemos
• En el C^DPB
DP = PBtan0=3tan0
• En el tDMC
MC= MDtana= 4tana
Finalmente
h=CM+MA
h = CM+ DP
h=4tana+3tan0
.-. h=(4tana+3tan0)millas
Problema 10
Un poste de altura h se encuentra ubicado en el
centro de un parque de form a circular. Tres
personas situadas en la periferia del parque
observan la parte superior del poste con un ángulo
de elevación a ; si dichas personas están
ubicadas a una misma distancia 2h una de otra,
calcule tan a .
115

Resolución
De la figura
P
Los ángulos de elevación para las tres personáis
son los mismos; entonces ha sido suficiente
dibujar el ángulo de elevación para la persona
ubicada en A.
• O: centro
• AABC;equilátero
Luego M es punto medio de BC
=*MC=h
fcsAMC-AM=hV3
Además, O es baricentro de la región triangularABC
=s AO=-h>/3
3
OP
Luego: b.AOP: teína = —
AO
h
tana = -=------
|hV 3
73 3
.ta n a = —
2
Problema1
1
Un bote navega hacia el Este a 2007Í5 m /h , a las
13:15 horas un tripulante observa la cúspide de
1
un acantilado en el rumbo NE - E con un ángulo
de elevación de 30°; a las 13:45 horas observa otra
vez la misma cúspide de la que se halla en el
1
rumbo NO ^ N con un ángulo de elevación de
60°. Calcule la altura del acantilado.
Resolución
Para entender el gráfico planteado del enunciado
del problema, observemos los siguientes gráficos
a manera de repaso
D
B
Figura 2.74
Entonces, en la figura 2.74(b), H representa la
altura del acantilado.
• ADC: Plano horizontal
• ADB y CDB : Planos verticales
• ABC: Plano oblicuo
Del gráfico m<ADC = 90°
kBDC(resolución de triángulos rectángulos)
DC=Hcot60°
• t s A
D
B
(30°y60°)
DA=H
De la figura 2.74(b) se aplica el teorem a de
Pitágorasen CsADC
=s>AC2 = (Hn
/3)2+(H cot 60° )2
=» AC2 = 3H2+H2cot260°
=> AC2=3H2+ | h 2
=>AC2= 1 0 ~ =* AC = ^ p H ...(I)
116

Además AC 2=v . t (t= 13:45—
13:15= ^ hora)
1L r
—
luego t= 2 ; v= 200vT5m/h
Finalmente
AC= 200v is.^ => AC = lOOv'ÍSm ...(II)
Reemplazando (II) en (I)
.-. H = 150v'2 m
Problema 12
Si el entrenador y el alumno, se hallan en dos
extremos opuestos sobre la piscina, además luego
que el alumno nadó 18 m, fue visto con ángulo
dé depresión a por su entrenador. Calcule la
mayor ta n a . Si la estatura del entrenador es 1,6 m
Entrenador
(o)
Resolución
Del enunciado podemos concluir en el siguiente
gráfico donde el alumno Ase dirige hasta un punto
P. (luego de nadar 18 m) y en este punto es
observado por el entrenador con un ángulo de
elevación a .
En el kBPE tana = g = 1
| ^ ...(1)
Como se pide E mayor valor ta n a , entonces el
segmento BP debe tomar su mínimo valor, por lo
que plantearemos una ecuación que relacione BP
con el ángulo (3, para ello observe el triángulo ABP.
CsAPH (resolución de triángulo rectángulos)
A H =18m cosP ; PH =18m senp
txBHP (Teorema de Pitágoras)
BP2= (50m -18 m cosP)2 + (18msenP)2
Desarrollando obtenemos
BP2=(50m )2+ (18m cosP)2+ (18msenP)2
-2(50m )(18m )cosP ....(2)
Del txAPH (Teorema de Pitágoras)
(18 m senP)2+(18m cosP)2^(IS m )2 ....(3)
Reemplazamos (3) en (2) tenemos
BP2 = (50m)2+(18m)2-2(50m)(I8m) cosP ...(4)
m ínim o máximo
Pero como en el capítulo IV veremos
cosP máximo =1 ....(5)
Reemplazamos (5) en (4) tenemos
BP2 =(50 m)2+(18 m )2- 2(50 m) (18 m) (1)
m ínim o
Reduciendo
BP2=1024 m 2 =» BP=32 m ....(6)
1,6 m
anCt(™ 0r) = 327n ]
.-. El mayor valor de la tana es r r
117

Problema 13
Rabio de (1 m de altura) ve a su mamá con un ángulo de elevación 0 (altura de la madre 1.5m) a una distancia
de 4 m en ladirección 037°S, luego vea su papá con un ángulo de elevación a (altura2m) en la dirección E53°S
yporúltimo lamadreveal padre con unángulode elevación <
{
>en ladirecciónE8°S.Calcule cot 0 + cot a + cot 4>.
Resolución
Del enunciado, tenemos el siguiente esquem a
Ahora de la figura 2.76(a) tenemos el siguiente gráfico
P
Figura 2.76
Datos
TN=lm; RM=1,5 m y Q P=2m y RT=4 m
por resolución de triángulos rectángulos tenemos
DN=O,5cot0 ;NH = cota ; MI=0,5cot<}>
De la figura
tRTQ(notable(450; 45°))
Entonces
TQ = 4 a R Q = 4 ¡ 2 a . RT=4
=* NH =4 a M[=4n
/2 a ' DM=4
c o ta 0,5cot<j>=4V2 O,5cot0=4
cota = 4 a cot<|) = 8V2 a cot0 = 8
Finalmente
cot0 + cota + cot<{>= 8 + 4 + 8V2
cot 0 + cot a + cot <
¡>
=12+8V2

Pjróblenlas propuestos.
1. En un triángulo ABC(recto en C) se cumple
que la suma de tangentes de los ángulos A y
B es 4 veces la longitud de la hipotenusa.
Calcule E=bsenA+acosA
A) 1/2
D) 2/5
B)1 C) 1/5
E) 3/5
2. En un triángulo ABC(recto en C) se cumple
que — ^ = 8 . Calcule K= V 2cotB -9cosA
tanB
A) 0
D) 3
B) 1 C) 2
E) 3^2
3. En un triángulo ABC(C=90°)
D
2+ cot—
se cumple que tan A = —
-------—
4+cot —
2
Calcule T =
A) 1
D) 1/5
sec B-cotA
4+csc2A
B) 1/2 C) 1/3
E) 2
4. Si csc4x=2,6; 0<x< g
f n
Determine el valor de 3cot|^ g + * |-2
A) 77 B) Vio C) VÍ3
D) 2V5 . E) V26
5. Sabiendo que se cumple
sen(x+13°)sec(y+17°)=l ......... (1)
tan(x + 14°)
(2)
= 1
tan(2y + 14°)
Siendo x e y ángulos agudos calcule
N=2sec2x.sen g +tan2(x+y)
A) V
D) 4
B) 2 C)3
E) 5
6. Si tan(2x+7°)=cot(4x+35°)
sen(3x + 6o) + cos(6x -1 Io)
Halle E=
A) V3+1
D) 10/11
sen(4* + 5o) + cos(6x + 12°)
B) V3 C)5/6
E) 13/11
7. Si senx secy=l, además x e y son ángulos
agudos
( x + y i ( x + y'l
Halle: ¿u=tan| — | cot tanxtany
2
A) 1 B) 1/2
D) V3/2
8. Siendo
•' tatn^ g ~ sen 2x j _ cot
adem ás 0°<x<90°
Determine el valor de
O V3
E) V3/3
- + cos(3x-10°) =0
. . 3x 3x
A = tan — +cot— + sec3x
4 4
A) 2
D) 4+ 2n
/3
9. Sabiendo que
B) 4 C)6
E) 2+ 2V3
sen(20°-x) tan¡ - +38° j =cos(x+70°)
A dem ás 0°<x<90°, calcule el valor
X
aproximado de N= cot —- cscx
A) 0
D) 3
B) 1 C)2
E) 4
119

10. Siendo
sen ^tan j csc(2cos(jc
- 9°)) = 1
adem ás 0°<x<90°, e! valor de x es
A) 31° B) 39° C)42°
D) 49° E) 51°
11. Del gráfico adjunto, calcule
M = 3cot 0 -1 1 tan 0
A) 473 B) 873 C) io73
D ) u 73 E) 5 7 3
12. En un triángulo ABC (recto en B) se traza la
mediana BD (D en AC), en el, triángulo ABD
se traza la altura AH (H en BD), en AH Se toma
el punto medio M tal qué m<MCB = a, halle
cota si m«BCA = 30°
4 7 3 , 7 73 ^ 7
K>— b ) t - C ) 5
W 3 - 7 7 3
D ) ~ r e ) t
13. Del gráfico, siendo AOB cuadrante
halle tana.
A) 5/6 B) 4/7 C) 6/5
D) 7/3 E) 3/7
14. Del gráfico mostrado, halle co t0 , si ABC es
un triángulo equilátero. Además T, My P son
puntos de tangencia. Siendo TN = MQ = QP
A) 73-1 B) 3(2-73) C) 5+ 373
D) 2-73 E) 2+ 373
15. A partir del gráfico mostrado, calcule
(3cotx - 4)2, siendo O, y Oz centros de t e
circunferencias
D )5 E )8
16. Del gráfico mostrado, .calcule 7tan a +772 ,
siendo i// SEa.
Además 2AB = 5BC
D) 14 E) 15

17. Del gráfico, calcule el valor de 8tan9+69,
siendo ABCD un cuadrado y PN = MN
B ___
i /
; /
' ÍM-/
37 °F E
. y i 6 °
A) 1 B) -1 C) 0
D) 2 E) -2
18. En la figura AC=m. Halle BH - 2PH
A) 2m cosatan2a B) m eos2a
C) 2rnsenatan2a
D) msen2a E) msen a eos a
19. Del gráfico mostrado, halle x en términos de
0 y d. Siendo O centro de la sem icir
cunferencia, además AP=d
O —sec0tan0
1 2
D) —csc0cot20 E) ^cscOcotO
’ 2 1 2
20. Dado el sector circular AOB, C y D puntos de
tangencia. Halle AE en términos de 6 y r.
C) rsen 0 ^ se c|-l^
D) rsen0^sec| + lj E) r s e n ^ s e c |- l
21. Del gráfico mostrado, halle coto en términos
de a , si AB=BC y a = m<APD
B
C) cot2a - c s c a
D) tana + seca E) tana + sec2a
22. Se desea dar la vuelta en una esquina una
escalera de longitud L, en posición horizontal
(ver figura), entre un corredor de 3 m de
ancho a otro de 4 m de ancho.
121

Exprese L como función de 0.
Halle la máxima longitud de la escalera que
pueda pasar por dicha esquina.
A) 3sec0 + 4csc0
9,87 m
C) 3sec0 +4csc0
8,96 m
D) 3sec0 + 4’
csc0
9,79 m
B) 3csc0 + 4csc0
8,96 m
E) 3sec0 + 4csc0
9,77 m
23. Siendo ABCD un cuadrado de lado (, halle la
mediana del trapecio MBDN, en términos de
f y 0.
5
C) -(sen0-cos0)
D) -(secG-cscG) e) -(senG +cose)
24. En la siguiente figura, PQ=PR ¿cuál es el área
de la región formada al unir P, O, y 0 2?
C) r2s e n |.c o t^
D) r2csc2^ E) r2sen2| tan J
25. Del gráfico mostrada, ABCD es un cuadrado,
AD 3
además , calcule
(sec20 -l)2+ (csc20 -^ )2
A) 6500/81 B) 6551/81 C)6562/81
D) 6601/27 E) 6611/27
26. Del gráfico, se tiene que AE=2; EC= 273
calcule K= 373 tan0+5tana
B
A) 1 B) V3 C) 1+73
D) 2+73 E) 373
27. En el gráfico m ostrada, exprese cote en
términos de a , siendo MP=BP
a a ■
. ■ a a
A) 2tan +cot — B ) 4 s e c - + ta n -
a a
C ) 4sen y +C0 S 2
a a „ „ a a
D) 4csc - + tan ~ E) 2sen j +cot ^
. 122

CAPÍTULO li Razones trigonométricas de un ángulo agudo
28. Del gráfico, halle x en términos de a y e
A) a sen20cose B) a sen 0eos20
C) acos.30
D) a sen26eos20 E) a sen30
29. Del gráfico mostrado, halle O, 0 2en términos
de 0 yr,siendo O, y 0 2 centros;PyTpuntos
de tangencia.
k
A) r(sen0-cos0) B) r(cos0-sen0)
C) r(eos0 - sen©)
D) r(csc0 -sec0 ) E) r(sec0-csc0)
30. En la siguiente figura, halle sene si ABCD es
.un cuadrado. Además BM = NC = 2MN = 2
D) 75/2
0 4/5
E) 6/5
31. Del gráfico mostrado, halle TH en términos
de Ry 6
32. Halle el ángulo 0 agudo tal que se verifique
75 eos 20°
cot<¡>= ----- 7=---------------------
2 + 73 eos 10o+ eos 40°
A) 30° B) 70°
0 40°
D) 60° •E) 50°
33. Del gráfico mostrado, halle la longitud del
segmento PB en términos de m, 8 y a
B
A) m sen 0 tan (0 -a)
B) msen6cot(8-a)
C) m cos0tan(0-a)
D) m cos0cot(0-a)
E) m (tan0-cota)
123

34. Del gráfico adjunto, calcule -— --— ,
eos 0eos30
además se tiene que 3CD=7AB
B
D) 3/5 E) 3/10
35. Del gráfico mostrado, determine
v _ sen(105°-6)
4 +2^3
En términos de Ry S siendo AB=OB
(§: Área de la región triangular OEF)
A
D) §/4R2 E) §/2R2
36. Del gráfico, calcule sen0 si cota = 8,
cot{5 = 5 y tan<¡>= —
4
37. Del gráfico, halle PQ, si MN=m; adem ás
PT=TQ
O: centro de la circunferencia
A) 2m sen a eos a
B) 2mcosa
C) 2msena
D ) 2mcota
E) 2mtana
38. Se traza perpendiculares desde los vértices
A, ByC de un triángulo acutángulo a sus lados
opuestos y se prolongan hasta que cortan a
la circunferencia circunscrita. Si las
prolongaciones m iden m, n y p,
respectivamente, determine
a b o
+ +
m n p
en términos de ángulos internos del triángulo
ABC. Siendo a, b, c los lados del triángulo ABC
respectivamente.
A) tanA+2tanB+tanC
B) 2(tanA+tanB+tanC)
C) 2(cotA+cotB+cotC)
D) cotA+cotB+cotC
E) secA secB secC
39. Dado un triángulo isósceles ABC (B=90°) yun
punto interior P, tal que AP=1; PB=2; CP=3.
Calcule el área de la región triangular APC.
B) 0,5 u2 C) 2 u2
E) 3 u2
124
63 21
A) 1u2
D) 2,5 u2

40. Una goma elástica está sujeta, sin estirarla, a
los puntos Á y B que d isto 4 m. La goma está
situada en el segmento AB. La longitud final de
la goma es proporcional al peso que soporta.
Del centro C de la goma se cuelga un peso y el
centro pasa a ocupar la posición D. Si se aplica
el doble del peso del centro, éste pasa a ocupar
la posición E. Sabiendo que el ángulo a = 60°,
halle e! ángulo (3, senl4,5°=0,25.
• 4
* 1 / /
/ /
D /
bloque de
masa m /
/ ^ bloque de
f masa 2m
"e
A) 14,5° B) 15,5° C) 18°
D) 17° E) 25°
Y _j"
41. Del gráfico, halle M= J— - en términos de
r2
Ó y P
1 +cotp cotp-cotó
^ 1+c o t l +C
O
t<
¡>
cot ó - cot p
^ cottp
1-cotp
D) y^cot^ E) tanp + tan<¡)
42. En un triángulo ABC las medianas relativas a
los lados a y b se cortan perpendicularmente.
Halle el menor valor de k si se verifica
tanAtanB , ,
tanA+tanB
1 1 2
A) 3 8) 2
C ) 3
4 3
° > 3 « I
44. Del gráfico mostrado, halle j siendo ABCD
un cuadrado de lado 5 m<APM=45° y
tana = ^
A) 1/4 B) 2/7 C) 3/7
D) 3/5 E) 1/8
125

45. En un triángulo ABC, la recta que une el
ortocentro y el baricentro es paralelo al lado
AC. Halle tanAtanC
1 2
A)
3
B) 3
C> 5
3
D)
8
E) 4
y + 2z + 5t¿>
46. Del gráfico, halle x +y+yfi~
A) sen0 • B) eos© C) tan 9
D) cot0 E) sec0
47. Del gráfico, halle el valor que toma
M=40 tan0 +7
si AP=5PC y O es centro.
' A) 3n
/41 B) 3^/43 C) 3^4 7
D) 3n
/51 E) 3 ^ 5 3
48. En un triángulo ABC, determine el perímetro
mínimo si las m edidas de sus lados son
cantidades enteras, siendo
m<BCA=2m<BAC además B>90°
A) 75 B) 76 ' C) 77
D) 78 E) 79
49. Un poste vertical de 4y3 m se encuentra
sujeto a unacuerdatensa de 5v3 m que está
atada a unaestacaen el suelo. Si una persona
observa la parte superior del poste con un
ángulo de elevación de 53° y observa la
cuerda en su totalidad con un ángulo de 30°.
Halle la distancia en la que se encuentra la
persona de la estaca.
A) 14 m B) 15 m C )3V 3m
D) 16 m E) 15 m
50. Una persona observa la parte superior de un
edificio de 12 m de alto con un ángulo de
. elevación de 37° y la paite superior de una
antena que se encuentra sobre el edificio
(a 4 m del filo del edificio) con un ángulo de
elevación mayor en 2o al anterior. Entonces
la longitud de la antena será:
(Considerar tan39° = 0,81).
A) 3,3 m B) 3,4 C) 4,25
D) 4,3 m E) 4,5 m
51. Un niño y dos árboles se encuentran en
una misma línea. El niño, que e?tá entre
los árboles, observa las partes superiores
de dichos árb o les con ángulos de
elevación a y. 2 a . Si se .sabe que sus
respectivas visuales m iden 30 y 35 m,
calcule la altura de! mayor árbol, teniendo
en cuenta que, si la distancia a la que se
encuentra el niño de un árbol es igual a la
altura del otro árbol y este último el que se
opone a 2a-
(Sugerencia sen2a = 2senacosa).
60 40 60VÍO
A) y m B ) y m C)
7
50x/l0
~
45n
/Í0
D) --------------m
7
E)
7

52. La elevación de la cumbre de una montaña
vista desde un punto del suelo es 45°.
Caminando desde dicho punto una distancia
de 30 m en un plano horizontal en dirección
a la cumbre y luego otros 260 m sobre un
plano ascendente cuya inclinación tiene
com o co tan g en te 2,4 resp ecto de la
horizontal, se encuentra que la elevación de
la cumbre, vista desde esta última posición
es de 53°. Calcule la altura de la cumbre.
A) 780 m B) 700 m C) 680 m
D) 720 m E) 400 m
A)
tan P -tan a
B)
tanP + tana
4cota
sen a-sen P
2tan a
C)
cosa
D)
1+ teína tan P
E)
tanp - tan a
2cota 4 tan a
55. Una persona A se encuentra en la dirección
Este con respecto a la persona B. Si la persona
B se desplaza en la dirección N-NE y ]a
persona A en la dirección NNO, ambos se
encuentran en el punto P. Calcule la medida
del menor ángulo que forman estas direcciones.
53. Un astronauta ubicado en la parte interna
de un transbordador espacial observa por
una de las lunas a la Tierra, generando con
ella un arco de 60°. Con la finalidad de
explorar el espacio decide salir de él y para
ello desciende verticalmente a una cierta
distancia, desde la cual observa nuevamente
la Tierra bajo un ángulo de 90°. Calcule la
distancia de separación entre las dos
pos:ciones de observación, sabiendo que el
radio terrestre es de 6370 km.
(Considerar -J2 = 1,41)
A) 3600 km B) 3745 km C) 3758,30 km
D) 3750,40 km E) 3760,50 km
54. Un avión está pasando justam ente sobre
un barco y en ese instante am bos son'
observados d esd e un faro (que está a
una distancia D del barco) con ángulos de
elevación y d ep resió n a y P,
respectivamente. Si el avión recorre en línea
recta una distancia* (x<D) en dirección al
faro y el barco recorre 4x pero alejándose
de aquel, los nuevos ángulos de elevación
y depresión serán P y a . Halle x/D
Nota: todo se realiza en un mismo plano.
A) 32°30' B) 33°45' C) 22°30'
D) 37°30' E) 30°45'
56. Un barco navega en forma circular alrededor
de una pequeña isla en sentido antihorario a
una velocidad V2 desde una isla se decide
interceptar el barco con otro que se dirige
hacia el NO a una velocidad constante V,, y
logra interceptarlo. Halle el rumbo en el cual
se encontraba el primer barco al salir el otro
en su búsqueda.
Además y = y ^cons¡derar rc= y j
A) N 30°E B) N15°0 C) N 45°0
D) N15°E E) N45°E
57. A 16 km al Este dé una estación de tren se
encuentra una ciudad A (las vías del tren van
de Sur a Norte). Además una-ciudad 3 se
encuentra a 6 km de las vías del tren y en el
rum bo N a E con respecto a la estación
(tana = 0,3). Halle el punto ai cual debe
llegar un móvil que parte de A llegando a las
vías del tren y dirigiéndose a B, (el móvil sigue
la ruta más corta). Calcule la distancia de
dicho punto a la estación.
A) 16 m
150
D) — m
u j n
160
B) -— m
1 11
% 110
c) l F m
170
E ) T3"m
127

58. Desde 2 puntos A y B situados al Oeste y a!
Norte de una torre, se observa la parte más
alta de esta con ángulos de elevación a y P
respectivamente, y desde el punto medio
entre Ay B, el ángulo de elevación es a . Halle
tana cotp
seguir el ave hasta ubicarse en la parte
superior del otro árbol, a partir del cual se
53°
observa con un ángulo de depresión dé ~y-
la parte superior del otro árbol, (considere
que el ave se encuentra sobre la superficie)
A) S B) C) 1
D) y E) 2
59. Dos fortalezas de observación de un puerto
(de la misma altura), están separadas una
cierta distancia, exactam en te sobre la
dirección Este-Oeste. Desde la base de una
de ellas se observa un barco exactamente en
la dirección Sur y desde la otra se observa en
la dirección 9o hacia el Este del Sur y en ese
mismo instante (desde el barco) se aprecia
la parte más alta de las fortalezas con ángulos
de elevación a y P , respectivamente.
Hálle tana cotp en términos de e .
A) cos0 B) sec0 C) sen0
D) csc0 E) cot0
60. Se tiene una paloma situada a 20 m al Norte
de un cazador y al mismo nivel. La palom a>
alza vuelo y sigue una dirección de N37°E
con ángulo de elevación de 45°. Cuando
la palom a alcanza una altura de 50 m
recibe el impacto de un proyectil disparado
por el cazador. Halle la tangente del ángulo
de inclinación con que sale el proyectil.
« 4
E) &
61. Un ave se encuentra al Sur de un árbol de
5 m de altura y al SE de un árbol de 10 m de
altura que se encuentra al Oeste del anterior.
Halle el menor espacio en vuelo que debe
A) 10V2m B) 10 m C) íoVám
D) 20 m E) 12 m
62. Desde la parte superior de una torre de
altura 5 m una persona observa la parte
superior de otra torre de 6 m de altura
ubicada en la dirección NE con un ángulo
de elevación a , tam bién la parte superior
de otra torre que está en el rum bo S75°E
y de altura de 2 m con un ángulo de depresión
p. Si desde la parte superior de la torre
menor sé observa al NO la parte superior de
la torre mayor con un ángulo de elevación 0.
Calcule cot2a tanptanQ
« 4 B) 2V3 C) V3
D) 2sÍ2 E) 4^3
63. La ladera de una colina se orienta hacia
el norte, y e stá in c lin a d a re sp e to al
p la n o h o rizo n tal u n á n g u lo 0 , u n a
vía recta ferroviaria sobre ella está inclinada
un ángulo Ó respecto al plano horizontal, si
la orientación de la vía es p grados al oeste
del norte, luego podemos afirmar que:
A) cos0 = secó cotp
B) sec0 = tanócotp
C) cosp = tan0cotó
D) secPcot0 = cot<[>
E) sec9 = cot<)>tanP

CAPÍTULO il Razones trigonométricas de un ángulo agudo
64. Una persona que se encuentra al sur y a una
cierta distancia de una torre, observa la parte
superior de esta con un ángulo de elevación <
t>y
al desplazarse hacia el este y encontrándose en
la dirección SE con respecto a la torre, observa
nuevamente la parte superior con un ángulo de
elevación complementario de <
|>
.Calcule tan <
J
>
.
A) Ü2 B) i¡3 C) V3
D) 4¡5 0 y -
65. En una de las orillas de un río hay un edificio
de 42 m de altura, sobre el que se apoya una
antena de transmisión de 14 m de altura.
Halle la anchura del río sabiendo que desde
un punto A, situado en la orilla opuesta frente
al edificio, se ve a la antena de transmisión
con el mismo ángulo que se vería otra antena
de 6 m situada delante de! edificio mencionado.
A) 42 m B) 40 m C) 38 m
D) 60 m E) 76 m
6 6 . Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación
de la punta de un campanario es 26°30', desde
la parte superior del poste, que tiene 10 m de
altura, el ángulo de elevación es de 18°30', halle
la separación entre el poste y el campanario.
A) 30 m B) 60 m C) 50 m
D) 42 m E) 45 m
elevación a,P,0yy respectivam ente. Si
AP±PC, BP±PD, adem ás BP y PC son
bisectrices de los ángulos APCy BPD. Calcule
tan20 -tan 2P
1 ’—— — ———— ———
——— —
—
tan a tan 0 - tan ptan y
A) 1 B) 2 C) -1
D)-2 E) 0
69. Un proyectil cae con un ángulo de inclinación
a por debajo de la horizonal, de este a oeste,
un observador ubicado en Tierra observa el
proyectil en dirección NE y luego de cierto
instante hacia el norte con el mismo Angulo
de elevación [5. Calcule ^ = tana+tanfl
tanp
A) y¡2 +l B) y¡2 C) Vá
D) V2 + V3 E) V2 - I
70. Una persona de 1,8 m de estatura se muestra
al sur de un faro donde observa la proyección
de su som bra de 7,2 m de longitud y
cam inando en dirección norte observa
nuevamente su sombra es de 9 m de longitud.
Calcule la altura del faro.
A) 45,2 m / k
B) 30 m "?
C) 37,4 m
D) 41,8 m / :
E) 31,8 m !
67. O bservando la Luna con un telescopio se
ha visto que cuando el Sol está a 38°40'
sobre el horizonte de la Luna, la longitud
de la sombra que proyecta una determinada
m ontaña de la Luna es de 2 km. ¿Cuál será la
altura de la montaña? Dato: cot38°40'= 1,25
A) 2 km B) 1,8 km C) 1,6 km
D) 1,2 km E) 1,15 km
6 8 . Se tiene los siguientes puntos coiineales, A,
B, C y D los cuales están ubicados, en la
superficie horizontal, desde donde se divisan
lo alto de un poste vertical de alumbrado
público PQ (P en el suelo) con ángulo de
y -30 m +
posición l posición 2
71. Dos aviones que vuelan a una misma altura
de 300 m, en trayectorias perpendiculares,
tienen com o objetivo d isp arar m isiles
sim ultáneam ente para dar a un m ism o
blanco. En el instante en que uno de ellos
dispara un misil, al observar con un ángulo
de depresión de 45° am bos aviones están
separados 500 m. ¿Cuál debe ser la medida
del ángulo de depresión con el que observa
el otro avión al blanco para lograr su objetivo?
A) 45° B) 37°
D) 53°
C) 24'
E) 14‘

15 F e
1.6 H d
17 F e
18 F e
19 f e
20 Va
2
1 nr
22 f~D
ü J T
24 J~B
25 f e
26 f e
27 r i ~
28 r~B
29 r~D~ 44 f~ i ~ 58 fT
30 |~C ~ 45 [~B~ 59 F fi
31 [~C~ 46 f~ P ~ 60
3
2nr 4
7nr &
ir
~
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3
3nr 48 í
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34 j~ 4 ~ 49 r r 63 [
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35 n ~ sor
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~
c~ 65 rx
37 |~ j ~ 52 66 J~B
'38 |~ 5 ~ 53 [~C ~ 67 f e
39 t B 54 | C 68 [~q
40 1 fi 55 | b 69 [~ b
41 I g 56 ¡ E 70 [
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TRIGONOMETRÍA
CAPÍTULO
III
Razones trigonométricas de
un ángulo en posición normal
( ----------— -------—— — — - r - n — — ^
Posición y sistemas espaciales ... > ^
Para que una estación espacial realice sus funciones, sus partes deben
acoplarse de manera estándar, porque sino su funcionamiento no serla
óptimo. En el caso de los ángulos trigonométricos, para calcularsus razones
trigonométricas éstos deben hallarse también en una forma adecuada, es
decirdeben encontrarse enposición normal(estándar).
__________ ______________________________ ___ _________ y

DESCARTES Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
René Descartes (1596 - 1650) matemático, filósofo y físico francés, fue uno de los
creadores de la Geometría Analítica, disciplina que combina fundamentos del Algebra y
la Geometría. Dicha ciencia ofrece un sistema de referencia ortogonal, es decir dos ejes
perpendiculares graduados, usados para la realización de cálculos matemáticos.
La idea de asociar a los puntos del plano una abscisa y una ordenado, y luego traducir
los datos geométricos en una ecuación, fue sin duda muy trascendental, tanto así que esta
concepción no tardó en propagarse hacia toda la Geometría, mucho más allá de lo que
había imaginado Descartes, quien sólo veía en ella un aspecto secundario.
Una aplicación del sistema de coordenadas lo encontramos en la Geología; cuando se
tiene que representar gráficamente los sitios de exploración de petróleo cercanos a la
costa. Observe en la figura el pozo petrolero de referencia y la ubicación del posible sitio
respecto de dicha referencia.
La explotación del petróleo es, en la actualidad, una actividad económica fundamental.
Los geólogos utilizan herramientas matemáticas, como el sistema de coordenadas, para
representar con mayor precisión las zonas de explotación del hidrocarburo.
1
■
i
1
I
i
í
1

Razones trigonométricas de
/un ángulo en posición nomial
OBJETIVOS
• Estudiar el sistema de coordenadas rectangulares y sus aplicaciones en la geometría analítica.
• Reconocer los ángulos trigonométricos en posición normal.
• Definir las razones trigonométricas de ángulos en posición norma!.
INTRODUCCIÓN
Hasta el momento hemos estudiado las razones trigonométricas de un ángulo agudo (ángulos
positivos menores que 90°). Sin embargo, las razones trigonométricas se pueden determinar para todo
tipo de ángulo, sea positivo o negativo; por ello, en el presente capítulo trataremos sobre las razones
trigonométricas de ángulos en posición normal, para lo cual requerimos de un sistema referencial
(llamado sistema de coordenadas cartesianas) que nos permita definir, a partir de la ubicación del
lado final de un ángulo, sus respectivas razones trigonométricas.
Para entender con mayor claridad la utilidad del sistema cartesiano en la resolución de problemas
de matemática e ingeniería, debemos conocer previamente lo que es una recta numérica así como
conocer el conjunto de números reales y los diversos axiomas que condicionan la existencia de dicho
conjunto. Es por ello que se plantean y desarrollan diversos ejercicios de modo que el lector pueda
comprender y utilizar dichas herramientas en los capítulos posteriores de circunferencia trigonométrica,
funciones, ecuaciones, etc.
Efectivamente es necesario entender que el hombre aprendió primero a contar y luego representó
gráficamente los números. En la actualidad sabemos que desde los primeros grados escolares sé enseña
el proceso de conteo. Desde el sencillo conteo con los dedos se ha pasado a las modernas computadoras
que permiten obtener datos numéricos con mayor rapidez y precisión que los proporcionados por el
cerebro humarte.
Asimismo, es muy importante ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares ya que
tiene muchas aplicaciones en ingeniería, astronomía, etc. Existe también otros sistemas de referencia,
como el sistema de coordenadas polares.
133

IN TR O DU CCIÓ N A LAS DESIGUALDADES
Para comprender de mejor m anera los capítulos siguientes es importante familiarizarse con ias
propiedades y teoremas aplicados a los números reales. Para ello, mostramos a continuación algunos
alcances de gran utilidad. ‘
Un número real se puede clasificar como racionad (Q) e irracionad (Q') . Un número racional es
cualquier número de la forma a/b, donde a y b son enteros y b * 0 .
Los números racionales comprenden
I. Los enteros (positivos, negativos y cero).
Z ={...-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;...}
II. Las fracciones positivas y negativas, tales como
_3 3
2 ’ 2 ’ 7
III. Losdecimales conmensurablespositivosynegativos, tales como
1,57 =
157
100
; -0,01416
-1416
100000
IV. Los decimales inconmensurables periódicos positivos y
negativos, tales Como
1 -449
0,333... = g ; -0,449449449....= - ^ -
Figura 3.1
El Quipu registraba y expresaba un orden
simbólico numérico según la cantidad de cuerdas
y nudos que contenía, evidenciando un alto
conocimiento matemático extendido en los Andes.
Los números reales que no son racionades se denominan núm eros irracionales. Estos son
decimales inconmensurables y no periódicos; por ejemplo
-V3 = -1,732... ; s/2 = 1,414... ; n = 3,14159... ; e=2,7182...
A continuación, daremos una interpretación geométrica del conjunto de número reales (R),
asociándolos a los puntos de una recta llamada eje (eje de los número reales o recta numérica).
Recta Numérica
Para asociar los números reales con los puntos de una recta, primero se traza la recta, se selecciona
un punto sobre ella que represente al número cero (0) y a este se le denomina origen; después se elige
una unidad de distancia y dos direcciones opuestas, una positiva y otra negativa con respecto al origen.
Además se hace corresponder exactamente un punto a cada número, y exactamente un número a
cada punto de la recta (correspondencia biuriívoca).
. Comúnmente se asocia la figura de una recta numérica con una recta horizontal, pero puede ser
también vertical u oblicua.
Q O R
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 ñ 2 3 4 5 ...
134
Figura 3 J

CAPÍTULO 1
1
1 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Al número real asociado a un punto sobre la recta numérica, se le denomina coordenada del punto, así
enla figura 3.2 tenemos que
• La coordenada del punto Q es -2, se abrevia : Q(-2)
• La coordenada de! puntb R es V2, se abrevia: R(V2)
• La coordenada del punto O es 0, se abrevia : 0(0) y'se denomina origen de la recta numérica.
A los sistemas unidimensionales se les puede asignar una unidad de escala arbitraria, como se cita
por ejemplo en la siguiente lectura, donde el sistema unidimensional tendrá como unidad de medida a
1 mmHg (un milímetro de mercurio) la cual sirve para medir la tensión arterial (fuerza ejercida por la
sangre contra cualquier área de la pared vascular). .
MEDICION DE LA TENSION ARTERIAL
En el hombre, la tensión arterial se mide habitualmente por auscultación, observe la
figura. Se coloca un estetoscopio sobre la arteria humeral en el codo y se insufla un
brazalete alrededor de la parte alta del brazo, que está conectado a un m anóm etro (que
puede ser de mercurio, aneroide o electrónico).
m
JL
80
SONIDOS
lililí
100
A A A
120
J ___I
___1
___L
X(mmHg)
(espectro de los
ruidos de Korotkoff)
Mientras el m anguito ejerce contra el brazo tan poca presión que la arteria sigue
distendida por la sangre, no se perciben ruidos con el estetoscopio; pero cuando la presión
en el m anguito es lo suficientemente elevada para colapsar la arteria durante parte del
ciclo de la tensión arterial, en el estetoscopio se percibe un ruido con cada pulsación. Estos,
sonidos son los llamados Ruidos de Korotkoff y son producidos por el flujo turbulento de
la sangre al chocar contra el vaso parcialmente ocluido. Observe la dependencia de los
sonidos con la medida de la presión arterial para valores entre 80 y 120 mmHg.
Entre los números reales se pueden establecer relaciones de orden como a< b, esto se cumple si y
solo si el punto que representa al número a está a la izquierda del punto que representa al número b.
Por ejemplo, el número 1 es menor que el número 3, ya que el punto 1 se encuentra a la izquierda del
punto 3, o que es lo mismo escribir que 3> 1 y decir que el punto 3 está a la derecha del punto 1.
135

Definición
Siendo a, b e R se cumple
i) a> b, si y solo si a es mayor que b
ii) a< b, si y solo si a es menor que b
iii) a > b , s iy s o lo s ia > b o a = b
iv) a< b , s iy s o lo s ia ; a < x 0, si y solo si a es número real positivo
ii) a<0, si y solo si a es número real negativo
Ejemplo: 3>0 ; -2 < 0 ; sen30° > 0 ; -jt< 0
Es común leer en los problemas cierto tipo
de expresiones, para las cuales ya existe una
expresión m atem ática que las representa.
Algunas de estas expresiones son:1
1) “Se tiene un número no negativo"
Con Ío anterior, se puede plantear que el
número es positivo o cero; entonces sea a el
núm ero en mención, por lo tanto a > 0 .
2) “Se tiene un número no positivo”
Con lo anterior se puede plantear que el
núm ero es negativo o cero; entonces sea b
'el número en mención, por lo tanto, b < 0
3) “Se sabe que a no es mayor que b ”
Con lo anterior podemos ptantear que a debe
ser menor o igual que b, luego su expresión
matemática será a b
5) “Se sabe que los valores del sena son no
negativos”; entonces se puede plantear que
sen<x>0
6) “Sabiendo que el cosa no es mayor que 0,5”;
entonces se puede plantear que cosa <0,5
En la siguiente sección, estudiaremos algunos
teoremas que le serán de gran ayuda y utilidad.
i____ _ T e o r e m a ^ ' : . ^ .
Siendo a, b, c e R se cumple
• a<b<=>a +c b <
=
> a +c> b +c
Ejemplo
Despeje sena a partir de
1 1
s e n a - - > -
2 4
Sumamos - a ambos miembros de la desigualdad
2 l i l i
s e n a - - + - > - + -
2 2 4 2
Reduciendo sena >
SiMT
eorema
Siendo a, b y c e R se cumple
• a 0
• a be ; c < 0
Ejemplo 1
Despeje sena a partir de
2 se n a -l> 0
Sumamos (1) a ambos miembros de la desigualdad
2 se n a-l +(l)> 0+ (l)
2sena> l
Multiplicamos por | ^ |> como ^ >6
El sentido de la desigualdad no se altera
2sena > 1x
Reduciendo sena > -
136

CAPÍTULO Ili Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Ejemplo 2
Despeje tana a partir de
1-3 tana >0
Sumamos (-1) a ambos miembros
l-3tana + (-l)> 0 + (-l)
-3 tana > -1
Multiplicamos por —
- como <0
1
El sentido de la desigualdad se cambia
-|'j(-3tan a)< (-l)f-1
Reduciendo teína < -
Siendo a, b 6 R se cumple
ab >0, si y solo si a y b tienen el mismo signo
(a> 0 a b>0) v (a< 0 a b<0)
Si se presenta la desigualdad ab>0 se tendrá que
analizar de la forma siguiente:
Paso 1: a>0 a b>0
(al resolver estas condiciones se obtendrá un
conjunto C,).
Paso 2: a<0 a b<0
(al resolver este segundo grupo de condiciones
se obtendrá un conjunto C2).
Paso 3: De lo anterior, el conjunto solución final
será C, u Cj .
Dado lo anterior tendrem os qué analizar la
siguiente posibilidad.
Paso 2: 2senct-l> 0 a cosa>0
De esta desigualdad se obtiene sena > i
¡Teoremai *
Si a, b e R se cumple
ab < 0 í=> a y b
tienen signos diferentes
(a> 0 a b<0) v (a<0 a b>0)
Si se presenta la desigualdad ab<0 se sugiere
analizar de la siguiente forma
Paso 1: a>0 a b<0
conjunto C,)
Paso 2: a<ÜAb>0
conjunto Cj)
Paso 3: De lo anterior, el conjunto solución será
C ,u C ¡
Ejemplo: Halle una condición para
' cosa (a.ag u d o )
a partir de (l-3cosa )sena <0
Resolución
(1- 3cosa)(sena) < 0
Los factores deben tener signos diferentes, por lo
que analizamos los casos de la forma siguiente:
Ejemplo: Halle una condición para sena
( a : agudo), a partir de (2sena -1) cosa >0
Resolución
(2sena - l)cosa > 0
Los factores deben tener igual signo, por lo que
analizamos los siguientes casos:
Paso 1: 2 se n a -l< 0 a cosa <0
(esta condición no puede verificarse porque al ser
a agudo cosa es positivo).
Paso 1: (l-3cosa )>0 a sena'<0
(esta condición no puede vérificarse porque al
se ra agudo sena es positivo).
Dado lo anterior tendrem os que analizar la
siguiente posibilidad.
Paso 2: 1- 3cosa < 0 a sena> 0
De esta desigualdad se obtiene
1
cosa > -
3
137

Vx e R se verifica x 2>0
Ejemplo 1
Determine el mínimo valor de la expresión
E = tan20-4tan0 + 5
La expresión la transformamos com pletando
cuadrados.
E = (tan0)2- 2(tan0)(2)+ 5+ (2)2- (2)2
Ordenando los términos
E = (tan0)2- 2(tan0)(2) + (2)2+ 5 - (2)2 . ,
E = (tan0-2)2+ l ..................(1)
Tengamos presente que tan 9 es una cantidad
real, lo cual implica también que (tan0-2)e R
Por teorema anterior (tan0 -2 )2> 0
Sumando 1 (tan0-2)2+ l > 1
E
De donde E> 1
/. El mínimo valor de E es 1
Dado ab>0, se cumple
0 a >b <
=
> —< . o) a —> —
a b a b
Todo número real tiene el mismo signo de su
inverso multiplicativo (si existe).
Este teorema debe entenderse de la siguiente
forma, debido a que ab>0, entonces a y b tienen
el mismo signo, es decir se sugiere plantear los
siguientes casos
Caso 1: a y b positivos
0<a —>0
a b
Caso 2: a y b negativos
0> a> b si y sólo si - < - < 0
a b
Ejemplo 1 v
i) s e n a > ! .....(1)
Se observa que sena es positivo, entonces
Ejemplo 2
Demuestre que fen todo triángulo rectángulo de
hipotenusa b, el valor máximo del área de dicha
b2
región triangular viene expresado por — .
Sean las longitudes de los catetos a y c
(a>0 a c>0).
Entonces (a-c) es una cantidad real, por teorema
anterior afirmamos:
( a - c ) 2>0
De donde a2+ c2-2ac > 0
Ordenando a2+c2 > 2ac
Recuerde que a2+c2=b2
su recíproco í —?— ] también debe serlo, esto
se n a j
es
— > 0 .......(2)
sena
De (1) —^—<2 (3)
sena
De (2) y (3) 0 < - í — <2
sena
ii) co sp > :y ..... (1)
Se observa que cosfi es positivo, entonces
su recíproco | jtambién debe serio, esto es
2 b2 ac
b2> 2ac y ' >0 ......
cosp
(2)
Área de la
región triangular
(S)
De (1) ' < 7 2 ....
cosp
(3)
el valor de S máximo es —
4
De (2) y (3) 0< ' <V2
cosp

CAPÍTULO 1
(1 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Ejemplo 2
Halle la variación de
se n a - - > 0
2
se n a + 1
a partir de
Resolución
Sümamos | —
sena — >0
2
1
sena — + - > - +0
Reduciendo sena +1 > -
Tomando el recíproco obtenemos
1 2
<
sena +1 3
Pero com o sena + 1 es positivo, entonces su
recíproco f ------— - | también debe ser positivo,
sena + 1J
por lo que se plantea
1 2
G<
sena +1 3
Ejemplo 3
A partir de -3 < c sc a < -2 halle la variación para
s e n a .
Resolución
- 3< csca <-2
Debe usted notar que esc a se halla entre -3 y -
2, es decir siempre será un número negativo.
Por lo que se puede tomar el recíproco
-1 1 -1
— > -------------- > —
3 e s ta 2
Observe que el sentido de la desigualdad se
cambia, es decir
1 1
— > sena > —
3 2
;/ - ____
El teorema visto anteriormente no es aplicable
paira números o cantidades que tengan signos
diferentes.
A continuación mostramos un ejemplo, el cual
ilustra el error que se puede cometer.
1 1 .
Como-3<2, entonces - (usted notara que
esta condición es falsa)
Por lo que para tomar recíprocos se sugiere t
analizar primero los signos.
- ~ rebrema
Si a ,b ,c y d e R tal que verifican
a > b
c > d
entonces a+c > b+d
Debemos mencionar que también se puede
presentar los siguientes casos
Caso 1 Caso 2
a > b a > b
c > d c > d
entonces a + c > b + d a + c > b + d
Ejemplo
Siendo a y P ángulos agudos e independientes
entre sí, halle una condición para sena + cosP a
partir de
1
sena > -
2 .................. (1)
cosp > i
3 ..................... (2)
Resolución
1
sena > -
2
cos|3 > -
3
o 1 1
entonces sena + c o s b > - + -
2 3
Reduciendo obtenemos sena + cosp
5
6
139

Intervalos
Un intervalo es un conjunto de infinitos elementos querepresenta a todo número real comprendido
entre 2 extremos.
I. Intervalos acotados
a. Intervalo abierto
El conjunto de todos los números x que cumplen la desigualdad continua a c x c b se denomina
intervalo abierto y se denota por ( a ;b ) . Por tanto
o—---------— o
(a;b) = {jre R /a c x c b J
-oo a b
Figura 3.3
+oo
La figura 3.3 ilustra el intervalo (a ;b) (tener en cuenta que a < b).
b. Intervalo cerrado
El intervalo cerrado de a a b es el intervalo abierto ( a ;b) junto con los puntos extremos a y b
y se simboliza por [a ; bj. Así,
[a;b ] = {xe R /a < x< b}
a b
Figura 3.4
+ 0
O
La figura 3.4 ilustra el intervalo cerrado [a ; bj.
i!*!*!
fiOruj
También suelen presentarse intervalos semiabiertos o semicerrados:
i) Un intervalo abierto (a;b) junto con eí punto extremo derecho b. Esto se representa por (a; b ].Así
cf------- ---------n
(a;b] = {jce R /a< x -oo • a b +00
Figura 3.5
La figura 3.5 ilustra el intervalo (a; b]
ii) Un intervalo abierto (a;b) junto con el punto extremo izquierdo a lo denotamos por [a;b). Así
[a;b) ={xe R /a< x<b}
---------------- cp
La figura 3.6 ilustra el intervalo [a; b ) .
a b
Figura 3.6

CAPÍTULO III Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Observadón ________________ . ______ ____________________ 1
_______ j
Alos intervalos (a;b), [a;b], (a;b] y [a; b ) , se les denomina intervalos acotados cuyos extremos o cotas
son los puntos a y b.
II. Intervalos infinitos o no acotados
Usaremos el símbolo + °° (más infinito o infinito positivo) y el símbolo - °° (menos infinito o infinito
negativo); sin embargo, se debe tener cuidado de no confundir estos símbolos con números reales,
ya que no obedecen las propiedades de estos últimos. Los intervalos infinitos o no acotados se
muestran á continuación en la figura 3,7.
(a;+x) = {x/x>a}
i ■
- »
- * £.............. ’............ +x
(-x;b) = {x/x < b}
» « ------ •
............................b +3C
[a;+x> = {x/x> a}
- X c............................+x
<-x;b] = (x/x<b}
- * ................... .........b +=c
(-x;+x) = R
- x 0 +x
Figura 3.7
J -:± Nota I
El lector no debe olvidar que los intervalos también se pueden representar de otra forma, como se muestra
en los ejemplos siguientes:
Intervalo Representación gráfica
1) (a;b/= {x/a< x< b} (a )
—
X
X
a
. :o-------- ►
b +x
2) [a;b ) = {x/a< x< b}
(b)
-X
X
-------•
a
3) :-oo;b) ={x/x < b}
(c)
—
X
.......... x ... ..
• o--------►
b +x
Figura 3.8
Pero como más adelante veremos, será necesario realizar operaciones con intervalos como son la
unión, intersección, diferencia, etc.; para realizar dichas operaciones se sugiere utilizar los esquemas
para los intervalos mostrados en la figura 3.7, puesto que lo ayudarán a entender con mayor facilidad.
141

Expuesto lo anterior se recom ienda seguir
con la secuencia de los siguientes ejemplos para
consolidar lo explicado anteriormente.
Ejemplo 1
3
A partir de la condición -< s e n a + 2<2 halle el
2
intervalo para s e n a .
Resolución
Sea - < sena+2 < 2 ... 0 )
Como se pide ei intervalo de sena tendremos que
despejar sena a partir de (1)
Sumamos (-2) *
3
2 +(—
2)< sena +2+(—
2)<2+C—
2)
Reduciendo se obtiene ~ < sen a <0
y com o intervalo se tendrá que sen a e |- i ; 0
Gráficamente se puede representar mediante la
figura 3.9(a) o la figura 3.9(b).
O — ---------------- 9
sena
- ' n (°
sena
— Q M im m m iitw b-
-1/2 „ . 0
+O
0
(b)
Figura 3.9
Ejemplo 2
Obtenga los valores-de tana si se verifica la
siguiente condición 5 < 2 tana - 1< 9
Resolución
Sea 5 < 2 ta n a - l< 9 ... (1)
Como se pide el intervalo de tana se tendrá que
despejar tana a partir de (1)
Sumamos 1
5 + (l)< 2 ta n a -i+ (l)< 9 + (l)
Reduciendo se obtiene
6<2tana<10
Multiplicando por i
l)6 < (l)2 B n «s (i)lO
Reduciendo se obtiene 3< tan a <5
Como intervalo se tendrá que tan a e (3; 5] y
gráficamente se puede representar mediante la
figura 3.10(a) o la figura 3.10(b)
c------------------------
taha
( a )
tana
-o/.w tm /m /m m .*-
3 5
(b)
Figura 3.10
Ejemplo 3
Halle los valores de sec$ +1 a partir de la siguiente
condición: -3 < 5 -2 s e c P < l
Resolución
Sea -3 < 5 -2 se c P < l ...(1 )
Como se pide el intervalo de sec p +1 se tendrá
que formar sec p +1 a partir de (1), para esto se
sugiere primero despejar sec p y luego generar
se c p + l; veamos
Sumando -5
-3 + (-5 ) < 5 - 2secP + (-5) < 1+(-5)
-8 < -2 se c P < -4

Multiplicando por
' - 8R M 4 ) (- 2sec|3
, £ - 4H )
Reduciendo se obtiene 4 > secp > 2
o su equivalente 2 < secP < 4
Sumando (1)
2 + (1) < sec(3 + (1) < 4 + (1)
3 < s e c P + l< 5
Como intervalo se tendrá que
(secP + l) = [3;5)
Gráficamente se puede representar mediante la
figura 3.11 (a) o la figura 3.11 (b).
«I
---------------------- (
secp+1
—
x 3 5 +x
(a)
secp+1
M • , ¡ /¡ ‘.’/lí/ í/ifitii/ii. /,* ///•
- x 3 5 +0°
(b)
Figura 3.11
1
Multiplicando por ^
2 0 ( I ) <( i) 2 ta n P <
10 < tanP < 11
Sumando 2
10+(2)< tanP +(2)< ll+ (2 )
12 < tanP +2 < 13 ... (2)
Observamos que dada la relación (2) todos los
valores que toma tanP+ 2 son siempre positivos,
por lo que se puede tomar el recíproco de cada
término obteniendo la siguiente desigualdad:
± 1 _1_
12 tanP + 2 > 13
o su equivalente . -
_L 1 x
13 tanp + 2 < 12
Como intervalo se tiene que
_L_J±.±
tanp +2 13 ’1
Gráficéimente se puede representar mediante la
figura 3.12(a) o la figura 3.12(b).
Ejemplo 4
1
Halle los valores que toma la expresión tanp + 2
a partir de la siguiente condición 16<2tan p - 4 < 18
Resolución
Sea 16<2tanp^4<18 ...(1 )
Sumando 4
16+(4) < 2 tan P -4 + (4 ) <18+(4)
_20 < 2 tanp <22
O--------------------o
1
tanp+2
-■» 1/13 1/12 +*'
(a)
1
tanp+2
-------------------------QiM/mmíímm------------------------►
1/13 ' 1/12 +X
(b)
Figura 3.12
143

Ejemplo 5
Si sencee[-l;l], halle todos los valores que
puede admitir —^
—
sen a
Resolución
D ebido a que por condición s e n a s [—
1; 1]
entonces se tiene
- l< s e n a < l ... (1)
Debe notar usted que en la condición (1) los
números -1 y 1tienen signos diferentes, entonces
los teorem as antes m encionados no serán
aplicables a la desigualdad -1 < sen a < 1
Como se pide valores de
1
sena
entonces s e n a d o
Por lo que los valores de sen a que son admisibles
1
para
sen a
serán
=* -1>
-l< s e n a < 0
1
0 < sena < 1
1
sena
o su equivalente
1
>1
se n a
de donde su
intervalo será
sena
1
sen a
< -l 1<
1
se n a
>;-i]
sen a
+oo
Luego uniendo los 2 conjuntos obtenemos
1
sena
-° ° ;-l]u [l ;+°=)
Los valores de sen a y
1
sen a
se ilustran
en las figuras 3.13(a) y la figura 3.13(b)
respectivamente.
sena
—
00'* _ 1
(a)
+*> -
1 1
sena sena
-00 _1
(b )
+ C
C
Figura 3.13
Como más adelante verem os, en una gran
parte de los problemas se realizan opéraciones
con intervalos, co m o son la unión,
rep rese n tad a por el sím bolo u , y la
intersección, representada por el símbolo n .
Por tal motivo, para que tengam os un mejor
panoram a acerca de lo planteado se muestran
los siguientes ejem plos, en los cuales se
utilizará la siguiente notación
I, : Representa a todos los elementos del
intervalo 1.
1
2 : Representa a todos los elementos del
intervalo 2.
l,n l2 ¡R epresenta a todos los elem entos
(números) comunes a ambos intervalos.
I,u l2 : R epresenta a todos los elem entos
(números) com unes y no com unes a
ambos intervalos.
144

CAPÍTULO 1
1
Ejemplo 1
____lia________ U S _________
-oc -2 0 1 5 +°°
Intersección
Unión
Figura 3.14 .
I,n l2=[0;ll
I2u l 2=[-2;5]
Ejemplo 2
T i. T T T
- 1/2 0 1/2 1 + *
Figura 3.15
Se.observa que no hay elementos comunes, por
lo que
I,nl2=(¡>
- - ;0 K
J - ; 1
L 2 J L2 j
Ejemplo 3
h
x. - 2 - 1 0 1 3 +*=
Intersección
Unión
Figura 3.16
I, I2= (-2; 3]
I,n l2=[-1; 1
]
Ejemplo 4
-CO 1
Intersección
v “
Unión
Figura 3.17
+ x
I,n l2={3;5]
"Observe que en 3 es abierto porque '
pertenece a 1, pero no a I2; en la
intersección los elementos deben
pertenecer a ambos conjuntos.
i,u I2= [l;+ ~ )
Ejemplo 5
OC —
J l + 0 0
t
Intersección
Unión
Figura 3.18
I,nI2 ={V2}
I,u I2= [-1;4)
Para ver una aplicación de estos ejemplos le
sugerimos repasar el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6
Halle el conjunto de valores de la ta n a ,los cuales
satisfacen la siguiente desigualdad
tan2a + tan a < 6 , sabiendo además que a es un
ángulo agudo.
Resolución
A partir de la desigualdad
tan2a + ta n a <6
Sumando (-6)
tan2a + tan a + (-6) < 6 + (-6)
Reduciendo obtenemos
tan2a + t a n a - 6 < 0 ........ ...............(1)
Por reglas de factorización obtenemos que
tan2a + tan a - 6 = (tan a + 3)(tan a - 2)
Reemplazando en la desigualdad (1) obtenemos
(tana + 3 )(ta n a-2 )< 0 ................(2)

Por lo visto anteriormente en la página 135
podem os afirm ar que estos dos factores
(ta n a + 3) y (tan a-2 ) tienen signos diferentes,
por lo que se tiene que analizar los siguientes casos
1ro. tan a+ 3 > 0 a ta n a -2 < 0 ó
2do. tan a+ 3 < 0 a ta n a -2 > 0
A continuación se desarrollará el 1er. caso
tana + 3> 0 a tana.-2< 0
=> ta n a > -3 a tan a< 2 ................(3)
Los valores de la tana serán todos los números
que se encuentran en la intersección de la figura
3.19(b). Pero notamos que po hay intersección
alguna, por lo que afirmamos que es un conjunto
vacío(,) el cual lo denotamos por
tan a = { } . . . C2 (conjunto 2)
Entonces ,tan a debe pertenecer a la unión de los
dos conjuntos, esto es
tana = (-3 ;2 )u { }
Por lo tanto tana = (-3 ; 2}
La figura 3.19(a) ilustra los valores de la tan a que
cum plenlas desigualdades anteriores (3)
Otro método que simplifica la solución de la
desigualdad(2) (tana +3)(tana-2)< 0,eselde
los puntos críticos, estos puntos se hallan al igualar
cada uno de los factores
(tan a + 3) y (tan a -2 ) a cero, esto es:
tana+3 =0 => tana = -3
Los valores de la tana serán todos los números
que se encuentran en la intersección, así de la
figura 3.19(a) se obtiene
=> tan a = (-3;2}.... C, (conjunto 1)
Ahora se verá el desarrollo del 2do. caso
ta n a + 3 < O a tan a-2 > 0
ta n a-2 = 0 => tana =2
Luego los puntos críticos serán (-3 y 2) los cuales
a continuación deberán ser ubicados sobre una
recta numérica (figura 3.20). Observe que sobre
losnúmeros-3y2 hayunapequeña circunferencia
la cual indica que la tana no puede tomar
los valores de -3 y 2 sobreentendido por la
desigualdad “<”.
=> tana < -3 . a tan a> 2 ................ (4)
’ La figura 3.19(b) ilustra los valores de la tana que
cumplen las desigualdades anteriores (4).
-*----------------- o o----------------- *-
I I
-oo. —
3 0 2 +oo
(no se intersectan)
fi>)
Figura 3.19
(•) Al conjunto vado se le puede representar como { )• ó 0
(+) r - i + r t ; c+)
—
oo —
3 0 2 +°°
Figura 3.20
En la figura 3.20 comenzando de la derecha se ha
marcado el signo (+), luego el signo menos (-) y
finalmente el signo ( + ); ahora, como
(tana +3)(tana-2) es negativo, se escogerá la
“región” marcada por (-) excluyendo los puntos
-3 y 2, entonces tana = (-3; 2).
146

A continuación, sugerimos prestar bastante
atención a lo siguiente. Este último intervalo
debería de quedar como respuesta, siempre y
cuando no haya alguna condición más para a,
pero el problema menciona que a es la medida
de un ángulo agudo y como usted recordará en
el capítulo II (página 80) se determ inó que
cualquier razón trigonométrica de un ángulo
agudo siem pre es positiva, por lo que
adicionalm ente este intervalo (tana = {-3;2})
deberá cumplir la condición siguiente: tana > 0.
Es decir tana = {0;+©
o)' .
Expuesto lo anterior, los valores de la tan a
serán obtenidos a partir de la intersección de los
intervalos siguientes: (-3 ; 2) a (0; +<*>).
La figura 3.21 nos ilustra la intersección
. Intersección
Figura 3.2i
Finalmente los valores de tan a que verifican
las condiciones del problema serán los números
pertenecientes a la intersección, es decir el
intervalo (0; 2).
.-. tana = (0;2)
Ejemplo 1
Siendo a un ángulo agudo, halle los valores de
la ta n a , los cuales verifiquen la siguiente
condición:
(tan a + l)(tana - 2)(tan a - 5) > 0
Resolución
Dada la desigualdad ^
(tan a + l)(tan cf-2)(tan a - 5) > 0
Aplicamos el m étodo de los puntos críticos
(cada factor se iguala a cero y se hallan los valores
de la tana).
Factores (tan a +1); (tan a - 2); (tan a - 5)
tana + l = 0 => tana = -l
ta n a -2 = 0 => tana = 2
ta n a -5 = 0 => tan a = 5
Luego los puntos críticos serán -1,2 y 5, los cuales
a continuación deberán ser ubicados sobre una
recta numérica (figura 3.22(a)). Observe que a
com paración del ejemplo anterior, sobre los
números -1, 2, 5 hay puntos, los cuales indican
que la tan a puede tomar estos valores, esto
queda sobreentendido por la desigualdad > dada
por la condición inicial
(tan a + l)(tan a - 2)(tana - 5) > 0
(-) (+) (-) ( + ) ;
-00 - 2 5 +oo
(a)
Como (tan a +1) (tan a - 2) (tan a - 5) es positivo
o cero, escogemos las regiones marcadas con
(+), incluyendo los puntos —
1, 2 y 5.
Así p ues obtenem os el siguiente conjunto
solución ta n a s [-l;2]u[5;+°°}.
A dicionalm ente la teína debe verificar la
condición de que a es un ángulo agudo, esto es
debe cumplir tana > 0, es decir ta n as (0; + ~ ).
Luego, expuesto lo anterior los valores de la
tangente de a serán obtenidos a partir de la
intersección de los siguientes intervalos
(H ;2]u[5;+°o))n<0;+=o)
La figura 3.22(b) ilustra la intersección
-oo —
1 0 2 5 +oc
Intersección Intersección
(b)
Figura 3.22
147

Lumbreras Editores
Finalmente los valores de la tangente de a que
verifican la condición del problem a serán ios
números pertenecientes a la intersección, es decir
los intervalos (0 ;2 ]u [5 ' +°°^'
tana = {0;2]u[5; + °°)
Ejemplo 2
Si co ta e R (puede asum ir cualquier valor
positivo, negativo o cero). Halle los valores de la
cota, a partir de la siguiente condición
(2 - cot a)(2 cot a +1) > 0
Resolución
C uidado con resolver utilizando los puntos
críticos
2 -c o ta = 0 => co ta = 2
2cota + l = 0 => cota = —
2
Luego los puntos críticos serán 2 y , a
continuación se representan en una recta
numérica (figura 3.23(a))
(+) (-)
- 1/2
(a)
(+ )
+ 00
Y del gráfico concluimos que
cota =(-eo;-iu (2 ;+«
Es fácil verificar el error, ya que según esta
respuesta un valor de cota podrá ser 3, entonces
el producto
(2 - cot a)(2cot a +1) = (2 - 3)(2 x 3 +1) = -7
resulta negativo lo cual evidentemente no cumple
la desigualdad
(2 - cot a)(2cot a +1) > 0
Trigonometría
Para aplicar el método de los puntos críticos, los
coeficientes de la variable elegida deberán ser
necesariamente positivos (coeficiente principal).
Según lo expuesto anteriorm ente, la forma
correcta de resolver la desigualdad
(2 - cot a)(2 cot a +1) > 0
es la siguiente: m ultiplicando x ( - l) am bos
miembros de la izquierda.
=> (co ta-2 )(2 co ta + l)<0
(debe notar que los coeficientes de co ta son
positivos)
Por lo que los puntos críticos correctos serán
(-)
- 1/2
(b)
Figura 333
Y como hemps explicado anteriormente, debido
a que la desigualdad indica que el producto
es negativo, escogemos las regiones marcadas
con (-), esto es - 1;2
2 /
Valor Absoluto
El valor absoluto de x, denotado por |x |, se
define como 1
í x ; si x > 0
1*1 = • n
[ - x ; si x < 0
De lo anterior podemos plantear que el valor
absoluto de un número realx (| x )), es el mismo
número x, si x es mayor o igual a cero; y será igual
a su opuesto aditivo - x si x es menor a cero.
148

CAPÍTULO II! Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Para un mejor entendimiento de los siguientes
ejemplos, mantenga su atención en cuál de las
desigualdades se cumple que el número afectado
por el operador valor absoluto | | es mayor o igual
a cero o menor a cero (> 0 ó <0).
• Para j3 ¡;como 3 cumple la desigualdad 3 > 0
=> 13 1=3
• Para 3 - n = - ( 3 - n ) = J t - 3 = 0,1416, puesto
que 3 - ji<0
• Para |- 2 |; como -2 cumple la desigualdad
-2 < 0 => |—
2 1= —
(—
2)
Porconsiguiente, se plantea los siguientes teoremas:
|x |S 0 ; V xe R
, Ixt
-0 0 0 + x
Figura 334
Ejemplo
Si x e R , halle los valores de tan a a partir de la
desigualdad tana = |x |+ 2 .
Reduciendo obtenemos |-2 | =2
• Para | tan45° | =tan45°, po rq u e tan45°
cumple la desigualdad tan45°> 0
• Para |c o s í20°|, com o m ás adelante
comprobaremos eos 120° = - -
esto es cosl20°<0
|cosl20J| = -cosl20°
Geométi icalnente el valor absoluto de un número
real a es la distancia del núm ero al origen
h—Ia I
— I
—----- 1
------------- 1
---------- *
■
a 0
Ejemplo
Calcule d, y d2 (distancias), en las siguientes
rectas numéricas.
I
— |d,|— | I
— |d2|— l
---- 1
------------- H------► ---- 1
------------- 1
-------►
- 3 0 0 f i
Resolución
d, = |- 3 |= - ( - 3 ) = 3 | d2= ¡>/2¡ = V2
Por la definición vemos que el valor absoluto de
un número real es un número positivo o cero, es
decir, es no negativo.
Resolución
Debido a que x e R . |x |> 0 ... (1)
Sumando 2 a la desigualdad (1)
|x | +2 > 0 + 2, reduciendo
| x | +2 > 2
esta expresión es idéntica a tan a => tana 2 2 y
como intervalo
tana
- x 2 +cc
Figura 335
tana=[2;+°°)
V 7 - |* | ; V xeR
Ejemplo 1
• ( ? = |3 | = 3
• Vían245° = | tan 45°| = tan 45°
• vsen2a = |s e n a |
• n
/C-10)2 = |-1 0 | = 10
• Veos2120° = | eos 120°| = - eos 120°
• Si a es un ángulo agudo, sim plifique
Vtan2a - 1tana | , pero por ser a un ángulo
agudo => tan a > 0 , luego |ta n a | = tan a
.-. Vtan2a = tana

' ‘ V
- • V'3 '.nn-
T e o re m a
|x | = |- jc| ; V xeR
Ejemplos
• 1
31=|-31=3
• |x —
y | ; vea a x-y como un solo elemento; -
por el teorem a
' 1
x —
y | = | (x-y) | = | - { x - y ) |
-x + y
Ordenando obtenemos |x —
y| = |y —
x|
esto es | eos a - sen a | = | sen a - cosa |
De igual forma |l- ta n a | = |ta n a - l|
Teorema
V x ;y 6 R
|x| —|y| <
=
> si x —y v x ~ - y
Ejemplo 1
Resuelva ¡x - 2| = |3[
Resolución
x-?.= 3 ó x - 2 = -3
x = 5 ó x = -1
El conjunto solución es -1 y 5
Ejemplo 2
Halle los valores de la tana sabiendo que a es
un ángulo agudo que verifica la siguiente igualdad
| ta n a -3 | = 14 1
Resolución
De lo anterior se tiene
ta n a -3 = 4 ó ta n a -3 = -4
tana = 7 ó tana = - l
A parentem ente 4os valores de la tan a son
{-1 ;7},pero falta que estos valores verifiquen que
a es agudo, es decir tan a >0
Por lo que el único valor de tan a que verifica
dicha desigualdad es 7.
tana = 7
Ejemplo 3
Siendo 0 un ángulo agudo, calcule tan6; si se
verifica la siguiente condición
;sen6 + - =1
! 2
Resolución
Como 1= 111, entonces la igualdad será
¡sen0+- = I H
! 2
Aplicando el teorema anterior
se n 0 + - = l ó
2
sen0 = - ó
2
sen0 + - = - l
2
sen0 = - -
2
Para 0 agudo, se cumple 0< se n 0 , por lo que se
elige sen© = - , con la ayuda de la figura 3.27
obtenemos el valor de la tan 0, que como usted
recordará
tan8~ catet0°Puesloai ángulo 6 Ik _ 1
cateto adyacente al ángulo 0 J3k 7 J
V3K
. Figura 337
Racionalizando se obtiene
V xe R ; |x |í= |x 2| = xí
Ejemplos
• |- 3 |2= |(-3 )2|= (-3 )2=9
• . |cos0 |2= cos20
|x |< a <
=
» -a <X<a , dondea>0
151

Lumbreras Editores T rigonometria
Ejemplos
• |x |< 2 o = > -2 < x < 2
, . 1 1 1
• co sa < - o - - < c o s a < -
1 1 2 2 2
• |ta n a |< 4 <=» - 4 < ta n a <4
Teorema | ^ ; ,
|x |á a a a > 0 <
=
> - a < x < a
Ejemplo 1
, i 1 1 1
• sena < — <
=
>— < sena < -
2 2 2
• |tana| <3 <=>-3 < tan a< 3
Ejemplo 2
Détermine el conjunto solución que satisfaga a la
desigualdad
. T
E J 4 7t
xtan — 5 < sec -
4 1 4
Resolución
C om o ta n - = l y sec4- = 4 , en to n ces la
4 4
desigualdad será |x - 5 |< 4 o - 4 < x - 5 < 4
=> 1< jc< 9
Expresamos com o intervalo
Jfe (1;9)
Ejemplo 3
Halle los valores de la teína, tal que se verifique
las siguientes condiciones
tand + 2 > 0 ...........(1)
, |tan a)< 5 .,.........(2)
Resolución
A partir de (1) se obtiene
tana > -2 ........... (3)
La figura 3.28(a) muestra los valores de la tana
para esta condición.
tana
—
oo —
2 0 +®
(a)
=> tana = [- 2 (4)
452
De (2) aplicamos el teorema obteniendo
-5 < tana <5 ........... (5)
La figura 3.28(b) muestra los%
valores de la tana
para esta condición.
?— ------------T
tana
-oo -5 0 5 + x
(b)
=> tan = [-5;5] ........... (6)
Expuesto lo anterior, los valores de la tana que
verifican las dos condiciones serán aquellos que
verifican o se encuentran en la intersección de
los intervalos (4) y (6), los cuales respectivamente
son [-2 ; +<
*
>
) y [-5 ;5 ], '
La figura 3.28(c) ilustra la intersección
- x _5 -2 5 +=
' v J
Intersección
(c)
Figura 338
tana = |-2 ; 5]
-Teorema ■
■%
• ^
|x |> a a a> 0 x < - a v x > a
Ejemplos
• |x | >3 o x < -3 v x>3
• |tanP|> 2= > tanfl <-2 v tanP>2
• | csca | > 1=> csca < -l v csca > 1
|x |£ a x < -a v x 2 a , donde a>0
Ejemplo 1
• |jfj >3 <
=
>x < -3 v x < 3
• |cot<()|>4 o cot(¡) < -4 v coló >4

Ejemplo 2
Si se n a s [—
l;ll, halle los valores de se n a que
verifiquen la siguiente condición.
|s e n a |> -
1 2
Resolución
A partir del enunciado podem os plantear dos
condiciones
se n a s |-1;1] ........... (1)
|s e n a |> | ............ (2)
De (2) aplicam os el teorem a indicado
anteriormente, obteniéndose
s e n a < - - v s e n a > -
2 2
(3)
La figura 3.29(a) muestra los valores de se n a
para esta última condición (3).
sena sena
- » -1/2 . 1/>
2
(a)
Expuesta lo anterior, los valores de sen a que
verifican las dos condiciones p lan tead as
inicialmente (1) y (2), serán aquellos valores de
sen a que verifican los intervalos (1) y (4) en
simultáneo (intersección). La figura 3.29(b) ilustra
mejor esta deducción.
Intersección Intersección
(b )
Figura 339
Ejemplo 3
Hálle todos los valores que puede tomar csc0
(6 : ángulo agudo), los cuales verifiquen la
desigualdad | esc 0 - 21> 2
Resolución
Como 0 es agudo, se debe verificar que esc 0 > 1 '
(Esto se determinó en el Capítulo II)
Entonces
|c s c 0 - 2 |> 2 « c s c 0 - 2 < - 2 v c s c 0 - 2 s 2 ...(1)
Si a partir de (1) reducimos obtenemos
csc0sO v csc0>4 ...(2)
Como usted observará tenemos dos posibilidades
de las cuales, como csc0 > l (por ser 0 agudo),
solo se podrá considerar que
esc0£4...(3)
Representando esta última desigualdad en una
recta numérica la cual se ilustra en la figura 3.30
CSC0
—
00 o 4 +00
Figura 330
Del gráfico se obtiene
csc0 = [4;+°°)
Sean a ,be R+ (constantes)
x e R -{0} (variable)
Entonces se establece
0 ax + —£2>/ab ; si x>0
x
¡0 ax + —< -2>/ab; si x <0
x
El valor de x que verifica la igualdad en la
proposición (/) se determina por x=
En forma análoga para la proposición (;¡)
El valor de x que cumple la igualdad, se obtiene
P°r x = ~
153

Ejemplo 1 Por la observación anterior la igualdad en (!) se
Se quiere cercar con alambre el perímetro de un verifica cuando
terreno de forma rectangular cuya superficie es
11 km2. Determine la menor cantidad de alambre
a emplear.
=> e = 6o°
tan0 = ,j^ => tan0 = /3
Resolución
Del esquema, sea x ey las longitudes del rectángulo
Figura 3.31
Se puede calcular
M= sen0cos0
M= sen 60°. eos 60°
M= V3/4
Tenemos x y = ll............ (I)
Perímetro: E=2x+2y....(II)
Se pide el mínimo valor de E, donde x>0.
De la condición (I) y = —
x
Reemplazando en (II) E=2x+2
=> E=2x + — ........(III)
X
Por teorema anterior
2x +— >2^2x22
De donde E>4VÍ1
La menor cantidad de alambre será 4 -f km
i) Si a< x 0
=> a2<x2 <b2
~ Ia 1<1jt| <1b |
ii) Si a< x x2 >b2
<
=
> |a |> |x |> |b |
iii) Si a< x 0
=> O S x ^
se elije el
mayor entre
a2 o b 2
«5- 0 <|jc| <
se elije el
mayor entre
|a | o |b |
Ejemplo 2
Determine sen0.eos0, si la expresión
E= 2tan0 +6cot0
toma su mínimo valor.Considere al ángulo 0 agudo.
Resolución
Como 0 e(O ;90°) => tan0>O
Luego la expresión E toma la forma
E = 2(tan0) + —
tanO
Por el teorema E > 2^/(2)(6) ..........(1)
Ejemplos
i) Si 2 e x <5
=*• 4 < x2< 25
=> 2 < | x | < 5
ii) Si - 3 < x < - l
=> 9 > x 2 >1
=> 3 > | x | > 1
iii) Si - 3 < x < 2
=> 0 < x 2< 9
=> 0 < |x | < 3
iv) Si - 2 S x <
=> 0 < x2< 1
=3 0 S |x |< 4
*
^

D istancia entre D os P untos en la R ecta Ejemplo j
Num érica De las figuras 3.34(a), 3.34(b) y 3.34(c), halle las
La distancia entre los números reales x, y x 2
distancias d|t d2y d3respectivamente.
está dado por el valor absoluto de la diferencia
de estos.
d,
1
----------1
--------1
h — d --------1
-3 0
--------------- .-------------------- 1
--------------- ►
*1 *2
(a)
Figura 3.32 d 2
1
------ — ! , . .
------------------------- 1
-----------1
---------------►
0 V2
(d = |x i- x 2| = |x 2- x ,| ] (b)
Ejemplo d 3
1
---------— 1
De la figura 3.33(a) y 3.33(b), calcule la distancia
d ,y d 2.
-----------1
--------------1
--------------------------►
a 0
t— — d , --------- 1 (c)
-2 3
Figura 3.34
(a) . Resolución
1
--------d2---------1 d, = I—
3 1= —
(—
3) = 3
2 6 d2=:v/2: = V
/2
(b) d3 = | a | = - a ; puesto que a<0
Figura 3.33 *
Resolución
Segmento Dirigido
Empleando la fórmula para la distancia entre dos Se llama segm ento dirigido al segm ento
puntos, tenemos orientado por un eje (recta numérica).
d, = | (—
2) —
(3)J= 5 ó d, = |(3 )-(-2 )| = 5
En la figura 3.35 el segmento AB (A es el
origen del segmento, B es el extremo o fin)
d2= | (2) - C6)| = 4 ó d2= | (6) - (2) 1= 4
A B
l> ; Observación.
La distancia de un número real x al origen está
Figura 3.35
dado por |x|.
La notación AB indica un segmento dirigido.
155

Un segmento dirigido se considera positivo
si su dirección coincide con la del eje, o negativo
si su dirección es contraria a la del eje.
Al-
-2
AB
(a)
AB = B - A = (3) - (-2) = 5
BA
HB
-2
(b)
BA = Á -B = (-2 )-(3 ) = -5
AB
(c)
Figura 336
La longitud del segmento AB es
AB = |AB¡ = ¡BA;
=> AB = |3 - (- 2 )| = |- 2 - 3 | = 5
Así pues, la porción de la recta entre los
puntos A y B tiene por longitud 5. Eli segmento
dirigido AB =5 es positivo, porque sigue el sentido
positivo del eje. En cambio, BA = -5 es negativo,
porque sigue el sentido negativo del eje.
Es evidente que al permutar las letras en la
designación de un segmento dirigido, variamos
su orientación y, por ello, el segmento cambia de
signo, conservando su valor absoluto.
En general
Dados Ay B los puntos en la recta numérica,
el valor de los segmentos dirigidos AB y BA
respectivamente se obtiene así
AB = B - A ; BA = A -B *
En consecuencia, se cumple
AB = -BA ; ¡ÁB¡ = ¡BÁ¡
Ejemplos
i) Siendo x„ x2y x3coordenadas de los puntos
A, B y C respectivamente.
A B C
x, . x2 x3
De la recta numérica tenemos
AB = B -A = x2- x (
BC = C -B = x3- x2
AC = C -A = x3 - x)
CB = B -C = x2- x3
También se tiene
AB = ¡x2- x 1j= x2- x 1
BC=x3- x2l
r x3- x2
AC =x3- x ¿ =x3- xi
¡i) A sena B
AB = | sena | = sena
AB = sena
iii) p cos9 Q
QP = |cos9| = -cos0
QP = cos0
Los criterios del ejemplo ii y Ü1 se aplicarán en
circunferencia trigonométrica.

Problemas Resueltos
Problema 1
En la figura 3.37(a) AOD y BOC son sectores
circulares con centro común O. Calcule el área
m áxim a de la región som breada, siendo su
perímetro 10 m.
B
Resolución
En la figura 3.37(b), se ha considerado la longitud
del arco AD y BC como a y b respectivamente.
Además AB=c => DC=c
Pero a + b +2c=10
«
a + b
^ ~ T
= 5 - c (2)
S = (5 -c)c
=> S = 5c - c2
Completando cuadrados, tenemos
S = -
S = -
25
+ —
4
+ Y ..............( 3 )
4
cz - 2 c |r |+ —
5
C 2
En este problema se debe tener presente que
cualquier número real elevado al cuadrado es
positivo o cero, es decir
x2>0 ; V x eR
Entonces
■ i r *
0 de (3)
De (3) tenemos
H . 4
=> — -S > 0
4
25
>S. ■Í4)
Pero, como usted comprenderá el área es una
cantidad positiva, por io que planteamos
S>0 .......... (5)
25
De (4) y (5) obtenemos 0 < S < —
4
Los valores que toma el área S se puede visualizar
en una recta numérica.
O---------------------------- 1I
s
0 25/4
(c) ■
Figura 3.37
Los valores de S se ilustran en la figura 3.37(c)
(tener en cuenta que S es positivo).
Entonces el máximo valor de S es 25/4.
157

Problema 2
Siendo (3 la medida de un ángulo agudo, halle la
variación de
E=
sen{3-2
sen(3+2
Resolución
Para, resolver este problema, hacemos aparecer
en el num erador la forma del denom inador
(sumamos y restamos 2 en el numerador).
„ se n p + 2 -2 -2
senp+2
„ senP + 2-4
=> E = --------------
senP + 2
Descomponiendo en fracciones parciales
senp+2 4
senP+2 senP + 2
. E= 1------ i*—
senP+2
Nota
Elobjetivo de estos artificioses analizar la variable
( senp ) sólo en el denominador.
Como p es un ángulo agudo, se cumple
0 < senp < 1
Sumando 2
2< senp+ 2< 3
Invirtiendo
1 1 i
2 senp +2 3
Multiplicando -4
-2 <
-4 -4
-<
senP + 2 3
Sumando 1
4
< senp +2 < 3
-1 < E < - i
E = / - l ; - —
^
3
Problema 3
Siendo a, P y 0 las medidas de ángulos agudos
y se cumple
^ s e n a -i j +^cosP--^i =^>/(tan8-l)2
eosa tan P
senB
calcule E=
Resolución
Del dato, analizamos el segundo miembro
í s e n a - i j +í cos(3_ ^ Y = -l tan0-
s e n a - i j + |^ c o s P -^ j + |ta n 0 -l| = O
2 ' * *
Como s e n a - i j ; í cosp_ ^ y |ta n 0 -l|
son cantidades no negativas, entonces la suma
de estas cantidades es siempre no negativa. En el
problema como la suma de estas cantidades es
cero, entonces cada cantidad deberá ser cero,
entonces
=$• cosa = -
V6

• |ta n 9 -l| = 0
=> tan0 = l
2
E = V3
Teniendo en cuenta este problem a podem os
com prender las conclusiones a partir de la
siguiente suma
V 2sena-1 + .|c o sP -l|+ (co t6 -/3 ) =0... (1)
debido a que V 2sena-1 >0
| cosp—
11> 0
(cot0-V 3)2> 0
Entonces, para que dicha suma (1) sea cero se
debe cumplir
2sencc-l = 0 => sena = -
2
co sP -l = 0 =* cos(3 = l
%
cot0-V 3 = O => cot0 = /3
Problem
a4
Siendo 0 un ángulo agudo halle todos los valores
d e E= tan9 + cot0
Resolución
Como cot 0 =
1
E = tan0 +
tan0
1
.reemplazando enEtenem os
tan20 +1
=> E = -
tan0
tan20 -E tan 0 + l=O
tan0
Por ecuación cuadrática
A>0 => (-E)2-4(1)(1)>0
=» E2- 4 >0
=> (E +2)CE-2)>0
Graficando el intervalo
(+ ) (-) <+)
-2 2
Figura 339
+x
Como tan0 >0 => E>0
E>2
Siendo 0 un ángulo agudo se cumple
tan0+cot0>2
Además, si tan0 +cot0 = 2 => tan9 = i
Adicionalmente, de lo anterior se cumplen los
siguientes teoremas
0 tan0 +cot0>2; sitan8>0
«) tan8 +cot0<-2 ; si tan0 < 0
Siendo a , b e R+
í) atan0 +bcot0>2Váb ; si tan0>O
ií) atan0 +bcote<-2V ab ; si tan6<0
159

Problemas
De la figura adjunta, halle el mínimo valor de
(AB+DE). Dato: AC=CE=3
Resolución
En la figura 3.40(b) se ha considerado que
m<CBA = 6.
Figura 3.40
Entonces (AB+DE) = 3cot0 + 3tan9
(AB+DE) = 3(cot9 + tan0)
es > 2
Para que (AB+DE) sea mínimo (cot 0+tan 0) deberá
tomar su mínimo valor, es decir cot 0 + tan 0 = 2.
(AB + DE)min=3(2) = 6
Problema6
De la figura mostrada, determine el mínimo valor
de.AC, si BH=2. *
B
Resolución
B
En la figura 3.36(b), por resolución de triángulos,
tenemos AH = 2tan 0 ; HC = cot0
=> AC = 2tan0 +cot0
Como tan0 es positivo, entonces por teorema
tenemos 2tan0 + ------> 272 x 1
tan0
=> 2tan9 + cót0> 2¡2
=* AC > 2 ^
ACm
in = 2>/2
Problem
a?
Siendo 0 un ángulo agudo, halle los valores
de A y B, si
A = sen20 -sen 0 ; B = J2-3cos0|+ 5
Resolución .
i) En A, completamos cuadrados
A = sen20 -2 sen 0 x í l l + i
L2 J 4
Como 0 es agudo, tenemos
O <sen0<l =» - -< s e n 0 -- ^ < ^
2 2 2
Por el teorema (página 152) tenemos
=* O <ísen 0 -i-] <1

Sumando —
4
< senG -
- 4 <0
1
< A <0
A = ;0
4
ii) Como 0 es agudo, tenemos
O ccosG cl =>. -3 < -3 co sG < 0
= * - 1 < 2 - 3 c o s 0 < 2
Por el teorem a (página 152)
=» 0 < |2 -3 c o s 9 | < 2
=> 5< |2 -3 co s0 1 + 5 < 7
=> 5 /3-secó)2
Calcule P = sec20 csc0 -co t2a
Resolución
Se define fx> 0 ; V x >0
Entonces de la condición del problema, tenemos
r/5 -c o ta > 0 y cota-% /5>0
=> yf5> cot a y cota > Í5
De lo anterior se deduce que co ta = V5 es el
único valor que satisface am bas desigualdades.
%
Reemplazando co ta = V5 en la condición del
problema tenemos
De lo analizado en el problema (3) de este capítulo
tenemos que
3 seri0 -l = O y >/3-séc<t> = 0
=* sen0 = i y sec0 = >/3
á
csc0 = 3
Finalm ente, reem plazando en P. los valores
cot a = V5 , csc0 = 3 y secó = Í3 , tenemos
p = (V3)2(3 )-(7 5 )2= 9 -5 =4
P = 4
Problema 9
Analice la verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones, siendo 0 la medida de un ángulo
agudo.
i) |l-s e n 0 | = 1 - sen©
ii) | tan0 - 20021=2002-tan 0
iii) >/(O.5-sec0)2 = sec0-O,5
iv) Si D = tan0-cot0 => De R
Resolución
Como 0 es la medida de un ángulo agudo, se
cumple
O < sen0<l ; tan0>O y sec0 > l
Entonces
i) O > -se n 0 > -l
l> l- s e n 0 > O =» ¡l-s e n 0 | = l-se n 0
es (+)
Se concluye que la proposición i es verdadera
ii) Como tan0>O sum ando-2002, tenemos
ta n 0 -2002 >-2002
o----------
tanG-2002
0 ~ +00
VV5-V5 + Vv5->/5 = (3 sen 9 - 1)2+ (V§ -secó )
0 = (3 sen 9 -l)2+(V3 -secó)2
- X -2002
Figura 3.42

Lumbreras Editores ‘ Trigonometría
El gráfico ilustra los valores negativos,
cero y positivos que tom a (tan 0 - 2002),
entonces
ítane-2002; si tan9-2002>0
|tan0-20021
=
[2002-tanG; si tan0-2OO2<O
Por lo tanto la proposición ii resulta ser
falsa.
iii) POr teorema, se cumple
->/(0,5-sec9)2 = |O ,5-sec0|
Como sec0 > l
=> -s e c 0 < -l
=> O,5-sec0<-O,5
=> |O ,5-sec0| = -(O ,5-sec0) = sec0-O,5
es (-)
V(O,5-sec0)2 =sec0-O ,5
Sé concluye que la proposición iii es
verdadera.
iv) Del dato
D= tan0-cot0
D= tan0---- —
tan0
Ordenando
tan20 - D•tan0 -1 = 0
Luego
(-Dil=:4(lX-l)>0
D2+ 4> 0
Esto se cumple V De R
Se concluye que la proposición iv es
verdadera.
Problema 10
Siendo 0 un ángulo agudo, que verifica
l+sec0 4
halle el valor el máximo valor de
y = y¡cot20 -4 co t0 +4 + 2cot0
Resolución
La desigualdad se cum ple cuando (ta n 0 -1 )
y (l + sec0) tengan el m ism o signo o si
(tan 0-1 ) = 0 com o sec0 > l =M + sec0 >2,
entonces el signo de (l + sec0 ) es positivo,
por consiguiente se cumplirá
tan0-l> O => tan0> l
Como la expresión y está en términos de co t0 ,
tenemos
tan0> l obteniendo —— <1
tan0
—-— <1 => cote< l
tan 6
Pero cot0 es positivo (por ser 0 un ángulo agudo)
=> O < cot0< l.....................(1)
Reduciendo y, tenemos
y = -Jcol20 - 2(cot 0)(2)+(2)2 +2cot0
y = >/(cot0-2)2 + 2cot 0
y = |c o t0 -2 | + 2cot0...........(2)
De (1) tenemos
-2 < c o t0 -2 < -l
=> | c o t0 -2 | = 2-cotO ...........(3)
es (-)
(3) en (2) y= 2-cot0+ 2cot0
y=2+cot0
D e^l) 2<2 + cot0<3
2<y S3
*• ^
162

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
CAPÍTULO III
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Sistema formado por dos rectas numéricas
que se cortan perpendicularmente en su origen
(una' horizontal y otra vertical, adem ás am bas
rectas tienen la misma unidad de distancia).
A la recta horizontal se le denomina eje de
abscisas (X), mientras que a la recta vertical se le
denomina eje de las ordenadas (50- El punto de
intersección de dichos ejes (O) se denom ina
origen de coordenadas, y el plano formado por
los ejes se llama plano de coordenadas o plano
cartesiano, (véase en la figura 3.43).
Los ejes X e Y dividen el plano cartesiano en
cuatro partes llamados cuadrantes.
Segundo Cuadrante
01C)
x<0;y>0
Y
-3
Primer Cuadrante
' 2 0C)
^ x>0;y>0
. ; ( 1 1
-3 -2 -1
]
O
ü 1 2 3 A-
Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante
(III C) “ 2 " (IVC)
x<0;y<0 x>0;y<0
-3 -
Figura 3.43
Podemos identificar en el plano cartesiano
(figura 3.44) un punto P con el par ordenado (a;b),
donde a es la abscisa y b es la ordenada del
punto P (los valores de a y b se ubican trazando
las perpendiculares desde P a los ejes X e Y
respectivamente). Análogamente c es la abscisa
y d es la ordenada del punto Q.
De esta m anera, a cada punto del plano
cartesiano le corresponde un par de números (x;y)
y viceversa, a cada par de núm eros (x;y) le
corresponde en el plano de coordenadas un
punto y solo uno, tal que su abscisa es igual a x y
su ordenada es igual a y.
Se llamaparordenado al conjunto de dos números
en el cual se indica qué número es primero y qué
número es segundo. Así en el par ordenado (x;y),
el primer elemento es x y el segundo esy.
Así pues, el sistem a rectangular de
co o rd en ad as en el plano estab lece la
correspondencia biunívoca entre el conjunto de
todos los puntos del plano y el conjunto de pares
de números, correspondencia que al resolver los
problem as geom étricos perm ite em plear los
procedimientos algebraicos.
Y
Figura 3.44
Del gráfico
• La abscisa de P es a y
la ordenada de P es b.
* La abscisa de Q es c y
la ordenada de Q es d.
Una aplicación de los segmentos dirigidos se da
en la ubicación de un punto en el plano de
coordenadas.
163

Así por ejemplo, en la figura 3.45(a) se han
representado los puntos P(2; -3), Q(-VTÓ;3),
M(3;l) y R(0;-2) y los segmentos dirigidos que se
relacionan directam ente con las abscisas y
ordenadas de dichos puntos; así en el eje Y el
segmento dirigido que va de O a R ÍOR = -2) es
igual a la ordenada de R.
• La abscisa de Mes 3 y la ordenada de Mes 1.
• La abscisa de P es 2 y la ordenada de P es -3.
• Laabscisade Q es —J0 yla ordenadade Q es 3.
• La abscisa de R es 0 y la ordenada de R es -2.
Debe entender usted que hay pares ordenados
que representan a puntos que se encuentran
sobre los ejes; la figura 3.45(b) ilustra al respecto.
Del gráfico
• La abscisa de A es 1y su respectiva ordenada
es 0.
• La abscisa de B es 0y su respectiva ordenada
es -2. • *
• La abscisa de C es -3 y su respectiva
ordenada es 0;
• La abscisa de Des 0y su respectiva ordenada,
es 4.
•SV !Ur#f*
■
>
.
Las distancias de un punto Q(a;6) a los ejesXe Y
son respectivamente |b | y |a |.
Ejemplo
En la figura 3.45(a) las distancias de Q a los ejes A
e Y son respectivamente 13 1= 3 y j- vTÓ ¡= VTÓ.
Análogamente las distancias de P y R a los ejes X
e Y son respectivamente
Para P: |-3 |= 3 y |2 |= 2
Para R :|-2 j= 2 y |0 |= 0
El teorema último debe dejar en claro que
las distancias de un punto a los ejes coordenados
no son necesariamente iguales a la abscisa y
ordenada de dichos puntos, sino a sus valores
absolutos.
Los sistem as bidim ensionales (dos
dimensiones) son utilizados en nuestros días con
bastante frecuencia de m uchas formas.
Normalmente se utilizan para com parar do.s
cantidades proporcionales, de las cuales una de
ellas se cuantifica (asignar una unidad arbitraria
de medida cm, m, g, atm, etc.) sobre el eje X (eje
de abscisas o eje horizontal)y laotra cantidad sobre
el eje Y (eje de ordenadas o eje vertical). La
siguiente lectura ilustra uno de estos casos, de
dependenciaentrela cantidaddemasaósea (calcio
y minerales existentesen loshuesos)quetiene una
persona y la edad de la misma, la cualdisminuye
a partirde los30 añosde edadpara ambos sexos,
observándose que la disminuciónde masa ósea
es más acentuada en las nmqetes a partir de la
menopausia y mientras que para tas hombres es
menos acentuada (no disminuyetan rápido).
164

CAPITULO III Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
A P LIC A C IO N D E L SISTEM A DE C O O R D E N A D A S E N M ED IC IN A
Existen dos tipos de OP (pérdida de masa ósea en los huesoi)
a) Post-menopáusica (tipo I) o de renovación alta
b) Senil (tipo II) o de renovación baja
Una característica clínica de las diferentes formas de OP es el pico de masa ósea.
PICO DE MASA ÓSEA
Durante la niñez, adolescencia y adultez tem prana, predom ina la formación sobre la
resorción, hasta que llega a alcanzar el pico de masa ósea a la edad de 25 a 30 años. Esta
edad va a depender de las zonas óseas y de la genética de la persona.
A partir de esta edad ocurre un equilibrio entre resorción y formación que dura 5 a 10 años.
A partir de esta edad, ocurre un proceso constante de pérdida de masa ósea (calcio y
matriz). La pérdida de masa ósea es de aproximadam ente 0,5 a 1,0% anualmente, luego
de haberse alcanzado el pico máximo de masa ósea en la persona joven.
Factores para el pico de masa ósea
El conseguir un pico elevado de masa ósea es fundam ental para evitar el OP en etapas
tardías de la vida. Entre las causas más importantes están la genética (la raza negra
alcor za un pico de masa ósea más elevada que las razas caucásicas o asiáticas), deficiencias
gonadales, inadecuada ingesta de calcio y vitam ina D, estilo de vida sedentario, algunas
enfermedades crónicas y'hábitos nocivos (consumo de alcohol y cigarrillo).
El sistema de coordenadas es bastante útil. Así. observamos como permite graficar la tendencia en la pérdida de
masa ósea en los huesos considerando la edad y el sexo.
165

Lumbreras Editores
Distancia entre dos Puntos en el Plano
Cartesiano
Conociendo las coordenadas de dos puntos
cualesquiera P(jr,;y1) y Q (y2;y2) del plano
cartesiano, la distancia d entre ellos se determina
de la siguiente forma:
Trigonometría
Ejemplo
Calcule la distancia entre los puntos P(-2;3) y
Q(5;4).
Resolución *
Sea d la distancia entre los puntos P yQ, aplicando
la anterior fórmula.
■
-------- •
s
d = ^ (y ,-x 2)2+ (y1- y 2f j
A continuación demostremos esta forma de
calcular distancias entre dos puntos en el plano
bidimensional.
Demostración
Conociendo que los puntos P y Q se ubican según
la figura 3.46, luego trazamos las perpendiculares
PB y QC, cuyas prolongaciones se cortan en un
punto K.
En el triángulo rectángulo PKQ aplicam os el
teorema de Pitágoras
d2=(PK)2+(KQ)2
Aplicando distancia entre dos puntos de la recta,
se tiene
P K = |x ,-y 2| y K Q =|y,-y2|
Entonces
d2= |y,-y2!2+ |yi-y2|2
dadoque |a |2= a2 ; V aeR
d2= (y ,-y 2)2+ (y,-y2)2
d = y j ( x , - x 2)2+ (y ,-y 2)2
d = i/G-2 - 5)2+ (3 - 4)2
. d = V50=5V2
B O b s e rv a c ió n *
Si uno de los puntos sea P o Q del gráfico anterior
se encuentraubicado en el origende coordenadas,
entonces a la distancia se llama radio vector.
Radio Vector(r)
Es la distancia del origen de coordenadas a
un punto cualquiera del plano cartesiano.
El radio vector r del punto P (a;b) se calcula
por la fórmula
(r>0)
Ejemplo
En la figura 3.47, halle el radio vector de ios puntos
P Q .R yS .
166

CAPÍTULO III Razones trigonométricas de un ángujo en posición normal
Resolución
Aplicando r = /a2+ h2 en la figura 3.47, tenemos
• r, = V32+ 22
r,=V Í3
• r2 = V (-2 )2+ 02
r2 =V 4= 2
• r3 = V (-3 )2+ (->/7)2
r3 = '/Í6 = 4
•. r4 =V32+ (-4)2
r4 = V25 = 5
División de un Segmento por un Punto en
una Razón Dada
Sean los puntos M(x,; y,) y Q(x2; y2) los
extremos de un segmento MQ y las coordenadas
(x;y) de un punto P que divide a este segmento
„ . , . MP
^1Q en la razón r= — .
Luego, las coordenadas de P(x;y) se
calcularán utilizando el siguiente teorema
[ x = x' +rx* y :y.+ ry2
l 1+r 1+ r
Demostración
Aplicando el teorema de Thales en la figura 3.48
se tiene
x -x , MP x -x ,
------ - = — => ------ - = r
x2- x PQ x, - x
Despejando x tenemos
x _ x, + rx2
1 +r
De m anera semejante podemos comprobar que
v = yi±iZ2
i + r
Si r<0, las fórmulas expuestcis anteriormente
pueden servir ¡jara encontrar el punto que divide
exteriormente al segmento MQen una razóndada.
Si r=l, entonces P es punto medio de MQ ,
entonces MP=PQ.
Por lo tanto, las coordenadas de P serán
x =
_x,+ x2 . „_yi+ y2
; y=;
Ejemplo 1
Halle las coordenadas del punto m edio del
segmento cuyos extremos son M(-8;2) y Q(2;4).
Resolución
Sea P(x; y) el punto medio de MQ.
Entonces
Por lo tanto P (-3;3)
167

Ejemplo 2
En el triángulo de vértices A(x,; y,); B(x2; y2) y
C(x3; y3) dem uestre que las coordenadas del
baricentro son
* = ^(*i+*2+*3) ; y = |(y i+ y 2+y3)
Área de una Región Triangular
El doble del área S de una región triangular
ABC con vértices A(x,; y¡*>, B(x2; y2), C(x3;y.j) sé
calcula multiplicando la abscisa de cada vértice
por la diferencia de la ordenada siguiente con la
que le antecede. (Siguiendo el sentido antihorario).
Resolución
En la figura, G es el baricentro del triángulo ABC.
Por geom etría elem ental se .sa b e que las
m edianas de un triángulo se cortan a 2/3 del
vértice y a 1/3 de la base.
AG
Entonces r = 7777 = 2
GM
Aplicando las fórmulas de la división de un
segmento en una razón dada (r = 2), tenemos
i 2S=Xi(y2- y 3)+x2(y3- y 1
)+x3(y,-y2) j
Demostración
El área de la región triangular ABC representado
en la figura puede ser calculado así
S - Sadec + Sbcef ^ abfd.................( 0
c _(y3+y|)U3-*,) r ::.
^ADEC--------------------- 2 ...............
........m
c _(yi +y2)(jf2-Xi) , ,
3abfd- ' 2 “ —
Sustituyendo (ti), (iti) y (io) en (/) obtenemos la
fórmula requerida.
Pbr lo tanto
x _ x x+x2+x3
3
En forma análoga
v= h ± y z ± h
3
El área S de una región poligonal con n vértices
tal que P,(xt;y,), P2(x2;y2)...... Pn(xn;y„) es .
S=i[(x, -x2)(y, +y2)+(x2-x3)(y2+y3)+...+(x0-x,)(y„+y,)]
168

Ejemplo
Calcule el valor del área de la región triangular
cuyos vértices son A(l;2), B (-4;l) y C(-3;-4).
Resolución
En la figura 3.51 (a), S representa el área de la
región triangular ABC.
Entonces, iniciando del punto A
2 S = l(l-(-4 ))+ (-4 )(-4 -2 )+ (-3 )(2 -l)
2S =l{5)+ (-4)(-6)+ (-3)(l)
2S=26
Finalmente S= 13 u2
Otra forma de obtener el área S es la siguiente: .
V
' V
-3
-4
-15
1
16
-b
11
Se coloca en columnas las coordenadas de los
vértices del triángulo (en sentido antihorario)
repitiendo el vértice del triángulo por el cual se
ha comenzado, lyego se multiplica en diagonales
colocando los resultados a la derecha e izquierda.
Finalmente, el área S será la semidiferencia de
las sumas de los productos obtenidos a la derecha
con la suma de los productos obténidos a la
izquierda.
De acuerdo al método enunciado se cumple
S = |[ ll- (- 1 5 ) ]
.-. S = 13u2
Con un procedimiento similaral anteriorpodemos
obtener el área de una reglón poligonal, para ello
preste atención a como calculamos el área de una
región pentagonal ABCDEcuyos vértices son ($;6);
■(—
3;4); (—
2;—
3);.(—
1 7 ) y (5;-7).
Según las co o rd en ad as de los vértices se
representa el pentágono ABCDE
Figura 3.S1
Entonces, iniciando del punto A y ubicando las
coordenadas de los vértices del triángulo (en
sentido antihorario) en el arreglo
-18
5X 6
-3
x 4 20
-8
~
2
XCZ 9
3
~lx7
14
-35 5 -7 7
-35
x
5 6 30
-93 80
De donde
80-(-93)
2
S = 8 6 ,5 u
169

Ángulo Trigonométrico en Posición Normal (estándar o regular)
Es el ángulo trigonométrico generado en un plano cartesiano con vértice en el origen de coordenadas
y cuyo lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. El lado terminal puede ubicarse en
cualquier cuadrante o semieje de! plano cartesiano.
En la figura 3.52(a) se tiene un ángulo trigonométrico a .
Entonces en la figura 3.52(b) se tiene el mismo ángulo a pero está en posición pormal.
Clasificación
Los ángulos en posición norma! pueden clasificarse de acuerdo con la posición de sus lados
terminales £o lados finales) de la siguiente m anera
a) Angulos que pertenecen a algún cuadrante
Un ángulo pertenece al 1C, IIC, IllC o IVCsi solo si dichos ángulos se encuentran en posición normal
y su lado final se ubica en el IC, IIC, 1I1Co IVC respectivamente.
Ejemplo 1
Figura 3.53
En la figura 3.53 los ángulos 480°; -135° y 300° se encuentran en posición normal.
Por lo tanto, se cumple 480°e HC, -135°eIIIC y 300° e IVC.

Ejemplo 2
Determine el cuadrante al que pertenecen ios siguientes ángulos
SlT >
a =-30° ; p = 100° ; 0 = 500° ; =
Resolución
Luego que el lector dibuje los ángulos en posición normal, debe comprobar que
ccelVC ; PelIC ; OelIC ; ifrellIC
CAPÍTULO III_______________ Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
b) Angulos Cuadrantales
Los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con algún eje del plano cartesiano, son
denominados ángulos cuadrantales.
-90°
(0
-270°
Y Y
( ■
Y
-^-360°
J * - V
0 7 x
J *
1
O
O
O
o
(3) (h) (Ü
Figura 3.54
• Un ángulo cuadranta! no pertenece a ningún cuadrante.
• La medida de un ángulo cuadrantal es de la forma n(90°) o I ™ ]; donde n s Z
171

DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS _______ . ■
Sea P (x ;y) * 0(0; 0) y 0 es un ángulo en posición normal.
Si P es un punto perteneciente al lado final del ángulo 0, entonces las razones trigonométricas de
Lumbrera» Editores Trigonometría
0 se definen de la siguiente manera: *
V
• sen0 = —
r
• COS0 = —
r
• tan 0 =
X
• COt0 = —
y
• sec0 = —
X
r
• csc0 =
=—
y
"
Donde r es el radio vector de P, entonces r = ]x2+y2
Ejemplo 1
En la figura 3.55 calcule los valores de las razones
trigonométricas de a .
Figura 3.55
Resolución
Cálculo del radio vector de P
r = V (-4)2 +C-3)2 =5
Luego, aplicando definición tenemos
-3 5 5
• sen a = — => esc a = — = —
5 -3 3
-4 5 5
-• cosa = — => seca = — = —
5 -4 4
-3 _ 3 4
tana = — => cota = -
-4 ” 4 3
Ejemplo 2
Calcule las razones trigonométricas de 150° y
-45°.
Resolución
Primero ubicamos 150° en posición normal como
observamos en la figura 3.56(a); sobre el lado final
cogemos un punto P tal que su radio vector sea
r=2. Entonces las coordenadas de P serán
-7 3 y 1
, luego por definición tenemos
senl50°= - => cscl50°=2
2
cosl50°=—— => secl50°=
2 3
_ lo
tan 150°= —
— ■=> co tí50°= -73
3 . ■

Análogamente para -45°, notamos que el radio
vector de Q es ^2 (figura 3.56(b)), luego tenemos
(b)
Figura 3.56
• tan90°= i (No definido)
=> cot90°= —= 0
1
Figura 3.57
-i 15
• sen(-450) = ~7= = —— =* csc(-45°) = -V2
v2 2
1 /o
• cos(-45°) = = — => sec(-45°) = >/2
• tan(-45°) = y = -1 =» cot(-45°) = -1
Ejemplo 3
Calcule lar razones trigonométricas de 90° y 180°.
Resolución
x De la figura 3.57(a), asumiendo un punto R(0;1)
en el lado final de 90°, tenemos
%
• sen90°= | = 1 => csc90°=l
• cos90o=y=0 => sec9 0 °= i (No definido)
De la figura 3.57(b), asumiendo un punto S(-1;0)
en el lado final de 180°, tenemos
• sen l8 0 °= - = 0 =» cscl8 0 °= -
1 0
(No definido)
• c o sl8 0 °= y = - l => se c l8 0 °= y = - l
• tanl80°= — = 0 => cotl80°= —
-1 0
(No definido)
Los valores de las razones trigonométricas de
otros ángulos cuadrantaies, se obtienen mediante
procedimientos similares a losejemplos ahteriores.
En el cuadro adjunto se tiene valores de las
razones trigonom étricas de los ángulos
cuadrantaies de mayor aplicación.
sen 9 COS0 tan0 coto sec0 CSC0
0° 0 1 0 nd 1 nd
90° 1 0 nd 0 nd i
180° 0 - l 0 nd - i nd
270° -1 0 nd 0 nd -1
360° 0 1 0 nd i nd *
Figura 3.58
Donde nd: no definido
173

Signos de las Razones Trigonométricas en los Cuadrantes
Los signos de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal 6 que no es cuadrantal,
se indican en el siguiente cuadro:
sen0 cos0 . tanB cot0 sec© CSC©
0eIC + + +~ + + +
0EIIC + - - - — - +
06IIIC - ■ - + + -
0eIVC - + - - + -
Figura 3.59
En efecto, de la definición de las razones trigonométricas se puede verificar los signos del cuadro
anterior, considerando las coordenadas del punto P(x,-y), perteneciente al lado final de 0. Tener en
cuenta que el radio vector r del punto P es positivo por ser una distancia.
Ejemplo 1
a) P e lC o (0 e iC ) => x > 0 ; y > 0 , entonces
se com prueba que todas las razones
trigonométricas de 0 son de signo positivo.
b) S iP elIC o(0eIIC )= * x < 0 ; y > 0 ,
entonces se com prueba que sen0 = - y
r
csc0 = - son las ú n icas razones
y
trigonométricas positivas, las restantes son de
signo negativo.
c) Si PelIIC o (0eIHC)=$ x < 0 ; y < 0 ,
y
entonces se comprueba que tan9 = — y
x
x
cot0 = —; son las ú n icas razones
y
trigonométricas positivas, las restantes son de
signo negativo.
174
d) Si PelVC o (0eIVC) =* x>GÍ ; y < 0 ,
X
entonces se com prueba que cos0 = y y
sec 0 = - son las únicas razones trigonométricas
x
positivas, las restantes son de signo negativo.
Ejemplo 2
Analice la verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones:
a) Si sen a es negativo, entonces a e IIIC o IVC.
b) Si 0e IIIC, entonces el producto tan0sec0 es
de signo negativo
Resolución
a) F also, porque si a = 270°, el sen a es
negativo (-1), pero 270° por ser cuadrantal
no pertenece a cuadrante alguno.
b) V erdadero, porque si e e IIIC, entonces
tan0 es positivo y sec0 es negativo, por lo
tanto tan0sec0<O .

CAPITULO 1
1
Ejemplo 3
Determine el signo de las razones trigonométricas
dadas.
a) sen 300°
b) cot(-140°)
c) eos 135°
Resolución
a) Como 300°e IVC, entonces sen300° es de
signo negativo.
b) Como -140°e 1IIC, entonces cot(-140°) es
de signo positivo.
c) Como 135°e IIC, entonces eos 135° es de
signo negativo.
Ejemplo 4
Halle el signo de P si
Resolución
Para identificar el signo de cad a razón
trigonométrica, es necesario conocer el cuadrante
del ánguio, así como se muestra en la figura 3.60
Figura 3.60
Además eos ir = -1
Reemplazando signos en P tenemos
P =(-)(+) + W H
P = (-) + (-)
La sum a de dos números negativos dará como
resultado un número negativo, entonces P es de
signo negativo.
Ángulos Coterminales
En el capítulo I, se definió que aquellos
ángulos trigonométricos que tienen el mismo lado
inicial, lado terminal y vértice, respectivamente,
se denominan ángulos coterminales. Ahora bien,
si se presentan estos ángulos en posición normal
y se aplican las definiciones de las razones
trigonom étricas, podem os concluir que las
razones trigonométricas de ángulos coterminales
son respectivamente iguales.

De la figura 3.61, a y (5 son ángulos
coterminales, donde por definición se cumple
3 3
sena = - y senp = -
D j
4 4
— cosa = - - y COSP= - -
«
3 D
3 3
tana = ~ - y tanp = - -
Siendo a y P ángulos coterminales, se cumple
í) a=360°n+P ;n eZ
ü) sena=senp a cosa = cosp
=* R-T.(a) = R-T.(P) ; n eZ
, iií) R.T. (360°n+ P ) = R.T.(P); n e Z , ;
Enesta últimarelación se observa que el número
entero de vueltas se elimina. ^ * j ■
Ejemplos
a) sen750°= senCjíxaSCÍ^+30°) = sen30° = i
b) cosí Í250=cosC3*360ff+45°)=cos45° = ^
61n jt ix
tan-— = t a n - = V3
3 3
d) csc(-1763°) = csc(-5x360° + 37°)
csc(-1763°) = csc3 7 °= |
De los ejemplos anteriores, los ángulos 750°,
1125°, ÍÜÍ y -1763° son ángulos coterminales
3
it
con 30°, 45° —y 37° respectivamente.
v . 6 bt , ,
c) tan— = tan
Hokserváióhb
Nótese que para obtener todos los ángulos ‘
coterminales de un determinado ángulo a éste se
lesuma un númeroenterodevueltas (2nK;Ke Z)
Ejemplos
a) Los ángulos coterminales de 0 serán 0 + 2itK
ó 2nK, es decir {-471; -27t;0; 2n;4ji ;...}
b) Los ángulos co term inales de ^ serán
5 + 2jiK o (4K + 1)-, es decir
2 2
| . _ 3rt. n . 5 n , 9 n . 1
1 Y Y ' Y ' Y ’ "'I
c) Los ángulos co term inales de n serán
n+2nK o (2K+ l)n, es decir
. { ...;-3 n ;-n ;n ;3 jt;...}
d) Los ángulos coterm inales de — serán
— + 2jiK o (4 K + 3 )-, es decir
2 2
•.-5 tt. 1
2 2 ’ 2 ’ 2
Entonces
• Si 8 elC se cumple 2nK<8<(4K + l)^
• Si 8 eIIC secum ple{4K +l)5<8<(2K +.l)jt
• Si GeHIC secum ple(2K +l)*<8<(4K +3)^
• Si 8 elVC se cumple <flC+®^<8<2n+2itK *
176

H¡S
I
Si 0 es un ángulo positivo y menor a una vuelta
(0 < 0 < 2n) , entonces
• Si 9 e 1C, se cumple , :
O<0< — ó O<0<9O°
• Si 06 IIC, se cumple
5 < 0 < J t ó 9 0 °< 0 < 180°
2 •
• Si 0 e I1IC, se cumple
7 t< 0 < — ó 18O°<0<27O°
2
• Si 06 IVC.se cumple
|? < 0 < 2 n ó 27O°<0<36O°
Ejemplo 1
Si 0elIC y 0e{2n ;4n ) halle el signp d el
s ( ° - í6
producto :.en0cos|^-jtan^-
Resolución
Como -06 IIC, se cumple
(4K + l) |< 0 < ( 2 K + l)jt ; K eZ
Hallando el signo del producto dado
sen 0cosí-Itanf = (+)(-)(-) = (+)
Ejemplo 2
3
Si 0 e IC, halle el signo de tan -
Resolución
C om oB elC se cumple
2Kjt<0<C4K + l)5 ; k e Z
Entonces, dividiendo por 2 se obtiene
K * < |< (4 K + 1 )|
• Para K = 0 => 0 < - < —
2 4
0
Observamos que - e 1C
„ „ , 0 5rt
• Para K = 1 => n < - < —
2 4
0
Observamos que - e IIIC
• Para K = 2 => 2ji< - < —
2 4
0
Observamos que - e IC
Si K = 0 = > —< 0 <jt ...n o verifica
2
571
K = l = > — < 0< 3n .. .verifica 06 (2ji ;47t)
Qir
K = 2 => — < 0 < 5n ... no verifica
2
De los datos se concluye que ^ < 0 < 3ji
%
5 j i 0 3 n 5 jt 0
=> — < - < — y — < -< ?:
.4 2 2 - 6 3
- e IIIC y - 6 IIC
2 ■ 3
Si asumimos que K=3 obtendríamos que ~ 6 IHC
Por lo viso anteriormente, para los valores enteros
0
d e K, p od em os concluir que el ángulo -
pertenece al primer o tercer cuadrante, esto es
0 0
—6 1C v IIIC, entonces la ta n - será siempre
positivo.
.-. ta n | = (+)

E jercicios
Determine el cuadrante al que pertenecen los
siguientes ángulos (en posición normal)
1. -153°
2 . 1000°
3. 281°
4. 17ir/6
5. -35n/9
6. -51rt/4
Determine el(los) cuadrante(s) al que pertenece a ,
tal que satisfacen las siguientes desigualdades
7. sencc<0 a co ta> 0
8. cosccsena< 0
9. tan acO a cosacO
10. tan2a .seca < 0
1 1 lco s« l>0
sena
12. seca-tan2a> 0
13. Vseñatana<0
14. tanaVsena-cota >0
15. tana = [sena]-sena
16. ecol“ <l a | seca | =-seca
17. cscalog^ cosa >0
En los siguientes gráficos, determine el valor de
*
18. A =cosa-V 5sena
19. B=senp.cosP
20. C = tan0 +sec0
R espuestas
1. I1IC 6. me 11. a e IC; IIC 16. ae IIC
2. IVC 7. aelIIC 12. ae IC;IVC* 17. ae IVC
3. IVC 8. a e IIC; IVC 13. a e IIC 18. A = 7/3
4. IIC 9. ae IIC 14. ae IC 19. B= -7/50
5. IC 10. ae IIC;IIIC 15. a e IIC ; IVC 20. C=-l/5

problemas Resueltos
Problema 1
Si P(-3;5) es un punto del lado final del ángulo 0
en posición normal, calcule A= sec9 + tan0
Resolución
El radio vector de P será r= ¡(-3)2+52 = V34
x = -3 ;y=5 ; r= V34
Entonces de la definición tenemos
. %/34 5
=> A = -----+ —
-3 -3
A = -
>/34+5
Problema 2 -
Si cos20 = - y 6 e II1C, calcule tan0+cot0
9
R esolución
1
Del dato cos0 = ± - . Corrió' 0e II1C, entonces
3
eos 9 es negativo, por lo tanto cos0 = - -
Sea P(x;y) un punto del lado final del ángulo 0,
que puede ser cualquiera de los infinitos ángulos
en posición normal, positivos o negativos cuyo
lado terminal pasa por el punto P (figura 3.62).
Las razones trigonométricas de estos ángulos
serán iguales (por ser ángulos coterminales).
cos0 = :
r 3
e* considerando jc= —
1 se obtiene r=3
Recuerde
y2 = r2 - x 2 =» y2 = 8 =» y = ±2>/2
Como 0e 1I1C, tomamos y = -2¡2
Pór definición
ta n 0 = Z = 1 ^ = 272
X - 1
=> C O t0 = ~^~F* = —~
2V2
>/2
4
Finalmente
tan0 + cot9 = 2>/2 + — ■
=—
4 4
.-. tan0 + cot0 = ^ ^
Problema 3
-3tt
Sabiendo que cosa =-0,96 ; < a < - 7
t
Calcule P= sena(2cota+ 4)
Resolución
Del dato cosa =
-96 -24 x
100 25 r
=> Tomando x= -24
tenemos r=25
obteniéndose y=7
a
C o m o -----•< a < -n =* a e 1IC
2
179

Se pide P= sen a (2cot a + 4)
De la figura 3.63 (por definición de R.T.)
Problem
a4
Del gráfico, halle sen 6 eos 0, sabiendo que las
coordenadas de A y B son (—
10; 12) y (6;4)
respectivamente. Además AB=4AM.
Resolución
De la figura AB=AM+MB
entonces 4AM=AM+MB =* 777 = -
MB o
Sea M(x,-y), por división de un segmento en una
razón dada (véase página 165) donde la razón es g .
Tenemos que
(*,;y,)=(-ro,12) y (*2;y2)=(6;4)
entonces M(-6;10)
Como M es un punto perteneciente al lado final
del ángulo 0 en posición normal, donde el radio
vector de M es r=V (-6)2 +102 =2n
/34
= * sen 0 c o s0 = í-i£ = Y -^ L l
sen 0 eos 0 = —
^
34
-15
34
ProUena5
Siendo ABC un triángulo equilátero, obtenga el
valor de la expresión k= tan u)- 2 tanfi
Resolución
Observamos que los ángulos p y (1
) se presentan
en posición normal, entonces busquem os las
coordenadas de B y A respectivamente.
Figura 3.65
Sea 2a la longitud del lado del AABC, luego de
la figura 3.65(b) B (-2a;y,) y A (-a;y2)
también y ,-y¡= aV3
Por definición de razón trigonométrica
tanP = —
7- adem ás tanco= —
- 2a -a
Reemplazando en k
k J h .) - d iL - ) = y iz y i= ^
( - a ) ( - 2a J a a
k = V3
180

CAPÍTULO lil Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal
Problema 6
Si el área de la región triangular ABC es 10 u2,
calcule H = 3tana-8tan0.
R esolución
De la figura 3.66, por definición tenemos
n „ m
tan a = — y tan0 = —
3 * -2
Luego reemplazando en H
H
-3
(sM3)'n
t4
m
"í,)
Si S es el área de la región triangular ABC,
entonces, empleando la fórmula de la página 168.
=> 2 S = 3 (m + l)+ (-2 )(-l-n )+ (-l)(n -m )
=> 2(10)=4m +n+5 =>4m+n=15 ... (2)
Reemplazando (2) en (1) tenemos H= 15
Problem
a7
De la figura 3.67(a) adjunta calcule
k = co sa[sec0 ta n a - 2 csc0 ]
Resolución
Como 0 y a se encuentran en posición normal,
lo único que falta es hallar las coordenadas de
cualquier punto de sus respectivos lados
terminales (diferentes al origen).
En la figura 3.67(b), se ha considerado que
OP=OM=OQ=5
Asimismo, los triángulos rectángulos sombreados
son congruentes, entonces
M= (-4 ;3 ) y Q = (-3 ;-4 )
Pór definición, de R.T. se obtiene
-3 . - 4 4
cosa = — a tana = — = -
5 -3 3
sec0 = — a csc0 = -
-4 3
Reemplazando en k tenemos
-3 (
k = A l i 9 A
- 4 '- 3 3
k = -
5 10
3 ~ 3
= 3
/. k = 3
181

Problema 8
Halle la m edida de dos ángulos coterminales
sabiendo que el m enor es a la sum a como 3
es a 26 y que la sum a es m ayor que 1400°
pero menor que 1600°.
Resolución
Sean a y 0 los ángulos coterminales, adem ás
a > 6 según del enunciado del problem a,
planteamos
- ® - = A ...(1)
a + 0 26
1400°< a + 0 <1600° ... (2)
De (1)
a = y 0 ...(3)
Reemplazando (3) en (2) tenemos
23
1400°< — 0+0 <1600°
3
=» 1400°< — 0<16OO°...(4]
3
Como a y 0 son ángulos coterminales, entonces
a - 0 =n(360°); n e Z
23
=* ^ 6 - 0 = n(36O°) =5 0=54°n ...(5)
u
1400°<— n(54°) < 1600°
3
=» 1400° <468°n<1600°
el único valor entero para n que hace posible la
desigualdad anterior es n=3.
Por lo tanto, en (5): 0 = 3(54°) = 162°
23 23
Como a = ^ 6 => a = — (162°) =1242°
3 3
La medida de los ángulos será 162° y 1242°
Problemas
Siendo A, B y C ángulos cuadrantales diferentes,
positivos y menores o iguales á 360°, además se
cumple
Vl-cosÁ-fcVcosA-1 = l+ senB ...(1)
VcscB+ 2 = (ta n C -l| ...(2)
Determine el valor de A+B+C.
Resolución
Recordando el teorema
[&>0 <
=
> a > 0
Luego analizamos en la condición (1)
l-co sA > 0 y co sA -l> 0
cosA A = 360°e{0;360°]
Reemplazando cosA= 1, en (1)
•Vl-l + Vl-1 = l + senB => senB = -1
=> B = 270° e{0; 360o]
Reemplazando cscB = -l en (2)
V -l+2 = |ta n C -l| => |ta n C -l| = l
|a | = b ; b > 0 => a= b ó a = -b
Luego
tanC- 1 = 1 ó tanC- 1 = - l
tanC = 2 ó tanC = 0
Como A, B y C son diferentes y cuadrantales
Luego
tanC = 0 => C = 180°
Finalmente
A + B +C = 360° + 270° +180°
A +B+C = 810°
182

Problema 10
Del gráfico mostrado, calcule E= tan a + tan¡3
Para p
Resolución
Es evidente que las razones trigonométricas para
los ángulos a y P no se pueden determinar por
la definición dada, porque éstas no se presentan
en posición normal. Sin embargo, haciendo un
traslado de los ángulos de tal m anera que el lado
inicial coinciaa con el eje positivo de abscisas,
así com o se muestra en las siguientes figuras
3.68(b) y 3.68(c).
Para a
Se nota que los puntos My N equidistan del origen
4
de coordenadas, entonces tana = -
Finalm ente los puntos P y Q son sim étricos
respecto al eje Y.
' „ - 8 8
tanp = — = -
-3 3
Reemplazando en la expresión E
e-H
, . E . S
15
Problema ti
En la figura 3.69(a) se muestra un nuevo sistema
T'K'; generado por traslación y rotación de ejes
Jel sistema convencional XY, donde el origen es
0'(12;5) y el ángulo de rotación 0 ; así las
coordenadas de P' en el nuevo sistema es (13; 13)
calcule k = 22c o ta + 7509 eosP.
Además tan0 = 2,4.
183

ram íferas taitores- Trigonom etría
Resolución
Antes de ver la resolución del problema, veamos
la relación de las coordenadas de un punto P,
cuando se tiene traslación y rotación de ejes.
Dadas las coordenadas del punto P en el sistem a’
X'Y' generado por traslación y rotación de eje al
punto 0 '(a;b) y ángulo 0 respectivam ente,
calculamos las coordenadas del punto P en el
sistema original XY.
De la figura 3.69(b) se obtiene
x = a + ar'cos0 -y'senB
y = b + x'senfi+y'cosÓ
Datos: 0'(12;5) y P'(13,13)
Además tan0 = 2,4 luego
12
Aplicamos la fórmula detallada en la figura
3.69(b), para el cálculo de las coordenadas del
punto P' con respecto al sistema XY, así
a) Jr = a + x'cos0 -y 's e n 0
b) y = b + x ’sen0 + y'cos9
=> jc= 5
y-5+
13( I M 5 ] s í - 22
Sea P(jc,y) las coordenadas de P'(13;13) en el
sistema X 'Y’;entonces en el s is te m a ^ P(5;22).
Cálculo de cot a
=> cota = —
22
Cálculo de cosp
Dibujando a p en posición normal
cosP = -
-22
V509
Sustituyendo valores en k, se tiene
k = -17

1. Dados A={jc/x-3<sec2 60°}
B={x/2x -7 > 3tan45°}
halle la suma de los valores enteros que se
obtiene al intersectar A y B.
5. Del gráfico m ostrado, d eterm in e la
variación de perím etro del rectángulo
MNPQ, si el área del triángulo MBN es 7 u2
y BN =7u; NC=2u.
A) 8 B) 9 C) 6
D) 11 E) 12
Para el ángulo 0 agudo se cumple
A= {x/x=(2-3cos 0 )2}
B= {x/x= 14sen 0 - 1 1}
Halle A nB
A) [0;3> B) [—
1;2) C) [0;2]
D) (0;2) E )(0 ;2)
Si a,0 y ó son ángulos agudos que cumplen
(2sen 0 - 1)8 +(75 - 3eos <
t>)6 =
^ ta n a -
halle E= V6csc0cotacsci¡)
10 + VlO—
tana
3 3 3
A) y B) y
c ) !ó
D )i
E) 2
4. Si cot a = - tan 0 + Vtan 0 -1
halle la extensión de
P=tan20 - 2^3 tan6 + 6
%
A){3;7-2V3] B)[3;6-2V3] Q [ 3 ; 7 - S ]
D )[3;7-2v/3] E) [3;7-3V3]
B
A) (4;+<») B) (6 ;+<*>) C) [8 ;+«>)
D) [4; +«>) E) (8 ;+~)
6 . Siendo 0 un ángulo agudo, calcule la suma
de todos los valores enteros de
y = 4sen30 + 12sen0(l-sen0)-2
A )-2 B) -1 C)0
D) 2 E)5
7. Si (AP)2+(PB) 2 es mínimo, calcule cot©..
' BC=1,AC=4
185

Lumbreras Editores T rigoriometría
8 . Halle el área máxima de la región sombreada
siendo el perímetro de dicha región 2p. AOB
y COD son sectores circulares.
A
Dé como respuesta la suma de los valores que
satisfacen la igualdad.
1 -3
A) -it B) - o —
it T
t
-1 -1
D) ~
.7
1 E ) 2Í
12. Halle la variación de M= ¡3sen 6 - 2 | +1
siendo 6 un ángulo agudo.
A)p2
C ) Y
d ) T e ) T
Reduzca
E= >/tan20 -6 tan 0 + 9 +tan0
si tan9 e (0;2)
A) 2 B) 3 C) 4
2 4
« 3
10. Si 6 es un ángulo agudo
calcule el valor de
M= | cos0 + ^cosJ 0 - 2 |co s0 |+ l|
A) 0 B) 1 C) 2
3 1 '
° ) '4
11. Resuelva
j: . n
nx + s e n - = ta n -
6 4
A) {2;3> B) [2;3] C) [0;3)
D) (0;3) E) [l;3)
13. Siendo 8 un ángulo agudo, halle la extensión
de K =|2-3csc0 |+ 5
A) [6 ;+ ») B) (6 ;+ ~) C) (5;+~)
D) (1;6) . E) (4 ;+co)
14. Resuelva pára óe(0;90°)
^4tan2$ -4 |ta n 0 |+ l = tan45°-sen30°
señalando los valores aproximados de ó .
. A) 37°, 16° B) 14°, 53° C) 14°, 30°
D) 37°, 14° E)53°, 16°
15. Un auto parte de una estación hacia el norte,
recorriendo 1 km, luego cambia a la dirección
E9S llegando a un lugar que se encuentra
en el rumbo N0E de la estación.
Finalm ente se dirige hacia el su»
deteniéndose justo al este de la éstación.
Halle en kilómetros la máxima distancia de
la estación al lugar donde se detuvo el auto.
A) 0,4 km B) 0,5 km C) 0,6 km
D) 0,2 km E)0 ,8 km

CAPÍTULO 1
1
16. Del gráfico, calcule el mínimo valor de
„ § . . _ ,
K = --------------, en términos de R.
sena cosa
Donde
§: área del trapecio ABCD
Ay B: puntos de tangencia
D) R E) R2
17. Del gráfico, calcule el mínimo valor del área
del sector circular AOB
Si T-g = 2tan0 + l
19. Del gráfico mostrada, calcule el máximo valor
que puede tomar tan 6 , si BM- 2MC=0
B
20. Desde los puntos en tierra P y Q se observa la
parte m ás alta de un edificio de altura h, con
ángulos de elevación 6 y 90o- 6. Desde la
. base del edificio se observa la línea pintada
PQ bajo un ángulo de 90°. Si la longitud de
la línea pintada es 60 m, calcule el máximo
valor en metros de h y el valor de e que hace
posible que h sea máximo.
A) 30V2 m ; 30° B) 30VS m ;45°
C) 60>/2 m ;45°
D) 30>/2 m ;45° E) 30^3 m ;30°
C) 6 u2
E) 10 u2
A) 2 u2 B) 4 u2
D) 8 u2
18. Del gráfico, calcule el máximo valor de tana
A) V2
D) 2V2
B)
V2
C)
V2
4
E) 4v/2
21. Del gráfico, determine el valor de cotx+coty
de tal m anera que la suma de AB y 3BC sea
de valor máximo. Además AC=3.
A)
4VI0+10
D) 1
4VÍ0+1 4VÍ0+3
B ) — 3— C ) - ^ —
E) 2
187

lumbreras Editores Trigonometría
22. Determine los valores de |cscx| si se verifica
que la siguiente igualdad:
a 2(l + tan2x) _ 4sen2x + a 2 -1
ton2x -1 tan2x - 1
presenta soluciones reales.
A) ( l; B)[1;4]-{V2]
C) [l;2]-{>/2}
D) ( l;2] —
{n
/2> E) [l; V2)
26. Siendo a, b, c, k constantes, x, y, z variables
que cumplen la relación
atanx+btany+ ctanz= k
entonces el mínimp valor de
tan2x+ton2y+tan2z es
a+ b + c
B) a2 +b2 +c2
k2
^ (a +b +c)2
23. Si se cumple que
m ¿ ||ta n x + l|- 3 |< n ; ta n x e(-2 ;4 )
halle el mínimo valor de n -m .
A)3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
2k2
D) (a2 +b2 +c2)2
k2
E) 2 (a2 +b2 +c2)
24. Halle el mínimo valor del área de la región
triangular AOB.
27. Si se cumple
1
cot x +cot y + cot z = -------------------------
tanx + tany + tanz
determine el equivalente de
E = ------------------- — -----
cot" x + cot" y + cot" z
siendo n un número impar.
A )c o fx B ) 1
C) cotn
y+cotn
z
D) tan2
xtan"ytann
z E )-l
A) a2+b2 B) a2+b2+ab C) -2ab
D )a2+b2+ l E) a2+b2+2
25. Siendo ay b cantidades positivas, tal que a> b
halle el mínimo valor de la expresión
a sec 0 -b ta n 0
Considere 0e
n . n
2 ’ 2 ,
A) a+ b B) .¿T+b C) Va2 + b2
D) -Ja - b E) v a ^ b 2
28. Siendo x„x2,x3, ...,xnángulos comprendidos
entre 0 y = ^ , cuya suma es constante
(x,+x2 +x3+... + xn = 0 )
halle el máximo valor de
cosx,cosx2cosx3 ... cosxn
0 0
A) neos2— B) n eo s— C) eos—
n n n
D) ncos0 E) co$n-
n
188

CAPITULO III Razones trigonométricas de un ángulo en posición norm al
29. Para los siguientes puntos P (-l;-2 /2 ) y
Q(6;2), pertenecientes al lado terminal de los
ángulos a y 0 en posición norm al
respectivamente, calcule
a) se c a ta n a b) sen6 cos0
32. Si cot20 - - = O y0 p erten ece al tercer
cuadrante, calcule el valor de
M= lOcos0 + >/2csc9 _
•
3 3 .'Si tan0 = - U y ^ ^ < 0
CSC0
calcule E = cos0-sen0
V61
A) 672 ; - A
O -672 ; A
8) 6 7 2 ; A
D) -6V2 ; - | E) 672 ;
3
30. Si cot0 calcule la diferencia del menor
y mayor valor que toma sen0 .
a)-A 7 3 J b) - A C - 1 Í 7 3 4
D )-^ V 3 4 e) - A ^ Í
3
31. Si tanx= - y x ellIC , luego el valor de
4
serur+cos* es
A )0 B) y
o f
° T
Di
B)
61
C) íW éí
0 Í 1 V6 I
34. Si cos0 = —
, adem ás | sen0 | jé se n 0
determine el valor de E = esc20 - sec2 0
A )Z “
8
D) 63
8
B)
-81 C )Z M
11
E) Z®
63
JÍ7
35. Halle E = VÍ7cos0+2csc0 + ^ - , d o n d e
|sen3 0| = 64cos30 y 0e 1VC,
B )-l
A )-2
D)1
C)0
E) 2
36. Del gráfico, ABCD es un rombo.
Calcule M= tan a + cota
A ) ^ V ñ
D) -^JV22
B ) f ^ T C ) - f
E) -lW Í!
A)
D)
-8^3
15
-28V3
-2 0 S -28V3
B) T ~ C) 15
c, -25V3
y -
189

37. De la figura adjunta, la distancia del punto P
al origen de coordenadas es 8.
Calcule T = cos0 + sec0
119
D) V5
38. Del gráfico, calcule cosa
-119
E) 8 v éf
A)
D)
-2
®f
39. Si Vtan0 sen0 <O, analice la verdad o
falsedad de las siguientes proposiciones, con
respectoa y=5cos0sen30cos6a
I. y es positivo
II. y es negativo
III. y esce ro si a = (2n + l)^; n e Z
A) VW
D) FVF
B) VFV C) W F
E) FFF
40. Siendo y un ángulo en posición estándar
cuyo lado term inal p ertenece al cuarto
! 2 1 4
cuadrante, además |sen y - - 1= -
Determine el valor de L = 4cot2y - 3V5 sec y
* ■
B) 36
A) 38
D) 45
C) 35
E) 52
41. Siendo el ángulo | x - —J,positivoymenorque
una vuelta, comprendido en el tercer cuadrante,
analice laverdad o falsedad de las proposiciones
-cos^íjcsc^2jr-^ |>0
I.
II. sen x
III. Ln sen ^* - -g-1<0
A) VW
D) FW
B) VFF C) FFV
E) VFV
42. Dado un ángulo en posición normal 0, tal que
cumple las condiciones:
| cos0 | - 2 cos0 = 1 ...........(I)
(II)
ta n 0 sen 0 > O
Determine el valor de W = sec 0 + 2Í2 esc 0
3V2
A) -1
D) -3
B) 0
C) 2
E) -3^2
43. Si 0£ IIC a < 0 a b > 0 donde
asen 0 ,+vVcsc20 = b co s0 + Vcsc0
entonces halle en térm inos de a y b la
expresión E= VabtanO + vabcotB
B) a2 - b
A) 2a + b
D )b - a
C) b - 2a
E) a+ b

44. Siendo a un ángulo positivo menor que una
vuelta diferente al segundo cuadrante;
ad em ás Ge {-360°;-180°}, satisfacen la
condición siguiente:
2 - 1senG | ->/- cos20 = - 2 cosa
sen(-0) +2 cosa
determine M= —¡=
-----------------
V3tana + cos0
2 -2 -4
A) 3
«y c
)y
-3
D) y E) 0
Si P es un punto del lado terminal del
ángulo cp en posición normal, donde
P (-9 ;40) y (pe (0°;180°), calcule
L = 4 ta n f-l+ 5 co tí
2 )
A) 4 B)5 C) 9
5 , 41
E) 20
46. Siendo cp y 0 dos ángulos en posición normal
positivos y menores que una vuelta, además
:< 6 <(p , para los cuales se cumple
senG -^coscp-senG > 0 , obtenga el signo
tanG + cotcp
d e -----—
— —
cosG-seccp
A) (+ ) B) (-)
C) No positivo
D) No negativQ E) + ó -
47. Si 0 es un ángulo en posición canónica que
cumple las siguientes condiciones:
sec0 |c o s0 |- l = O ..........(i)
|c sc 0 |+2 sen0 = O ..........(ii)
Halle el valor de
H = >/(sec0-csc0)2 +V(sec0 + csc0)2
A) V2 B) 3sÍ2 C) 2y¡2
D) 2 E) 4f2
48. Los puntos con co o rd en ad as A (-l;8 ),
B(-10;7) y C(8 ;-8), son vértices del triángulq
ABC siendo 0 un ángulo en posición
estándar cuyo lado term inal pasa por el
baricentro de dicho triángulo. Calcule
sec 0 esc 0
, 20
21
% 58
° ) - 2T
171
B) 29
49. Calcule la suma de los ángulos coterminales
con 100°, que estén en el intervalo de 198° a
1198°.
A) 1 460° B) 2160° C )4 260°
D )2 640° E )2 460°
50. Si a y 50° son ángulos coterminales tal que
(oc-10°)e [300°;400°]
calcule E = 2 sen (a-2 0 o) + V3tan(a + 10o)
A) 0 B)1 C) 3
D) 4 E) -2
51. ¿Cuál es el mayor ángulo negativo que es
coterminal con el menor cuadrantal positivo?
A )-270° B) -180° C )-60° .
D) -360° E) -450°
52. Siendo a y p coterminales y suplementarios
calcule el menor valor de a si a e [0;2n].
A) 90° B) 180° C) 270°
D) 142° E) 350°
191

53. Siendo a y 0 ángulos cuadrantales positivos
menores de una vuelta, además
s e n a + |c o s 6 |= 2
s e n (a - 0) + tan2
calcule E =
cos(60° +0)
A ) - | - B) -1 C)0
D) -2 E) -4
54. Del siguiente gráfico, determine el valor de
p _ 1-esc P 1sabiendo que HG=GF.
l + sec2p
55. Sean los puntos A(-3;4), B(4;3) y C(-4; -3),
calcule la tangente del ángulo en posición
norm al a cuyo lado final p ase por el
circuncentro y ortocentro del triángulo ABC.
1 1 4
A) 3 B) - § C) - 3
3 ' 4
D) - 4 E)
56. Del gráfico mostrado, los núm eros-9 y V82
representan la abscisa y el radio vector del
punto N respectivamente.
Calcule K= ---------------
2 senacosco
D) -45 E) -42
57. En el gráfico adjunto, APB es un sector
circular con centró en P. Además M es punto
m edio del arco AB. Calcule el valor de
D) 2+sÍ3 E)
58. Del gráfico, AB = BC=CD determ ine
tan ©.cota

59. Se tiene un paralelogramo ABCD, donde
A(-2;3), B(3;5) y C(-l;9). Calcule tan 6 si0
es un ángulo en posición normal donde el
vértice D es un punto del lado terminal.
« 4 « 4
E ) - f
60. Si AM=3MB, calcule tan a .
1 3
° ) - 3 E) 2
61. Del gráfico adjunto, halle el valor de E en
términos de a.
E = sec<¡>+ csc0
62. En el gráfico adjunta se tiene la gráfica de una
parábola cuyo vértice es (0;—
1), también se
tiene el ángulo 0 en posición normal.
Calcule el área de la región som breada
• si sen0 = — .
A) (l + 3V5) u2 B) (2 +S b 2
C) (3 - •>/5) u2
D )4 u 2 E) (3+V5)u2
y tan
(i
las
63. Siendo los valores de cot
abscisas de los puntos Ay Brespectivamente,
determ ine el valor de w =tan9-V ÍO cos0.
Del gráfico siguiente, Mes punto medio de AB.
A) 2a B) -a A, B) — +—
1 2 3
0 - 2
D) (l-a)V a2 + l
a
n-v 2Va2 + l
a
D ) , u f - E) 4
193

64. Del siguiente gráfico, determine el valor de
A = ^ 6 (cosa + escj3)
A)
D)
V3
2
1+ V3
« I
E)
V2 + V3
65. Calcule cot<¡> a partir del gráfico adjunto
(P es punto de tangencia).
D) 1 E) 2
6 6 . Si el punto M(-6;2) representa el origen de
un nuevo sistem a X 'Y ' g en erad o por
traslación, además el APMQ es equilátero
de área 4-/3.
Halle
i) Las coordenadas de P y Q respecto al
sistema XY.
ii) 2tan0 + /3
67. Siendo 0 ángulo en posición normal donde
R es un punto perteneciente a su lado
terminal (véase figura adjunta). Calcule tan0
sabiendo que RN= RM= MN.
P(—
5;—
1) '- V
x
M ;'
R*‘
’ N'>,
Q (-l;-4)
O
A) 15+4V3
4 S +sÍ2
B)
26 +3s/3
33
C)
D)
3
5~a S
E)
15+ 4^3
33
194

6 8 . Los Jados de los cuadrados están en
proporción com o 6a=15b=20c, adem ás
a = — . Halle 0.
69. Del gráfico, halle E = tan a + c o ta , si
4AB = 3BC , O es centro de la circunferencia
y M es punto medio de AC. TC=AMT.
D) 2 E) |
70. De la figura, halle tan 9.
G: baricentro del triángulo CVA
V: vértice de la parábola
C: punto de tangencia
72. Si 6 es un ángulo en posición normal y no
pertenece al IVC, halle
K = bcos9+acot0
siendo sen0 = — ; b < a < 0
b
A) 0 B) 1 C) 2
D )a+ b E )a -b
195

8S 0 I 63
_ * J 3Z 3 f ZS 0 | et-
IZ 8 f 9S 8 f zV
0 1 OZ 0 f SS IV
3 1 69 q i frS v r Ot’
89 o r £S 8 f 6E
Z9 v p 3S 0 f 88
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_ 3 J S9 0 f OS 0 f 98
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TRIGONOMETRIA
CAPÍTULO
IV
Circunferencia
trigonométrica
Tecnología marítima
Para detectar un submarino, la nave utiliza un dispositivo (transductor,
que gira 360°(2nrad) en sentido horario, que alem itirimpulsos determináis
direccióny distancia delsubmarino.
v
.
'
.n
—
J

P LA N T ILLA U S A D A EN EL M O N T A JE D E G A FA S
T Antes de que el oculista comience a elaborar un par de gafas, debe graduar la vista del
paciente, a fin de que determ ine el tipo y potencia de lentes que éste necesita, ello se hace
mediante diferentes tipos de pruebas.
Un elemento utilizado por los oculistas es la plantilla para montajes de gafa, con ella el
oculista comprueba que los ejes de cualquier elemento cilindrico de las lentes recetadas
quedan correctamente orientados en la montura. Un instrumento actual para la medición
de la vista es el oftálm etro, m ediante e l cual se explora por medios electrónicos la retina y
se registra sobre un papel su potencia óptica en cada plano.

Circunferencia
— / trigonométrica
OBJETIVOS
• Definir la circunferencia trigonométrica, indicando sus elementos y obtener la ecuación de
la misma.
• Representar y relacionar los números reales y los arcos dirigidos.
• Definir las razones trigonométricas de los números reales.
• Analizar las variaciones de las razones trigonométricas de los números reales.
INTRODUCCIÓN
Para las definiciones de las razones trigonométricas, se ha seguido un proceso, partiendo del estudio
de las razones de un ángulo agudo desarrollado en el Capítulo II, también para ángulos trigonométricos
en posición normal, explicado en el Capítulo 111.Luego nos preguntamos: ¿es posible calcular las razones
trigonométricas de números reales?, ¿qué diferencias hay entre senl y sen Io?, ¿cuál es la variación de
sen; ? En este capítulo resolveremos estas y otras interrogantes. En este sentido, empezamos con el
estudio de la ecuación de la circunferencia de radio 1; luego definimos los arcos en posición normal y
los relacionamos con el ángulo central que se genera.
Posteriormente, ubicamos a los números reales en esta circunferencia, y las coordenadas del
extremo del arco servirán de base para definir las razones trigonométricas de los números reales. Estas
definiciones cumplen un papel importante en la matemática superior y cálculo en ingeniería.
Este capítulo también está ligado a funciones trigonométricas, ya en el presente capítulo se puede
entender yelaborar modelos de crecimiento y decrecimiento, posteriormente será posible aplicarlo para
modelar fenómenos periódicos. Cualquier fenómeno que ocurre a intervalos regulares se denomina
periódico. El movimiento de traslación de la Tierra, el movimiento ascendente y descendente de un
pistón eñ un motor alternativo y las vibraciones dé la cuerda de una violín son ejemplos de fenómenos
periódicos.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA W '
--------- —^
Nociones Previas
' Definición de circunferencia
Es el conjunto de todos los puntos en un
m ism o plano equidistantes de un punto fijo
llamado centro.
Ecuación de la circunferencia
Si P(x;y) es un punto de la circunferencia
con centro en C(h;k), la distancia entre P y C es el
radio r. (Véase la figura 4.1(a))
Aplicando el teorema de distancia entre dos
puntos tenemos
* V (x -h )2 + ( y - k ) 2 =r
luego i
■_ -------------------------- ----------------
i ( x - h )2 + (y -k )2 = r2 •
} ■
<V - v '-cr
j ¿ ■-a
. es la ecuación de una circunferencia, con centro :
en Ch;k) y radio r. Además (x;y) es un punto
cualquiera perteneciente a la circunferencia.
Ejeriiplo ¡ i I'
Grafique ía circunferencia, cuya ecuación es
*
' ■
' (x+3j)2 + (y - i)2 =4
Resolución
Modificando a la forma general queda así
(x - (-3))2 + (y—
l)2 = 22
de donde se observa que el centro de la
circunferencia es (h;k)=(-3¡J) y radio igual a 2.
(Véase la figura 4.1 (b)).
A continuación citam os un caso particular,
cuando el centro de la circunferencia de radio r
. coincide con el origen de coordenadas del plano
cartesiano.
Se tiene que h = 0 y k = 0
Reemplazando esta condición en la ecuación
(x - h) 2 + (y - k)2 = r2
se convierte en
( x 2 -l-y2 = r r
y su gráfico lo mostramos en la figura 4.1(c).
Figura 4.1
200

CAPÍTULO IV Circunferencia trigonométrica
Para que usted tenga una mejor visualización
sobre lo planteado le sugerimos que observe los
siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro
coincide con el origen de coordenadas y su radio
es igual a 2 unidades.
Resolución
A partir del enunciado, si el centro de la
circunferencia coincide con el origen de
coordenadas, entonces su ecuación será
. *2 + y 2 = r 2 ...(1)
También del enunciado r = 2 ... (2)
Luego, reemplazando (2) en (1) se obtiene
x2 +y2 = 2 2 o x2 +y2 = 4
y su gráfico respectivo lo podemos visualizar en la
figura 4.2
Ejemplo 2
Halle la ecuación de la circunferencia con centro
en el origen de coordenadas, y radio igual a 0,3
unidades.
Resolución
Del enunciado, se indica que el centro está en el
origen de coordenadas, entonces la ecuación es
x 2+y2= r2 —( 1)
como observamos r es
r = 0 ,3 = | o r = l ...(2)
Luego, reemplazando (2) en (1) se obtiene
2
x 2 +y2=| ^
2 2 1
o x L + yL = -
9
y su gráfico respectivo lo podemos visualizar en
la figura 4.3
Definición de circunferencia trigonométrica o
unitaria
Esaquella circunferencia con centro en el origen
de coordenadas cartesianas y radio igual a la
unidad de escala del sistema que lo contiene.
Ecuación de la circunferencia
trigonométrica
x2 + y2 = 1
Para apreciar la forma de representar a la
circunferencia trigonométrica observe la figura
201

El lector debe entender que en los ejercidos es
usual indicar C.T, en lugar de su ecuación. Para
un mejor entendimiento afréspecto, mostramos
el siguiente ejemplo (figura 4.5).
Ejemplo 3
A partir del gráfico mostrado (figura 4.6), halle la
abscisa jc
2del punto Q y la ordenada y, del punto R
Resolución
Observamos que en la figura 4.6 se presenta las
in iciales C.T. lo cual indica que e s una
drcunferencia trigonométrica, por lo que podemos
plantear su ecuación x2+y¿= 1. Esta ecuación nos
señala que todo punto P que se halla en la
circunferencia debe verificarla ecuación de la C.T.
(abscisa de P)2 + (ordenada de P)2 = 1
Aplicando esta última relación para cada punto
obtenemos lo siguiente:
f i
• Para el punto Pí —; y,
(abscisa de P)2 + (ordenada de P)2 = 1 ...(1)
Reemplazando los com ponentes de P en (1)
obtenemos
...G)
De (2 )despejando y 2 se tiene y,2
3
4
de donde o
Como puede apreciarse, aparentem ente
habrían dos soluciones (respuestas o dos
posibilidades), pero si som os acuciosos nos
daremos cuenta de que en el gráfico mostrado,
P se halla en el primer cuadrante (P e IC);en
consecuencia, la ordenada y, tiene que ser
positiva y la única posibilidad sería
Seguidamente
• Para el punto Ql x 2 ;
- 7 2
(abscisa de Q)2 + (ordenada de Q)2 = 1
2-
= 1
(* í)2 +
-72
2
Despejando xf-se tiene x 2 = -
de donde x 2
Nuevamente pareciera que hubiera dos
soluciones, pero observamos que Q se halla en
el tercercuadrante (Qe II1C); en consecuencia,
x2 tiene que ser negativa y ia única solución
que verificaría esta condición sería
202

n
CAPÍTULO IV_________________________________________ ________Circunferencia trigonométrica
Arcos Dirigidos en Posición Normal
A los arcos dirigidos u orientados generados
del punto (r;0) en una circunferencia de ecuación
se denominan arcos en posición normal.
A los arcos en posición normal generados en
sentido antihorario se les consideran positivos y
en sentido horario se les consideran négativos.
• 5 es un arco positivo (sentido antihorario)
• (5 es un arco negativo (sentido horario)
Así, tenemos un arco dirigido QP en posición
normal (la figura 4.7(b)) y si consideramos su
respectivo ángulo central a medido en radianes
se tiene que su longitud de arco G es a.r . En
co n secu en cia ; para una circunferencia
trigonométrica (r= 1) se cumple G= a .
(figura 4.7(c)).
(c)
Figura 4.7
Dado un ángulo a en posición normal, si
describimos una circunferencia trigonométricay
llamamos ta la longitud del arco que lo subtiende,
el número tse llama la medida de a en radianes.
Aplicación
En la figura 4.8(a) los puntos P y Tson los extremos
de los arcos 0 y y , respectivamente; estos nos
indicarán el cuadrante al cual pertenecen sus
arcos. Del gráfico podemos obtener lo siguiente:
• 0 =1, adem ás 6 e 1C
• y = -3 , además yellIC
203

Hasta aquí queda claro que los arcos en la
C.T. son números reales, es decir, cantidades sin
unidades. También se les suele llamar cantidades
adimensionales.
Expuesto lo anterior, el lector debe tener
presente que los arcos dirigidos en posición
norm al no n ecesariam en te p erten ecen a
determinado cuadrante, puede darse el caso que
dichos arcos no pertenezcan a cuadrante alguno.
Para un mejor entendim iento al respecto se
sugiere observar la figura 4.8(b)
Figura 4.8
• a es un arco dirigido en posición normal,
cuyo extremo es el punto B y éste se halla
sobre el eje de ordenadas, entonces se dice
qué a no pertenece a cuadrante alguno.
• é de forma análoga, su extremo es el punto
A' el cual se encuentra sobre el eje de
abscisas, entonces afirmamos que <
¡
> no
pertenece a cuadrante alguno.
A estos tipos de arcos que se encuentran en
posición normal y no pertenecen a cuadrante
alguno se les suele llamar ángulos cuadrantales.
Antes de revisar cóm o se representan los
números reales en la C.T., usted debe observar
que en las figuras 4.8(b) y 4.9(a), los arcos en
posición normal P,a ,<
j>se encuentran resaltados
desde su extremó inicial hasta su extremo final,
en adelante pues se va a representar sólo los
extremos, finales y quedará sobreentendido que
estos arcos se encuentran en posición normal.
Las figuras 4.9(a) y 4.9(b) aclaran al respecto.
Para los arcos a y P se sobreentiende que
se encuentran en posición normal,
a s IC, pe IVC
204-

Expuesto lo anterior, podemos entender que
a partir de la figura 4.9(c)
• a e lC
• pe 1IC
• GelVC
• <(>e IIIC
• <ú£ IIC
• 5 no pertenece a cuadrante alguno
Se observa que el ángulo en posición normal
^rad pertenece al IIC por lo tanto podem os
afirmar que
2Kn + í< - < 2 K n + tt / k eZ
2 R
=> (4K + l ) y < a < (2 K + l)nR
Luego, dependiendo de los valores de R
podemos indicar el cuadrante al que pertenece a ..
Por ejemplo
Si R = I =» f4K + l)5 < a < (2 K + l ) |
Por tanto
Si K = - l => ^ í < a < y ; aelIIC
Si K = 0 =» í < a < í ; a e lC
4 2
Observamos que al ubicar el cuadrante de
un arco, ello es permitido dado que el arco
representado en la C.T. coincide numéricamente
con su respectivo ángulo central expresado en
radianes. ¿Qué ocurre si el circo está representado
en una circunferencia de radio diferente de la
unidad?
Figura 4.9
Si K = 1 => ^ < a < y ; a e IIIC
Si K = 2 = > — < a < — ;a e I C
4 2
Si K = 3 => — < a < — ; aelIIC
4 2
,, , 17ji 9rt
Si K = 4 -----< a < — ; a e IC
4 2
Es decir a e lC v IIIC
Seguidam ente estudiarem os cóm o se
representan los números reales en la C.T., para
posteriormente representar y calcular sus razones
trigonom étricas. De esta m anera p od em os
responder ciertas interrogantes como por ejemplo:
¿Aqué cuadrante pertenece el arco 1, arco 2, arco
(3,14)? .¿Qué valor es mayor: senl o sen3?
205

Representación de los Números Reales en la Circunferencia Trigonométrica
En la figura 4.10(a) se tiene una recta numérica vertical donde el origen de la recta coincide con el
punto A(1 ;0) de la C.T. Considerando a esta última com o una sección de un carrete y la recta numérica
com o un hilo (espesor despreciable) entonces, en la figura 4.10(b) la parte positiva de la recta se envuelve
en sentido antihorario y en la figura 4.10(c) la parte negativa en sentido horario. ,
Figura 4.10
Este último procedimiento tiene por finalidad hacer comprender que a cada punto de la recta
numérica le corresponde un único punto de la C.T.; pero no necesariamente a cada punto de la C.T. le
va a corresponder un único punto de la recta numérica. Así por ejemplo, al número 1 ubicado en la C.T.
lo asociamos con un punto P, en general a dicho punto P le corresponde todos los números reales de la
forma l+2jin ; n e Z , en la figura 4.11 (a) se aprecia a algunos circos positivos cuyo extremo coincide
con el extremo del circo 1, así com o se representan arcos positivos, también se pueden representar
arcos negativos, observe la figura 4.11 (b) cuyos extremos coinciden con el extremo de! arco 1.
Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el extremo de un arco en la C.T. ya sea para la
ubicación de su cuadrante o paira las definiciones de las funciones trigonométricas o circulares para
números reales; éstas se verán más adelante.
De ahora en adelante com o usted podrá comprobar casi siempre se va a nombrar y utilizar el
número real it; que por sus características ha sido motivo de curiosidad e investigación para muchas
personas dedicadas al estudio de la matemática; por lo cual, le sugerimos que lea atentamente la
siguiente lectura referida a dicho número n (pi).

f
*
EL N U M E R O Pl (n )
- + C
C
-2 -1 0 1
Núm ero trascendente, aparecido en geom etría desde la Antigüedad. Es la razón
constante entre las longitudes de una circunferencia y de su diámetro, cualquiera que sea
la circunferencia considerada. La constancia de la razón de la circunferencia al diámetro
no es válida en geometría no euclidiana.
La razón entre la superficie de un círculo y la superficie de un cuadrado, cuyo lado es el
radio es, igualmente, la constante n . O sea, designando por R la longitud del radio, por L
la longitud de la circunferencia y por S la superficie del círculo, se tiene
L S
----=71 —
=
-= 7t
2R R2
Los griegos, posteriormente los hindúes y, finalm ente, los chinos, calcularon el valor de
ji con precisión creciente. Arquímedes demostró que n está comprendido entre
1 10
3 + — y 3 + — t o sea aproximadamente 3,1412...
A partir del Renacimiento, la conquista de los decimales de n se emprende de manera
sistemática y progresa velozmente hasta 1&74, año en el que W. Shanks halla 707 decimales.
A mediados del siglo XX las máquinas calculadoras electrónicas han permitido grandes avances;
así en 1961 D. Shanks y J.W. Wrench mediante un calculador IBM 7090 consiguieron 100265
decimales en 8 horas 43 minutos. Incluso para los cálculos de máxima precisión los físicos y
los técnicos están muy lejos de necesitar tantos decimales. El valor n = 3,1416... es suficiente
para numerosas aplicaciones. Más allá de quince decimales, la precisión no es más que una
curiosidad sin mayor interés. Por otra parte, en muchos casos bastan fórmulas aproximadas:
ít = V2 + /3 , o b ie n rt =
355
113
(A. Metius)
En el universo einsteiniano (no eudidiano), n se expresa no como una constante, sino
como una función variable con la estructura del espacio o de la masa en los límites de la
cual se efectúa la'm edición. Rigiendo la estructura del círculo, el número n aparece en la
de la esfera, de la cual la superficie es 4 n R2 y el volumen
4jtR3
Finalmente n aparece también en Trigonometría, siendo 2 n el periodo de las funciones
circulares seno, coseno, secante y cosecante. Es también útil en el estudio de los movimientos
vibratorios y en numerosos capítulos de la Física. La importancia del número n se extiende,
a todos los dominios de la matemática, en particular de la aritmética y del análisis infinitesimal.
207

Las fórmulas siguientes muestran algunas.de las aproximaciones de Jt:
(Leibniz)
a) —= arctanl = —+ —- —+ ...+ (-1 )n + 1 — !— + ...
' 4 , 1 3 5 7 ' 2 n - l
b)
c)
d)
2 _ 2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 6 x 8 ...
n 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 x 7 ...
2 = Í1
n y 2 .
1 1 1 íl i IT 1 íl
- + - . J - + —. 1—+ —.
2 2 i 2 V2 2 ' 2 2 ' Í2
(Wallis)
(Viéte)
(Brouncker)
1+ -
2 + -
2+ -
25
2 +
49
2 + «
La más im portante de estas relaciones es sin duda la que liga n al núm ero e según la
fórm ula de Euler em= -1 . Esta fórm ula se puede presentar de varias maneras:
Jt Ln>/-1
1) i’ = e 2 = 0,20788...
Evolución de Pi a través de la historia
2
>
r
Persona/pueblo Año Valor
Egipto - 2000 a.n.e. 3,1605
Chino - 1 200 a.n.e. 3
Biblia - 550 a.n.e. 3
Arquímedes - 3 00 a.n.e. 3,14163
Ptolomeo - 2 00 a.n.e. 3 7 7 /1 2 0 = 3,14166...
Chung Huing - 3 0 0 a.n.e. VT0
Wang Fau 263 a.n.e. 157/50 = 3,14
Tsu thung - Chi - 500 a.n.e. 3,1415926 < Pi < 3 ,1415929
Aryabhata - 5 0 0 3,1416
Brahmagupta - 6 0 0 ñ o
Fibonacci 1220 3,141818
Ludolph van Ceulen 1596 35 decimales
Machia 1706 - 100 decimales
Lamberf 1766 Nombfó a Pi irrqcional
Richter 1855 500 decimales
Lindeman 182 Nombró a Pi trascendente
Ferguson 1947 808 decimales
Ordenador Pegasus 1597 7 840 decimales
IBM 7090 1961 100 000 decimales
CDC 6600 1967 500 000 decimales
Cray - 2 (Kanada) 1987 T00 000 000 decimales
Univ. de Tokio 1995 4 294 960 000 decimales
208

A continuación se ubican los extremos de los arcos
relacionados a ios ángulos ^ rad, it rad, "y rad y
27trad (en la circunferencia trigonométrica);
pues estos servirán com o referencia para ubicar
aproximadamente a otros arcos.
Ejemplo
Ubique en la C.T., ios extremos de los arcos (en
posición r ormal) - ~ ;6 ;8 ;-15
Resolución
(6 eIVC)
fb)
(8 e IIC)
(0
(-15 e II! C)
(d)
Figura 4.13
209

Nota
Usualménte en la literatura matemática no se escribe radianes sino se le sobreentiende, por ejemplo se
Ejemplo
Ubique en forma aproximada los extremos de los arcos 1,2,3,4,5 y 6 sobre la C.T. (en posición normal).
Visto la teoría, para poder ubicar el extremo del arco 1 se necesita ubicar el ángulo de 1 rad, de forma
análoga para el arco 2 el ángulo 2 rad, y así sucesivamente hasta el arco 6. Por ello del Capítulo 1se sabe
lo siguiente: 1 rad () 57°17'44" (aproximadamente)
De igual forma podemos obtener 2 rad ■ 114°35'28" (aproximadamente)
A continuación se muestran los gráficos de los arcos, pero para cuestiones de resolver problemas, el
lector puede representar dichos arcos de forma aproximada, teniendo en cuenta el equivalente
sexagesimal para cada medida en radianes, se le sugiere también recordar la ubicación de estos extremos
de arcos, porque en algunos problemas son utilizados.
3 rad 17Io 53'12" (aproximadamente)
4 rad ’
> 229° 10' 56" (aproximadamente)
5 rad 286° 28' 40" (aproximadamente)
6 rad 343° 46' 24" (aproximadamente)
Y
Y
2
A(1;0)
X
(a)
210

CAPÍTULO IV c ______________________________ Circunferencia trigonométrica
En el siguiente gráfico, se muestran a los circos de mayor uso en este capítulo.
Observe en la figura 4.15 la simetría existente
entre los extremos de los arcos. Veamos en qué
medida nos facilitará en calcular las coordenadas
de otros puntos, conocido uno de ellos.
En la figura 4.15 se indican las coordenadas de
los extremos de los aroos representados en las
figuras 4.14(e) y 4.14(0, tales coordenadas se han
obtenido teniendo com o referencia los pares
ordenados en el primer cuadrante y luego
utilizando criterios de simetría respecto al eje de
abscisas y al eje de ordenadas.
211

Los extremos de los arcos —y — son simétricos
6 6
respecto al eje Y, veamos:
'V 3 .2
2 ’ 2
Es fácil verificar que
Luego obtenemos que Mes
■V3.lV
2 ’ 2
n - ti
Los extremos de los arcos - y T - son simétricos
D O
respecto al eje X, veamos:
Aquí la abscisa no cambia de signo, pero sí la
ordenada, es decir, como el punto de referencia
<V3 V
es P
2 2
Luego, obtenemos que R es
V3
2 ’ 2
Los extremos de los arcos — y — son simétricos
6 6
respecto al origen de las coordenadas, veamos:
Aquí cimbas coordenadas cambian de signo.
Es decir, co m o el punto de referencia es
' V 3 . 0
2 ' 2
Luego, obtenemos que Q es
-V 3 .-1
2 ’ 2
Figura 4.16
Análogamente establecemos que los extremos de los arcos, por ejemplo, de j , ~ también
» * » *
son simétricos con respecto ai eje Y, al origen y eje X, respectivamente. Entonces, si conocem os las
. coordenadas del extremo de
4 ’
ÍV 2 .V21
2 ’ 2
podem os calcular las coordenadas de los dem ás arcos
4 i z
3n 5rc 7rt 2
utilizando el razonamiento ya expuesto.
Asimismo se invita al lector a calcular las coordenadas de los extremos de los arcos de la figura 4.16.

Representaciones del Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante de
un Arco en la C.T.
En esta parte, al referirnos a un arco hacem os la suposición de que este es un arco dirigido en la
C.T. en posición normal, donde su punto inicial es el origen de arcos A( 1;0). En las representaciones de
las funciones trigonométricas siguientes se han utilizado segm entos dirigidos.
DEFINICIÓN 1
El seno de un arco es la ordenada de su extremo.
E jem plo 1
(a) (b) (c)
Figura 4.17
Ejem plo 2
Halle todos los valores de senG si ji < 0 < —
2
R esolución
En la figura 4.18 se han dibujado algunos extremos
de los infinitos que puede tener el arco 0 según
la condición it< 0 < ^
2
También se ha representado por segm entos
dirigidos las ordenadas de los extremos del arco
0 , que por definición representan al senG. Se
observa que dichas ordenadas son mayores a -1
y menores o iguales a 0, es decir -1 < senG < 0 . .
Una forma de hallar los valores que contiene el
sen 0 es proyectando los extremos del arco 0
sobre una recta num érica vertical, paralela
(observe la figura 4.18).

DEFINICIÓN II ^
El coseno de un arco es la abscisa de su extremo.
v
. .
Ejemplo 1
(o) (b) (c)
Figura 4.19
Ejemplo 2
Si a e IVC , halle todos los valores que puede
tomar c o s a .
■
Resolución
Como a e IVC , ello implica que a puede tomar
tantos valores positivos com o negativos por lo que
no se representará el sentido de a sino solamente
sus extremos.
En la figura 4.20 se han dibujado algunos extremos
de los infinitos que puede adoptar el arco a en
el IVC.
También se ha representado por segm entos
dirigidos las abscisas de los extremos del arco a ,
que por definición representan al eos a . Se
observa que dichas abscisas son mayores a 0 ,
pero menores a 1,e s decir 0 < eos a < 1 .
Análogamente al ejemplo anterior, los valores del
cosa se pueden obtener proyectando los
extremos del circo a sobre una recta numérica C
J
horizontal paralela al eje X, vea la figura 4.20.
Teorema
V a e R se cumple
i) -l< se n a < l ii) -l< c o s a < l
214

En efecto, si a es cualquier número real, entonces su extremo en la C.T. podrá ser cualquier punto de
esta. Los intervalos que contienen ios valores del sena y co sa , se ilustran en la figura 4.21
Observación >., ______________ __________________________ _________ __
Sea a un arco en posición normal que determina un punto P sobre la circunferencia trigonométrica,x:on
coordenadas (x;y), entonces se cumple
x= cosa e y=sena
Ejemplos
(a) (b) (c)
Figura 4.22
215

Observation m fe,
En los siguientes gráficos se muestran los ángulos cuadrantales (en radianes) y las coordenadas de los
extremos de estos arcos o ángulos (Ke Z ).
Figura 4 J3
Luego, identificamos los valores del seno o coseno de estos arcos, relacionando con las ordenadas o
abscisas de los puntos A, B, A’y B'.
• co s2Kn = l
sen2Kn = 0
puesto que la abscisa del punto A es 1 y su ordenada es 0.
Es decir cosO = 1 ; c o s2 ji = 1 ; cos47t = 1
senO = 0 ; sen2n = 0 ; sen4it =0
c o s ^ + 2Krt . 0 puesto que la abscisa del punto B
s e n ^ + 2Kn
-
Es décir
7
1
eos ~ = 0
* 5rc
; eos y = 0
971
; eos y
n
sen — = 1
5rc
s e n - y =1
971
sen-y* =

. cos(jt + 2Kjt) = - l 1 puesto
sen (jt+ 2Krc) = 0 j
Es decir cosn = -1
senn = 0
que la abscisa dei punto A' es -1 y su ordenada es 0.
; Cos3it = -1 ;
; sen3rc = 0 ;
cos57t = -1 ;
sen5n = 0 ;
3jt
+-2K.U = 0 Puesto que la abscisa del punto B' es 0 y su ordenada es -1.
sen! y + 2Kn |= -1
Es decir
3t
c 7n lln
y = ° ; eos y = 0 ;
; e o s - y
3n 771
= - l
lln
T = _1
; sen y ; sen —
DEFINICIÓN III
La tangente de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa
por el origen de arcos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.
Ejemplos
(a) (b) (c)
Figura 4-24
217

^ Observación
A la recta de la figura 4.25 se le suele denominar eje de tangentes (con origen en A).
Ejemplo
Halle todos los valores de tanB, si 0e
rt n
.4*3/
Resolución
En la figura 4.25 se han dibujado en la C.T., algunos
extremos de los arcos Be
7I_7C
_4’3 /
También sobre la recta Sf tangente en el punto A se
han dibujado los puntos cuyas ordenadas representan
la tan 0. Se observa que dichas ordenadas pueden ser
mayores o iguales a 1, pero menores que 73, es decir,
l< ta n 0 < V 3 . Una forma de hallar el intervalo que
contiene ios valores de la tan0 , es proyectando los
puntos obtenidos en la recta §£ sobre una recta
numérica paralela al eje Y.
7 3
tan9
1
- 0
DEFINICIÓN IV
La cotangente de un arco es la abscisa de! punto de intersección entre la recta tangente que pasa por
el origen de complementos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.
Ejemplos
Figura 436

CAPITULO IV Circunferencia trigonométrica
Observatión
A la recia Ü de la figura 4.27 se le suele denominar eje de cotangentes (con origen en B).
Ejemplo
—
71'
Si 0 e , - 7t ;— , halle todos ios valores de la co te .
2 / ,
Resolución
En la figura 4.27 se han graficado en la C.T. algunos
extremos de los circos 0 e ( - n ;— ; .
También sobre la recta Sf se han dibujado los puntos
de in tersección resp ectivos cuyas a b scisas
representan la cot0 . Se observa entonces que dichas
abscisas son positivas, es decir cot0 > 0 . Una forma
de hallar el intervalo que contiene los valores de la
cot0 es proyectando los puntos obtenidos en la recta
S£ sobre una recta numérica paralela al eje X.
0 COt0 + 0 0
.. 'K i, .. Teorema
i) tanas R ;V a e R-j(2n + l)^ j ; ne Z ii) cotae R ;V a s R -{nn} ; n e Z
DEFINICION V
La secante de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el
extremo del arco y el eje X.
Ejemplo 1
=s S y R extremos de secantes .=> E y D extremos de secantes
(a) (b)
219

lumbreras Editores Trigonometría
My N puntos de tangencia
=> P y Q extremos de las secantes
(c)
=> L y Kextremos de las secantes
(d)
Figura 4.28
Ejem plo 2
Si a e
n_3jt
4 ’T /
halle todos los valores de s e c a .
R esolución /
En la figura 4.29(a), en la C.T. se han
dibujado algunos extremos de los arcos
a ,y sobre el eje X los respectivos puntos
de in tersección cuyas abscisas
representan la s e c a .
Se observa que los valores de dichas
abscisas son menores a - V 2 o mayores
o iguales a %
/2 , es decir
seca < -V 2 v se c a > V2
O tra form a
Analizamos con la definición II, puesto que
seca = 1/c o sa , de donde, obtenemos
Jo
< cosa < — (Vea la figura 4.29(b))
Para invertir la desigualdad, hacemos
- J 2
2
< cosa < 0 v 0 < cosa <
V2
Luego, invirtiendo se tiene
—V 2 > --------- V ---------->
cosa cosa
=» seca < —
/2 v seca > J2 Figura 439

DEFINICIÓN VI
CAPÍTULO IV_________ _________________________________________Circunferencia trigonométrica
La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección, entre la recta tangente que pasa
por e! extremo del .arco y el eje Y.
Ejemplo 1
(P y Q punto de tangencia)
=> C y D extremos de cosecantes
(B y T puntos de tangencia)
=> B y G extremos de cosecantes
(S y Rpuntos de tangencia)
Fy E extremos de cosecantes
(a) (b)
Figura 4.30 •
Ejemplo 2
Si a e ! 0; —), halle todos los valores de c s c a .
A i
Resolución
En la figura 4.31, en la C.T. se han dibujado algunos extremos de los
arcos a , y sobre el eje Y los respectivos puntos de intersección
cuyas ordenadas representan a la c s c a .
Se observa que los valores de dichas ordenadas son mayores a -J2 ,
es decir csca > Í2 .
%
Otra forma
Analicemos con la definición I, veamos
it Í2
Como 0 < a < - , entonces 0 < sena < —
4 2
Invirtiendo la desigualdad —-— > V2 => csca > s/2
3 sena
fe)
221

Teorema . ______
i) se c a < -l o seca > l ; Vae R -|(2 n + l)^ | ; n e Z (
ii) csca<-1 o csea> l ; V aeR -{n n } ;'n e Z
Ejemplo 1
Halle los valores admisibles de b, a partir de la
condición siguiente
b = 5 c s c a -2
Resolución
Dada la expresión
b = 5 c s c a - 2 ...... (1)
A partir del teorema anterior
c s c a < - l v c s c a > l .......(2)
Formaremos la expresión- 0 ) , multiplicando
primero por 5 y luego sumando (-2).
De (2) 5 c sc a < -5 v 5 c sc a > 5
5 c sc a + (-2 )< -5 + (-2) v 5csca+ (-2)> 5'+ (-2)
=> 5 c s c a - 2 < -7 v 5 c s c a - 2 >3
b < -7 v b > 3 .......(3)
b = ;- 7 ] j [3; +~;
Ejemplo 2
Halle todos los valores admisibles de a, a partir
de la siguiente condición
1- a
seca = -----
3
R esolución
Dada la expresión
1- a rn
seca = — - ...(1)
3
A partir del teorema anterior obtenemos
s e c a < - l v s e c a > l ...(2)
Como se pide los valores de a en lugar de seca
escribimos -—- , esto es
3
reemplazando ( 1) en (2) se tiene
> l v — < - l ...(3)
3 . 3
Lo que harem os será despejar a en cada
desigualdad y nuestra respuesta final será la unión
de los dos intervalos que se obtenga.
Multiplicando por (3)
( 3 ) ^ j > ( l ) ( 3 ) v ( 3 ) ^ } £ (-l)(3 )
Reduciendo
l - a > 3 v l - a < - 3
l- a + ( - l ) > 3 + (-l) v l - a + ( - l) < - 3 +(-l)
= ) - a > 2 v - a < - 4
Por(-1)
. ( - l ) ( - a ) < ( 2 ) ( - l ) v ( - l ) ( - a ) > ( - 4 ) ( - l )
=> a < - 2 v a > 4 ...(4)
(Observe que cuando se multiplica por (-1) el
sentido de la desigualdad ha cambiado).
Si las d esigu ald ad es obtenidas en (4) las
representamos en la recta numérica, obtenemos
— 00 + X
-----*
------- ; »
- 2 0 4
Figura 4.32
A partir de la figura se obtiene el intervalo para a.
a = '- ° ° ;-2] u [4; +«¿)
222

Representaciones Auxiliares
SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE
• El senoverso o verso de un arco 0 denotado
por vers(9), se define:
f '
■ '" " " 1
j v e r s0 = l-c o s0 ; V 0e R
V
.________________________________ .
• El cosenoverso o coverso de un arco 0
denotado por cov(0), se define:
( '
I cov0 = l- s e n 0 ; V 0e R
v._________;________________________j
• La exsecante de un arco 0 denotado por
exsec(0), se define:
'
exsec0 = se c 0 -l; V 0e R - (2n + l ) í | ; n e 2
. i
Ejemplos
í n>)= l - c o s - = 1-1
1
• vers -
) 3 1
, 2 ,) 2
f 3n ) , f-3 n ) , f y¡2) 2 + V2
l 4 J . { 4 ) { 2 ) 2
*
• exsec(it) = s e c n - l = ( - l ) - l = -2
Teniendo en cuenta los teoremas de las páginas
212 y 2 2 0 se llegan a deducir las siguientes
variaciones:
i) 0 < vers0 < 2
ii) 0 < cov9 < 2
iii) exsec0 < -2 ó exsec0 > 0
Observaaon
-—; — -ts.
Gráficamente el verso de un arco dirigido es el
%
segmento dirigido en el eje Xque parte del punto
cuya coordenada es el coseno de dicho arco
hacia el origen de arcos.
Ejemplo
De la figura se cumple
vers0 = PA
ya que PÁ = A - P (véase página 160)
=* versQ= A - P ,
vers0 = l- c o s 9
Observación ■ ' g
Gráficamente el coverso de un arco dirigido es el
segmento dirigido en el eje Y que parte del punto
Cuya coordenada es el seno de dicho aireo hacia
el origen de complementos.
Ejemplo 1
De la figura se cumple
cov0 = QB
yaque QB = B -Q
=> cov9 = B - Q
cov0 = 1 - sen0
223

Lumbreras Editores •
Gráficamente la exsecante de urrarco dirigido es
el segm ento dirigido en el eje X que parte del
origen de arcos hacia el punto cuya coordenada
es la secante de dicho arco.
Ejemplo 2
De la figura, P es punto de tangencia y se cumple
exsecB = ÁR
yaque AR = R -A
=> exsecO - R- A
exsecB = sec0 -1
Ejemplo 3
Represente el verso, coverso y exsecante.
i) Para un número 2
• vers2= FÁ
• cov2= EB
• exsec2= AP
Trigonometría
ii) Para un número
» v ers[--j= P A
l 4 j
• c o v |-5 j = p
• exsec - - = AT
l 4J
Ejemplo 4
Utilizando segmentos dirigidos, demuestre que
vers4 > vers2 > versl
Resolución
,PA, > QA > ^
.-. vers4 > vers2 > versl
224

Problemas Resueltos
Problem
a 1
8t
i
Luego de ubicar los números — ;-3 ;-V 2 en la
circunferencia trigonométrica, indique los signos
S
7C
de las expresiones e o s— ; tan(-3) ; sen(->/2)
Resolución
Representaremos en forma aproximada a ios
números mencionados, com o arcos en posición
normal. Dicha representación se hace teniendo
en cuenta los arcos referenciales com o son:
1,57 ; 3,14 ; -3,14 y -1,57
Como — = 2,79; entonces 1,57 < — < 3,14. Esta
9 9
es la razón de su ubicación en la C.T.
De igual form a, para - 3 , se tien e que
—
3,14 < —
3 < —
1,57.
Finalm ente, com o ‘—
n
/2 = —
1,41; en to n ces
-1,57<-V 2<0.
Para un m ejor entendim iento le sugerim os
observar la figura 4.39.
- 3 e HIC => tan (-3)> 0
-V 2eIV C => se n (- ^ ) < 0
Loá signos, respectivamente, son (-) ; ( + ) ; (-)
Problem
a 2
Encuentre el valor de cada una de Iza expresiones
siguientes:
2jc 2n
aj sen — ; eos—
3 3
, , 5rt 5t
c
b) sen — ; eo s—
4 4
Resolución
Antes de que em piece a revisar la resolución
de este problem a, le sugerim os repasar los
ejem plos con sim etría desarrollados en la
página 211.
9ir
Puesto que — se puede expresar com o
3
rc- ^ ; u b iq u em os a los núm eros — y —
4 3 3
en la C.T. (nótese la simetría respecto al eje >0;
luego representando a los senos y cosenos con
segm entos dirigidos tenemos
2/t n J3
sen — = s e n - = —
3 3 2
2n 7t 1
eos— = - e o s - = ---
3 3 2
225

Problema 3
Ordene en forma creciente
a) sen l, sen2, sen3
b) cos4, cos5, cos6
c) tan2, tan3, tan4
Resolución
a) Para representar los senos de números reales,
representamos estos números com o arcos
que se generan a partir del punto A(1;0).
Luego, el gráfico aproximado será el siguiente:
Entonces, ordenando de menor a mayor:
sen3, senl y sen2
(b )'
cos4, cos5 y cos6
c) Aquí se observa que tan2<0 y tan3< Opero
tan4>0
tan2, tan3 y tan4
Problema4
A partir de la figura adjunta, exprese el segm ento
BK en términos de 0-.
226

Resolución
Son conocidas las coordenadas de P, por ser el
extrem o d el arco en p osición normal:
P(cos9 ; sen 0), pero debido a que K y P son
puntos simétricos respecto al eje X, podem os
afirmar lo siguiente:
•K y P presentan igual abscisa y ordenadas
opuestas por lo que la abscisa del punto Kes eos 0
y su ordenada es (-se n 0 ); le sugerimos observar
el gráfico.
Figura 4.42
Puesto que ahora se conocen las coordenadas
de B y K, esto es B(0;1) y K (cos0; -s e n 0 ), se
puede aplicar la fórmula para distancia entre dos
puntos
BK = ^(0 - cos0)2 + (1-(-se n 0 ))2
Efectuando
BK = 7 cos20 +1 + sen20 + 2sen0
pero sen 20 + cos20 = 1
Esta igualdad se obtiene a partir de que el radio
vector del punto P es OP y dicha longitud es 1.
Entonces
OP = 7(abscisa de P)2 + (ordenada de P)2
%
=» 1= 7 (cos0)2 + (sen0)2
de donde sen 20 + eos20 = 1
BK = V2(l + sen0)
Problema 5
Calcule OM, en términos de 0.
Resolución
Figura 4.43
AOM - t AHP
OM _ |sen0|
1 l + |co s0 |
Pero 0 e IIC
=> ¡sen0 ¡= sen0 y |c o s0 j= -c o s 0 ... (2)
Reemplazando (2) en (1) obtenem os
OM _ sen0
1 l + (-c o s0)
Reduciendo obtendremos, finalmente
OM =
sen0
t - COS0
227

Al hacer la representación de los senos y cosenos,
com o segmentos dirigidos (véase figura), el orden
es evidente sena > senO > senp
también eos 3 > cosO > cosa
pero en valor absoluto de los cosenos tenemos
;cosp ;< icosü < jcosa|
I es falso y II es verdadero.
En la condición, multiplicando por (-1)
a 3jt
=> —
ti > —
co> —
p > -----
2
Luego de su representación de -co y - 3 en el
segundo cuadrante, se cumple
cot(-co) < cot(-3)
I es falso y II es falso.
Problema 9
Indique la verdad o falsedad de las proposiciones:
I. Si - < a < 0 < n = * tana < tan0
2
II. Si 7
i< cu<3 < — =» cot(-co)> cot(~3)
Resolución
De I, planteamos la figura siguiente:
.Luego, de la representación de a y 0, se cumple
tana < tan0
com o tana y tan0 son negativas, entonces
jtana j> | tan01
Análogamente para II, tenemos la figura siguiente:
Figura 4.47
Problema 10
De la figura, halle la distancia entre los puntos O y
Q, en términos de 0.
Resolución
En la figura 4.48(b), se han trazado las
perpendiculares NRy PW a los ejes coordenados.
Figura 4.48
Los triángulos rectángulos sombreados NRO y
PWO son congruentes, luego
NR=PW ; RO=OW
NR = jcos0 ; RO= sen0
229

El triángulo rectángulo AOQ es sem ejante al
triángulo rectángulo ARN.
' OQ NR
OA ~ RA
OQ |cos0|
. . . 0 )
í |cos0|= -c o s6
{ |sen9|=- sen0
1 l + |sen0|
Nótese que'0e IIIC =>
Reemplazando en (1)
OQ _ (-cos0)
1 l + (-senü)
= , 0 0 = - ^ ? -
1- sen0
Factorizando (-1) en el denominador
OQ = -
-CO S0
-(se n 0 - l )
COS0
OQ =
sen0 -1
Problema 11
Siendo í _ 1 1la abscisa del extremo del arco 0,
l 3 j
tal que 0 e I1C,halle las coordenadas del extremo-
del arco dado por ^0 + ~
Resolución
Considerando a P y M extremos de los circos 0 y
T
C
+ 0 respectivamente, obviamente en una
circunferencia unitaria, entonces se tiene
• P (cos0;sen0)
M cosf^ +01 ; sen( ” +0
2 ) 12
= M (-seri0;cos0)
pero del enunciado en P cos0 = - -
Utilizando la ecuación
x 2 + v2 = 1 => (cos0)2 + (sen9)2 = 1
Sustituyendo el valorde cos0 se tiene
2V2
3
Como 0 e IIC, entonces
2V2
3
2V2 ; r
3 ’ 3 ,
sen0 = ±-
senO = -
Finalmente M -
Problema 12
Enla figura, determine el área de la regiónsombreada
Resolución
Como P es el extremo del arco a , entonces-se le
asocia el par ordenado (c o s a ;se n a ); luego, el
punto M es simétrico con P, respecto al origen de
coordenadas.
=> M (-co sa ;-sen a )

Sabemos S = - ( A - B )
2
...0 )
Reemplazando en (!)
1,
S = -(-e se c t-se n a ,+ cota)
Ordenando S = - (c o ta -s e n a -c s c a )
Problema 13
Del gráfico, halle el área de la región sombreada,
siendo la recta r
d tangente a la C.T. en el punto F.
Resolución.
Si S nos expresa el área de la región sombreada,
del gráfico
c (ORXMP)
S = “ 2 “
S - |sece| l-cosel nc
2
g _ (-sec9 )(-co s8 )
Problema 14
Determine el área de la región sombreada en
términos de a .
(a)
Resolución
Siendo A el área de la región sombreada, del
gráfico
Y
Figura 4.51
^ _ [c o ta |x (l-|se n a |)
231

Como aelV C
Luego A =
í |cota| = -c o ta
[ |se n a |= -se n a
(-cota)(l + sena)
(para poder reducir un poco más, utilizaremos
la identidad c o ta . sena = cosa , la cual
demostraremos en el Capítulo V).
A
-1
2
(cota + cosa)
Problema 15
Determine el área de la región sombreada.
kC D O skO A B
=> OA = sen0
BA= |cos0| = -c o s0 ; 0eUC
Figura 4.52
Luego, el área de la región trapezoidal se expresa así
S = SoAB + ^BOC + ^ODC
sen9|cos0| 1x 1 |co s0 |sen 0
“ 2 + 2 + 2
S = - + sen0|cos6|
, 2
.-. S = - sen 9cos0ju 2
Problema 16
Del gráfico, calcule el. área de la región
sombreada, si BOC es un sector circular.
Resolución
El área del trapecio circular (S), lo calcularemos
com o una diferencia d e regiones entre'los
sectores BOC y AOD.
Figura 4.53
=» S = Í0(sec0)2 - Í 0 ( l )2
=> S = ®(sec20 - l ) (usando sec20 -1 = tan20 )
S = -ta n 20
2
232

Problema 17
Calcule el mínimo valor del área de la región
sombreada.
Resolución
Figura 4.54
Calcularemos el área total así
A total = S j + S 2
l-cot0 lt a n 0
—---------H
-----------
2 2
= ^(cot0 + tan0)
Debemos tener presente que si 0 e HIC, entonces
cot0 + tan0 > 2 .
.% ,
Multiplicando por -
I(tan0 + cot0)> 1
total
(^total)m{n ^
Noto
5xc
(A,o,ai)m
ln = 1 se da cuando 0 = — ,
es decir tan0 = cote
Problema 18
Según el gráfico que se muestra, BH=d.
„ , sen(/ + c o s v - l , . . ,
Halle f = ----- 7- — en términos de d.
s J - C O S X l
Resolución
Para relacionar el arco v y la longitud d,
hallaremos el área de la región sombreada por la
fórmula indicada en la primera parte de esta obra.
2S = 1(1 - sent|/) +0(seni|/ - 0) + cosi|/(0 -1)
1- sen|/ - cosí)/
S = ... (0
También se determina el área com o sabem os
c PA.d
s = - v ~ - 0 0
233

Cálculo de PA por distancia entre dos puntos,
tenemos
PA = 7(cos|/ - 1)2+(seny - O)2
PA = 7 eosV +1 - 2eosw + sen2it
—cz - 3~
PA = n
/2 ,/T-cosí)/
Reemplazando en (ii)
c ^ .J l-c o s u /.d
S = ---------------— —(m) •
De (i) y (iii)
l-seny-cosi)/ Í2.y¡1-cosy.d
2 ~ 2
^ sen|/ + cosy -1
^1-eo s
f = -V2d
= -Í2d
Problema 19
Siendo a un arco no negativo y no mayor de una
vuelta, exprese la variación de | tana | , cuando
o
s
s
e
n
(!H
Luego, de la figura anterior se deduce que
a ' Ttl i 5n 1
0 —lu ; n
2 6 J . 6
57
1 “
=> ae u — : 2n
L 3 J L 3 .
Nuevamente representando a en la C.T.
De la figura se deduce
< teína < y/3
0 < :tana ¡< JZ
¡tana|= [0; V I]
Resolución
Del enunciado tenemos
0 < a < 2ji
=> 0< —<n
2
Luego, en la C.T. tenemos
Problema 20
Si sen2
x = l +tanfi, averigüe los valores de p , si
éste pertenece al segundo cuadrante.
234

S econoceque -l< s e n x < 1 ; V xe R
Elevando al cuadrado 0 < sen2* <1
Sustituyendo sen2
* por (1+ tanP), tenemos
0 < l + tanP<l => -l< ta n p < 0
Luego, analizando en la C.T., se tiene — < p < n
3n 4
en general — + 2rrK < p < 7t+ 2jiK ; K eZ
— + 2K?t ; it + 2rtK
4
K eZ
Problema 21
Del gráfico mostrado, calcule las coordenadas del
punto medio de TS en términos de 0.
Resolución
Sea M(x;y) las coordenadas del punto medio de
TS, entonces
l+sec0
* = ----------
2
tan0
y = ~ 2 "
f l + sec0 tanQ2
!
I 2 : 2 J
Problema N* 22
Analice la verdad o falsedad de las proposiciones:
!. tan6>cot6
II. sec4>csc4
Resolución
En la C.T. se ubican los extremos de los arcos 4 y
6. También se han trazado las rectas tangentes a
los extremos de los arcos y 4 (ver figura 4.59).
Figura 4.59
Nótese que 4 > — = 3,9
4
r, 5n 5lt 5j[
Para — se cumple sec — = csc — = -V2
4 4 4
Para el arco 4 se cumple sec4<csc4
Para el arco 6 se cumple tan6>cot6
I es verdadero y II es falso.
235

Problema 23
Describa los valores de K = senj^ G -^ j ,para todo
0; que está comprendido de ^ a y .
Resolución
Del enunciado - < 0 < ^
Formando 0— .tenemos
6
7t _ n 2n
— < 0 - - < —
6 6 3
Luego de representar y analizar en la C.T., (ver
gráfico) tenemos y
Figura 4.61
-1 < cosa <
1
Elevando al cuadrado
0 < cos2a < 1
Sumando 3 3 < 3 + cos2a < 4
• P
P = [3;4]
Problema 25
Calcule la variación de
E = jl -2 co sj^ y + í '|: ; V |x |< l
•••K = 2 :1
Problema 24
Determine los valores de la siguiente expresión
P = 3 + cos a , tal que a e ( - ; 4
Resolución
Representando a e (—;4) en la C.T., se observa
que
Resolución
De la condición |x| <T, tenem os -1 < x < 1
Multiplicando por
it m n
— < — <
2 2 2
-(A)
. J ( n~ n ro it 2j
Sumando : - - < y + - < y
,, . . . . ror n
Haciendo el cambio 0 = —-+ —
2 6
y reemplazando en E y en la desigualdad A ,
tenemos
E=¡1 -2cos0¡ ; - - < 0 < ^

f .
CAPITULO IV _______________
Representando 0 en |a C.T., se obtiene
• Y
2
Figura 4.62
--< c o s 0 < l => -I< l-2 c o s 0 < 2
2
=> O < |l-2cos0|< 2
E-
E = [0; 2,
Problema 26
Si 0e ^ ^ , para qué valores de m se cumple
, 1
que sen 0 - 2cos0 = m + -
Resolución
Por identidades se sabe sen20 = 1- cos2e
Reemplazando en la ecuación
1- cós2e - 2cos0 =m + ^
j¡
j* . %
Completando cuadrados
2-(cos0 + l)2 = m + ^
m = |-(c o s9 + l)2 ....(A)
Circunferencia trigonométrica
Representando 0 en la C.T.
Figura 4.63
Entonces, de la figura obtenemos
-1 < C O S 0 < —
2
Luego dando forma a ( A) para encontrar m,
tenemos que
Sumando 1
/o
0 < 1+ cos0 < 1+ —
2
O < ( 1 + c o s 0 )2 < ! + V 2
Multiplicando por -l
— - - n/ 2 < ( 1 + c o s 0 ) 2 < O
2
3
Sumando ~
-/2 < - - (1+ cos0)2< -
2 2
m
O
=
?> - Í2 <m < -
2
Expresando m como intervalo se obtiene
237

Problema 27
Calcule los valores de a2- l si se verifica la
siguiente condición:
, Jt'i a „ _ ^5rt
s e n U + - = - r ; 2n < ac< —-
6 ) & 2
Resolución
Form am os los valores de x +- , luego
6
representamos en la C.T. los arcos respectivos.
Del dato
„ . . 5n 13rt 7t„ 8rt
2 it< jr< — => ---- <x + —< —
2 6 6 3
Figura 4.64
Según el gráfico
-<senfx+-)<l
2 [ 6J
Sustituyendo, según el enunciado
- < a2 < 3
4
1 o
- - < a 2-l< 2
4
Problema 28
A partir de las siguientes condiciones
sen<j > cosl° —(1)
cosa < senl0. ... (2)
halle a en el intervalo (0; 360°)
Resolución
Lo haremos de la siguiente manera: de cada una
de las condiciones (1) y (2) obtendremos un
intervalo para a , pero como dichos valores deben
cum plirse sim ultáneam ente en las dos
condiciones, entonces nuestra respuesta será la
intersección de dichos intervalos.
A partir de
sena > cosí0
* ...(1)
uniformizamos las R.T. (por R.T. de ángulos
complementarios) obtenemos
sena > sen89° ... (2)
Representamos la condición (2) en la C.T. (se
sugiere observar la siguiente figura).
••• (a2- l ) =
i 2 Del gráfico se observa 89° < a < 91° ... (3)

De la condición cosa<senl°
uniformizamos las R.T cosa < cos89° .
(por R.T. de ángulos complementarios)
obtenemos
cosa<cos89° ...(4)
representando la condición (4) en la C.T. se
obtiene (se sugiere observar la siguiente figura).
De! gráfico observamos que los valores de a
verifican la desigualdad
89°< a< 27!° ...(5)
Al analizar las condiciones (1) y (2) se ha obtenido
las condiciones siguientes: 1
89° < a <91° => a e (89°;91°) ...(I)
89°<a<271° =j a e (89°;27Io) ...(11)
por lo que los valores de a se obtendrán de la
intersección de las condiciones (I) y (II)
■; 0 ) n (II)
a= 89°; 9Io
Problema 29
Del gráfico adjunto, halle PM en términos de a
(P es punto de tangencia).
R esolución
De la figura, se ha prolongado PR hasta cortar a
la prolongación de AM en Q.
Figura 4.66
Sea PM = C
De la figura, RQ=RA
C
n
/2+| sena | = 1+ |cosa |
eV2 - sena = 1 -cosa
„ 1+ se n a -c o sa
V2
n
/2
.-. PM = — (1+ sena -co sa)
239

. Lumbreras Editores Trigonometría
Problema 30-
Calcule 9 si se cumple
tan9 = -co tí — I
v19 J
además
-5 n < 0 < -4 n '
Resolución
7
1
Cambiando a — por su complemento, obtenemos ■
l a n e - « n ( ^ )
lan9' ' an( " ' s !)
Graficamos en la C.T. el arco
Del gráfico tenernos que
. 1771
0 = -4 it----
38
/. 0 = -
169ti
38
Problema 31
Si se cumple
tan(0 + (3) > sen2Xi + sen2jf2 ... (I)
1 + cos0 = sec2x, +; cscxj | ■ ...(11)
determine el conjunto de valores de la siguiente
expresión
P = 12senP—cos01 + ¡senp + cos0¡
Considere p en el IIIC.
Resolución
Del: 1+ cos0 = sec2x, + 1cscx21
• V jc,eR -(2K + D - ; K eZ
2
sec2jr, > 1
• V x2e R -nrc ; n e Z
|cscx2!> 1
Luego, 1+ cose >2 • cose>l
Sabemos V 0e R -l< c o s0 < l
podemos afirmar que cos0 = 1 ; 0 = 2Kn
también, siendo
• sec2*, = 1 =* secx, = 1 o secir, = -l
• ¡cscx2¡= l =
> cscx2= l o csac2= -l
Dell: tan(8 +p)>sen2x, +sen2x2
í
=> tan(6 +P)>l
=> tanC2Kn+P)>1 => tanP> l
Y¡
240

En la C.T. podemos observar que
fñ
-l< s e n p < —— ...(a)
Analizando P
P= 2senp-l + senp+l
P = 1- 2senP +1 + sen|3
P = 2-senP
De ( a ) por (-1)
1 > -senp >
V2
Sumando 2
Jó
=
> 3 > 2 -se n P >2 + —
2
=» 2+ — < P< 3
2
P= 2 + — ;3 /
2 /
Problema 32
. 1 . . 73
Si se cumple - < eos* < —
2 2 •
además 4 + tan20 = 4(cos2* + sen*tan0)
determine los valores de tan0 .
Resolución
4 + tan20 = 4cos2* + 4sen*tan0
4(1 - eos2*) + tan20 - 4serurtan0 = 0
-En la condición
4sen2x + tan20 - 4senxtan0 = 0
«
(2seav-tan0)2=0
de donde se obtiene tan0 = 2serur
De la desigualdad anterior obtenemos los valores
del serur, recuerde que
sen2* = l-c o s 2*
. 1 . . V3
luego -< c o s * < —
2 2
1 ’ ? 3
Al cuadrado - < eos2* < -
4 4
es decir - < l - s e n 2* < -
4 4
3 2 1
=> — < -se n * < - -
4 4
1 i
Multiplicando por (-1) - < sen * < -
4 4
Evaluamos la raíz cuadrada
1 , .7 3 73 . . 1
2 2 2 2
Multiplicando por 2
l< 2sen*< 73 v -7 3 < 2 s e n * < -l
Reemplazando 2sen* por tañe
1< tanO <73 v - 73 < tan0 < -1
tan0 = [ - 7 3 ; - l ] u [ l ; 7 3 ]
Otra forma
1 73
De la desigualdad - í eos* < —
obtenemos los valores de sen*; de esta manera
1 . - . 7 3 73 . . 1
=> - < sen* < — v ------< sen* < —
2 2 - 2 2
Multiplicando por 2
l< 2sen*< 73 v -7 3 < 2 s e n * < -l
1< tan0 <73 v -7 3 < tán0 < -1
tan0 = [ - 7 3 ; - l ] u [ l;7 3 ]
241

Problema 33
Encuentre la suma de valores de w en el intervalo
(0 ; 4«) , tal qué satisfaga la condición
1-sec3w = sen2a
Resolución
Sabemos que V a e R : -1 < se n a < 1
también 0 < sen 2a < !
Cambiando según la condición 0 < 1- sec3w < 1
Despejando sec3w: 0 < sec3w < 1
Pero debemos tener en cuenta que los valores
de la secante se representan en la'figura 4.70
, secante
CW
m
mM
M
M
UW
tW
h Mimmmmummmui ]
-1 0 1
Figura 4.70
Entonces
sec3w= 1
3w = 2n;4 n ;6 n ;8n; lOit; 12n;...
2rt 47t _ 87: IOti .
w = — ; — ; 2n ; — ; — ; 47t; ...
3 3 3 3 ,
pertenece a{0;4n)
Luego
■ v , 27t 47t 87t IOti . .
^ 3 3 3 3
Problema 34
De la figura mostrada calcule el área de la región
sombreada en función de 0.
242
Resolución
Cálculo de x en el triángulo rectángulo OBC.
(b)
Figura 4.71
BO = ^V 3 = ^ + l-2 x
Además el punto P es
, n f3 -s Í3 V3 + 1
(jc;jc-1) =1
3 - s Í 3
Cálculo del área S
S = ^ (m -n )
(¥)
W
sen©
1
c o s 0 ^ sen0
3 - Í 3 ^ - ¡ 3
_ 4
0
Reemplazando en (a)
sen0
r e c o s e
V 4
o
m
s = -
2
s=-
V3
/
sen0 +
Ll 4 J V
g _ 2^ i l l (s e n 0 _ COS0 + 1)u2

Problema 35
0
Del gráfico mostrado, determine el valor de tan -
Figura 4.72
En el k MOR: RO = ta n -
2
Luego, en el triángulo rectángulo PHR
l
. 0 2 1
ta n - = ----- —
2
ta n - + — 2tan§ + >/5
_ 2. 2 2
=> 2tan2- + /3 ta n --l = 0
2 2
Resolviendo la ecuación de 2do. grado
tan
e_ -V 3 ± V V 3 2-4(2)H )
2(2)
e V ñ -V s
tan - = ----- ------
2 4
c, . 8 VÍT + V3 . '
El valor ta n - = ------— se descarta porque
„ 0 n . . 6 .
0 < - < - , entonces tan - > 0
2 2 2
Problema 36
Si se cumple - 72 < sec(2jieosA) < -1
calcule los valores de M=secA
Resolución
Nótese que sec0 =
cose
-72< -
1
< -l
cos(2jtcosA)
En la condición
JS
=> - — > cos(2ncosA) > -1
Jñ
-1 < cos(2ncos A) < ——
Para averiguar los valores que asum e el
arco(27tcosA), analicemos en la C.T.
es decir ^ < 2rtcosA < —
4 4
Formando la expresión M
1 1 8
3 5 8
x - = , - < c° sA < - ^ - > — > 5
=> | < secA < | =» - < Má |
5 3 5 - 3
Luego, M=
8.8
15 ’ 3J
243

Problema 37
Calcule el área de la región som breada en
términos de a si PQ=QR.
Resolución
Seab=O Q
Figura 4.74
Calculemos los catetos OQ y MQ del triángulo
sombreado.
En ts.OBR: OR = jcsca |
Luego, 2(l+b) =I+|cscal.
Como a e 1IIC
„ „ , , , , 1+ csca
2(1 +b) = l-c s c a => b = -------—
En el Cs.MQR: MQ= (l+ b )tan (a-n )
1 -csca
MQ = tana
Problema 38
De la figura, si la m ed id a del arco AP es
numéricamente igual al perímetro de la región
sombreada más el área de dicha región.
Indique la verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones:
i) sen 6 < eos 0
ii) |sen©j< |©¡
iii) senj 9 ■
> ¡cos¡ jj
Resolución
Figura 4.75
Luego, S =
1
'2
s =tana
~ íT
( 1+csca V 1 -csca Y
2 r a
[ 7
[ 2 1 Del C0H02: x2+
K
2
¿ )
=> x = l/4
2
= ( l- * ) 2

Del dato:. 0 = 27u: + roc2
e = í + iL
2 16
0 = 17jc/ 16
De la C.T. se tiene
i) sen0 >cos0
i¡) ¡sen9¡ < 10 1, dado que 0>1.
iii) sen' 0; > ¡eos] 0 j| ; ;0 = 0, puesto que e> 0.
Finalmente
i) F ii) V iii) V
Problema 39
Del gráfico mostrado determine
De la figura mostrada SiM
N
P= ... (1)
Dato: tsOAM: AM= tan0
kOAP: AP = cot0
Pero
MP=AM+AP
MP=tan0 + cot0
KOO'N: O'N = tan0 siendo O'R=1
=> NR = tan9-l
Reemplazando en (1)
c (tan0 + cot0)(tan0-l)
paM
NP ~ 2
5 tan20 + l-(tan 0 + cot0)
/ = %
C
■
- = sec20 - (tan0 + cot0)
.-. sec20-(tan0 + cot0)
5
2
Problema 40
Calcule el área de la región som breada en
términos de 0.
(a)
.245

Resolución
De la figura adjunta, determ inarem os las
coordenadas de los vértices del triángulo B'QM.
• P y Q son sim étricos respecto al eje X,
entonces Q (cos0;-sen0)
• M es punto m edio de A'B, en to n ces
Luego calculamos el área de la región sombreada,
así
-COS0
isenO
2
cose ■
1
2 '
0
, -1
,*
■-senO
1
2
'*• -1
-cos6 +isen0
0
1 cose
2
i c o s e + i
2 , 2
s=
x cos0 + r V í -cos0 + 1 sen0 j
3 Q 1 A T
- cos0 — sen0+-
.2 2 2
S = -[3cos0-sen0 +l]u2
4
Problema 41
Determine la variación de la expresión
f = - + cot2í -c o s a )
3 13 )
Resolución
Considerando
-l< c o s a < l
hacem os P -^ c o s a
Reemplazando en f tenemos
n ii _ji
c o s a < -
3 3 3
=> f = - + cot2p
3
para hallar la variación de co tp , debemos tener
presente que pe
n . n
'3 ’ 3.
cotp
-{0}
73
3
73
3
Figura 4.78
De la figura, tenemos
c o tp < -^ p ó c o t P > ^
=» cot2p > - ó cot2P>
3 3
C O t 2p > ^
C 0 t 2 p + - > 1
3
f = [ ! ; + « )
246

Problema 42
Determine entre qué límites debe encontrarse p
para que no se cumpla la relación.
p se c - = sec -c o t20
Dato:
5rc
T i
Resolución
Calculemos la variación de cot0, representando
7T
í 571'
0 e — ; — ) en la C.T. en la figura siguiente.
6 4 /
De la figura anterior obtenemos 1< cot0 < V3
Elevando al cuadrado 1< cot20 < 3
f n ) n n 3n
multiplicando por I —i: ^ < ^ cot
ir re o~ ti 3u
Hacemos a = -c o t 0 =s - < a < —
4 4 4
Figura 4.79
Calculemos la variación de seca a partir de la
figura adjunta í a * ^ I>por definición de s e c a ,
entonces se cumple
se ca s (-°°;-V 2 )u { /2 ;+«>)
Por condición del problema, no se cumple si
->/2<seca<%/2
sustituyendo a por - c o t20 , tenemos . ¿
4 •
-Í2 <se cj^ c o t20j< Í2
-V 2 :£ p sec -< V2
4
-¡2 <psÍ2 <¡2
- l 0
senw -1
Resolución
Como 0 < w < 7i 0 < senw <1
n
Pero senw * 1 => w ?í -
2
(por la desigualdad del problema)
=> 0 < sen w < l o cscw > l
=> -1 < senw - 1< 0
Como (se n w -1 ) tom a valores negativos,
entonces la desigualdad ^csc w ~ ¿t > q
senw -1
se cumplirá si 3csc2w - 4 < 0
-2^3 „ 2^3
=> -------< cscw < - —
3 3
pero cscw >l
2
esc w <
1< cscw <
.-. cscw = (1;
2 S
3
2V3"
247

En la C.T. obtendremos los valores de w que
verifiquen
a Jt , 2sÍ3
8 < w < rr ; w * - ; 1< cscw < - —
2 3
De la figura se concluye
Ti
2 íl_ f*l
.3 3 J í 2i
Problema44
Determine el máximo y mínimo valor de
E = 3sen8-2cos2a
sabiendo que las variables 8 y a son
independientes entre sí.
Resolución
V 6 ,a e R , se cumple
• -l< se n 8 < l =* -3 < 3 sen 8 < 3 ...(1)
• 0 ^ co s2a < l => -2 < -2 c o s2a < 0 ...(2)
Luego, para conseguir los valores máximo y
mínimo de E reemplazamos convenientemente
Emá* = 3sen6 - 2eos2a
n r o ~ "
•••Emáx=3-
Ejrun = 3sen8-2cos2cc
~ r
E
m
(n=- 5
Como cty8 son variables independientes,
entonces se pueden sumar las desigualdades (1)
y (2) obteniendo
-5 <3sen8 - 2cos2ct < 3
E
E= [-5;3]
Problema 45
Si pe ( “ i ? ) simplifique
2 4 /
^ _ jsenp - cosp |, cosp+senp
cosP-senp cosP+senP
Resolución
Representando en la circunferencia trigonométrica
a los valores de p y las funciones seno y coseno.
Del gráfico se tiene que cosp > 0 ; senP < 0
luego cosP>senP => senP -cosp< 6
Además
|cosP|<|senp]
cosp - senP
=> cósP+senP<0
Puesto que ya sabemos los signos de senp - eos P
y cosP + senP, aplicamos la definición de valor
absoluto en M
^ _ -(senP-cosP) -(cosP+senP)
cosp-senP cosp+senp
M= l—
( —
1)
.-. M= 2

Problema 46
En la C.T. que se muestra, exprese tana en
términos del arco 0.
X
Resolución
De la figura, por simetría los ángulos BTO y B'TO
son de igual m edida (a) com o PH//TO ,
entonces los ángulos BTO y TPH son de igual
medida (a).
Luego en el C
x BHP tenemos
1+ |sen0|
tana =
|cos0|
%'
y ¡cos0| = -cos0 yaque OellIC
, pero |sen0| = -sen0
=> tan a =
1 -sen0
-cos0
tana =
sen 0 -l
COS0
Problema 47
Halle la variación de la siguiente expresión.
t I 2T n _ /5 n 5n~
f = ! s e n a - - - s e n - ; V a e l — ;—
5! 4 6 4 J
Resolución
Analizando en la circunferencia trigonométrica
2 2
Sumando (-2/5): - — - - < sena - - < —
2 5 5 10
En la recta numérica (ver figuras 4.82(b) y4.82(c))
(c)
Figura 4.82
Es decir, 0 < s e n a - - <
2 ' Í 2 2
5 2 5
Sumando -
f =
J 2 ) V2
V2 ,2
’ 2 ’ 5.
2
sena —
___
{
v 5 $ 2
’ 2 5
249

Problema 48
Hallé la variación de la’expresíón siguiente
- P = -c o s 6 -s e n 6 -N
/í-2sen0eos© '
sabiendo que Se it; — )
Resolución
En prim er lugar, simplifiquemos la expresión
dada, para ello utilizamos la siguiente identidad
fund am en tal sen20 + cos20 = 1 la cual se
dem ostrará más adelante.
P = - cos0 - sen 0 -7 sen 20+ eos20 - 2sen0 eos 0
P = - cosG - senS - •/(sen0 - cos0)2
P = - cos0 - sen0 - 1
sen0 - eos 01
Del dato 7t < 0 < —
. 4
Representando estos circos en la C.T. se obtiene
Hallando los valores del senO
Figura 4.83
=> <sen6<0
2
Multiplicando por (-2)
V 2>-2sen0>O
P
P = {0;V2)
=> sen0<O ; cos0<O
Para él intervalo dado
sen0>cos0 => sen0-cos0>O
Luego
P = - cosS - sen0 - (sen0 - cos0)
P = -2sen0*
Problema49
Halle la variación de 0 en el recorrido
el área de la región sombreada varía entre
, n i/3 .
1+sen - ; — +1
7 2
N3|
íl

CAPÍTULO IV
Resolución
Designando S al área de la región solicitada y del
gráfico anterior obtenemos
2sen0 2x1
S = -----+ ----- => S = l + sen0
2 2
Reemplazando en la desigualdad dada
1 +s e n - < 1+sen0< — + 1
7 2
n J 3
=> s e n - <sen0< —
7 2
Expresamos en una recta numérica los valores
del sen0 , luego proyectamos estos puntos en la
C.T., así
— < 0 < —
3 7
2n 6 7t
y ’T
Circunferencia trigonométrica
Problema 50
Del gráfico adjunto, halle la distancia entre P y Q.
Aplicando la fórmula de distancia entre dos
puntos (ver página 166) tenemos
PQ = ,j(cot0-l)2+ ^ l- ta n jj + 0 jj
pero ta n ^ + 0 j = -cót0
=* PQ = V(cot0 - 1)2+ (1+cot0)2
Efectuando PQ = V2(l + cot20)
PQ = V^Ccsc2©) =V2¡csc0¡
y como 0e IIC => jcsc01 = csc0 >
PQ =¡2 csc0
251
/. 0 =

Lumbreras Editores
Problema 51
En la figura mostrada se tiene una circunferencia
unitaria en el sistema XY, además 0 es un ángulo
en posición normal en el sistema X'Y'.
Calcule tan© en términos de a .
Resolución
Para hallar la tan9, en contrarem os las
coordenadas del punto P en el sistema X'Y'
Las coordenadas del punto P en la circunferencia
trigonométrica son de la forma P (cosa;se n a ).
En el sistema X'Y' las coordenadas del punto P
son de la forma P'(Y; y') del gráfico
x' = -(l+ ¡cosa|)
y' = l-|sen a¡
Trigonometría
Como a e I1IC se tiene
jcosa ¡= -c o sa ; jsena¡ = -se n a
=> x' = c o s a -l ; y’= l + sena
Finalmente, aplicamos la definición de razones
trigonométricas para ángulos en posición normal
en el sistema X'Y'
v'
tanO = —
x' ,
Reemplazando
. 1+sena
tanO = ----------
cosa-1
Problema 52
Del gráfico m ostrado, si el triángulo PTR es
equilátero y PE = OR, determine el valor de
E = /3sen0 - 2cos0
Resolución
252

De la figura extraemos el triángulo rectángulo TMP Reemplazando en E
E = V 3 x -|= -2 x
(c)
Jó
=* PE = !cos9j----- !sen0
Además
TP=TR (lados del ATPR equilátero)
=> TP = TO+OR; pero OR=PE
=> TP = TO + PE
o /o fñ
=> — —|sen0 ¡= |co s0 ¡+!cos0 |----- |sen 0 j
O ó
=> v/3|sen0| = 2;cos0j
Como es evidente 0e IIC
=> s/3se 10 = -2cos0
sen0 _ 2
cos0 V3
2
=> tan0 = — 5=
V3
Figura 4.87
Luego obtenemos
Q 2 ' &
sen0 = - 7
= a cos9 = —
s¡7 V7
E =
4V2Í •
V7
-v'a
Problema 53
En la figura mostrada, determine las coordenadas
del baricentro del triángulo TMO.
Figura 4.88
La ecuación de la circunferencia Jt^+y^S2indica
que el radio de la circunferencia es (r=3),
entonces no se trata de una circunferencia
trigonom étrica. D ibujando un ángulo 0 en
posición normal, tal que un punto de su lado final
sea P, para relacionarlo con a m ediante la
fórmula de longitud de arco, así:
En el sector circular POQ: a = 0x3 => 0 = —
3
253

Si las coordenadas de P son (x;y), entonces
x = 3cos0 ; y = 3sen9
Los puntos P y Mson simétricos respecto al eje X,
entonces M(3cos0;-3sen0)
Asimismo T(3sec6;0)
Sean los puntos A(x,;y,) ; B(x2;y2) ; C(x3 ;y3)
para los vértices de un triángulo, luego las
coordenadas G(x;y) del baricentro de dicho
" triángulo son
^ _ £ L+£2+J
r j . - _ y ,+ y2+y3
3 ’ r 3
Aplicando en el triángulo TMO, con baricentro
G(jr;y)
0 +3sec0 +3cos0
= sec0 + cos0
O +O+ (-3sen0)
-sen9
Finalm ente expresando en térm inos de a ,.
obtenemos
G Ísec—+ cos— ; -s e n —1
^ 3 3 3 J.
Problema 54 *
En la siguiente circunferencia trigonométrica,
determine la ordenada del punto P.
Resolución
Para resolver este problema, debem os tener
conocimiento de las siguientes propiedades:
(-------:----- "'t
, mn
n = -——
m +n
__________
Aplicando en el problema
sen0(-cos0)
sen9 + (-cc
sen0cos9
cos0 - sen©
254

Problema 55
Determine la variación de Y en cada caso.
i) K= 2cos220-4cos20
ii) K = 2sena + ^3 ; siO < |a f< ^
Resolución
i) Completando cuadrados
Y = 2(cos220 - 2cos20 +1) - 2
Y = 2(cos20-l)2-2
Sabemos que si 9e R
=> 20e R
= * - 1 < c o s 2 0 < 1
Formando la expresión Y
Sumando (-1)
=> -2 < c o s2 0 -l< 0
=> 0 < (cos20 - 1)2< 4
C < 2 ( c o s 2 0 - 1 ) 2 < 8
=> - 2 < 2(cos29 - 1)2- 2< 6
Y
Sumando (-2) => - 2 < Y <6
Representando los valores de a en la C.T.
Del gráfico obtenemos
V3 V3
------< s e n a < — ; sen ad o
2 2
=> -¡3 < 2sena< -J3 ; 2sena*0
=> 0 < 2sena + V3 < 2^3 ; 2sena +¡3 *-j3
— f y
/. > '= [0 ;2 ^ ]-{ V 3 }
. . y =[-2; 6] Problema 56
Si x es un arco positivo menor que una vuelta y
ii) Como 0 < |a |< - perteneciente al tercer cuadrante, entonces halle
^ los valores de
A partir de esta desigualdad obtenemos los
valores de a . Para ello debemos recordar Y = 2 -6 c sc 2
que si 0 < J a | - b < a - —¿ <
x< - ; a 3 0
3 3 '
Resolución
Del enunciado, tenemos
fe 1171
7t < X < — = > t;— < X +
2 6
5)i
6
<
7n
T
255

De la figura obtenemos
1 f Sn) V3
* — <sen x+<— < —
2 6 J 2
=» 0 á se n 2| x + ^ ) < - - 0 )
6 J 4
Como
CSC
H ) - sen
t - f )
=> sen2^ x + ~ j * 0 -( 2 )
Así de (I) y (2) obtenemos que
• 0<sen2f x + ^ j < |
Si y < jc < Z A íy > 0
I 1 1
=» - >- >
y x z
2i 5t
c^ 3
sen x+ - '
6 ■
=> csc2f x + ^ j > ^ => -6 csc2^ x + ^ |‘
< —
8
=> 2 - 6 csc2| x+ — |< -6
=> / < - 6
Y = { - ~ ;-6 )
Problema57
Determine la variación de
A = -
1
eos x - cosx
Resolución
R ecordando cos2x = |c o s x f, entonces en A
tenemos
1
A = -
cosx - cosx
Completando cuadrados en el denominador
1
A =
A = -
,2 , 1 1 1
cosx! - 2 | C o s x | x - + - - -
1
Sabemos que V xeR ; - l< senx< l
=> 0 £ k o s x |< l
Sumando (-1/2)
=» - ^ < ! c o s x |- ^ < ^ ,
2 1 1 2 2 •
256

Elevando a! cuadrado
=> 0 <1 eos* - - <
L 2J ■
_ _ <
4~
cosx - -
2
- ; < 0 ...0 ) '
4
Para que la expresión representada por A esté
definida, se debe cumplir que
cosx -- * 0
4
Luego, de (1) obtenemos que
=s>----<
4
1
c o s x ----.
2_
- I < 0
4
-4 >
r
2
i
cosx - -
L 2. 4
=> -4 > A
A e{ -°°;-4 ]
Problema f»8
Dada la figura, determine el área de la región
sombreada en términos de a y 0; siendo estos
arcos en posición norm al en los sistem as
coordenados XY, X 'Y respectivamente.
Resolución
Es necesario indicar que el sistem a X 'Y ' es ,
generado por una rotación igual a a respecto al
sistemaXfi.
(b)
Figura 4.92
Además consideramos que el punto Aes el origen
del arco a en XY y el punto A' es el origen del
arco 6 en X Y ', designemos S al área solicitada.
Observamos que en el sistema XY el extremo del
arco P tiene por coordenadas
(cos(0 + a ) ;sen(0 +a))
En el CsTRO
TR = |cos(0 + a) jsena
pero (0 + a) e I1C, en XY
=> |cos(0 + a)j = -cos(0 + a)
TR = - cos(0 + a)sena
PT = | sen(0 + a)( = sen(0+a)
Además m<PTR =n - a
Sabemos que el área de una región triangular es
igual al semiproducto de dos lados, multiplicado
por el seno del ángulo comprendido.
Del gráfico S= sen (n -a)
257

Reemplazando , ,
_ sen (0 + a )[-co s(8 + a)sen al
S = ------------- 1— - ----------------— sen(n - a)
g _ -2sen (8 + a)cos(8 + a )sen 2a
4
g _ - sen(28 + 2a) sen2a
• • " 4
Problema 59
De la figura, halle el área de la región sombreada,
en función de 0 siAM=2MO.
R esolución
Del gráfico se observa que
• l+3h+htana = ,csc9i
=> 1+h(3 +tana) = -csc0 ... (i)
371 *
0 +a = — => tana = cot9
2
De (i): h = - :..fíü
í 1_+CSC0'
[cot0 + 3,
Si S es el área de la región sombreada
luego S = ^ (-csc0 -l)h ... (iil)
( 0 en 00 y simplificando obtenemos
s_1(
1
+
c
s
c
e
)2
~
2
(3
+
c
o
te
)u
2
Problema 60
/ it 5n
'---- *
--- }
24 12/
expresión
Si 9e 7 Í7 / calcule los valores de la siguiente
H
=
c
o
s3
0
+
fsen2
-
Resolución
Para este problema debemos tener en cuenta las
siguientes identidades que se estudiarán con
mayor detalle en el capítulo sobre identidades de
arcos múltiples.
2sen20 = l-cos28
cos30 = 4cos30 -3cos0
4H = 4eos30 +3x2sen2-
2
4H = 4cos30- 3cos0 + 3 ; Identificando
la identidad
4H= cos30 +3
de circo triple
H = - cos30 + -
4 4
De la condición
n . 5rc ji __ 5n
— < 0 < — =* - <30< —
24 12 8 4
258

En la circunferencia trigonométrica
Multiplicando — y sumando —, obtenemos
2 ~ 8
H =
_
1. 6 + V2W 2
2 ’ 8
Problema 61
Ordene en forma creciente
covl, vers2, exsec4
Resolución
Utilizando los segmentos dirigidos, tenemos
Problema 62
Siendo 0 un arco positivo y menor que una vuelta
para el cual se cumple
/vers20 + Vcov 0 - 1 < tan— + 2se n -
4 6
calcule el valor dé
K = cov20+vers0
Resolución
De la condición
3 7 1 , ti 1
tan— = - l ; s e n - = -
4 6 2
entonces
Vvers20 + Vcov0 - 1 < 0
de lo cual, sólo se cumple para
Vvers20 + %/cov0 - l = 0
tal que
fvets20 = O .a Vcov8 - l = 0
Se tiene
i) vers20 = 0
1- cos20 = 0
=> cos20 = l
es decir 20 = 0 ; 2n ;47i ;...
=> 0 = 0 ;n ; 2n ;...
ii) covO - 1 = 0
l-s e n 0 -l = O
=> sen0 = 0
=> 0 = 0 ; 7t; 2t
c
De (0 y (h) elegimos 0 = n , por enunciado del
problema, sustituyendo este valor en k
k = cov2n+ versn
De la figura ordenando en form a creciente
obtenemos: exsec4 ; covl ; vers2 k = 3
259

1. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son
negativas?
1
. tan(3;8) II. coslO III. sen(-4)
IV. s e n ( - f ) V. cot(jt-l)
A) I y II
D) II, IVy V
B) I y IV C) Iy III
E) III y IV
5.
2. Represente las figuras correspondientes en
la C.T. y halle los valores de
I. sen9 + cos9 + tan9
II. seca - csca .cota
siendo 0 = — y a = —
4 y 6
A) -1;
C) -2;
D) -2 ;-
_ W3
3
4n
/3
3
W3
3
E) -1; -22
3. D eterm ine el valor de verdad de las
proposiciones.
I. sen2 + cos2>0 7.
II. sen4-cos4< 0
III. sen5 + cos5>0
A) FVF B) FFV C) VFF
D) W F E) VW
Si el arco a en posición normal tiene su
&
extremo en ei cuarto cuadrante y cosa = — ,
2
* 3
obtenga el valor de tan a + se n a .
2 3
C)1
a) t i -
2 3
« 5 E ) 7
De la circunferencia trigonométrica mostrada,
halle PQ en términos de P
A) 1+senfi B) 1-senP C) 1+ cosp
D) senP +cosP E) 1-cosp
En una circunferencia trigonométrica las
coordenadas del extremo de un arco 9 del
segundo cuadrante son ~ | . Determine
las coordenadas del extremo de arco dado
por 9 + n.
4. D eterm ine el valor de verdad de las
proposiciones.
I- tan3 > sec3 > csc3
II. tan (-l)< co t(-l)< se c(-l)
III. tan2 > cot2 > sec2
A) FFF B) FVF C) VW
D )FW . E) W F
V2.-V2
A) 2 ’ 2
V
í V 3 . - r
C) 2 ’ 2
v,
( 3
D)
[ s ’ 5 )
( 2 - J s ]
B) 3 ’ 3
/ V 7
'5 .- ^ 'j
E)
13’ 13J
260

8. Se tiene los núm eros reales x, , x2 en el
recorrido - itc x, < x2 < - ^ . ¿Cuál de las
siguientes proposiciones es verdadera?
I. sen (-x ,)< sen (-x 2)
II. cosx,> cosx2
III. |senx, j> sen*21
A) I B) II C) III
D) I y II E) II y III
9. Si a e (30°; 345°), halle todos los valores de
se n d -se n 2a
A) - 2;
2
D) (-1;!)
C) [-2;1;
E) (M )
10. Si 0e IIC, halle la extensión de la siguiente
expresión:
sen0+ cos0
A) (— ;0] B) C) (-« ;-!)
D )R - E) <-!;!}
11. Si x elIIC , halle los intervalos al que
pertenece la siguiente expresión:
vi - 2tanx + tan‘x
A) R* B) R C) R —
(—
1;1)
D) (l;+~) E) [l;°°+)
12. Halle el m áxim o y m ínim o valor de la
siguiente expresión: cos(senx).
A) 1¡cosí B )cosl;l C) cosí ¡eos^
D) 1; eos ^ E) l;cos2
13. Ordene de mayor a menor
oc= tan^-vers^ | ; (3=-sen(cov2) y
i)
A) a .P .ó B) P .a .ó C) <)),P,a
D) p .ó .a E) a,<t>,p
14. Ordene en forma ascendente
cot26 , cot25 , cot24 , cot2l , cot23
A) cot25 , cot2l , cot26 , cot24 , cot23
B) cot2l , cot25 , cot24 , cot26 , cot23
C) cot26 , cot23 , cot2l , cot24 , cot25
D) cot25 , cot2l , cot24 , cot26 , cot23
E) cot2l , cot24 , cot23 , cot25 , cot26
15. En la figura adjunta, se tiene una
circunferencia de ecuación x2+y2= l, donde
M y N son puntos medios de los segmentos
PB y MQ, respectivamente.
¿Entre qué valores se encuentra la ordenada
deN ? (PelIIC)
D) Oy 1 E ) i y i
261

j Lumbreras Editores Trigonometría
16. De la C.T. mostrada, calcule las coordenadas
del punto M (siendo M punto medio de AP).
C)
i-cote.,-i
2 ’ 2
UJ17. Del gráfico, halle la abscisa de P.
O ------------------
1 2sen0 +3cos0
' D)
1- sen0
cos0 - 2sen0
E)
1- sen©
2sen0 - cos0
18. Del gráfico mostrado, halle (B'H)2-2HT en
función de 0.
A) -sen© B) -cos0 C) sen0
D) 2sen0 E) -2cos0
19. Del gráfico adjunto, halle el valor dé la
expresión — + 4
4r 4
D) sec20+ ^ E> sen6
1S262

20. Si 0 e , s e n l ; ^ , calcule la secan te de
-sen 9 cuando sen0 es máximo.
4
A) V3
D) 3V2
B) 42 C) 242
E) 3V3
21. Si cov0 - versa = 0, calcule
M= tan seca - csc9 + -
l 4
A) 0
D) 3
B) C) 2
E) 4
22, Si 2 < 10 1< — , halle la variación del cos0.
2
A) (-1;1 B) (—
1;0) C) [-1;0>
D) [-’
:;0] E) [—
1;1]
23. Siendo la expresión k - 4 it - t = 4 2t —
5
donde k es real, calcule el máximo valor de
exsect:
A )-4 - B) -3 C )-2
D)O E) 1
24. Del gráfico, si PB' = 2PQ, calcule
N = sec0 + tan9
A) -V Í3
B) -4Í9
C) -4Í5
D) -V í7
E) -V47
25. Del gráfico mostrado se tiene que el producto
de las áreas de las reglones ARQ y QB'T
adopta la forma
- + asen0 +bcos6 +csen0cos0
4
Calcule a+ b+ c
P y Q son puntos de tangencia, .2y/,S?2
D ) 4 « 4
26. Sabiendo que v e ;5 ,halle el mayor valor
de A y el menor valor de B, respectivamente,
tal que A < 2cosí — ■<B
A) -1 y 2 B) Oy V2 C )-V 3 y V 2
D )-V 2yV 3 E )-2 y V 3
27. Sabiendo que se cumple exsec© = 4 -cova
adem ás 7 < a < 9 ; 5 < 0 < 7 ,calcu le 2a + 0
A) 5n B) 6ít C) 7n
D) 8it E) 9n
263

28. D eterm ine la sum a del valor m áxim o y
mínimo de la expresión:
31. Sabiendo que f(0) = jsen|0| + sen8 ,
1 1
r + -
2+sen0 2-sen0
sabiendo que Í2<Q<
4ji
2 2
además < 02 < — ,
36 9
calcule M = f(0)m
¡n + f(cos2) +2
A)
16
13
B)
18
13
A) 3
D) 2
B) *cos2 C)v/3 + 2
J E) 0
29. Dado 8e
C ) 3
10
E) T
32. Calcule el máximo valor del arco ó negativo
que cumple V3tan0 = ^senx + 8 , sabiendo
~5n
^ ^ ), calcule la variación de
6 6
que x pertenece al intervalo -;37t
t = COS2 0 + COS0
» - í
2n
C ) ~ T
A )[o ;3* 275] _
D , - f
u n
« - y
B)
C)
[4 =
[-H
3 + 2>/3
4
3+V3
4
33. Determine la variación de k = tan2a - 7 , si
D )[
3-2V 3 .
' 2J
E)
H ]
7n . . 1In
¡ 2 < |a |< -¡2-
A) (0; 7)
C) [2V3 ; 7)
D) (-1; 2 V3 )
B) [-7 ; 2V3)
E) (-4V3;4V3)
30. Los arcos a y 0 p erten ecen al tercer
cuadrante; son positivos y menores que una
vuelta. Halle los valores de 0, sabiendo que
csca - 2cos0 = 0.
. /7jc . 3n
B) 6 ’ 2
7n _
4ti
A)
.y’y
/ .4ít
C)
’3 /
4t
c
D) n-'^
T
34. Siendo x un arco perteneciente al intervalo
/g
(-ti ; 0), además -1 £ senx < —— , halle la
variaciónde k = >/3tanjj ;í - ^ j + 1 .
A) (1 ; 2} B) (V2 ; 2} C) i 2
E)
4rr 3n
t ’ y
D) ( 2 ; V E)
¡ y/2 . 3
2 ’ 2 /

35. Sabiendo que se cum ple sen(ncosa)> 0,
halle los valores de a en el intervalo de
r0;2rt .
,, rn r 3n
» [ 0 ; ;
B) [ 0 ; j t ] u ( ^ l
L¿ J
371
2ti '
C) [ 0; n ] u
D) o ; f
2n¡
2 /
y ; 2n cj{ti}
E) ; re
2 /
36. Si 7t<ó<2jt, adem ás - — < c o s p < 2 ^
4 4
halle la extensión de tan2<
)>
.
9
A) .7
B)
15
D) ■ooj
C) [15 ;oo)
E) [7 ; oo)
37. EnlaC.T. mostrada, calcule M= (2§ + 0)cot0
§: área de la región sombreada.
y i
C.T.
D)
E)f
38. Siendo - 2 n < x < y < 0 para los cuales se
cumple covx - exsecy=2, determine el valor
de M=sen(x+y)+cos(2x+y).
A) 0 B) 1 C) -1
D) -2 E) 2
39. Calcule el valor máximo del área de la región
sombreada en la C.T. mostrada.
40. Halle §,§2de la C.T. mostrada, siendo §, y §2
las áreas de las regiones sombreadas.
A) - ( l + cos0)(l + sen0)u4
4
B) ^(l + cos0)(l-sen0)u4
C) ^ (l +sen0)(N cos0)u4
D) “ (l + cos0)(l-sen0)u4
E) -(l~ co s6 )O -sen 0 )u J
1 4
265

41. Del gráfico, halle el área de la región
. sombreada.
A) ~cot0 B) |ta n 0 C) ^ sen 0 u 2
D) |c o s 0 u 2 E) 72 tan0
42. Halle el área de la región som breada en
términos de 0.
-sen0cos0 -sen<j>cos<|)
2(1+ cos20) l+2sen<|>
C) -sen<|)cos(l)
D )"
COt<() ^2+sen20 ^
l+ sen20
E) - -sen0cos0
43. En la circunferencia trigonométrica adjunta,
A representa el área de la región sombreada.
Calcule Asec0(sen0 -1)
Nota: Mes punto medio de OB
D)
1
E)
4 2
. r
44. D eterm ine -el valor de p + q, siendo
|^psena+qcosa + - J la expresión que
representa el área de la región sombreada.
D) - | E) -1

términos de 9.
D) -tanQ E) 4tan
46. Del gráfico m ostrado, calcule las
coordenadas del punto P.
A)
tan9 tan9 i
l-ta n e ’l-tan8 J
í 1 -tan9
B I^l-tan9’l-tan9
f 1 -tan 8 'i
l l + tan9’l-tan 9 j
D)
E)
f 1 , -tañe '
1
I l+ tan9’l + tan9J
( I . tan9 '
jl-ta n e ’l-.tanQ^
47. De la C.T. mostrada, halle PQ en función de
9.
A) cos9 + sen8
B) cos9-sen9
C) cos6 + 2sen9
D) -co s9 -sen 0
E) 2cos9-sen9
48. Halle el área de la región sombreada.
C) sena + cosa
D) se n a-co sa E) sen a-2 co sa
267

49. De la figura adjunta, halle el área de la región
sombreada.
A) -^eos9(2-cos0)
B) -^cos9(2 +cos0)
C) ^senOcosO
D) -~cos6(2 + cos0)
4
E) -cos0(2 +cos0)
50. De la figura mostrada, calcule 15sen0
51. Apartir del gráfico, halle el área del triángulo
sombreado en términos de a y 0.
B) ^(cos0coscc - senOcosa + senacosO)
C) ^(cosO- cosa + senOcosa -senacosO)
D) ^ (sena - sen0 +senOcosa - senacosO)
E) ^ (sen©- sena +senOcosa - senacosO)
A) 2J2+V6
C) V6 -V 2
D) J2 + V6
r»
B) 2V6-V2
E) 2(V2+V6)
52. Si a y 0 son ángulos agudos, calcule el
senacosO
intervalo de M=
(sena +cosO)2
A ) (0 : ¿
D) (2; 5)
BM ° ; 4 0 ( 0 1 -
E) (3; 6)
53. Si — < x < — , halle la variación de
6 2
M= 4sen2j^serurj+2
A) [1 ; 4] B) [2 ; 5] C) [3 ; 6]
D) (2 ; 5} E) (3; 6)
268

54. Si secGs 2 ; 4 , determine la variación de
E _ 2 + 4cos6
2 + 3cos0
A) {¿ ;1 ¡ B) C)
12.8
i r 7
m ]2' 1
D) " i r 8:'
E)
ooir**
=
12
55. De la siguiente circunferencia trigonométrica,
halle la abscisa del punto A.
Y *
C)
tan6 - cote
tan0 + cote
D)
cote
tan6 + cote
E)
cote-tan6
tan0 + cote
A)
B)
C)
D)
E)
2cosa + cos0
3
2cosq - cose
3
cos6-2cosa
3
-2cosa-2cos6
3
2cosa + cose
4
57. Del gráfico, halle el área de la región
sombreada en términos de 6.
56. Del gráfico mostrado, determine la abscisa
del punto N, si PN=0,5QN. A) 2+ cose
„ 4-sen e
C 2
4 +sen6-cose
' 2
B)
4 - sen e+cose
2
*
„ 4 + cos6
E ) —
58. Para qué valores de q la relación
exsecO = 0,25(2q - 5) no se cumple.
A) < -l; 1 B) (-2 ; 2,5) C) (-1,5; 2,5)
D )(0 ;2 E) (1,5; 2,5}
269

59. Si cos9e [-1; -0,5], halle la variación de 6
cuando 0e[O ;4it].
A)
B)
2rr . 4n
y ’ y
Jt 2n
3 ’ y
8n _ 10n
y ’ i r
3n 5it
y ’ y
C)
571 471
u
13ji .
6 Y . .I T ’ 3 .
D)
571 7n
u
’8rt 10rt
Y "6 . . 3 ’ y .
E) [0 ; 2n]
64. Del gráfico adjunto, halle PC en términos de 9.
A) Vcot20-2csc0 + 2
60. Six es un arco positivo del segundo cuadrante
y menor que una vuelta, halle la variación de
tan(x+y) si - < y < ~ .
4 3
A) (-1 ; y¡2) B) [-1 ; J í ] C) (-1 ; S )
D ) ( - 1 ; v
/3] E ){0;V 3)
61. Si 0 < a < í ; í< P < rt ; J i < 6 < 2 n , calcule
la suma del máximo y mínimo valor de
E = 2sena - 3cosP + 4sen0
A )-l B) 2 C)0
D) 1 E) -2
62. Calcule el producto del máximo y mínimo
valor de f(o.B.e) = 2sen2a - 3 |c o s P | + sen0 ,
siendo a ,P y 0 independientes entre sí.
A) 0 B) 4 C) 8
D) -8 E )-12 *
63. Calcule 0, sabiendo que es positivo, mayor
que una vuelta,"pero menor que dos vueltas
y pertenece al tercer cuadrante, además
- • Jt
sec0 = -c s c —
14
23n 24rt , 25a
A)
7 . B) ~ T o - r
26jt 22ji
D)
7 E ) y
B) Cos20-2sen0 + 2
C) -/tan20-2sec0 + 2
D) sj2{senQ +cos0 +1)
E) yjsec20 -csc0 + 2
65. Siendo 0 un aireo, el cual cumple que
2 .
—
¡=< csc0 < y¡2, halle los valores de cos0.
V3
A)
B) .
r
u
1 . Í2
2. .2 ’ 2
V2
u í— ; lj
2 L 2 J
2 _
~_y¡2 . y/2
. 2 ’ 2 .
2
66. Halle el rango de la función y = tan2* en el
5n n
“ T ' 3.
recorrido
A) [3 ; +~> B>
D) [l ; +«•)
| ; + “ } C) [2 ; +«}
E) [V3 ; +°°)

CAPÍTULO IV__________________ ________________________________ Circunferencia trigonométrica
67. Si 0 e ^ ^ , determine cuál es el intervalo
L 6 3 .
de variación del área sombreada.
A)
(2 -sec9 )(V 4 -sec28)
2
A) (0 ; 2) B) {0;1) C) (1 ; 2)
D) 7 3 ; 2) E) [0 ; 2,
69. En la circunferencia trigonométrica mostrada,
determine el área de la región triangular ABC
en términos de 0.
(2 -se c 0 )(/4 -se c 2e)
B 8 ----
(2 - sec0)(V 4-sec20)
} 4
q) (2 - sec0)(V4 + sec26)
4
(2 - secO^VÍ+sec2©)
E ) _ 8 *
----
70. De la figura, G es el baricentro del triángulo
OPQ. Calcule la ecuación de la recta que pasa
por G y por el origen del sistem a de
coordenadas, en términos de 0 y <|).
B
)y=
tan|^^j-x
C) y = t a n ^ ^ j - x
D) y = c o t^ ^ i—j-x
E) y = c o t ^ ^ j - j r
271

3 1 - 3
71. Si sen0€ — : - - u ( - ; l ) , en tonces
. 4 2J 4 /
halle todos los valores que toma | tan01.
A)
B)
C)
D)
s
3
3V3
’ +°7
; +oo
V3
o I
3*¡3
1+°°
3V3
r
E) [O; +<*>)-
s
3
Zs¡7
7
72. De la circunferencia trigonométrica, determine
la ordenada del punto P en fundón de 0.
D)
1
2-csc0
E)
1
1 -s e c -
2
73. Considerando la recta numérica & como un
hilo inextensible, de la m ism a escala del
sistemaATyla envolvemos en la C.T. tal como
se muestra en el gráfico. Calcule la distancia
entre los extremos de los arcos 3 y -2.
V»
términos de 0.
A) ^ J ts e c J ® -2sen0j
B) ^ rts e c 2! + 2 ta n |-‘-2sen0
C) -íítse c2? + 2tan^-4sen0
4 ^ 2 2
D) ^ s e c J| + ta n |- s e n e j
E) - f tan2-+ ta n - -s e n 0 j
4Í . 2 2 )

75. Sabiendo que 0 es un arco positivo menor
que una vuelta, halle los valores de 0 a partir
de la siguiente desigualdad
tan20-1__________
tan[cot(14,56)]- tan[cot(30,12)]
A)
K
I3n .
B)
T ;'
!7n ,
C)
'íT :'
- / 71
D) i - - r ;—>
, 4 4
E) A uB
r. Conectada al punto A está otra barra AB
de longitud L > r y el punto B está conectado
a un pistón. Calcule x, donde 0 es el ángulo
de rotación de la manivela OA. -
A) rcosB + Vr2cos20 +L2- r 2
B) rcosG - Vr2eos28 +L2+ r2
C) reos© + /r2eos20 +r2- L2
76. De la siguiente condición
cos2
x,>cos2
x2 (x, ;x2e R)
las proposiciones incorrectas son
I) sen:x,e [0; 1]
II) eos2x2e [-1; 1]
III) tanx2e R -{ 0 )
IV) cotx,eR -{0>
A) I, II y III
B) II y III
C) I y II
D) I y III
E) Todas las proposiciones
77. La m anivela OA ¿véase ja gráfica) gira
alrededor del pupto fijo O de manera que el
punto A se mueve sobre un círculo de radio
D) r eos 0 - Vr2eos20 +L2- r2
E) rsen 0 - Vr2eos20 +L2- r2
78. Siendo a , A, B, C, y D núm eros reales
positivos, tal que se verifica la siguiente
ecuación de variable a
(tena + A )(tana+B)(tana + C) = D
cuyas soluciones son P , 0 y ó .
Indique la verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones.
I. tanP + tan8 + tan(¡>> Y - - -■
" sen2/
II. tanp.tanB.taru*)>D+l+cos^a|cos2a+Acosa|)
III. La suma co ta + cotp + cot0 tiene como
uno de sus valores al cero.
A) FFV B) FVF C)VW
D) W F E) FFF
273

'& '
b;t
©*@§6i(ñi iMpSCXDID©Sífe
i 1 J D 16 J C 32 r c 48 ! 6 64 J A
Ife 2 J A 17 J D 33 r £ 49 I D 65 J A
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? 3 J D 18 J £ 34 r A 50 rr 66 i B
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67
! 4 J B 19 J S 35 r D 51 I c I n
I
5 J A 20 J B 36 r C 52 I B 68 J A
Sb:
Vb) 6 J B 21 J B 37 r D 53 I s 69 I B
$
£
•■
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7 .T e 22 J C 38 r A 54 I c 70 I B
«fe
8 J A 23 J C 39 r E 55 I c 71 J A
i í
9 J A 24 J C 40 f D 56 I A 72 I D
Éb 10 J E 25 J B 4i r A 57 I F 73 I B
i r
fc
11 J A 26 J C 42 r D 58 I c 74 I c
f: í-1
.¡ 12 J A 27 J C 43 r D 59 I A . 75 rr
f&j 13 J c 28 J D 44 r B 60 j
! c 76 I £
n r
14 J D
29 J B 45 r B
61 |
I D - 77
15 30
te J A J C 46 r E 62 j
I £ 78 I £
I
31 J D _iz_r B _ É L J B
i¡

CAPÍTULO
V
identidades
trigonométricas
-
Procesos idénticos
En la fabricación de automóviles en serie se utilizan procesos idénticos. En
matemática elementaly superiores usualla manipulación de expresiones y su
simplifícación; es decir se transforman expresiones trigonométricas
complejas en otras más simples.
.........................:______ ____ ________________________________ _______ J

U N AR TEFAC TO ELECTRICO
Uno de los aparatos eléctricos más usados en lo mayoria de las industrias ya sean manufactureras,
metalúrgicas, metalmecánicas, industria del calzado, etc., es el motor eléctrico.
El motor eléctrico tiene por función transformar la energía eléctrica (corriente eléctrica) en trabajo
mecánico. Puedeserútil en iluminaciones¡nduslrialesmediantegrupos electrógenos, pulido para el cromadode
ciertosmetales, etc. Específicamentenosinteresael consumodecorrienteeléctricadel motorya queestosetraduce
en tarifas (pagos) que hacen los usuarios a laconcesionaria (empresaseléctricas).
Definimos los siguientes términos:
W: Potencia activa, es la potencia utilizada por el motor, es la potencia a pagar. Se mide
en kilowatts (kw).
Q: Potencia reactiva, es la potencia consumida por el bobinado del motor. Se mide en
kilovólt-amperios-reactivos (KVAR).
S : Potencia aparente, se mide en kilovolt-amperios (KVA).
<¡): Es el desfasaje (ángulo) entre el voltaje y la corriente utilizada por el motor.
Luego haciendo uso del triángulo de potencias (vea la figura) se observa que:
Q =Scos4> => Q 2 = S2eos20 — (1)
W =Ssen$ => W 2 = S2sen2$ . . . (2)
W
Sumando (I) y (2): Q2 + W2 =S2(cos2<
j>+ sen2<
|>
) (identidad trigonométrica)
1
Q 2 + W2=S2 => W
=Vs2- Q 2
Enlasiguienteexposicióndepotenciasdelascorrientes
altemos, se suponen ondas senoidales de voltaje y
corriente.
Esto es e—Emsenwt
L~lm senjwt-p )
dondeEmeIm sonlos valores máximosdevoItqje y
corrientesy el factor depotencia (¡p) eslareloción
entre h potencia activa yla aparente «
■
fp = ^ = C
os*

Identidades
/ trigonométricas
OBJETIVOS
• Conocer las identidades básicas y reconocer las formas alternativas de cada una.
• Conocer técnicas empléadas en la comprobación de las diversas identidades.
• Comprender las identidades de la forma sen(x+y+....+z), cos(x+y+...+z), etc. y sus diversas
propiedades.
• Conocer las identidades para sen2x, sen3¿r....sen(nx), relacionando los números complejos y
el desarrollo del binomio de Nevvton; también conoceremos las identidades para transformar
de suma o diferencia a producto y las diversas aplicaciones.
INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones en matem ática cumplen un rol de m ucha importancia, y las identidades se
encuentran dentro del marco teórico de las ecuaciones.
A continuación planteamos dos ecuaciones:
a
^+ x = 0 .. (1) x*+x = x (x + l)... (2)
Nótese que la ecuación (1) es válida sólo si x = 0 ó x = - l ya que 02+0 = 0; (—
1)2+(—
1) = 0, para
cualquier otro valor de x diferente de 0 ó -1, la ecuación (1) no se verificará (por ejemplo si x= 1tenemos
12+1 =2 * 0).
En cambio, Ja ecuación (2) es válida para cualquier valor que se le asigne a x; por ejemplo
six=0, tenemos 02+ 0= 0(0+ l)= 0 ó six=5, tenemos 52+5 = 5(5+l)=30...etc.
Entonces una identidad es una ecuación que se verifica para todos los valores permitidos o
admisibles de la variable o variables; donde la expresión valores permitidos se refiere a aquellos valores
para los que está definida la ecuación dada.
1. %—
| 1
Por ejemplo la ecuación — = ------ es una identidad ya que se cumple para cualquier valor de
j r ^ l x + 1
x diferente a l ó -1; en este caso 1y -1 son valores no admisibles para dicha identidad.
En Álgebra, identidades tales como:
x + y = y + x , 1.x = x., x2- y 2 = (x+y)(x-y)
(x+y)2 = x2+2xy+y2
son útiles para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
277

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Una ecuación que contiene operadores
trigonométricos tales como sen, eos, etc., y que
es válida para todos los valores admisibles de la
variable o variables, recibe el nom bre de
identidad trigonométrica.
Así por ejemplo, las siguientes ecuaciones:
• tanx =
senx
COSX ’
• sen(x+y) = senxcosy + cosxseny
• sec(27O°-0) = -csc0
'a + p
• sen a-sen p = 2 s e n ^ ~ ^ j
• cos2x= cos2
jr-sen2
jf
2tanx
eos
• sen2x=
l-ta n 2x
sec20 -ta n 2O= 1
tan(n+0) = tan0
4serursen(60°- x)sen(60°+.x:)=sen3x
x _ [
c o s2:= v
l+ cosx
. 1o «
. seca + tana = tan - + -
2 4
co
• cos7
a +eos7(Í20°+a) +cos7(l20°- a) = —•eos3a
64 .
Son verdaderas para todos los valoresjie
reemplazo posibles de las variables x, y, 0,a y p .
Por lo tanto, dichas ecuaciones son identidades
trigonométricas.
Para tener un mejor entendimiento de lo que
es un valor adm isible, preste atención a lo
siguiente: las identidades trigonométricas sólo se
pued en aplicar cuan d o las razones
trigonométricas de la variable angular tienen u n .
valor determinado.
Ejemplo
tan45° = 1 (1 e$ un valor determinado: le R )
En consecuencia, sí se puede aplicar la identidad
. . . . acó sen45°
siguiente tan45° = — —
cos45°
Pero como usted recordará del capítulo 11,
tan90° no tiene un valor determinado' es decir,
no tiene un valor real; en consecuencia no se
puede aplicar la identidad siguiente:
sen90°
tan90° = ~ ^ (incorrecto, esto significa-
n. 0 sen90° .
que tan90° * ---------) •
cos90°
De otro lado
csc30° = 2, como 2 es un valor determinado, esto
es 2e R ,entonces sí se puede utilizar la siguiente
1
(esta identidad será
identidad: csc30° = -
sen30°
demostrada más adelante).
cscl80° : no tiene un valor determ inado, en
consecuencia la identidad siguiente:
i
esc180°=
senl80°
es incorrecta, esto significa
1
que cscl80°^-
senl80°
Para un m ejor estudio de todas las
identidades trigonométricas, en la presente obra
clasificamos dichas identidades en 5 partes, las
cuales mencionamos a continuación:
I. Identidades Trigonométricas Fundamentales.
II. Identidades de la Suma y Diferencia de Dos
Arcos.
III. Identidades de R educción al Prim er
Cuadrante.
IV. Identidades del Arco Doble, Mitad y Triple.
V. Identidades de Transform aciones
Trigonométricas.
A continuacióh, el desam Jto tite adaparte.

CAPÍTULO V Identidades trigonométricas
ID EN TID AD ES TR IG O N O M ÉTR ICAS FUNDAM ENTALES
(7) sen0csc0 = l
Identidades recíprocas j¡i) cos0sec0 = 1
[/«) tan0cot0 = l
Identidades por cociente
id) tan0 =
u) cot0 =
sen0
COS0
COS0
sen0
Identidades pitagóricas
vi) sen26 + eos20 = 1
vii) l + tan20 = sec20
Vii¡¡) 1+ cot20 = csc20
Las demostraciones de las ocho identidades
mencionadas las podemos obtener a partir de las
definiciones de las razones trigonométricas de un
arco en la circunferencia trigonom étrica.
Considerando un arco cualquiera 0 en el IIIC,
entonces las coordenadas del extremo P de dicho
arco son respectivamente
x -■cos0 ; y = sen0
Veamos el siguiente gráfico
También recordemos algunas definiciones:
sen(0rad) = —=>sen0 = —
r r
cos(0rad) = - => cos9 = -
r r
X X
csc(0rad) = —=> csc9 = —
y y
Para las Identidades Reciprocás
r 1
1. csc0 = - => csc0 = ------ =» sen0csc0 = 1
y sen0
V éase que en el cociente es necesario
analizar los valores admisibles para 0 , así
sen0 * 0 , es decir 0 * Krr; Ke Z
Luego planteam os que 0 asum e cualquier
valor real menos los Kxc; Ke Z
Asimismo
1L sec0 = —=>sec0 = —-— => cos0 sec0 = 1
x cos0
Aquí la restricción es cos0 * 0; es decir
0 * (2K+1)^ ; K eZ
Luego planteamos que ©asume cualquier
valor real menos ios (2K +1) —
2
También
x
III. cot 0 = —=>cot 0 = tan0cot0 = 1
y y tan0
x
Aquí el lector debe deducir que
; Ke Z
Para las Identidades por Cociente
IV
. tan0 = - =i> tan0 =
x cos0
Analizando para los valores admisibles de 0,
cos0 * 0
es decir 0*{2K + 1)^; K eZ
V. También: cot 0 = —=*cot0 =
y sen0
Luego decim os que sen0*O , es decir
0 íé Kn ; Ke Z .
Es decir los valores admisibles para la variable
angular 0 son R-{Kn}
279

Para tais identidades Pitagóricas
VI. La ecuación de la circunferencia
trigonométrica:
x2 + y2 = 1
Evaluamos en el punto P
(abscisa deP )2 + (ordenada de P)2= l
(cos0)2 + (sen0)2=l
=» sen20-fcos20 = l
Vil. Aquí no hay necesidad de restringir, luego
decimos que dicha identidad es válida para
todo 0 que pertenece a R .
Si dividimos a esta últim a identidad por
eos20 , obtenemos:
eos2©
cos20
1
sen20 _ ____
cos20 eos2©
1+ tan20 = sec20
Aquí la identidad se restringe cos0 * 0 ,
es decir 0*(2K +1)~ ; K eZ
VIH.Pero al dividir por sen20 , obtenemos:
sen20* , cos20
spn20 sen20 sen20
l + cot20 = csc20
Esta identidad permite indicar que sen0 * 0 ,
es decir 0*Kn ; Ke Z
Ejemplo
sen250°+cos250°=l
1 + tan — = sec —
10 10
1 +cot228°=csc228°
. sen 2 eos 4o
tan2 = ------ ; cot4°= - -
eos 2 sen 4°
n n ,
sen—.esc—= 1
8 8
A continuación planteamos la tabla ( n e Z )
Identidades trigonométricas
fundamentales
------------ 3
Identidades equivalentes
i) sen0csc0= 1; V 0*njt sen0 = — ; csc0= —
csc0 sen0
ii) cos0sec0= 1; V 0* (2n+l)-7p
„ 1 Q 1
cos0 = — r ; sec0= — r
secO cos0
¡ii) tan© cot0= 1;V 0* H £
2
tan0 = —— ;co t0 = r-|3
cot0 tan0
iv ) ta n 0 = ^ ^ ;V 0*(2n + l)-£- tanOcos0= sen0
v ) cot0 = ;V 0 * nit
sen©
cot0 sen0= cos0
v i) sen20 + cos20 = 1; V 0 s R sen20'= 1-c o s 20 ; cos20 = 1 - sen20
vii) I + tan20=sec20; V 0 ?K2n+1)-^- tan20 = sec20 -1 ; sec20 - tan2©= 1
viii) 1 + cot20. = csc20; v Q * n n cot20 = esc2©- 1 ; csc20 - cot2
© = 1

CAPÍTULO V ________________________ _______________ Identidades trigonométricas
Tipos de Problemas sobre identidades
Fundamentales
Debido a que de ahora en adelante se
d esarro llarán ciertas o p eracio n es con
identidades, se ha creído conveniente clasificar
los tipos de problemas a fin de tener un mejor
p an o ram a p ara el uso y aplicación de las
identidades.
A continuación presentamos la mencionada
clasificación:
1) Demostraciones.
2) Problemas de simplificación o reducción de
expresiones.
3) Problemas con condición.
4) Problem as de eliminación de la variable
angular.
Antes dé em pezar con el desarrollo de los
tipos de problemas, se debe com prender que
para los dos primeros tipos, no es necesario que
estem os al tanto de los valores admisibles de la
variable angular, porque se sobreentiende que
estam os realizando operaciones con dichos
valores admisibles, así es que las identidades se
pueden utilizar sin tem or a equivocarnos. El
siguiente ejem plo aclara un. poco m ás este
concepto; le sugerim os que preste bastante
atención a las dos formas de resolución.
Ejemplo
Simplifique la siguiente expresión
R = sen0cot0 ....(1) '
Resolución 1
Dada la expresión R = sen0cot0 ....(1)
se pensaría utilizar la identidad
cot0 = ^2£® * V 0*nn;(ne Z) ...(2)
sen0
Reemplazando (2) en (1) se obtiene
R = sen0
cosfiA
sen0 )
Luego la expresión simplificada será
R = cos0 , V0*mt, (ne Z)
Resolución 2
Dada la expresión
R = sen0cot0 ...(1)
debido a que solo se pide simplificarpensaríamos
én utilizar la identidad
C O S0
cot0 = -
sen0
...(3)
Observe que en (3) a diferencia de (2) en la
Resolución (1) no se ha hecho ninguna restricción
para 0 porque se sobreentiende que estam os
trabajando con valores admisibles para lavariable
angular
Reemplazando (3) en (1) se tiene
R = sen0
cosO'j
vsen0 J
Luego la expresión simplificada será
.-. A = cos0
De las dos formas (le resolución le sugerimos
que trabaje con la segunda forrha sólo pára los
dos primeros tipos de problemas, en donde se
sobreentenderá que se está utilizando la identidad
sólo para valores admisibles de lavariable angular.
Antes de ver algunos ejem plos sobre
demostración, preste atención a lo siguiente:
Demostración de Identidades
En las identidades trigonométricas se tiene
que dos expresiones son iguales para todos ios
valores admisibles de la variable (s). Estas dos
expresiones se llaman idénticas. Para verificar
que la igualdad dada es una identidad, o como
suele decirse demostrar la identidad, debemos
trabajar cada lado de la igualdad de m anera
independiente. Es decir, al dem ostrar una
identidad no-se debe realizar las “m ism as
operaciones” en ambos lados, como cuando se
resuelve una ecuación. Por ejem plo, si
intentamos verificar una identidad, no se debe
multiplicar am bos lados de la ecuación por la
m ism a cantidad, esto sólo puede hacerse
cu an d o se supone cierta la identidad.
A continuación, la demostración del siguiente
ejemplo lo desarrollaremos transformando sólo
el primer miembro.
281

Ejemplo 1
Demuestre la identidad siguiente
'sen40 - cos40 = 1 - _2cos20
Demostración
Seleccionamos la expresión más complicada (1er.
miembro) y debemos llegar a la forma del 2do.
miembro, veamos por diferencia de cuadrados:
(sen20 -c o s20)(sen20 + cos20) = l - 2cos20
entonces
sen20 - eos20 = 1- 2cos20
Luego cambiamos a sen20 por 1- cos20 ; de la
identidad pitagórica
(l-c o s 20) -c o s20 =l-2cos20
1 -2 co s20 = l-2 co s20
Esta identidad quedó demostrada.
Ejemplo 2
Demuestre la siguiente identidad
tan6 + cotO = sec0csc0 )
Al igual que en el ejemplo 1 se transformará sólo
las razones trigonométricas que se hallan en el
primer miembro de tal forma que se obtenga las
razones que se hedían en el segundo miembro.
Dado
tan0+cot0 = sec0csc0 ...(1)
pensaríamos en utilizar las identidades (/o) y (o)
esto es
sen9
tan0 =
cote =
cos0
COS0
...(2 )
sen9
Reemplazando (2) en (1) obtenemos
=sec0csc0
sen0 cos0
cos0 sen0
Efectuando la suma de fracciones
sen20+cos20 n n
------------------= sec0csc0 ...(3)
cosOsenO
Pero de la identidad sen20 + cos20 = 1 ...(4)
282
1
cosOsenO
lo cual es equivalente a
=secOcsc©
1 1
¡=sec0csc0 ...(5)
cos0J(sen0J
Pero de las identidades (I) y 00
__1
sen0
1
sen©esc 0 = 1= - = CSC0
cos0sec0= 1=
COS0
-= sec0
... (6)
í —— Y ——-I = sec0csc0
(cos0J(sen0j
sec0 csc0 = secOcsc©
(Esto es lo que se buscaba demostrar)
Ejemplo 3
|sec20 + csc29 = aéchese2©
]
Resolución
Para la dem o stració n de esta id en tid ad
podem os escoger el segundo m iembro, para
luego de transformarlo obtener el primer miembro.
A este tipo de demostración en donde se parte del
segundo miembro, para obtener el primero se le
suele llamar demostración de venida.
A partir del dato
sec?0 + csc20 = sec28csc28
Primer miembro Segundo miembro
Acomodando el segundo miembro
sec20 +csc20 = (sec0csc0)2...(l)
Pero en el ejemplo 2 se demostró
sec0csc0 = tan0 +cot0 ...(2)
sec20+ esc20 = (tan 8+ cot<0* -

En el segu n d o m iem bro desarrollam os un
binomio al cuadrado
sec20 + esc20= tan20 + cot20+ 2tan 0cot 0 ...(4)
Pero de la identidad recíproca («0
tan0cot0 = l ...(5)
reemplazando (5) en (4)
secr 0 + esc20 = tan20 + cot20 + 2 tan8cot0
i ’
Luego
sec20 + esc20 = tan20 + cot20+ 2
Descomponiendo obtenem os
sec20 + esc20 = tan20 +1 + cot20+1
s e c 20 + csc20
De donde finalmente obtenem os
se c20 + esc20 = se c 20 + esc20
(esto es lo que se buscaba demostrar, que luego
de algunas operaciones el segundo miembro sea
idéntico al primero).
Ejemplo 4
sen40 + eos40 = 1- 2sen20 eos20
Resolución
Para la demostración de esta identidad partiremos
del primer miembro.
Del dato
sen40 + cos40 = l-2 se n 20cos20 ...(1)
descomponemos sen40, cos40 de forma adecuada
sen20sen20+ cos20cos20 = l-2 sen 20cos20 ...(2)
pero de la identidad (u /)sen 20 + cos20 = l se
obtiene
sen20 = l- c o s 20
cos20 = l- s e n 20
««emplazando (3) en (2)
sen28 ^ j - c o s 20) + cos^ 0J^ j-sen 20) =
l- 2 s e n 20 co sr0
Efectuando
sen20 - sen20cos20 +cos20- cos20sen20 =
l-2 sen 20cos?0
Acomodando los términos convenientemente
sen^cos^-se
n
2
0
c
o
s
2
6
-c
«
s
2
6
s
e
n
2
9
=
1
-2
se
n
2
0
c
o
s
2
9
1 -2sen2
8cos, 0 '
Ordenando se obtiene
1 - 2sen20cos20 = 1- 2sen*0cos20
de transformar el primer miembro se obtenga el
segundo).
Ejemplo 5 ,
sen60 + eos60 = 1- Ssen ^ cos20
Resolución
Al igual que la dem ostración del ejem plo 4
partiremos del primer miembro.
Del dato
sen60 + cos60 = l-3 se n 20cos20 ...(1)
d esco m p o n em o s sen60 y c o s 60 d e form a
adecuada
sen20 .sen4O+cos2O.cos49 = l-3 sen ;0cos20 ...(2)
(l-c o s 20) (l-s e n 20)
Efectuando
(l-cos20) sen40 + (l-sen20) eos4©= 1-3 sen20cos20 ...(3)
De (3)
sen40 - cos20sen40 + cos40 - sen20cos40 =
l-3 s e n 20cos26
Acomodando los términos
sen48 + cos40 - cos20sen40 - senfOco^O =
I-2sen28cos20
l-3 s e n 20cos20...(4)
283

Luego de (4) _
1- 2sen20cos28 - sen29cos20(sen20 + eos20) =
i ~~
1 - 3sen20cos20
=>l-2sen20cos20-sen20cos20(1)=1-3sen28cos20
De donde finalmente obtenemos
=> 1- 3sen20cos20 = 1- 3sen20cos20
de transformar el primer miembro obtengamos
una expresión idéntica al segundo miembro).
Ejemplo 6
[(l + sen0 + cos0)2= 2(l + sen0)(l + cosO)]
Resolución
Para la demostración de esta identidad partiremos
del primer miembro, pero para ello recordemos
la siguiente identidad algebraica
(x + y + z)2= x2+ y2+ z 2+ 2xy + 2xz + 2>z
Del dato
(1+ sen9 + cos0)2= 2(1+ sen0)(l + cos0)
Desarrollando el primer miembro
(1+ sen0 +cos0)2=
lí +sen!0+coS!é+2(l)(sen0)+2(l)(cos 0)+2(sen0)(cos0)
reduciendo
= 2 + 2sen0 + 2cos8 + 2ser>9cos8
= 2(1+sen8) + 2cos9(l +sen6)
Factorizando
(I + sen0 + cos0)2= 2(l + sen0)(l + cos0)
de transformar el primer miembro se obtenga el
segundo).
9IU
Lo invitamos a que demuestre análogamente
las siguientes identidades:
(l-sen 9 -co s0 )2 = 2(l-sen0)(l-cos0)
(1+sen0 -cos0)2 = 2(1+ sen0)(l - cos0)
(1- sen0 +cos0)2= 2(1- sen0)(l + cos0)
A m anera de resum en, se p resen ta a
continuación las siguientes identidades (las
cuales han sido dem ostradas en los ejemplos
anteriores). Cabe m encionar que estas
identidades serán de ahora en adelante de uso
frecuente en los problemas posteriores de este
capítulo.
/x)tan9+cot0 = sec0csc0;V 0*
* — ;n e Z
x ) sec2
0 + csc20 = sec20csc20 ; V 0*™ ; n e Z
xi) sen40 + cos40 = l-2 se n 20cos20;V 0e R
xií) sen60 +cos60 = l-3 s e n 20cos20 ; V 0eR
xiií) (I±sen0±cos0)2=2(l±sen8)(l±cos0) ;.V0eR
Además el lector d eb e d em ostrar las
siguientes identidades
sec40 +tan40 = 1+ 2sec20tan20
sen80 +eos80 = 1- 4sen20eos20 + 2sen40cos40
sen1
00 +eos1
00 = 1- 5sen20cos20 + 6sen40cos40
* ••
Como usted comprobará más adelante, es de
uso frecuente el cálculo de razones
trigonométricas. A este efecto, es d e m ucha
utilidad expresar una razón trigonométrica en
términos de otra razón trigonométricadato. Petra
que usted tenga una mejor agtleciación al
respecto le sugerimos seguir el fMjfinollo de los
siguientes ejemplos.

CAPITULO V Identidades trigonométricas
Cálculo de Razones Trigonométricas en
Función de o tras Razones
Trigonométricas
Ejem plo
Exprese cada una de las razones trigonométricas
de 8 en términos de sen0 .
R esolución
De la identidad sen20 + eos20 = 1
se tiene eos20 = 1- sen20
de donde despejando eos 0 obtenemos
•••(I)
cos0 = ±Vl~sen20
De igual m anera de la identidad fundamental
sen0
tan0 = ...(2)
COS0
tan0 =
sen0
±V1-se n 20
... (3)
Si hacem os uso de las identidades recíprocas,
esto es
cot0 = —
— ...(4)
tan0
±Vl~sen20 , ,
cot0 = ----------:----- ...(5)
1
sen0
también secfl =
e o s 0
pero cos0 = ±Vl-sen2
0
Reemplazando en (6)
sec 0 =
1
± Vi - se n 20
y de igual manera c s c 0 =
...(6)
...(7)
1
sen©
...(8)
5
1
,%
-.%
El signo (±) se elige según la posición del ángulo
0 (es decir del cuadrante al cual pertenece 0 ) y
de la razón trigonométrica deseada.
Rara ver la utilidad de estas expresiones obtenidas
siga el desarrollo de los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
_3
Dado sen0 = — ; 0e IVC en to n ces el valor
de eos 0 será:
Resolución
Como 0€ IVC, entonces cos0 > 0
entonces de (1) la opción a utilizar será
cos0 = +Vl-sen20
Luego cos0 = +Vl - sen20 = ^ 1 - j ^ j
4
Reduciendo obtenemos cos0 = -
Ejem plo 2
1
Dado sen0 = - ;0 e IIC, entonces el valor de
tan 0 será
Resolución
Como OellC, entonces tan0<O
entonces de (3) escogem os la opción con
signo (-)
sen0
esto es tan0 =
luego tan0 =
-V I- sen20
sen0
-Vi - sen20
~ ' 1_ 3
reduciendo, obtenemos tan-0 =
1
3
-V2
Ejemplo 3
Exprese cada una de lás razones trigonométricas
de 0 en términos de tan0
R esolución
De la identidad 1+ tan20 = sec20
se obtiene sec0 = ±Vl +tan20
205

De la identidad
^ ^ = tan0 => sen9 = tan0cos0
cos0
„ tan0
se tiene sen0 = ------
sec0
de donde reemplazando el valor de sen0
obtenemos sen0 =
±tan9
4 l + tan20
De igual forma que en el caso anterior usted
püede verificar las siguientes relaciones a partir
de las identidades recíprocas
±Vl +tan20
csc0 =
±41
+ tan29
tan9
cot0 =
1_
tan0
A continuación, siga la resolución de los ejemplos
donde se ve la utilidad de estas últim as
expresiones obtenidas.
Ejemplo 1
Dado tan0 = 7; 0e II1C, determine el valor de
sen0.
Resolución
Como 0e II1C, entonces sen0<O
luego sen0 =
-tan 8 -7
ll + tan20 yjl + (7)2
. Reduciendo obtenemos sen0 =
-7Í2
10
Ejemplo 2
Dado tan0 = -Vl5 ; 0eIlC
determine el valor de cos0.
Resolución
Como 0€ I1C, entonces cos0 < 0
De lo anterior la expresión a utilizar será
COS0 =
-1 -1
Vl+tan20 >/l+ (—
Vf5)2
Reduciendo obtenemos cos0 = - -
4
Ejemplo 3
O btenga el valor de F de tal m anera que la
expresión R sea independiente de o
R =4+Fcosa
Resolución
Dando algunos valores reales a F se obtiene
si F = 2 =*R=4 + 2cosa
(la expresión R depende de a)
si F = 5 =*R = 4 + 5cosa
si F = - l =>R = 4 -c o s a
si F = 0 =>R = 4
(la expresión R no depende de a o también
podemos decir que R es independiente de a)
si F = 10 =>R = 4 + 10cosa
A partir de las relaciones obtenidas, podemos
concluir
El valor de F, que hace a la expresión R
independiente de a es 0, en consecuencia R=4
F = 0
Ejemplo 4
Halle el valor de k para que' la expresión M no
dependa de p
M= sen6P+ eos6P + k(sen4P+eos4P)
Resolución
Según el ejemplo anterior se podría pensar que a
K se le debe asignar (K=0)
=>M=sen6p+cos6p
(pero esta expresión depende de p)
En consecuencia, el valor adecuado de Kparaque
la expresión no dependa de P, no es K=0; por lo
que buscaremos agrupar convenientemente.

M = sen6p+cos6P + K(sen4p + cos4P)
M= l-3 s e n 2Pcos2P +K (l-2sen2Pcos2p)
M = 1- 3sen2Pcos2P+ K(-2sen2Pcos2P) + K
Factorizando sen2Peos2p se obtiene
M= K+1+sen2Pcos2P(-3 - 2K)
Para que la expresión no dependa de p se igualará
el coeficiente (- 3 - 2K) a cero
Luego -2K- 3=0 =*K = -~
El valor de K que hace a la expresión M
independiente de p es - 3/2
Ejemplo 5
Elimine a y obtenga una relación independiente
de a a partir de las siguientes condiciones
se ñ a -c o s a = a ...(1)
sena + cosa = b ...(2)
Resolución
Eliminar una variable significa que, a partir de las
condiciones o expresiones dadas, se debe
obtener una expresión adicional, en la cual la
variable a eliminar (en nuestro ejemplo a ) no
deba estar presente, para ello podemos realizar
.todas las operaciones matemáticas permitidas
con las expresiones dadas com o son sumar,
restar, elevar al cuadrado, etc.
Según lo expuesto anteriormente, veamos con el
desarrollo siguiente:
De (1) elevado al cuadrado se obtiene
sen2a + cos2a - 2sena cosa = a2
=> l-2 s e n a c o s a = a 2 - (3 )
De (2) elevado al cuadrado se obtiene
sen2a + cos2a + 2senacosa = b2
=> 1+ 2senacosa = b* ...(4)
Sumando (3) y (4) obtenemos
2 - 2sen a eos a + 2senacosa = a2+ b2
=> 2=a2+b2... (5)
De todas las adicionales que hem os obtenido
observamos que (3) y (4) dependen de a en
cam bio (5) no depende de a , por lo que
afirmamos
a2+ b2 = 2 (esta expresión no depende de a
o tam bién se dice que la variable a se ha
eliminado)
Ejemplo 6 '
Elimine p a partir de las condiciones
secp = a ... (1)
tanp =b ... (2)
Resolución
Utilizam os la identidad pitagórica
sec2p= l + tan2p
Reemplazando (1) y (2)
a 2= 1+b2 (la variable se ha eliminado)
Ejemplo 7
Elimine x, sabiendo que
aserur+tanx= 1 ....(1)
bcosjf+cotx=l ....(2)
Resolución
Multiplicamos en (1) por cosx
aserwcosx+serur=cosjt
=s asenxcosx=cosx-setur....(3)
Multiplicamos en (2) por serw
bsenxcosx+ cosx=senx
=> bserwcosx=senx - cosx ....(4)
Dividiendo las ecuaciones (3) y (4)
aseruf^Osx _ cosjc-senx
bsenxptísx serw - cosx
a+ b= 0
287

problemas Resueltos
ProMemal
Demuestre las siguientes identidades,
cscx+secx
a)
b)
1+ tanx
:cscx
cot2x-cos2x = cot2xcos2x
. (senx+cosx)2-l 2
c) ---------------------= 2tan x
d)
cotx - senxcosx
1+senx V 2. , ,.
— =
----- = — cotx + cscx + 1
1-cosx 2
Resolución
En los cuatro casos partiremos del primer
miembro ylo transformaremos de tal manera que
se obtenga el segundo miembro.
1 1
a) cscx+secx senx cosx
1+ tanx 1 senx
+
1 cosx
Efectuando '
eos x +senx
;
S e C X + C S C X senxcosx X
T
-
1+tanx eos x +senx fi
*j ? l -
M
0
cosx
secx +cscx (eosx +sen xXcosx)
1+tanx (senx cosxXcos x +sen x)
secx + cscx _
_ C O S X
1+ tanx senx. cosx
Reduciendo
secx +cscx
=cscx
1+ tanx
b) cot2x - cos2x = cot2x -
2v „~,.2„ _ „„»2„ sen2x — 2 ,
sen2x
eos x
(multiplicamos y dividimos por sen2x )
Acomodando los términos
•2 2 .2 2 COS X
cot jc - c o s x= cot x -s e n x .— -r—
Factorizando cot2
x
cot2x - eos2x = cot2x (l - sen2x)
o o 2
c) (senx+cosx) -1 _ sen x+cos x+2senxcosx-l
cotx - senxcosx - - senxcosx
senx
(senx+cosx)2- l _ / + 2senxcosx - /
cotx - senx eosx cosx - sen2xcosx
senx
2senx^eSx
(senx +cosx) -1
cotx-senxcosx £eSx(l -se n 2x)
senx
(senx +cosx)2-1 _ 2sen2x _ 2sen2x
cotx-senxcosx l- s e n 2x cos2x
(senx +cosx) - i
cotx-senxcosx
2tan2x
. 1
1+senx _ jf 1+senx Y 1+
V1-cosx y(l-cosxJ[l +
1
1+senx _ f
V 1- cosx
cosx)
cosx)
(l+senx)(l+cosx)
(l-cosx)(l+ cosx)
1-cos¿jr=sen j
c
l-cosx
1+senx í (l +senx)(l + cosx)j
sen x
de laidentidadxiii (véasepágina282),tenemos
(1+senx+cosx)2=2(l +senx)(l+cosx)

Reemplazando
T+señx= ¿ 0 +senx +cosxO2
1-cosx
{
i
l +senx _ f(l +senx+cosx)2
1-cosx V 2sen2x
l+senx _ il+senx +cosx! A
1-cosx V2isenx’ 2
1+senx +cosx!
senx
l + senx
— ------- O
1-cosx
__1 . senx . cosx
senx + senx + senx
/l + senx =ü/2 Icscx + cótx +
V1 -co sx 2
Problema 2
Demuestre la identidad
1-cosx 1-co sx ,
-+ senx = ----------+ tanx
senx cosx tanx
Resolución
Sea M el primer miembro
entonces
M= sen x + —
—c° —- ; desdoblando
senxcosx
1
senxcosx senxcosx
1
M= senx +
M= senx +
M= senx + cscx.secx -
M= sen x -
^OS.X
1 '1 1
cosx >
) senx
1
1
senx
+ tanx + cotx
; agrupando
senx
M= Sen X—- + cotx + tanx
senx
Pero sen2
x -l = - cos2
x>
,, -c o s ‘x cosx ,
M = — :----- + -------- + tanx
senx senx
,, cosx( 1-cosx) .
M= ■
■ ----------- + tanx
senx
M= 1 CQS- + tanx ¡finalmente
senx
cosx
1-cosx .
M=----------+ tanx
tanx
el cual es idéntico al segundo miembro, que era
lo que se quería demostrar.
Problemas
(1+senx+cosx)2
M=
(senx+tanx)(cosx+cotx)
Resolución
Transformando el denominador sin alterarlo
(1+senx + cosx)2
( 1
senx 4 C
O
SX
cosx------+ tanx senx------+ cotx
.cosx. Senx;
^ tanx J
'^ cou J
M=
2(1+.sefíx)(l>edsx)
tanxCposXÍl)cotx(.senX+1)
Luego
M = ----------- ,, o
tanxcotx “ =2
Problema4
Simplifique la expresión siguiente
L * i sen*6 eos28
l+cot9 l+tan0
Resolución
Expresándola tan 8 y co t0 en términos de senos
y cosenos
cose ,. . sen0)
cote = ------ y tan8 = ------
sen6 cose J
factorizando cosx

Obtenemos
^ j sen20 eos28
~ , cosG , sen0
1+ ------ 1+ ------
sen0 cos0
Efectuando
L = 1
sen30 eos30
sen0+cos0 cos0+sen0
L = 1 -
sen30 + cos30
sen0 + cos0
Aplicando una suma de cubos en el numerador
del segundo término
( serr0-+-CQS0)(sen20 - sen 0cos0 +eos20)
L = l-
(senfN-eosi))
L= 1- [sen26+eos20- sen0cos9] = +1-1 + sen0cos9
L = sen0cos0
Luego, reemplazando en P se obtiene
p _ l+senx+cosx 1+ cosx
senx senx
p _ +senx+£e3x - - joSx senx
senx senx
P = 1
Problema 6
Simplifique la expresión K, tal que se verifique la
siguiente condición: 0 < 0 < ^
K= Vsec2
0 +esc20[l + Vi - 4sen20eos20]
Resolución
Recordando la identidad
sec20 + esc20 = sec20csc20
K=Vsec29csc2e[l+ v/(l-2sen0cos8)(l +2sen0cos0) ]
Problema 5
Siendo x un arco del segundo cuadrante, reduzca
la siguiente expresión
p _ 12 + 2senx senx
V 1- cosx 1 - cosx
Resolución
Multiplicamos por la conjugada de (1 - cosx) la
cual es (1 +cosx) tal como se indica
12 (1+ senx)if 1+ COSX )i. senx i
f l+ cosx'j
y 1- cosx 1
(1+cosx J 1- cosx1
^1+cosx )
JC1+senx+cos*)2 >erix(l + cosx)
' V sen2x .serí^x
(se utilizó (1- cosx) (1 +cosx)=sen2
x]
p _ ll +senx+cosxj 1+ cosx
Isenxl senx
como x e IIC, es sabido que senx>0, además
1+senx+cosx>0, entonces
jl+ senx + cosxj = 1+ senx + cosx y |senx| = senx
sabemos que se cumple
(sen0 ± cos0)2= 1± 2sen0cos0;
reemplazando tenemos
K=!sec0.csc0!.ri+ l(sen9- eos 0)2.(sen0+eos 0)2
^ V (s e n V c o s * 0 )2
K
=| sec0.csc01
[l+
1sen20 - cos20 1
]
pero 0 < 0 < í =» sen0 < cos0 ; sec0csc0 > 0
luego sen20 -c o s20<O
entonces ¡sen20 - eos20Í = -(sen 20 - eos20)
y|sec0csc01= sec0csc0
Reemplazando en K se obtiene
K = sec0cscOri-(sen2e-cos28)]
K= sec9csc0(2cos20) - J
acomodando los términos
K = 2sec8. eos 8esc 8.eos 8
1 cot0
K = 2 (1) (cot0)
finalmente obtenemos
K=2cot0
290

C A P ÍTÜ lO V Identidades trigonométricas
Problema?
Si la siguiente identidad
— - — + -— - — = A+C(tanx)v
1+ cosx s e c x -1
se cumple para todo x * K í • K e Z , calcule el
2
producto ACV.
Resolución
Reduciendo en el primer miembro tenem os
^ -+ — r—
— = A+C(tanx)v
1+cosx L
co sx
--1
- — + t— ? = A+C(tanx)v
1+ co sx t - c o s x
3
co sx
3cosx
1+ COSX 1-COSX
3 - 3 p<5sx + 3 c e sx + 3 eos2x
(1+ cosx). (1 -co sx )
3 + 3cos2x . ,v
--------5— = A + C(tanx)v
= A+C(tanx)v
= A + C(tanx)v
3 3cos2x . w
------+ ------ 5— = A + C(tanx)v
3csc2x +3cot2x = A + C(tanx)v
3(1 +cot2
x)+3cot2
x=A+C(tanx)v
3+ 6cot2
x=A+C(tanx)v
3 + 6Í - i - í = A+C(tanx)v
(ta n x j
S+óCtanx)-2= A +€(tanx)v
Identificando tenemos que
A = 3,
C = 6
V = -2
.-.ACV = -36
Problema 8
Si tan2atan20 -1 = 0 , obtenga el valor de
K = sec2a -c s c 3
6
Resolución
De la condición
tan2atan20 = 1
1
tan a =
tan20
tan2a =cot^0
sec2a - l = csc20 - l
f véase Identidades'l
Pitagóricas
Reduciendo obtenem os
sec2a - c s c 20 = 0 - ( e l primer miembro es la
. expresión pedida)
K=0
Problema 9
Si
sen20+ sen 0 = l
calcule
P = Vsec40 - c o t 20
Resolución
De la condición
sen0 = 1 - sen20
sen0 = cos20 ••• (véase identidad Pitagóricas)
Invirtierido
1 = 1
sen© cos20
=> csc0 = sec20
Reemplazando en P tenemos
P = V(sec20)2- c o t 20
P = V(csc0)2- c o t 20 ; pero csc20 -c o t20 = l
=» P=n
/Í = 1 P = 1
291

Problema 10
Si tan3* + tan* = secx
calcule sec3x - tan* - cotx
Resolución
De la condición, factorizando tan*
tan* (tan2x + l) = secx
tan*. sec2* = sec*
1 2
sen*.— —.sec x= sec*
eos*
sec*
sen*
=» sec3
*=sec*csc*
=> sec3
*=tan*+cot*
.v sec3
x-tanx- cot*=0
Problema 11
Halle los valores de E si E =
sec* - secxsen x
sen2x(l+ cot2x)
Resolución
Primeramente restringimos los valores de *
sec* ; * * (2K +1)^ ; Ke Z
cotx ;x *Kti; Ke Z
senx#0=»x*K 7t; K eZ
Si unimos estas restricciones obtenemos que
x * — Ke Z (arcos cuadrantales)
Reduciendo E, tenemos
P_ sec*(l-sen2*) _ sec*(cos2*) coj x
^ O O x *
? í- O x
(eos2*)
1
sen2x(l+cot2x) sen2*(csc2*) sen2J|.j
La expresión E se reduce a
E=cos* ' ; sabemos -l< eos* < 1; Vxe R
como * * K -, entonces cosx*± l y cosx*0
2
por lo tanto
-1 < eos* < 1 y eos* *
■0
-1 < E < I y E#0
,.E = < - l;l) - { 0 }
Problema 12
Obtenga los valores de la expresión R, siendo
tanx+ cotx-[sen2x( 1-senx) + cos2x]secxcscx
tan*+cot*
halle la extensión de R. - % •
Resolución
En la expresión R, tan*, cotx, secx, esc* están
definidos V* e R K e Z .
Seguidamente buscaremos reducir la expresión
de tal forma que obtengam os una expresión
equivalente en la cual la variable se halle afectada
de un solo operador trigonométrico, entonces en
el num erador de R sustituimos secxcscx por
tanx+cotx.
P _ tan*+coty-[sen^*(l-sen*)+cos2*](tan*+cot*)
tanx+cotx
(tanx+ cotx) [l - [sen2x( 1-senx)+eos2*]]
(tanx+cotx)
Como se sabe
tan*+ cotxf tanx+ cotx
-2 0 2
es decir (tanx+cotx) no toma el valor de cero
V* * , entonces R queda reducido a
R = 1- [sen2x(l - sen*)+cos2x]
R = 1- (sen2* - sen?* + eos2*] = 1- [1- serfx]
......... -*~1•<...........'
R = 1- l+ sen3
x
R = sen3
x
Sabemos -1 < senx <1 ; Vx e R
Como para R, x * ^ ,
Entonces senx= + l y sen* * 0
Entonces -l< sen x < l y sen x * 0
Elevando al cubo, tenemos
-l< se n 3x < l y sen3x * 0
-1 < R < 1 y
.-. R = (-!;!) - {0}
R *0
292

Problema 13
De la siguiente identidad
1+sena . . . . . 2
----------- = (2a - 3)(seca + tana)
I - sena
obtenga el valor de a.
Resolución
Primero transformaremos el primer miembro de
tal m anera que obtengamos la forma del segundo
miembro.
1+ sena f 1+ se n a W 1+ se n a )
1-s e n a ^ 1-s e n a J [l+ s e n a j
1+sena (1+sena) 2 (1 + sena) 2
1-se n a l- s e n 2a cos2a
1+ sena / 1+ senaV ( 1 se n a ) 2
K 1
1-sen a ^ co sa J ^cosa co saJ
1+sena
1 - sena
= (seca + tan a)
Luego igualamos
(seca + tan a) 2 = (2 a-3 )(seca + tan a) 2
l(seca+tara)Z
=(2a - 3)(seca+tana)2
v i— d 1
- t
-j '------1
— 1
de donde se cumple 2a - 3 = 1
a = 2
Problema14
Halle el valorde Kpara que el valor de la expresión
P sea una constante o no dependa de a .
_ , 4 4 .2 v f 1+tan6a '
P = (sen a - cos a) - K ------ £—
[ sec a
Resolución
Se buscará transformar la expresión P de tal forma
que todos los operadores trigonométricos que
afectan a a se hallen multiplicados por K o una
expresión que contenga a K.
P=f(sen2
a - cos2
q)(sen2
a + cos2
q)]2 -K
1+
sen“a
cos6
q
1
( cos6a +sen6a ^
P = (sen2a - cos2a )2 - K
£es®a
P = sen4a +eos4a - 2sen2acos2a-K (cos6a +sen*«)
l - 2sen2cos2
a l-3sen2cos a
Reduciendo
P * 1- 4sen2aco ssa - K(1 - 3sen*acos2 a)
P = 1- K + sen2aco s2a(3K - 4) ••• (esto es lo
que se buscaba, el factor (3K-4) está afectando a
todos los o p erad o res trigonom étricos que
contienen a a )
para que se cumpla la condición del enunciado
hacemos: 3 K -4 = 0=*K = 4/3
entonces la expresión P queda así P = 1- K
4/3
- p - i
(com o usted puede apreciar ésta
expresión tiene un valor constante
o tam bién se dice que P no depende o es
independiente de a )
.%K = —
3
Problema 15
Si tan8 + cot0 = m , exprese E en térm inos
. _ c sén30 cos3 0
cos0 sen0
Resolución
Efectuando las fracciones
E =:seo40+ cos4.0j
E =
cos9sen0
1
1 - 2sen28 cos26
cos8sen 0
2sen20 cos20
cos0sen0 cos0sen0
E= sec0 csc0 - 2 sen0 cos0
E= sec0 csc0 - 2
1
sec0.csc0
293

pero recordemos que es válida también
tan0 + cot0 = sec6csc0.
en consecuencia
sec0csc0 = m
Reemplazando en la expresión E obtenemos
E = m - 2
í 1 ]
=> E= m
Im J
2
m
m
Problema 16
Sabiendo que se cumple la siguiente condición
V7cos0 + l = tan20
obtenga el valor de
K = tan60 - tan40 - tan20
Resolución
Dé la condición ¡7 eos 0 = tan20-1
7cos20 = tan40 -2 tan 20+ l
Luego
7 = — (tan40-2t an20 + l)
eos20 v
7 = sec^0(tan40-2tan20 + l)
7 = (l+tan20)(tan40 -2 tan 20 + l)
Efectuando en el segundo miembro se obtiene
7 = tan40 - 2 tan20 +1 + tan60 - 2 tan40 + tan20
Simplificando obtenemos
7 = tan60 - tan40 - tan20 + 1
K
K = 6
Problema 17
Dada la condición cotx - cosx = 1
halle el valor de la expresión siguiente
W = eos* + secxcscx - senx
Resolución
De la condición ordenamos
, cosx ,
cotx = l + cosx ; —
— = l+ cosx
sqpx
Í
CQSX ^
en el primer miembro se utilizó cotx = ------ 1
senx J
1 1+ cosx
=> — —= --------- -;
senx cosx
=> cosx- senx=senxcosx ... ((3)
Descomponiendo el segundo miembro
1 1 cosx
------ _ --------1
--------
senxcosx cosx
luego
esex = secx + 1
cscx -secx = l ...(a)
Para calcular secx.cscx, elevamos al cuadrado a
( a ) , obtenemos
esc2x + sec2x;-2 cscx secx = 1
esc2x.sec2x
(cscx.secx)2-2cscxsecx+1= 1+ 1
(cscxsecx-l)^=2=>cscx.secx=V2+l ó —
V2+1
recordamos que cscxs.ecx = tanx + cotx = m
y como se vio en el capítulo III, su intervalo de
valores es {-*»;-2]u[2;+«}
m m
-« -----------■
— w >
•
-2 2
y debido a que V2 +1 = 2,41 (verifica el intérvalo)
-y¡2 +1 = 0,41 (noverificaelintervalo)
En consecuencia se elegirá escx.secx = V2 +1
Reemplazando en la expresión W
W = cosx+n
/2 +1- senx
W = cosx - senx + ¡2 +
senxcosx... de (P)
W = ------1
------+ V2+1 = -rJ— +V2 + 1
esc x secx V2 + 1
W = 2¡2
294

" - - 1 ....... “.............." ' ■
—
' ' 1.... ..........~ ... c .....
Problema 18
En el gráfico mostrado, AB = AD
Halle seca-cosa
Resolución
En-la figura 5.2(b) trazamos BH1 AD
(b)
Figura 5J
Sea AB = AD = m
luego relacionemos los lados
En el fcsADC: CD = mcota
En LABH: BH = msena
pero CD = BH
=> ^ricota = frísena
cosa 2
------- = sena => cosa = sen a
sena
cosa = l-co s2a -
, 1 fies*oT
1= ----------r r ..— = seca-cosa
cosa fiasa
seca-cosa = l
Problema 19
Siendo !tanx + cotxl = 3
además xe
calcule E = sen3* - eos3*
Resolución
Apliquemos diferenciade cubos, en la expresión E;
es decir a3- b3 = (a - b)(a2+ab+b2)
entonces „
E = (senx~ cosx)(l +seruccosx) ... (X)
De la condición tanx+cotx = 3 , porque x e II1C
como tan*+ cotx= secxcscx
también secxcscx = 3=» senxcosx=
A partir de esta expresión formaremos
senx - cosx
asi en w, multiplicando por (-2) y sumando 1
1 - 2serurcosx = l- 2
1
sen2
x+cos2x - 2senxcosx =
l
3
(sen*-cosx)2= -
v
'se utilizóidentidad algebraica'
a2+b2-2 a b = (a -b )2
Analizando en la C.T. según el dato
tomando la raíz cuadrada a ambos miembros
/(senx-cosx)2
Efectuando
4
isenx-cosxl = ..
(se utilizó -JpJ= |A|)
■(y)
295
to
la

Tenemos senxccosx
=> senx: - eosx<0
=> s e n x -c o s x = -(s e n x -c o s x )
Luego en y se tiene
s e ra -e o s* = --4= ....(<(>)
Reemplazando (w) a (<
¡>
) en (>.)
H - i K
E =
-4>/3
Problema 20
Si yJsenx + %/cotx = %/tanx
sera+ coa-tanx= m
Halle senx en términos de m
Resolución
S ia + b -c = 0
entonces a3+b3- c3= - 3abc
En el problema
Jsenx +yJcoíx-/tarix =0
Entonces
(^señ7)3+ (^ coa)3
= -3(/senx)(3/co a )(v ta ra )
i
Es decir
sera + co a - tara = -3 tysenx
=* v/senx = -y -
Elevando al cubo se tiene que senx = -
m
"27
Problema 21
Halle una relación independiente de x a partir de
las siguientes condiciones
sec4
x+tan4
x = m ... (0
tan2
x+tan4
x = n ... («')
Resolución
De 07) se tiene tan2x(l +tan2x) = n
=» tan2xsec2x = n
De (i) sec2x.sec2x+ tan2x .tan2x = m
l+ tan2x sec2x - l
Efectuando el primer miembro
sec2x +sec2x tan2x + tan2x sec2x - tan2x = m
Reduciendo
=> 2sec2x.tan2x +sec2x - tan2x = m
n
Luego 2(n) + 1 = m
.-. m - 2 n = 1 (esta relación es independiente de
x o también se dice que la variable
x se ha eliminado)
Problema 22
Elimine x a partir de las siguientes condiciones:
esex-senx = m ... (V)
secx - cosx = n ... (2)
tara- c o a = p ... (3)
Resolución
La ecuación (1) lo expresamos en términos de
senos y cosenos
1
- senx = m
l-sen 2x
-= m
senx
luego -= m
senx
asimismo de (2) todo en términos de senos y
cosenos.
= n ....(5)
tenemos -
cosx
multiplicando miembro a miembro (4) y (5)
cosx.senx=m.n ...(a)
La condición (3) elevamos al cuadrado
tan2x+cot2x - 2tanxcotx =’p2
1
tan2x + cot2x = p2+2
296

CAPITULO V identidades trigonométricas
=* tan2x+ cot2* + 2 = p2 + 2 + 2
(tanx+cotx)2
=> (tanx+cotx)2 = p2 +4
sec*.csc*
Problema 24
Dada la condición asenx + bc«s* = c
además a2+b2 = c2
exprese P en términos de a,b y c, siendo
P = acos* + bsenx
1
sen*, eos x
:P2 +4 ...(P)
Sustituyendo (a) en (p)
í — Í = D2
i, mn J
p‘ +4
1 2
—r~2 ~P = 4 (se ha eliminado *)
m n
Problema 23
Elimine 6 a partir de las siguientes condiciones
atan2 0 +sen2 0 = 1 ... (i)
bsec2 0 - esc2 0 = 0 ... (//)
Resolución
De la expre sión (ir) se tiene b sec20 = esc20
pasando a senos y cosenos
1 1
^ co s20 sen20
De (0
a.tan20 = l- s e n 20 => a.- 1
, COS?0 , n.
b= -----5- => b=cot 0
sen20
cot20
= 1- -
1
CSC 0
luego
cot20
= 1
1
l+ co t20
f se utilizó la identidad'1
CSC2 0 = 1+ cot20
cambiamos a cot20 por b
JL = , ___ ! _
b2 1+ b2
Ordenando
a(l + b2) = b4 — (eslá relación no depende de 0 ,
por lo que afirmamos que la
variable se ha eliminado)
Resolución
Buscarem os el valor de una de las razones
trigonométricas, de la condición tenemos
asen* = c-b co s* ....(l)
Elevando til cuadrado .
a 2 sen2* = c2 + b2cos2* - 2bccosx
1-cos2*
Ordenando la ecuación cuadrática queda
(a2+b2)cos2* - 2bccos* + c2 - a 2 = 0 ....(2)
Como
a2+b2=c2 => c2-a 2=b2... (3) •
c2cos2* -2bccosx+b2= 0
Trinomio cuadrado perfecto
(ccos*-b) 2= 0 => ccosx-b= 0
Despejando cos* = —
c
Sustituyendo en (1) obtenemos
asen * = c - b | —|=>asen* = c - b 2
Simplificando sen* = —
Reemplazando sen* y cosx en la expresión P
p-(c M ;
p =
2ab
si asen* + bcosx =c y a2+b2 = c2
. 1 a b
entonces se cumple: sen* = — , eos* = —
c c
297

Teniendo en cuenta esta última observación
podem os entender los siguientes ejemplos
a) Si 3sen a + 4cosa = 5
y com o se verifica 32+ 42 = 52
3 4
=*sen a = - ycosa = -
, D O
b) Si -5sena - 1 2cosa = 13
y com o se verifica (-5)2+ (-12)2=(13)2
sena = — - v
13 y
cosa =
12
13
c) Si s e n a -2 c o s a = V5
y com o se verifica (i)2+ (_2)2 = (TÉÍ)
1 -2
=» sen a = -¡= y co sa = - 7
=
75 75
Racionalizando
75 -2V5
sen a = — a cosa = -------
5 5
Problem
a25
Si kcosG + -s e n 0 = 77
k
además k+ = 3
calcule A = sen40 + cos40
Resolución
El dato lo elevamos al cuadrado
k
2+^-+2X~ = 9 =
> k
2
+-L = 7
k2 X k2
C um ple la observación anterior, en to n ces
afirmamos que
Q k . 1
c o s0 = -¡= , sen0 = —
77 k77 '
Nos piden A = 1 - 2eos20sen20
Reemplazando valores
k
A = 1 - 2
2/ j >2
77 k77
= 1 - 21-
A = —
49
Problem
a26
Dada la siguiente ecuación
sen4a eos4a 1
•---- -— + —
a + b
Entonces el valor de sen a + cos_ a
Resolución
Efectuando en la condición dada
a + b'i 4 ( a + b V 4 ,
------ sen a + | —— Icos a = l
cambiando a la unidad por (sen 2a + eos2a)2
sen4a +- sen4a + —eos4a + eos4a = (sen2a + eos2a )2
a b
=> ,sefí4
7x+ciD&.4a + —sen4a + —cos4a =
a b
>erf^a + c o s V + 2sen 2acos2a
Ordenando en el primer miembro, identificamos
un trinomio cuadrado
b 4 a 4 r , 2 2 a
—sen a + —eos a - 2sen a eos a = 0
a b
f ib 2 ja 2
j a sen2a - y —eos a = 0

t—
íb"
De donde J —sen2a = A
a 2
—eos a
a »b
sen4a eos4a
= k
a2 b¿
Reemplazando en ecuación original
1
sen4a , cos4a
a.— — (•b.— =
—
a + b
a(k)+b(k)=—i—
a+b
En la incógnita
sen8a eos8a
— . , = a
k=
1
(á+ b)2
/ . 4
sen a
sen8a eos8a
+ b
/ cos4a''
:a(k)2 + b(k) 2
sen a eos a . 2r ,
— — + — = k (a + b)
a4 b
sen8a eos8a
---- 5---+ -
a'' b
sen8a eos8a
. ---- 5---+ ---“o
---
1
___
(a + b)4
1
(a + b)
(a + b)3
298

Ca p í t u l o v Identidades trigonométricas
E jercicios
I. Demuestre las siguientes identidades
1* sen6 tan8 + c o s0 = sec8
2. (tan20 + l)sen2e = tan20
3- sec40 -ta n 40 = l + 2 tan20
4. cos40 -s e n 40 = l - 2sen20
tan20 - sen20 = tan20sen20
COS0
5.
6.
7.
8.
9.
10.
sec0 + tan0
1
sec6 -ta n 8
l + cot28
cot20
= l- s e n 0
= sec0 + tán0
sec20
sec6
tan0 + cot0
2 1
= sen0
1
sen20 l + cos0 l- c o s 0
cos0 se c 0 „ „ ,
11.. - — — - + -------- - = se c 0 + co s0 + l
12 .
1-sec© l - c o s 0
tan0 -s e n 0 sec0
sen 0
13; cot0 + cos0 =
I+COS0
1+ CSC0
14.
15.
sec9
sen0 l-co S 0
1+ cos8 sen0
1+ sen6
l-sen 0
(sec0 + tan0 )2
16 tan 0 - eos 0 cot 0 _ sen0 eos 8
csc0 cot0 se c 0
17. ta n x -c o ty _ -c o ty
c o tx -ta n y cotx
18. (l+secx-tanx)2= 2(l+secx)(secx-tanx)
II. Halle un equivalente más simple para cada
una de las sigu ien tes exp resion es
trigonométricas.
cosx
19. serur + -
tanx
2 0. secxsen2x + cscxcos2x
senx + cosx
senx cosx tanx
2 1 . -------+ ------- + — —
esex secx cotx
22. (cosx - serurcosx)secx+taAx)
1-c o s x c o s x -1
23. tanx + —^
------ +
24.
tanx sen x cosx
secxcscx - tanx
secxcscx - cotx •
25. (l-sen x -c o sx )(l+ se n x + c o sx )
1
26. 1 1
c sc x -co tx • tanx
secx „
27. tanx + ^ ^ - ( 2 cos2x -I )
senx
28.
(1 - senx + cosx)2
(senx+ tanx)(cotx - cosx)
%
R espuestas
19. esex 21. sec2
x 23. senx 25. - 2senxcosx 27. cotx
2 0 . secxcscx-1 22. cos2
x 24. cot2
x 26. senx 28. 2
299

IDEN TID ADES DE LA SUMA Y DIFER EN CIA DE DOS ARCOS (DOS Á N G U LO S )______
Básicamente la utilidad de estas identidades radica en que con ellas se puede calcular razones
trigonométricas de arcos o ángulos desconocidos a partir de arcos o ángulos cuyas razones
trigonométricas sean conocidas. Para entender un poco más al respecto preste atención a lo siguiente:
Del Capítulo II sabemos que se conocen todas las razones trigonométricas de los ángulos 53° y 45°,
pero con estos ángulos es posible general nuevos ángulos com o son: 98°, 8o y - 8o mediante operaciones
de adición y sustracción, esto es:
98° se genera como: 53° + 45°
8o se genera como: 53° - 45°
- 8o se genera como: 45° - 53°
Puesto que se conocen todas las razones trigonométricas de 45° y 53°, indicaremos que sí es posible
calcular todas las razones trigonométricas de estos ángulos (98°, 8o, - 8o), pero para ello es necesario
conocer el siguiente grupo de identidades para la suma y diferencia de arcos, las cuales se pueden
expresar de la siguiente manera:
■ seno de la suma y sen(a + 0) = senacosO + cosasen0 . . 0 )
diferencia de dos circos sen(a - 0) = senacosO - eos asen© . . ( 2)
coseno de la suma y cos(a + 0) = cosa eos 0 - señasen© •• Í3)
diferencia de dos arcos cosía - 0) = cosa eos 0 + señasen© • •Í4)
tangente de la suma y
, tana + tan0
tan (a+ 0) = ------------------
1- tan a tan 0
Í5)
diferencia de dos arcos
__________________
, tana-tan©
tan(a - 0) = ------------------
l + tanatan0
Í6)
Las demostraciones de las identidades anteriores las realizaremos a partir de la demostración de la
siguiente identidad: cos(a - 0) = eos a eos 0 + senasenB
Para la identidad anterior, desarrollaremos la demostración de Cauchy, basado en el concepto de
distancia entre dos puntos, consideremos dos arcos en posición normal a y 0 en una circunferencia
trigonométrica com o se muestra en la figura 5.4 (a), donde mPQ=a - 0 . En la figura 5.4 (b) se muestra
un arco AM en posición normal cuya medida es a - 0
300

Notemos de las figuras anteriores que los
segmentos PQ y AM tienen la misma longitud, es
decir PQ = AM.
De la figura 5.4 (a) por distancia entre dos
puntos tenemos
PQ =V (cosa-cos0)2+ (sena - sen0)2
efectuando
PQ=sJ2 - 2(cosacos0 + senasen0 ...(1)
asimismo
AM = -JO - cos(a - 0))2 + (0 - sen(a - 0))2
simplificando
AM = x/2 - 2 c o s ( a - 0 ) ...(2)
igualando (1) y (2) obtenem os
2 - 2eos(a - 0) = 2 - 2(cosacos0 + senasen0)
de donde
(cos(a - 0) = co sa co s0 + senasenOj
De esta m anera q u ed a dem ostrada la
identidad para el coseno de la diferencia de dos
arcos, donde es válida para cualquier a y 0 real.
Utilizando la identidad demostrada arriba,
tenemos
1. cos(a 40) = co s(a - (-0))
cos(a + 0) = c o sa c o s (-0) + sen asen (-9)
cos(a 4*0) = eos a eos 0 + sen a (-sen 0)
luego ícos(a+ 0) = cosacosO - senaseno]
2
. sen(a+
0)=
cos
sen(a40)=eos
5 - ( a +0)
K H -
1
í n )
eos — a
l O
n )
--a sen
9
sen(a40)=senacosB + cosasenO
luego fsen(a4 0) = senacosQ+co
sasen
o
]
3. s e n ( a - 0 ) = sen [a+ (-0)]
sen (a - 0) = sena co s(-0) + c o sa sén (-0)
s e n ( a - 0) = senacosO + co sa (-sen 0)
4.
efectuando obtenemos
sen (a - 0)= sen a co s0 - cosctsen0
sen(a + 0)
tan(a + 0) =
tan(«4-0)=
cos(a + 0)
sen a co s0 + cosasen 0
eos a eos 6 - señasen©
dividiendo numerador y denominador por
cosacos©
sen a co s0 + cosasen 0 sena sen0
------------------------------- ------- + .
tan(alO )- cosacosO _ co sa cos9
cosacosO -senasenO j sena sen©
cosacosO cosa cos0
entonces tan(a + 0) =
tana 4 tan0
1- tana tan0 .
Se deja para el lector la demostración de la
siguiente identidad.
tan(a - 0) =
tan a-tan 0
l + tanatan0
Veamos algunos desarrollos
sen(20° + 10°) = sen20°co sl0°+ cos200sen l00
sen(4x-jt) = sen4xcosx - cos4xsenx
cos(45°+ 37°)= cos45°cos37° - sen45°sen37°
cos(53°-30°)= cos53°cos30°+sen53°sen30°
tan(16°4-15°)=
tan(30°-14°)=
tanl6° + tanl5°
l-tan l6°tan l5°
tan 30°-tan 14°
1+ tan 30° tan 14°
sen(a 4 0+0) = sen(a+0)eos 0+sen 0cos(a 4 P>
cos(a 4 04 0) = cos(a+0)eos 9- sen 0sen(a 4 0)
ta n (a 4 p 4 9 ) = -ta- ^ a;.fi) + t-a-n 9
l-tan(a4P).tan0
30t

De igual forma, el lector tiene que estar en la
capacidad de distinguir los desarrollos de las
identidades anteriormente indicadas; para ello
sigamos con otros ejercicios
• senl(Pcos50+coslOp
sen5°=sen(100+5°) =senl5°
• cos3xcosx- senSxsenx = c o s (3 x + at) = cos4x
• sen56cos20- eos56sen20 =sen(56 - 20) =sen36
• cos9°cos40+sen9°sen40= cos(9°- 4o) = cos5°
pero también
cos9°cos4° + sen90sen4°=cos40cos9°
+sen4°sen9° =cos(4°-9°)=cos(-5°)=cos5°
* Las demostracíbnes de las identidades
cos(-0) = cos0 a sen(-0) = -sen0 se
desarrollarán más adelante.
Ejem plos d e aplicación
1. Determine el valor exacto de sen75°
R esolución
La manera para resolver este ejemplo es
buscar descomponer 75° como Una suma o
diferencia de ángulos notables. Según lo
expuesto notamos que
75°=74°+l°
(no conviene porque Io no es notable)
75°=81°-6°
(no conviene porque ninguno es notable)
75°=45°+30°
(es conveniente porque ambos 45°y 30°
son notables)
luego, consideremos a 75° como la suma de
los ángulos 30®y 45°, entonces
sen75°= sen(45°+30°), de la identidad (1)
tenemos
sen75°= sen45°cos30° + cos45°sen30°
2 A2,
/6 + >/2 ;2
sen75°
.-. sen75° =
2. Determine el valor de eos105°
Resolución
De igual forma que en el ejemplo anterior, se
buscará descomponer 105° como una suma
o diferencia de dos ángulos notables y la
opción elegida es 105° = 60°+45°, porlo que
podemos plantear lo siguiente
cosl05° = cos(60o+ 4 5 °),
de la identidad (3) tenemos
eos 105° = cos60°cos45° - sen60°sen45°
* ^2 V3V2
eos 105° = ----- -—r-^
2 2 2 2
/. eos 105° = -
V6-V2
3. Calcule el valor aproximado de eos 16o
R esolución
coSl6° = cos(53°- 37°); de la identidad (4)
eos 16° =cos53°cos37°+sen53°sen370
i co 3 4 4 3
c o s l6° = -----+ —
5 5 5 5
.-. eos 16° = 24/25
4. Determine el valor de sen-
12
R esolución
It 7
1 7
1
como — - - - - ,
ji í n n )
se tiene sen— = senl - - - j ;
de la identidad (2) tenemos
n jt ji n n
sen — =sen - eos— eos—
'sen -
12 3 4 3 4
~ n y¡3 ¡2
sen— =--------
12 2 2
n
sen — =
12
I V 2
2 2
S -y ¡2
5. Calcule el valor aproximado de tan8°
Resolución
El ángulo de 8ose puede escribir como
53°-45°
tan8° = tan(53° - 45°); por la identidad (6)
1 - 1
tan8°-tan53° ~ tan45° = 3
1+tan53°tan45° v + ixl
Efectuando
tan8o = - '
7
302

6) Determine el valor de coi —
R esolución
De la propiedad de arcos complementarios
TC _ 7T 5jt
tenem os — 2 _ 12
entonces cot — = tan— = tañ í- + - )
12 12 L4 6 j
Por la identidad (5)
. n n
4 + 6
ir , , n
ta n -+ ta n -
4 6 _
1 -tan -ta n ~
4 6
1+
1 -
s
i
Racionalizando el denominador
cot
3 + 73
3 - 7 3
(3 + v g )
(3 + 73)
x - ---¿r = 2+ 73
Según los ejemplos desarrollados, es necesaria
recordar las razones trigonométricas de 15°, 16°,
y 18°; entonces formemos los siguientes triángulos
7K
(c)
Figura 5.5
........i.J
Si a y b son constantes reales, con x, variable, se
cumple
asenx +bcosx = 7a2+b2sen(x +8)
tal que cos8 = , a a sen0 = ......
7a2+b2 7a2+b2
. ...........~ _______
Del teorema mencionado se concluye
-7a2+b2< asear +bcosx 5 -Ja1+b2
fm
W
rn
o 1 fm
»
x
lm
o
Demostración
asenx+bcosx= 7 a2+b2sen(x + 0)
asenx+bcosx= ^ a 2+ b2(Senxcos0 + cosxsene)
' asear+bcosr=va1+bJ[senx i ,a ■. +c o s x —- ]
( 7a*+b2 Va2+b2J
asenx+bcosx=asenx+bcosx
esto es lo que se buscaba demostrar
Ejemplos
1. senx + >/3eosr =
¡/l! + 7 }1sen(r +0) = 2sen(r +0)
1 73
cose = - a sen8 = —
2 2
donde
1 73
cos6 = - a sen6= —
2 2
=> e=..„ -300; 60°; 420°;......
es conveniente escoger 0 = 60°
senx + 73cosx = 2sen(x + 60°) .
2. sen x-cosx = Vi2+(-l)2sen(x +0)
sen x - eos x = 72 sen(x +0)
donde
cose = -t= a sen0= -
72
=> 6=..., -45°; 315°; 675°;...... .
es conveniente escoger 0 = -45°
senx - cosx = 72sen(x-45°)
1
72
.303

Otra forma de llegar a este tipo de identidades
se n x + 7 3 c o sx = 2sen(x+60°)
es mediante los pasos siguientes:
Primero: el coeficiente del seno tiene que ser uno.
Segundo.el coeficiente del coseno tiene que ser
reemplazado por una tangente de un ángulo
notable.
Tercero: expresarlo en térm inos de sen os y
cosenos.
Ejemplo 1
R = T Ü sen x+ cosx
1ro: R = V3^senx + -y= cosxj
2do: R = 73 (sen x + tan 30° cosx)
„ D /^ ,sen x sen 30° ,
3ro: R = 7 3(— -— + ---- — cosx)
1 eos30°
sen(;r+30o)
p _ r j sen x eos 30°+ sen 30° cosx j
v t e o s30° J
reemplazando
= > R = 7 3 S.en^ -3?--)-
73
2
reduciendo: R = 2sen(x+30°)
7 3 sen x + co sx = 2sen (x+ 30°)
luego
73
2
reduciendo
M = 2sen(x - 30°)
.-. T isera - cosx = 2sen(x - 30°)
Ejemplo 3
R = senx + cosx
1ro.: R = senx+ 1 cosx
2do.: R = sera+tan45°cosx
„ _ sera sen45°
3ro.: R = —-— + ---- — cosx
1 cos45°
efectuando
_____ sen(x+45°)______
senxcos450+sen45°cosx
cos45°
0 s.en(x + 45°)
^ R = ------ -----------
72
t^ R = Í2 sen(x + 45°)
.sen x + cosx = 72sen (x + 45°)
Ejemplo 2
M = 73 senx - cosx
de igual manera que el ejemplo anterior
lro.:M = 73 s e n x — p=cosx
73
2do.: M= V 3(senx - tan30°cosx)
-3ro.: M= 7 3 f
efectuando
sen 30° )
S enx------- r^rCOSX 1
qps30°
M = 73
______ sen(x-30°)______ ■
»
sen x co s 30° -s e n 30°cos x
eo s30° y
Teniendo en cuenta estos últimos ejemplos,
podem os plantear el sigu ien te grupo de
Identidades Auxiliares:
i) sen x+ cosx= 7 2 sen (x + 45°)
73 sen x +cosx = 2sen(x+30°)
sen x + 7 3 co sx = 2sen(x+60°)
ii) sen x -co sx = 7 2 se n (x -4 5 ° )
_73 s e n x - cosx = 2sen(x - 30°)
senx - 73 co sx = 2sen(x - 60°)

A con tin u ación , m ostram os ejercicios
aplicativos sobre estas identidades
sen20°+cos20° = 42 sen(20°+45°) = v2 sen65°
sen 70°-cos70°= sen(70°-45°) = y¡2 sen25°
senl5°+ s¡3 eos 15° = 2sen(15°+60°) = 2sen75°
sen65° - V3 cos65° = 2sen(65° - 60°) = 2sen5°
V3 sen l0 °+ co sl0 0=2sen(100+30°) = 2sen40°
Í3 sen40° - cos40° = 2sen(40°- 30°) = 2senl0°
pero también puede utilizar su equivalente en
radianes
i) SiA+B+C = n jt; n e Z
se cumple:
• tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC
• cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC = 1
ii) Si A+B+C = (2 n + l)— ; n e Z
se cumple:
• cotA+cotB+cotC = cotAcotBcotC
• tanAtanB+tanAtanC+tanBtanC = 1
Demostración de (i)
De la condición tenem os
A+B = njt-C
entonces
tan(A+B) =tan(njt-C )
tanA+tanB _ Janfm - tanC
1- tan A.tanB 1+ JammrtSnC
se conoce
tan(rrn) = 0 ; n e Z
efectuando
tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC
- com o tan* = —í—
cotx
tenem os
1 1 1 = _ 1 _____ 1
_____1_
cotA cotB cotC cotA cotB cotC
efectuéindo
cotBcotC + cotAcotC + cotAcotB = 1
Se deja para el lector la demostración de ii.
Si A, B y C son ángulos internos de un triángulo
no rectángulo ABC, se cumple que la suma de
sus tangentes es igual al producto de los mismos.
Para poder apreciar una aplicación acerca de
esta observación preste atención al desarrollo del
siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Halle tanB a partir del siguiente gráfico
B
305

Resolución
De acuerdo a los datos del ejemplo, podem os
completar la longitud del segmento AH, esto es
B
3
del A ABH tanA = tan37° = 7
4
3
del .¡dBHC tanC= ~
pero como: A+B+C = 180°
Calcularem os tanB aplicando la observación
porque se cumple que
tanA+tanB+tanC = tanA.tanB.tanC
-+ ta n B + - = —.tanB .-
4, 5 4 5
reduciendo § +tanB = ¿ tanB
27 9
luego — = — .tanB-tanB
5 20 20
=> tanB = ~JL
11
Ejemplo 2
En un triángulo ABC, simplifique
g _ cos(A+B) + cos(A+C) + cos(B+C)
senAsenB senAsénC senBsenC
Resolución
Como
cos(x+y) _ cosxcosy - senxseny
senxseny senxseny
cos(x+y) _ cosxcosy senxseny
senxseny senxseny senxseny
C0S(^ >
,) = c o tx c o ty -1
senxseny
en la expresión E
E = cotAcotB - 1 + cotAcotC - 1 + cotBcotC - 1
E = cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC - 3 ...(I)
si se trata de un triángulo ABC se tiene
A+B+C = 180°,
luego se cumple
cotAcotB+ cotAcotC+ cotBcotC = 1 .... (II)
reemplazando (II) en (I) se tiene: E = -2
A partir del ejercicio, concluimos
aj =cotxcoty - 1
serurseny
b) cos(x—^ = cotxcoty + l
senxseny
Ejemplo 3
Si A+B+C = y cotA+cotB = 3cotC,
calcule tanAtanB
Resolución
Como A+B+C = —
2
Se puede escribir com o
A + B + C = ^ = (2(6) + l ) í ; 6 e Z
p ic a n d o el teorema de la página 303
cotAcotBcotC= cotA +cotB+ cotC
cotAcotBcotC= 3cotC+ cotC
cotAcotBcotC=4cotC
cotAcotB=4
1 1 .
=>----- . — — = 4
tanA tanB
.-. tanAtanB=-
4
306

Problemas Resueltos
Problem
a1
Calcule el valor de cos(a +'8) ;
si sena = 5 o < a < - y cos0 = - - . n < 0 < ^ -
4 2 3 2
Resolución
Aplicando las identidades
• cos2cx = 1 - s e n 2a =>cos2a = l -
co sa = —
4
• sen 20 = l - cos20 =>sen20'= l-^ -
sen0 = —
—
3
sabemos que cos(a + 0) = cosacos© - señasen©
entonces cos(a + 0) = ^ ^ y j - ^ | ^ p j
, co sC a -0) = 3^ - ^ -
Problema2
K = 2sen50° - 4cos40°senl0°
Resolución
Cambiemos a 50° por (40° + 10°)
K=2[sen(40°+10°)-2cos40°senl0°J
K=2[sen40scos¡0’+co&4(fsenl0:
’
-2cos4Of1
se nlCP]
K=2[sen40°cosl0°- cos40°senl0°]
K= 2sen(40°-l 0°)=2sen30°= 1
Problemas
Calcule el valor aproximado de
c _ se n l0 cosl°
V e W 2 + V6 + ^
Resolución
sen 1°.(V6 + ¡2) + eos l°(>/6 -y¡2 )
C
x/6 - v/2 )CV6 +V2)
( f i +W
{ 4 J l 4 J
E = sen l°cosl5° + cosl°sen l5°
E = senCP+lS*) = sen l6° = —
25
Problema4
Si tanCx+y) = 5 ; tan (x-y) = 4 calcule cot2y
Resolución
Seax+ y = a a x - y = ¡3
luego 2y = a - P
entonces
tan2y = tan (a - P)
_ . tan a -ta n P _ _ 5 ^ 4 _
1 + tanatanp 1+ 5 x 4
=> tan2y= - 1/21 v. cot2y = - 21
Problemas
Determine el valor de k a partir de la igualdad
sen 38° sen 52° 3^2
siguiente
Resoluclón
Se sabe sen52°
sen38° cos38° 3
En el problema ~ k
racionalizando
sen 38°
S - J 2
4
(
4
cos38° = r
k
3
sen38°cos75°-sen75° cos38° = -
sen(38"-75*) ’ *
=> sen(-37°) = — =» -sen 37° = —
k k
307

Problemas
Demuestre que
i) sen(x+y) sen(x-y) = sen2x - senV
ii) cos(x+y)cos(x-y) = cos2
x + co s2y - I
______________ _______________✓
Resolución
Desarrollemos los primeros miembros de cada caso:
se n (x + y )se n (x -y ) = sen2x -s e n 2 y
(se n x c o sy + c o sx se n y )(se n x c o sy -c o sx se n y ) = sen2x -s e n 2 y
sen2x eos2 y - cos2x sen2y = sen2x -s e n 2 y
l-sen2y l-sen2x *
sen2x - sen2x s ^ y - sen2y + sep^xsen y = sen2x -s e n 2 y
.-.sen2x - s e n 2y = sen 2x - s e n 2y
cos(x +y) cos(x - y) = cos2x + c o s2y - l
(eos x coS y - sen xsen y)(cos x c o sy + sen x sen y) = cos2x + c o s2y - l
eos2x eos2y - sen2x sen2y = cos2x + c o s2y - l
l-cos2x l-cos2y
eos2 - 1+ cos2x + c o s2y - .pes^jr eos2y = cos2x + c o s2y - l
,co s2x + c o s 2y - l = cos2x + c o s2y - l
Problema 6
Simplifique la expresión
3cos2x - s e n 2x
M = -------------------------------
sen(60° + x)sen(60° - x )
Resolución
Cambiando al denominador por la identidad (i)
del problema (5)
M =
3(1 - sen2x) - sen2x
sen260° - sen2x
M =
M =
3 - 4sen x
3^-4sóíí2x
= 4
M= 4
Problema 7
Del gráfico ABCD es un cuadrado, calcule tan a ,
si se sabe además que E es el punto medio del
segmento BC y que la medida del ángulo DAF es
37°.
B
E

Resolución
Considerando el lado del cuadrado igual a 4a
entonces FD = 3a
Del gráfico 5.8 (b) se tiene
a = 5 3 °- 0
tana= tan(53°- 0)
tan 53o- tan 0
tana = -------- ------------
l + tan53°.tan0
tana = -
i 4 2
+ 3 7
22
29 tana =
22
29
(valor aproximado, por usar a 37° y 53°)
Problema 8
Del gráfico, calcule x si cot 0 = 9/22
Resolución
7 4
tana = —, tanp = —
x x
Además 0 = a + p
tan9 = tan(a + P) =
y x > 0
tana+tanP
1-tan a.tanP
tan0 =
22=
9 '
I +i
.X - A
1
U x
£ )
jc2 —
28
x
x 2-2R
=> 2x2-9x-56=0
(x-8)(2x+7)=0
o 7
=> * = 8 v x - —
2
de donde obtenemos: x = 8
Problema 9
Calcule el valor de la siguiente expresión
M = cos250+v/3sen25°
senlO°+coslO°
Resolución
Para dar forma al numerador y denominador y
aplicar las identidades fundamentales hacemos
lo siguiente
l Co s2 5 °+ ^ se n 2 5 °
¿---------------á__ ______J-,
-^senlp°+-^coslO°
309

2tcos60°cos250+sen600sen25°]
72 [cos45° sen 10o + sen45°cosl 0o]
M_ x/2.cos(60°- 25°) =
sen(45°+10°)
M=72
Problema10
Calcule el máximo valor de
5 + x j ; V xe R
f = 4 c o sx -2 se n
Resolución
f = 4 c o s x - 2
n n
sen - eos x + eos - sen*
6 6
f = 4 eos x - [eos x + 73senx ]
f = 3 c o s x - TIsenx
f = (-73)sen x + 3cosx
pero
-> /(-7 3 )2+32<(-73)seru- + 3 c o sx < ^ (-7 3 )2 +32
de donde
(máximo'
‘máximo = 2n
/3
2 + (3)2
ProblemaT
I
Si: A í versx+covx < B
Determine la sum a del mayor valor de A y el
menor valor de B.
Resolución
Sea: P= versx + covx
P= 1 - cosx + 1 - senx
P= 2 - (senx + cosx)
considerando: x e R , tenemos
-7 2 < senx + eos x < 72
multiplicando por ( - 1)
- ¡2 < -(sen x + eos x) < 72
sumando (2)
2 - V2 < 2 - (senx + cosx) < 2 + 72
- . v : p
veamos en la recta numérica
P B
2-Y2 2+V2
Figura 5.10
entonces
A < 2- 72 =*Am
áx = 2 - 7 2
B>2 +72 => B . = 2 + 7 2
•'•A má* + B m l o = 4
Problem
a12
Calcule la variación de
H = 2senx + 3cosx ; x e (0 ;
Resolución
Con los coeficientes de senx y cosx
tenemos: tan0 = -
2
Luego
H 2 3
- ¡ = = senx + - f = cosx
713 7Í3 7Í3
= cos0senx + sen0co sx
713
II
= sen(x+0) => H = 7l3sen(x+0)
del dato:
0 < x < - : 0 < x + 0 < —+ 0
2 2

CAPÍTULO V . __________ •
_______Identidades trigonométricas
analizando en la C.T. (dibujando los arcos x+ 8 )
se obtiene
s e n ^ +0j < sen(x+0) < 1
cos0 < sen(x+9) < 1
-j== < sen(x+0) £ 1
multiplicando por (VÍ3 ) :
2 < VÍ3ser(x+9) < -J3 ,
H = (2; 7Í3]
Problema13
Del gráfico adjunto, ABCD es un cuadrado.
Sabiendo que AM = 2MD = ND, calcule sec 8
Resolución
Figura 5.12
Hacemos que MD = a, entonces AM = ND = 2a
pero del gráfico tenemos: 0 + a + p = 180°
Por lo que podem os utilizar la siguiente identidad
tan0 + tana + tanP = tan 0.tan a. tan p
3 3
tan0 + - + 2 = tan0. - . 2 .
2 2
7
tan0 + -■= 3tan0 =* tan9 = 7/4
pero sec0 = Vl + tanJ 6 se c 0 = -------
4
Problemas
En un triángulo ABC se cumple
tanA _ tanB _ tanC
2 = 3 4
halle el valor de sec2A + sec2B + sec2C
Resolución
De la condición del problema
tanA = 2K
tanA tanB tanC '
------ = —— = — — = K => tanB = 3K
2 3 4
tanC = 4K
como A+B+C = 180°
sabemos que: tanA+tanB+ tanC= tanAtanBtanC
sustituyendo: 2K + 3K + 4K = 2K.3K.4K
9X = 24K/ => K2= f
O
311

nos piden
M = sec2A + sec2B + sec2C
l+ tan2A + l+tan2B + l+ tan2C
M =3+tan2A+tan2B+tan2C
M =3+(2K)2+(3K)2+(4K)2
M = 3 + 29K2 = 3 + 29Í 3
.M = 111/8
Problema15
Del gráfico, calcule tana, sien d o ABCD un
cuadrado. Además O y O, son centros
Resolución
Sea
r :radio de la circunferencia menor
R : radio de la circunferencia mayor
(b)
Figura S.13
Notamos que a + (3+ 0 = 90°
=>a + P = 9O °-0 => tan(a + P) = ta n (9 0 °-0)
tana + tanP 1
— --------- = cot0 = - —
1-tan atan p . tan0
ordenando se tiene
tanatanp + tanatanB + tanptan0 = 1 ...(1)
del k. sombreado
(R+r)2 = (R - r)2 + (OH)2 '
=> OH = 2/Rr .
Observamos 2R = r + 2v/Rr ...(II)
dado que las razones trigonom étricas no
dependen de los lados, hacemos: r = 1
2+V3
sustituyendo y resolviendo en (II): R =
definiendo
en ÍS.ADO,: tan6 =
R
2R
- r - 1 V 3-1
2R-r „
2
Í 2 W 3 ]
-1 2
l 2 J
luego reemplazamos en (I):
tana
■J3teína 5-
+ tana|
s
2
.-. tana=
4
5 - J 3 - 3
Problema16
sen(x+y)
Demuestre que tan* + tany =
cosxcosy
Resolución
Llamemos: E= tan*+ tany
transformando a senos y cosenos:
g _ s e n * + seny
E =
eo s* eosy
sen x eos y + eos * sen y
eo s* eo sy
Recordar: sen(x+y)=senxcosy+cosxseny
sen (x + y)
E = -
cosxcosy

por consiguiente se establece
., . ■ . sen(x + y)
z) tanx + tany = -----------—
'cosxcosy
en forma análoga obtenemos
sen(x - y)
cosxcosry
tí) tan* - tany = -
Problema1
7
Del gráfico, halle
sen20
sen2a
Resolución
( b )
Figuró 5.14
Definimos %
9 5
tan(0 + a ) = — , tan(0 - a) = —
m m
luego
9 5
tan(0 + a) + tan(0 - a ) = — + —
m m
aplicando la identidad del problema anterior
sen20
cosC0 + a )co s(0 - a ) m
también
9 5
tan(0 + a) - tan(0 - a) = ---------
rri m
sen2a _ 4 ^
cos(0 + a )co s(0 - a ) m
dividiendo (z) y (zz)
sen20 _ 13
sen2a 4
Problema18
Sabiendo que
tanxtan2x + tan2xtan3x + .... + tari5xtan6x=14
tan 6x
calcule
tanx
Resolución
tanx + tany
tan(x + y) = -
1-tan x.tan y '
luego
tan(x+y) - tan(x+y)tanxtany = tanx+tany
ordenando
tan(x+y)tanxtany =tan(x+ y)-tanx-tany ... (a)
en la condición del problema, multiplicamos por
tanx en ambos miembros
tan2x. tara:. tan* + tan3xtan2xtanx + ........
+ tanfixtan5xtanx = 14tarar
escribiendo a cada producto de forma vertical y
cambiando por la identidad (a)
tan2x.tanx.tanx =tan2x-tan x-tan x
tan3x.tan2x.tanx=tan 3x- tan2x- tanx
tan6x .tan5x.tanx=tan 6x - tan5x- tanx
sumando
i 14 tan x = tan 6x - 6 tan x
20 tanx=tan6x
•tan6x
tanx
= 20
313

Problema19
Halle la variación de f2si
, l + V Itana w / . n
f = - 7
=---------- ; V as 0 ¡,7
V I-ta n a 4
Resolución
Dividiendo al numerador y denominador entre VI
1+ VItana
~ V l~
f =
V I-ta n a
V I
-7= + tana
_ VI____
l--!= ta n a
V
I
ta n - + tana ,
f = ------§-----------= tanf ? + a
l-ta n -.ta n a
6
l 6
del dato
a ^ n ti ti 57t
0 < a < — => —< —+ a < —
4 6 6 12
dibujam os en conjunto de
circunferencia trigonométrica
( H c
en la
luego tenemos
— < tan^+aj<2+V
I
f
elevando al cuadrado
- < f 2 <7 + 4VI o f2 = / - ; 7+4V I
3 3
Problem
a20
En un triángulo ABC se cumple
cot(A+B)+cot(B+C)+cot(C+A) = -V I
halle el valor de la expresión
K= tanAcotB+tanBcotC+tanCcotA
Resolución
A partir de la condición tenem os
c:ot(i80° - C)■
+cot(l 80° - A) +cotQ 80°-B ) =S .
-cotC -cotA -cotB = -V I
-(cotA+cotB+cotC)= -V I
Obteniéndose
cotA+cotB+cotC= VI ... (0
cot2A+cot2B+cot2C+2cotAcotB+
2cotBcotC+2cotCcotA= V I2 —00
Tener presente si A+B+C=180°
se cumple
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA= 1...(«0
Reemplazando (ifu) en la condición 0 0
cot2A+cot2B+cot2C= 1 ... Qv)
De las condiciones (üt) y (iv) podem os calcular
el valor de la expresión
E= (cotA- cotB)2+ (cotB-cotC)2+ (cotC-cotA)2
Obteniendo por valor cero, es decir
(cotA - cotB)2+(cotB - cotC)2+(cotC - cotA)2=0
De donde se concluye
cotA=cotB= cotC
=> A=B=C
Reemplazando en K
K= tanAcotA+ tanBcotB+ tanC+ cotC
K = 3

Problem
a2
1
Determine el valor de: W = cotAcotB + cotBcotC + cotAcotC
a partir de la condición: sen(A+B+C) = senAsenBsenC
Resolución
Desarrollemos el seno de la suma de tres ángulos
sen(A+B+C) = sen[(A+B)+C] = sen(A+B)cosC+cos(A+B)senC
sen(A+B+C) = (senAcosB + cosAsenB)cosC + (cosAcosB —senAsenB)senC
sen(A+B+C) = senAcosBcosC + cosAsenBcosC + cosAcosBsenC - senAsenBsenC
senAsenB.senC
entonces:
2senAsenBsenC = senAcosBcosC + cosAsenBcosC + cosAcosBsenC
2 _ ¿etíícosB cosC +cosA senBcosC + cosAcos Bsert(f
sertfCsenBsenC senAsenBsenC senAsenBseríCf
2 = cotBcotC + cotAcotC + cotAcotB
W = 2
De lo anterior podemos establecer la relación
(sen(a+P+0) = senacosPcos0+ senP cosacos0 + sen 0 co saco sP -sen asen P sen 9
Cumpliéndose además las siguientes relaciones
fcos(a + 340) = cosacosPcos 0- senasenPcos0 - senPsenOcosa - senasenPcosO
tan(a + p + 0) =
tana + tanp+tan9-tanatanptan9
1- (tan a tan P+ tan Ptan 0 + tan 0 tana)
A continuación pasamos a deducir la equivalencia para tan(a+P+0) quedando para el lector la relación
para cos(a+P+0)
tan(a+P+ 0 )= tan[(a+ P)+0¡ =
tan(a+P) + tan9
l-ta n (a + P)tan0
tana + tanP
tan(a + p + 0) = - ! f M « M P
+ tan0
1-
tana + tanP
1-tanatanP
tan0
=> tan(a + P+ 0)
tana + tanP + tan9-tanatánptan9
D^IamertSnfí
1- tan a tanP- tan a tan 9 - tanPtan 9
NjamertSñ]) -
Por lo tanto tan(q + P+ 0) =
tan q + tan P + tan 0 - tan a tan Ptan 0
1- (tan q tan P+ tan q tan 0 + tan ptan 0)
315

E jercicios
Obtenga el valor de Ja expresión se n (x -y )
para los casos ' cosxcosy
13. x=45° ; y=30°
14. x=60° ; y =45°
15. x=53° ; y=37°
Calcule el valor de la expresión
| [tan(x+45°) + tan(x - 45°)]
para los casos siguientes
16. tan2x = l/3
17. tan2x = l/5
18. tan2x= 1/7
>/3cosx + senx
Reducir la expresión-----------— en fundón
cosx - V3senr
de tangente, luego evaluarlo para los siguientes
casos
19. x=10°
20. x = 20°
2 1 . x = 8°
Encuentre el equivalente de sen* - cosx en
término de la razón trigonométrica seno, luego
evalúe para los casos.
22. x=55°
23. x=65°
24. x=70°
R espuestas
1. 56/65 7. 2(sen - cosx) 13. 1 2 -4 ^ 19. tan70°
2. 63/65 8. cosx - %/3senx 14. 1 2 ^ -1 2 2 0 . tan80°
3. 56/33
tarur-1
1+ tanx
15. 1 6 -9 21. tan68°
4. 3V3/14 10. 2+V3 16. 2 22. ,/2 se n l0°
5. 13/14 11. 3 17. 3/2 23. >/2sen20°
6. 5V 3/11 12. 2 - V 2 18. 4/2 24. V2sen25°
Si a y p s o n ángulos agu d os, tales que
3 „ 5
sena = - y senS = —
5 13
calcule el valor de:
1. sen(a+P)
2. cos(a-P)
3. tan(a+P)
Si a e 1IC y 0 6 IIIC, adem ás se sabe que
eos a = - ^ y tan0 = 4Í3 , calcule el valor de
4. sen(a+0)
5. cos(a+0)
6. tan(a-0)
Exprese en términos de sen* y cosx las siguientes
expresiones
7. >/8sen(x-45°)
8. 2cos(x + 60°)
9. tan(x + 135°)
Determine el valor de la siguiente expresión
E = (sena + cosP)2+ (cosa + senP)2
para los casos:
10. si a+P = 60°
11. si a+ p = 150°
12. si a+P = 225°
316

IDEN TID ADES DE R ED UCCIO N AL PRIMER CUADRANTE
A la comparación entre ios valores de las
razones trigonom étricas de un ángulo de
cualquier medida con respecto a otra cuyo ángulo
es agudo, se denom ina reducción al primer
cuadrante. Así por ejemplo
5n . k
sen — = s e n -
6 6
5n it
eo s— ——
eos —
4 4
. 4ji n
tan— = ta n -
3 3
Además estas identidades se expresan com o
una razón trigonométrica de ^- krt+ x j i donde k
es un número entero cualquiera, en términos de
una razón de x y se llaman id en tid ad es de
reducción. Un caso particular son las identidades
de co-razon es (razones trigonom étricas de
ángulos complementarios). A continuación se
m encionan algunas de estas identidades de
reducción al primer cuadrante.
sen| —
+x |=cosx
sen(7t-x)-senx
sen(7i+x) =-senx
'3n
sen| — - x 1= -co sx
, 3rt
sen] — + x l= -c o s x
sen(27t-x) = -serw
í n )
eos - + x = -serw
U J
c o s (7 t-x ) = -COSX
%
cos(tt+ x) = -co sx
(3 n
e o s ------x = -serw
l 2
,'371
cos| — + x | = serw
cos(2n - x ) = cosx
tan( r x )
= -c o tx
tan (n -x) = -tan x
tan(ji + x ) = tanx
, ( 3 7 1 )
t a n ------x
l 2 J
= cotx
= -c o tx
tan(2a - x ) = -tan x
Este capítulo lo podemos enténder en toda
su magnitud, a partir de las identidades de arcos
compuestos, esto es
sen(a + P) = sena eos fl + cosasenfi
se n (a -P ) = senacosjl - cosasenp
cos(a + P) = cosa eos P- senasenP
c o s(a -P ) = cosa eos P+senasenP
ya que, si en las identidades anteriores
hacem os que a o P sea un ángulo cuadrantal, se
obtienen identidades más reducidas como:
• _sen(90°+P) =sen90°cosP + cos90°senP
í
=> sen(90°+P) = cosP
• cos(a + 180°) = co sa co sl8 0 °-sen a sen l8 0 °
A 0
=> cos(a + 180°) = -co sa
tan(270°-P) =
sen(270°-p)
cos(270°-P)
tan(270°-P) =
sen270°cosP-cos270°senP
cos270°cosp + sen270°senP
■ o • ■ -i
» tan(270°-P) = - ^ = cotp
-senp
>tan(270°-P) = cotp
317

Para evitar hacer los desarrollos anteriores y
obtener las identidades de una forma más directa,
se plantean a continuación reglas prácticas que
'vienen a ser los casos de reducción al primer
cuadrante, las cuales mostramos a continuación:
Para su mejor entendim iento, seguidam ente
citamos algunos ejemplos
€ 11C
. sen(90° + 0)
rPositivo, porque el seno de un
del IIC es positivo
= + COS0
Primer Caso________________________
RT(9O°+0) =, ,coRT(8)
signo
RT(i80°±e) = RT(e)
signo
RT(270°±6) =, coRT(9)
signo
RT(360° - 0) = ,RT(8)
signo
Para el uso de estas reglas prácticas debe tener
en cuenta los dos aspectos siguientes
• 1ro. respecto a 0 : la medida del ángulo 0 se
debe considerar com o un ángulo agudo,
aunque no lo sea.
r
Negativo, porque el coseno de un
de IIC es negativo
• cos(180° + 0) ss - cos0
e IVC
• tan(270? + 0) r
Negativo, porque la tangente de un
¿L del IV C es negativo
= - coto
e IC
_Positivo, porque la secante de un
del IC es positivo
sec(90° - 6) = + cscO
¡ •
co - razón de la secante.
e II C
• cot(180°-e)
rNegativo, porque ta cotangente de un
del IIC es negativo
= - cote
2do. respecto al signo: el signo + ó - que
debe elegirse para el segundo m iem bro
depende del cuadrante asum ido para el
ángulo a reduciry del operador trigonométrico,
para ello no olvidar que 0 se debe considerar
ángulo agudo (ver figura 5.16)
Considerando 0 un ángulo agudo:
“ Y
r
Negativo, porque la cosecante de un
delíll C es negativo
csc(270° - 0) = - sec0
t
co - razón de la cosecante .
r
Negativo, porque e! seno de un
¿L de! IV C es negativo
sen(360° - 0) = - senG
90° + 0
180o - 0
. elIC 9 0 ° -0 . el C
X
m ° ^ l e l l i C
270° - 0 J
2700 + 0 L . V C
3 6 0 °-0 J
Figura 5.16
6 II C
• cos(180°-6) r
Negativo, porque el coseno de un
¿L del IIC es negativo
= - cose
¿En realidad (9O°+0)eIIC?
La respuesta es no, ya que no se sabe qué valor
toma 0 , por ejemplo si 0 es 100° entonces
(90°+100°) e IIIC. En el ejemplo anterior, que se
halla asumido que (9O °+0)e 11C es sólo para
determinar de una manera práctica el signo + y
evitar desarrollar:
sen(90°+8) = sen90°cos9 + eos 90° sen6 = eos6
í ' 0

Para que pueda comprender un poco más
el tema sigamos con el desarrollo de los-siguientes
ejercicios:
Ejemplo 1
Calcule los valores numéricos de
i) sen 150°
ii) cos240°
iii) cot330°
Resolución
i) sen 150° = sen(180° - 30°) = sen30° =
ii) cos240° = cos(180°+60°) = - cos60° = --
iii) cot330° = cot(270°+60°) = - tan60° = S
Ejemplo 2
Calcule
y = sen(*+x)cos| - + r |- senl — + x jcos(*- x)
R esolución
7Í
Sabem os que — equivale a 90° y * equivale a
180°, entonces de acuerdo a la regla práctica del
primer caso, tenem os
• seri(*+x) = -sen x
sen( ! H = -
cosa
• c o s(—+x) - -se n x
• cos(* - x ) = -c o sx
reemplazando lo anterior en y
y = (-sen x )(-sen x ) + (-cosx)C -cosx)
y = sen x eos x
y = l
Segundo Caso
Las razones trigonométricas de un ángulo no
se alteran porque se le sum e o reste al ángulo
cualquier múltiplo de 360° ó 2*
[r/T.(360°1C+6)=R T.(6) ;VKe Z ]
Ejemplos
• sen750° = sen(2x360°+30°) = sen30° = i
J o
• cos390° = cos(360°+30°) = cos30° =
= —
• tanl 125° = tan(3x360°+45°) = tan45° = 1
• secl500° = sec(4x360°+60°) = sec60° = 2
En caso se presentasen razones trigonométricas
afectando a múltiplos de ji , com o son
n iT t) 777*0 . 7ll7*t)
sen[ T j 'col - r J’taV r J>etc--
le sugerimos que proceda de la forma siguiente:
quitarle todos los múltiplos de 2t
cque tiene dicho
múltiplo; para ello divida el numerador entre el
doble del denominador, esto es:
para ,
11
s e n ^ ^ jse divide -jr
para
(7 7 n ) „ . . 77 '
eos se divide —
luego el residuo reemplazará al numerador.
Para entender un poco más al respecto sigamos
con unos ejemplos
( 7 7 n 77
* SCn ~6~ ’ se div¡cle 2
77 Q2
¿ 6
residuo (reemplaza al 77)
(7 7 n 75*
=ssen ----- = sen —
l 6 J [ 6
luego reducimos
s e n l f j - s e n H h H ^ H
.-.sen
77*
319

Lumbreras Editores T rigonometríá
sen
Ut
O
3
11
; se divide — ;
b
Ejemplo
Reduzca al primer cuadrante sec20000°
11 [§_
_5_ 1
'lln 'l ‘ f5 n
sen — = sen —
3 . 3
, „ 7t) 7t ~yj3
=> sen 2tc
— = - s e n - = —
—
3 3 2
20000° j360°
1800° 55
2000°
1800°
200°
Ejemplo
De lo expuesto en
la sugerencia, tenemos:
sec 20000° = s e c 200°
sec 20000° =sec(180°+20°)
.-. sec 20000° = - s e c 20°
sen
Uti) S
Halle los valores de Y = cosí + x
l 3
• sení— );se divide 41112
^ 6 ’ 1 3
>sen|^
sen
H
si x e ( 0 ; 71/2)
Resolución
v ( 2700t
u ti
Y = eos --------+ - + x
i 3 3
Y= cosí90071+ 5 +x
41t
c
) 1
6 j 2
Otra manera de resolver es:
:2ji+—
h
T ^
360°
1
( T
t
r cos
H
Y = eos) - + x
,(8l7u) ,(8071 7t) f„„ t
u
)
cotí — = cot! — + - l= cotl 2Ü71+- 1= otra manera de llegar a esta última expresión es:
cot
81t
u
) / *
“4“ =cot 10X 27t + - |= c o t- =
J l 365° 4 j 4
= 1
cot
*m
=
Sugerencia
„ (270171
Y = eos — — + x
l 3
se divide 2701 ; 2701 [6_
6 ^ 450
residuo (reemplaza a! 2701)
v (2701t
u
j=> Y = eos - -+ x
Cuando se reduce al primer cuadrante la razón
trigonométrica de un ángulo mayor a una vuelta,
se divide dicho ángulo entre 360°; donde la razón
trigonométrica de dicho ángulo será igual a la
misma razón trigonométrica del residuo obtenido
en la división planteada.
I 3
Y = cosí —+ x
com o usted puede com probar es la rnism;
expresión.
com o 0 < x < —
2
7t 7T 57t
=> —< x + —< —
3 3 6
Seguidamente representaremos los arcos x + -
en la C.T.
320

Figura 5.17
S (n V i
-----e c o s - + i < -
2 3 2
73
2
I
<-
-2
Propiedades
I) Si a + ¡3-180° ( <s suplementarios) se verifica
se r a = senP cota = - cotp
co sa = - cosP seca = - secP
tana = - tan(3 csca = esep
Demostración
• sena = sen(l 80° - P) = senp
• cosa = cos(180°-P ) = -co sp
Ejemplos
• senl50° = sen30° = 1/2
• cosl35° = -co s4 5 ° = - 7 2 / 2
• tanl20° = - tari60° = - 73
ia propiedad indicada se cumple en general si
a + P = (2n + l)180°/n eZ
II) Si a + P = 360° , se verifica:
sen a = - senp cota = - cotp
co sa = cos|3 seca = secp
tana = - tanp csca = - cscp
Ejemplos
• sen300° = -sen60°
• cos350° = cosl0°
• cot320° = - cot40°
la propiedad indicada se cumple en general
si a + P = 360 °n /n e Z
Tercer C aso
Identidades para el arco (-0)
Dem ostración
Figura 5.18
De la figura (5.18), los puntos P y Q son simétricos
con respecto al eje, por lo tanto las abscisas de
estos puntos cumplen
cose = cos(-G) ...(1)
Asimismo las ordenadas de los puntos P y Q sori
respectivamente sen 0 y sen (-6) y se observa:
sen (-0) = -s e n 0 ...(2)
De (1) y (2) se pueden demostrar las dem ás
identidades del arco ( - 0) , com o por ejemplo:
sen (-0)
tan( - 0) £ ^ ¡ P )
-sene
COS0
= -ta n 0
=» tan(-0) = -tan 0
se c (-0)
1
co s(-0)
s e c (-0) = s e c 0
1
cose
= se c 0
Ejem plos
• sen(-30°) = -sen30° =
• cot(-20°) = -co t20°
• cos(-135°) = eos 135° = -cos45° =
• se c (-100°) = se c l00°
321

& Observación
sen(a - p) = sen[-(p - a)]
sen(a - P) = -sen (P - a)
cos(a - P) = cos[-(P - a)]
cos(a - P) = cbs(p - a)
en forma análoga se demuestra
tan ( a - P) = - tan (P - oc) sec ( a - P ) = sec (P - a )
cot ( a - p) = - cot (P - a) esc ( a - p ) = - e s c ( p - a )
Ejemplos
• sen (0 - 7t) = - sen (rt- 0) = - sen0
360°
• cos(0 - 47i) = co s(4 n -0 ) = cos(2x 2it + (-0)) = cos(-0) = cos0
tan|^0 - j = -tan^ — ■- ©j = -tan^ 207t+ ^ - o j = -tan 1Ox 2j i+ - - 0
36? 2
= -tanj^ - 0 = -coto
. csc(-7 ji-0 ) = -csc(7rt + 0) = -c sc (3 x 2n + 7
t+ 0) = -c s c (7t+ 0) = -(-c sc 0 ) = csc0
360°
Utilizando la siguiente figura, se puede reducir al primer cuadrante de una manera más directa k e Z
Ejemplos
s *
**- j—•Positivo porque el seno de Un arco del IIC es positivo
• sen (41J1 +0) = + cos0
J l '
90°
múltiplo de cuatro
más uno de n.
2
co - razón del seno

CAPÍTULO V identidades trigonométricas
es de la forma t4 K + l)|t por lo tanto se
f dlw 'l
asume que I - — + 6 je 11C sólo para determinar
el signo +
Pero debe entender que estos mismos ejemplos
se pueden resolver utilizando un criterio dado en
la página 317.
. ta n |^ 9 lí-e j; se d iv id e ^ Ú
residuo
=> ta n Í9 1 ^ -0 ) = tañí e l = -c o t 0
r
Negativo, porque la cotangente de un
arco del 11Ces negativo
cot(83 - 6) = - cot9
180"
83ji es de la forma (2K +1)rt cuando K=41, por
lo tanto se asume que (83n—0}e IIC sólo para
determinar el signo -
Ejemplos
eme
• sén (80n+6) = +sen0
tan = -c o t0
sen(80tt + 0) = sen) 80 - + 0 ; se divide 55
80 12
0 40
residuo
=> sen(8O
7
t + 0) = sen(On+0) = sen0
sen(8On+0) = sen0
se divide 15.
8
45 [8
5 5
residuo
elIIC
tañí 45—] = tañí 1lrt+ —]= tan —=
sec| 5 3 | + 0 |= -csc0
=> tan^45^j = ta n ^ = tanj
Propiedades (Ke Z)
~~ RT(Krt±e)= RT(0)
signo
elllC
csc(45rt + 0) = csc0
sen = s e n |5 7 - - ^
3 * 3
i 1Q <
* I tt V3
sen 1 9 n - - = s e n - = —
RT (2K +1)—± 0
-------------------- ---
= Co-RT(e)
L 2 j signo
Para aplicar estas propiedades recuerde que el
signo en el segundo miembro depende de la R.T.
inicial y del cuadrante al cual pertenece el ángulo
a reducir.
323

VIETE Y LA TRIGO NO M ETRIA
La comparación de los algebristas y trigonometristas, señalada en la resolución de la
ecuación cúbica no fue para Viete un hallazgo casual, ni un episodio! Viete, como se ha
dicho, despertó el interés hacia el álgebra precisamente en virtud de su utilidad e incluso
necesidad para los problemas de la Trigonometría y la Astronomía. En lo sucesivo, los
trabajos y resultados trigonom étricos y algebraicos se sucedían sim ultáneam ente,
frecuentemente entrelazándose. Viete no se lim itó a la determinación de todos los elementos
de un triángulo plano o esférico dados tres de sus elementos. A él pertenecen los desarrollos
de las funciones trigonométricas de arcos múltiples mediante la aplicación sucesiva de las
fórmulas para el seno y coseno de la suma de dos ángulos.
m m (m -1 ) m- 2 2
cosma = eos a ------¿
7- :— - eos a sen a + .......
1.2
m-i m(m ■
senma = mcos ct s e n a --
l) (m - 2 ) m-3 3
— - -eos asen a + .
1.2.3
Después de la muerte de Viete se conocieron muchas de sus fórm ulas recurrentes:
cosma = 2cosa.cos(m - l)a - cos(m - 2)a senma = 2cosa. sen(m - l)a - sen(m - 2)a
sentina = 2 sena.cos(m - l)a + sen(m - 2)a cosma = -2sena.sen(m- l)a +cos(m - 2)a
Una sensación extraña produce el hecho de que semejantes resultados importantes de
la Trigonometría fueron logrados con una definición no lo suficientemente general de las •
funciones trigonométricas, como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, sin
alusión a la introducción de la circunferencia generatriz. Sin em bargo, así sucede
frecuentemente en la historia, los resultados prim ero surgen y después se asimilan y reciben
un tratam iento lo suficientemente general.
Los estudios y aportes teóricos de
Viete fueron fundamentales para
la Trigonom etría y para la
matemática en general
. 324

ID EN TID AD ES PARA EL ARCO DOBLE M ITAD Y TRIPLE
Identidades para el Arco Doble
En las identidades de arcos compuestos, se
estudió las identidades de la suma y diferencia
de dos arcos (o ángulos); así por ejemplo si en la
identidad
sen(a + 0) = sen a co sS + cosasenG
hacem os que a = 0 , obtenem os
sen(0 + 0) = sen© c o s0 + cos0 seh 0
sen(20) = sen 6 c o s0 + sen 0 cos0
reduciendo el segundo miembro se
obtiene la identidad
sen 20 = 2 se n 0 c o s0 j—C
O
De la identidad (i) entiéndase que el seno de
un ángulo es igual al doble producto del seno y
coseno de la mitad de dicho ángulo o, el doble
producto del seno y coseno de un mismo ángulo
es igual al seno de su respectivo doble.
Ejemplos
• sen50° = 2sen25°cos25°
„ 0 9. 6
• 2sen —eo s—= s e n -
4 4 2
0 Jt 71 Jt
• 2sen — eo s— = s e n -
16 16 8
X X
• sen* = 2sen —c o s -
2 2
• sen4x = 2sen2xcos2x
• 2sen(cosx)cos(cosx) = sen(2cosx)
Análogamente com o se dedujo la fórmula (0,
de tas identidades
eos (a + 0) = eos a eos 0 - sen a sen 0
, tana + tan0
tan(a + 0) = -----------------
l-tan atan 6
si hacem os a = 0 , obtendrem os las siguientes
identidades
C1 T
-""" ..... ■ ■
■““
"
“™ "2
¡eos 20 = eos 0 - sen 0j
tan 20 =
2 tan0
l- t a n 2e
Por identidades fundam entales se sabe
sen20 + eos20 = 1 , entonces si reemplazamos en
la identidad (//') l- s e n 20 por cos20 ,
obtendremos_______________
i cos20 = l - 2 sen20 ) ....{id)
Análogamente si reemplazamos 1 cos20
por sen20 en la identidad O'i) obtendremos
[ cos20 = 2 cos20 ~ l) fc)
Las identidades que siguen {vi y vit) se les
denomina fórmulas de degradación y se obtienen
despejando 2 sen20 y 2cos20 de las identidades
(¿0 y (a)
Fórmulas de Degradación
(2sen20 = 1 - c o s2b ) - ( v i)
(2cos20 = l + cos28j -(v iO
Ejemplo
„„ 2 tan0
sen 20 = -------- s—
1+ tan 0
Desarrollando en el segundo miembro tenemos
2 sen0
sen 20. = -£2£§.
sen 20
sen 20
sen 20
sec20
2sen0
COS0
1
f . sene >
utilizando tan©= —— y
C O S 0
cos20
1+tan 6 =sec,8
f utilizando identidad^
reciproca en el
^denominador. j
2sen 0 eos 0
COS0
por producto de
extremosymedios
2sen0COS0 ... (simplificando)
rutilizando identidad (/);
sen 20 = sen20 ... encontramos lo que se
buscabademostrar.
En forma análoga se demuestra la identidad:
eos 20 =
1- tan 0 _
1+ tan2 0
325

Una forma práctica de recordar las identidades
(/«). (««) y (ór) es utilizando la siguiente figura:
Figura 5JO
Así por ejemplo
s e n 2 e = catetoopuesto
hipotenusa
sen 29= .....(uñí) y
1+ tan 8 -
eos 20 - catet0 adyacente
cateto opuesto
eos 20 =
1- tan20
l + tan20
Ejemplo 1 •
A partir de las relaciones (u iii) y (ix), calcule
sen 20 y cos2 0 ,si tan0 = -¡=
V2
Veamos
sen 20 =
2tan8
1+ tan 0
sen 20 =
2 (l/V 2)
sen20 =
1+ 0 /V 2 )
2v/2
También
eos 20 =
1-tan 0
1+ tan 0
cos20 =
1- ( l/V 2 )
1+ (l/V 2)
cos20 = 1/3
Asimismo, con ayuda del triángulo rectángulo
(figura 5.20) se establece las siguientes relaciones.
use c 2 0 - l = tan20tan0
s e c 2 0 + l =
tan 20 1
tan0
J
Comprobemos las equivalencias.
De la figura 5.20 se obtiene
l + tan20
sec20 =
Luego
se c 2 8 -l =
l-ta n 20
l+ tan20
1- tan20
Ordenando
1=
2 tan20
1^-tan 0
„Q , 2tan9 . n
se c 20- l = -------- — xtan 0
l-ta n 20
se c 2 0 -l = tan20xtan9
• sec20+ l =
1+ tan 0
=> sec29+ 1=
=* sec20+ l =
sec20 +l =
1-ta n 0
2
+ 1
1- tan 0
2 tan0
(l-ta n 20 )tan0
tan 20
tan0
Ejemplo 2
Reduzca la expresión
k=(sec4°+ l)(sec8°+ l)(s e c l6° + 1)
Resolución
De la igualdad sec20 +1
tan 20
tan8
La expresión k será
r la n fs'Y Jangtr'|
k =
tan 2o .tarrifé
tan 16°
Jan8tf
Reduciendo la expresión
k = ta—— ; empleando tan 16°= ~
tan2° 24
=> k =
7/24
tan 2o
k = — cot 2°
24
&
326

APLICACION DE LAS IDENTIDADES EN EL D ISEÑ O DE COLUM NAS
En el análisis de la estabilidad y diseño de elementos prismáticos verticales de las
columnas, principalm ente de las que soportan carga axial excéntrica, se desarrolla la
Fórmula de la Secante que relaciona los esfuerzos medio y máximo en una colum na; es
decir si la carga no se aplica pasando por el centro de gravedad, la columna soporta un
esfuerzo combinado axial y de flexión.
Las aplicaciones matemáticas son fundamentales en el diseño de columnas,
como las utilizadas en la construcción de puentes.
En la figura se considera una columna articulada sometida a una carga P aplicada con
excentricidad e. Para el cálculo de la expresión para la máxima deflexión, se define la
ecuación del movimiento armónico simple:
y = Asenpx+Bcospx - e ...(1 )
Las constantes A y B se obtienen de las condiciones de frontera.
Haciendo
i) x = 0 , y = 0 en la ecuación (1) se tiene B = e
. ii) x = 1 , y = 0 en la ecuación (1) se tiene AsenpL = e(1 - cospL)
Aplicando las identidades de arco doble
a ( 2sen^j: cos^: el 2sen
2 pL
Simplificando queda A = etan !PL
■ §i*
Sustituyendo A y B en (1) se obtiene
y = e
pL .
tan senpx + eospx - I ...(2}
327

El valor de la deflexión máxima se halla haciendo x = — en la ecuación (2)
' 2
^móx 1
y . = e
*m
ax
pL pL pL .
ta n 1
^- sen— + c o s ^- -1
2 pL
560 2 PL ,
---------r - + c o s -— 1
pL 2
COSL
sec— -1
2
Si sustituimos P = en la últim a ecuación
Vm
dx = '
P L
SeC,JE¡-2 j
- 1
donde E l es una constante que se determ ina según el
tipo de material de la columna.
Finalmente se determina el esfuerzo máximo en la columna
y, conocida como la fórmula de la secante, que resuelva
para b fuerza por unidad de área, P/A la cual causó un
esfuerzo máximo especificado amáx y esbeltez efectiva Le/r
P
^
A
omax
i ec
! + -j-se c
r
I P L e
EA r
En el diseño de estructuras (edificios, puentes; qtc) es
necesario conocer la máxima carga que va a soportar la
estructura, adicionalmente se requiere otros datos referidos
al m aterial (flexibilidad, coeficiente de dilatación, etc) que nos perm iten conocer de
antem ano el comportamiento de las estructuras frente a cualquier variación, llámese de
carga, temperatura, humedad, etc.
Dicho análisis en las estructuras perm ite hoy en día diseñar grandes edificios que,
frente a una catástrofe natural o artificial, se mantienen en pie o en su defecto si colapsan .
no afectan los alrededores dado que están construidos tal que al caer lo hagan verticalmente.
El estudio de estructuras ha perm itido construir lo que hoy en día se llama "Edificio
Inteligente", capaz de reaccionar frente a un cambio externo.
328

E jercicios
Utilizando cualquiera de las identidades anteriores (desde (i) hasta (ix)), reduzca u obtenga el valor de
las siguientes expresiones:(compare sus resultados con las respuestas indicadas).
a) 2senl50cosl5°
W cos2(?)-sen2(?
c) 1- 2sen22x =
h (X
d) 2cosi | - l =
e) 1 - cos4xr =
0 1 - cosx =
8) l+ cos|
f ) =
h) l+ cos70° =
2tan5°
° 1 - tan25o "
.. 1 - tan26x
1 + tan 6r
R espuestas
1
a) sen30°ó ^ (se usó la identidad i) b)
fí . y¡2
e o s - ó —
4 2
(se usó la identidad ii)
c) eos 4x (se usó la identidad iu) d) cosa (se usó la identidad v)
e) 2sen22x (se usó la identidad vi) 0
„ 2 X
2sen —
2
(se usó la identidad vi)
g) 2cos2í ^ ] (se usó la identidad vif) h) 2cosJ35° (se usó la identidad vií)
i) tan 10° (se usó la identidad iii) i) c o s l2x (se usó la identidad ix)
Ü p l O b ie rv Q ríin s ...-sr _
sen9 =
sen0 =
, e e
2 s e n - c o s -
2 2
„ „ e e e
2 x 2s e n - c o s ~ c o s -
4 4 2
0 0 0 0
sen0 = 2 x 2 x 2 s e n - c o s - c o s - c o s -
8 8 4. 2
0 0 0 0 0
sen0 = 2x 2x 2x 2sen — eo s— c o s - c o s - c o s - ........................
16 16 8 4 2
0 0 0 0 0
sen0 = 2 x 2 x 2x .............2sen— eos— ..........c o s - c o s - c o s -
2 2 8 4 2
...1 paso
... ‘f ° paso
.. 3er paso
. 4la paso
t í° paso
n veces
n on b * 0
sen0 = 2 sen— eos—
2 2
0 0 0
c o s - c o s - c o s -
8 4 2
, 0 0 0 0 sen0
Luego eos— ........c o s - c o s - c o s - = -----------jr-
2n ♦ 8 4 2 2nsen_0
2
; n e Z+
329

Si hacem os 6 = 2"x con n e Z +, y lo
reemplazamos en (a) , obtendremos
cosxcos2xcos4x... cos2n ’x
sen2nx
2nsenx
Ejemplos
• cosxcos2x=
• cosxcos2xcos4x=
sen22x _ sen4x
22senx 4senx
sen 2ax sen8x
23senx 8senx
• cosxcos2xcos4x... cosl28x=-j
sen2sx sen256x
2®senx 256sen x
Así por ejemplo
• sen| — 1=±
4 *
1 - eos-
4 _ , |1 _ f _
II *z ) .2 2
*-*• el signo es positivo porque elC
O
X y ¡ 2 - s Í 2
=> sen— = — ——
8 2
f7x)
• eos — =.
V12;
1+cos — |1+
6 _
' x/3
2 )_ ^2-V3
L- el si
7k
signo es negativo porque —e IIC
Identidades para el Ángulo Mitad (x/2)
De las fórmulas de degradación
2sen26 = 1-e o s 20; 2cos28 = 1+ cos20
hacemos que 0 = í , obteniendo
o X 7 X
2 s e n —= l-co sx ; 2cos —= l+ cosx
2 2
X X
de donde despejando s e n — y eos —
respectivamente, obtendremos las siguientes
identidades:
x)
X , l-c o sx
sen —= ± ,----------
2 V 2
xO
X jl +
COS2 = ± V -
cosx
. ___7ic -V 2 -V 3
=> sen— = ------------
12 2
Otra forma de expresar o utilizar las identidades
x,x¡, xii es
sen-
4-c o sx
, X
tan—
2 4
X
eos —
2
l-c o s x
1+cosx
1+ cosx
.j g j f Observación
Si Ae [0 ; n],se cumplen las siguientes fórmulas:.
como
tan2—=
2sen
¡ x
2 _ l-c o s x
2 2eos2— 1+cosx
n radicales
2*n(£] =
n radicales
despejando tan^ , obtenemos la identidad:
X . l- c o s x
tan—= +,/----------
2 V1+cosx
... xii)
Nota
De lasidentidadesx,xiyxiielsignopositivoo negativo
dependerádelcuadrantealque pertenezca:x/2ydel
operador sen, eos, tan, respectivamente.
Demostración
V2+2cosA = ,/20+cosA) = |2x2cos:
o A A A
Dado que 0 < —< -=> eos —> 0
2 2 2
V2+2cosA = 2 eos—
! 2
• V2+V2 + 2cosA = ¡2 + 2 co s^= 2 co s^;^= ~
330

Remplazando lo anterior
• ^2+1
j2 +,/2+2cosA =^2+ 2cos^= 2cos^;:—=
Análogamente
“n radicales”
Ejemplos
2cos^—— | = y2+ ^2+ ^2+ ... +¡2+¡3
2sen
í n
A
262
(6 radicales)
2sení-^-)=-y2 - ¡ 2 + ^ ¡ 2 + ... +*J2 +/2
256
Si hacem os A = 7t, y lo reemplazam os en las
identidades de la observación anterior, se obtiene
las siguientes identidades:
2eos
; ? )
H 2+ V2+¡2+.... +>¡2
(n-1) radicales ^
2sen
f n ^
9 " ■ s
2 + V2 + ...-+ >/2
Ejemplos
• 2eos — = 2 cos^ = V2+V2+72 (3 radicales)
16 2
, c ° s - =
7
1 y 2 + ¡2 +n
/2
2
• 2sen — = 2 s e n 4 = t/2 - v í2 + i^W 2 + W
64 26 V ,
(5 radicales)
ti v 2 - J2+¡2+yj2+¡2
sen — = 1
--------------------
64 2
Otras identidades para el arco mitad
Demostrar
tan| — 1= cscx - cobr .... Xlll
Desarrollando en el segundo miembro
í x ) 1 cosx
tan - = -----------------
^2J sen*
* serur
Por identidades de arco doble
x
2
tan| | |=
Simplificando
2sen2^
2sen—eos—
2 2
tan—=
2
x senf
x
eos—
2
tan—= tan—
■ 2 2
"Esto es lo que s e ''
buscaba demostrar
En forma análoga a la demostración anterior,
se deja para el lector la dem ostración de la
identidad
esor + cobr .... x10
En los siguientes ejemplos se han aplicado
las identidades (xiií) y (xiu)
• tañ í— ) = csc37° - cot37° =
i 2 J 3 3 3
• cot(15°) = csc30° + cot30° = 2 A V3
tanf^l = esef —
]—
cotí 7 ] = V2-1
8 ) ’ 4 J i 4
tan0 = csc20-cot20
/ e l e ,
cot - = CSC- + co t-
14 J 2 2
tan3a = csc6 a-co t6 a
cot2x = csc4* + cot4x
331

>
*
' Observatión
1) taru — = asee-coto
2
1er' paso
tan — = cscx-(csc2x + ctá2x) __ ......................................................................................... 2do paso
tan — = cscx-csc2x-(csc4x +oot4x) ___ 3<
* paso
tan^—J= cscx -csc2 x -csc4 x -(csc8 x + cot8x ) .........................7 . ...............................4lo.paso
Análogamente
X
tan—= esex - csc2x - csc4x - c s c 8 x ( e s c 2 nx + cot2"x) .................; ..........................nvo.paso
Ordenando la igualdad sé tiene
esex - csc2x - csc4x - csc8x ese 2"x = tan - + cot 2ax
2
2) cot| — |= cscx + cotx ...............................................................................................................ler.paso
cot — I= esex+(csc2x + cot 2 x ) ............................................................................ .................. 2do. paso
c o t^ lj = esex+ csc2x + (csc4x + cot4x) 3er. paso
cot = esex + csc2x + csc4x + (csc8x + cot 8x )......................................................................4to. paso
Análogamente
Jf
cot —= esex +csc2x + csc4x + eseSx+... + csc2"x + cot 2nx ..................................................nT
Opaso
Ordenando la igualdad se tiene
esex + csc2x+ csc4x+ ese8x +... + ese2"x = cot—- cot2nx
sumando las identidades dadas en la observación En los ejemplos siguientes se han utilizado
se obtiene las identidades xv o xvi
X X
tan—+ cot— = 2cscx
2 2
. .. .X V
y, restando las mismas identidades se obtiene
c o t^ - ta n — = 2cotxj
T
• tanlO° + cotí 0o = 2csc20°
• cot0-tan0 = 2cot20
• tan( i l ) +co' ( f l ) = ^ ( i ) = 2x2 = 4
cot| r l - t a n f r ) = 2co( ^ ) = 2x1 = 2
332

Identidades para el ángulo triple (3x)
.... xvii
sen3x = 3senx - 4sen3
x
Demostración
sen3x = sen(2x+x)
sen3x = sen2xcosx cos2xsenx
sen3x = 2senxcosxcosx + (l-2 sen x)senx
sen3x = 2senxeos2x + (l-2 s e n 2x)senx
sen3x = 2 sen x (l-sen ~ x )+ (l-2 sen ’ x)senx
sen3x = 2 se n x -2 se n 3x + se n x -2 se n 3x
sen3x = 3 se n x -4 se n 3x
En forma análoga se demuestra la identidad
•
* *
cos3x = 4cos3
x - 3cosx ... xviii
Por Identidades de Arcos Compuestos se tiene
,. _ , tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC
tan(A+B+C)=----------- =
--------------------------------
1- tanAtanB-tanAtanC -tanBtanC
haciendo A=x, B=x, C=x, obtendremos
tanx+tanx+tanx - tanxtanxtanx
. tan(x+x+x) =
1- tanxtanx - tan x tan x - tanxtanx
reduciendo obtenemos la fórmula para el ángulo
triple
itan3x ■
3 ta n x -ta n x
l-3 ta n 2x
... xrx
despejando 4sén3
x y 4cos3
x de las identidades
xviii y xix se obtienen las siguientes identidades
(de Degradación) respectivamente:
¡4sen3
x = 3senx - sen3xj
4cos x = 3cosx+cos3x
Demostrar
csen3x = senx(2cos2x+l)
....xx
.... XXí
.... xxu
De ia identidad xvi, tenemos
sen3x=3senx- 4sen3
x
sen3x=senx(3 - 4sen2
x)
sen3x = senx(3-2(2sen2
x))
sen3x=senx(3 - 2(1- cos2x))
sen3x=senx(2cos2x+1)
(esto es lo que se buscaba demostrar)
Enformaanáloga a laidentidad anterior, se demuestra
cos3x = cosx(2cos2x-l) .... xxm
E jercicios
Utilizando la identidad del ángulo triple, reduzca o calcule las siguientes expresiones y luego compare
sus resultados obtenidos con las respuestas que se muestran.
a) 3sen20°-4sen32Ó°=
b ) 4 cos32x - 3cos2x =
c)
3tanl0°-tan 10°
l-3 ta n 210°
a) sen60°ó
b) cos6x
V3
d) 3cos - +cos3 - = .
e)
0
2cos2x + l
2 co s2 x -l
sen3x cos3x
senx cosx
R espuestas
S
c) tan30°ó —
e) 1
d)
. 30
4eos -
2
f) 2
tan3x
tanx
333

Ejem plo 2
Calcule senl8° ycos36° (sin calculadora)
R esolución
Sabemos que se cumple: sen36° = cos54°
(Esto por Razones Trigonométricas de Ángulos
Complementarios).
sen(2(18°)) = cos(3(18°))
Utilizando identidades de arco doble y triple
2senl8°cosl8°=4cos318°- 3cosl8°
2senl8°£© st8ír = j^ s tS frU cos218° - 3]
2 sen l8 °= 4 cos218°-3
2senl8°=4(l- sen218°)-3
4sen218°+2senl8°-l=0
x=sen!8°
Ax2+2x- =0
_ -2±>/22-4(4)(-I) = -2±x/20
2(4) 8
-2±2sÍ5 -1±V5
X = -
X = -
8
X =
-1-V 5
luego
-1 + V5 .
x —
--------- o
4 4
como sen 18o es positivo ymenor a uno, entonces
-1+ V5
x =
Luego
sen 18°=
V5-1
de la identidad (ii>) tenemos
cos36°=l-2sen218°
cos36°= 1 - 2
cos36°= 1- 2|
Efectuando
V5-1
4
6-2V 51
16
cos36°=
V5+.1
Luego podemos plantear los siguientes triángulos
/5-1
710+275
(a)
- 2 / 5
/5+ 1
(b)
Figura 531
E jem plo 3
Determine el valor de la expresión
M=cos84°cos24°
R esolución
M= eos84°eos24°
M= sen 6o sen 66°
4sen540M=4sen6°sen660sen54°
(4 eos 36° )M = 4sen 6osen(60° 46o)sen(60° -6o)
seníi"
=> (4cos36°)M = sen l8°
senl8° 1Q
O V5 —
1 „ „ >/5+l
=> M= 1-----5— ;sen18'°=—— ;cos36'3= ——
4cos36° 4 4
Reemplazando los valores
v/5-1
M=
A
M=
r v s + r
l * ,
3 - S
8
335

problemas Resueltos
Problem
a1
Del gráfico, calcule M = cos2xcos4x
si DC = 1 y BC = 4/3
B
Sabemos que cos4x = 2cos22x - 1
R esolución
• En el ZlACD
AC = DCcotr
AC= 1 (coür)
=
>AC=cobr...(l)
• En el A ABC
AC = BCcsc2x
=> AC = j csc2>r... (2)
De (1) y (2) obtenemos
4
cotx = — csc2x
eos*
sen*
cosx
4 1
3 sen2x
4 1
$er(x 3 2^errircosx
2
cosx =
3cos*
2
eos X =
como cos2x = 2cos or - 1'
2 1
=$- cos2x = 2x — 1 = -
3 3
>cos4x = 2x
( i ) - ?
Finalmente reemplazamos
cos2r =*1/3 y cos4x= -7/9 en M
obtendremos M = (l/3)(—
7/9) = -7/27
Problem
a2
Si se cumple
tan2a -ta n 2b = tana.tanb
calcule M=
sen2a.sen2b
sen(a + b ).sen (a-b )
R esolución
Como tan2a - tan2b=tana.tanb
(tana + tanb)(tana - tanb)= tana,tanb
sen(a +b) sen (a -b )
= tana.tanb
cosacosb cosa.cosb
(revise el problema 16, página 318)
pasando a senos y cosenos el segundo miembro
sen(a+b) se n (a -b ) _ sena senb
cosacosb posa posfT posb posfí
=* sen(a+ b). sen(a - b) = senacosa.senbcosb
Por arco doble
sen2a sen2b
2 2
de donde obtenemos
4sen(a+b).sen(a-b)=sen2a.sen2b o también
sen2a.sen2b=4sen(a+b).sen(a-b)... (2)
,, 4 sen(a+ b).sen(a-b)
M = --------:----------------------
sen(a +b ).sen (a-b )
M=4
336

Lumbreras Editores
Propiedades
4senxsen(60°-x)sen(60°+x) = sen3x
4cosjccos(60° - x)cos(60°+x) = cos3x
tanxtan(60° -x)tan(60°+x) = tan3x
De las propiedades anteriores, demostraremos la primera de ellas.
4senxsen(60°-x)sen(60°+x) = sen.3x
Para el producto sen(60°-x)sen(60°+x) aplicamos la identidad siguiente
sen(a +P) sen(a - P) = sen2a - sen2P
obteniendo
4senx(sen260°-sen2
x )= sen3x
4sen x ^ - sen2x j = sen 3x
3senx-4sen3
x=sen3x
sen3x=sen3x (esto es lo que se buscaba demostrar)
Ejemplo 1
• 4sen20°sen(60° - 20o)sen(60°+20°) = sen(3(20°))=sen60°
sen60° V3/2 _ S
8
sen 20°sen 40° sen 80° =
4 4
• cos6°cos54°cos66° =;’4cos60cos(60° - 6°)cos(60°+60^~=*cos(3(60X
~T ¡ • / ' 4
• tanOtanj
» tan^
tan0tan
( H H
13
-tan | ^ - 0
tan 0t a n ^ +0j ta n j^ +0j = - tan 30
. n . 10n
ta n - ta n - —
7 21
4n
1--- =
21
n ( K n s ( 7t
tan--tan tan —
7 1 3 7,i (3 7
71 10rc 4n . 3n
tan - tan----tan — = tan —
7 21 21 7
tan3rc/7
. 8ti 2n
4sen— -sen— •
3ji
5 ----- =
10
A ( 1
1 K ( n 71^) 7t
4sen —+ - sen — s e n -
1 3 5,J 13 í>.) 5
. 8ti 2k 3ti 3n
4 sen — sen— eos -— = sen —
15 15 10 5
sen3rt/5
Trigonom etría
= cosí 8o
4
334

Problema3
Si £25® = ! g £ , calcóle 1
5- i g j g í g ™
7 sec2B+csc2B
Resolución
Reduciendo E
Expresando a senos y cosenos
sen2B + cos2B
p _ cos2B sen2B
cos2B sen2B
sen22B+cos22B
operando f = __C
.°s2Bsen2_B__
sen2B+cos2B
cos2Bsen2B
1
E _ poiZÉ sefíZÉ
sen2B+cos2B
fos21í$eriZé
E =
1
sen2B+cos2B
Utilizando el triángulo del arco doble
2tanB
1 1+tanB
2tanB l- ta n 2B 2tanB + l-tan 2B
---------- + ------------
...C)
1+tan B 1+ tan B
leí dato sabemos que
co sB sen B senB_7*
3 7 cosB 3
7
=> tanB =-
3
Reemplazando tanB = | en E, se obtiene
E=29
Problema4
Demuestre la identidad
4 4 3 1 .
sen4x + cos4x = - + - eos 4x
4 4
Demostración
Para esta demostración debemos recordar que
sen4x+ cos4x= l- 2senJxcos2x
2sen2x = l- cos2x
sen2x= 2senxcosx
Partimos de
sen4 x + eos4 x = 1- 2 sen2x eos2x
=> sen4 x + eos4x = 1- 2 (sen x eos x )2
... por las leyes de exponentes
sen4 x + eos4x = 1- 2|
2 sen x eosx Y
J
sen4x + cos4x = l - 2 x -(se n 2x )2
4
sen4x + eos4x = 1- - sen22x
2
4 4 , 1 2 sen 2x .1 7 , , <
sen4x +eos x =1---------------=1— (l-cos4x)
2 2 4 V '
sen4x+ cos4
x
sen4
x + cos4x =1- —
+-í-cos4x
4 4
_ 3 _
1 . /esto es lo que se')
~ 4 + 4 cos 'Ibuscaba demostrar I
También sabemos que
sen6x+cos6
x = 1-3sen2xcos2
x
entonces, en forma análoga al problema anterior,
se demuestra que
6 6 5 3
sen x + cos x = - + -cos4x
8 8
337

Problem
a5
Determine el intervalo de valores de
sen8
x+cos8
x
Resolución
sen8x + eos8x = (sen4x + cos4x)2- 2sen4xcos4x
Aplicando la identidad
a8+ b8= (a4+ b4)2- 2a4b4
sen8
xH-cos8
x = (l-2 sen 2
xcos2
x)2-2sen4
xcos4
x
sen8x+cos8
x= 1-4sen2
xcos2
x+4sen4
xcos4
x
-2sen4
xcos4
x
sen8x+cos8
x= 1-4sen2
xcos2x+2sen4xcos4
x
Agrupando y completando cuadrados
sen8
x +cos8x = 2[sen4
xcos4
x-2sen2
xcos2
x 4- l] - 2 + 1
sen8x + cos8x = l + 2 (sen2xcos2x -l)2-2
De sen2x = 2senxcosx
Elevando al cuadrado o btenem os que
2 2 sen 2x
-sen xcos x = ---------
Entonces tenemos
sen x + cos x = 2
^sen22x
V
1 - 1
para sen8
x+ cos8
x, x e R , entonces 2 x e R
por lo tanto
-l< s e n 2 x £ l =>0 < sen22x < 1
multiplicando por 1/4
0 < sen 2* < 1
4 4
sumando -1
_j< sen^2x
4
2
<1
1 <
16
sen22x ^
multiplicando por 2 —<2|
8
9 ^ señ22x
-1 $ 2
sumando -1 - < 2
8
sen 2x
-1 - 1<1
- < s e n x + cos x < l
8
En el capítulo Xse demostrará que en general se
cumple
sen2"x+cos2nx < l ;V xeR a neZ *
2"-'
Ejemplo 1
1 e 6
. -< s e n x + cos x < l
4
. - < s e n 8x + cos8x < l
8
• — < senlox + coslox < l
16
Ejemplo 2
Determine el mínimo valor de la expresión,
k = sen80+ eos80 + sen20cos20(sen40 + eos40)
Resolución
k = sen80 + cos8
j + sen60cos20 + sen20eos60
Agrupando
k = sen60(sen20 + cos20) + eos6©(eos20 + sen20)
k = sen60 + cos60
El valor mínimo de k es 1/4

Problemas
Si se cumple la siguiente identidad
cos6x-cos2
xsen4
x + sen2
xcos4
x-sen6
x=mcos(nx),
calcule m +n.
En Y reemplazamos la identidad anterior en el
primer radical y utilizamos las identidades de
degradación en los otros dos radicales
Resolución
Para dar la form a del 2do. m iem bro al 1er.
miembro, en este factorizamos cos2
x para los dos
primeros términos, análogamente factorizamos
sen2x para los dos últimos términos, obteniendo
cos2
x(cos4x-sen4x)+sen2x(cos4x-sen4
x) =mcosfnx)...(1)
pero
eos4x - sen4x = (eos2x +sen2x)(cos2x - sen2x)
1 cos2x
cos4
x-sen4
x= cos2x... (2)
cos2xcos2x + sen2xcos2x = mcos(nx)
eos 2x(cos2x + sen2x ) =m cos(nx)
• r
cos2x = mcos(nx) => m = 1a n = 2
cos(-2x) = m cos(nx) =» m = 1a n = - 2
se observa que (m +n) puede ser igual a 3 ó -1
Problem
a7
Reduzca
Y =Vi + sen0 + eos-(V i + eos 0 + Vi - eos 0)
4
si 0e ; 2n
Resolución
0 Observación____
ü&m.
sen - +eos
2
Y =
Y =
6 9
s e n - + c o s -
2 2
*■/!
.0
co s-
2
0
s e n -
2
0 0 0 0
s e n - + c o s -
2 2
+ co s-
2
+ s e n -
2
como,
3n 3?c 0
— < 0< 2n => — < - < n
2 4 2
En la figura se tiene una C.T. con una ubicación
0
de g según el dato, donde se observa que para
0 / 3rc
todo - e y — y, se cumple
I
: 8 2 8 - 8 8
-+cqs -+2sen-cos- 1
2 2 2 2
2 / 0
De donde (l +sen0) = se n -+eos
2
í e e f
l 2 2) • 6 n
s e n - > 0 =>
2
0
s e n -
2
0
= s e n -
2
- í • 6 A
c o s - < 0 = * 0 Í
e o s -i
0
= - c o s -
2 J 2 2l 2
339

Lumbreras.Editores Trigonom etría
0 0 0 0
s e n - < co s- => s e n -< - c o s -
2 2 - 2 2
e e .
=> s e n - + c o s -< 0
2 2
e e¡
s e n -+ c o s -= -
2 21
6 0
s e n - + c o s -
2 2
Todo lo deducido de la figura anterior, lo
reemplazamos en (1)
„ ( 0 0 ) 0 0
Y = - s e n - + co s- - c o s - + s e n -
2 2J 2 2
/. Y = -2 c o s-
2
Problema8
Siendo O centro de la semicircunferencia, donde
x2 = f(40). Calcule f(*/4) si R=(VlO-3V2)u
Resolución
En la figura se ha trazado OC , donde AAOC es
isósceles.
En el ^JOHC p o r resolución de triángulos
secíángulos, tenemos
CH=Rsen26 a OH=Rcos20
%
Como Mes punto medio, tenemos
MH = — = —sen 20
2 2
En el A OHM, ápficamos el Teorema de Pitágoras
OM2 = OH2+MH2
=» x2 = (Rcos20)2 + ^sen2© j
x2 = R2cos220 + — sen220
4
R2
x2 = y ( 8 c o s z20+2sen220)
x2 = ^ -(4 x 2eos220 + 2sen220)
R 2
x = — (4(l + cos40) + l-co s4 0 )
8
x 2 = — (5 + 3cos40)
8
como x2=f (4 0 ) por condición, reemplazando
tenemos
f(40) = ^ -(5 + 3cos40)
*
para 40 =
4
f ^ = 5 + 3 co s-
4
fr n ) _ (V lO -3V f)V 5 , 3V2^
J /lO - 3V2 Y 1 0 +3 n
/2 'l
fU J ” l — s— ’A — 5 J
- ' ( Í K

Problema9
cos2x=n, escriba la expresión M en términos de
. ( tanx „ 2 V 2
n, si M = — — - 2sen x eos x
^sen2x J
Resolución
f
M=
senx
— ^ s x ------2sen2x
2senxcosx
2
eos X
M=| —r—
5— 2sen2x |eos2x
2cos x
( , «2 2 2 ^
1-2 sen xcos x
2 ^0 s2x
1-sen 2x
ptís^x
M=
M :
1 - 2
=> M= -e o s 2 x , cos2x = n por dato '
/. M= - n 2
2
Problema10
JL
Sabiendo que x = — determine el valor de
P= senxcos3
* - sen3
xcosx
Resolución
P= senxcosx(cos2x - s e n 2x )
cos2x
2P = 2senxcosxcos2x
sen2x
4P=2sen2xcos2x=sen4x
p _ sen4x
sustituyendo el valor de x x
Tí 1
s e n -
6 _ 2
=> p =
, P = I
8
4 4
24
Problemati
_ senx+cosx -1 ^ ln 11
Vi - senx 4 2
Resolución
senx-(l-cósx)
F=-
„ x x „ 2x
•2sen—
.eos— 2sen —
2 2______ 2
Vi-senx 2X 2 X „ x x
sen —
+cos — 2sen—.eos—
2sen cos^-sen ^ | 2senH eos--s e n —|
c- 2{ 2 2 i_ ____2l 2 2) {I)
x x
eos— sen—
2 2
de la condición 0 < x <—
2
X X
eos-— sen—
2 2
A x n
0 < —< —
2 4
Analizando en la circunferencia trigonométrica
X X
se cumple eos—> sen—
2 2
X X
es decir eos-----sen—>0
2 2
luego el equivalente será
x x
eos— sen—
2 2
X X
= eos— sen—
2 2
Reemplazando en (I) y simplificando, se tiene
341
.F = 2sen—
2

Problema 12
Siendo sen í— - —1 = —
[2 2 ) 4
calcule H = /3cosx + senx
R
e
so
lu
c
ió
n
Recordando la identidad cos29 = 1- 2sen20 ,
tenemos
cos2| — - - |= l-2 se n ‘
1 12 2 '
n
12
sumando 1
1 - >/2 <1 + eos 2x + sen 2x < 1+ %
/2
l-V 2 < 2 W á l+ V 2
L d l < w < lW 2 *
2 " 2
de donde
... . 1+V2 ... . 1 - 72
Wmax = ------ - y Wmin = --------
2 2
Wmáx + Wmín = 1
cos( l “ x) = ,' 2sent l ^ J f ) Problema 14
Halle el valor numérico de la expresión siguiente
c o s ^ |- x j = l - 2 ^ j = | B _ [(1+tanx)2 - 2][2 - (1-tanx)2]
sec x
cuando x toma el valor de 7°30'
Resolución
Efectuando el numerador
Desarrollando el primer miembro
n it 3
eos—eos x +sen - sen x = -
6 6 4
V3 1 3
— cosx + -s e n x = -
2 2 4
=» V3cosx + senx = - , h =3
2 2
Problema 13
Calcule la suma del valor máximo y mínimo de
W = cos2
x + senxcosx
_ _ [tan2x+2tanx - l][| - tanzx + 2tanx]
(1 +tan2x)2
[2tanx -(1 - tan2x)] [2tanx + (l-ta n zx)]
l + tan2x l + tan2x
2tanx l-ta n 2x 2tanx l-ta n 2x
_l+tan2x 1+ tan2x _.l+ tan 2x l+ tan2x.
Identificando cada término tenemos
R
e
so
lu
c
ió
n
Degradamos, para el efecto multiplicamos por 2
a W, obteniendo
2W= 2 c o s 2x + 2senxcosx
2W= 1 + cos2x + sen2x
B = [sen2x-cos2xM sen2x + cos2x]
B=sen2
x-cos22x=-(cos22x - sen22x)
=>B=^-cos4x
pero x = 7°30'
entonces B = -cos30°
se sabe de la propiedad de arco compuesto ^
-V2 <cos2x + sen2x<V2 •• B ^

Problema15
Calcule el valor de
_ cotl0°+cot80° cot50°
E = ---------- — ----- + ■
sec70° cot25°-cot65°
Resolución
Como
cot80°=tanl0°;sec70°=csc20° y cot65°=tan25°
Reemplazando en E, tenemos
E_ cotIOc+tanlO° | cot50°
csc20° cot25°-tan25°
...0)
Por relación trigonométrica (xu), tenemos
tanlO° + cotl0° = 2csc20° ... (2)
POr relación trigonométrica (xvi), tenemos
cot25° - tan25° = 2cot50° ... (3)
(2) y (3) reemplazando en (1)
£ _ 2csc20° ¡ cot50° _ g + 1 _ 5
csc20° 2cot50° 2 2
- i
Problema16
Calcule los valores que admite
c o s ^ j apartir de 5sen0 = s e n ^
Resolución
De la condición
►
s e n ^ ílO c o s |-l | = 0
igualando a cero cada factor
0 20
i) s e n - = 0 => sen - = 0
2 2
1-cos2 —= 0
0
co s- = ±l
2
Por relación trigonométrica
c o s | = i
1 0
1+cos-
— — 2.
0 0
si eos - = 1 => eo s- = ±1
2 4
0 6
si e o s - = -1 => eos — 0
e i n e i
ü) 1 0 c o s --l= 0 => c o s - = -
perocosí|)=±^
11+ ~T
- ' “ ' j r ü
5sen0 = sen| |
, „ 0 0 0
=> 5 x 2 se n -c o s- = s e n -
2 2 2
ia 6 0 0 A
=» 1 0 s e n -c o s --s e n - =0
2 2 2
Finalmente concluimos que cos| - | admite 5
valores, que son los siguientes
343

De tas resoluciones de los problemas 7 y 17,
podemos plantear las siguientes identidades
f) Vl +senx = sen —+ cos—
J I 2 2
i¡) Vi+eosa
: = Vajeos
Sí) V i-se n x - |s e n ^ - c o s ^
m
) V i-e o s a = V ^Jsen ^
Problema1
7
-119 (
Si cos20 = ------ jt<9<
169 i
calcule el valor de
K = 7 s e n ^ j+ 4 c o s ^
3n'|
2 j
Resolución
Dato: cos20 =
2cos 0 -1 =
1]9
169
119
169
2c o s 20 =
169
25
eos 0 =
169
c<
*e- ±-
„ 3n
como jt< 0 < —
2
entonces eos© es negativo
5
/. cos0 = -
13
Hallando K
3n
De la condición rc<0<
i.
n 0 3ji
tenemos ^ <
0
entonces H*-
utilizando identidades trigonométricas x) a x í )
tenemos
sen
COS:
¡ H
! H
COS0_,
1- í
L J 3 J _3 >
/Í3
2 V 2 13
...0 )
1+COS0 H
r 5 '
L ' 13 J 2VÍ3
2 13
—(2)
(1) y (2) lo reemplazamos en K
’í 2# }
K = VÍ3
Problema18
tan3
x + cot3
x + 6csc2x = acsc3h x , calcule (a+b)
si a;b>0
Resolución
Transformamos el primer miembro a la forma del
segundo miembro, para determinar los valores de
a y b.
tan3x + cot3x + 6csc2x = acsc3bx
(tarur+ccitx)(tan2
x - tanxcotx+cotzx)+6ese2x=acsc3br

Por suma de cubos
2csc2x(tan^x+cot^ -1) +6esc2x =a ese*
3b r
Por relación trigonométrica (xix) e identidad
recíproca
2 ese 2x[(tan x +cot x)2- 2 -1] +6ese 2x = acsc^x
=> 2csc2x [(2csc2x)2- 3]+6csc2x = acsc3bx
=> 2csc2x(4csc22x - 3)+6csc2x = acsc3hx
=>8csc32x - 6csc2x + 6csc2x=acsc3tw
=> 8csc32x = acsc3bx
entonces, se observa que
a=8 a b=2 ó a = -8 a b=-2
ya que 8csc32v = -8csc3(-2r)
como a,*b >0
a = 8 a b = 2
a+ b = 10
Problema19
De la siguiente igualdad
- -s e n l0 °
J-f------------ = Atan20° + B ; halle (A+B)
^ ^ + eos20°
CAPÍTULO V_________________________________
Resolución
Transformando e! primer miembro
sen30°-senl0°
i eos 60°+eos 20°
3
= Atan20° + B
Identidades trigonométricas
Utilizando sén30° = - a cos60° = -
2 2
^(3sen 10o- 4sen310°)-senl0°
l( 4 cos320°- 3 eos20°)+eos20°
= Atan20° + B
Utilizando la relación trigonométrica de triple
sen l0 °- -s e n 310°-senl0°
_ 3 ________________
^eos320o- cos20°+cos20°
=Atan20° + B
- - s e n 310°
3_______
4 3
-e o s 20°
3
= Atan20° + B
Simplificando
sen 10°
cos20°
= Atan20° + B
Si se hace senl0°=sen(30o-20°)
~ _ ,e n (3 0 ° -2 0 ° ),ABn20. t B
cos20°
(sen30°cos20° - cos300sen200)
cos20°
1
cos300sen20°-sen300cos200
cos20°
s
- Atan20° + B
= Atan20° + B
1
tan 2 0 ° -----= Atan20°+B
2 __2 -r t
T=-----------= P — 1 T
Identificando Ay B
=> A = — a B = —
—
2 2
A + B =
345

Problema20
2
Si V 3cosx-senx = - , calcule sen3x
ó
.Resolución
De la condición dividimos a ambos miembros
entredós
S i
— cosx - -se n x
2 2
n 7
1 1
se n -c o sx -e o s —senx = -
3 3 3
sen
( H
i
3
Pero sen3x = sen(n-3x)
(Por reducción al primer cuadrante)
Transformando
sen3x = sen
Por fórmula xvii
31H
sen3x, = 3sen| í - x |-4 se n 3
H
Usando en senl —~ x ]= -
s e n 3 x = 3 l | - 4 Í |
3 ) 3
3
sen3x = 1 ------
27
Resolución
Por identidades de! arco triple y doble
^ _ J senx(2cos2x+l)(l-cos3x)
2 sen x co sx -sen x
Utilizando cos2x=2cos2
x-l
^ _ J senx(2(2cos2x - l) + 1)(1- eos 3x)
senx(2cosx-l)
K=?
(4eos2x -1)(1- eos 3x)
2 co sx -l
Simplificando y operando
Por diferencia de cuadrados
(2cosx+1)(2cosx - 1)(1- eos 3x)
2 c o sx -l
K=^/(2cosx+1)(1 - eos 3x) ...(1)
pero
1
cosx = - => cos3x = 4cos3x-3cosx
8
»> COS3AT.4I i ] - 3 Í |
cos3x = -
47
128
Reemplazando en (1) los valores del cosx y cos3x
tenemos
23
Operando sen3x = —
k 4
Problema21
Sabemos que cosx = 0,125 k J i .
entonces calcule . 2'
y _ J sen 3x(l - eos 3x)
V sen 2 x -sen x /. K=-V7
8
47
128 4 128
3 3

Problema22
________ 8cot3x________
, tan(30° -x )+ co t(x - 60°)
calcule (A+B)
= A(cót2xcotx + B)
Resolución
En el prim er m iem bro, transform am os para
comparar en el segundo miembro.
cot(60° + ^ <
-co t(6 0 °-x ) = A(cot2ycot*+B)
senl(60°8- ° ) - W +3OT = A(COt2yCOty+B)
sen(60° + x) sen(60° - x)
8cot3x
1
sen(-2x)
■= A(cot2xcotx+B)
sen(60° + x) sen{60o- x)
Problema23
De la figura 5.27(a), calcule todos los valores de,
AC+CD
Y= -
AD
siendo O centro de la
semicircunferencia de diámetro AB.
Resolución
Sea r el radio de la semicircunferencia, entonces
de dicha sem icircunferencia tenem os las
siguientes figuras
■
8£*?xsen(60°+x)sen(60°-x) =A(cot2xcotx+B)
-se n 2*
.
________ sen 3*______________ ’
3x(4senxsen(60°f x)sen(60° - x)) _ A(cot2xcoU + B)
-sen2xsenx
2cos3x „
______ ycpn
-sen2*------------= A(cot2xcotx+B)
-s e n 2 xsen*
X+ x) - A(C0 t2xC0 tX+B)
sen2xsenx
-2
co s2 x co sx -sen 2 x sen x ^
sen2xsenx 1
= A(cot2xcotx+B)
De los triángulos ACB, CODyADB, (vea las figuras
5.27 b,c, d y e) por resolución de triángulos
rectángulos, tenemos * .
-2 (cot2xcotx-l)= A(cot2xcotx+B).
Comparando am bos miembros
A = -2 a B = -1
=> A + B = - 3
347

rsen20 rsen29
c e — 7 D
Figura 5J7
AC = 2rcos3 0 ; CD = 2rsen2 0 y AD =
2rcos 0
Como Y =
AC+CD
=>Y =
=*Y =
AD
2rcos30 +2rsen26
2rcos0
cos30 +sen20
COS0
cos0(2cos2O-I) + 2sen0cos0
COS0
Sim plificam os cos0ya que cos0*O (si
cos0 = O, entonces 0 podría ser igual a 90°, lo
cual er>ia semicircunferencia del problema sería
imposible).
=*Y= 2 cos20-l + 2sen0 .
=>Y= 2(1 -2sen20 ) -l + 2sen0
completando cuadrados
5 ( i ' !
=sY= - - 4 sen©- —
4 4
De la semicircunferencia 30 es un ángulo agudo,
entonces
0<30<90° => O<0<3O°
>O<sen0<
l Q 1 1
=>— < s e n 0 - - < -
4 4 4
> O sfsen 0 -^l
2
4sen0-
4 l 0 -
=>1< —
—
4Ísen0 - y l < 7-
4 1 4 i 4
= > K Y < | , . Y = / l ; |

-CAPITULO V Identidades trigonométricas
E jercicios
1. Calcule el valor de sen2cc y cos2ct, j 3 : cc2-y tan2x - cos* ~ sen*
si sena = 1/4 cosx +senx
14. 8senxcos3
x = 2sen2x + sen4x
2. Calcule el valor de cos20, si cos0 = -2 / 3
3. Calcule el valor de sen2a, si tana = -3
4. Calcule el valor de tan2x, si eos x = i
15.
cot2x + tan2x l+ cos22x
cot x -ta n x . 2cos2x
cos6 x - s e n 6x , , ¡
16. ---- 3----------— = 1 - sen xcos x
/ 3* ' [
r 2 / 2 0 . v
5. . Calcule el valor de cos4x, si senxcosx = - -
6 6
6. Calcule el valor de s e n - y c o s - , si
cos0 = l/4
9^
7. Calcule el valor de ta n -,
2
. „ 4n
/3
si sen0 = ------- ;
7
8. Calcule el valor de«sen3x, si senx = -1/3
3
9. Calcule el valor de sen3x, si sen(30°+x) = -
1
10. Calcule el valor de tan6x, si tanx = -
Demuestre las siguientes identidades
. . l-sen 2 x í n
" ■ ^ r - cov + i
l + sen2x . ,( - n
12. ------------ = tan2 x + -
l-se n 2 x l 4
senx cosx
17. -----------------+ — --------- = 1+tan2x
cosx + senx c o s x -se n x
l + 2tanx-tan2x . _
18. ------------- 5--------= sen2x+cos2x
1+ tan x
19. 1- tan a. co t—= -s e c a
X X
eos—+ sen—
2 2
hsenx
-senx X X
eos—- s e n —
2 2
sen3x + cos3x . 1 „
21. --------------------= 1 - -sen 2 x
senx + cosx 2
cos3x + sen3x , „ •
22. -------------------- = l+2sen2x
23.
,c o s x -s e n x
sen3x , cos3x
=2cot2x
cosx senx
24. (1+sec28)(l +sec40)(l +Sec80)(l +sec!60) =
tan160
tan0
2*| {tan^x jY tan27x A ( tan3nx j'l 2ncosx
[ tanx Jvtan3x X tan9jc J [tan3,vlx J cos3*x
1. sen2a = ±^-^- ; co s2 a = -
8 8
R espuestas
2
3
4. -±
9
3
5
8x/3
47
5- "8
- 4 4
8.
9. +
23
'27
5V7
16
7. 2V3
3
10.
44
117
349

IDEN TID ADES DE TRANSFORM ACIONES TR IG O N O M ÉTR ICAS
Id e n tid a d e s de Transform ació n de
Sumas y Diferencias de Senos y Cosenos
en Producto
Consideramos las identidades para el seno
de la suma y diferencia de arcos.
sen(a + 0) = sen a eos 0 + eos a sen 0
sen(a - 0) = sen a cos0 - eos a sen0
Sumamos y restamos miembro a miembro las
igualdades anteriores, resulta
sen(a + 0) +sen(a - 0) = 2sencc eos 0 ...(a)
sen(a + 0) - sen(a - 0) = 2eos asen© ...(b)
Si cambiamos
Ct + 0 = A
a - 0 = B
del sistema de ecuaciones obtenemos
A+B „ A -B
2 / 2
Sustituyendo en la identidad (a) obtenemos
/■
-----------------------1
---
sen A+senB=2sen
A+B'i
2 )
cosj - 0 )
*
es decir, la suma de senos de dos ángulos es igual
al doble producto del seno de la semisuma de
los ángulos por el coseno de su semidiferencia.
Ysustituyéndo en la identidad (b) obtenemos
senA -senB = 2cos |sen
i r
) -.(2)
es decir, la diferencia de senos de dos ángulos es
igual al doble producto del coseno de la semisuma
de los ángulos por el seno de su semidiferencia.
De m anera análoga, recordam os las
identidades para el coseno de la suma ydiferencia
de dos arcos
cos(ot + 0) = eos a. eos 0 - sen a. sen 0
cos(a - 0) = cosa, eos 0 +sen a.sen 0
sum ando y restando m iem bro a m iem bro,
obtenemos
cos(a + 0) + cos(a - 0) = 2cosa.cos0 ...(c)
%
cos(a + 0 )-c o s(a -0 ) = -2sena.sen0 ...(d)
haciendo los mismos cambios de lo anterior, y
sustituyendo en la identidad (c), obtenernos
cosA + cosB = 2cos^ — jeos^ - - ^ j | ...(3)
es decir, la suma de cosenos de dos ángulos es
igual al doble producto del coseno de la semisuma
de los ángulos por el coseno de la semidiferencia.
Sustituyendo en la identidad (d), obtenemos
eos A - cosB = -2sen
A+B^i
sen
2 )
A -B
es decir, la diferencia de cosenos de dos ángulos
es igual a menos el doble producto del seno de la
sem isum a de los ángulos por el seno de la
semidiferencia.
Ejemplos de aplicación
Exprese cada suma o diferencia como un producto
Ejemplo 1
sen50°+sen24°
Resolución
Utilizando la identidad (1)
sen 50°+sen 24°=2 sen
Í 50°+240
jeos^
50°-24°
sen 50°+sen 24°=2sen37°cos 13o
Ejemplo 2
sen7x - sen*
Resolución
Utilizando ¡a identidad (2)
sen 7 x - senx = 2cos|^ —jsenj
se n 7 x -se n x = 2cos4xsen3x
350

Ejemplo 3
cosl0a + cos6cc
Ejemplo 6
Transforme en producto sen* - cosx
Resolución
UtilizandoJa identidad (3)
c o T10a+6aJ ( 10a-6a
cosl0a+cos6a=2cos ----------- eos — -—
A 2' J l 2
cosl0a+cos6a= 2cos8acos2oc
Ejemplo 4 '
eos 19° - cos3°
Resolución
Utilizando la identidad (4)
eos 19°-eo s 3o = -2sen
19°+3°) T19o- 3 o
A (
- sen
cosl9°-cos3° = -2senl l°sen8°
Ejemplo 5
Factorice la expresión K = 1+2sena
Resolución
Busque m os la form a tal que se aplique la
identidad (1)
K = l+2sena = 2| -+ s e n a
1.2
hacemos que - = sen 30°
K =l+2sena = 2(sen 30° + sena)
„ , 30°+-a) ( 30° - a
2 sen — z— |co
s|
K = l + sen a = 2
K = l+ 2 sen a= 4 sen ^l5 °+ ^jco s^l5 °-^j
Q ueda com o ejercicio para usted que
transform e de form a análoga la siguiente
expresión 2cosa + l, y debe obtener cóm o
respuesta 4 co sj^ + 30° je o s j^ - 30°
Resolución
Sabiendo que cosx = sen(90°-x)
entonces
serurcosx=senx - sen(90°- x)
í r + 9 0 ° - x W x -9 0 ° + x
senx-cosx = 2coS; _ ,___ ,
A 2 J l
senx-cosx=2cos45°sen(x-45°)
serurcosx = 75sen(x- 45°)
Ejemplo 7
Demuestre la siguiente igualdad
eos cosx
Resolución
Expresando en producto el primer miembro
2 eos—cosx = 73cosx
6
2 — lcosx = 73cosx
12J
=>73 eosx=73 eosx
Ejemplo 8
Demuestre la siguiente iguáldad
se n x -se n 2 x + sen 3 x . „
------------------------------ = tan2x
eos x - eos 2x +eos 3x
Resolución
Reagrupando convenientemente
sen3x+senx-sen2x . „
------------------ ----------= tan2x
cos3x + cosx -cos2x
y transformando a producto
2sen2xcosx - sen2x
2cos2xcosx - cos2x
•= tan2x
351

sen 2 x { 2 c o s K 0 =tan2x
eos 2x(¿cesí'::rl)
sen2x _
=> -------- = tan 2x
cos2x
=> tan2x = tan2x
Ejemplo 9
Demuestre la siguiente igualdad
27x 25x '
s e n ----- sen — = senGxsenx
2 2
Resolución
l 1
*
"forma
Degradando por arco doble
-Í2 se n 2— -2 se n 2— |= sen6xsenx
2 2 2
i[ l - eos 7x - (1- eos 5x)] = senóxsenx
(cosSx - cos7x) = sen6xsenx
^(-2sen6xsen(-x)) = sen6xsenx
=» senóxsenx = senóxsenx
Id e n tid a d es de T ran sfo rm ació n de
Producto de Senos y/o Cosenos a Suma
o Diferencia
I. [ 2sen a eos6 = sen(a+6) + sen(ct - 6)]
II. [2cosacos9 = to s(a+ 0 ) + co s(a-6)1
III. ¡ 2sen asen 9 = cos(a - 6) - cos(a + 6)j
Las demostraciones se realizan fácilmente de
las identidades a, b, c y d deducidas en la
página 346
Ejemplos de aplicación
Exprese en forma de suma o diferencia
Ejemplo 1
2sen7xcos4x
Resolución
Utilizando la identidad (I)
2sen7xcos4x = sen(7x+4x) + seo(7x-4x)
2sen7xcos4x = senl lx + sen3x
Ejemplo 2
2cos3l°cos9°
2d" forma
Por diferencia de cuadrados; en la igualdad inicial
( 7x 5xY 7x Sx't _
se n ---- sen— I sen— +sen— = sen6xsenx
1 2 2 A 2 2J
transformamos cada factor a producto.
X X
2eos3x sen—2sen 3x eos —= sen 6x sen x
2 2
Agrupando convenientemente
X X
2sen3xcos3x 2sen—e o s - = sen6xsenx
. 2 2
sen6x senx
.-. sen6xsenx =sen6xsenx
Resolución
Utilizando la identidad (II)
2cos31°cos9° = cos(31°+9°) + cos(31°-9°)
2cos31°cos9° = cos40° + cos22°
Resolución
Utilizando la identidad (I)
2senl0°cos40° = sen(10°+40°) + sen(10°-40°)
2senl9°cos40° = sen50° + sen(-30°)
2senl0°cos40° = sen50° - sen30°
Ejemplo 3
2senl0°cos40°

Ejemplo 4
3x x
2sen— sen —
2 2
t
Resolución
Utilizando la identidad (III)
„ 3x x ( 3x x ÍS ií Jt'l
2sen— sen— = eos — - — -e o s + —
2 2 [ 2 2 ) L 2 2 J
3x x
2sen— sen— = cosx - cos2x
2 2
Demuestre que se verifican las siguientes
igualdades
Transform ando de producto a diferencia
utilizando identidad (III)
2senx[cos 2x - eos 120o]= senx
senx(2cos2x+1)=sen3x
sen3x=sen3x
Ejemplo 3
4cosxcos(60°+x)cos(60°-x) = cos3x
Resolución
Ejemplo 1
cos(x+y)cos(x-y) = cos2
x -s e n V
Resolución
M ultiplicam os y dividim os por 2 al prim er
miembro
2cos(x + y )co s(x -y ) 2 2
------ i— LL---- i— LL = Cos x - sen2y
2 •
transformando a suma de cosenos
cos2x + cos2y ¡ 2
------------------- = eos x - sen y
2
sustituyendo con la identidad del cosenode arco,
doble
(2 eos2x -1 ) + (1- 2 sen2y) 2 2
^ ^ ------------— = eos x - sen y
2
cos2
x-sen2
y = cos2
x - sen2
y
Ejemplo 2
4senxsen(60°+x)sen(60°-x) = sen3x
Resolución
Agrupando convenientemente los factores
2senx[2sen(60°+x)sen(60°-x)] = sen3x
2cosx[2cos(60°+x)cos(60°-x)] = cos3x
2cosxj~cosl20°+ cos2x j = cos3x
=> cosx(2 eos 2x -1) = eos 3x
=> cos3x=cos3x
Ejemplo 4
cos3xsen2x - cos4xsenx = cos2xsenx
Resolución
Multiplicamos y dividimos por 2
i [2eos 3x sen 2x - 2cos 4x sen x] = eos 2x sen x
^ 4
-[sen5x -senx -(sen5x -sen3x)] = cos2xsenx
^[sen3x-senx] = eos 2xserrx
transformando a producto
^[2cos2xsenx] = cos2xsenx
=> cos2xserur = cos2xsenx
353

Ejemplo 5
tan(x + 30°)tan(x - 30°) = ■~ 2c0s2x
1+ 2cos2x
Resolución
sen(x+30°) sen(x-30°) _ l-2cos2x
cos(x + 30*) cos(x - 30°) 1+ 2eos 2x
multiplicando x2 al numerador y denominador
2sen(x + 30°)sen(x -30°) _ l-2cos2x
2cos(x + 30°)cos(x - 30°) 1+ 2eos 2x
transformando a suma o diferencia
cos60°-cos2x _ l-2 co s2 x *
2
cbs2x +cos60° l + 2cos2x
|- c o s 2 x j _ 2 c o s 2 x
cos2x + I ' 1+ 2cos2jr
2
l-2cos2x l-2 co s2 x
l+2cos2x l+2cos2x
multiplicando por 2 y transformando a sum a de
senos
„ a n ,., o 4ji 3rt
2 x 4sen-W = 2sen— eos—
7 7 7
senit + seny ; (sen7t .=0)
8s^ny
w - j
Si A+B+C = 180° , se cumple
„ A B C
1) senA+senB+senC = 4 eos—eos—eos—
A B C .
2) cosA+cosB+cosC = 4 sen y sen —sen—+ 1
Demostración de (1)
De la condición A+B+C = 180°, se tiene
A B C
---1
---- 1
---
2 2 2
= 90°
Ejemplo 6
Demuestre que cos^yjcos^yjcos^yj = (¿)
Resolución
Designando W al 1er. miembro de la igualdad y
multiplicando por 2sei^yj
„ i t ... „ «n n 2n 3n
2sen-.W = 2 s e n -c o s -c o s — eos—
7 7 7 7 7 .
„ . Ti... „ 2rt 2n 3n
2 x 2 sen -W = 2sen— eos— eos —
7 7 7 7
. n „ , 4n3n
4 se n -W = sen — eos —
7 7 7
aplicando propiedad de ángulos cuya suma es 90°
A + B C
sen ------- = eos—
2 2
A+ B c
eos------- = sen —
2 2
transformando el 1er miembro
_ „ A B C
senA +senB + senC = 4eos—eos—eos —
-------- ------- e- —' 2 2 2
2sen( ]C0S( ]+2senf cosf =4eos| c°s 5eos|
„ C f'A-B) „ C C „ A B C
2cosyCos - y - +2sen-yeo s- =4cos-eos - eos-

Factorizando 2eos — se tiene
2eos —
2
, A -B 'i C
C O S I - y - | + s e n 2
„ A B C
= 4cos—eos—eos—
2 2 2
„ , ; C f A+B
Reemplazando sen — por eos ——
2eos —
2
. A- B' i ÍA +B
cos| 2 l+cosl 2
A B C
= 4cos—eos—
eos —
2 2 2
Si A+B+C = 180°, se cumple
3) sen2A+sen2B+sen2C = 4senAsenBsenC
4) cos2A+cos2B+cos2C = - 4cosAcosBcosC -1
En la condición tenemos
A+B+C=180°
2eos—
2
„ A B
2eos —eos—
2 2
. A B C
=4cos —eos —eos—
2 2 2
aplicando propiedad de 1sen(A + B) = sen C
ángulos cuya suma es 180°J cos(A + B) = -cosC
„ A B C . A B C
4cos—eos—eos—= 4cos —eos—eos —
2 2 2 2 2 2 transformando el ler. miembro
esto es lo que se buscaba demostrar.
Luego
cosA+cosB + cos£ = 4 se n ^ s e ry se ry + 1
sen2A+sen2B +sen 2C = 4sen Asen BsenC
2sen(A+B)cos(A-B)+2senCcosC=4senAsenBsertC
2senCcos(A-B)+ 2senCcosC= 4senAsenBsenC
2senC [cos(A-B)+ cosC 1= 4senAsenBsenC
2cosí Icosí —
—-1 +1 - 2senJ—= 4sen ^ sen ? sen ^ + 1
{ 2 J ( 2 J 2 2 2 2
„ C f A-B'i 0 , C , . A B C .
2sen—eos ------ -2sen —+ l =4sen—sen—
sen —+1-
2 1 2 1 2 2 2 2
2sen —
2
, . A B C ,
+l =4sen—sen-sen —+1
2 2 2
, cr ( A-B'i +
2sen—eos —-— -eos1— —
2L l 2 J { 2 JJ
, . A B C ,
+l=4sen—
sen—
sen—+1
2 2 2
2sen —
2
„ A ( B
-2sen y sen - -
, A B C ,
+ 1^4 sen—sen —sen —+ 1
2 2 2
. A B C . . A B C ,
4 sen —sen - sen —+1 = 4sen—sen - sen —+ 1
2 2 2 2 2 2
2senC[cos(A - B) - cos(A+B)1= 4sen AsenBsenC
2sen C( - 2sen Asen(-B) ]= 4sen AsenBsenC
4senAsenBsenC=4senAsenBsenC
Se deja para el lector la dem ostración del
teorem a (4).
Ejemplo 1
Calcule la suma de los senos de una serie de cucos
en progresión aritmética, tal como se presenta
S=seruc+sen(x+r)+sen(x+2r)+ ... +sen[x+(n- l)r]
Resolución
Multiplicando por 2sen^ a ambos miembros de
la expresión propuesta, donde observamos que r
es la razón del ángulo.
355

2sery S = 2senxsen^+2sen(x+r)sen^+2sen(x+2r)
sen^+ ... +2sen[x+(n- l)r]sen^
como sabemos cada doble producto de senos
tam bién nos rep resen ta una diferencia de
cosenos, es decir
2 se n x sen - = cos x - - |-co s
2 2 H j
2sen(x + r)sen^ = eos íx > y I -eo s ( x ^ y
2sen(x + 2r) sen - = eos I x ^ y - eos I x ^ y j
2sen(x + (n - l)r)sen - =
Resolución
Multiplicando por 2sen ^ a ambos miembros de
la expresión propuesta, Sonde observamos que r
es la razón del ángulo.
r r ’ r
2sen-S = 2cosxsen-+2cos(x+r)sen- +
2 2 2
2cos(x+2r)sen^+ ... + 2cos[x+ (n- l)r]sen^
com o sabemos cada doble producto de coseno
por seno nos representa una diferencia de senos,
es decir
2 co sx sen - = sen f x y - I- sen x--j~
2 X 2 ) { 2
2cos(x +r)se n - = senj^x>-'yj -sen
2cos(x +2r)sen^ = senj x + y |-se n
r
2
r r i 2cos[(x + (n -l)r]se n - = sen
(2n - ljr
x +-— ——
eos x + p fí^ íy - -eo s x +(2 n -l)- 2 ¿ J
L 2J
-sen
(2n-3)r
2
sumando miembro a miembro; obtenerlos
x + (2 n - 1)^
2sen-S = cosí x - - - eos
2 l 2
sumando miembro a miembro obtenemos
2sen-S = sen
2
x +
(2 n - l)r
-sen| x —
—
transformando a producto el segundo miembro
2sen ~S = -2 sen x +
/. S = SCn( ? )
-----*
- —■
-¿sen
r
se n -
2
x +
( n - i) r
2
( n - l)r
Ejemplo 2
Calcule la suma de los cosenos de una serie de n
arcos en progresión aritm ética, tal com o se
presenta en
S = cosx+cos(x+r)+cos(x+2r)+ ... +
cos[x+(n - l)r]
transformando a producto el segundo miembro
^Ísen-S = ,2fcos
2
x +
( n - l ) r
sen-
S =
I nr
sen —
.. -1.2-
r
sen -
2
eos x +
( n - l)r
Observador!
Para simplificar la notación de una suma de n
términos, introducimos ahora el símbolo X . La
letra griega X (correspondiente a la S) se utiliza
para indicar la “suma de”. Con dicho símbolo se
utiliza una especie de subíndice que se suele
denominar con K.

Por ejemplo
4
se lee “la suma de las x a la K-ésima
k=i potencia, con K=l,2,3,4”, es decir
J V =x +x 2+ x 3 + jr"1
K
=I
2°, es decir, n = 90, r =2 , P< = 2°, U< = 180°.
Aplicando la fórmula para la sumatoria de senos
'9 0 (2 T
sen
T=-
sen
.sen
^ 2°+180°j
Así escribimos la sumatoria de senos y cosenos
cuyos ángulos satisfacen una progresión
aritmética de razón r en notación I '
n
V c o sU + CK-Or] = cosx+cos(x+r)+cos(x+2r)+
... + co s[x + (n -l)r]
La propiedad para la sumatoria de senos y
cosenos cuyos ángulos están en progresión
aritmética se presenta
n
sen[x +(K~ l)r]
K
=
*
l
nr
sen—
____2_
r
s e n -
2
sen
P<+U<
eos[a + (K - l)r]
K
=
1
nr
sen Y .. _fP<+U<^
sen L ° ~ 2 ~ j
donde para ambos casos
n: es el número de términos
r : es la razón de la progresión aritmética del
ángulo
P« es el primer ángulo de la serie
U« es el último ángulo de la serie
Ejemplo 1
Reduzca la siguiente sumatoria
T = sen2°+sen4°+sen6°+ ... +senl80°
Resolución
Es evidente que la serie tiene 90 términos, además .
reconocemos que 2oy 180° son el primer y último
ángulo de la serie, respectivamente, donde la
razón de la progresión aritmética del ángulo es
sen90° Q
T = ------- ~.sen91°=
1
-.eos Io
senl° sen l0
... (se utilizó sen91° = sen(90°+l°) = cosl°)
.T = cotl°
Ejemplo 2
Reduzca la siguiente sumatoria
„ 2Io 23o 25° 289°
K = sen — + sen — + sen — + ... + sen —
Resolución
Multiplicamos por 2 en ambos miembros para
degradar
2K=2sen2—+2sen2—+ 2sen2—+...+ 2sen2—
2. 2 2 2
2K=1 -cosl°+ l -cos3°+l - cos5°+...+T-cos89°... (X)
Para hallar el núm ero de términos, podem os
aplicar la fórmula
/número de
términos
/ último I primer
(término] ~térrriino/
razón
+ 1
. . 89° - Io .
es decir n = — —— +1 =* n = 45
2o
luego en (X)
2K =l(45)-(cosl°+cos30+cos5°+ ...+ cos89°)
aplicando la fórmula para la sumatoria de cosenos
2K = 45-
sen 45x
2o
sen
.eos
f l°+89°^
l 2
357

2K = 45-
2K =45
sen45° x cos45°
senlc
1
2senl°
K = - -cscl°
2 4
Ejemplo 3
Determine la suma de los n primeros términos
de las siguientes series
, . n 3jt ■ 5n
1. L = eos-------i-cos------- + cos--------+ .....
2n+l 2n+l 2n+l
ti >< 27t 4it 6rc
H. M=cos----- +cos— —+cos--------+.
2n+l 2n+l 2n+l
Resolución (i)
Completando la serie con el enésim o término
. n 3n 5it (2n - l)n
L = eos— — +cos------ + cos------- + -hcos1--------—
2n+l 2n+l 2n+l 2n +l
K
Identificando al primer término , último
(2n - l)n
termino
ángulo
2n + l
2n
, y razón de la progresión del
2n+l
, entonces
, n 27i
sen -r»
L = - - V? 2" H ' .cos
(
sen -
1 2n
sen
2 2n + l
nn
n (2n - l)rt'
L =
2n +1 nn
-- - 1.eos------
2n-t-l 2n+l
„ nn nn
2sen----- eos-
sen-
n 2n+l
2n+1 2n+1
2n+l
2sen-
2n+l
L =
2nn ' f n
sen ------ sen n - —— -
2n + 1 _ 1 2n+ 1
2sen
n
2n + l
reduciendo
2sen-
2n + l
L = J ^ g ^ = l
o 2 2
2 5 6 0 ^ — -
^ 2 n + l
Resolución (II)
Completando la serie, con el enésimo término
2n 4n 6n 2nn
M = COS---------+ COS--------- + COS---------- + + COS-
2n+1 2n+l 2n+l 2n +l
análogo de la anterior serie, la razón de la
2n
progresión del ángulo es TjjT+j
M =
senj 271 1
i 2 "2n + l |
sen f l x 2n S
l 2 2n +1J
eos
2n 2nn ^
-+
2n+l 2n+l
2
sen
M =
nn )
ú n ic o s !
senl 2n+ í)
nn+ n)
2n+l J
2sen
M= -
nn ) ( nn +n
cosf
2n+l 2n+l
2sen
7t
senn +sen
M =
2n+l
n
2 n + lj _
2sen
í 2n +1)
2n+l
2sen
2n + l
Finalmente quedan como propiedad
K=l
(2K -l)n n 3n 5n 7n (2 n -l)n 1
eos--------— = eos-------+ cos— — + cos------- + cos--------+ ... + COS------------= -
2n + l 2n+ l 2n+l 2n+l 2n + l 2n+l 2
2Kn 2ti 4n 6n 8n 2nn
eos------= eos------- + cos----: +eos-——+eos——- +...+ cos-
2n + 1 2n+l 2n+l 2n+l 2n+l 2n+l
358

Veamos algunos casos particulares
n 1
e o s - = -
Para n = l ^ ?
2T
í 1
eos---= - -
3 2
71 3?7 1 '
e o s - + eos---= -
5 5 2
27
1 4ti 1
eos— + eos— = —
, 5 5 2
7t 3rc 5 i I
eos - + eos — + eos — = -
7 7 7 2
2rt 4rr 6rt 1
eos — + eos —-+ eos — = - -
7 - 7 7 2
Para n=2
Para n=3
Ejemplo 1
7
1 , 2n 23k
- + cos‘ —
Calcule D=cos —+ cos
7 / y
Resolución
Multiplicando por 2
2D = 2cos2— + 2cos2— + 2cos2—
7 7 7
, 277, 4t
i , 6t
c
2D= l +cos— + 1+ COS— + l+ cos —
7 7 7
_ ( 2ti 4it 6 n
2D = 3+ eo s—-+COS— + cos—
I 7 7 7-
V
=» 2D_-3+(-l/2)
D = 5/4
Ejemplo 2
Calcule el valor de T = cos^ .c o s a c o s
7 7 7 .
„ „ , 2 7 1 4 7 7 6 7 1
entonces 4T = l+ cos— + cos— + cos —
7 7 7
4T = - .-.T =
Ejemplo 3
Calcule el valor de
„ 2 77 2 2 7 7
K= sen —+ sen —
Resolución
Multiplicando por 2
2 3 7 1 2 4 7 1
+ sen — + sen —
2K = 2sen2- + 2sen‘
9
+ 2sen2— + 2sen2—
9 9
, 2 7 7 , 471
1-cos— 1-cos—
9 9
4 7 7
y
Sn
, 6n ,
1-cos— 1-cos
9 9
. f 277 477 677 877^
2K = 4 - eos — +cos— +cos — +cos— rn
( 9 9 9 9 J 1
Por propiedad, para n=4 se tiene que
2n 477 677 877 1
eos— + cos — + cos-— + cos— = —
9 9 9 9 2
Reemplazamos en (1)
2K= 4 - í - - '| = 4 + - = -
{ 2 ) 2 2
, K= ?
4
Resolución
Multiplicamos por 2 y transformando a suma de
cosenos:
2T =
' 377 2t
i
2cos — eos —
7 7
Tí
c o s -
7
2T =
5 7 7 77
eos — + eos —
7 7
71
c o s -
7
4T =
„ 5 X 7 77 - 2 n
2co s— ,c o s - + 2cos —
7 7 7
/ix 671 1
4T = eos — + eos — + 1+ eos
7 7
2 7 7
7
Ejemplo 4
Halle el valor de
R = -sen50° + sen70° -senlO ° +
Resolución
R = - sen 50° + sen 70° - sen 10o + sen 30°
R = eos 140° + eos 20° + eos 100° + eos 60°
_ 7 7 7 77 5 7 7 3 7 7
R = cos — + c o s - + cos—^^+cos—
9 9 9 9
R = -
359

Ejemplo 5
2n 4n 4it 6ji 2t
c 6t
t
Calcule el valor de R= eos— eos — + eos — eos— + cos— eos—
7 7 7 7 7 7
Resolución
Multiplicando por 2 y transformando cada producto a suma de coseno»
oc> „ 4n277 . 6it 4 i n fe 2n
2R=2cos— eos — + 2cos— eos— + 2cos— eos—
7 7 7 7 7 7
„„ 6n 2ir IOt
t 2rt 8n 4t
u «jt lOn
2R = cos— + eos— + eos-— + eos— + eos— + eos— se cambiarán eos— y eos —
7 7 7 7 7 7 7 7
2t
t 4?t 6n
2R = cos— +eos— + eos— + cos 7t+ - +cos n + — + eos—
.7
3tc ) 271
- c o s í;
2t
c 4n 6n (
2R=eos — + eos — + eos-----
7 T 7
{ 7 )
- C O S y - C O S y
1
"2
entonces 2R = -1 => R = - ;
1
71 371 5ir
C O S - + COS----+ COS-----
7 7 7
í "
2
Ejemplo 6
Calcule el valor de H = se n -s e n — sen —
7 7 7
Resolución
Como s e n -> 0 sen— >0 y sen— > 0 =>H>0
7 7 3 7
Elevando al cuadrado y degradando
, .2 97
7 22n o
H = s e n - - s e n — sen —
7 7 7
í 1- eos—
H2 i -----------7
—
1 - eos
4n . - 6n
1- eos—
U = 8H2=[ 1- e o s — 1 1-e o s
4 7 tY . 6 n
5— S 1 - eos—
7 1 7-
efectuando
, 2 77 477 677 277 4?7 277 677 477 677 277 477 677
8 H 2= l - C O S y - C O S y - C O S y + C O S y C O S y + C O S y C O S y + C O S y C O S y - C O S y C C S y C O S y
- C O S y -eos"
8H2=1-
277 477 677
eos— +eos— +cos— +
7 7 7
V
8H2=1 + : 1 1
277 477 277 677 477 677 f
eos— eos— + eos— eos — + eos— eos—
—
7 7 7 7 7 7
77 277 377
eos—eos— eos —
7 7 7
"2 ^ 5
(este valor se calculó en el ejemplo anterior)
2 2 8
7 .. V7
U2 ' u V< „ y¡7 t i n u s/T 77 277 377 V ?
H = — => H = y v H = - y pero como H>0 H = y - v s e n ^ s e n y s e n y = y

[Problemas Resueltos
Problem
a1
Simplifique las expresiones siguientes
i) senx+sen(x-120°)+sen(x+120°)
ii) cosx+cos(x- 120°)+cos(x+120°)
Resolución
De (i) transformando a producto
P = senx+sen(x-120°)+sen(x+120°)
2senxcos(-120°)
P=senx+2senxcosl20°
2
P=senx-senx p = 0
De (ii) transformando a producto
E=cosx+cos(x-120°)+cos(x+120°)
2cosxcos(-l20°)
E= cosx+2cosx.cosl20°
2
E=cosx-cosx E = 0
De este prob ema, como cos(x-l20°)=cos( 120°-x);
podemos concluir que_____ _________
jcosx + cos(120°-x) + eos(x+ 120°) = 0j ... (1)
__y___________
ísenx+ sen(x- 120°)+sen(x+120°)=0
Son ejemplos de esta conclusión
A = eos 20°+ eos 100° + eos 140°
A = cos20°+cos(l20°-20°)+cos(120°+20°) A = 0
B = cosl°+ cosí 19° + eos 121°
B = cosl°+cos(1200- l 0)+cos(120°+1°) B = 0
C = cos2x+cos(120D
-2x)+cos(120°+2x) ,C = 0
pero com o recordará, si
a +P = 360° =» eos a = eos p, luego como
120°- x +240° +x = 360°
=*cos(120°-x) = cos(240°+x)
120°+x + 240°-x = 360° U
=
¡>cos(120°+x) = cos(240°-x)
a partir de cosx + cos(120°-x) + cos(120°+x) = 0
de (I) cosx +cos(240°+x) +cos(240°-x) = 0 .
fór lo que concluimos también
fcosx + cos(240°+x) + cos(240°-x) = 0] ... (2)
v --------------------- -------- -------------J
A continuación, observe los siguientes ejemplos
M = cos20°+ cos260° + cos220°
M = cos20°+cos(240°+200)+cos(240°-200)
.•. M = 0
N = cos50°+ cos290° + eos190°
N = cos50°+ cos(240°+ 50°)+cos(240°-50°)
N = 0
Tambiénpodemosobtenerelequivalentedelasiguiente
expresiónR = cos2
x+cos2(120°-x)+cos2(120°+x)
Resolución
A partir de la expresión R, por 2
2R = 2cosJx+ 2cos2(120°-x)+ 2cos2(120°+x)
Si utilizamos la fórmula de degradación
2cos2a = 1+ cos2a, se obtiene
2R= 1+cos2x+1+cos(240°-2x)+1 +cos(24Q°+2x)
Efectuando
2R = 3+cos2x+cos(240° - 2x)+cos(240°+2x)
' l Có) L ..
reduciendo R = - -
2
dado este resultado notamos que se cumple la
siguiente igualdad
cos*
2
3
x+cos2(120°+x)+cos2(120° -x ) = :
transformando el primer miembro, utilizando la
identidad cos2a = 1- sen2a , obtenemos
l-sen2x + l-sen 2(120°+x) + l-sen2(120°-x) = ^
agrupando ^
3 - (sen2
x+sen2(120°+x)+ sen2(120°-x)) = ^
de donde obtenemos
sen2
x+ sen2(120°+x)+sen2(l 20°-x)
3
2.
...(4)
361

Ejem plos
A = sen210°+sen2130o+sen2110°
A = sen210°+sen2( 120°+10o)+ sen 2( 120°-l 0o)
B = cos240°+cos21600+cos280°
B = c o s24 0 ° + c o s 2( 120°+40°)+cos2(l 20°-40°)
Queda para usted lector el comprobar que
:.A =
De (1) se obtiene
y de (4) se obtiene
cos2
jr+cos2(240°+x)+cos2(240°-jr) = -
sen2
jr+sen2(240°+x)+sen2(240°-x) =
-3
... (5)
... (6)
seguidamente teniendo en cuenta la degradación 4cos3a = cos3a + 3 eos a
obtendremos el equivalente de R = cos3jr+cos3( l20°-x ) + cos3(120°+x)
Resolución
se sabe que 4cos x = cosSx + 3cosx
4cos3(120°-x) = Cos(360°-3x)+3cos(120°-x)
4cos3(1200+x)=cos(360°+3x)+3cos(120°+x)
(+)
agrupando
4( cos3x + eos3(120°-x)+ eos3(120°+ x) ) = cos3x+cos(360°-3x)+cos(360°+3x)
R + 3(cosx+cos(1200-x)-t-cos(120°+x))
6 ...d e ( l)
puesto que cos(360°-3x) = cos3x y cos(360°+3x) = cos3x
3
=>4R = 3cos3x + 3(0) ••R = t COs3x
dado este resultado planteamos la siguiente identidad ccs3
x + c c ^ l20p-x)+oos3(120P+Jf) = -c o s 3 x
4
- ( 7 )
Otra forma de llegar a este resultado es utilizando una identidad algebraica.
S ia + b + c = 0 => a3+b3+ c3 = 3abc
com o cosx+cos( 120°-x )+ cos( 120° + x) = 0
=* cos3
x + cos3(120°-x)+cos3(120°+x) = 3cosxcos( 120°-x)cos( 120°+x)
pero cos(120°-x) = -cos(60°+x) ... (revise ángulos suplementarios)
y cos(120°+x) = -cos(60°-x)
=> cos3
x+ cos3(120°-x)+ cos3( l 20°+x) = 3cosx(-cos(60°+x))(-cos(60°-x))
■
= 3cosxcos(60°+x)cos(60°-x)
3
= -4 co sx co s(6 0 °+ x )co s(6 0 °-x )
4 s
---- -------------- --------------------'
eos3*
o
finalmente cos3
x + co s3( 120°-x)+ cos3( 120°+x) = -c o s3 x
362

Ejemplos
A = eos310o+ eos3110°+eos3130°
A = cos3l0°+cos3(l 20°-l 10°)+cos3(l 20°+10°)
A = - cos3(10°) = - cos30° = - í ^ .
. 4 '4 4^ 2 J
B = c o s 32 0 ° + c o s 31 0 0 ° + co s3140°
B = c o s 32 0 ° + cos3( 120°-20°)+ cos3(120°+ 2 0 ° )
B = 7 cos3(20°) = ~ cos60°
4 4 412
:.k =
3 &
, s - ¡
Queda para el lector la verificación de
sen3a + sen3(a -1 2 0 °) + sen3(a +120° ) = —- sen 3a ... (8)
sugerencia, utilice 4 sen3a = 3sen a - sen3a
Ejemplo
A = sen310°-sen3l 10°+sen3130°
A = sen310o+ sen3(10o-120o)+ sen 3(10°+120o) ; -s e n 3110° = sen3(-110°)
A = --se'n3(10°) = ~ s e n 3 0 ° = •••* = - §
4 4 4 ^ 2 ; o
B = sen320°-sen3100o+sen3140°
B = sen320o+ sen 3(20o-120o)+ sen 3(20°+120°) ; -s e n 3100° = sen3(-100°)
B = - - sen3(20°j = ~7sen60° = - 7
4 4 4
s
2
/.B = -
3V3
En el tema de arcos múltiplos se comprobó
4 3 + 4 cos2a + cos4a , .
eos a = -------------------------- ; de igual forma:
cos4(120° -a ) =
cos4(120°+ a) =
sumando miembro obtenemos
8
3 + 4 cos(240° -2 a ) + cos(480° -4 a )
8
3 + 4 cos(240°+2a) + cos(480°+4a)
8
(+)
cos4
a +eos4(120°+a) +eos4(120°-a) =i 9 +4(cos2a +cos(240°-2a) +cos(240°+2a) +eos4a +cos(480°-4a) +cos(480
8
•8[cos4a + eos4(120° +a) + eos4(120°-a )] = 9 + eos 4a + cos(480°-4a) + cos(480°+4a)
8[cos4a + eos4(120° +a) + eos4(120°-a)]= 9 + eos 4a + cos(120°-4a) + cos(120°+4a)
i°+4a)]
363

Finalmente
eos4a + eos4(120° +a) + eos4(120° -a ) = -
8
dejamos para el lector la verificación de
sen4a + sen4(120° +a) + sen4(120°-a ) =
- 8
... O)
... (10)
. . . . 4 3 -4 c o s2 a + cos4a
sugerencia, utilice sen a = -----------— -----------
3 1 *
o también sen4a + cos4a = - + -e o s4 a
4 4
Ejemplo
A = sen410°+sen450°+sen470°
A = sen410o+sen4130o+sen4llÓ°
A = sen410°+sen4(120o+10o)+sen4(120o-10°)
A = — *
8
El lector debe entender que la matemática es única, por lo que podemos utilizar y combinar todos
nuestros conocimientos. Un ejemplo de esta combinación es utilizar una identidad algebraica y una
trigonométrica, para ello sigamos con el desarrollo de los ejemplos siguientes
Si .
a+ b + c = 0
también
a+ b + c = 0 =»
f a2+b2+c2 jf a3+b3+c31 as+b5+c5
...0)
l 2 k 3 J 5
fa 2+b2+c2l f a5+b5+c5'j fa 7+b7+c7l
... (II)
l 2 Jl 5 ... J " l 7 J
utilizando (I), calculemos la sumatoria de las quintas de los coseno para ángulos x, 120°-x y 120°+x
com o cosx+cos(120°-x)+cos(120°+x) = 0
( eos2x + cos2(l 20°-x) + cos2(l 20°+x) 'j cos3x + co^(120P-x)+coí (120P+ x)
l 2 J 3
_______________________:__________ l
. (31.
de 3:
eos5x + cos5(120°+x)+cos5(l 20°-x )
de (7): Iicos3x
eos5x + cos5(l 20° -x ) + eos5(120°+x) 3 f 1
= - -co s3 x
4 4
de donde deducimos
cossx + cos5(l 20°-x ) + cos5(l 20° +x) = eos3x ¡ ...(11)

Ejemplo
B = cos’24°+ cos’96°+ eos0144°
B = cos324°+ cos5(120°-24°)+ cos5(120°+ 24°)
B = cos3(24°) = — cos72° = senl8° ; senl8° =
16 16 16 4
si utilizamos la identidad (11), ahora calculemos la suma de las sétimas de los cosenos cuyos ángulos
son x, 120°-x, 120°+x como cosjr+cos(120°-x)+cos(120°+jr) = 0
( cos2x + cos2(120°-x )+ cos2(120°+x )) ( eos5* + eos5(120°-* )+ c o i (t20°+x) ) eos’ * + cos7(I2 0 ° -*)+ cos7(120°+Ar)
2 r l 5 J---------------------------- 7
de (3): | de (II): ^cos3x
eos7x + cos7(l 20° -x ) + cos7(120° + x ) 3 ( 3 ) ,
--------- ---------- 7
--í l i s j ™ 3'
de donde concluimos
CO
cos7
jc+cos7(120°-x)+cos7(1200+jr)= — cos3x
64
Ejemplos
Aplicando la identidad (12), calcule el valor de
• A = ccs710°+cos7l 10°+cos7130°
A = eos710o+ eos7(120o-10o)+ cos7(120°+10o)
■cos3
63%/3
A = g c o s3 (1 0 °) = | c o s 3 0 ° = g [ ^
.-.A =
128
B = cos720° - cos780° - cos;40°
B = cos720°+(-cos80°)7+ (-cos40°)7
B = cos720°+cos7100°+cos7140°
B = cos720°+ coS7(120°-20°)+ cos7(120°+20°)
y
B = — cos3(20°) = g cos60° =
64 64 64
B =
63
128
...0 2 )
• C = eos75o -eo s765°-s e n 735°
Se sabe que
cos65° = - cosí 15°
sen35° = cos55°
Además cos55° = - eos 125°
Luego en la expresión
C = eos75o - (- eos 115o)! - (- eos 125°)7
Efectuando
C = eos75o + eos7115° + eos7125°
C = eos75o + eos7(120° - 5o) + eos7(120° + 5)
C = ^ eos 3(5°) = — eos 15o
64 64
Pero como eos 15°=
76 + V2
365

Problema 2
Determine el valor de L =
parax = 5°
sen2x+sen3x+sen4x
cos2x+cos3x+cos4x
R esolución
Transformando a producto convenientemente al
numerador y denominador, respectivamente
2sen3xcosx
^ _ sen3x+sen4x+sen2x _ sen3x(j±2ca§x)
cos3x+cos4x+cos2x cos3x£bfc2cxSsx)
2cos3xcosx
. sen3x ■
L = -------- = tan3x
cos3x
sustituyendo el valor de x = 5o
.L = tanl5° = 2-v/3
Problema 3
Halle el valor máximo de H = sen(x - 40°) - cosx
R esolución
C am biando a cosx por sen(90° - x) y
H = sen(x-40°)-sen(90°-x) = 2cos25°sen(x-65°)
sabem os que
-l< s e n (x -6 5 ° )< 1
entonces el valor máximo de sen(x - 65°) es 1
luego, enH .
Hmáximo = 2cOs25°
Problema 4
Transforme a producto
K = sen2
x - sen22x + sen23x
R esolución
M ultiplicando por 2 a am bos m iem bros y
degradando
2K = 2sen2x - 2sen22x + 2sen23x
1- cos2x 1- cos4x
2K = cos4x - cos2x + 2sen23x
-2sen3xsenx
factor común 2sen3x
^K =jfsen3x(sen3x- senx)
2cos2x.serw
K= 2senx.cos2x.sen3x
Para este problema también podemos aplicar otro
método de resolución, pero para ello es necesario
que el lector recuerde la siguiente identidad
sen2a - s e n 2p = sen(a + 3 )s e n (a -p )... (1)
Otro método *
A partir de la expresión
K = sen2x - sen22x + sen23x
K= sen(x-2x)sen(x+ 2x)+ sen23x
K= sen(-x)sen3x+ sen23x
factorizando senSx obtenemos
K = sen3x(sen3x+sen(-x))
de donde
K = sen3x(sen3x - senx)
K = sen3x(2cos2xsenx)
Finalmente
K = 2senxcos2xsen3x
Problemas
Reduzca
T = sen2(x-120°)+sen2
x+ sen2(x+120°)
R esolución
M ultiplicando por 2 a am bos m iem bros y
degradando
2T = 2sen2(x - 120°)+2sen2x+2sen2(x+ 120°)
2T = 1- cos(2x-240°)+1 - cos2x+1 - cos(2x+240°)
2T = 3 - cos(2x -240°) - cos2x - cos(2x+240°)
ordenando los términos
2T = 3 - cos2x - (cos(2x+240°)+cos(2x-240°))
2T = 3 - cos2x - (2cos2xcos240°) ... (I)
Pbr reducción al primer cuadrante
1
cos240° — ~2
Reemplazando en la ecuación (1)
1'
2T = 3 - cos2x - 2cos2xí-
2T = 3 - cos2x + (cos2x)
de donde 2T = 3

CAPÍTULO V ____________Identidades trigonométricas
Problema 6
Calcule el valor del ángulo x si
2cos20°-sen50°
tanx = -
Sen40°
; 0°<x<90°
R
e
so
lu
c
ió
n
2sen70°-sen50°
tanx =
tanx = -
sen40°
sen70°+sen70° - sen50°
sen40°
sen70°+(2cos60°senl0°)
tanx = -
sen40°
reduciendo
sen70°+sen!0°
tanx: = - >tan* =
25en40^cos30°
sen40° .ssfrtO6^
obteniéndose tanx = 2cos30° = V3
x = 60°
Problema 7
Calcule el valor de
K = (cos6.v+cos2x)(cos9x+cos7x); para x =~
R
e
so
lu
c
ió
n
Transfornriando a producto cada término
„ „ f6x-+2xl (6x-2x) (9x+7x) J$x-7x)
K = 2 c o s (_ jc o s [— }2cos[— Jcos}— ]
K=4cos4xcos2xcos8xcosx
ordenando y multiplicando por serur
senxK =2 »2serrxcos_xcos2x;os4 jcos8 x
sen2x
senxK=2sen2xcos2xcos4xcos8x
sen4x
multiplicando por 2
2senxK = 2sen4xcos4xcos8x
sen&x
multiplicando por 2 .
4senxK = 2sen8xcos8x =»4senx(K) = senl6x
senI6x
de donde se obtiene
k = H 2 ! Ü ... (i)
4 senx
reemplazando x = — en la ecuación (I)
sen-
K = -
,16n
17
4sen-
sen n -
K = ■ 17
4sen-
17
sen-
K = - 17
4sen-
17
■
••K = 4
Del gráfico adjunto, p y q rep resen tan las
longitudes de la proyección del arco CD respecto
a 0B y OArespectivamente. Siendo AOBun sector
circular de radio (4 + 4>/3) y eos 18° = 0,95.
Calcule p+ q.
B
(a)
R
e
s
o
lu
c
ió
n
Aplicando resolución de triángulos rectángulos
B
— reos12°
(b)
Figura 5 J8
367

Luego tenemos
p = r(cos48° - cos78°) q = r(cos 12o - cos42°)
nos piden
p + q = r(cos480-cos78°+cosl20 -cos42°)
transformando a producto convenientemente
p+q = r(cos48° - cos42°+ cos!2° —
cos78° )
-2sen45°sen3° -2sen45°sen(-33°)
p+ q = r(-72sen3°+72sen33°)
factorizando
p+ q = 72r(sen33°-sen3°)’
p+ q = 72r (2cosl8°senl5°)
reemplazando los valores numéricos
p+ q = 72(4+473)2(0,95)^ ^ ~ ^ '
.-.p+q = 7,6
Problema 9
Siendo A, B y C, ángulos internos de un triángulo
ABC, simplifique
T „ B C A
T = 2cos—.eos—.esc—
2 2 2
senB+senC
sen A
Resolución
Transformando a producto
„ B C 0 fB+C4 (B-C'l
2cos—.eos— 2sen eos ——
■ _ 2 2 i 2 T l 2 J
sen- senA
A B C
del dato A+B+C = 480° =*2 + 2 + 2 = 9°°
se cumple
sen
B+C)_
2 j
|= eos —(propiedad de co-razones)
luego, sustituyendo en T
T =
T =
o B C
2cos—.eos—
2 2
A
s e n 2 '
„ B C
2cos—.eos— eos
2 2
A
sen —
2
Problema 10
Si en un triángulo acutángulo ABC, se cumple
sen2A+sen2B+sen2C = 2senA.senB
Calcule la medida del ángulo C.
Resolución
Del enunciado A+B+C=180°
recordando la propiedad dem ostrada en la
página 350, tenemos
sen2A+sen2B+sen2C = 2senAsenB
4senAsenBsenC
reduciendo 2senC = 1
=>senC = | , es decir C=30° ó 150°
como el triángulo ABC es acutángulo C<90°
.-. C = 30°
Problema11
Transforme en producto la expresión
L = sen3A+sen3B+sen3C ; siA +B +C = jt
Resolución
L = 2sen!
3A+3B4 (3A -3B 4
l 2
eos J+sen3C
de la condición — + 1 5 + — =
2 2 2 2
■ se cumple
sen|
3A+3B4
= -c o s
eos
f 3A+3B)
2 J"
= -sen -
3C
2
3C

luego obtenemos
L~ 2¡-cósm icos!
L = -2cos
3C
eos
, o 3C
L = -2cos—
2
cos^-
3A-3B
2
3A-3B
2
f3A -3B
„ 3C 3C
+ 2sen— eos—
2 2
-se n -
3C
+ COS
f 3A+3B
1 2
„ 3A 3B
2cos— .eos —
2 2
, . 3A 3B 3C
. L = - 4cos— eos— eos —
2 2 2
Problema 12
SiA.ByC son ángulos de un triángulo,
dem uestre que
sen3A+sen3B+sen3C =
0 A B C 3A 3B 3C
3cos—eos—eos —+ eos— eos— eos—
2 2 2 2 2 2
Resolución
Designando como K el primer miembro
K = sen3A -- sen3B + sen3C
multiplicando por (4)
4K = 4sen3A + 4sen3B + 4sen3C
degradamos cada término, utilizando la identidad
4sen3
* = 3senx - sen3x
4K = 3senA-sen3A+3senB-sen3B+3senC-sen3C
4K=3(senA+senB+senCHsen3A+sen3B+sen3C)
sustituyendo cada suma en producto para la
condición A+B+C = 180°
J . A B C W . 3A 3B 3C)
4K=3 4cos—cos-cos— - -4cos— eos—
-eos—
i, 222
) { 2 2 2 )
„ o A B C 3A 3B 3C
K= 3cos—eos - eos - + eos— eos— eos—
Problema 13 .
Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, halle el
máximo valor de F = senA+senB+senC
Resolución
Considerando al ángulo Aconstante, por supuesto
B y C varían
Luego
F = s e n A + 2 s e n |^ ^ je o s j^ ? -^ j
A
F = senA+2cos—.eos
2
para que la expresión F sea máxima se cumple
eos
es decir B = C
ahora considerando al ángulo B constante se
obtiene A = C
Por consiguiente A=B=C
Luego la expresión F = senA + senB + senC
alcanzará su máximo valor cuando los ángulos
sean iguales a 60°, así
Fmáx = 3sen60° .•.Fm4x= ^
Problema14
¿En qué tipo de triángulo ABC se cum ple
sen2A+sen2B+sen2C = 2?
R esolución
Multiplicando por 2 a la condición
2sen2A + 2sen2B + 2sen2C =2x2
1- cos2A 1- cos2B 1- cos2C
3 - cos2A - cos2B - cos2C=4
cos2A+cos2B+cos2C=-l... (i)
recordando el teorema siguiente
si A+B+C = 180°
=> cos2A+cos2B+cos2C = -4cosAcosBcosC -1
en (0 se obtiene
-4cosA.feosB.cosC - / = - t
cosA.cosBcosC=0
entonces
cosA = 0 v cosB = 0 v cosC = 0
es decir 1
A = 90° v B = 90° v C = 90°
en el triángulo ABC uno de sus ángulos es 90°.
.-. ABC es un triángulo rectángulo.
369

Problema 15
Transforme a producto
W = senA+senB+senC - sen(A+B+C)
Resolución
Agrupando los térm inos y transform ando a
producto
W=senA+senB . - [sen(A+B+C) -sen C }
IA+B / A- B /A+B+2C /A+B
2sen(— )cos(— )
factorizando lo común
W - - 2 » „ ( ^ ] s e n [ 5 ± £ ]
ordenando
W = 4 s e n [ ^ ) s e n ( ^ ] s e n ( 5 ± ^ ]
Problema16
R = sen2350+cos55°cosl5° - sen270°
Resolución
Multiplicando por 2 para degradar y transformar
2R = 2sen235°+ 2cos55°cos 15° - 2sen270°
1- cos70° 1 - cosl40°
2R = eos 140o-cos70°+ 2cos55°cosl5° .
cos(55°+15°)+cos(55°-l5o)
2R =cosl40°-pos701í + £©870^ + eos 40°
2R = cos(180°- 40°) +eos40°
-eos40°
R = 0
Para la resolución de este problema se puede
utilizar otra manera.
Otro método
Se sabe
sen2a - s e n 2p = sen(a + P )se n (a -p ) ...(1)
a partir de la expresión
R = sen2350 -s e n 270° + cos550cosl5°
De (1)
R = sen(35°-70°)sen(35°+70°)+cos55°cos 15o
1 i
R=sen(-35°)senl05° +sen35°sen75°
R=-sen35°senl05°+sen35°sen75°
Factorizando sen 35°, se tiene
R = -sen35°(senl05°-sen75°); Recordar cos90°=0
R = -sen35°(2cos90°senl5°)
R = 0
Problema 17
Determine el valor de la siguiente expresión
E = 4sen6sen40sen60+ 2sen9, si 0 = -^-
30
Resolución
Factorizando la parte común 2sen8
E=2sen0(2sen60 sen 40 + 1)
Transformando de producto a suma
E=2sen0(cos 20 - eos 100 +1)
sustituyendo el valor de 0 = ^ = 6 °
E=2sen6°(cosl 2°-cos60°+1)
E=2sen60j^cosl2°+ij = ^senl6°p - 0y ° --- j
E=sen6°(2cos 12°+1)
recordar sen3x=senx(2cos2x+l)
luego E=senl8°
Problema 18
De la siguiente igualdad
4cosxcos3x+1 = senfo*^ ,
senx
¿Cuál es el valor de p?
Resolución
Multiplicando a ambos miembros por senx
2«2cosxsenx.cos3x + senx = sen(px)
sen2x
2sen2xcos3x +>ertx = sen(px)
senSx - senX
=>sen5x=sen(px) p = 5

Problema 19
Determine el valor de A+B en la igualdad siguiente
csc70°+csc50°+cscl0° = A cos40°-B
Resolución
Sea M =csc70°+csc50°+cscl0°
Transformando a senos
.. 1 l ' l
M= --------- h
-------------r ---------
sen 70° sen 50° sen 10°
Efectuando y multiplicando por 2
„ 2sen50°senl0'’+2sen70°senl0° +2sen70°sen50°
M—
------------------------------------------------------------
2sen 70’sen50°sen 10o
Trasformando a diferencias de cosenos
.. cos40°-£©s6Í° +f&s€0o- eos80°+co520°- eos120“
M=-------------------------:--*
--------------------------------
2sen70°sen50°sen10°
-coslOO3
cos40°-cos80° + cos20°-cosl20°
1
- x 4 x sen 10°sen(60° -1 0°)sen(60° + 10°)
^ sen30° ’
M=
2cos60°cos40e
cos40°+ eos 100°+cos20° 4—
________________________1
4
M=
cos40°+3 eos 40° + -
________ X 2
4
2 eos 40°+ -
M=------- j------2.
4
M=8cos40°+2
Reemplazando M
Acos40°-B=8cos40°+2
Comparando se obtiene A=8 : B =-2
A+B=6
Problema 20
Degrade 16sen5
x
Resolución
16sen5
+ = (2)2sen2
x.4sen3
x
Aplicando fas identidades de arco doble y triple
[2sen2x = l-c o s 2x
[4sen3x = 3senX - sen3x
luego
16sensx= 2(l - cos2x)(3semr-sen3x)
. 16sen'x = 6senr - 2sen3r - 3x 2cos2c sene + 2sen3r c o s í
s*n3x-senx sen5x+*enx
16sen5x=6serur-2sen3x-3sen3x+3seru-+sen5x+serur
16sen5x=10senx-5sen3x+sen5x
Problema 21
Si a€[85° ; 135°), calcule los valores de la
siguiente expresión
H = sen(a + 35°)cos(a + 5°)
Resolución
Multiplicando por 2, tenemos
2H = 2sen(oc +35°)cos(a +5°);
Transformando a suma
2H = sen(2a + 40°) +sen30°
2H = sení2a + 40°) +i
-deldato 85°<a<135°
multiplicando por (2) 170° < 2a <270°
sum ando40° 210°<2a +40°<310°
rep resen tan d o al intervalo de los arcos
(2 a + 40°) en la C.T.
371

entonces -1 < sen(2a + 40°)< - -
sumando
- - < sen(2a + 40°) + - < 0
2 2
2H
=> - - < H < 0
Problema 22
Halle el valor de 0 en el intervalo (180°; 270°)
tal que tan0 = ^ sec8O°- 2sen70°
Resolución
tanO = - x — í------2sen70°
2 cos80°
tan0 =
tan0 =
1- 2x 2cos80°sen70°
2eos80°
1- 2{sen 150° - sen 10°)
2eos80°
tan0 =
tan0 =
l - 2^ - s e n l 0°
2cos80°
2senl0° _
2cos80°”
j - j + 2senl0°
2cos8G°
En la circunferencia trigonométrica
=>0 = 45°+18O° 0 = 225°
Problema 23
Indique el valor de x en la siguiente igualdad
sen 50 4 . 2 c
-------- = x - 5x' + 5
sen0
Resolución ,
Sumemos 1 a cada miembro y operamos
sen50 +sen0 4 . , _ ,
----------------- = x - + 5 + 1
sene
en el primer miembro transformando a producto
2sen30cos20 , r 2 r ,
-----------------= x -5 x +5 + 1
sen0
¿serrí(2 co s2 0 + l)cos20 _ _
_
4 c _
_
2 , c , ,
—
—
—
—
—
——— ——
—— —
— _ ¡)X "
f*D 1
>enB
4cos220+2cos20 = x4- 5x2+ 5 +1
Expresando en términos de sén0
4(1 - 2sen20)2+ 2(1- 2sen20) = x 4- 5x2+ 6
16sen40-2O sen20 + 6 = x4- 5x;2+6
(2sen0)4- 5(2sen0)2+ 6 = x4- 5x2+ 6
de esta últim a igualdad identificam os que
x = 2sen0
Problema 24
En el gráfico se muestra una semicircunferencia
de centro O. Halle x en términos de a y b.
(a)
Resolución
Designamos al radio de la semicircunferencia
como r y a los ángulos iguales como a
Figura 5.31

En triángulo OHB
• a = rsen6a ... (1)
En triángulo OGC
.v = rsen4a ...(2)
En'triángulo OFD
b = rsen2 a ... (3)
Sumando (1) y (3)
a+b = r(sen6a+ sen2a)
expresando en producto al 2do. miembro
a+ b = 2rser.4acos2a ...(4)
dividiendo (2) y(3)
.v rsen4a „ „
— = f=2cos2a ...(a)
b rsen2u
reemplazando (3) y (5) en (4)
a+b = rsen4a.2cos2a
igualando cada factor a 0 tenemos
=(a+b)b
.-. X = N
/(a + b)b
Problema 25
Halle una relación entre a y p , tal que se verifique
la siguiente relación sena = cosP
Resolución
A partir de la condición
sena = cosP
pasando todo a un solo miembro
se n a -c o sp = 0
s e n a -s e n |^ --P J =0
2sen eos 0+1 f - l = 0
reduciendo
/
2sen
/
a + P -
7
1^
2
f a 7
1
a - P + -
l 2 l 2
= 0
a + P-
n v
= 0
o n
a + p - -
---------- ¿ = K n ;K eZ
¡O
de donde: a + P = (4K + l) - ;K eZ
« -P + + a -P + 5
— 2— r ° ^ — 2~ ^ =^2n+1^2 ;n e Z
de donde: a - P = (4n +l ) - ;n e Z
La relación entre Ay Bestará dada por
a + p = (4K +l)^ v a - p = (4n + l)^ ;n ;K e Z
Teniendo en cuenta este problema, podem os
concluir lo siguiente
si sen a = cosp = sa + p = (4K + l) -
v ci7-P = (4n + l)v n, Ke Z
luego podríam os resolver ciertas ecuaciones
como por ejemplo
a) sen7a = cos5a
1er. caso
i) 7a +5a = (4K + l ) í
12a = (4K + 1)
=>a = (4K + l ) ^ ; Ke Z
2do. caso
jj) 7 a - 5 a = (4n + l ) í
2a = (4n + l)
2
a =(4n + l) - ; n e Z
4
luego a = Í(4K + 1)— ;(4n + l) - ]
l 24 4 J
de igual forma lo invitamos a dem ostrar la
siguiente relación
(
a + P-
n N í r,
a~ P + -
si tana = cotp
2 eos 2 = 0 =>a + P = (2K + IH i Ke Z
l 2 V ^ J 2
. 373
=> sen

Prableina26
Calcule el valor de C = tan2—+ tan2— + tan2—
7 7 7
Resolución
Expresando en secantes y luego a cosenos C = sec2- -1 + sec2— -1 + sec2— -1
7 7 7
C = - i - + - V + - V - 3
eos - eos — cos¿---
7 7 7
efectuando
C =
22t
c 2 2^ 23x . 2re 22x
eos — eos — + eos -e o s — + cos —eos4—
7 7 7 7 7 7
2 rt 2 2ji 2 3n
eos -.e o s — eos —
H f )
^2C0S2y j +
í 2cos!? í W f ] '♦(
2COS2y y 2cos2~ 'j
^ 1 + c o s y j
,( n 2n 3n)2
4 e o s-,c o s— .eos—
l 7 7 7 )
^1+CO Syj +^l + C O S y y i + COSy J+ 1 + cos —
-y 1 cos
4n
Efectuando obtenemos
C
w
_ - J 2n 4n 6rr'j ( 2x 4n 4rt 6j
c 2n 6n'|
3 + 2 eos— +cos— + cos— + eos— eos— + cos— eos— + cos— eos—
_ i 7 7 7 j j 7 7 7 7 7 7 J
’ütüL
16
3+2|
C =
••• C = 21
Problema 27
16
„ 2it 4ji 4tt 6ji 2n 2n 6n 1
-3 eos— eos— + — .eos— + cos—
-eos— eos— = —
7 7 7 7 7 7 7 2
• _ 19
Demuestre que cos J ~ jg
Resolución
Designando S al primer miembro y desarrollando para K = 1,2,3,4.
S = cos4[ ^l+cos4| ^ |+cos4
í^ |+cos4í ^7 ]recordando la identidad 8cosV = 3+4cos2x+cos4x
9 ) ^9 J

luego
0 4 rt „ . 2n 4n
8cos - =3 + 4cos — + eos—
9 9 9
0 4 2n „ . 4n 8n
8cos — =3 + 4cos— + cos—
9 9 9
Q 4 3t
c 6n 12ti 12rc‘ 6n
8cos — = 3 + 4cos—- + cos— ;co s— = cos—
9 9 9 9 9
„ 4 4n „ . 8n 16t
e ' 16it 2n
8cos — = 3 + 4cos— + cos— ;cos— = eos—
9 9 9 9 9
CAPÍTULO V_____________________________________________________ Identidades trigonométricas
sumando miembro a miembro se obtiene
2n 4rr 6jt
eos— + cos — + cos — +cos
9 9 9
87t
9
+
1
5
4ji 8n 12rt 16n
eos— + eos— + eos— + eos—
9 9 9 9
-eos5ji -cos„ -eos3ji
-eos7it
oc 10 o í 3
1 3n 5n 7jt) . 19'
8S = 1 2 - 2 - e o s -+ eos— + eos— + cos— S = ^
j 9 9 9 9 J 16
f
2
Problema 28
Halle el equivalente de la expresión siguiente F = cos6a + cos6(1200+ a) + cos6(120°-a)
Resolución
Para ello partimos de la siguiente degradación 32cos60 = eos 60 +6eos 40 +15 eos 20 +10
Entonces
32cos6a=cos6a+6cos4a+15cosa+10... (/)
32eos6(120° +a) = cos(720¿+6a)+6cos(480° +4a) + 15cos(240° +2a) + 10 -0 0
32cos6(120°-a) = cos(720°-6a) +6cos(4800+4a) + 15cos(2400+2a) + 10 —OH)
Sumando miembro a miembro las tres últimas identidades obtenemos
32(F) = eos 6a + cos(720° + 6ci) +cos(720“ - 6a) +6|cos4a + cos(480° +4a) +eos(48CP - 4a)|+15fcos 2a + cos(240° +2a) +£08(240“ - 2a)| +30
' " 0 o ’
Reduciendo
32(F) = 3cos6a + 30 =>F =
Finalmente
3eos 6 a + 30
32
cos6a + cos6(120° + a) + cos6(l 20° - a) = S
— —30
32
375

E jercicios
I. Transforme cada suma o diferencia de los
ejercicios del 1 al 10, en producto.
1. sen9x + sen*
11.
2. cos7°-cos51°
12.
3. sen 14*-s e n 10* 13.
j
é ii n
eos— + eos-
16 8
14.
4.
15.
5. sen(50°+*)+ sen(*+ 20°)
16.
6. cos(45° - 3*)+cos(15°+3*)
7
1 í 7t „ 'i 17.
7. sen— sen — 2*
7 [7 j 18.
8. cosll°-sen 81°
19.
9. sen(30°+*)+cos*
20.
10. cos(10°+2*) - senfi*
II. Transforme cada producto de los ejercicios
del 11 al 20 en suma o diferencias.
-2sen27°senl°
eos 4a sen 5a
n 4it
sen—eos—
9 9
2
c
o
s
(f+
0
)c
o
s
(^-e
)
cos(it + 0 $ e n 0 i-l)
9 1
s e n -s e n -
4 4
R espuestas
1. 2sen5*cos4* 8. -2senl0°senl°
. 15.
1 o 1
- c o s 2 x - -
2. 2sen29°sen22° 9. V3cos(x - 30°)
16.
1 5n 73
- s e n —
----- —
3. 2cosl2*sen2* 10. 2cos(40°+2*)sen(40°-4*) 2 9 4
4.
_ 3n 7t
2cos—
-eos—
32 32
11. sen9* + sen5x
17. - 1 - sen20
5. 2sen(350+*)cosl50 12. -cosl8°+^cos(18°-2x)
2 2
18. ~ -se n 2
2
6. V3cos(15°-3x) 13. cos26° - cos28° 19.
1 0 1 |
- c o s 2 - -c o s
2 2 1
7. 2sen*cos^y-*j 1 « 1
1 4 , -sen 9 a + -se n a 20. - + cos2*
2
376

P jroblemas propuestos,
I. Si la siguiente igualdad
2 2 .2
---------- + ----------- = p+ q co rx
1+cosx secx-1
verifica una identidad, halle p+q.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 3csc —
O
Dé igualmente el valor de a+ b + c tál que se
cumple
3serur+2cosx . _ sec2x
-3cos3x-2sen4x+5(senx+cosx) a+btan2x+ctanx
B) 1
A) -1
D) 3
C) 2
E) 5
Simplifique la expresión siguiente
M =
3 - sec2x - csc2x
tan4x + cot2x
si x e IVC
A) -senx
D) -cscx
B) cosx C) secx
E)-tanx
6. Dado sen0cos0 =
1
calcule W =
A)
•sen40 + eos40
sen60 + cos60
7
B> 5
7
C ) 8
« I
7. Calcule el valor de sec4x - sec2x
a partir de tanr - tan2x = 1
A) 1 B) -1 C)0
1
D)
E) - 2
8. Si 0s IIC, reduzca la expresión
E = tan0
ícscOT
Vcsc0 -
cot 0 . „ jsec0 + tan0
cot0
-+ cot0.
V sec0-tan0
Halle a+ b + c de la siguiente identidad
senxcosx
senx+cosx - 1
« i
= asenx+bcosx+c
B) 1
D
)f
1+sent „
Si se tie n e -------— = ¿
cost
halle el valor de cosf
C) 2
E) 3
a) T5
O
f
—s
C
Q
« I
4 3
° > 5 E ) 8
A) sec0 + csc0
B) csc0 -sec0
C) sec0 -csc0
D) sec0+tan0
E) csc0 + cot0
9. S iendo 0 u n ángulo agudo, se tiene la
siguiente igualdad
1 - C O S 0
sen0 + -
sen0cos0
Halle a en función de 0
= (a~ - a +(a~2- 1)1' 2) '1+a
A )sen 0
D) cot 0
B) eos 0 C) tan 0
E) sec 0
377

Lumbreras Editores
10. Si se cumple sen30 - eos5 0
obtenga w = tan'°0 + 2 tan8
= 0
0 + tan6 0
1 1
A) ^ B) 2 C)1
D) 2 E) 4
1 1 . Ccilcule tanx +cotx
si senx +cosx = senx cosx
A) -1 + V2 B) -~y¡2
D) 2 + V2
c) - 2 +V2
E) 2s¡2
T rigonometría
14. Halle el valor de cot0 - tan0 si se cumple
sec40 +esc40 - 2 sec20 - 2 csc2 0 = 2
%
A) V2 B) -y¡2
C) ±¡2
D) 1-V2 E) ±VV6 -2
15. Siendo asenx + bcosx = c
ademáis, (a+ b + c)(a + b - c) = 2ab
a 3 b3
halle el valor de la expresión ------ + -------
senx cosx
12. De la figura adjunta, halle tanx.
Datos: AB=2, BC=3, m<ABC=20
además: BD es bisectriz.
A) tan0
3 ) tanO + secO
2
C) 3tan9
qj cot0 +esc 0
2
JE) 5tan0
13. Siendo x un arco com prendido en el
intervalo
5rt _ Sít
T ’ T
, reduzca
T = senx + , 1+
2(tanx - senx)
tan2* - secx +1
A)senx
C) 2senx+cosx
D) -senx
B) cosx
E) - cosx
A) a3 • B) b3 C) a2b2
D) c3 E) abe
16. Dada la condición: llsenx+60cosx= -6 1 ;
además x es un arco del tercer cuadrante,
calcule esex +cotx.
A) 1 B) -1 C) - j j
71 11
60 E’) 60
'1 7 . Del gráfico siguiente
, 3
A) 1 B) 2 C) g
D ) i E) i

18. Halle una relación entre m yn, independiente
de x, según las condiciones:
vtanx - Vcotx = m - (0
serucosx= n... (//)
A) n2m + 2m = 1 B) fn2n2+2m = 1
C) m 2n2+2n =1
D) m2n+2n = 1 E) m2- n2=m n
19. Si x - y = — , elimine las variables jr e y d e
B )q2- p 2 = 1
E) p2- q2 = 2pq
20. Elimine la variable e a partir de
sece + tane = a ... ((3)
VsecQ + VtanO = b ... (<p)
A) a4b2+ 1 = 2b2a3 B) a2b4+ 1 = 2b2a3
C) 2ba2 = a2b3+ í
D) b2a3+ 1=2a2b3 E)a2b4+ l= 2 b 3a2
21. Si se cumple:
m 3serur - n3cosx = sen-^ ...(1)
m 3cscx - n3secx = cos2rr ...(2)
halle una expresióp independiente de x.
A ) (m2- n 2)(m4+n4) = 1
B) (m2+n2) (m4- n4) = 1
C) (m2+n2)2(m3+n3) = 1
D) (m2- n2)2(m3- n3) = 1
E) (m2+n2Xm2-n 2)2 =1
serur
coty
cosx
tany
= p - 0 )
= q ... (ii)
A) p2- q2 = 1
C ) p2+q2 = l
D) p2+ q2 = 2pq
22. De las expresiones
exsecO + versO = a ...(a)
vers9.sec 0 +1 = b ...(v)
elimine 6
A) b2 = 1 - ab B) b2 = 1+ab
C) a 2 = 1+ab
D) a2 = 1 - ab E)b2 = l+ 2 a b
23. Si sen3
x+seru-= 1, calcule el valor de
csc5
x - cot2
x - csc4
x
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) -1
24. Dada la igualdad cosjr=cotr-2serur
reduzca M = C
S
^ ~ 4seC^
5 -2 cscx
A) cscx B) sen* C) 1
D) - secx E) -1
25. Si se verifica (cosx+secx)2=2+3cosxr
halle el valor de P=27sen2
x+sec7
x+cos5
x
A) 7 B) 18 C) 9
D) 15 ' E) 12
26. Si a = l+ s e n 2
x y b = ]+ co s2
x
calcule
M , 2(a3+b3) + 9b2
l + COS4X
A) 20 B) 24 C) 27
D) 29 E) 31
27. Si (versx)2 f (covx)2 _ í i [ H .
a b [ a b j
halle
k=(2exsecx)(atamr+b)+2atanx+btan2
x
en términos de a y b.
A ) - a - 2 b B) a+2b C )a-2b
D) 2b - a E) a-b
379

Lumbreras Editores
Halle senA, si se cumple
cosA=tanB
cosB=tanC
cosC=tanA
A, Í M B) - < - M c, *('«-')
2 4 4
(75 + 1)
E) ± v ’
2
29. Halle el valor de
y=(tanx-l)(tan2
x-tanx+l)
a partir de la siguiente condición
cosx+senxco&r-l =0
A) -4 B )-2 C)0
D) 1 E) 2
30. Reduzca
l _ 6 4 c o s 7x - 1 1 2 c o s 5x + 6 0 c o s 3jc - 1 0 c o s x
eos 2*eos5x
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
31. En la siguiente figura, calcule tan0
Trigonom etría
32. Del gráfico mostrado, calcule tan 0.
33. Del siguiente gráfico, calcule cot0.
D) 8 E) 9
18 19.
D ) 13 E ) 13
34. A partir de la figura adjunta, obtenga el valor
de tan 0.
« 1
00
«Tísi
C)
O
H
w
i
1
E)
380
I
t
o
l
’H
col

n'afcAPlTULO V Identidades trigonométricas
Sabiendo que la distancia entre My P es 1,5jJ ,
calcule c o s (a -0).
D) - 4 E ) - 2
En los problemas 36, 37 y 38, determine el valor
deO.
36. V2sen2H+cos47° = cosG ; si: 0<6<90°
A) 4C° B) 41° C)42°
D) 43° E) 44°
37. cosl°-2sen31° = /3sen0 ; si:-9O°<0< O
B )-l°
A )-2 o
D )-5°
0 - 3 °
E) -7°
38. (cos9° - sen9°)(cos9°+sen9°) 1 = tan 0
0 : agudo
B) 32° C) 34°
A) 30°
D) 36°
39. Si cos(2y+x) = 3cósx
calcule cot(x+y)
E) 38°
tany
A )- 4
D) -1
B) -3 C )-2
E)1
40. Simplifique la expresión
sen(A+B)tan(A-B)
cos2A- cos2B
A) sen(A-B) B) cos(A-B) C) tan(A-B)
D) -sec(A-B) E)-csc(A -B )
41. Calcule el valor de A =
1
tan 14°
A)
8
tan52° - tan38°
1 -
D )i
C> 4
E) 1
42. Luego de simplificar la siguiente expresión
... cos(A+B) + sen(A - B)
w — -------------------------------- —
—
(cosA+senA)(cosB - senB)
se obtendrá el valor de
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 6
43. Si tan4x = 0,1, determine el valor de
N = 1 1
A) 6
D) 12
tan3x + tanx cot3x + cotr
B) 8 C) 10
E) 14
44. Si a - p = — , obtenga el valor de
N=(senot + cosa)(senp + cosP) - sen (a + 3)
«i
D)
-s/ G — -s/2
E)
•J6 + V2
45. Calcule el valor de cot| — +x ¡sabiendo que
V3tan[ - x ]—6 = 0
5n
A)
D)
S
9
5v/3
B)
2V3
C)
4v/3
9
E) S
381

46. Si ABCD es un cuadrado, además,
BC=4BP y CM= MD, entonces el valor de tarur
es
D)
24
E)
1_
16
]_
26
47. Si ABCD es un cuadrado, donde
MN = ND
3 2
calcule Ihanx
AM =
« i « 1
2 2
° > 5 E ) 3
48. Del gráfico, ¿cuál es el valor de la cotx?
A)
D)
72
3
7 f
9
B)
73
C)
73
7
E) 373
49. Si ABCD es un cuadrado, halle el máximo
valor de tan9.
D) E) 1
50. Del siguiente gráfico, halle el valor de
sec2a+ csc2a.
A)
D)
4225
64
445
8
B)
4235
64
C)
E)
435
7
25
382

51. A partir de un triángulo ABC, obtenga K.
- K =
cosA cosB cosC
-+ ----- :------- +-
senBsenC senAsenC senAsenB
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
52. En un triángulo ABC se cumple
tanA + tanB - tanC = 0
Determine el valor de tanA.tanB
A) 1
D) 6
B) 2 C) 4
E) 8
53. Six+y+z = 2 jt
además, cosx = - cosycosz
¿A qué es igual cotycotz?
A)
1
6
D) 1.
B)
1
O 2
E) 2
54. Sabiendo que: tan(a + 6) - Ktan(0 - a) = 0
sen20
calcule
sen2ot
K+l
A) y
D , f
B)
K-l
C)
K+l
K-l
E) K + l
55. Simplifique la siguiente expresión
E =
3cos22 0 -sen 220
sen(6O°+20)sen(6O° - 20)
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
56. Simplifique
(tan 3x - tan 2x )(1+ tan2x tan x )
K = -
l + tan3xtan2x
A) tanxsecx B) tanxsec2x C) cotxsecx
D) cotxsec2x E) tanxcosx
57. Si —< a < —y — < 6 < tí, reduzca la
4 2 4
A_ coáaeos(3(tanP+tana)
Pi — i
-------------------- ~
i/l-cos2(a+P)
A) -2 B) -1 C) 1
D )2 E )3
58. Del cuadrado ABCD m ostrado, obtenga
7 ta n x + l, sabiendo que P es pu n to de
tangencia y O: centro.
59. Si x e R , calcule el mínimo valor de
W = sen(senx) - V3 cos(senx)
•m
A) 2sen^l -
B) senl
C ) sen2 ^
D) 2senj^2-íj
E) -2
383

Lumbreras.Editores T rigonometría
60. Siendo A, B y C ángulos internos de un
triángulo ABC se cumple
tanA(tanB-n)+tanB(tanC-n)+tanC(tanA-n) =0
determine el equivalente de
M = csc2A + csc2B + csc2C
A) n2-1
D) n2+2
B) n2 , C) n2+ 1
E)ji2+3
61. Del gráfico adjunto'¿cuál es el valor mínimo
de tan 0 ?
A) S B) 2¡2 C) 3^3
D) 473 E) 573
62. Si a + p + 0 = 0 , obtenga el valor de P siendo
P = cos2a + eos2P+ eos20 - 2cosa eos p cos0
B) 2
A) 1
D) 4
C) 3
E) 5
63. Elgráfico muestra un triángulo ABC isósceles.
Calcule
R = tan] - + a |tan|
H
A) 6 B) C)
6
E ) T
64. Si 15senx - 8cosx = M, calcule el máximo
56ji 3737t
valor de M, además x e
(considerar cot ^ = 4)
45 ’ 180
A) 17(V6->/8).
7 2 -7 6
B) 7 6 -7 8
C)
D) 17
4
í 7 6 -7 2
. 4
E) 17
72 - 7 6 )
65. Calcule
E = (tan3a - tan30)/tan30tan3a
siendo
tan2
0+tah2
a=3t£in20tan2
a+ 8tan6tana+ 3
A) -1
D) 2
B) 0 C)1
E) 72
66. Si se verifica la igualdad
0 0 0
2csc -+ 4 cot - = 7tan -
2 4 4
■ i d . f 5Jt+0)
calcule P=cot —
— •
j + tan —-—
A) 21 B) 22
D) 1073-1
C) 11
E) 1CK/3+1
67. Si tanxtany= -J2 -1
reduzca E=l+ tan2(x+y).tan2(x-_y)
tanx | tany )
A) 1
D) 1/3
tany tanx
B) 2 0 1 /2
E) 1/4

68. Siendo
C= cos8°sec363sec46°
V=tan28°(24tan46°-tan36°)
Calcule 7C+V
A) 8
D) 13
B) 25,5 C) 25
E) 24
69. Sabiendo que:
a + p + 8 = ;t; cosa = cosPcos8
calcule el valor de
E = sen(a - P)secasecf5 + tan(a+p)
A) -1
D) ±1
B) 0 C)1
E) 2
70. En un triángulo ABC, se trazan las medianas
AP; BN y CM; siendo G baricentro de dicho
triángulo, se tiene que m<MGA=a,
m<CGN=0 y m<PGB=P . Determine el
equivalente de cotA+cotB+cotG.
A) tanatanptanS
B) cota + cotp + cote
C) tana + cotp + tan0
D) cota + tanp + cote
E) cotcccotpcot 8
71. En un triángulo ABC, se cumple -
cot(A+B)+cot(B+C)+cot(C+A)= - ^
determine tanAtanB+tanBtanC+tanAtanC
A) 6
D) 15
B) 9 C) 12
E) 18
72. Si (tan24a - tan2a) f -- = Asec2asen3a
1+tan24a
73. Se tienen x,yx proporcionales a tan(9 + a ) ;
tan(6 + P) ;tan(0+Y), respectivamente.
sen2( P l i
sen2(y- a)
E= X+y lsen 2(a~P) +
' y + z '
[ x - y j l y ~ z I
A )-2
D) 1
B) -1 C)0
E) 2
Del 74 al 78 verifique cada una de las siguientes
identidades:
74. sen(1800+x)cos(90°+x)+sen(270°+x)(-cosx) = 1
7g sen(270o+x)tan(90o+x) _
cos(x - 180°)cot(360° - x ) ~
76. sec(x-l 80°)csc(540°+x) = tanx+cotx
77.. senjx - ^jsen(x -3rc)-cosjx - ^ jco s(x -!Oit)=sen2x
78. tan] x - ^ jsen(x-13ji)-2cot(nji-x)cos^x-i^j=
3cosx; ne Z
79. Calcule el valor de la expresión
2sen| ~ - 0 |cos(57t-6)
E =
af»7* ,
tan^— +6
calcule A.
2
1
B 2
1
C> 3
A ) l B ) l
D) 1 E) 2
D ) f « - !
385

80. Si Ay B son ángulos suplementarios, reduzca
' la siguiente expresión
M_ sen(A+2B)+cos(2A+B)
" cos(360°-A)+cos(270°+ B)
A) -1 B) 1 C) 2
D) 0 E) -2
13it
81. Si x -y = — , calcule el valor de
y 2
E = sen(y -x)+ sec(tany) - sec(cotx)
A)-2 B) -1 C)0
D) 1 E) 2
82. Calcule P
para a = 120°, si
p_ sen(180°-t-a)cos(a-900)tan(12600+ a)
cos(270° - a)sen (a - 540°)tan(450°+a)
_sen(210°-x)+ cos(300°-x)+ tan(330° +x)
csc(x-120°)cos(240°+x)
K = -
A) -1 B) -2 C) -tanx
D) -cotx E) -2senx
Si 6e (n ; 2t
ü
) ,
además se cumple
ta n ^ ^ ^ + 0j = cot0
-
halle el valor de
sccH )
A) V2 B) _V2 C) 2
E) -2
A) -3 B) 0 C) 3
D) 5 E) 7
cos(43n+0)cos(6- 58)t)+cosj
K ? * * '
cot(6-157t)cot
( f - s)1
A) -1/2 B) -1 C) 1/2
D) 1 E )2
87. Reduzca la siguiente expresión
4an(rt - b)sen|
M— ( H . “ ( ‘ - I H M
cos(3n+a)colj
J cos(Tt+c).tan(7n+a)
A) 2 B) 1 C)-1
’D) 0 E) -2
88. Siendo
x - y = 2n; n e Z
sen(-21ji+ 0)tan( 102n + 0) sec(l 00ln - 0)
R = -
COS;
-17n
+0 COt(e-f) ( 999?t J
csc^— + 0j
A) 3 B) 2 C)1
D)-2 E) -3
reduzca la siguiente expresión
M = senTUf - sermy+sen7t(x - y)
A) 0 B) 1 C) sen*
D) seny E) 2senx

v r
89. Del gráfico mostrado, halle — en términos de
0.
A) l+tan0
B) sen0cos0
C) l + cos0
D) l-co s0
E) l + sen0
90. Del gráficOj calcule
_ V3tana + 1
V3 -tan p
siendo ABCD un cuadrado.
A) -1 B) 1
C) 3
D) V3 E) -2
sen(210o- x )+tan(330°+x) - cot(300°- x)
M =
A ) 4
C
) í
D) -1
cos(240°+x)
B)-j3
E) 1
92. Reduzca la expresión siguiente
tan1994° - cot824°
M =
A) 1/3
C) 5/2
D) 2/3
2cot76° - tan(-14°)
B) 2/5
E) 2
93. Siendo Ay B ángulos complementarios, halle
el equivalente de la expresión
_ cos(3B+5A)cot(4B+2A)
Y A + 3 B V .JB -A
2cot
2 )
A) cos(A+B)
C) - cos(45°+A)
D) sen(45°+A)
eos
B) 2cos(45° - A)
E) l/2sen(45°+B)
94. Reduzca
P=-
í 33n
C° 14
donde n e Z
A) -
D)
2V5
5
2V5
;0
cov (20k + 3 ) ^
vers (5 k -4 )í
2V5 J
B) 0 C) <
T í
ín VS
E) 10 : t |
387

95. Si los ángulos internos de un triángulo ABC
están en progresión aritmética (A<B<C>,
reduzca
sen(A+2C+3B) ^ cos(B+2A+3C)
sen(B - C)
A) senC
C) sen(B -C )
D) 1
cos(B - C)
B) cosB
E) 0
98. Si
x - y =nm ; m e Z
z - w =nn ; n e Z
reduzca ^ cos(y+u;) - cos(x + z)
cos(y + z)
A )(-l)ra+ (-l)n
C) (-1)M -D m
D) (-l)n+m
B) (-l)m
-(-D n
E) 0
96. De la figura OA = O'A = O ' B. Halle
K = sen(2a~P) + sénP
° ) ~2
97. Reduzca
E)1
sen[(n + l>t+x co s[(n -l> r-x ]
tan (n + l)5 + x cot ( n - l ) f - x
Log;
sabiendo que x es ángulo agudo y además
se cumple
-sen x - eos
11571
= 0 ; n e Z
99. Halle
k=
sen3( 0-15^ J-cos3í -0-233^
sen(6l7r-0) + sen| 3 3 - + 0
si sen0= - - ; 0 e IIIC
A)
4->/3
B)
4-V 3
f| n - - x
A) tanj x + arctan—
B) tan| x -a rc ta n -
C)
a - b
a+b
3 3 3 , 3
A) j B) 2
o — ó -
w 2 2 D) ±tan|
D> 1
e) 4
E) —- r
a - b
X-+Í
C)
V 3 + 4
» 4
100_Si f(x)=aversx-bcovx+b-a,
halle
f(nn-x) ; n impar
2 - x l
E)1
388

101.Halle el valor de la siguiente expresión
sen[ k jt- — tan (2k + l ) 5 _ í
1 6 2 6
cosí k rr+ - cot ( 2 k - » í + f
l 6 J 2 6J
donde k=0 ; ± 1 ; ± 2 ...
B) - S O S
E) 2
102.Si se cumple
cosa + sen721°<0
se n a -e o s 423° > 0
halle los valores de a , si a g <90°; 180°>
A) <91°; 153°> B) <92°; 150°>
C) <91°; 150°>
D) <93° ; 153°> E) <91°; 143°>
103.Halle el equivalente de
tan^y ]+tan|^^ j +ta n |^ j+ ... (8 términos)
cos^ y j +cosj^?y j +cosj^~ j+ ... (5 términos)
A) 1 . B ) t a n ^ j
D) -1
104.SÍ a + b = kn ; k e Z
calcule el valor de
M= tan(a+m ) tan(b+n)-tan(a-n)tan(b-m )
A) 1 B) -1 C) 1/2
D) 0 E) 2
C)
E) senj^yj
* r
D) -
s
105.Simplifique
P=4(sen4
A-sen4B+sen2B-sen2
A)+cos4B-cos22A
A) cos22B B) -sen22B C) -tan22B
D) sec22A E) tan22A
106.Calcule el valor de
M =
tanl°
A) 1/6
D) 1/56
(1 -ta n 2l°)(l -ta n 22°)(l - ta n 24°)
B) 1/58 C) 1/57
E) 56
107.Simplifique E=V (l-tan23)(cot23 -1 )
B) tan6
A) 2cot6
D) 3senl2
C )sec6
E) -2cot6
108.SÍ 0<jr<7t/4 , entonces reduzca la siguiente
expresión
Y =
1+sen
( n ) ftc )
U U
l-sen
sen
3)i x
T + 2
A) 2V2 B) - 2V2 C) 1
D )3 E )2
109.Halle la variación de la siguiente expresión:
Y _ sen2x-tanx | l-co s2 x
1- cos2x sen2x - tarur
A) R ' =B) (— ; 2)
C ) R - -1 ; 1
D) R - (-2 ; 2) E )(-oc;_ i)u ( 2 ;+ o
c
)
110.Sitan29=-, calcule
4
M = 15sec40+8csc49
B) 26
A) 34
D) 30
C) 28
E) 32
lan234°+tan256° - 2
Q =
A) 3
D) -3
tan222°
B) 4 C) -4
E) 1
389

I------2
112.SÍ tan 2x = 2flX|i ,halle senx en términos
118.Dada la relación
de n.
A )-n
. 1- 2n2
B)n
W sin2 -1
113.Reduzca
,, sec2x sec3x 8tanx
H = --------+ --------------------
sec2x sec3x tan2x
A) -5 B) -2
D) 4
C) 2n
E)
C) 3
E) 5
114.SÍ secx - cscx = a, halle Ken términos de a,
si K = a2cos4x - 8sen2x
A) 16- a 2
D) 11+a2
B) a2+16 C) a2- 8
E)2a2+1
(1- K)tan2^ = (1+ K)tan2~
calcule ,
T = (l+Kcosa)(l -K cosb)+K 2
A) 0
D) 3
B) 1
119.Halle el máximo valor de
t x - x
cot — tan —
2 2
C) 2
E) 4
A = sen
. x . x
c o t- + ta n -
2 2
+cos(cosx)
A) Amáx = ^¡2
B) Amáx = 2
C) Amáx = ~
D) Amáx = y¡2 + V3
E) Amáx = 1
115.Halle los valores de la siguiente expresión
P = cosx.cot—-2cosx.cos2í cotx
2 2
A) [-1 ; 1/2]
o ( - 5 : 1
ii . 2
2 ’ 2
D)
116.Reduzca
Q = ' / r
B) [ - 1/2 ; 0)
E) <0; 1)
1 f n ñ
- + - C O S —
2 V2 2 50
A) -sen t
c
/ 100
C) sen n/100
D) -eo s 200/n
B) sen 7t/400
E) eos 7t/200
120-Si cos(2r,) - cos(2x2) = a
cosíGix:,) - cos(6x2) = b
halle
R = cos(4x,)+cos(4x2)+2cos(2X|)cos(2x2)
a+3b b - 3 a
A) 4 B) 4b O 4a
b - a a + b
D) 2a
E)
4b
121^i la siguiente igualdad
8 8 A + Bcos4x + Ccos8x
sen x +cos x = -
D
es una identidad; calcule el valor de
A+B+C+D
A) 64
D) 100
B) 128 C)32
E)1
117.CaIcule T+A (sin calculadora)
T=cot285°+ cot25°+ tan240°
A=tan250°-4tan280°- 4tan210°
A) 1
D) 4
B) 2 Q 3
E) 5
122.Simplifique la siguiente expresión
M = 3tan220.tan6e + 3tan20-tan320
A) 2tan30
D) tan230
B) tan 60 O 3tan230
E) 3tan30

123.Calcule el mínimo valor de
Y = csc3
xsen3x - sec3
x.cos3x
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
124.Calcule
A = cot70°(3cos20° - 2sen20°cos50°)
127.Reduzca la siguiente expresión
tan x sec 2x - esc 2x + cot 2x
V = ----------------------------------------------------------
ia n 2 x -ta n x
A) 2sen2
x B) 2senx C) 2cos2
x
D) tan2x E) tanxsenx
128.Si n e Z+ , calcule la sum a del máximo y
mínimo valor de la expresión siguiente
A) 1 B) $¡3 c ) S R = V (sen2
' x + eos2' x)
, sÍ3 &
1-2
° ) t e) t
A) n+n-1 B) n -2 '-1 C)n+12H
J
D)n-2-" E) n+3-22-"
125.En el gráfico mostrado AB=BC y NB//CT.
Itana cota I
Calcule M = ^ + ^ + 2
P
D) 2 E ) 2
126'.Si se verifica
cosa = eos (3eos ó = eos yeos 9 .... (1)
„ 6 e
sen a = 2 se n ^ s e n - ...(2)
determine el valor de
tan2^ cot2&cot2i
2 2 2 .
A) 1
D) 16
B) 2 C)4
® 4
129.SÍ
V2 +V2 W 2 sen x - ¡2-¡2 +-V2 cosx = sec
halle
k=cotx-tanx
A) sÍ2 + B) 2(72+1) C) J 2 -1
D) 2(V2-1) E) V2 + 2
130.Calcule el valor de E
E_ vers2x | vers22x | vers23x | + vers2"x
sen3x sen32x sen322x sen32"‘lx
A) 2 ^ c o t^ -c o t2 n*'x
B) 2j tan —+ tan2"x
C) 2j cot—+ cot2""'x
D) c o t- + cot-2nx
E) | í t a n | + cot2"-'x
391
v
í
a

A) 1 B) -1 C) 2
D) -2 E) 1/2
Determine z
A) cosa+cosb+cose
B ) sena+senb+senc ,
C) 2(cosa+cosb+Cosc) '
D) 2(sena+senb+senc)
E) sen2a+sen2b+sen2c
135.SÍ A= 1+ tan0 ; B=sen2x+cos2x; C=cos2
x,
halle los valores que puede tomar
tan2
0+2tan0 ; si A=B+C.
A)
“0 .5+VÍ3
’ 2 B)
" 5+V13'
’ 2
C)
L 2J
D)
H
E)
’ , 5 + V l3
2 /
132.Dado sen40=n ; n e í 0 ; - ) , ¿cuál será el
2 /
producto de valores de tan0 ?
A) -1 B) 1 C)0
D ) | E) 2
136.Exprese como producto
1. 1- cos2 - cos4+cos6
A) 4cos3sen2cosl
B) 4sen3cos2cosl
C) - 4cds3sen2cosl
D) - 4cos3sen2senl
E) - 4cos3cos2cosl
133.De la ecuación 11. sen2-sen4+sen6
tan^x+^ j = 3tan3x
x,, x2, x3, x 4 representan sus soluciones,
entonces el valor de
tan2x|+ tan2x2+ tan2x3+ tan2x4 es
A) 4sen4cos3secl
B) sen4cos3secl
C) sen4cos3cosl
D) cos4cos3cosl
E) sen4sen3cosl
A) 2/3
° > 3
B) 1/3 C) 2
E) 4
134.Del sistema de ecuaciones:
xsena+ysen2a+2sen3a=sen4a
xsenb+>sen2b+zsen3b= sen4b
xsenc+ysen2c +zsen3c= sen4c
137.1ndique el valor de
(cosx+cosüx)(cos4x+cos6x)
M =
%
/2eos x eos 2x eos 5x
Cuando x= —
A) 2
D) 5
B) 3 C) 4
E) 6
392

138.Siendo
cos4.r = -p -
exprese en términos de p lo siguiente:
I4 3 .S1 CQS^X P , obtenga eí valor de
términos de p.
tanx
_ sen3x-sen5x-2senx
4senx i+ p
A )T IÍ
1-p
B> T+p O
1—
2p
1+ p
1+p 1- p
A) / B) 2P
i - p
D) l + 2p
E)
l-2 p
l + 2p
en
C)
D)
P - 1
2
-0 + p )
E)
1+P.
139. Exprese como un monomio
K = n
/3 csc20°-2
A) cos40° B) 4sen40°
C) 4sen70°
D) 3cos40° E) 4cos40°
140. En la siguiente igualdad
4(cos2v+cos6x)(cos6x+cos&x)=l +
sen(Ax)
senx
¿cuál es el valor de A para que sea una
identidad?
A) 13
D) 16
B) 14 , C) 15
E) 17
141.Halle los valores de
sen5x+sen3x
f = V * s ( - ;.Jt
2sehxcosx(cos2x - sen2x)
A) (-4 ; 0)—
{—
2 V2 }
B) (-4 ; 0)-(-|V 2}
C) {-2V2 ; 0)
D) (-4 ; -2%/2>
E ) - 4 ;0 ) - { ^ } ,
142.Transforme a producto E = cos23° - sen22°
A) cos5°cos2° B) cos5°cos3°
C) cos5°cosl°
D) sen5°cosl° E) sen5°senl°
144.En la siguiente igualdad
sen(cot5)+sen(tan5) = 2senAcosB,
determine el valor de A/B.
A) esc10
C) sec?0
D) sec20+1
B) csc80
E)seclO
145.Simplifique la siguiente expresión
cos3A+sen5Asenx - Cos7A
M =
A) tan5A
D) cot3A
sen3A+cos5Asenx -sen7A
B) cot5A C) tan3A
E) sen5A
146.Determine el valor de
E = 1+2senl6°+4cos23°sen7°
A) 2
D) 4
B) 3
147.Halle el mínimo valor de
e 2e
1- + C0S -
4 2
B) -1
. 30 e 20
A = sen— s e n - + cos -
4
A )-2
D) 1
C) 4
V0e R
C) 0
E) 2
148.Sabiendo que tan40 = Ktan30; (K*l)
calcule en términos de Kla expresión:
M= eos 20 + eos 40 + eos 60
A)
D)
1
K - l -
K + l
B)
1
K+ l
C)
E)
K+ l
2
K-1
393

149.Cakule la suma del máximo y mínimo valor
de la siguiente expresión:
W = sen^2x - ^ js e n ^ ^ + 2x
AJO
B) o !
E ) I
150.Determine el intervalo de Mdefinido como
M = cos2xcosx —
—
eos x
2
paira todo xa
* ‘ -5 =5
« ‘4 =5
n . 2n
3 ’ T .
2 |
'4 ’ 2
B)
E ) ( - - ; 0
151.Si en un triángulo ABC se cumple
tanB= cos(Br .C). .
senA + sen(C -B )
¿Cuál es la medida del ángulo A?
153.En qué tipo de triángulo ABC se cumple
'A 'j _ -senA
2 j senBsenC
2tañí
A) Rectángulo isósceles
B) Rectángulo
C) Isósceles
B) Acutángulo
E) Obtusángulo
154.SÍ A+B+C = 7
i , simplifique
L =
senAsec A/2 + (senB+senC)tan(A/2)
A) cot|
C) cot
D) cot
B -C
2
B -C
4
B + C
senB - senC
B) cot
E) cot
B -C
B + C
155.Dado x+y+z= n , adem ás
4sen2
x = cosy + co&z
y z
entonces el valor de tan 4 tan—
A)
C)
D)
3+4cosx
5+4cosx '
4 + 3cosx
4+5cosx
4 - 3cosx
5 + 4cosx
2 2
3 - 4cosx
B)
5+4cosx
E)
4 - 3cosx
4 - 5cosx
A) 45°
D) 90°
B) 60° C)75°
E) 105°
152.Halle el valor de la siguiente expresión
3sen—- 2 eos—sen —
R_ 9 9 9
156.Determine el mínimo valor de
_ 2 A 2B 2^
R = sen' —+ sen —+ sen —
2 % 2
Si A,B y C son las medidas de los ángulos
internos de un triángulo ABC.
. n
ta n -
9 3 1
• - . A) g B)
8
« i
1
B) 2
1
- 0 - 4
C) -1
B ) - [
3 3
E)
5
° ) 4 4

157.En un triángulo ABC, halle la expresión L en
términos de B:
L =
-
fcosA+cosB+cosC - 1],
( ¿os1
m l~
s
e
n
f ('
A) 64X3- 112*2- 56x - 7*=.0
B) 64r5+112x2-5 6 * -7 = 0
C) 6 4 ^ -1 1 2 ^ + 5 6 * -7 = 0
D) 64**- 112*2 + 56*+7 = 0
E) 64*3- 112x2 + 56*-17 = 0
B B
A) -2 s e n - B )4sen-
. B
C) 4cos —
B B
D) 2sen— E) s e n -
158.SÍ en un triángulo ABC se cumple
sen2A+sen2B+ sen2C< 4cosAcosBsenC ...(I)
sen2A+sen2B+ -J3 cos(2B+C) = 0 ...(II)
entonces la medida del ángulo C es
A) 60° B) 90°
C ) 120°
D) 150° E) 160°
162.Halle PD en el gráfico adjunto, si PC = 4
B
A) 4tanxtan2xtan4x
B) 4tarurcot2xtan4x
C) 4tan2xtan4xcotx
D) 4tan2xcot4xcotx
E) 4cot2*cot4xcot*
159.SÍ x - y+ z = 360° exprese en producto la
sen2x - sen2y+sen2z
A) 2senxsenysenz
B) -2serursenysenz
C) -4senxsenysenz
D) 4serursenysenz
E) senxsenysenz
163.SÍ A,B,C y D son ángulos de un cuadrilátero,
sim plifique y exprese en producto lo
siguiente:
tanA-t-tanB+tanC+tanD
cotA+cotB+ cotC+ cotD
A) cotAcotBcotCcotD
B) tanAtanBtanCtanD
C) tanAtanBcotCcotD
D) cotAcotBtanCtanD
E) 2cotAcotBcotCcotD
160.Simplifique:
sen — + 2sen — + 3sen
13 13
3n
13 +
l2lt
... + 12sen—
13
A) 13cot(rt/26) B) 13/2
C) 13tan(7t/26)%
D) — tan(n/26)
4 E) ■yCot(n/26)
161.Halle la ecuación cuyas raíces sean:
2n 22n
sen — , sen —
23n
sen —
164.Reduzca la sumatoria
T = senx-sen2x+sen3*-sen4x +... + sennxy
(n: impar)
A) 2sen— cscxcos— sen(n +1)—
1 .2 2 2
B) 2cos— cscxcos— sen(n + l)—
1 2 2 2
x nx x
C) 2tan— c s c jc c o s — sen(n + l)—
. 2 2 2
, „ x nx , n x
D) 2 se n - cscxsen— sen(n + l ) -
X m f X
E) 2sen— secxsen— sen(n + l) —
J 2 2 2'
395

165:Halle la suma (fe diagonales trazadas desde
un mismo vértice de un polígono regular de n
lados, inscritos en una circunferencia de radio r.
Halle el valor de la expresión
cos(3 +2V2sen¡3
cos(a-2(j)
•A) 2rsen
B) rsen
C) 2rsen
(n -3 )
(n -2 )
n
2n
ji
2n
( n - 3)é
csc-
71
' 2n
n
2n
sec-
2n
A) 1 B) | C) 2
D
) 1
E) 3
168.La siguiente sumatoria
S = lsenx!+senx+lcos2x!+cos2x+lsen3xl +
D) reos
E) 2rsen
(n " 3)¿ .
csc-
(n -4 )
2n
csc-
2n
ir
’ 2n
166.Transforme a producto la siguiente expresión
senA+ senB+senC+ seriD
siendo A,B,C y D ángulos de un cuadrilátero
inscriptible; adem ás A y B son ángulos
opuestos.
A) 4sen[ ^
x f A - B
' B) 4senl -
fA+B
C) 4 c o s l- y -
„ fA -B
D) 4cosl -
. f A+B) fB + D ) ( B+C'i
E) 4 s e n ^ „ - j c o s ^ J s e n | _ J
167.En el siguiente gráfico, MN = 1/2 y AB = 3
sen3x+ ... + sen37x + eos 38x+1 eos 38x |
equivale a m ese— - n
M 38
cuando x=ro'38.
Calcule m +n.
A) 0 B) 1 C) 2
D )4 E) 3
169.Halle los valores de Ren el recorrido 0;
siendo R la expresión siguiente
2jt
9
R = tanx+tan2x+cotx tan2x tan3x
A) (-«o ;'-V 3 ]u [l; +~)
B) (-00 ; -3>/3]u{0; +co)
C) (-“ ;-2 )u (l; +<*>)
D) (-=» ;-l]u[3>/3 ; + °°)
E) {-oo ;0]u[3->/3 ; +<*>)
170.Determine el intervalo de valores de Msiendo
M = 3 -tam - jcotx tan3 X para tarw>0
3 - tan2* J
A) -3 /2 ]u .[s/Í3 /6 ;.+ »)
B) R -(-3 /2 ; 3/2)
C) 3 /2 -7 Í3 /6 ]u [V Í3 /6 + 3/2 ; + <
*
>
)
D) R-{±V3/2}
E)
9 -V 7 8
6 /
u
9 + V78
- ; + oo
y/3-3
396 V

J _ T F
1 _ T d
X S a
± _ J ~ D
_ 5 J H e
_ 6 _ T F
_t_ T b
_ 8 _ T c
± S a
io _ J " c
1 ± -T b
n T c
i ± U
i ± T e
1 5 _ f Ó
J l _ T c
18nr
19nr
2
1 nr
22 F F
_ 2 3 _ n r
2
4nr
2 L _ T b
J k T c
JlS~A
2
8nr
_ 2 Í_ T d ‘
30 f~R~
J i J T
3
2nr
- 3 3 _ T T
35 J B
36 H d
37 J~ B
38 j~Q
39 rr
40 f~D
41 f p
4
2rr
43 rr
44 I F
_4L
Í~
D
46 f~C
47 Í~C
48 |
~ F
49 I R
~
. 50 V a
_ 5 1 _ T b
52 r B
53 r C
54 r C
. 55 F D
56 r B
1Z_Tb
59 n r
6o r C
61 r B
62 r A
6 3 -r C
64 | E
65 r B
' 66 I B
67 |
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TRIGONOMETRÍA
CAPÍTULO
VI
Relaciones fundamentales
en el triángulo oblicuángulo
— — — — ' 7 . v A
Distancia entre puntos inaccesibles
En topografía es usualdeterminardistancias en formaindirecta, asidados los
puntosAyB, desde los cuales sean visibles tanto Pcomo Q, siconocemosla
distanciaAB los ángulos a, (5, 0 y mediante la aplicación de ley de senos y
cósenos,se determinaladistanciaPQ.
V... . --r >• " ' ________ _1___...___ ;_____________ J

TURBINA DE VAPOR
Describamos una turbina de vapor
cuya función es transformar la energía del
tip o térmico en energía mecánica.
La energía térm ica se o rig in a p o r el
cambio de estado del vapor al entrar y
salir de la turbina.
Una turbina de vapor de acción consta
de las siguientes partes:
• Un distribuidor fijo compuesto por una
o varias toberas.
• Una corona móvil compuesta p o r .
alabes
Ahora ilustraremos los cambios de
velocidades que el vapor experimenta en
Ja corona móvil.
'E l vapor sale de la tobera y penetra
entre los alabes de la corona móvil con una
velocidad C,.
la velocidad tangencial o periférica es
u, y p o r lo tanto la velocidad relativa del
vapor a la entrada es W t, que es la que
observaría un espectador que se moviese
arrastrado por los alabes de la turbina.
La velocidad relativa del vapor a la
entrada se calcula de la siguiente manera:
W, = Ju, + C* - 2u,C,cosa, =
senp,
Donde
• u,; u2 : velocidad axial
• C ,; C2: velocidad absoluta del vapor
• W ,; W2: velocidad relativa del vapor

Relaciones fundam entales .
_______ J en el triángulo oblicuángulo
OBJETIVOS
• Comprender otras alternativas de resolución de triángulos, usando leyes trigonométricas.
- • Conocer las técnicas y relaciones para cálculos de elementos auxiliares, distancia entre puntos
notables y área en el triángulo oblicuángulo.
INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se aplicará el teorema de los senos para resolver triángulos oblicuángulos de los
que se conocen las medidas de dos ángulos y un lado, o las medidas de dos lados y el ángulo opuesto
a uno de ellos. Luego emplearemos la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuángulos en
otras circunstancias. De la misma forma estudiaremos la ley de proyecciones y la ley de tangentes, así
como sus diversas aplicaciones en los diversos campos de la ingeniería.
En el desarrollo del capítulo se presentan las leyes fundamentales para resolver cualquier triángulo.
Se recomienda al lector que antes de aplicar dichas leyes debe dibujar el triángulo donde ilustre Jos
datos y la incógnita para analizar cuál de las leyes se debe aplicar.
Posteriormente, desarrollaremos en forma analítica el cálculo de los otros elementos de un triángulo,
como la bisectriz, mediana, alturas, inradios, exradios, área, etc. Finalmente explicaremos fórmulas
para el cálculo del área de una región cuadrangular.
Los elementos fundamentales de ún triángulo se denotan convencionalmente con A, ByCa los ángulos;
a, by c a las longitudes de los lados. Los triángulos oblicuángulos u oblicuos pueden tener o no un ángulo
obtuso; es decir un triángulo oblicuángulo puede ser acutángulo u obtusángulo (véase figura 6.1).
B :
B
C
1
A b C b C A b C
Triángulo Acutángulo Triángulo Rectángulo Triángulo Obtusángulo
A, B, C, <90°
>
II
to
O
o
A>90°
(o) ib) (0
Figura 6.1

Lumbreras Editores T|-igonometría
¿Qué significa resolver un triángulo?
Significa calcular las longitudes de sus lados y la medida de sus ángulos. Para esto necesitamos
conocer por lo menos la longitud de un lado junto con Otras dos cantidades ya sean dos ángulos o los
otros dos lados o bien un ángulo y un lado. Así, hay cuatro posibilidades por considerar.
CASO I
CASO II
CASO 1
1
1
c a s o iv
Se conoce un lado y dos ángulos.
Se conoce dos lados yel ángulo opuesto a uno de ellos.
Se conoce dos lados y el ángulo entre ellos.
Se conoce tres lados.
TEOREMAS TRIGONOMÉTRICOS
La ley de senos se usa para resolver los triángulos de los casos Iy II.
La ley de cosenos se usa para resolver los triángulos de los casos III y IV
¿Teorema de los senos (ley de seaos)
En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
a _ b _ c
senA senB senC
Demostración
Consideraremos un triángulo acutángulo (figura
6.2(a)) y obtusángulo (figura 6.2(b)) por ser la
prim era dem ostración, y verem os que las
conclusiones son las mismas.
De la figura 6.2(a) y 6.2(b) en el triángulo
rectángulo CDO, se tiene
o a
senA=-~ entonces 2R = -------
R , senA
bajo procedimientos similares, obtendremos los
siguientes resultados
5 c
2R = ——
^ y 2R =
senB senC
Por lo tanto
.senA senB senC
= 2R
402
(b)
Figura 6.2

CAPÍTULO VI Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo
Por lo cual queda demostrado dicho teorema.
Queda para el lector verificar que dicho teorema
también es válido para un triángulo rectángulo.
Observadón l ■ '
Cada lado se puede expresar como el diámetro
de la circunferencia circunscrita al triángulo,
multiplicado por el seno del ángulo que se opone
a dicho lado, así tenemos
a= 2RsenA b = 2RsenB c = 2RsenC
Se conoce un Lado y dos Ángulos
Ejemplo 1
Resuelva eL triángulo ABC, si m«A=120°,
m«C = 45° y a = 4
Resolución
La figura 6.3 muestra el triángulo que queremos
resolver.
La m<B la calculamos así
m<B=180° -(120° + 45°)
m«B=15c
A
Utilizamos la ley de senos para el cálculo de los
lados b y c
b _ 4
senB sen 120°
4senB
sen^O 0
1
4senl5°
sen60°
4(V6-V 2)
►
b=
.-. b=
s
sen45° senl20°
>c = -
4sen45°
senl20°
A
2
4 x
=>c =
s
2
4 n
/6
3
Ejemplo 2
En el gráfico adjunto, calcule la distancia desde
un punto B de la orilla de un río, a un árbol A que
queda en la otra orilla. Dado en la orilla una base
BC y desde cada extremo de la base se dirige,
con el teodolito,- una visual a la base del árbol y
otra al otro extrem o de dicha base. Datos:
BC=30m, m <ABC = 60° y m<BCA = 45°
Figura 6.4
Resolución
En la figura 6.4 ya se indican los datos, luego por
la ley de senos
AB BC
sen45° sen75°
despejando la incógnita
AB =
BC x sen45°
sen75°
sustituyendo valores
V2
T 60
30x
AB =
V6 + V2 V3+1
4
AB =
60
x ^ - i = 30(V3-
73 +1 73-1
l)m
403
3

El caso ambiguo
El caso 1
1(LLA) que se aplica a triángulos donde dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos se
conocen, se llama caso ambiguo porque la información disponible puede dar lugar a un triángulo, a
dos triángulos o a ningún triángulo. Supongamos que nos dan los lados a y b y m <A ‘ con esto
mostraremos, en las siguientes figuras, las cuatro posibilidades que hay.
1ra Posibilidad 2a*posibilidad
Ninguna solución,
si a < bsenA
(a)
Una solución, se ha formado un
triángulo rectángulo de hipotenusa b
yaque a=bsenA
(b)
3ríLPosibilidad 4UPosibilidad
Figura 6.S
(d)
Se conocen dos Lados y el Ángulo Opuesto a uno^de ellos
Ejemplo 3
Tenem os un triángulo ABC en el cual se da
a = 2, b = 4 y m«A = 60° .
Resuelva el triángulo.
Resolución
Aquí se presenta la prim era posibilidad del
caso am biguo.
De la ley de senos
a b
senA senB
Despejando senB y evaluando
' £
senB = * 4sen6°° = - 1 - 2 - = S -1,73
a 2 2,

Como ningún ángulo tiene el seno mayor que
uno, en este ejemplo no hay solución. Es decir,
es imposible construir un triángulo con los datos
de eSte ejemplo (Véase figura 6.6).
Ejemplo 4
R esuelva el triángulo ABC, si a= 4 , b= 6 y
m<A * 30°.
Resolución
Aquí se presenta la 3ra Posibilidad (2 Soluciones)
lrasoiudón
De la ley de senos
a b „ bsenA 6sen30°
senA senB a 4
_ 6 » 5 _ 3 '
4 ~ 4
En un triángulo, un ángulo interior puede ser
agudo, recto u obtuso.
Si es agudo u obtuso el seno es positivo y menor
a uno; si es rector] seno es igual a uno.
Como
senB= 7 = 0,75=*B =48°30' o B = 131°30'
4
(usando calculadora)
Pbr lo tanto, se pueden construir dos triángulos
con los datos del ejemplo 4 (Véase la figura 6.7).
Así la resolución puede ser
Si B = 48°30'
=» C = 180° - (30° +48°30')
.-. C = 101°30'
De la ley de senos
_ asenC
sen 30°
_ 4senl01ó30' _ 4x0,9799
C 0,5 ■ 0,5
.-. c = 7,84
2da. Solución
Si B = 131°30‘
=> C = 180° -(30° + 131°30')
.-. C = 28°30'
De la ley de senos
_ asenC
sen30°
4xsen28°30' 4x0,4772.
C —— —
— ———
—— a; — — — —
—
0,5 0,5
c = 3,82
405

Teorema de los tosenos Qeyde tosénps)
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos,
menos el doble producto de estos lados por el
coseno del ángulo que forman
a2=b2+ c2- 2bccosA
b2=a2+ c2- 2accosB
c2=a2+ b2- 2abcosC
Demostración
En la figura 6.8 se ha trazado la altura AD sobre la
prolongación de CB.
En el triángulo rectángulo ADC, por resolución de
triángulos rectángulos tenemos
AD=bsen(180°-C) y
DC=bcos(180°-C)
=>AD=bsenC y
DC= -bcosC
.Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo
rectángulo ADB tenemos:
AB2=AD2+DB2=^c2=(bsenC)2+(-bcosC+a)2
=>c2=b2sen2C+(a - b cosC)2
=*c2= b2sen2C+a2- 2abcosC +b2eos2C
=*c2=b2(sen2C+cos2C) +a2- 2abcosC
í
c2 =a2+b2- 2abcosC
De! mismo modo se dem uestra los otros dos
teoremas
Consecuencia: El coseno de un ángulo se puede
expresar en función de los lados, así:
cosA =
b2-nc2- a 2
2bc
f
IcosB =
a + c - b
2ac
a2+ b2- c2
2ab
Uso de la Ley de Cosenos para resolver un
Triángulo LAL
cosC =
Ejemplo 5
En el triángulo ABC, a = 24, c=32 y m<B=120°
Resuelva el triángulo.
Resolución
Vea la figura 6.9, la ley de cosenos permite
encontrar fácilmente el lado b.
b2 = a2 + c2-2accosB
Sustituyendo valores:
b2 = 242 + 322- 2x24x32x cos!2Ó°
- 1/2
b2 =2368
/.b = 48,67
Para calcular la medida del ángulo A, utilizamos
la ley de senos así r
9 a v 3
b a . asenl20° x 9
_________ —
____ —
a5gjT/ — ■ s ■
senl20° senA b 48,67
=> senA = 0,4270....
Como el ángulo A es agudo ya que B es obtuso,
entonces con el uso de calculadora tenemos
A = 25°15'
406

CAPÍTULO VJ Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo
Hallando la m < C - « HaMandoO:
C=180° - (A+B) = 180° - (25°15 + 120°) ; 6 = 180°-(a+ p)= 41,65° -
entonces: C = 34°45'
Uso de la Ley de Cosenos para resolver un
Triángulo
Ejemplo 6
Un jardín triangular tiene lados que miden 12 m,
15 m y 10 m. Obtenga los ángulos del jardín.
Resolución
Con los datos del ejemplo se tiene la figura 6.10
que representa al jardín donde a,p y 0 son los
ángulos correspondientes al jardín:
Figura 6.10
En todo triángulo, la diferencia de dos lados es a
su sum a, como la tangente de la semidiferencía
de los ángulos opuestos a estos lados es a la
tangente de la semisuma de estos ángulos.
A continuación presentam os una form a de
demostración . *.
De la ley de senos
a _ b a senA
senA senB b senB
De la ley de cosenos
• 122 = 102 + 152- 2(10)(15)cosot
102+ 152-122 181
=> cosa = - = — = 0,6033
2x10x15 300
• 15 = 10' + 12 -2xl0xl2xcosf3
„ 102+122—
152 19 AÍV7An
=> cosB = ------------------ = ------= 0,0792
P 2x10x12 240
Con respecto a los ángulos interiores de un
triángulo, si el coseno de uno de ellos es positivo y
menor a uno este será agudo; y si el coseno es
negativoymayor a -1 este será obtusoy finalmente
si el coseno es igual a cero este será recto.
Como cosa = 0,6033 y cos(3 = 0,0792
a = 52,89° P = 85,46°
por propiedad de proporciones
a - b senA-senB
=> ------ =:-----------------
a +b senA + senB
por transformaciones trigonométricas
_ f A+ B'j ( A -B
a - b - t 2 J l 2
a +b „ ( A + B'i fA -B
2sen ------ eos
a - b / A + BY f A - B N
,
J J E - H — M — I-; Pero
cot
A-i-B 1
, tan,
a - b [ 2
tein
A -B
m
a+ b . fA +B
tan
esto es lo que se buscaba demostrar.
407

De la ley de senos, si utilizamos
a c b c
senA senC y senB senC
y realizamos un procedimiento similar sil anterior, obtendremos las otras dos expresiones restantes del
Teorema de tangentes.
las proyetapnes)
En todo triángulo, se cumple que un lado cualquiera es igual a la suma de sus otros dos lados multiplicados
cada uno por los cosenos de los ángulos adyacentes a dicho lado.
a = bcosC + ccosB
b = acosC + ccosA
c = acosB + bcosA
Demostración
En la figura 6.11 se ha trazado la altura BD. Asimismo en el
triángulo rectángulo ADB y BDC, tenemos
AD=ccosA y DC=acosC
Pero AC = AD + DC => AC=ccosA + acosC
z.b = acosC + ccosA
En el triángulo ABC, si trazamos las otras dos alturas
correspondientes a los lados AB y BC, obtendremos las
otras dos relaciones restantes del teorema.
Como ya se planteó al inicio de este capitulo, cuando se (ten tres elementos cualesquiera de un triángulo,
siempre que al menos uno de ellos sea un lado, los teoremas que hemos demostrado nos permiten hallar
los valores numéricos de los elementos no conocidos del triángulo; pues en cualquier ecuación que
relacione cuatro cantidades donde tres de ellas sean las conocidas, podrá hallarse la cuarta. Asípor ejemplo,
si c, a y Bson dados, podemos calcular b con |a fórmula: '
b2= c2+ a2- 2cacosB
y si B, C y b son conocidos, hallamos c por medio de la fórmula
c
senC
b
senB
408

CAPITULO VI Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN
DEL SEMIPERÍMETRO Y L A D O S ______________________________
Enun triánguloABC,se desea calcularlas razones Asumimos que el perímetro del triángulo ABC
sea 2p=a + b + c.
trigonométricas de los semiángulos y , ^ y ~
Para A/2:
En un triángulo ABC, el ángulo interior A debe
A
verificar 0 < A < 180°, entonces 0 < — < 90°.
Utilizando identidades del aireo mitad tenemos
sen
H
1- cosA
... (O
De la ley de cosenos tenemos
cosA=
b2+ c2- a2
2bc
... (2)
A
sen—=
2
1-
íb 2+c2- a 2N
|
2bc
2
A_ a2-Cb2+C2-2bc)
Sen2 ~ ] 4bc
fgEft
4bc
-c f
sen-
b - c ) ( a - b + c)
4bc
... (3)
Despejando a+ b= 2p-c ; a+ c= 2p-b y
reemplazando en (3) obtenemos
sen-
A _ j(2p-2c) (2p-2b) j2 (p -c )2 (p -b )
4bc 4bc
A _ ¡(p -b ) (p -c )
sen-
2 be
Análogamente utilizando la identidad
A 1+ cosA
COS^2= V 2 y
* b2+ c2- a2 , .
cosA = ----—
------- , se obtiene
A _ Ij
C0S 2 "
2bc
P (p -a )
be
. A
como tan—¡
2
A f
Se<1 2 1
cos-
(p - b )( p -c )
be
pCp-a)
I be
... tan—= /(P .-b X p -c)
p (p -a )
Fórmulas de las razones trigonométricas de los semiángulos de un triángulo ABC
sellr v
(p -b X p -
be
c). A Ip (p -a) . A íi(p -b )(p -c )
p(p-a)
sen
sen
N
C p -a)(p -c ) . B _ jp (p -
ac
i gos- =
2 ac
-a)(p-c)
pCp-b)
( p - a ) ( p - b ) ;c o s C i p ( p - 0 ;ta n C
ab 2 y ab 2
C p -a)(p -b )
p(p-c)
a b c
donde p = ---------- , es el semiperímetro del triángulo ABC.
409

Ejemplo 7
Si los lados de un triángulo ABC son
a= 10; b=9 y e=!3
Calcule
A A
sen— y eos —•
2 2
Resolución
Hallando el semiperímetro
Resolución
De la ley de senos
a b e
= 2R
senA senB senC
Por propiedad de proporciones
------- — ------- = 2R
senA + senB + senC
De donde
a+b+c=2R(senA+senB+senC)
a + b + c 10+ 9 + 13 . .
p = ---------- = --------:— = 16
Como
. sen- = )( P - bK P~c) 1
0 6 -9 )0 6 -1 3 )
2 be 9 x 13
7 x 3
117
Utilizando
2 p = a+ b + c: 2p=2R(senA+senB+senC)
Simplificando
p=R(senA+senB+senC)... (1)
Del capítulo Transformaciones trigonométricas se
dedujo que si A+B+C = 180°, se cumple
A B C
senA + senB+senC= 4cos—eos—eos— ... (2)
Además
. P(P~a) 1
16(16-10) .
2 V be 9x13
A Í16 x 6 Í32
2 9 * 13 S 39
J . A B C
p= R 4cos—eos—eos—
l 2 2 2
A B C
... p=4R eos—eo s—eos —
Fórm ula que relaciona el sem iperím etro,-
circunradio y semiángulos de un triángulo ABC.
A continuación se desarrollará una serie de
ejemplos que tiene como objetivo deducir las
diversas fórm ulas que sirven para calcular
semiperímetro, alturas,-áreas, inradios, exradios,
medianas y bisectrices correspondientes a un
triángulo ABC.
Ejemplo 8
Exprese el semiperímetro de un triángulo ABC en
función de los semiángulos y el radio R de la
circunferencia circunscrita.
Ejemplo 9
Exprese cada altura de un triángulo en función
del radio R del círculo circunscrito y de los
ángulos.
A
Figura 6.12
90-
,410
■
P https://librospreuniversitariospdf.blogspot.com

Resolución
Sea ha la altura correspondiente al lado a
(véase la figura 6.12). Entonces del triángulo
rectángulo ADB tenemos:
ha = csenB ... (1)
De la ley de senos se deduce
c=2R senC ... (2)
Reemplazamos (2) en (1), obteniendo
. ■ -i
ha =2RsenBsenC
Análogamente se obtienen
y
Ejemplo 10
Halle el radio r, del círculo inscrito en un triángulo
en función de los ángulos y el radio del círculo
circunscrito.
Resolución

hb=2RsenAsenC h =2RsenAsenB
De la figura 6.13 de los triángulos rectángulos ODB
y ODC se obtienen
BD =rcot^ y DC = rcot
como
^ B C
BC = BD+DC => BC = rcot ^ +rcot ^
=> a = r
B .C l
cot —+ cot—
. 2 2J
Expresando, en senos y cosenos, luego efectuando
sen
■2RsenA= r
B C
—H
---
2 2
B C
sen —sen—
2 2
>2RÍ2sen—eos—
l 2 2
A
reos—
2
B C
s e n -s e n —
2 . 2
.D A B C
.-. r = 4Rsen—sen—sen —
________ 2 2 2
Fórmula que relaciona al inradio, circunradio y
ángulos de un triángulo.
Ejemplo 11
Exprese el semiperímetro de un triángulo ABC en
términos del inradio y los semiángulos. (Véase
figura 6.14)
B
Figura 6.14
Resolución
A B C
Del ejemplo (1) p = 4Rcos —eos—eos—
A B C
Del ejemplo (10) r= 4Rsen - sen - sen -
Dividiendo ambos miembros
. n A B C
„ 4Reos -r eos—eos —
' P _ 2 2 2
r „ D A B C
4Rsen—sen—sen—
2 2 2
p A B C
. Simplificando ~ = cot—co t - c o t y
Por lo tanto
, A B C
p = rcot—cot—cot—
2 2 2
Fórmula que relaciona el sem iperím etro, el
inradio y semiángulos de un triángulo ABC.
411

-lumbreras Editores Trigonometría
Ejemplo 12
Exprese bada uno de los radios de los círculos
exinscritos de un triángulo, en función de los
ángulos y del radio del círculo circunscrito.
Resolución
De la figura 6.15(a), ra es el ex radio relativo al
lado a de un triángulo ABC. Asimismo de los
triángulos rectángulos BDO y CDO obtenemos
BD = ra t a n | y DC = rata n ^
Además
BC = BD+ DC
B C
=> a = r. tan - +r. tan —
a 2 2
Análogamente
L
,D A B
rh = 4Rcos—sen —eos
2
• A B C
rr = 4Rcos—eos—sen—
c 2 2 2
>2R f 2sen—eos—l= r a ^ - —
l 2 2 J a __ B ___C
eos—eos—
2 2
4Rsen—eos— =r,
2 / 2 a B C
eos—eos —
2 2
.D A B C
r, =4Rsen—eos—eos—
* . 2 2 2
Si generamos el cociente entre ray p obtenemos
A B C
4Rsen—eos—eos —
ra 2 2___ 2
p A B C
r 4Rcos—eos —eos—
2 2 2
ra A
—= tan—
(, B , ( / .
tan—+ tan—
, A
ra = ptan—
l 2 2 ) l 2J
Otra manera de obtener esta fórmula
Figura 6.15
En el triángulo rectángulo AHO figura 6.15(b) se
A
sabe que AH=p, luego ra=ptan—
Análogamente
A 1 , c
rb = P la n - y rc = ptan—
___________ /
Como ejercicio para el lector, se deja para
demostrar que el inradio r de un triángulo ABC,
puede ser expresado como:
r = (p -a ) ta n -
g
r = (p -b ) tan—
r = ( p -c ) tan-

Ejemplo 13
Exprese 4ma en términos de los lados b, c y el
ángulo A en un triángulo ABC, si maes la mediana
relativa al lado a.
Resolución
A
En la figura 6.16; maes la mediana relativa al lado
a del AABC. Asimismo se ha prolongado AM
hasta un punto A' de tal manera que
AM = MA'
En consecuencia, el cuadrilátero ABA'C es un
paralelogramo, entonces
m<ACB = m<ABC a AB = CA’ = c
En el A ACA’, aplicamos la ley de cosenos
(2ma)2 = b2 + c2- 2xbxcxcos(B+C);
pero eos (B+C) = -cosA yaque A+B+C = 180°
Del ejemplo (13) 4ma2=b2+ c2+ 2bccosA
De la ley de cosenos a2=b2+ c2-2bccosA
Sumando 4ma2 + a2 = 2b2+ 2c2
, . . 2 2b2 + 2c2- a2
Por lo tanto: m . --------------------
4
Fórmula que relacionala mediana relativa al lado a,
con los lados del AABC
Análogamente
2 2aJ +2c2- b2
mb = ------- --------
nV
2 _ 2a2+2b2- c 2
Ejemplo 14
Exprése la bisectriz interior relativo al lado a en
función de los lados b, c y el ángulo A de un
triángulo ABC.
Resolución
4ma2 = b2+ c2-2bc[-cosA]
;4ma2 = b2+c2+2bccosA
Análogamente y para lal medianas relativas al
lado b y c respectivamente
4 m b2 = a2+c2+2accosB
s_____ _______ _________ ______________ ...______ /
4mc2 = a2+b2+2abcosC
y
En la figura 6.17 se tiene que pa es la bisectriz
interiorrelativa al ladoa Además, el área de la región
triangular ABC puede expresarse como la suma de
las regiones triangulares ACDy ADB, es decir
SAABC = - SACAD + SADAB
413

=» 2bccos—= Pa(b + c)
Análogamente, para las bisectrices exteriores
relativo a los lados b y c respectivamente:
o 2be A
P- ' b + c COS2
„■ 2ac Bl
P = ---- serr—i y
L b a-c 2 J 3
' • 2ba C )
8 = -----sen—
c b-a 2
Análogamente, para las bisectrices interiores
relativo a los lados b y c respectivamente
si a > c si b > a
0 2ac B
Pb “ a . ^ C0So y
„ 2ab C
2
5 r-ü-.
a + c 2
Ejemplo 15
Exprese la bisectriz exterior relativa al lado a(¡3a) ,
en función de los lados b y c y el ángulo A de un
triángulo ABC.
D
Figura 6.18
Resolución *
En la figura 6.18, es la bisectriz exterior relativa
al lado a. *
Además m<BAD=90°+ —
2
Además'
Saabc= Sabad - Sacad
be
senA ^ s e n [ 9 0 + ^ } - ^ Sen[
( 9 0 °-!
be „ A A cPa A b(3a A
=»— x2sen—eos— = - ^ c o s --------—eos —
. 2 .2 2 2 2 2 2
=>besen y cO s^ = ^ cb s^(c -b )
=>besen —= —(c - b)
2 2
Q
. 2bc A
^ 2 :
si c > b
Tenga en cuenta en la aplicación de las fórmulas
planteadas en el ejemplo 15, que de las
diferencias de lados que aparecen en el
denominador de iossegundos miembros, se debe
tomar el valorabsoluto, pues su signo sólo indica
el lado porel cual la bisectriz corta el lado opuesto
al ángulo correspondiente. Entonces, las fórmulas
del ejercicio 12también pueden expresarse de la
siguiente manera:
ni 2bc A ., 2ac B
s , " ¡ b ^ 5 “ " z : l>* ‘ Í C d s“ 2 ;
Q, 2ab C
s - - r a " " 2
Area de una Reglón Triangular
El área S de la región triangular ABC se
expresará en términos de sus elementos, como
son, las medidas de los ángulos, la longitud de
sus lados, el circunradio, el inradio, el
semiperímetro y otros.
Apartir del triángulo ABC de lados respectivos
a, b y c (vea la figura 6.12).
Podemos obtener
S = “ SenA
2
Así como también
c ab
S = — senC
2
-(2) S = — senB
2
-(3 )
De la ley de senos se deduce
b=2R senB; c=2R senC (R: circunradio)
414

Reemplazando en (1)
c (2RsenB)(2RsenC)senA
~ 2
Simplificando se obtiene
S=2R2senA senB senC ...(4)
Esta igualdad relaciona el área, el semipen'metro
y los lados del triángulo.
Por geometría elemental, el área S de un triángulo
ABC puede ser
1
S = prj ...(7)
Igualdad que relaciona el área, circunradio y los
ángulos del triángulo ABC.
Pero también de la ley de senos se deduce que
a b C
senA = — ; senB— ; senC—
2R 2R 2R
Reemplazando en (4)
S = 2R2
2RIs u
S =
abe
^4R~
...C5)
Igualdad que relaciona las longitudes de los lados
a, b, c y el circunradio con el área.
be
También a partir de (1) tenemos S = — sen A
perosenA = 2sen—eos—, entonces
2 2
S = — x2sen—eos —= besen—eos —
2 2 2 2 2
como
A (p - b)(p - c) A
sen—= - ------ y eos—--,
2 be 2
entonces
be
S = bc
( p -b )(p -c ) ipCp-a)
be V be
■
■
■ S = <Jp(p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ....(6)
donde p es el semipen'metro y r es el inradio del
triángulo ABC.
Como
,A , B , c
p = rcot—cot—cot—,
2 2 2
(revise el ejemplo 11)
c i ,A ,B C
>S = rcot—cot—cot— r
2 2 2
c 2 , A B ,C
S = r cot—cot—cot—
Igualdad que relaciona el área, inradio y
semiángulos de un triángulo ABC
Como
A B .C
p = rcot—cot—cot—
2 2 2
Entonces
p = r x
1
. A , B, C
tan—tan—tan—
2 2 2
£ÍE_Despejando
, A , B. G
r=p tan—tan—tan—
2 2 2
Como
S=pr
Entonces
S = p x íp tan—tan^tan
t 2 2
415

„ A B C
S = p2 tan—tan—tan— ...(9)
Igualdad que relaciona el área, semiperímetro y
semiángulos del triángulo ABC.
Además del ejemplo 12, se sabe que
r = (p -a )tan
A
2
r: inradio
p: semiperímetro
De (10)
S = p (p -a )tan —
A
>S= ptan—(p -a )
S=ra(p-a) ...(13)
r = (p - b)tan —
a, b y c: las longitudes de los
lados
r = (p -c )ta n —
A, B y C: la m edida de los
ángulos
Si reemplazamos estas igualdades en (7)
S=pr, obtenemos
De forma análoga
De (11)
B
S = p(p - b)tan—
g
S = ptan— (p -b )
S = p (p -a )ta n —
S = p (p -b )ta n —
- ( 10)
...(11)
S = p (p -c )tan ; ...(12)
Las igualdades (10), (11) y (12) relacionan el área,
el semiperímetro, la longitud de un lado y el
ángulo opuesto respectivo.
De donde obtenemos
S=rb (p-b) -(14)
De (12) se obtiene
S=rc(p-c) ...(15)
el semiperímetro, un lado y su exradio respectivo.
Vistas las igualdades (7), (13), (14) y (15)
Pero también del ejemplo 12 tenemos que
. A B „ C
ra = P ta n -; rb = ptan~ ; rc = p ta n -
ra: exradio relativo al lado a
rb: exradio relativo al lado b
rc: exradio relativo al lado c
p: semiperímetro
S=rp
S=ra(p-a)
S=r5(p-b)
S=rc(p-c)
Multiplicando miembro a miembro obtenemos
S4 = rrarbrcp ( p -a )(p -b )(p -c )
S4 =rra rb rc x S2
=
=
>S2 = rrarbrc
416

Despejando S obtenemos
S = V 'W c • (16)
Esta igualdad relaciona el área, el inradio y los tres
exradios de dicho triángulo.
De la figura 6.12 se puede verificar
ha: altura relativa al lado a
hb: altura relativa al lado b
hc: altura relativa al lado c
R: circunradio del triángulo ABC
Como a=2R senA
b=2RsenB
c=2RsenC
=>S = ^ = ^(2R senA )
2 2
=ha R senA ...(17)
De igual manera
=*S = ^ = í^(2RsenB)
De donde
S=hb R senB ...(18)
el cual se puede reescribir como
S3=hahbhc R3senA senB senC
multiplicamos por 2
2S3= hahhhrR2R;senAsenBsenC
S (De la igualdad 4)
=> 2S3 = hahbhcR S
Reduciendo y despejando S2obtenemos
2
c V^a^bK: R
V2
s =V hA M
sen456
De donde obtenemos
S = A
/h ahbhcR sen 45° (
20) -
Esta igualdad relaciona el área las tres alturas
respectivas a cada uno de los lados así como el
circunradio del triángulo ABC.
Área de una Región Cuadrangular
Elárea de una región cuadrangular cualquiera
se expresará en función de sus diagonales y del
ángulo que estas diagonales forman'
De forma análoga, usted puede obtener
S=hc R senC
w .____________ ’________ /
...09)
el circunradio, la altura relativa a un lado, así como
el ángulo que se opone a! lado en mención.
Finalmente si multiplicamos las igualdades (17),
(18) y (19) miembro a miembro obtenemos
S3= (haRsenA)(hbRsenB)(hcRsenC)
En la figura 6.19 se tiene un cuadrilátero
ABCD donde se ha asumido la medida del ángulo
que forman sus diagonales.
417

En la diagonal BD, sean BE =m y ED= n,
en to n ces determ inam os las alturas de los
triángulos ABC y ADC como m sene y nsene
respectivamente; luego para el área de la región
cuadrangular ABCD:
Sabcd = ÂBC +
c - AC(msen0) AC(nsen0)
ÂBCD j + 2
_ AC (m+n)sen0^>
âbcd ■
’------ Y
pero m+n=BD
c _ (AC)(BD)Sen0
• • a ABCD — o
Ejemplo2
Calcule el área de una región cuadrangular en
función de sus lados y la suma de dos ángulos
opuestos.
Figura 6.20
El área de una región cuadrangular es igual al
semiproducto de las diagonales multiplicado por
el seno del ángulo que éstas forman.
Ejemplo 1
Las diagonales de un paralelogramo miden 5 cm y
6 cm y se cortan formando un ángulo 0. Si el área
de su región es 7,5 cm2¿cuál es el valor de e ?
Resolución
Aplicando el teorema anterior, tenemos
(5cm)(6cm)
7,5 cm =
1
sene = -
-sen0
0 = 30° 150°
Resolución
En la figura 6.20 se tiene el cuadrilátero ABCD de
lados a, b, c, d y ángulos A, B, C y D.
Aplicando la ley de cosenos a los triángulos BAD
y BCD tenemos
BD2= a2+ d2-2adcosA
BD2 = b2 + c2-2bccosC
Igualando los dos valores de BD2 hallados,
tenemos
a2+d2-2adcosA =b2 + c2- 2bccosC
a2+d2-b 2-c2=2adcosA - 2bccosC ... (1)
Sea S el área de la reg ió n cu ad ran g u lar
ABCD,
entonces
ad senA be senC
~T +2
=
> 4S = 2adsenA + 2bcsenC ... (2)
418

Sumando los cuadrados de (1) y (2)
(a2+ d2- b2- c2)2+ (4S)2= (2adcosA - 2bc cosC)2+ (2adsenA + 2bc senC)2
(a2+ d2- b 2- c 2)2+ 16S2 = 4a2d2+ 4b2c2- 8abcd(cosAcosC - senAsenC)
(a2+ d2- b 2- c2)2+ 16S2 = 4a2d2+ 4b2c2 - 8abcdcos(A+C) ... (3)
Asumimos que A+C=2 <
)>
, entonces
cos(A+C) —cos2<¡> = 2cos2<
t>- 1 ... (4)
(a2+ d2- b2- c2)2+16S2 = 4a2d2+4b2c2- 8abcd(2cos2ij)-1 )
(a2+ d2- b2- c2)2+16S2= 4(ad + be)2-1 6abcdcos2<
|>
16S2 = 4(ad + bc)2 - ( a 2+ d2- b 2- c 2)2-16abcdcos2<
)
>
i diferencia de cuadrados
16S2= (2ad + 2bc + a 2+ d2- b 2- c2)(2ad + 2bc - a 2- d2+ b2+ c2) - I6abcdcos20
16S2= ((a + d)2- (b - c)2) ( (b +c)2- (a - d)2) -1 6abcdcos20
16S2= (a + d + b - c ) (a + d - b + c)(b + c + a-d)(b + c - a + d)-16abcdcos2<
j>
Sea
2p = á+ b + c+ d , el perímetro de cuadrilátero ABCD entonces
16S2 =(2p - 2c)(2p - 2b)(2p - 2d)(2p - 2a)-16abcdcos2<
t>
S2= (p - c)(p - b)(p - d)(p - a) - abedeos2<
l>
Ordenando y despejando S S=^(P - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcdcQS2<
|>
Fórmula que relaciona el área, perímetro, lados y suma de dos ángulos opuestos de un
cuadrilátero ABCD .
. . . A+C , B+D
donde é = —-— o 6 = —-—
419

Casos particulares
De la fórm ula anterior
Para un cuadrilátero inscrito o inscriptible
ABCD,(véase figura 6.21) la sum a de dos
ángulos opuestos es 180°, entonces 4
>=90°,
por lo tanto el área respectiva será:
S=V(P - a)(P - b)(p - c)(p - d)
Figura 6J21
Brahmagupta, matemático hindú, generalizó la
fórmula de Herón para calcular el área de un
cuadrilátero, el cual lleva su nombre y está dado
por S = ^ (p -a )(p -b )(p r c ) ( p - d ) . Donde
a,b,c,d son los lados del cuadrilátero y p el
semiperímetro, pero esta fórmula quedó limitada
ya que solo se podía calcular para cuadriláteros
inscriptibles.
Para un cuadrilátero circunscriptible
ABCD (véase figura 6.22) se cumple el teorema
de Pithot, es decir
a+ c = b+d;
entonces
p = a+ c ó p =b+d
en consecuencia
%
a = p - c ; b = p - d ;
c = p - a; d = p - b;
por lo tanto, el área respectiva al cuadrilátero será
S = i/abcd - abcdcos2<
(
>
r e d u c i e n d o __________ ____
S = Vabcdsentj)
Para un cuadrilátero inscriptible y
circunscrito a la vez (bicéntrico) (véase figura
6.23) se tiene que
<
t>=90° y (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)=abcd
Entonces, el área respectiva al cuadrilátero es
—
S = Vabcd

Problemas Resueltos
Problema 1
En la figura 6.24(a), calcule
m < DBC; si m < DAC = 2m < DCA = 40° .y
BC = V3AD
B
Resolución
Del enunciado obtenemos
m < DAC = 40°
y m < DCA = 20°
Por geometría elemental
m < BDC = 60°
Sea
x=m < DBC (véase figura 6.24(b))
En la figura, aplicamos ley de senos a los triángulos
DBCyADC
BC PC
sen60° serve
AD _ PC
sen20° sen40°
... (a)
... (P)
dividiendo a y P obtenemos
BCsen20° _ sen40° , .
ADsen60° serve Y
como se tiene
BC=V3AD,
entonces
l = ^ y s e n 6 0 ° = Y -
reemplazando en ( y ) tenemos
V3sen20° _ sen40°
n
/3 serve
2
=> 2sen20° = 2sen20°cos20°
* „„„ serve
=> senx=cos20°
=> serve=sen70°
En la figura, x puede ser agudo u obtuso, por lo
tanto
x=70° ó x=110°
Problema 2
De la figura mostrada, calcule 0siAC=BD
Resolución
Aplicamos ley de senos a los triángulos ABDy ABC
(véase figura 6.25(b))
421

• —— = — — ...(0
sen30 sen60
b c
sen(18O°-70) sen40
• —— = — ...(2)
sen70 sen40
B
Dividiendo (1) y (2) obtenemos
sen70 _ sen40
sen30 sen60
sen70 _ sen40
,sen3? ¿sen3fcos30
=* 2sen70cos30 = sen40
=> senlO0 + = .jerríí
=>senlO0 = O
=>100 = 0°, 180°, 360°,...
=>0 = 0°, 18°, 36°,...
Para que el triángulo de la figura 6.25(a) exista el
único valor que toma Oes 18°
Problema 3
En un triángulo oblicuángulo (A * B * C) ABC,
obtenga el equivalente de la siguiente expresión
£ _ bcosB + ccosC ■ acosA + ccosC
eos (B - C) cos(A - C)
acosA + bcosB
eos (A - B)
Resolución
De la ley de senos
a = 2RsenA, b=2RsenB y c=2RsenC
Reemplazando en la expresión E obtenemos
E _ R(sen2B + sen2C) + R(sen2A + sen2C)
eos (B - C) eos (A - C)
R(sen2A + sen2B)
eos (A - B)
E Rx2sen(B+C)cos(B- C) | Rx2sen(A+C)cos(A- C)
cos(B-C) cos(A-C)
Rx2sen(A+B)cos(A- B)
cos(A-B)
E = 2Rsen(B + C) + 2Rsen(A + C) + 2Rsen(A + B)
E = 2RsenA + 2RsenB + 2RsenC
E = a + b + c
Problema 4
Calcule los ángulos de un triángulo ABC si
sen(B + C) _ cos(A + C)
a b y
C-A = 25°
Resolución
Como
A +é+C = 180°=» sen(B+C)=senA y
cos(A+C) = -cosB
422

Reemplazando en la igualdad
senA _ -cosB
a b
Reemplazando
a=2RsenA y b=2RsenB,
obtenemos
senA -cosB
v ------ - = —------ => tanB = -1
2RsenA 2RsenB
B = 135°
Como
A+B+C = 180°,
entonces A+C = 45°... (1)
Además por dato
C - A = 25° ...(2)
De (1) y (2)
C=35° y A=10°
Problema 5
En un triángulo ABC, calcule el exradio relativo al
lado a, si
(0,5)asenj^^ j = V2^^ jsen | ;
~x2RsenAxse.i|
B-C
2
=V2|
2RsenB- 2RsenC^ A
-------- ----------sen-
2 J 2
f( x2.sefí^cos-^sen^5_i;| =V2K(senB- senC).sefí
^ Sen( ) =^ x'^-sel^[~2~-)C0S( )
B + C ^ = V2
tan
c
o
,r ^
, A y¡2
tan—= —
2 2
Sustituyendo valores en (1)
ra=(6m)x =3 V2 m
Problema 6
Resuelva el triángulo ABC
sia= 2 V 6 , c=6 - 2 V3 y B=75°
Resolución
Estamos en el caso LAL
Por ley de cosenos hallamos el lado b
además ef perímetro de dicho triángulo es 12 m..
Resolución
Utilizamos la expresión del exradio relativo al lado a,
esto es
A
ra=ptan ^
Por dato: 2p=12m => p=6m
.ra = 6 ta n ^ * ...(l)
Para calcular ra sólo la medida del ángulo A o en
A
su defecto tan— ; para tal sim plificam os la
2
expresión dada
b2= a2+c2- 2accosB
b2= (2>/6)2+(6 - 2V3)2- 2(2v/6)(6 - 2v/3)cos75°
b2= 24 +48 - 24n
/3 - ¿V6 x
V6 -V 2
yaque cos75°=----------
4
b2 = 24 =>b = 2/6, como a = 2>/6
entonces a = b y m<A = m«B
/. m<A = 75° y m<C = 180°- (75°+75°) = 30° '
423
<
|N

Lumbreras Editores Trigonometría!
Problema?
En un triángulo ABC cualquiera se tiene
m«A =45°, b= 20V2 m y la diferencia de los
otros dos lados es 16 (a>c). Calcule los lados
desconocidos del triángulo.
B
Figura 6.26
Resolución
Teniendo en cuenta las condiciones del
problema, se tiene la figura 6.26.
De la ley de cosenos, tenemos
a2= c2+ (20V2f - 2(20/2) ecos 45°
a2= c2+ 8(X) - 40c ... (1) ■
Pero a - c = 16 => a = 16+ c ... (2)
(2) en (1):
(16 + c)2= c2+ 800 - 40c
256 + / + 32c = / + 800 - 40c
=> 72c = 544 /. c = — m
9
212
Sustituyendo en (2): a = m
Problema 8
Si en un triángulo ABC se cumple
a2+ c2 = b2- ac. Calcule m < B
Resolución
De la igualdad b2 = a2 + c2 + ac ... (1)
De la ley de cosenos b2=a2+c2-2accosB ... (2)
Restando (4) y (2) - 0 = ac + 2accosB
Despejando eos B* eos B = ~
Por lo tanto B es obtuso e igual a 120°
Problema 9
En la figura 6.27(a) al punto D se le conoce como
punto de Brocard. Demuestre
cotA+cotB+cotC = cote’
Resolución
En la figura 6.27(b) por propiedades geométricas
se han obtenido las medidas de los ángulos CAD,
ADB, ABD, BCD y CDA.
Además, se ha asumido que AD=m, por ser lado
común de los triángulos ABD y ADC.
Aplicando la ley de senos a estos triángulos
respectivamente tenemos
m e
sen(B - 6) sen(A+C)
m b
y senG 5en(B+C)
...0),
...(2)
424

Dividiendo (1) y (2), obtenemos
sen8 _ csen(B + C)
sen(B -0) bsen(A + C)
pero
a = 5b y ^ ± ^ = 30°,
2
peroA +B + C=180° =
Sustituyendo en (3)
sen0 _ csenA
sen(B -0) bsenB
b sen(B -6)
csenA senBsenO
sen(A+C)
2 f( senB sen(B-O)
>RsenCsenA senBsenO
sen(B+C) = senA
>
sen(A + C) = senB
entonces, sustituyendo valores en (a)
. f A - B N
5 b -b “ H—
5b + b tan 30c
•
4b H :a ; b)
6b sÍ3
Desarrollando los senos de suma y diferencia de
dos ángulos.
senA cosC + cosA senC senB eos 0 - cosBsen0
----------------- -----—
------- a: ----------------------------- -
senAsenC senBsenO
senAcosC cosAsenC _ senBcosO _ cosBsenO
senAsenC senAsenC senBsenO senBsenO
=> cotC r cotA = cot8 - cotB
cotA + cotB + cotC = cotO
Problema 10
En un triángulo ABC, se tiene que
a=5b y C=120°
Calcule esc2(A - B)
Resolución
Como
A+B+C=180° y C = 120°,
entonces A+B=60°
Por ley de tangentes
a - b
a + b
tan!
A -B
2
Henri Brocard (francés, 1845-1922) contribuye en
la Matemática, con lageometríadel triánguloentre
los años 1870 - 1890 con muchos problemas y
artículos en los periódicos matemáticos de ese
tiempo.
Paradihujarel punto de Brocard, trace un triángulo
ABC,luego trace una circunferencia que pasa por
A y B tangente a BC, adem ás trace una
circunferencia que pasa A y C tangente a AB,
finalmente trace la circunferencia qué pasa por B
y C tangente a AC, entonces las tres
circunferencias se intersectan en un punto
0 llamado el primer punto de Brocard.
425

De las identidades pitagóricas:
csc2(A- B)=1 + cot2(A- B), calculamos
tan(A- B) de la siguiente manera
tan(A-B) =
por identidad de tangente de arco doble
tan(A-B) =
1- M í
. 9 J
reemplazando tan
tan(A -B ) = i ^
23
,2 ,. 529
CO
t (A- B) =^
Finalmente csc2(A-B) = 1+ 5?9 _ 961
432 432
Problema ti
En un triángulo ABC el ángulo C mide 60° y los
lados a y b miden a= 272 + 72 y b= 272 - 72
Calcule la medida del ángulo A.
A -B ) 272
2 1 9
R esolución'
En la figura 6.28 se tienen esquematizados los
datos del problema.
Entonces
A+B=120° => B=120°-A
De la ley de tangentes
, / A -B '
. tan —
—
a-b I 2
a +b . ( A+B
3n[ 2
Reemplazando datos
272 +72-(272-72) tani
A -B
272 +72 +272 - 72
'A -B '
tan60°
tan
272
2n
>tan
A-BV ^2
2
Pero B=— -A .entonces
tan
' 271
A------+ A
3 = — =* tañí A - —
1= —
=» A— = arctan
3
>A = —+arctan
3
2
í 72]
{ 2 J
(I
buscando su equivalente
f ¡2
=>A=arctan(72)+arctanl —
Porpropiedad
A =arctan 2
1 -V3
V2
+ 7T
A=arctan(-472 - 372)+ 7
t
/. A=n-arctan(472 +372)
Luego la medida del ángulo
A:- +arctan— ó ít-arctan(472 +372)
3 2

Problem
a12
S ien d o 6 un án g u lo c u a lq u ie ra , e n to n c e s h alle un e q u iv a le n te p ara la e x p re sió n
aco s(e - B) + b co s(e + A) en un triángulo ABC.
Resolución
Sea K la expresión a simplificar
CAPÍTULO VI________________________ Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo
K = acos(0-B ) + bcos(0 + A) = a[cos0cosB+sen0senB] + b [(cos0cosA-sen0senA)]
K= acose cosB + asenO senB + bcosO cosA - bsen6 senA
K=cos0(acosB+bcosA) + senO(asenB - bsenA) ... (1)
De la ley de senos----- - = -——, entonces asenB = bsenA
senA senB
Además de la ley de proyecciones tenemos c= acosB + bcos A,
reemplazando en (1)
K = cos0(c) +sen0(O)
.-. K = ccos0
Luego acos (0 -B ) +bcos (0 + A) = ccos0
Problem
a13
ccosA + ccosB
En un triángulo ABC, si cosC = 0,1. Calcule el valor de E= 1 ---------------------
a + b
Resolución
a+ b - ccosA - ccosB
L = --- ------------;------------
a+ b .
a - ccosA + b - ccosB
h = -------------------- --------- -U J
a + b
De la ley de proyecciones a - ccosA = acosC y b - ccosB = bcosC, reemplazando en (1) tenemos
_ acosC + bcosC (íh -TOcosC ' „ .
E = ---------------------= —-------=— = cosC = 0,1
a+ b £a+t>)
Problem
a14
En un triángulo ABC, se tiene como datos el lado a, la mediana relativa a dicho lado m a y el área
correspondiente a dicho triángulo es S. Exprese cotA en términos de los datos.
427

Lumbreras Editores 4 Trigonometría
Resolución
Del teorema de la mediana
4m^ =b2+c2+2bccosA ...(1)
De la ley de cosenos
a2=b2 + c2- 2bccosA (2)
Restando (1) y (2), tenemos
4m2a - a2=4bccosA ... (3)
Como S es el área correspondiente al AABC,
tenemos
„ be « 2S
S = — senA=> be = ---- ...(4)
2 senA
4m2 - a 2 =4 í ^ Icos A
a VsenAj
4m2 - a 2 =8ScotA
4m2 - a2
cotA =-
8S
Problem
a15
¿En qué tipo de triángulo ABC se cumple
2rbrc = be?
Resolución
B C
Como rb= ptan - y rc= ptan -
Sustituyendo en la condición
2
( B) í C )
p ta n - p ta n -
«
--
V > l • y
= bc
j( p - a ) ^ < ) , j(p - a)(jx-^f>í
- a =bc
2 p (p -a)= b c
, ,. , J a+b+c
(a+b+c) —
V
(a+b+c)(b+c -a )= 2bc
(b+c)2 - a2 = 2bc
b2 + c2 + ,2bc - a z=.2fec
b2+c2= a2 Teorema de Pitágoras
%
Por lo tanto el triángulo ABC es del tipo rectángulo
y es recto en A.
Problem
a16
A partir de un cuadrilátero ABCD de lados
respectivos a,- b, c y d. Halle la ta n ^ -jj en
términos de a, b, c y d y el semiperímetro p.
Resolución
A partir del enunciado podem os plantear el
siguiente gráfico.
Figura 6J¿9
C= 180°-A (por ser un cuadrilátero inscriptible)
En el triángulo ABD (teorema de cosenos)
BD2=a2+d2-2ad cosA ...(1)
En el triángulo BCD (teorema de cosenos)
BD2=b2+c2-2bc eos (180°-A)
=> BD2=b2+c2+2bc cosA ...(2)
De (1)=(2)
a2+d2
-2ad cosA=b2+c2+2bc cosA
Despejando cosA obtenemos
cosA =
a +d - b - c
2ad + 2bc
Pero cómo 0<A<180° = >0 < —< 90°
2
de donde es agudo con lo que
A! . A
tan— = tan—
21 2
, A
=> tan —=
2
1-cosA
1+cosA
...(4)
428

Reemplazando (4) en (3), obtenemos
, A
tan —=
2 -
a + d - b
2ad + 2bc
1+ -
2ad + 2bc
Reduciendo obtenem os
„ A
•tan —=
- 2
, A
•tan —=
2
(b + c + a - d ) 2
(a + d)2 - ( b - c ) 2
b + c +a - d = 2p - 2d
b + c - a +d = 2p - 2a
a +d + b - c = 2p - 2c
a + d - b +c = 2p - 2b
( 6)
A |(2 p -2 d )(2 d -2 a)
tan 2 ~ ]](2p - 2c)(2p - 2b)
( p -d ) (p - a )
(p - c)(p - b)
Problem
a1
7
Dado un cuadrilátero ABCD bicéntrico ABCD
donde AB = s e n 8 , BC = c o s 0 , CD = ta n 0 ,
DA=cot8 . Halle el área de 1« región contenida
por este cuadrilátero.
Resolución
Del enunciado podem os plantear el siguiente
Como las longitudes son cantidades positivas,
entonces podem os plantear
senG > 0 , eos 0 > 0 , ta n 8 > 0 , cote >0 .
De donde concluimos 8 e IC ...(-1)
Por otra parte sea S el área pedida
=>S = y sen0 cos0 tan0 cote
(por ser un cuadrilátero bicéntrico)
=> S = -JsenQ cos0 ...(2)
Debido á que ABCD es un cuadrilátero
De la figura 6.30(b) sen0 +tan 8 =cos 8 +cot 0
_ „ cos8 senB eos2 8 -s e n 28
=> sen0 - cos8 = ---------------- ----------------------
sen0 cos0 sen0 cos0
Efectuando, obtenemos
(sene-cose) = -Csene+cose)(sen0 -c o s 8)
sen8 cos8
De donde sen 0 -co s 0 =0 ...(3)
o también 1= -|
( sen8 +cos8 )
...(4)
, sen0 cos8 J
De (3) sen 0 =cos 0 => tan 0 = 1; 0 =45°+360°K;
K eZ ...(5)
S = Vsen(360°K + 45°)cos(360°K + 45°)
Reduciendo
S = Vsen45°cos45°;
V2 V2 . V2 2
— => S =—- u ¿
2 2 2
,.(6)
X = -í
(+)
; (porque 8 e 1C)
Si analizamos la condición (4)
í sen 0 + cos0 )
l cos0 sen0 J
M
(+ )= (-)(+ ) (lo cual no es posible)
¡2
El área de dicha región es S = —-u 2
429

Problem
a18
Del gráfico mostrado BD=
6^3
5
. Calcule DE si M es punto medio de BC.
Resolución
Como BD es bisectriz interior del AABM, utilizamos la fórmula obtenida en el ejemplo 15 de este capítulo
BD
l
2(3) x (BM)
3 + BM
xeos30°
0 0 0 { m ) y 0
5 ~ 3 + BM* 2
BM = 2 ; como BM = MC, entonces MC=2 (véase figura 6.3l(b))
Figura 6.31
Asimismo BE es bisectriz interiorfiel AABC, y aplicando otra vez la fórmula obtenida en el ejemplo 15
de este capítulo tenemos:
2(3X4)
3 + 4
xeos30° Luego DE = BE - BD
= 12n
/3 _ 6 n
/3 . d e = 18n
/3 -
7 5 ” 35
Problema19
Determine en función del circunradio y de los ángulos de un triángulo, las distancias da, db y dc del
centro de la circunferencia inscrita a los vértices.
Resolución
De la figura 6.32; da es la distancia del incentro al vértice A ( r : inradio).

En el triángulo rectángulo ATI
A r r
sen—= — => d = ------t
-
2 da sen—
2
C
s
j
4
Vea el ejemplo 10 de este capítulo
Luego da= 4Rsen—sen —
Análogamente
._ A C , AO A B
dh= 4Rsen—sen — y dc=4Rsen—sen—
b 2 2 y 2 2
Problem
a20
Determine en función del radio de la circunferencia circunscrita y de los ángulos de un triángulo, la
distancia entre el incentro y circuncentro.
Resolución
En la figura 6.33 O es circuncentro e I es incentro del AABC.
Asimismo por geometría m < AOC = 2m < ABC = 2B
Como el A AOC es isósceles se tiene
m < OAC=m < OCA=90° - B
Ademáis por ser 1incentro, se cumple que
,. „ A
m < 1AC = —
Entonces
m < IAO = ~ - (90°- B) ; pero A+B+C = 180°
Figura 6.33
B -C
m < IAO = ——
En el triángulo IAO, x es la distancia del incentro al circuncentro del AABC, da y R son la distancia del
incentro al vértice A y circunradio del AABC, respectivamente. Por ley de cosenos tenemos
%
*2= d¡ + R2- 2 d* Rcos(m < IAO)
Pero
B C
da =4Rsen—se n — ... (del problema anterior)
431

Entonces
jc?=f4Rsert—sen—1 + R2 - 2 í4Rsen —
sen—IrcosT——
—
2 2 ) 1
, 2 2 ) 1 , 2 2
2 icd2 2® 2^ o2 qd2 B C fB C
x = 16R¿sen —s e n —+RZ-8R¿sen—
sen—e o s ------
2 2
x2 = R2+ 8R2sen—sen—
„ B C ( B c y
2sen—sen— - eos —
L 2 2 u ~ 2 ) _
x 2= R2 + 8R2sen—sen —
2 2
t cr
-sen—
2 2L
x 2= R2-8R 2sen—sen—
„ B C ( B C B C
2sen—sen— eos—eos—+ sen—sen—
2 2 . 1 . 2 2 2 2
B C B C
eos—eos — sen—sen—
2 2 2 2.
? r»2 o d 2 B C f B C
x2 = R - 8R sen—sen— x eos —+ —
2 2 { 2 2 )
2 r>2 od2 B C A
x ¿= R - 8R sen—sen— x sen—
2 2 2
Fórmula que relaciona la distancia (x) entre el incentro
y circuncentro, con el circunradio y ángulo de un AABC
x 2 =R2 l-8 s e n —sen—sen-
Problem
a21
Exprese en función del radio del círculo circunscrito y de ios ángulos de un triángulo, las distancias La,
Lt, y Lc de su ortocentro a los vértices respectivos.
Resolución
En la figura 6.34 Laes la distancia del ortocentro al
A y en el triángulo rectángulo AD2H se deduce
La =AD2 x cscC ...(1)
Pero en el triángulo rectángulo AD2B, se cumple
AD¡¡ = ccosA ... (2)
La=ccosAxcscC= 2R.sertCícosAx— —^
La = 2RcosA
Análogamente
.-.L5 = 2RcosB y •••Lc = 2RcosC
432

Relaciones fundamentales en el triángulo oblicuángulo
CAPÍTULO VI
J Mol __________ = =
Si ei ortocentro es exterior al triángulo, las
fórmulas deducidas en este problema se siguen
verificando.
x2 = R2+ 4R2cosA [cosA - cos(B - C)]
L- -cos(B+C)
x 2 = R2-4 R 2cosA [cos(B+C) + cos(B -C )]
x 2 = R2 - 4R2cosA(2cosBcosC)
Problema 22
Exprese en función del radio de la circunferencia
circunscrita y de los ángulos de un triángulo la
distancia entre su ortocentro y su circuncentro.
Resolución
En la figura 6.35 O es el circuncentro y H es el
ortocentro del A ABC, x es la distancia entre el
ortocentro y el circuncentro.
m < OAH = m < OAC - m < HAD
= 90° - B - (90° - C)=C - B
En el A OAH, aplicamos ley de cosenos
x2 =R2 + La2 - 2RLacos(C - B) ... (1)
Además
La =2RcosA... del problema anterior
Reemplazando en (1)
x2 = R2+ (2RcosA)2- 2R(2RcosA)cos(C- B)
x2 = R2+ 4R2eos2A - 4R2cosAcos(B - C)
f ' .
.
.
.
.
.
. "-.ir. -
.—
.-. x2= R2(l - ScosAcosBcosC)
V - ........- - - ...........- —
‘
Fórmula que relaciona la distancia entre el
ortocentroycircuncentro, circuncentroyángulos
de un AABC.
El lector puede aplicar un método semejante y
comprobar que esta fórmula es válida también
cuando el ortocentro es exterior al triángulo.
Problema23
Demuestre que en un triángulo ABC se deben
verificar
l) cosAcosBcosC< g
s A B C 1
¡i) s e n -s e n -s e n -< -
R esolución
i) De la fórmula deducida en el problema(20)
x2= R2C
1- 8cosAcosBcosC)
De donde establecemos
1- 8cosAcosBcosC > 0
•cosAcosBcosC< I
8
ii) De la fórmula deducida en el problema (18)
2 a2f , 0AB C )
x =R 1^8sen—sen—
sen—
l 2 2 2 j
en forma análoga que (i) tenemos
A B C 1
sen—sen-sen —< -
2 2 2 8
En un triángulo ABC, el mayor valor que toma
A B '• C . , 1
sen—sen—sen—,es igual a -
2 2 2 8
433

Problem
a24
Exprese el área del triángulo exincentral del
triángulo ABC, en función del circunradio y de los
ángulos del triángulo dado.
Resolución
Hallando los ángulos del triángulo exincentral
EaE*Ec.
m<BEaC = ^ Í ^ = 9 0 ° - -
a 2 2
m«BEcA = ^ ± ^ 9 0 ° - -
c 2 2
m<AEbC = ^ - ^ = 9 0 ° --
b - 2 2
Aplicando ley de senos en ABEaC
BEa a
=>BEa=4Rsen—eos— ...(1)
2 2
Análogamente
C A
BEc=4R sen~cos— ...(2)
Luego
EaEc=BEa+BEc ...(3)
Sustituyendo (1) y (2) en (3)
- ( A C C AY
EaEc= 4 R |s e n -c o s - + s e n - c o s - l
EaEc=4R$enj^—
y —
j = 4Rcos^ ...(4)
Cálculo del circunradio (R') del AEaEbEc
EaEc=2R'sen(^90o- | j = 2R 'cos| ...(5)
De (4) y (5) obtenemos R'=2R
Bien, la expresión que determina el área (S‘) de
triángulo exincentral
S' = 2(R')2 senj^O0- ^ jsen^90°-|jse.n|^90o- | j .
S' = 2(2R)2eos—eos—
eos —
2 2 2
A B C
S'=8Rcós—cos-cos—
2 2 2
Problem
a25
Exprese en función del radio del círculo
circunscrito y de los ángulos de un triángulo ABC,
el perímetro y área de su triángulo órtico o pedal.
434

Resolución
En la figura 6.37, si trazamos las alturas y unimos
los pies de estas, obtenemos el AA'B'C',llamado
órtico o pedal. Designemos por a', b’, c’ a las
longitudes de los lados de dicho triángulo.
Aplicando ley de senos en el AC'AB':
a’ _ ccosA
senA senC
a ' 2Rserííf.cosA , _ m-v
senA serfC
Análogamente b' = Rsen2B ;c'= Rsen2C
De esa m anera hem os calculado los lados del
triángulo órtico, sea 2p' su perímetro entonces
2p' = a’+ b’ + c'
2p' = Rsen2A + Rsen2B + Rsen2C
2p' = R(sen2A + sen2B + sen2C)
como
A+B+C = 180° => sen2A + sen2B + sen2C
=4senAsenBsenC
(Véase página 355)
S - = ——senB'
2
S’ = (Rsen2A)(Rsen2C)sen(180° - 2B)
2
S' = — sen2Asen2Bsen2C
2
Pero también podemos observar de (1) que
a'=Rsen2A...(l)
Además que se puede expresar como
a'=2R' senA'........ (2)
De la figura 6.37, en el
tsAC'C, ~ + A = 90°=s A' + 2A= 180°
=s senA'=sen2A....(3)
(1)=(2): 2R'senA'= Rsen2A;
sen2A
(R': circunradio del triángula órtico)
•' (2p‘ = 4RsenAsenBsenC )
Tambiér observamos que H es el ortocentro del
A ABC y coincide con el incentro del AA’B’C’,
luego m < B' = 180° -2B
Calculamos el área de dicho triángulo (S1
)
De (3) ______
Simplificando ( r =2R ')
(Esta relación indica que el circunradio de todo
triángulo es igual al doble del circunradio de su ,
respectivo triángulo órtico o pedal)
Problema26
En la figura mostrada, calcule la distancia entre los puntos A y B inaccesibles. Si se observan dichos
puntos desde los puntos C y D ai otro lado de la ribera; siendo CD=m. -
(a)
435

Resolución
Designemos porx a ia longitud de AB, luego observamos que si calculamos la longitud de BD y AD, en
el triángulo ABD es posible calcular AB.
Aplicando ley de senos en CBD
BD m
; m«CBD = 45°
sen60° sen(cCBD)
^ B D - m ^ ?
>BD=m:
sen45° V2/2
BD=m
s
En el AACD
AD
sen75° sen(<CAD)
; m<CAD = 60°
►
AD = m
sen75°
sen60°
m
s¡6 + >/2
&
2
>AD = m
V6 + V2
2V3
Finalmente, aplicando ley de cosenos en el AADB
x2 = BD2 + AD2-2BD x AD x cos30°
F ig u ra 6.38
f ^
2
r V 6 + V 2 Y
X = m - 7 =
l V 2 j
+
r 2 / 3 J i ■ m A
V2 í
x 2= m 2
3 + 2+ V3 3 +S ]
,2 o i. )
2 3
4-V 3
.-.x = m
4-V 3
V 6+n
/2 ) p Ü
2V3 y %
Problem
a27
Dado un cuadrilátero ABCD de lados a, b, c, d respectivamente y el ángulo que forman las diagonales.
Determine el área de dicha región cuadrilátera en términos de sus lados y el ángulo a que forman sus
diagonales.
Resolución
Asumiendo E, la intersección de las diagonales; además si
consideramos las distancias m, n, t y r, (véase figura 6.39) para
luego calcular el área de cada triángulo ABE, BEC, CED y AED;
veamos:
j j sena ^ ^ sena
Sabcd = -m nsena+ -ntsen(180°-a)+ -trsena+ -m rsen(180°- a)
SabcD= |sena(m n+nt+tr+m r) ...(y)

Luego, empleando ley de cosenos para cada lado del cuadrilátero
a2= m 2+ n2-2m ncosa ...(1)
c2= t2+r2-2 trc o sa ...(2)
b2 = n2+ 12- 2ntcos( 180° - a)
-co sa
b2 = n2+ 12+ 2ntcosa ...(3)
Análogamente d2=m2+ r2+ 2mrcos a ...(4)
Sumando (1) y (2): a2+ c2= m 2+ n2+ 12+ r2- 2cosa(mn + tr) ... (5)
Sumando (3) y (4): b2+ d2= m 2+ n2+ 12+'r2+ 2cosa(nt + mr) ... (6)
Restando (6) y (5): b2+d2- (a2+c2) = 2cos a (nt+m r+m n+tr)
>mn + nt + tr + mr =
b2+ d2- ( a 2+ c2)
2cosa
Sustituyendo en la expresión( y ) que determina el área del cuadrilátero
’ ABCD
1
= -s e n a
2
V + d2- ( a 2+ c2)
2cosa
•'•Sabcd = —
tana[(b2+ d2) - ( a 2+ c2)]
4
Problem
a28
En un cuadrilátero inscriptible ABCD de área S, con circunradio R, simplifique la siguiente expresión
K = V(ab + cd)(ac + bd)(ad + be)
Resolución
Para el cuadrilátero ABCD véase figura 6.40
S = S^B0 +SB
C
D
„ ad . b e _
S = — senA + — senC
2 2
pero ,A +C = 180° => senA = senC
luego S =^ d p j senA ... (i)
Aplicando ley de cosenos en el AABD y BCD, con el objetivo de calcular
las diagonales
BD2= a2+ d2- 2adcosA ... (2)
BD2= b2+ c2- 2bc cosC => BD2 = b2+ c2+ 2bccosA... (3)
, -cosA
De las ecuaciones (2) y (3)
a2+ d2- 2adcosA = b 2+ c2+ 2bccosA => cosA =
a2-t-d2- b2- c2 .
2Cad + be)
437

Sustituyendo en (2)
BD2= a 2+ d2- ¿ a d
a2+d2- b 2- c 2
/(ad + b c)
bc(a2+ d2) +ad(b2+ c2)
ad + be
Ep; ^ (ab + cd)(ac + bd) , Bp _ j(ab + cd)(ac +bd) ^
ab + bc V ab +bc .
Si aplicamos ley de senos en el A ABD, obtenemos
Despejando senA de (1) y sustituyendo en (4)
BD = 2RsenA ... (5)
BD- 2R( j y - (6)
de (4) y (6):
I
(ab + cd)(ac + bd)
ad + bc
4RS
ad + bc
.-. K = 4RS
P A R A LA JE
Si se mira a un objeto desde dos lugares diferentes, la dirección de la
visual es distintaen ambos casos. Asf,porejemplo, si un observador es
colocado en Amiraa un objeto P ladirección es ARSiel observadorse
traslada a B, la dirección en la que se observa al (Ajeto P es ahora BR
La diferencia entre las dos direcciones APy BP es el ángulo APB, este
ángulo recibe el nombre de PARALAJEde P. SiA es una posición de la ,
Tierraen su trayectoriaanual, alrededordel Sol (S) Bes la posición que Q i.
ocupa seis meses después (vuelve otra vez a Aen un año) y P es una a ' -
estrella, el ángulo APBse llamaPARALAJEANUALDELA ESTRELLA.
Problem
a29
te
En un instante determinado el ángulo SOL ■TIERRA - ESTRELLA de una cierta estrella es de 95°27’45" y
seis m eses más tarde mide 84°34'13.6". Calcule la paralaje anual de la estrella a la distancia a la que se
encuentra de la Tierra en la primera posición y su distancia al Sol.
R esolución
En la figura 6.41, E representa la primera posición de la Tierra y E’
la segunda, las líneas segmentadas con centro en S representa la
trayectoria anual de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol.
Ilustrando los valores de los ángulos dados en Ey E' respectivamente
entonces
0 =180°-(E + E')
.-.0 = 1,4"
la línea EE' es una recta que pasa por el Sol y se da como
EE' = 298 000 000 km.
es la distancia diámetro de la órbita de la Tierra.
Para calcular PE aplicamos la ley de senos. Figura 6.41

v:
V
EL PRINCIPIO DE LA TR IA N G U LA C IO N
Para medir ia distancia que separa a dos puntos A y B, localizados en la superficie de
la Tierra, uno de los cuales B es inaccesible, se recurre a la triangulación.
El observador marca en el suelo un tercer punto C,
separado de A po r una distancia conocida. Luego,-
apostándose en A enfoca con un teodolito hacia C y luego
hacia B, anotándose el ángulo a . Repite el procedimiento
desde el punto C, dando el ángulo 0 del triángulo ABC '
se tiene tres informaciones, un lado y dos ángulos y por
cálculo los trigonom étricos (de la ley de senos), se puede
calcular la distancia AB, la precisión del método depende
de dos factores: aquella con que se m idan los ángulos y
la distancia AC, y el valor del ángulo B. Si éste es muy
pequeño los ángulos a y 0 son casi rectos.
>AB = d sen9
sena
Los pasajes de Venus
M edir la distancia T ierra-S ol por tria n g u la ció n desde dos bases de la Tierra y
aprovechando las ocasiones en que Venus se ubica entre el Sol y la Tierra. En este
momento desde los puntos A y B en la Tierra a latitudes distintas verán a Venus proyectado
en posiciones diferentes sobre el disco solar: para un observador el tránsito de Venus
durará más tiem po que para el otro. M idiendo esos tiempos de tránsito se obtiene, sobre
el disco solar, la distancia d entre los dos pasajes del planeta. Luego se aplica el método
de triangulación, el que dará con gran precisión la distancia.
* £s innegable la utilidad de h matemática en la astronomía.
Así, por el principio de la triangulación es factible determinar la distancia Tierra - Sol.
439

E jercicios
Lumbreras Editores
Resuelva los triángulos con los datos siguientes:
1. a=40, A=60°, B=45° 7. a=5, b=10, A=30°
2. b=20, A=60°, B=70° 8. a=6, b=4, C=60°
3. a=4, b=5, A=60° 9. a=5, b=8, c=9
4. b=2, c=3, B=40° 10. b=4, c = l, A=20°
5. a=3, b=7, B=150° 11. a=5, b=6, c=4
6. a=8, b=10, A=30° 12. a = 2V3 , b = 3+ S ,
R espuestas
1. b = ^ l ;c = ^(3V 2 +>/6) ;C = 75°
O ü
2. a = 10>/3csc70o ; c = 20sen50°csc70°; C = 50°
3 . No existe el triángulo
4. a = 3cos40° +2(4-9sen240°)1/2; A= 140° -arcsenj^|sen40° j ; C = arcsen^
- VÍ87-3n
/3 „ ono 3 . ( 3
5. c = --------------; C = 30° - arcsen— ; A = arcsen —
2 14 ^14
6 . B = arcsen^|j ; c = 4V3 +2-72Í; C = 150°- arcsenj^|
7. A = arcsenj^j ; c = ^(/Í5 + V3) ; C = 1 5 0 °-arcsen^
8. c = a
/28 ; A=arcsen(3V3) ; B = arcsen
2V3
9. A = arccos| - | ; B = arccos|
V28,
ií);C
-"c
o
s
(ii)
2 / 3 ^
10. a = 5 ;B = arcsen-----; C = arcsen—
5 10
11. A = árceos
{ » -
arccosl - I; C = arccosl - I
12. A=45°; B=!05°; C=30°
Trigonometría
440
CO
|
C
'l

1. La fam osa Torre inclinada de Pisa tenía
originalmente 11073 pies de altura. Desde
un punto situado a 80+307Í9 píes de la base
de la torre, se encuentra que el ángulo de
elevación de la parte más alta de la torre es
de 60°. Encuentre la altura de dicha torre.
Encuentre el equivalente de senAsenBsenC
«i c)!
D>1
A) 82,2573 pies
B) 80V3pies
C) 82,25 pies -
D) 2073 pies
E) 9073 pies
2. La estación de guardacostas Aestá localizada
a 120 millas al oeste de la estación B. Un barco
e*nvía una llamada SOS de auxilio desde el
mar, y la reciben am bas estaciones. La
llamada a la estación A indica que el barco
está a 40° al norte del este. La llamada a la
estación B indica que el barco está a 30° al
norte del oeste. ¿A qué distancia de la
estación A se encuentra el barco en mención?
A) 110 73 csc70° millas
B) 100 73 millas
C) 80 73 millas
D) 200 millas
E) 150 millas
5. En un triángulo ABC se conoce
- + - = 72 ; B - C = 90°
c á
Calcule 2tanAcos(B+C)
A) -7 3 B) -7 2 C) -2
D) -3 E) -272
6. En un triángulo ABC simplifique
M =(a+b)2(l-cosC ) + ( a - b ) 2(l+cosC)
A) 2c2 B) 2a2 C) 3b2
D)2b2 E) c2
7. En un triángulo los lados son números enteros
im pares consecutivos. La sum a de dos
ángulos es 60°. Calcule el área de dicha
región triangular.
A )1^ B) 373 0 473
D) 573 E) 273
3. En un triángulo ABC se tiene que
m < A = 80°, se traza la ceviana BP, (P en AC)
tal que : m < PBC = 10°, además AB = PC.
Calcule m « BCP.
A) 10° B) 20° ' C)30°
D) 40° * E) 50°
4. En un triángulo ABC se tiene que:
cosA cosB cosC a2+ b 2+ c2
:---- — —----- i--------= ------- ñ-----
a b e R3
8. Los catetos de un triángulo rectángulo son:
AB = 3 cm y BC = 4 cm; el triángulo gira 60°
alrededor de AB. Calcule el ángulo que
forman la posición inicial y la posición final
de la hipotenusa AC.
A) árceos |" |j B) 30° C) 16°
D) a rc o s j^ j E) 18°
441

9. En un-triángulo ABC, reduzca la expresión:
Q=a[sen(A + C)-senC]+b[senC-senA]
+ c[senA-sen(A + C)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) -1 E) -2
10. Del gráfico mostrado, calcule la longitud del
segmento AB.
11. En un triángulo ABC, se cumple
B=0,25a,
C=120°
Determine el valor de tan (A - B)
3J3
11
B) 2 s Í3 C) 3^3
3 s / 3
7
’ E) 3V2
2a2 + 3b2 = 7ab a C = 30°.
Calcule ta n ^ ^ ^ -^ j; siendo A>B
A )i(2 +V3) B ) ^ J C ) f
D) 2V3 E) V3 + 3
2 C 2 A ,,
acos —+ ecos' —= kb
2 2
. Halle el valor de k para que sus lados estén
en progresión aritmética. Además A<B<C.
2 3 2
A) 3 'B) 5 C) 5
D )2 E )3
14. Dado el triángulo ABC, halle el equivalente
de
_ a-cco sB b -ac o sC c - b c o s A ’
E ---------------+ --------------+ ----------------- 2
RsenB RsenC RsenA
R: circunradio del triángulo ABC
A B C
A) 8sen—sen—sen —
2 2 2
B) 8seriAsenBsenC
C) 4senAsenBsenC
D) 4cosAcosBcosC
„ A B C
E) 8cos—eos—eos—
2 2 2
15. Del gráfico, halle el valor de EF si r = 1. ABCD
es un cuadrado. Fy G son puntos de tangencia.
16. Para generar un terreno, la dirección de la
alineación PQ que une dos puntos que no son
visibles, el uno desde el otro, se toman otros
dos puntos Ay B(a un mismo lado de la recta
PQ) tales que desde A se pueden ver B, P y Q
y desde B se ven A, P y Q. Se m iden los
442

ángulos a, =BAQ, a 2= BAP, (3, = ABP y Encuentre los valores de los ángulos de dicho
p2 = ABQ se pide hallar senx/seny; si x=AQP triángulo, donde a, b, c son las longitudes de
e y=BPQ. los lados BC, AC y AB respectivamente.
senP,sen(a2-a,)se n (a , +P2)
^ senajSenCPj-P^senC^+p,)
se n 6 ,se n (a .-a ,)se n (a , +p.)
m -------- ----------- -------—»
-------- — —
J se n a 2sen(P ,-P 2)'sen(a2+ P2)
senP,sen(a2+ a,)sen(a, + a 2)
^ se n a2sen(P2+p,)sen(a2+Pt)
senP2sen(a2-a,)se n (a , +P2)
D) se n a2sen(P2+p,)sen(a2+P,)
sen P, sena. sen(a. + P,)
pN -------- í--------- i---------- í-----
J senajSenPjSenCP^aj)
17. En un triángulo ABC, el ángulo A mide 60° y la
altura trazada por este vértice m ide
Halle la suma de las longitudes AB y AC si el
lado BC mide ¡9cm.
A )9 cm B )12cm C )20cm
D) 25 cm E) 8 cm
A) 72°, 24°, 84° B) 72°, 28°, 80°
C) 50°, 60°, 70°
D) 60°, 30°, 90° E) 45°, 55°, 80°
20. Si ABCDEF es un hexágono convexo de
perím etro 2p tal que AB//DE BC//EF y
CD//FA, si Ra, F^y Reson circunradios de los
triángulos FAB, BCD y DEF respectivamente..
Luego la relación correcta es:
A) Ra +2Rg > p -R e
B) Ra+Rb+Re > 2p
C ) R
A+RB+Rc>
2
D) Ra +Re + —P
E) RA+ Re ^ RE + p
21. En un triángulo ABC, si tomamos un punto D
sobre el lado AC, tal que
m<ABD = m«DCB = P; si adem ás CD=BA.
Halle la medida del ángulo DBC. Considere
a rc ta n ^ ^ ^ j = 52°
A) 23° B) 83° ' C) 43°
D) 77° E) 63°
18. Dos lados de un triángulo son núm eros
enteros y consecutivos, forman entre sí un
ángulo de 120° y su tefeer lado mide V§7 .
Calcule el valor de su bisectriz interior relativa
al lado de medida V¡37 .
22. Sea ABCD un cuadrilátero inseriptible que
tiene por lados AB=a;BC=b; CD=c; AD=d,
A
halle eos —en términos del semiperímetro
p y los lados a, b, c y d.
21
A) y
, 12
b) T c > T
D) 2 E) 3
19. En un triángulo ABCse traza la bisectriz interior
AD la cual forma con el lado BC un ángulo de
60°, sabiendo adem ás que b + c=3AD.
A) |( P - aX p - d)
v .ad + bc '
C)
D)
ab +cd
V (p -a )(p -b )
ab + cd
|(p -b )(p -c )
B) K P-b)(p —
c)
V ad + be
. I(p -a )(p -b )
v (p -c )(p -d )
443

TM03ffl0ffiusosia
1 5 _ 0

CAPÍTULO
V I I
Funciones
trigonométricas
/
■ — • ■ : 1 : :
Fenómenos físicos y funciones trigonométricas .
La mayoría de fenómenos físicos son eventos periódicos, por ello se les
puede modelar matemáticamente, mediante las funciones trigonométricas,
dado que la característica principal es su periodicidad. El sonido de una
cascada o de las olas del mar poseen un timbre característico, en esos.
sonidos compuestos hay infinidad de frecuencias.
v_________ ' ... '.:r ■ ' -- ■" :

M
.
T E L E C O M U N IC A C IO N E S Y F U N C IO N E S T R IG O N O M É T R IC A S
Una de las aplicaciones de las funciones trigonométricas está dado en las
comunicaciones inalámbricas; como las que se usan en los equipos cotidianos que
trasmiten datos digitales como los teléfonos celulares incluyendo los de fas redes locales
que enlazan las computadoras con otros equipos electrónicos. Las transmisiones de radio
son sinusoidales, es decir, ondas en forma de seno, las cuales serán estudiadas y analizadas
matemáticamente.
Un esquema de lo expuesto se muestra a continuación
__ Las ondas de radio sinusoidales son continuas, tienen
^ gran amplitud y ocupan sólo una frecuencia cada vez
A A A .A A . A - í
U l / l / Ü l / Ü Ú '
AMPLITUD
Un pulso radial es una onda simple, breve en duración y de
baja amplitud. Acústicamente se parecería más a un "clic" qué
-a un tono y por eso ocupa una ancha banda de frecuencias.
Lo mismo se aprecia en teléfonos de uso doméstico
u - 7
Oficina
Central
(CO)
__Red Pública de
Servicio Telefónico
(PSTN)
Oficina
Centra!
Remota
(CO)

Tunciones
/ trigonométricas
OBJETIVOS
• Comprender la teoría de fundones y su aplicación en nuestra vida cotidiana.
• Analizar y conocer el dominio, rango y regla de correspondencia de una función.
• Interpretar la gráfica de una función.
• Identificar el crecimiento, decrecimiento, continuidad y discontinuidad de una función,
• Reconocer las funciones par, impar y periódica; inyectiva, sobreyectiva y biyectiva,
• Analizar las funciones trigonométricas fundamentales para la resolución de ecuaciones
trigonométricas. •
INTRODUCCIÓN
El término matemático función se remonta a finales del
siglo XVII,’cuando el cálculo se encontraba en sus primeras
etapas de desarrollo. Este concepto es ahora fundamental en
los cursos avanzadosde matemática, yes indispensable en todos
los campos de la ciencia.
Eneldesarrollode lateoríade funciones se utilizacon mucha
frecuencia la palabra dependencia. Ejemplos de dependencia
lo podemos percibir cotidianamente:
“El área de un círculo depende del radio que lo define”
(Véase figura 7.1).
“La distancia recorrida por un móvil depende del tiempo
transcurridoa partirdel instante en que parte de unpuntodado,
así como también de otros factores”.
“E
l volumen de un cilindro recto depende del radio de su base
y la altura".
“El precio de venta de cierto producto depende del costo de la
mano de obra, precio de las materias primas, así como también
de otros factores”.
En el presente capítulo daremos mayor importancia a las
funcionesque dependendeunasolavariable,porserlasde mayor
uso; aun en los primeros anos de estudios universitarios.
Figura 7.1
El área del CD mostrado es igual a
447

F unciones T rigonométricas D irectas//
En el estudio de las funciones trigonométricas directas observamos que su propiedad fundamental es
la periodicidad, ya que es un instrumento matemático para describir todos los fenómenos periódicos
com o los latidos del corazón (mediante el electrocardiograma) y las ondas sonoras. La mayoría de
animales obtienen información del medio ambiente que los rodea detectando algunos tipos de ondas,
y se comunican entre sí, produciendo otros tipos de ondas; por ejemplo, el hombre detecta la frecuencia
de la luz y el sonido, con los oídos, y la radiación infrarroja con la piel.
Si bien es cierto, hasta el momento se ha mencionado la dependencia de ciertos fenómenos reales,
pero debe entenderse que aquello puede ser representado mediante una ecuación matemática, también
denom inada regla de correspondencia. .
y = f(x) ... (i)
Esta representación indica que la función depende de una única variable representada por x, la
cual se lee como: y en función de x o y depende de x. Ax se le denomina variable independiente,
mientras que a y se le denomina variable dependiente o función de x. Para el uso de las funciones
trigonométricas, que es motivo de nuestro estudio, a x se le denominará indistintamente variable
independiente o argumento y a y variable dependiente o función del argumento.
En esta regla de correspondencia (1) se cumple que para cada valor de la variable independiente^)
le corresponde uno ysolo un valor a la variable dependiente (y). Acontinuación citamos algunos ejemplos
aplicativos mencionados en las páginas siguientes, para ello se sugiere prestar la atención necesaria
puesto que estos ejemplos nos ilustran la relación que hay entre fenómenos reales y entes abstractos a
través de su representación en forma matemática.
Ejemplo
El crecim iento de un feto de m ás de .dos sem anas se puede calcular m ediante la fórmula
y= l,53x-6,7
En la cual y es la longitud e n c m y * es la edad en semanas del feto.
Para *=16 semanas, entonces y= 17,78 cm
Para *=30 semanas, entonces y=39,2 cm
y así sucesivamente.
Nótese que para cada número de semanas * le corresponde al feto una única longitud y.
Una de las personas que contribuyó al desarrollo de la teoría de funciones, específicamente
“Concebir que una función se podía representar gráficamente”, fue René Descartes. A continuación
citamos una sucinta reseña histórica.
448

CAPÍTULO Vil Funciones trigonométricas
Nota H i s t ó r í t a ______________________ _____________ _ _ _ _____________________________
El hecho de considerar una variable como función de otra variable no es una idea reciente. Dos siglos antes
de nuestra era, el astrónomo griego Hiparco elaboró una tabla en la que se daban los valores de las cuerdas
correspondientes a varios arcos de circunferencia con el fin de facilitarlos cálculos para localizar los astros.
Por espacio de muchos siglos, fueron frecuentes en los libros de matemática las tablas que daban para
determinados valores de una magnitud variable los valores correspondientes de otra magnitud
correspondiente de la primera. Las tablas más comunes de este tipio eran las trigonométricas'y las
logarítmicas. '
En el siglo XVII, René Descartes descubrió que era posible “visualizar” las
correspondencias entre las magnitudes de tales tablas mediante una representación
geométrica. Parece ser que fue el 10de noviembre de 1619 la fecha que tuvo esta
¡dea a la vez simple y genial; es decir, empleó únicamente un eje X y no se refirió
para nada a un eje Y. De cada valor de X calculaba el correspondiente valor de Y
mediante la ecuación, obteniendo de esta forma las coordenadas de X e Y.
Evidentemente el uso de los ejes no es una necesidad, sino una conveniencia.
Anotamos también que E Engels dijo: “El punto de viraje de la matemática fue la
variable de Descartes. Gracias a esto se introdujo en la matemática el movimiento
y con él la dialéctica, merced a lo cual surgió la inmediata necesidad del cálculo
diferencial e integral, que comienza inmediatamente a partir de entonces y que
Newton y Leibniz en general, perfeccionaron, pero no inventaron”. René Descartes
A continuación empezaremos el desarrollo teórico del presente capítulo con el primer punto.
NOCIÓN DE FUNCIÓN _______________________
Una función f de un conjunto A en otro B, donde A y B
diferentes del vacío, es la correspondencia que asigna a cada
elemento r de A un único elemento y de B. Al conjunto de
todos los.valores posibles de x e A se llam a dom inio de
definición o existencia cuya notación es Domf o Df y al
.conjunto de todos los valores de y e B se llama contradom inio
o variación de la función (comúnm ente conocido como
rango) con notación Ranf o Rf. No todo elemento de B es
rango de la función, véase figura 7.2
Supongamos que sobre cierto conjunto A está definida una función f(x); entonces el valor de esta
función, correspondiente a cierto valor del dominio x0se designará f(x0).
Por ejemplo f(x) = x3- i
Entonces f(-l) = (-1)3- 1 = -2 , f(3) = (3)3- 1 = 26
Ahora sí tenemos una función definida para la ecuación y = x2
La tabla 1 muestra los valores de y asignados a valores específicos de x y la figura 7.3 visualiza la
correspondencia de los números de esta tabla (nótese que para cualquier valor real de x le corresponde
un único valor de y).
449

Lumbreras Editores
X y = *2
-1 1
-1/2 1/4
0 .0
1/2 ■1/4
2 4
& 2
Tabla 1
Trigonometría
f
Podemos considerar una función como un conjunto de pares ordenados (x ;y ) en los que no existen
dos pares ordenados diferentes que tengan el m ism o prim er elemento.
Así del ejemplo ¿interior los pares ordenados de la función definida por la ecuación y = x 2, son
{(-1; 1). (-1/2; 1/4), (0; 0), (1/2; 1/4), (2; 4)x( V2 ; 2)} elaro está que bay un número ilimitado de pares
ordenados en esta función, algunos otros son (2; 4), (-2; 4), (5; 25), ( V3 ; 3)...etc
A continuación mostramos una aplicación que nos permite entender un poco más el concepto de
una función.
Sea Ael conjunto de todos los autos operativos en la ciudad de Limay B
el conjunto de todas las placéis de dichos autos, se deduce que a cada
elemento de A le corresponde un único elemento de B. No tendría
sentido que a un elemento de Ale correspondan dos elementos de B(o
sea un auto con dos placas diferentes).
Regla de Correspondencia
Es la representación formal (matemática) de la relación que existe entre la variable o variables
independientes con la variable dependiente. Según lo anterior su representación será:
y , = f(x1;x2 ;x3;x 4;...;xn)
Variable n variables
_ dependiente
De donde se obtiene la siguiente regla de correspondencia
0 y - f(x); si x e y e R*se le denomina función real (y) de variable real (x).
f es la función y f(*) es la función evaluada en x .
Pero como usted debe entender, existen funciones con más de una variable independiente cuyas
reglas de correspondencia son de la forma
ii) Z = f(x;y): Representa una función de dos variables x e y con variable dependiente z.
7/0 w = f(x; y; z): Representa una función de tres variables*, y, zcon variable dependiente w.
etc...
450

CAPITULO Vil Funciones trigonométricas
i Nota
Respecto a las funciones de una o más variables podemos notar.
y = f(>): Su dominio es un conjunto de números reales o un intervalo de valores en el eje X.
z = f(x; y) Su dominio es un conjunto de pares ordenados o una región en el plano xy.
w= f(x;y;z) Su dominio es un conjunto de ternas ordenadas o una superficie en el espacio xyz.
A continuación mostramos algunos ejemplos al respecto.
Ejemplo 1
La función f(x)=x2 tiene una sola variable independiente x.
Su dominio es el conjunto de todos los números reales (x e R ).
Su rango lo forma el conjunto de los valores de f(x) (variable dependiente), los cuales son todos los
valores no negativos, es decir Ranfe [0;+°°). Evaluando para algunos valores de x se tendría
m h
f(-l)=(-D2=l
f(4) = (4)2 =16
f(-D = i
f(4) = 16
Ejemplo 2
La función f(x;y) = | x | + 1y | tiene dos variables independientes x e y, el dominio de esla función e$ e
conjunto de pares (x;y) con x,ye R y el rango es el conjunto de valores de f(x;y) (variable dependiente),
para esta función, sus valores son los no negativos, es decir Ran f= [0;+ °°), evaluando para algunos
valores d s x e y se tiene:
f(-l;2 ) = | - l | + |2| = 3
f¡ l=m+ lj 3 ,
2! = 2 ’
Un ejemplo real de una función de dos variables sería aquella con la cual, anteriormente, se
enfrentaban los alumnos postulantes a la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) como es su nota
final de exam en de admisión.
Aplitaqón
Sea I la nota de examen de admisión de un postulante a la UNI (Universidad Nacional de ingeniería), en la
actualidad (agosto 2002), el valor de esta nota depende de dos variables como son la nota promedio de
examen Ay la nota del colegio B. La correspondencia entre las variables queda así:
I(A;B) = 0,9A +0,1B
Si la nota promedio de un postulante es 16,745yla nota de colegio es 14,234, entonces para obtener la nota
de examen de admisión se procedería de la forma siguiente
Identificando A= 16,745 y B=14,234
Luego 1(16,745; 14,234)=0,9(16,745)+0,1(14,234)
De donde la nota I de ingreso que obtendría el postulante sería 1=16,493.
De ahora en adelante nos abocaremos al estudio de aquellas funciones reales de una sola variable
real (y=f(x)), aunque también se analizarán funciones con más de una variable.
.451

Gráfica de Funciones
La gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos O; y) en el plano cartesiano cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación y = f(x). ,
Ejemplo 1
Grafique la función definida en y = x3
Resolución
El dominio de esta función son todos los números reales. En la tabla 2 listamos cinco parejas ordenadas
de la función. (Los valores del dominio se escogieron enteros de manera que los correspondientes
valores de la imagen fueran fáciles de calcular).
X -2 -1 0 1 2
y -8 -1 0 1 8
Luego marcamos las cinco parejas ordenadas en el plano cartesiano, tal como se muestran en la figura 7.4(a).
La curva resultante de la figura 7.4(b) sólo es una aproximación a la gráfica real de la función. Entre
más puntos marquemos más exactitud tendremos en la curva resultante.
Figura 7.4
Ejemplo 2
Grafique la función y = 3x + 4
Resolución
El dominio consiste en todos los números reales. Acontinuación
escogemos algunos valores convenientes para x y calculamos
los correspondientes valores de y.
X -i 0 1/3 1
y i 4 5 7
Tabla 3
En la figura 7.5, se ha marcado las parejas ordenadas y al unir
estos puntos mediante una curva suave o lisa, la gráfica resulta
ser una línea recta.

A continuación, se tiene la gráfica de algunas funciones de uso frecuente.
y= x y= x2 y = M y='Jx
1
— y=V 1-x2 ' y=logr
Si la gráfica de una función y = f(x) se dibuja con precisión, usualmente es posible ver el dominio y el rango
de f. (W ase figura 7.7). Nótese que el dominio de fes algún intervalo u otro conjunto de números reales en
el eje X (se proyecta la gráfica de f sobre el eje A), y el rango de f es algún'intervalo u otro conjunto de
números reales en el eje Y (se proyecta la gráfica de f sobre el eje Y).
Luego, dominio de f:[a;bl
Figura 7.7
-453

Prueba de la Recta Vertical para una Función de la Forma y = f(x)
Por la definición de una función sabemos que por cada x en el dominio de f corresponde un valor
único f(x) en el rango. Esto significa que cualquier recta vertical que intersecte la gráfica de f puede
hacerlo como máximo en un punto. Y viceversa, si cada recta vertical intersecta la gráfica de una
relación por lo menos en un punto, entonces la relación es una función. ,
Ejem plo
I. En la figura 7.8(a) vemos que cualquier recta vertical intersecta la gráfica de la relación definida por
y=(x+2)2, en máximo un punto. Por lo tanto, la relación determina una función y= f(x).
II. Como la muestra de la figura 7.8(b), una recta vertical puede intersectar la gráfica de la relación
definida por (x| + |y | =2, en más de un punto. Por lo tanto, la relación no determina una función
y=f(x). .
(a) Gráfica de una función (b) No es la gráfica de una función
(Porque toda línea vertical la
cortaalo más en un punto)
(Porquepresentados puntos de corte)
(c) Gráfica de una función
(Porque presenta un solo punto de corte)
Figura 7.8
Construcción de Gráficas de Funciones a partir de Gráficas de Funciones Conocidas
A continuación se muestra un conjunto de reglas que le ayudarán a realizar u obtener gráficas a
partir de gráficas conocidas como son una parábola, una recta, una senoide, etc.; para ello le sugerimos
que siga con atención cada una de la reglas, asf como sus ejemplos respectivos.

CAPÍTULO Vil Funciones trigonom étricas
■ Regla 1 ^ -
La gráfica de la función y=f(x)+c se obtiene a partir de la gráfica de la función y =f(x) mediante el
desplazamiento de ésta a lolaigo del eje Y, c unidades hacia arriba si c>0, ó |c| unidades hada abajo si c<0.
Ejemplo 1
Grafique las siguientes funciones
a) y=x2+2 b) y=x3-V2
Resolución
Las gráficas de las fundones dadas están construidas
en las figura 7.9(a) y 7.9(b) respectivamente.
La gráfica y = x2+ 2 está 2 unidades'
arriba de la gráfica de y = x2.
La gráfica y = x 3- %
/2 está -Í2 unidades
abajo de la gráfica de y = x3.
Ejemplo 2
En la figura 7.10(a) se tiene la gráfica dey=f(x)
Grafíquese
7
1
La gráfica de la función y - f(x) está construida
en la figura 7.10(b) y la gráfica de la función
y=f(x)+ n está construida en la figura 7.10(c).
Figura 7.9
455

_______ , - / i R e g l a 2 ^ . ¡f. _____
A partir de la gráfica de la función y=f(x), se obtiene la función y=f(.x-a), desplazando a lo largo del
eje A “a” unidades hacia la derecha si a>0; y |a | unidades hacia la izquierda si a<0.
Ejemplo 1
a) y= ¡at- 2 |
Resolución
Las gráficas de las funciones dadas están
construidas en las figuras 7.11 (a) y 7.11 Cb)
respectivamente.
Nótese que la gráfica y —Ix -2 | se encuentra 2
unidades a la derecha de la gráfica de y = |xl
(si f(x) = Ix! => f(x - 2) = Ix - 2l).
Nótese que la gráfica de y = ------ se encuentra 2
x + 2 i
unidades a la izquierda de la gráfica de y = -
x
(si f(x) = -= > f(x + 2) =
x x + 2
Ejemplo 2
En la figura 7.12(a) se tiene la gráfica de y=fO).
Grafique las funciones
«J j b)
Resolución
Las gráficas de las funciones dadas en (a) y (b)
están construidas en las figuras 7.12(b) y 7.12(c).
456

_________Re9,a 3 . . . . ...............
La gráfica de la función y=-f(x) se obtiene a partir de la gráfica de la función y=f(x) mediante la
reflexión directa respecto al eje X.
Ejemplo 1
a) y --* 2
b) y=-log(x-2)
Resolución
construidas en las figuras 7.13(a) y 7.13(b)
respectivamente.
Figura 7.13
Nótese que la gráfica de y=-x2es simétrica con
la gráfica de y =x2, respecto al eje X.
Ejemplo 2
En la figura 7.14(a) se
grafíquese y=-f(x)
tiene la gráfica de y=f(x),
Y
/ >v
0 /
Resolución
En la figura 7.14(b) se
de y=-f(x).
^ y-fCr)
(a)
tiene construida la gráfica
Y
^ y=-f(x)
/ /*
* / '
v V
^ y A"X
/
/ *
J Y *y
/ A
/
*
_ - - — — >».
0 k A
v y=f(x)
(b)
Figura 7.14
Note también que en este ejemplo la gráfica de
y= -f(x) es simétrica con la gráfica de y=f(x),
respecto del eje X.
457

Regla 4
La gráfica de la función y=f(-x) se obtiene a partir .de la gráfica de la función y=f(.r), mediante la
reflexión directa respecto al eje Y.
Ejem plo
a) y =f^x b) y=2~x c) y=ln(-or)
d) y=(-x)3 e) y = _L 0 y = log,(-x)
-X 2
R esolución
Las gráficas de las funciones dad as están
construidas en las siguientes figuras.
Figura 7.15

CAPÍTULO Vil -_____________________ Funciones trigonométricas
■
: ReglaS v
. _______ * . ____ m M M m ~ '" n ----- ------------------------ ' " • ..........■
■:■
■
...... ■
-•■ -----
La gráfica de la función y=kf(x) se obtiene a partir de la gráfica de la función y=f(jr), mediante el
estiramiento de este k veces si k> 1; y se contrae k veces Hacia el eje X si 0<k< 1.
Ejem plo 1
a) y=2x2 b) y = ^jc2
c) y=3x3 d) y = | x 3
R esolución
Las gráficas de las funciones dadas en a y b se
dan en la figura 7.16(a); y las gráficas de las
funciones dadas en c y d se dan en la figura
7.16(b).
Ejem plo 2
En la figura 7.17(a) se tiene la gráfica de y=f(x).
Grafique
a)y= 2f(x) b) y = |f ( jr )
Las gráficas de las funciones dadas en a y b se
han construido en la figura 7.17(b)
2
1
1/2
Ó
- 1/2
-1
-2
(b)
Figura 7.17
Nótese que las gráficas de y=2f(x), y = ^ f( x ) ,
resp ecto de y= f(x) se estiran o contraen
respectivam ente, pero horizontalm ente se
mantienen.
459

La gráfica de la función y=f(kx) se obtiene a partir de la gráfica de ia función y=f(x) mediante la
1 ' 1
contracción de este en el eje Y, - veces si k> 1y se expande a partir del eje Y, ^ veces si 0<k< 1.
Si k es positivo, los valores de ia función f(x) para a < x < b son los mismos que los de la función f(kx)
3 b
para a < kx < b , o lo que es lo mismo —< x < —.
k k
Así por ejemplo en la figura 7.18(a) se tiene ia gráfica de la función y=f(x), dicha gráfica se obtiene
a partir de la tabla 4. Entonces la gráfica de la función y=f(2x) se da en la figura 7.18(b), mientras que
la gráfica de la función y = fí ^ x J se da en la figura 7.18(c).
X -471 - 3 n - 2 n -Tí 0 TI 2n 37Í 471
ti
X
s—
/
0 Tí 0 7
1 0 Tí 0 T
I 0
Tabla 4
Con respecto a la gráfica de la función y=f(x). lo gráfica de la fundón y = f
estira (expande) a partir del eje Y
.
Figura 7.18

Para obtener la gráfica de la función y = | f(x) ( a partir de la fuoción y=f(x) es necesario dejaf sin'
cambios los trazos de la gráfica y=f(x) que están por encima del eje X (o contenidos en el eje X) y
reflejar en forma especular (simétrico) respecto al eje X los tra2os inferiores a este eje.
Ejemplo 1
a) y = |I
jc|—
11
b) y = |x 3+ 21
Resolución
construidas en las figuras 7.19(a) y 7.19(b)
respectivamente.
Ejemplo 2
La gráfica de la función y = f(x ) se da én la
figura 7.20(a)
Grafique la función y = | f(x)|
Resolución
La gráfica de la función y = |f(x)| se ha
construido en la figura 7.20(b)
Figura 7J20
461

Lumbreras Editore:
.................... .................. g V . ’ A ■ - • ' - V • [
Para obtener la gráfica de la función y = f(|x¡) a partir de la gráfica de la función y= f(x) es necesario
construir la gráfica de la función y=f(x) para x>0, y reflejarla en forma especular respecto al eje Y.
a_________________________________________ ____________________ Trigonom etría
Ejemplo 1
Construya la gráfica de las funciones,
a) y = >/Íx¡ b) y = 2w
Resolución
Las gráficas de las funciones dadas en a y b están
construidas en las figuras 7.21 (a) y 7.2 l(b)
respectivamente.
Figura 7.21
Ejemplo 2
La gráfica de la función y=f(x) se da en la figura
' 7.22(a)
Grafique y = f(| x |).
Resolución
La gráfica de la función y = f(| x ¡) está construida
Figura 7.22
462

ACERCA DE LA LETRA X
La explicación de que la x, según las enciclopedias, es el signo con el que se representa
en matemática a la incógnita se encuentra en los matemáticos árabes de la Edad Media,
quienes utilizaban la palabra sayun transcrita con una x para denotar lo desconocido.
Pero la asociación de esta letra con lo desconocido afecta también a otros ámbitos, como
el de la medicina o el de la ciencia. Mackenzie denominó enfermedad X a un conjunto de
síntomas de origen desconocido que se manifiestan con trastornos intestinales, cardiacos
y respiratorios. El ejemplo más famoso de esta asociación es el que le llevó al físico alemán
Wilhelm Kon rad Roentgen en 1895 a denominar rayos X a su descubrimiento: los llamó
así, precisamente, porque desconocía su naturaleza. ■
es h radiografía médica, siendo los músculos y pulmones poco receptivos con
huesos absorben mucho de ellos.
463

Lumbreras Editores T rigonoTnetría
Función Par
Una función fes denominada par si se cumple
V x e Domf
í 0 - x e D om f]
J ) f(-x) = fu T ]
es decir, la ecuación y=f(x) no cambia al sustituir
-xporx.
La gráfica de una función par es simétrica con
respecto al eje de ordenadas.
Estas torres inclinadas nos dan noción de
función par.
Función Impar
Una función £ es denom inada impar si se
cumple V xe Domf
j/) - x e D o m f j [ n) f(-x) = -fQ ) |
es decir, la ecuación y=fCj«r) cam bia por su
opuesto al sustituir - x por x.
La gráfica de una función impar es simétrica cón
respecto al origen de coordenadas.
H .
Figura 7.24

CAPÍTULO Vil
Ejemplos
Averigüe qué funciones son pares o impares.
a) f(» = jr-4
b) gW =x3+1
c) h(x)= ex*
d ) f(x)=senx; 0<x<2n
e) P(x)= cosx; -2 jtS x < 2 jt
0 R (x)=tanx; 0 < x < í
Resolución
a) f(x)= x*-4
Sustituyendo -x porx
=> f(-x) = (-x)2- 4
=
5
> f(-x) = x2- 4
=> f(-x) = f(x), por tanto f es par.
b) g (x )= x 3+ l
Sustituim os-x por x
=* g(-x) = (-x)3+ l
=> g(-x) = -X 3 + 1
Como g(-x) * g(x), además g(-x) * -g(x)
entonces g no es par ni impar.
c) h (x )= ex2
Sustituimos -x por x
=> h(-x) = e(' x)í
=¡. h(-x) = e*2
=> h(-x) = h(x), por tanto h es par.
d ) f(x)=senx siendo 0 < x < 2 je
0 Por definición Vx a - x e Domf = (0; 2n)
En el problem a -x e {-2rc;0), y como
usted puede comprobar este intervalono
se halla en el dominio.
tí) f(-x)= sen(-x)
%
f(-x )= -sen x
=* f(-x)= -f(x)
••• Detyüseconcluyequefnoesparniimpar;
porque no cumple las dos condiciones.
Funciones trigonométricas
e) P(x)=cosv; -2n< x< 2jt
0 Pórdefinición V x A -x e Domf = [~2n;2n]
En el problema
x e [ - 2 je;2 je] = > - 2 j i < x < 2 je
Por ( - 1 ) - 2 je( - 1 ) > ( - 1 ) x > ( - 1 ) 2 je
de donde 2n >-X >-2k
o -x = [-2¡i;27t]
y como usted puede comprobar dicho
intervalo coincide con el dominio, por lo
que la primera condición está cumplida.
> tí) P(-x)=cos(-x)
P(-x)= cosx (por reducción a l.
primer cuadrante)
=* P (-x)= P(x)
De i ytí se concluye que P es una función
par.
0 R(x)=tanx; 0 < x < í
Por definición Vx a -x e Domf = ^0;
En el problema x e { 0 ; —'j => 0
JE
< X < —
2
Por (-1) 0 (-0 > (-l)(x ) > (-!)£
de donde 0 > - x > - ^ o -x =
y como usted puede comprobar, dicho
intervalo no coincide con el dominio, por
lo que la primera condición no cumple.
tí) R (-x)=tan(-x)
=> R(-x) = -tanx (por reducción al
primer cuadrante)
=> R(-x) = -R(x)
De i y tí se concluye que R no es impar
porque no se cum ple la prim era
condición y tampoco es par.
465

Lumbreras id itores T rigonometría
Función Creciente
Una función f es creciente en un intervalo I
de su dominio si V x ,,x2e I , se cumple
f(x,)< f(x2) siempre que x x<x2
Función Decreciente
Una función fes decreciente en un intervalo 1
de su dominio si V x ,, x2e I, se cumple
f(x,)> f(x2) siempre q u ex x<x2
'í^Óhiefymión y - ____________
Una función creciente tiene una gráfica que sube
de izquierda a derecha, mientras que una función
decreciente tiene una gráficaque cae de izquierda
a derecha. Una función fque es siempre creciente
o decreciente (función monótona) en un intervalo
dado, es univalente en dicho intervalo.
Seguidamente, citamos algunas gráficas de
funciones crecientes y decrecientes.
La gráfica representa a una
función creciente. .
(a)
La gráfica representa a una
función decreciente.
(b)
Figura 7.25
Aplitatión 1 i
CURVADE DEMANDADE TRIGO
Elgráfico muestra la cantidad demandada de trigo
a cada uno de los precios. Obsérvese que la
cantidad y el precio están relacionados
inversamente. Q aumenta cuando P baja. Lacurva
tiene pendiente negativa y va del cuadrante
noroeste al sureste. Esta importante propiedad
recibe el nombre de ley de la Demanda
decreciente. Tiene un gran atractivo intuitivo y se
conoce en su sentido general desde los griegos;
se ha constatado yverificado empíricameñte con
casi todas las mercancías: el trigo, la gasolina, los
automóviles y las entradas del cine son unos
cuantos ejemplos.
Cantidad de Trigo (millones de quintales al año)
Figura 7¿6
466

CAPÍTULO Vil Funciones trigonom étricas
rafa*........... ' - ———
— — —
- ..........— ........ ........... 1 " —........ ■ '■ ..... -
Funciones Periódicas
_ Las funciones que tienen un patrón repetitivo son llamadas funciones periódicas. La función que
mostramos en la figura 7.27(a) es periódica: los Valores de esta función se repiten cada dos unidades.
En otras palabras, para cualquier x, tenemos que f(x)=f(jr+2). Nótese que la gráfica entre 0 y 2 sobre el
eje X se repite a lo largo del eje X es decir, si trasladamos la gráfica de la función f dos unidades hacia
la izquierda o hacia la derecha, lo que obtendremos será la gráfica original. Entonces podemos decir
que f tiene un periodo igual a 2.
F!. ■
•De igual forma si observamos las gráficas dadas en las figuras 7.27(b) y 7.27(c)
Figura 7-27
podríamos indicar que en el caso de la función g, los valores se repiten cada cuatro unidades, entonces
gOO=gC*+4) para cualquier*, y si la gráfica de g se traslada cuatro unidades hacia la derecha o hacia
la izquierda, esta coincidirá consigo misma. Por lo tanto, el periodo de g es 4. De igual manera para la
función h cada cinco unidades se repiten los valores de la función. Por lo tanto el periodo de h es 5.
467

Definición
Si una función fcumple la propiedad f(x+T) = f(x) para todo x de su dominio, siendo Tuna constante
real diferente de cero, entonces f es periódica. El menor número positivo T se denomina periodo
(periodo principal o periodo mínimo) de la función f.
Ejemplo 1
Averigüe si existe el periodo de las funciones cuya
regla de correspondencia es
!. f(x)=senx II. g(x)=tanx
Resolución
ii) eos
2x + T
involucra a T yx
y puesto que al m enos una de las dos
condiciones involucra solo a T (i)
I. f(x)=senx
Primer Método. Por definición
Esquema a plantear
Si f(x+T)=f(x) .....(1)
pasando a un solo miembro se tiene
f(x+T)-f(x)=0
(De esta ecuación debemos obtener al menos
una ecuación que involucre sólo a la variable T)
Si no se puede obtener aquello, se
sobreentenderá que la función no es
periódica; en el ejemplo tenemos
f(x) = sen* (2)
f(x+T)=sen(x+T) ......(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1) obtenemos
sen (x+T)=senx
sen(x+T)-senx=0 .....(4)
y por transformación a producto de (4) se
obtiene
2sen
x +T - x
eos
x + T + x
= 0
luego resolviendo sen —= 0 '
Del capítulo de C.T. se tiene que si
sen^ = 0 =» ^ = k7t ; ^ e Z ....(5)
Como T debe ser diferente de cero, por
consiguiente K también debe serlo (k*0),
por lo que nuestro correcto planteamiento
seria
De (5) T = 2kn, dando algunos valores a K
obtenemos
Si K=1 => T= 2n ; Si K = -1 => T = -2 n
Si K=2 => T= 4n ; Si K = -2 => T = -4rc
Si K=3 => T= 6n ; Si K = -3- =>T = -6n
Si K=4 => T= 8rt ; Si K = -4 =*T.= -8tt
... etc.
de donde
R educiendo 2s e n |^ ^ j c o s |^ ^ j = 0 de
donde obtenemos dos condiciones.
sólo involucra a T, lo
cual indica que existe
T, en consecuencia,
la función es periódica
T = ...-4 n ;-2 n ;2 n ;2n;47i;67t;... ....(6)
todos estos valores son periodos
de la función
Pero com o habíam os m encionado, se
considera com o periodo principal o mínimo
a! menor valor positivo de estos valores (6),
en consecuencia escogemos T= 2rt.
Luego podemos afirmar que para la función
f(x)=senx existe un periodo T y este es -2n.

CAPÍTULO Vil
Segundo Método. Método d e identidad
A partir de la definición
f(x +T) = [W ; T>0
sen(x+T)= serur ....(1)
D esarrollando el prim er m iem bro por
identidad de arcos com puestos (revise la
página 300)
=> de (1)
serur cosT+senT cosx: = serur ... (2)
Completando el segundo miembro se tiene
cosTserur + senTcosx = 1•serur + Ocosur ...(3)
------ T T T
Identificando obtenemos
cosT = 1 y senT = 0
(No olvide que estéis dos condiciones deben
verificarse en simultáneo para que la igualdad
(3) se cumpla)
Como T debe ser positivo T>0
Si cosT-1 => T= 2ti ;4rc;6 n ;8t
c; 1O
ti ;... (4)
senT=0 => T= 7t; 2n;3n ;4rr;5?t;6n ;...(5)
De (4) a (5) se obtiene que los valores de T
son
T= 27t;47t;67t;8Tc;...;2nk ; (k e Z +)
Puesto que se escoge el periodo T como el
menor valor positivo, éste sería 2n. Luego
podemos afirmar que la función f(x)=serur
es periódica de periodo T= 2n.
Tercer Método. Tanteo p o r ángulos
cuadrantales
A partir de sen(x+T)=serur .... (1)
T
acercade T
Por las identidades de reducción al primer
cuadrante se tiene que T debe ser un ángulo
cuadrantal = ; k e Z+j ,de tal forma se
emplearía el tanteo con
• Si k = l => T = ~ => seníx + -1 = cosx
2 ■ I , 2 J
reducción al
primer cuadrante
(No cumple la condición (1) porque
el segundo miembro debería ser sen*)
=> El periodo no es ^ , en consecuencia,
seguiremos nuestro tanteo con el siguiente
ángulo^cuadrantal.
• Si k = 2=>T = 7t=> sen(x + 7i) = -se n *
por reducción al
primer cuadrante
(No cumple la condición 1).
=> El periodo no es it, en consecuencia
proseguimos nuestro tanteo.
• c- i o ' *r 3ti ( 3?t)
• Si k = 3=>T = — =>sen x + — = -c o sr
, - 2 . I 2 J
por reducción al
primer cuadrante
(No cumple la condición 1).
=» El período no es ~ ,luego seguiremos
tan tean d o con el siguiente ángulo
cuadrantal.
• Si k = 4=»T = 27i=»sen(jr+2n) = senx
por reducción al
primer cuadrante
(Si cumple la condición 1).
Puesto que el valor de T = 2n cum ple,
podemos afirmar luego que los valores de T
serán los m últiplos de 2n, esto es
T = 27t;47i;67t;8n;...
Pero se escoge cóm o periodo al m enor
positivo, por lo que podemos afirmar que la
función f(x)=senx es periódica y de periodo
igual a 2n .
469

II. Por definición
g(x+T) = tan(x+T)
Desarrollando el segundo miembro
, tanx + tanT
g(x +T) = —— -------- -, para que se cumpla
1-ta n x ta n T
la definición de función periódica;
, ' ., . , . tanx + tanT
gO+T)=gO), es decir — ----- --— - = ta n x ,
1 -tan x tan T
tenemos tanT= 0
Entonces T = n ;2j i;3rc;...; nk 4 ke Z
Luego la función y = tanx es periódica; el
periodo de dicha función es n .
Análogamente
El periodo de la fu n ció n y=cosx es 2j i , de
y=cobr es ji , de y=secx es 2n , de y=cscx
es 2rt.
Como ya habíamos mencionado al inicio del
presente capítulo, la característica principal de
las funciones trigonom étricas es q u e son
periódicas, lo que ocasionaque su uso sea frecuente
para m odelar de forma m atem ática diversos
fenómenos reales. Acontinuación mostramos una
de éstas aplicaciones, para ello se sugiere que
preste la atención respectiva, ya que el objetivo es
que usted comprenda que la matemática como
ente abstracto tiene relación con la vida cotidiana.
Continuidad de una Función en un Punto
La noción intuitiva de continuidad de una
función em un punto está relacionada
estrechamente con el aspecto gráfico de la función
en los alrededores del punto, sugerimos que lea
la siguientedefinición provisional de lo que es una
función continua.
Una función y=f(x) es continua en un punto
x = a de su dominio, si en ese punto la gráfica de
la función no presenta saltos (se puede realizar
su gráfica sin levantar el lapicero).
Veamos a continuación gráficas de funciones
que no cumplen con la condición mencionada
anteriormente.
Figura 7.28
Visto anteriormente podemos mostrar ya la
definición matemática de continuidad de una
función en un punto, dicha definición
formalmente es
La función f es continua enx= a; donde a es
un punto de acumulación y pertenece al dominio
si se cumple las tres condiciones siguientes:
0 f(a) existe /'/') lim f(x) existe
x-»a
iii) limf(x) = f(a)
x-+ a'
En la definición dada la palabra existe indica
que existe un número real cuando se efectúan
los cálculos en los incisos i) y ii).
Si alguna de estas tres condiciones rio llegara
a verificarse afirm arem os que la función es
discontinua (no continua) en x=a.
«ota ■ [
La notación limf(x) se lee límite-de f, cuando x
x -» a
* tiende a a (éste es el valor aproximado de f •
cuando x, está más próximo de a).
470

-- ANÁLISIS DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES *’*'*
■ CAPÍTULO Vil___________________________ ___________________________Funciones trigonométricas
Función Seno
Ei dominio de la función y=senx son todos los números reales. En la siguiente tabla listamos
algunos pares ordenados de dicha función, nótese que los valores del dominio (x) están expresados en
radianes y son ángulos especiales del primer y segundo cuadrante, de tal forma que los valores
correspondientes de la imagen (y) son fáciles de calcular.
X 0 71/6 7t/'4 71/3 n/2 2ti/3 3ti/4 5ti/6 ' n
y = senx 0 1/2 V2/2 V3/2 1 S / 2 V2/2 1/2 0
Luego marcamos en el plano cartesiano las parejas ordenadas obtenidas en la tabla anterior, tal
como se muestra en la figura adjunta.
Figura 739
Ai marcar otros pares ordenados (utilizando una calculadora científica) y unirlos mediante una
curva suave o lisa, se obtendrá la gráfica de la función y =senx, llamada senoide.
• Dom f = R , es decir, x e R y Ran f = [-l;l], e sd e c ir,-l< se n x < l
• Es una función impar, ya que sen(-x)=-senx (la gráfica presenta simetría con respecto al origen de
coordenadas).
1 Es creciente Vxe + 2kn;^ + Ikn'j y'decreciente Vxe ^ + 2 k n ;^ + 2kn^; donde k e Z
• Es de periodo 2n
• Es continua Vx e R , o sea es continua en su dominio.
También es de uso frecuente'la definición siguiente para la función seno f = {(x;y)/y = s e n x ; Vxe R}
471-

Función Coseno .
De manera similar a la función seno, se obtiene la gráfica de la función v=cos.r, llamada cosenoide.
De la gráfica de la función y=cosx, tenemos
• Dom f = R , es decir, x e R
• Ranf = [—
I;l], es decir, -l< c o s x < l
• Es una función par, ya que cos(-x)=cosx, (la gráfica presenta simetría con respecto al eje Y).
• Es decreciente Vx e (2k7t;2k7i + n) y creciente Vxe (ji+2krc; 2jt +2k7t), donde ke Z
• Es de periodo 2n.
• Es continua V xe R, o sea, es.continua en,su dominio.
De igual forma, que la función anterior, es com ún utilizar su definición de la form a
f= {(*;>')/y = cosx; Vr e R}
Función Tangente
Los elementos del dominio de la función y=tanx, puede ser cualquier número real, excepto los de
la forma (2k +l)^ siendo k un número entero. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados
de dicha función, nótese que los valores del dominio (x) están entre -n /2 y n /2 y son ángulos
especiales, de manera que los valores correspondientes de la imagen (y)
sean fáciles de calcular. y
X -n /3 -rt/4 - ti/6 |0 jc/6 Tt/4 71/3
y = tanx s - í
O
co
1
V3/3 1 s
Tabla 6
Luego marcamos en el plano cartesiano. Los pares
ordenados obtenidos en la tabla anterior, tal como se
muestra en la figura adjunta (ver figura 7.32).
Al marcar otras parejas ordenadas y unirlas mediante
curvas suaves o lisas, se obtendrá la gráfica de ja función
y = tanx (véase figura 7.33). Las líneas verticales
punteadas no son parte de la gráfica, son asíntotas. La
gráfica se aproxima a cada una de las asíntotas pero
nunca las alcanza.
Va-
VL.
3
7 3 4 6
-t —T —i---r— r -
JE S . £
6 4 ' 3
3
--------~ - V 3
Figura 7.32
J
E
2.
472

CAPÍTULO VH Funciones trigonométricas
Del gráfico de la función y=tanx, tenemos
Domf = R -(2 k + l)^; ke Z es decir x * (2 k + l)^
Ran f = R , es decir tanxe R
• Es una función impar, ya que tan(-x)=-tanr (Laográfica presenta simetría con respecto al origen).
• Es creciente V x e ^ -2 + k n ;í + k n ^;k eZ
• Es una función periódica, de periodo igual a n .
• Es continua V x e ^ - í + ktr;^ + k n ^ ;k éZ . Es decir, es continua en su dominio.
Función Cotangente
De manera similar a la función tangente, se obtiene la gráfica de la función y = cote (véase figura 7.34).
473

De la gráfica de la fundón y = cotx, tenemos
• Domf = R-{krt};ke Z , es decir, x * krc
• Ran f = R , es decir, cotve R
• Es una función impar, ya que cot(-x) = -cotx . (La gráfica presenta simetría con respecto al
origen). ■
• Es decreciente Vx e (kit: kn + n); ke Z .
• Es una función periódica de periodo igual a rt.
• Es continua V x e (krc;krt + jt);k e Z . Es decir, es continua en su dominio.
Función Secante
Los elementos del dominio de la función y = s e c x , puede ser cualquier número real excepto los
de la forma (2k +1)- ,siendo k un número entero. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados
de dicha función, nótese que los valores del dominio (x) están entre Oy n y son ángulos especiales, de
manera que los valores correspondientes de la imagen (y) sean fáciles de calcular.
X -n /3 - jt/4 -7 t/6 0 n / 6 x/4 n/3
y = secx 2 V2
2^3
3 1
2V3
3 V2 2
Tabla 7
Luego marcamos en el plano cartesiano las parejas ordenadas obtenidas en la tabla anterior, tal
como se muestra en la_figura adjunta.
Al marcar otras parejas ordenadas y
unirlas mediante curvas suaves o lisas,
se obtendrá la gráfica de la función
y = secx (véase la figura 7.36). Las
líneas verticales punteadas no son parte
de la gráfica, son asíntotas. En la figura
se ha graficado también y = cosx; ya
que secx = —í— entonces las
cosx
ordenadas de la función y = secar, serán
los recíprocos de las ordenadas de la
función y = cosx, para valores
correspondientes de x pertenecientes a
los dominios de las funciones secante y
coseno.
Nótese la m anera en que aum enta o
disminuye sin límite la función secante
cuando x se aproxima a (2k + l)^ para
cualquier entero k. Figura 7.35

Figura 7.36
De la gráfica de la función y = se cx , tenemos
Domf . R - { '(2k +l); ; ke Z; es decir x * (2k + l)^
Ranf = {-°°;-1]u [1;-h=°); es decir s e c x s - l ó s e c x ^ l
Es una función par ya que sec(-x ) = secx (la gráfica presenta simetría con respecto al eje Y).
• Es crecien te Vxe ¡2kn-,2kn+~j donde ke Z ó Vxe ^2kn+^;2kjt+Jt) y es d ecrecien te
Vxe ^2kn+7r, 2kn+ — j ó Vxe ^2kn + — ;2kn+2nJ.
• Es una función periódica, de periodo igual a 2 n .
• Es continua Vxe ^ - í + krt;~ + knj; ke Z . Es decir, es continua en su dominio.
Función Cosecante
Em pleando la gráfica la función y=senx, podem os graficar ia función y = cscx . Ya que
esc x = — — , entonces puede calcularse la ordenada de un punto de la gráfica de la función cosecante
senx
evaluando el reciproco.de la ordenada correspondiente en la gráfica del seno para cada valor de x,
excepto x = krc para cualquier entero k. ( Si x = kn, senx = O y, por consiguiente —-— es indefinido).
senx
Nótese la m anera en que aum enta o disminuye la función cosecante, cuando x se aproxima a kn para
cualquier entero k. En la figura 7.37 se tiene las gráficas de las funciones y = esex e y - sen x .

Figura 7.37
De la gráfica de la función y = cscx , tenemos
• Domf = R-{krt};ke Z, esdecir,x*kn
• Ranf = (-©o;-l]u[l;+°o), es decir cscx < -l ó cscx > 1
• Es una función impar ya que csc(-x) = -cscx (la.gráficá presenta simetría con respecto al origen).
• Es creciente Vxe / —+ 2kn; n + 2kn donde ke Z ó Vx/it + 2k7r; — + 2kn ; y decreciente
2 / 2 / •
' Vx/2k7i; 2kn + ó Vxe + 2krc; 2kn + 2nj .
• Es una función periódica, de periodo igual a 2n .
• Es continua Vxe (k7t;kir + jt); ke Z , es decir, es continua en su dominio.
Resumen
Dominio Rango
Asíntotas
Verticales
Periodo
Par o
Impar
Intercepciones ¡
con el eje X
y = seav R" l—
l;l] ninguna 2n impar x = Jtk; k e Z
y = cosx R ' ninguna 2n par x = —+n k ; ke Z
2
y =taav
r -(íM
R
ti i
x = - + Jtk
2
n impar x = nk; ke Z
y = cotx . R-{nk} R -x = nk rt impar x = —+ n k ; k e Z
2
y - secx R - j í + nk}
n ,
x = - + nk
2
27
1 par ninguna
y - cscx R-{rtk} ; - l ] u [ l ;°°) x = nk 2n impar ninguna
j_--------------------- —
Tabla 8
476

CAPÍTULO Vil
Gráfica de la Función que tiene por Regla de Correspondencia
r---------1
—
*
----- !
-------- ----
[ f(x)=Asén(Bx+C)+D j
En el estudio de las funciones trigonométricas, debemos dar importancia a la curva senoidal por su
aplicación en diversas partes de la astronomía, matemática, mecánica, electricidad, etc.
Realizando el estudio de la función definida por y=Aserw
La amplitud de esta onda es |A|
Además
• |A| es el máximo valor de la función
• —
|A| es el mínimo valor de la función
Ejemplo
Grafique en un mismo plano cartesiano las siguientes funciones, cuyas reglas de correspondencia son
f(x) = ^serur; g(x)= sen* y h(jc) = 2seruc
Resolución
En la figura 7.38(a) se han graficado las funciones f; g y h, donde la amplitud de estas son respectivamente
1/2,1 y 2.
Si la constante A en y=Aserur es negativa, se tendrá una reflexión en torno al eje X (véase regla 3 de este
capítulo).
477

Entonces la gráfica de y=
(Véase figura 7.38(b)).
--Uenx ; es una reflexión de y = -senx v tiene una amplitud de - -
2 2 ' | 2
Análogamente en las figuras siguientes, se observan las gráficas de las funciones que tienen por regla
de correspondencia y = - c o s x ;y = 2tanx ; y = -cotx; y = 3secx ; y = -2cscx. En lineas entrecortadas
4 3
se han graficadó las funciones definidas por cosx;
En la figura 7.39(a) se observa que las gráficas y=
coeficientes 1 y ^ no alteran el periodo.
ib)
y= -co sx los periodos son iguales a 2ir, los
El periodo de las funciones y=tanx ó y=2tanx, es el mismo y es igual a T = it. (Ver figura 7.39(b))
En la figura (7.39(c)) se observa las gráficas y=cotx a y= i cotx que el periodo para am bas funciones
es el mismo e igual a re;y los coeficientes 1y ^ que se observa no alteran el periodo, tampoco el rango.
En la figura (7.39(d)) se observa las gráficás de las funciones y=secx, y=3secx que el periodo para
am bas funciones es el mismo e igual a 2re. Y también los coeficientes 1y 3 no alteran el periodo.

(c)
y = 3secx
Figura 7.39
(d)
Estudio de las Funciones de la Forma y=Ft(Bx)
Realizando el estudio de la función definida
por y=senBx determinamos que su periodo es
2n
T = - .
tB|
En efecto, por definición de función periódica
tenemos senB(jc+T) = senBx.
Entonces
sen(Bx+BT)= senBx
de donde la igualdad anterior, se cumple para
BT=.... -27t;0; 2íc;4z
z;6rt;...
escogemos el menor valor positivo BT= 2;t
2n
Despejando T=
B
2ít
Si B > 0 => T = —
B
• Si B <0 => T =
2
7
1
. . . 2)t
es decir T = -—-
IB |
Ejemplo
G rafique en un m ism o plano cartesiano
las siguientes funciones cuyas reglas de
correspondencia son
f(x) = se n ^
g(x) = senx
h(x) = sen2x
Resolución
Es evidente que las amplitudes de f, g y h son
iguales a 1. Sin em bargo, los periodos son
diferentes y se hallan de la siguiente manera
• Periodo de f : T =
• Periodo de g: T =
2t
e
T
2
2n
111
• Periodo de h: T =
• 2n
|2|
T = 4?t
T = 2ti
T = 7
t
479

Las gráficas de las funciones f; g y h se encuentran representadas en la figura 7.40
Figura 7.40
En la función definida por y=senBx, siendo la constante B positiva.
• Si B> 1, la gráfica se contrae hacia el eje Y.
• Si B< 1, la gráfica se estira con respecto al eje Y (ver regla 6 en este capítulo).
• Análogamente, se observan las gráficas de las funciones que tienen por regla de correspondencia
X
y =cosSx ; y = ta n ^ a y=csc4x (verfiguras 7.41 (a), 7.41 (b) y7.41(c)).

¿APÍTULO Vil Funciones trigonométricas
En líneas entrecortadas se han
graflcado las funciones definidaspor
y=cosx; y=tanx a y=cscx.
Elperiodo de la función definidapor
2ji
_ _ 2n
=cos3x es T= -J
T
T’
l1
3
!
:; piientras
que el periodo de la función
definidopory=cosjres 2n(verfigura
7.41(a))
El periodo de la función definida por
y=tan - es T=
n
|1 /2 |'
=2Jt, mientras
que el periodo de la fundón definida
pory= tan* es n . ver figura (7.41(b))
El periodo de la función y=csc4x es
2it it
T= — = - ; mientras que el periodo
de y=cscx es 2n. (ver figura 7.41(c))
Figura 7.41
Considerando que A, B* Oj-entonces los periodos de las funciones cuya reglade correspondencia son
y-AsenRr ; y=AcosBx ; y=AsecB* e y-AcscBjt
. ,* _ 2n
sonigualesa T=r=r
l°l ' , ' ■ •'
Además los periodos de las funciones cuya regla de correspondencia son
y=AtanBx e y=AcotRir
son iguales T= — .
1B|
481

Así por ejemplo:
El periodo de la función definido por
♦
1 ,
y = - sen5x
3
es T = —■=
I5|
2n
5%
El periodo de la función definido por y = cos(-2x) es T = —
|-2j
=T
t
El periodo de la función definido por y = tanrcc es T = — =
l«l
1
El periodo de la función definido por y =2csc(-&x) es
' 27
1
= F s ¡
_ 7
1
~4
El periodo de la función definido por y = - 5c° t [ | ] es T = — =
2
3ji
y
Ejemplo 1
Una boya en el océano oscila de arriba hacia abajo
mientras las olas pasan. Suponiendo que la boya está
en su punto más alto en t=0, adem ás la boya se'mueve so ¿m-
un total de 80 cm desde el punto más alto cada 12 s.
E ncuentre la ecuación de la boya que está en
movimiento.
Resolución
Sea y = AcosBt
J
1
Figura 7.42
del gráfico A=40 cm y del periodo 12 = —
B
B= -
y = 40eos
f 7tt
6
Realizando el estudio de la función definida pory=sen(x+C), entonces el cambio o número de fase es
-C , si consideramos x+C=0, tenem osx=-C; si x+C= n ,tenemos x= n - C y cuandox+C=2 n, tenemos
x=2 n-C; esto significa que la gráfica de y =sen* se desplaza a lo largo del eje X una magnitud |C| .
Ejemplo 2
Comparemos las gráficas de lasTunciones cuyas reglas de correspondencia son
f(x)=sen^jr + 5 j , g(x)=senx y h (x )= se n ^ x -^
Para cada una de estas funciones la amplitud y periodo son 1 y 2 7t respectivamente. Para hallar el
número de fase basta igualar a cero cada ángulo, es decir
''Significa que la gráfica de y=senx se ^
De la función f: x+ - = 0, entonces x = - -
4 4
n Jt
De la función h: x— =0, entonces x= -
4 4
desplaza —unidades a la izquierda.
Significa que la gráfica de y=serur se '
desplaza ~ unidades a la derecha.

En e! siguiente gráfico se tienen las gráficas de las funciones f, g y h (véase los desplazamientos a la
izquierda y derecha con respecto a la función que tiene por regla de correspondencia g(x)=senx).
* Si C>0, la función definida por y=sen (x+C) se desplaza C unidades a la izquierda
• Si C<0, la función definida por y=sen (x+C) se desplaza |C | unidades a la derecha.
Lo mismo se puede aplicar a las gráficas de las otras funciones.
Ejemplo 3
Grafique las funciones que tienen por regla de correspondencia
( T
i^ ( * 0
H ) ii)y = c o s 3
Resolución
En las figuras 7.66 y 7.67 se tienen las gráficas del ejercicio anterior. También en dichas gráficas se
tienen las gráficas de las funciones definidas por tanx, cosx respectivamente.
periodo de las funciones que tienen por regla de correspondencia y= tanx, y = ta n j" x - jes el
El
mismo e igual a p. Nótese que la gráfica de la función definida pory=tan| x - - Jse ha generado por el
n .
desplazamiento de —unidades a la derecha con respecto a lagráfica de la función definidapor y= tanx.
483

El periodo de las fundones que tienen por regla de correspondencia) - cosa:,y=cosí x + ~ | es el mismo
( n )
y es igual a 2rt. Nótese que la gráfica de la función definida por y-cos! -X
'+x !se ha generado un
ít 1
desplazamiento de ^ unidades a la izquierda, con respecto a la gráfica de la función definida pory=cosx
Realizando el estudio de función definida por y=sen(Bx+C) vemos que cuando B x+O O , x= ,
ít C - 2it C
cuando Bx+C= n , x= g y cuando Bx+C=2it;x= . De aquí que el cambio de fase venga
(T
dado por el número | - —
W o W
( c
Si 1- g I> 0 la función se desplaza hacia la derecha.
(~ ^ j < 0 *
a func'°n se desplaza hacia la izquierda.
Si
Luego estos conceptos de amplitud, periodo y número de fase podemos aplicarlo a la función que
tiene por regla de correspondencia
y=Asen(Bx+C)+D
Entonces
• |A| es la amplitud de la función.
2it
• T^r es el periodo de la función.
|B|
C
• - —es el cambio de fase o número de fase de la
B
función.
• D es una constante que indica el desplazamiento
vertical.
484

J Nota .... T. 1' -1:; -II
D > 0 se desplaza D unidades hacia arriba.
D < 0 se desplaza | D| unidades hacia abajo.
En la figura 7.45 se tiene la gráfica de la función y=Asen(Ebr+C)+ D considerando a las constantes A, B,
C, y D positivas. *
CAPÍTULO Vil__________________________________ _______ Funciones trigonométricas
^ O b s e r v a c i ó n ___________________
De la función que tiene por regla de correspondencia y=AFT(Bx+C)+D, donde A, B, Cy Dson constantes
con Ay Bdiferentes de cero. Entonces el periodo y Cambio de fase de la función es como sigue enel cuadro.
F.T. PERIODO CAMBIO DE FASE
Seno, coseno, 2rr-
*
secante y cosecante. 1B|
_ C
B
Tangente y 7
T
cotangente. |B|
Ejemplos
• El periodo de la función definido por y=3senj^2x + ^
_C _ _ ir/3 _ _ n
~ a ~ t ~ 6 '
• El periodo de la función definido por y=2tan(4x-7), es T= — = 4 y el cambio de fase es
141 4 :
c _ (-7) _7
B 4 4 '
1 2n
• El periodo de la función definido por y= - sec(- n x+2)+4, es T= -— - =2, y el cambio de fase*
3 r n l
C _ -2 = 2
B - n n '
• El periodo de la
% -
71
_c=_ n _ i
B 4n 12'
función definido por y = 6 eos 4roe— es T =
2n _1
14n|= 2
, y el cambio de fase es
2n .
+4 esT= — =2 y el cambio de fase es
|2|

Adición y Multiplicación defunciones
Sean las funciones definidas por y=f(x) e y=gO) cuyos dominios son respectivamente Dom f y
Dom g. En la intersección de ios dominios de estas funciones, quedan, definidas las funciones
y=f(x)+gO); y=fOc)gO).
___________; _ __________ Regla 9 - ^ : __________ __________________ ______
Para obtener la gráfica de la función y=f(x)+g(x) a partir de las gráficas de las funciones f y g, es
necesario sumar los valores correspondientes de las ordenadas de las gráficas de estas funciones.
Ejemplo
Construya el gráfico de la función f; si
f(x-)=x+seruc
Resolución ' . *
Consideremos y,=x e y2=senx
Seleccionemos algunos valores de.xe Dom f y
evaluemos la suma de ordenadas y1
+y2
-
X 0
n
2
n 3n
2
2it
f(x)=y,+y2 0 f + i n 3n ,
2
2K
Tabla 9
En la figura 7.46(a), se observa las gráficas de las
funciones previas, luego aplicando la sum a de
ordenadas obtenemos en la figura 7.46(b) la
gráfica de f.
f 00 = x + senx .
Teniendo en cuenta el mismo procedimiento para
la obtención de la gráfica de la fpnción
f(x)=x+sénr, usted puede verificar que la gráfica
dé la función g(x)= x+ cosjr es tal com o lá
mostrada en la figura 7.46(c)
486

• A p l k a t i ó n ______________________________________________________________ ___
SUMADE FUNCIONES (Teléfonos Ajos)
Cada botón o tecla produce un sonido único, el sonido producido es la suma de dos tonos, dados por
y = sen(2nR) ; y = sen(2nht)
donde Ry h son las frecuencias (ciclos por segundo) bajas y altas. Por ejemplo, si se oprime el 7
CAPÍTULO Vil _________________________ _______ _
■
______________Funciones trigonométricas
la frecuencia baja es R=852 ciclos por segundo, y la frecuencia alta es h= 1209ciclos por segundo, entonces
la ecuación que representa el sonido emitido al oprimir el número 7 es
y = sen2rc (852)t + sen2n (1209)t
Expuesto lo anterior podemos obtener la gráfica de la ecuación que representa el sonido al oprimir la teda
del número 7, dicha gráfica senoidal la mostramos a continuación
Figura 7.47
487

. Regla 10____________________ _________ • _______
Para obtener la gráfica de la función y=f(x).g(x) a partir de las gráficas de las funciones f y g es
necesario multiplicar los valores correspondientes de las ordenadas de las gráficas de estas funciones.
Ejemplo
Construya el gráfico de la función f si f(x)=xsenx
Resolución
Consideramos y,=x e y2=seru
Seleccionamos algunos valores de x e Dom f y
evaluamos el producto y ,.y2.
X 0
7
1
2
7
1
2
2T
I
f(x )= y .y , 0
7
T
' 2 0
3 ti
2 0
Tabla 10
Los movimientos am ortiguados
Las vibraciones constituyen un problema, tanto
para la Física como para la ingeniería y la técnica
de las construcciones. Ellasse manifiestan de modo
simple, como ocurre en el caso de! movimiento
oscilatorio de un péndulo: o complejo, como lo es
el comportamiento de un amortiguadorde aiitomóvil.
En el primer caso el movimiento es armónico
simple; en el segundo, se le llama amortiguado.
Tomando como partida de la medición del tiempo
un instante en el cual el punto pasa por $1origen,
su posición es representada en función del
Además, si evaluamos f(-x)=(-x)(-senx) =xsenx,
entonces f(—
a
t
) *f(x) verificamos que la función
es par, luego el gráfico de f es simétrico respecto
al eje Y.
Analizando para x>0 a -l< s e n x < l
=* multiplicando por (x) a ios valores del senx
- x < xserix < x
así la gráfica de f se encuentra entres las rectas
y=x e y=-x.
Ala función f(x) =xsenx; x> Ose denomina onda
senoidal amplificada (ver figura 7.48(a)), también
hay otro tipo de- ondas d en o m in ad as
amortiguadas sobre la cual citamos un alcance.
Según la evolución de ese fenómeno en el tiempo se
obtienen diversasleyespara el movimiento oscilatorio.
En la figura 7.48(b) el amortiguamiento es nulo, el
movimiento está representado por una senoide
regular. En la figura 7.48(c) el amortiguamiento es
suave; el movimiento es representado por una
senoide encerrada entre dos exponenciales
simétricas con el eje de las abscisas (tiempo). Las.
exponenciales representan la ley según la cual la
amplitud de las oscilaciones disminuyen con el
tiempo. La figura 7.48(d) muestra que con un
amortiguamiento muy fuerte las oscilaciones cesan.
amplitud
tiempo
(d)
Figura 7.48
488

Ejemplos de Funciones con dos Variables
Como usted se habrá informado en el capítulo V (Identidades)
sen(x+y) = serur+seny .... (1) (No es una identidad)
Puesto que sabemos que la identidad correspondiente para sen(x+y) es
sen(x+y)=senxcosy+senycosjr ....(2)
y no corresponde a (1).
E ntonces surge la interrogante ¿cóm o podría com probar, al m enos una form a, que
sen(x+y) = serur+seny no se verifica?
Una posible respuesta sería realizar la gráfica de cada una de las siguientes funciones.
z = sen(x+y) .... (3)
z = serur+seny .... (4)
Antes de ver la gráfica debe entender que 3 y 4 son funciones de dos variables y su gráfica estará
representada por una superficie. En la figura 7.49(a) se representa la gráfica de z=sen(x+y); mientras
que en la figura 7.49(b) se representa la gráfica de la función z=sen(x)+sen(y), esto es
z = sen(x+y)
X
z = sen(x)+sen(y)
(a)
Z

Si superponemos estas dos superficies obtendremos la figura 7.49(c)
Ysi se gira un poco los ejes X e Yen sentido horario respecto del eje Z obtendríamos la figura 7.49(d).
Az
Plano YZ
(d)
Figura. 7.49
Ysi analizamos un poco más las imágenes de dichas funciones (las superficies) podemos concluir
que no coinciden, sin embargo si planteamos la ecuación
sen(x+y)=seruf+seny
ésta tiene soluciones ya que como podrá observar en las figura 7.49(c) y 7.49(d) las superficies de
ambas funciones se intersectan a lo largo de una sinusoide contenida en el plano YZ, también a lo largo
de otra sinusoide contenida en el plano XZ y a lo largo de una recta contenida en el plano XY.
490

roblemas Resueltos
Problema 1
Determine el dominio de las siguientes funciones
I. fW=
cosx
1-senx
II. g to =
tanx
cosx-1
Resolución
cosx
L fW = P s e n x
El dom inio de f está definido por
Domf= { x /l-s e n x * 0]
dedonde se n x * l => x *-+ 2K jt; Ke Z
Finalmente
Domf = x / x e R - f í +2Kn');' Ke z j
II. g(x) =
tanx
co sx -1
A diferencia del problema anterior, en este
caso también hay que tomar en cuenta la
restricción de la función tangente,
es decir
Domg = jx /c o s x -l* I;x * (2 K + I)í; KezJ
d e d o n d e co sx * l; x*(2K + l ) - , es
* n 2
decir x * 2 K j i y x * (2 K + l) -
Finalmente
D om g=|x/xeR -2K 7tu(2K + l ) | ; K e z j
Problema 2
Halle el rango de las siguientes fundones
I. f(x)=sen2
x+2senx+l
II. g(x)=senx+cos2x
Resolución
1. f(x)=sen2
x+2senx+l
La función está definida V x e R , no es
necesario hacer alguna restricdón.
Sabemos también que el rango de fson todos
los valores de f.
Rara poder hallar los valores de f se sugiere
que su regla de correspondencia se exprese
en térm inos de un solo operador
trigonométrico, que afecte a la variable, esto
en lo posible, sino se buscará alguna forma k
conocida como número más sus recíprocos,
funciones crecientes, etc.
A partir de f(x) = sen2
x+ 2senx+1
Se obtiene f(x) = (senx+1)2 ....(1)
(presentan un solo operador trigonométrico)
A continuación se deb erá generar esta
expresión (1) a partir del dominio Dom f = R
Como x e R => -1 < senx < 1
M ás(l) -l+ (l)< se n x + (l)< l+ (l)
- 0 < sen x + l< 2
(O)2< (senx + 1)2S 22-
0< (senx + 1)2<4
0< f(x) <4
Por lo tanto afirmamos que Ran f = [0;4]

Acontinuación resolvemos laparte(II) de igual forma.
II. g(x)=senx+cos2x
Como observamos, no hay ningún tipo de
restricción, por lo que afirmamos que g se
halla definido V x e R , entonces Domg = R .
Seguidamente trataremos de expresar su
regla de correspondencia en términos de un
solo operador trigonométrico, a partir de
g(x) = senx+cos2x .... (1)
(Presenta dos operadores trigonométricos)
De la identidad cos2x = l-2sen2
x ....(2)
g(x)=senx+l-2sen2
x
Seguidam ente buscarem os la form a de
completar cuadrados
g(x) = -2 2 i
sen r — senx + 1
=* g(x)
=> g(x) = -2 sen* - i
,2
=* g(x)= ~2
(presenta un solo operador trigonométrico)
Seguidamente se deberá generar la expresión
(3) a partir del dominio Domg = R
Como x e R , entonces
- l< s e n x < l
0< senx-
JY < 25
4 “ 16
Por(-2) (-2)(Q )>(-2)Ísenx--M > § ( - 2 )
16
Cambiando el sentido de la desigualdad
,2
- — <-2| senx
8
1
<0
Más
25 (9
8 / 8 l 8
2
+| r l< -2L senx-^j + |< 0 + ^
J 1 ) 9
2 s e n x - -
l 4 .) 8
g(x) <£
■ .-. podemos afirmar que Ran g = -2 ;?
8
Problema 3
Determine el rango de la siguiente función
_____ . 4sen2x eos2x _____
~ (senxcosx + l)(sen x co sx -l)
Resolución
Efectuando en f, tenemos
f(jr)= ^ n ’ xcos’ x , (en el denominador
sen x.cos x -1
se utilizó diferencia de cuadrados)
Como 0<sen2xcos2x< —entonces (sen2
xcos2
x-l)
4
nunca toma el valor de cero, por lo tanto f está
definida Vxe R .
<senx+^
< s e n x -
' - 1+'
i < -
4 4
1
sen2xcos x -1
Luego f(x)=4 1+ - —
r r •
Como 0< sen2xcos2x < -
492

formamos la función f sumando (-1)
, , l
=> 0 -l< sen " x co s x - l < — 1
=> -l< s e n 2xcos2x - l < —-
1 4
Invirtiendo -1 > -----=
------- 5------ > —
sen xcos x -1 3
cambiamos el sentido de la desigualdad
~ - l < , 1 2 - < - l
3 sen xcos Jf-1
Sumando (1)
4 1
= » 1 --< 1 + --------=— ^ -----------<-1 + 1
3 sen xcos x -1
- i Sl + - ‘
3 sen2x cos2x - l
=> - - < 4 Í l + ------y----~— 2-------
3 v sen xcos x -1
=> - - < f ( x ) < 0
<0
<0
.-. Ran f = --;0
3 J
Problema4
Halle el dominio y rango de f(x) =
secx
Icscx I
Asimismo la cosecante no está definida para arcos
que adoptan la forma
KTt(KeZ) => x* K n ; (K eZ) ...........(2)
D e (l)y (2 ) se concluye r e R - y ; (K eZ )
V. D o m f = R - y ; (K eZ)
Hallando el rango
I. Si x eIC v x e IIC ^ c scx > 0 = > |cscx | = cscx
secx
f ( x ) =
cscx
1
f(x) = =» f(x) = tanx ..... {3)
senx
II. Si x e II1Cv r e IVC=>cscc<0=>|cscx| = -cscx
.-. f(x)= secx
-cscx
=> f(x) = - :£^ £- => f(x) = -ta n x .....(4)
senx
Com o X *~ Y =* fanx?tO de (3) y (4) se
concluye Ran f = R - {0}
Problema5
8
De la función f,definida por f(x)=—---- =- analice
2 -sec'x
la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
%
Resolución
Se sabe, por teoría, que la secante no está definida
I. Dom f = R -j(2 n + l)^J; n e Z
para arcos que adoptan la form a (2 K + 1 )^; II. Ran f = (0 ;+ «)
(K eZ) => x * (2k + 1 )-; (K eZ ) ...........(1) III. f es una función par
493

Resolución
l. Para que f este definida, debemos tener en
cuenta que por serx argumento de la secante,
tenemos que x * (2K +1)^ ; (n e Z)
Además, sec2x * 2 => secx*± V 2
n n 3n 5it
=> x # ...;— ;—;— ; — ;...
4 4 4 4
x * n rc ± -; (ne Z)
4
Entonces concluimos que
D om f= R - (2K + l)^;njt + í ; n . K e Z
Por lo tanto, I es falso.
II. Ahora considerando el dominio, tenemos que
sec2x > ] ; secx*±y¡2
-sec2x < -I ; -s e c 2x * - 2
2 -se c 2x < l ; 2 -s e c 2x * 0
2 -se c zx<0 v 0 < 2 -sec2x < 1
------— =
—<0 v -----— 2~>1
2 -sec x 2 -sec x
Las particiones se han invertido
8
-< 0 v
8
2 -se c 2x 2 -se c 2x
>8
f(x) < 0 v f(x) >8
=> Ran f = {-" ;0}u[8;°°)
Por lo tanto, II es falso.
III. Finalmente, como
8
f(-x) = -
8
= f(x)
,2 -s e c 2(-x ) 2 -se c 2x
entonces, f es una función par; III es
verdadero.
Problema 6
Averigüe qué funciones son pares o impares en
los siguientes casos que tienen por regla de
correspondencia.
II. f(x) = s e c x -| tanx | .
III. f(x) = 2senx + 3cosx
IV. f(x)=x3tan(rcx)
Resolución
De acuerdo a la definición de función par o impar,
busquemos la ecuación de f(-x)
—X —X
I. f(-x) = ------— - = -------, entonces
cos(-x) cosx
f(-x )= — — , luego f(-x)=-f(x)
cosx
f(x)
f es una función impar.
II. f(-x) = sec(-x) - 1tan(-x) |
f(-x) = s e c x -|ta n x |
entonces' f(-x) = secx - 1tan x |
luego f(-x)=f(x)
••• f es una función par.
III. f(-x) = 2sen(-x) + 3 cos(-x)
-sen x cosx
f(-x) = -2sen x + 3c o s x ,
entonces f(-x) * f(x) y f(-x) *--f(x)
f no es una función par, tampoco impar.
IV. f(-x) = (-x)3tan (- n x)
= (-x^í-tan n x)
f(-x) = x3tan( k x)
f(-x) = f(x)
.-. f es función par

CAPITULO Vil
Problema 7
Sea la función f definida por ia regla de
correspondencia f(x)=secx+tanx.
Si x e , halle el rango.
Resolución
Transformando la función f.
f(x) = secx + tanx
f(x) = c s c ^ 2 -x j+ c o t^ 2 -x
Aplicamos la identidad de arco mitad
e
COt- = CSC0+ COt0
2
f W - c o t | J - |
También, por su cofunción, obtenemos
f(x) = tañí 2 + | | ........(I)
Ahora, del dato, formamos (1)
Tenemos ^2 < x < 2n
Multiplicando ^ : ^2 <2 < n
„ , x 3n it x x , n
Sumando ^ : ' J +4 < 2 + 4 4
X ti 5te
=» 7t< —+ —< —
2 4 4
Véase la figyra 7.50 donde se ha presentado los
X 71
valores de —+ ^ . luego obtenemos los valores
f x Jt
de tan -
tanji< tanÍ2 + 5 l < t a n —
2 4 ' 4
0 < f(x) á 1
Finalmente, Ran f = (0; 1]
Problema 8
Halle el dominio y el rango de la función f, cuya
regla de correspondencia es
f(x) =Ví+sen2
x+/l +cos2x
Resolución —
f(x) = Ví+ sen2
x +Vl+cos2x
De la función f se observa que aparecen
funciones seno y coseno, sabemos que están
definidas en R , además los radicalesno afectan
el dominio ya que l+sen2
x>0 a 1+cos2
x>0;
V x eR
f2(x) = 3+ 2^2+sen2x eos2x
495

Extrayendo raíz cuadrada
f(x) = v3 + 2V2+sen2x eos2x
Recordemos
- i< s e n x c o s x < - ..... (1)
2 2
Formamos f(x) a partir de I
Elevamos al cuadrado
0 < sen 2xcos2x < -
4
Sumamos 2
Q
2 < 2 + sen 2xcos2x < -
4
Extraemos raíz cuadrada
y¡2<y¡2 +sen2xcos2x <|
Resolución
Considerando 5 al lado del cuadrado, entonces
( 2 = 3u2 =>i =V3u
Multiplicamos 2
2>/2 < 2^2+ sen2x eos2x < 3
Sumamos 3
3 +2%/2<3 + 2^2+sen2xcos2x < 6
Extraemos raíz cuadrada _
y¡3+2^2 < V3 + 2/2+sen2xcos2x <%/6 ,
Finalmente
42 +< f{ x ) < S
Ranf =[V2 + 1;V6]
Problema 9
Del gráfico 7.51 (a), calcule el periodo del
cosenoide, si el área de la región sombreada es
3 u2, siendo MNPQ un cuadrado.
De la ecuación
y=2cosBx
Al periodo lo expresamos como
T=2
( i ) ..... 0)

Del gráfico, el punto Q| j pertenece a
la cosenoide, entonces evaluando en la ecuación,
tenemos
- í = 2cosB| - - -
B 2
I ” 8
-V3 = 2cos
V3 f S a ) V3B n
T - .c o ^ T B ■ -
Luego, ^ = 3/3
Reemplazando en (1)
T = 2(3>/3) = 6>/3 T = 6>/3
Problema 10
Halle la regla de correspondencia de la siguiente
senoide.
R esolución
C onsiderem os la ecuación de la onda
generalizada *f(x) = A sen(Bx+C) + D. Para
determinar la amplitud del gráfico es conocido:
ymax = 3 . Tmin = -1 • Luego, la amplitud de f es
| A | = ^'m
ax ^min = 2, es decir A=2. La constante
B es sabido que se relaciona con el periodo, así:
2n
T = — siendo T el periodo de f.
D
Pero del gráfico, la diferencia entre las abscisas
de N y M nos jndica la mitad del periodo, así:
T Qtt
—= -------— => T = 2n, luego B -l. La constante
2 4 4
Dnos indica el desplazamiento vertical que según
la gráfica es D = ymax- |A | => D = 3 -2 = l
Luego, la ecuación quedaría así
f(x)=2sen(x+C )+l ..........(1)
Evaluemos el punto M: f|
calculare: f ^ ^ j = 2sen|
-1
( H en (I), para
Í 5 n , 5n „ 3n _ n
,en T c ) = _ 1 : T C = T ^ c = 4
Por lo tanto, la ecuación de f es
f(x) = 2sen!
(**!)*'
Problema1
1
Determine el periodo de las siguientes funciones
I. f(x) = 2sen3x - cos2x
II. h(x) = tan(cosx)
Resolución
Recordem os que para toda función periódica (
debe existir un n ú m ero real T>0, tal que
f(x+T)=f(x)
De (1) f(x+T)=2sen3(x+T)-cos2(x+T)
f(x+T)=2sen(3x+3T)-cos(2x+2T);
f(x)= 2sen3x-cos2x
497

Se cum ple f(x+T)=f(x) si
3T= 2n;4 n ;6tt;8 n ;....
2n.47i.[
T W •
!'. 8?:,.
3 ’
;2kTt, k e Z
.... ; 2 k |, k e Z
También, 2T = 2j i;4te;6rt;8rt; .....;2n7c, n e Z
T = n;i 2n ¡;3 it;4 jt;.....;n ;t;n e Z
Luego, elegim os al m enor valor de T com ún.
.-. periodo de f es 2ti..
De (II)
h(x + T) = tan[cos(x + T)] ; h(x)=tan(cosx)
Se cum ple h(x+T)=h(x)
Si T.= 2 jt;4 n ;6 n ; ;27tk;keZ
/. periodo de h es 2ji .
Problema12
Halle el rango y construya la gráfica de la siguiente
función
f(x) = ^ fcscx j(¡^ scx ¡T cscjr)
tal que x e (0; 2%)- {re}
Resolución
Considerem os
I. 0 < x < tc => |c s c x | = cscx
II. 7 t< x < 2 n =» |c s c x | = -e s c x
Luego, sustituyendo en f(x)
I. 0 < x < n f(x) = 1cscx | ( | cscx | + cscx)
|cscx| =cscx S T ^cscx
se obtiene
f(x) = yjcscxicscx + cscx)
f(x) = x/csar(2cscx)
f(x) = /2csc2x
f(x) = y¡2I C S C X -|
f(x) = V 2cscx; 0<x < 7t ...(1)
II. n< x< 2n f(x) = x /[c s c x |(|c s c x |+ c s ^
| cscx | = —
cscx * -cscx ^cscx
se obtiene f(x) = ^(-cscx ) ( - cscx + cscx)
=> f(x) = x/-cscx(0)
f(x) = 0 ; ti < x < 2t
c ... (2)
De (1) y (2)
I
-j2cscx ; 0<x<7i
0 ; 7t< x < 27t
y su gráfica correspondiente la podemos apreciar
en la figura 7.53.

Se sabe que la proyección de la gráfica sobre él
eje de ordenadas representa el rango de dicha
función.
.-. Ranf = [V 2;+~)u{0}
Problema 13
Represente el gráfico de la función i ,
sec x -e o s x
g(x) =
senx
+ 1
en el intervalo
Resolución
Antes de graficar llevemos la función g a una
forma más simple.
1
g(x) =
g W =
cosx
— cosx
se n x
senx.seríx
+ 1=
1-COS X
cosx spmx
g(x) = U anx|+ l
eos x sen x
+ l = |tanx| + l
kn
+ 1
Donde sen x co sx * 0 => x * y , k e Z esdecir,
x e ( - * ; ^
2 < 2 o ; f
Luego, la gráfica es la siguiente
Problema 14
Construya el gráfico de
sen
f(x) =
í f l
eos i 1? ]
1 1
L l í
f ^ ° Í f]
en el intervalo de 0<x<4
Resolución
Se observa que y * y / k e Z x * k
Luego
x^{l;2;3}
Reduciendo la regla de correspondencia
sen
f(x) =
í i r |í
Lii
I COS
[-2 ]
sec
En los denominadores aplicación de identidades
trigonométricas fundamentales.
f(x) =
*"(?L“íf ]
nx 70C
C
SC— sec—
2 2
puesto que Va = |a
f(x) = sen[ y sen-
nx i ror
+ COS ----
2
cos-
jvc
Analizando por intervalos
f(x) =
1 ; 0 < x < l
-cosrcc ; l< x < 2
-1 ; 2 < x < 3
cosux ; 3 < x < 4
499

Luego, graficando tenemos Resolución
En los puntos de intersección de las gráficas, de
dos funciones, se cumple que la abscisa y la
ordenada son comunes a am bas gráficas.
%
Es decir f(x) = g(x) -
=> sen4
x+senx = cos4
x
=> sen x = cos4
x - sen4
x
=s- sen x = (eos2x - sen2x Xcos2x + sen2x)
1-senrar 1
=> senx = l-2 sen 2
x
=> 2sen2x +se n x -l = 0
Problema15
¿Para qué valores de x, el gráfico de la función
f(x) = tanx-V2senx intersécta al eje de
abscisas?
Factorizando obtenemos
(sen x + l)(2sen x -1) = 0
sen x + l = 0 v 2 se n x -l= 0
Resolución
Debemos notar que el valor de la función, tal que
el gráfico de éste intersecta al eje X, es nulo
cuando f(x)=0
Entoncés tan x-y¡2 senx = 0
senx rx „
. --------- V2senx = 0
cosx
senx(secx-X 2) = 0
Luego se cumple
senx = 0 v secx -V 2 = 0 (secx =^¡2)
x = rtk v x = 2rtk±—
; (k éZ )
1
senx = - l v senx = -
x 7tk;2jik±~ •
4 ’
(keZ )
Problema 16
Dadas las funciones f(x) = sen 4
x + sen x y
g(x)=cos4
x, halle cuántos puntos de intersección
existe entre las funciones dadas en el intervalo
[0; 2t
t
]
Del gráfico adjunto observamos que
íjt_5rc_3ji|
* “ (6 ’ 6 ’ 2 J
El número de soluciones en x e [0; 2rt] es 3.
eí número de puntos de intersección entre los
gráficos d e fy g e s3 .

^Ca p it u l o v ii Funciones trigonométricas
ftrtlem al7
^Esboce la gráfica de la siguiente función g, cuya
-.regla de correspondencia está definida por
xcotx
gU ) =
esc x -1
Resolución
Simplificando la expresión inicial, utilizando
identidades trigonométricas
g(*) =
g(x) =
g(x)>
x cotx
%
/l +cot2x - 1
xcotx
Vcot2x
xcotx
| cot X |
Ahora hallamos el dominio de la función
Primero
co tx * 0 -» x * (2n + l ) ^ n e Z ....(1)
También por definición de cotx
x * k n /k e Z .... (2)
De (1) y (2) concluimos x * ~ Jm e Z
_ ' , , x co tx mn
De
Redefiniendo g(x), analizando por intervalos.
g(x) =
- x ; si: — < x < 0
2
• a n
x ; si: 0 < x < -
2
. . n
- x ; si: —< x < n
3rc
x ; si: n < x < —
2
Finalmente trazamos la gráfica de g, la cual se
aprecia en la figura 7.57
Problema1
8
La función f está definida por
f(x) =
senx ; x < -
2
kx + 2 ; x > |
Halle k de modo que f sea continua en x = -
Resolución
Para que tenga un mejor entendimiento acerca
de este problem a se le sugiere revisar el
capítulo X.
71
Para que fsea continua en x = - , se debe verificar
la existencia de
i. n f II. lim f(x) HI. lim f(x) = f
i )
501

Analizando cada relación
, luego f j j j existe
Resolución
En la figuraadjunta, se han graficado las funciones
y=x e y= 1-cosx en el intervalo [0;n]. Entonces
los rangos d e . dicñas funciones son
respectivamente
[0;Jt] es decir 0<x<7i...(I)
II, Aplicamos límites laterales, f tiene doble [0;2] esd?cir 0< 1 -co sx <2...(2)
regla de correspondencia en x =
lim f(x) => lim senx = s e n - = l
_ 7
t" n 2
2 2
kit
lim f(x) =* limkx+2 =— +2
n* jt+ 2
x~>— x-+—
2 2
Como lim f(x) debe existir
n
X~¥2
=> lim f(x) = lim f(x)
ji*
x~
>
-z- X-*—
2 2
l = Í2 + 2
2
, krc . 2
-1 = — => k = —
2 rt
III. lim f(x) = f [ J j = l
, 2 . r . 7t
k = — hace que f sea continua en x = -
71 ¿
Problema10
Si el dom inio de la función f definida por
f(x)=x( 1-cosx) es [0;n], entonces halle los
valores de f y bosqueje la gráfica de f.
Como las funciones y=x e y = l-co sx son
crecientes en el intervalo [0;n], entonces las
desigualdades (1) y (2) se pueden multiplicar, de
donde se obtiene
0 < x (l-co sx )< 2 ;i
=* 0<f(x)<2it Ranf = [0;2it]
Aplicando el método de producto de funciones,
obtenemos la gráfica de la función
f(x)=x( 1-cosx)

VPITULO Vil Funciones trigonométricas
froblema20
t Dada la función f; cuya regla de correspondencia
presentamos a continuación
I - '
. 2tanx l-tan 2x
f(jf) = -------- — +
1+ tan2
* 1+ tan2*
Analice la verdad (V) o falsedad (F) de las
h . .
i siguientes proposiciones
L R anf=[-72;72]-{ -!}
III. fesm áxim a Vx = k n - ^ ; k e Z
O
25n
IV. Si x e ( — ;4n) =>la función f es creciente
Resolución ,
* J „ . 2tanr l-ta n 2x
Dado f(x)= --------s- +------- 5—
1+tan2x l+ tan2x
1ro.
Restringimos los valores de la variable angular por
estar presente la tan*; x * (2 k + l) í;k e Z por
haber cocientes 1+ tan2* * O (Debido a que esto
siempre se cumple, no hay restricción alguna)
Dadas las restricciones se-tiene que
* * (2 k + l) |;k e Z
2do. '
Para poder analizarla de m anera más sencilla
pasaremos a reducir la regla de correspondencia
de las identidades de arco doble
f(x)=sen2x+cos2x
y por propiedad de arcos compuestos f(x) se
convierte en
f(x) = 72 sen^2x+^
aplicación de sen0 + cos0 = 72 senj^0 + í j
Pero 2jr + - ^ ( 2 k + l)n + -
4 4
se deduce de x * (2 k + l)—
; ke Z
Íí II. f es una función cuyo periodo es igual a n Luego -1 < sen
H ) s
l
Véase en la C.T. adjunta
sen^2x+-®)
-1
2x + - puede ser. cualquier arco de la C.T.
4 ] % '
menos los de la forma (2k +l)n+ —; keZ
4
• Por 72 : -72 <72 sen ^2 x + ^ js7 2
-7 2 < f(x) < 72
=> Ranf= [-72;72]
De doude ía proposición I es falsa.
503

• De lo anterior f(x)= y¡2 senj^2x+^ j ..... (1)
Se sabe que si g(x)=Asen(Bx+C)+D
=* El periodo T= ^
2n
Por lo que de (1) se tiene T(= |2| => Tf=.7t
De donde la proposición II es verdadera.
• También como f(x)=V2 sen 2x+ -
l 4
f es máxima, si sen [ 2x+ - I= 1
4
Dada la gráfica observam os que f en el
intervalo solicitado (~ |~ ;4,T) es creciente y
decreciente, por lo que la proposición IV es
%
falsa.
Problema 21
Se tiene un circuito digital de un proceso industrial
autom atizado, form ado por una bom ba
centrifuga, la válvula de control y la tubería. El
circuito está encargado de detectar si la bomba
está en marcha o parada.
Los valores de salida son 1 si el circuito está
funcionando, y 0, en caso contrario. Si la salida
depende de la siguiente función;
Luego 2 * ± ^ = 2kji + í
D espejando x; x = k 7 t+ -;K eZ y un
8
equivalente de este conjunto es
i 7n - '
x =kn----- ; ke Z
8
De donde la proposición III es verdadera.
• Aparte de (1) se tiene
f(x) = >/2 s e n j ^ + ^ j ; x e ; 4n)
Graficando f se obtiene la figura 7.59(b)
f(t) = tan^ sen ^ j, t>0
Determine los valores de t para observar en la
salida que el circuito no funciona.
ENTRADA CIRCUITO
DIGITAL
SALIDA
Figura 7.60
Resolución
Siendo
f(t)=tan| s e n y j; t>0
A partir del enunciado podemos plantear
Si el circuito funciona, la salida es f(t) = 1
Si el circuito no funciona, la salida es f(t)=0
Pero también menciona que se vea ia salida, para
que el circuito no funcione, por lo que se puede
plantear la siguiente ecuación
f(0=0 ......(1)

pero
f(t) = tan| sen y |..... (2)
(2) e n (l)
tanj sen y l= ®..... (3)
Nota
sen(kn) = 0; Vke Z tan(kn)=0; VkeZ
De (3)
2t
sen — = m n ; m e Z
3
Problema 22
Halle la regla de correspondencia del senoide
mostrado (ver figura 7.61 (a)) si el área de la región
n 2
tnangulares -y^u .
Dando valores a m se obtiene la siguiente
igualdad
sen y --0 ;± 7 i;± 2 7 t;± 3 jt;± 4 n ; ...(4)
Resolución
pero
sen j e [ - l ; l ] ...(5)
por lo que de (4) y (5) se obtiene como única
posibilidad
sen— = 0 ...(6)
3
Luego, resolviendo (6)
y = kn; k s Z+
(El sustento de que k saa positivo es porque
inicialmente, por condición, se plantea t>0)
Despejando t se obtiene
3rck *
t = ----- ; ke Z
2
Bx 4rt
Se tiene y = Bsen| — I =» el periodo es T =
Entonces d = —= —
2 B
El área sombreada es
2n
¥ X h . 7
1
:7 f V2
505

h es la ordenada del punto P.
Reem plazando en la ecuación de la recta,
tenemos
B
12Bx - 2Í2tíB = 20n x - =
■n
Despejando x, tenemos x = y¡2n
El valor obtenido para x es la abscisa del punto P,
entonces las coordenadas del punto P son
J i n las cuales reem plazam os en la
ecuación del senoide
' b
s
K t )=
sen
V2nB V2
Resolviendo ^ ya que el punto P está
ubicado en la rama decreciente del senoide.
3>/2
Despejando B: B = —
— , entonces la regla de
correspondencia del senoide es
3s¡2
y = -----sen
4
r 3-JÍ '
8 *
v
Como un caso particular podemos citar si A>0,
Sea S el área de la región sombreada, entonces S
se calcula mediante la siguiente relación:
La dem ostración respectiva se h ace en el
capítulo X.
Problema 23
„ - . . 3tan2a - ta n a - 4
Definimos f(a) = —------- -=
-----------
2tan2a - 3
¿Qué valores debe toma f(a ) para que la igualdad
sea válida para todo valor admisible de a ?
Resolución
Como a va tomar valores admisibles
tan rae R A teína * ±
£
2
hacem os un cam bio de variable: tana = x;
reemplazando en f obtenemos
f(a) =
3x2- x - 4
2jc2-3
Ordenando la ecuación cuadrática en x.
(2f(a) - 3)jc2+ x +(4 - 3f(a)) = 0
Para tener soluciones reales, la ecuación será
válida siempre que el discriminante de dicha
ecuación sea mayor o igual a cero, es decir
(l)2-4(2f(a) -3)(4 -3 f(a)) > 0
Reduciendo y ordenando se tiene
f2( a ) - j f ( a ) + ^ > 0

>755
“ 432
De donde
f(cO-
17 > V755
12“ 12V3
V f(a)
17 ^ V755
2 " 12V3
/. f(cx) =
/ V755 17
]2Í3 + 12
u
V755 | 17
12>/3 + 12
Problema 24
Construya el gráfico de f, siendo
f(x)
cosx
%
Jl-co s2 x
+
senx
VÍ+cos2x
Resolución
Recordando
2sen2x = l-co s2 x ; 2cos2
x = 1+ cos2x
Además tener presente
Al redefinir f por cuadrantes
f(*) =
-y=(cotx + tanx) ;
-y=(cotx-tanx) ;
1
(tanx + cotx) ;
'T í
--j= (c o tx -ta n x ) ;
sixs-IC
s ix e IIC
sixelIIC
sixelV C
Por identidades de circo doble
cotx+tanx = 2csc2x
cotx-tanx = 2cot2x
Entonces f quedará redefinido de la siguiente
manera
f(*) =
V2csc2x
V2cot2x
-¡2csc2x
-/2 cot 2x
; six e IC
; six e IIC
; si x e IIIC
; six e IVC
Graficando f en (0;2n) se obtiene
co s2 x * ± l
es decir, se debe cumplir
2x *k7t (k eZ )
kix
=> x * —
2
Luego
f(x) =
" cosx senx
V2sen2x + 7 W 7
f(x) =
T 2
cosx t senx
|s e n x | |co sx |
507

Problema 25
De la función f(x) = ----------------- determine en el siguiente orden:
c o s x -se n x
1. Dominio de f 11. Rango de f 11
1
. Periodo de f * IV. Gráfica de f
Resolución
1. El dominio de f son todos los valores admisibles de x, entonces
co sx -se n x =* co sx ^ sen x
4
Por lo tanto Dom f = R - |kjr +
11. Una vez que está bien definido el dominio de f, podemos simplificar f para obtener el rango de f.
tr cos2x _ cos2x - s e n 2x _ (cosx + sen x )(co sx -sen x )
cos(x +T )-sen (x +T) c o s x -se n x
La igualdad anterior se verifica si T =... 2it;4n ;6rr;.... es decir, VT = 2kit siendo k un valor entero.
Como el periodo de f es el menor valor de T positivo (T = 2ir)
Concluimos que el periodo de fes 2rt. En otra palabras, la gráfica de f se “repite”cada 2n unidades
en el eje X.
IV De (H) tenemos que f(x) = eosx + senx
Por lo tanto, para f -V Í<cosx+senx< y¡2 => Ran f = (-^ 2 ; •H)
f
111. Si T es el periodo de f, éste debe cumplir f(x +T) = f(x)
cos2(x+T) _ cos2x
<cosx+senx<
cos2x
A continuación graficam os
508

TULOVir Funciones trigonométricas
| Problema 26
I Construya el gráfico de g(x) =
sen4x
--------4---------------- V
eos a —
sen x
j--Resolución
: Primero simplificamos la expresión, con aplicación de las identidades fundamentales.
2sen2xcos2x
g(x) =
sen4x
(cos2x - sen2x)(cos2x + sen2x)
cos2x
g(x) = |2sen2x|;pero co s2 x * 0 => x * n k ± ^ ,k e Z
4
Graficando
Opcionalmente de la gráfica, se tiene
Dom f= R - n k ± j | ; Ran f= [0 ;2 )
509

Problema 27
Calcule el campo de variación de la función f definida por la regla de correspondencia
, l-coU c + se c x c sc x
• f(* )= - - -------------------
1 -tan x +s e c x c s c x
Lumbreras Editores _ Trigonometría
Resolución
Recordemos la identidad sec x cscx = tanx + cotJf
Sustituyendo en f(x)
cr ^ 1-^oC x+tanx+ cfK x l + tanx njt
f W - l - t ^ + í ^ + c o t , = T ^ es evidente que x ^ y ;n.eZ
Además l +cotjr*0 => c o tJr* -l
(0
Donde x * — + k Jt;k e Z ........(11)
4
Reduciendo ffjc) = 1+ tan* _ (1+ tanjr) tan* = tanjr
1 1 1 (tanjr+1)
tanjr
De (1) y (11): Dom f= R-
rut 3n .
— ;— +krt
2 4
; n ,k e Z
Construimos el gráfico de f, de esa m anera determinamos su variación.
Del gráfico, se tiene f = R - {-1; 0}
510

N TULO Vil Funciones trigonométricas
Asma 28
ifique la siguiente función h(x) =
sen2x
senx + co sx - 1
olución
íes de graficar debemos llevar la furffción h a una forma m ás simple.
:*
■.
h(x) =
h(x) •
2 senxcosx (senx + cosx) - 1
senx + co sx - 1 senx + c o s x - 1
^sen jcj-eo sí^ í) (sen x + eos x + 1)
Es decir
=* h(x) = senx + cosx + l, pero senx + c o s x - 1* 0
=> h(x) = '/2 sen[ x + - | + 1 ; V2 sen
4 )
h(x) = V2 senfx + ^ l + l ;
donde x + —* —+ 2nn v x + 2 * — + 2nn, n e Z => x * 2rm v x * 5. +2nn, n e Z
4 4 4 4 2
Luego decimos que
• La amplitud de h es V2
• El cambio de fase x + —= 0 I
{ 4 J
• Dominio de la función x e R -|2 7 m ;^ + 2 n n |;n e Z
El gráfico es como se muestra
es - 7
4
• El periodo de h es 2n
• El desplazamiento vertical es 1
511

ÍAPÍTULO Vil Funciones trigonométricas
buena 30
I 6
'
:errhine el área de la región form ada por las funciones f(x) = ? tan^
_
x ; g(x) = 3/3 ;
n 8n
-3V3 en el intervalo - ía t í —
o + y
l + /3tan3x
lesolución
Kntes de graficar las funciones dadas; expresaremos a la función f(x) como sigue
r /
f(x) = 3 = 3
ta n 3 x -ta n -
__________ 3
1+ tan -tan x
3
¡entoide con desplazamiento horizontal.
tan 3 x -/3
l+ x/3tan3x
f(x) = 3tan| 3 x - —|, donde su gráfica es una
icemos 3x - —= 0 => x = — (la tangentoide se desplaza hacia la derecha - unidades)
3 9 9
8n
Luego, el área solicitada está formada por ABCD, que trasladando la región ABP a la región DMC (por
simetría) el área a calcular sería el rectángulo PBCM.
S = -x 6 v /3 =27rV3u2
3
513

Problema 29
. Acerca de la función f(jc) = senx+2cosx, analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
1. R a n f = [ - N
/5;V 5] II. Si xe
n _n
4 ’4
f es decreciente
III. Si f es creciente IV. El periodo de f es 2ji
Resolución
f(x)=senx+2cosx
2 1
f(x) = V5sen(x +0) tal que sen0 = -^ = a eos 6 = - ^
Donde 0 = 63° 30' aproximadamente.
Graficamos f(x) = V5sen(x +0) talque 0 = 63°3O', donde la abscisa del punto M es-63°30'
Del gráfico
• Rf = [-V 5;s/5] => I es verdadera.
• Pára f es creciente y decreciente => II es falsa.
/ 7
1
• P a r a x e í - —;0
• Por definición f(x+T)=f(x)
y¡5 sen (x + 0 + T) = V5 sen (x + 0)
el m enor valor que cumple es T = 2rt => IVes verdadera.
^ fes creciente => III es verdadera.

Problema 31
Acerca de la función f(x)=tanx-cotx, analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones
I . ’ Domf = R-{nn}; ne Z
III. Si x e {0 ;~ ' j , entonces f(x )<2
II. Ranf = ( - “ ;+“ )
IV. Si x e , entonces f(x)> 2
Resolución
f(x) = -(cotx-tanx) = -2cot2x
Graficando la función f(x) con periodo T = - . El coeficiente -2 hace que la gráfica de la función
y=cot2x; se reflejen, todos sus puntos respecto al eje X.
. . 3t
t nn
Del gráfico. x * ....- 2 '° : 2 " ’T ..... Y
entonces Dom f = R -
- Ranf = R => Ranf = (-«■;+■*}
En el interveilo de ((*; la gráfica de f(x) está por debajo de la recta y=2, entonces f(x)<2.
En el intervalo de ;- 0 la gráfica de f(x) está por debajo de la recta y=2, entonces f(x)<2.
Luego, afirmamos según las proposiciones
I. F II. V III. V IV
. F
, 514

Problema 32
CJetermine el campo de variación de la función h(x) = esenr + senx . Nota: considere e = 2,71
:Resolución
:H dominio de la función h es todos los números reales, pero es suficiente analizar en [0; 2rc]. Ya que el
fperiodo de la función es 2rc.
|H rango será calculado por una sum a de funciones
h (x )¿ f(x )+ g (x ); haciendo que f(x) = esenx; g(x) = senx
Determinemos el rango de f(jc) = e senx
=
=
> Lnf(x) = Lnesenx => Lnf(x) = senx
Pero - l< s e n x < l ; Vxe R
r -l< L n f(x )< l
Lne 1<Lnf(x)<Lne
Como la función logaritmo es creciente
Propiedades de logaritmos neperianos
• Lnex=x"
=> Lne=l ; Lne~‘=-1
e~' < f(x) < e
| Graficando f(x) y g(x) y luego sumando estáis funciones tenemos
Recordando que sólo se suman las ordenadas de cada punto para un mismo elemento del dominio
común de las funciones. En tal sentido (observe la gráfica) para x0 Si a la ordenada del punto B le
sumamos la ordenada del punto A, resulta igual a la ordenada del punto C.
En la gráfica de y=h(x) el rango es [e~’- l; e +l]

Problema 33
Sea f(jf) = v'senx-cosx y g(x) = ^íog(serw) + log(cosx). Halle el dorqmio de la función h definida por
h(x)=(f.g) O*) en el recorrido de y,~ 7 ~ )
Resolución
Nos piden hallar Dom h=Dom fnDomg...(i)
• De f(jr)- ^ senx - eos x =>senx - eos x > 0
=>senx > eos x, resolviendo gráficamente (Observe la figura 7.71)
Domf =
re 5rt
u
971 13jt
teniendo en cuenta el recorrido ' 0;-— )
,4 ’T . 4 4 / ’ { 4 /J
• De, g(x)= ^Log(senx)+Log(cosx), se tiene serur>0 acosx>0 =»xeIC
Es decir Domg = ^teniendo en cuenta el recorrido'0;-^-)
. /. 13n
De (i), intersectando los dominios tenemos Domh =
4’2/
u
5n
T ’T /
Problema 34
Grafique la función f(x)= |senx| + cosx
Resolución
En la figura adjunta, se han graficado las funciones y= |senx | e y =cosx, estas funciones están definidas
para todo x e R , entonces el dominio de la función f(x) = | senx| + cosx abarcará todos los números’
reales. Aplicando el método de la adición de funciones se obtiene la gráfica de f.

T’
’
-
1TULO Vil
¡endo y, = |se n x | ;
do
X f(x) = yv+ y2
0 1 -
it/4 V2
n/2 1
n -1
3 n /2 1
7n/4 V2
2t
t 1
Como conclusión a partir del gráfico para la función f, se tiene
Domf= R ; R a n f= [ - 1 ;^ ] ; T = 2n
frafilema35
Grafique la siguiente función f(x)=4senx+sen3x
Resolución
Sea g(x) = 4serur y h(x) = sen3x
T=2jt x _2n
3
Graficamos g y h y luego graficamos f,por suma de ordenadas de la siguiente formá, en el intervalo de [Ó;2n].
Esta gráfica se construye con más precisión mediante la aplicación de técnicas de derivadas, que permite
conocer intervalos de crecimiento, decrecimientos, puntos máximos y mínimos, que desarrollaremos
en el capítulo X.
517

ll F unciones T rigonométricas I nversas//
El lector muchas veces encuentra que la teoría
de las funciones trigonométricas inversas es muy
com plicada ya que tiene gran cantidad de
fórmulas difíciles de demostrar.
Podemos decir que este capítulo no es difícil,
para ello lo desarrollaremos de una forma sencilla
y didáctica, sin obviar las definiciones formales,
para esto es suficiente conocer lo elemental de
Trigonometría.
A manera de introducción, podemos señalar
que el tem a tiene gran aplicación en diversos
campos como mecánicá, medicina, astronomía,
robótica, etc.
Aquí se tiene una aplicación en la mecánica
(carrera militar)
• La carga de un cañón destructor alcanza una
velocidad del 1500 pies/s. La distancia que
recorre la carga esta dado por d, en donde v
es la velocidad inicial de la carga y 0 es el
. NOCIÓN PE LA FUNCIÓN INVERSA
En el capítulo anterior se estableció que una
función asigna a cada elemento del dominio, una
y solamente una imagen que desde luego puede
' ser común a varios o a todos los elementos del
dominio. Si la función tiene además la propiedad
de que la imagen es exclusiva o sea que cada
imagen en el recorrido lo es de un solo elemento
del dominio, se dice entonces que esta función
establece una correspondencia biunívoca o
biyectiva entre los elementos del dominio y los
del recorrido. Cuando tal es el caso, se puede
definir una nueva función, inversa de la función
original, cuyo recorrido sea el dominio de la
primera. Se dice entonces que cada función es la
inversa de la otra.
ángulo de elevación del cañón, dicho ángulo
0 es tal que la carga hace blanco en un
transportador y esta dado por la siguiente
expresión
Figura 7.74
Definición de una Función Inyectiva
Una función f se llama inyectiva o univalente
si y sólo si para todo x,, x2e Domf se cumple
—
^ f(Xj) ~ f(x2) xj = x2
llamada también función uno a uno o función,
univalente. 1
Si quisiéramos averiguar si una determinada-
función f es o no inyectiva tendríam os que:
plantear f(x,) = f(x2) y luego de resolver esta;
igualdad concluir como única solución x, =x2, eñj
caso se llegue a otra relación diferente;
afirmaremos que no es inyectiva. El ejemplo’
siguiente aclara al respecto. i
-518 https://librospreuniversitariospdf.blogspot.com

Ejemplo
Identifique si las siguientes funciones son o no
univalentes.
I. f(x) = x2-1
II. f(x) = x3+2
III. f(x) = senx
IV. f(x)=tanx; 0 < x < |
Resolución
Si se desea averiguar si una función es inyectiva
■se deberá plantear f(x,)=f(x2) y de esta ecuación
se debe obtener como única condición x, =x2.
I. Aplicando la definición
f(x,) = f(x2)
x,2-1 = x f -1
x f - x f =0
Por diferencia de cuadrados
(x,-x2)(X|+x2) = 0
=> x, = x2 v x, = -x2
'obtenemos que se cumple dos condiciones'
y <e debió obtener solo unax,=x2.
.•. f no es univalente, pues no cumple la
definición.
II. Aplicando la definición
f(x,)=f(x2)
xf + 2 = xf + 2
xf - xf = 0
Por diferencia de cubos
(x, - x2) (xf + x,x2+ x f) = 0
=> x, = x2 v xf + x,x2+ xf = 0
%
f no tiene soluciones reales'
( excepto x, = x2= 0
Luego sólo se cumple x, =x2
f es univalente.
III. Aplicando la definición
f(x,) = f(x2)
senx, = senx2
senx, - senx2 = 0
X . + X 2 . K X , - X 2
—— - = (2k + D - v —
-— ¿ = nn
2 2 2
=»x,+x2=(2k+l)?t v x ,-x 2=27tn; k, n e Z
Como x, yx2se relacionan de muchas formas,
no satisface la definición
.-. f no es univalente
IV. Aplicando la definición
f(x,)=f(x2)
tanx,=tanx2
De donde x ,= x 2+ kjt ; k e Z ...(1)
Pero 0 < x, < — ... (2)
0 < x2 < | ... (3)
D e(l) k = 0 => x, = x2 (Si se cumple)
D e(l) k = 1 => x, = x2+ ir
r
-, *
* 3t n
Como 0 < x, < - => 7t<x, + 7t< —+ 7t
2 2 - 2
n < x.
3n
Como se puede verificar, esta condición'
no se cumple porque 0 < < —
D e(l) k = 2 => x, = x2+ 2rt
Como 0 < x, < - => 2n <x2+ 2ji < ^
2 2 — ' 2
2ji < x,
'Como se puede verificar, esta condición'
no se cumple porque 0 < x, < —
Para k=3; 4;..., así como para valores negativos
notaremos que siguiendo el criterio expuesto,
dichas posibilidades no se cumplieron.
=> La única que cumple es x, =x2
.-. La función f es inyectiva.

Lumbreras Editores
Ejemplos aplicativos
a. La función f(x) = |x - 11 no es monótona
(revise la página 460) en todo su dominio, pero
si elegimos un intervalo donde f es siempre
creciente o decreciente (tal como se muestra
en el gráfico adjunto) estas serán univalentes.
Como frío es estrictamente
creciente o decreciente
=> f no es univalente
(a)
f(x)= x-; x<
como fes decreciente
fes univalente
(b)
f(x)= x-; x>
como fes creciente
=> fes univalente
(c)
Figura 7.75
b. La función f(jc) = sen*; x 6 i ^ )
2 2 / j
Gradeando y considerando sólo el intervalo !
Trigonom etría
■
¡
4
520

r
v ■ .
SftPÍTULO Vil _____________________________________ Funciones trigonométricas
interpretación Geométrica de una Función Inyectiva
I- Una función f es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de f a lo m ás en un
ninto.
Larecta horizontal corta en un sólopunto algráfico
de la fundón y= x3+ l, entonces la fundón es
univalente.
Ejemplo
En este caso la recta horizontal corta al gráfico de la fundón y = senx en infinitos puntos, entonces la función seno no es
inyectiva, de igual forma la recta horizontal en la figura 7.78(d) corta a la fundón y=ta n x en varios puntos por lo que afirmamos
que dicha función tangente no es inyectiva.
Figura 7.78
521

Ejemplo
Indique si la siguiente función es univalente
cf sen3x » /ri
f(x) = --------; 0 < x < J t/2
senx
Resolución
Simplificando
^ _ senx(2cos2x + l)
senv
Por la identidad sen3x = senx(2cos2x+1)
f(x) = 2cos2x+ i
(Simplificando serur t- 0)
Graficando
f(x) =2cos2x+1
Como se observa, la recta horizontal corta al gráfico
de f en un solo punto, entonces para 0 < x <^ la
función es inyectiva.
Función Sobreyectiva
Una función f se llam a sobreyectiva,
suryectiva o sobre si el conjunto de llegada
coincide con el rango de f. También podem os
definirla de la siguiente forma
----------- N
Dada la función f
A->B si V ye B 3xe A /(x;y)e f
—
> f es sobreyectiva
Ejemplo
La función f: (0: --> [0 ;l], f(x)=senx no es
2/
sobreyectiya, dado que
Si 0 < x < - 0 < se n r< l
2
es decir 0 < f(x) < 1 =
> Ran f = (0; 1)
y se observa que el conjunto de llegada [0;1] no
coincide con el rango Ran f = (0; 1
}
Función Biyectiva
Una función f se llama biyectiva
si f es inyectiva y sobreyectiva
Ejemplo
La función f: [0; n ] [-1; 1), f(x) = eos x, es
biyectiva, dado que
• 0 < x < n =>-1 < cosx < 1=> Ran f = [-l; lj
entonces la función es sobreyectiva.
• Sea f(a)=f(b) = > cosa=cosb
eos a - eos b = 0
-2sén a ~k sen =o, luego
2 2
a + b
2
=n7t V
a - b
—— = kn ; n, k € Z
Con el dominio dado tenemos a=b, entonces la
función es inyectiva (véase figura 7.80)
Por lo tanto la función f(x) =cosx es biyectiva
522

rru LO vi! Funciones trigonométricas
Inición de Función Inversa
Sea fuña fundón biyectiva, entonces fposee
rsa denotada por f '* o f*. y se define de la
¡ente manera:
f~' = {(y ;x )/y e f(x) ;xe Domf>
Observación
Lafundón f'*
1
I
I
.también es inyectiva.
La regla de correspondencia de la función
inversa se obtiene a partirde laecuación:
x=r'(y), sustituyendo simultáneamentex por
y.eyporx.
¡
¡ • Luego se concluye que Dr'=Rf, Rf"'=Df
Ejemplo
Halle la regla de correspondencia de la función
Inversa de
L f(x) = 2x II. f(x) = x?+2
R esolución
. Como estas fundones son biyectivas, porlo tanto
'poseen inversa.
1. y=2x, despejando x.
-x = - , intercambiando variables (x pory e
y porx).
y = , es la función inversa.
II. y=x3+2, despejando x
%
x = y —
2 , intercambiando variables (x por
y eyporx).
y =y¡x- 2 es la función inversa de f.
• G ráfica d e un a función inversa
La gráfica de la función inversa y=r'(x) se
obtiene de la gráfica de la función y=f(x) por la
representación simétrica de la rectay =x.
M Nota
- -........^ .
Paracualquieraque seanlos puntos (x;y) e (y;x) ,
son simétricos respecto ala rectay=x.
A continuación se muestran los gráficos de
las funciones y=2x, y = ^ x -2 , y de sus
respectivas inversas.
Además Dom f 1= R, Ran f 1= R Figura 7.81
523

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Recuerde que para que una función tenga inversa la función debe ser biyectiva.
La figura 7.82 muestra una senoide, esta función no es biyectiva, pues todo número de su rango
(contradominio o ámbito) es el valor de la'función de más de un número de su dominio.
Por consiguiente, la función seno no tiene inversa, obsérvese sin embargo que en el intervalo de
3ji.571
T 'Y _
función y=senx si x e
, cualquier recta horizontal sólo corta a esta porción de Ja gráfica en un punto. De esta forma la
3rt 5t
t
2 2
es biyectiva, y por tanto, tiene una función inversa.
t
Figura 7.82
Entonces, las Funciones Trigonométricas por
ser periódicas no son biyectivas, pero se pueden
elegir muchos intervalos de su dominio tal que
cum pla la definición de funcióa biyectiva.
Seguidamente consideram os el siguiente
cuadro (convencional) de restricciones, para que
las funciones trigonométricas sean biyectivas ypor
tanto tengan inversa.
Función
y = serw
y = cosat
y = tan*
y = cotx
y = secx
y = cscx
Dominio Rango
7t Jl
2’ 2.
[0; n]
n n
~2’ 2
(0; n)
[ 0; tu]
Tí' K
2 ’ 2.
-{0}
[-1; i]
[-1; i]
R
R
R -(-i;i>
En estas restricciones las funciones
trigonométricas elem entales poseen función
inversa, veamos
O b s e rv a tió n ________________ _ _ _ _
S ift(e ) =n donde 0 pertenece al rango de su
respectiva función inversa
=
s> 0 =arcft(n) v 9 = fr'(n )
Ejem plos
1 1
sena = -=> a= arcsen - a a e
3 3
n.n
2 ’~
2
cos<
¡>=
1 1 K i r/ "
i
-=> ó=arcc0S2 = 3 A Ós I0;7tj
tan0 = '/5=> 0 = arctan/5 a
cotp = 2 = > P = arccot2 a P e ( 0 ; n )
sec(p = -V2
3t
t 3k r_ -i 17t
 y = amccsc14 a ye
re _n
2 ’ 2
-ío:
524

Hacemos la aclaración que los norteamericanos
e ingleses emplean 0 = fr'(n )
Para los números reales que son elementos del
conjunto solución de la ecuación eos 0 = ~ tal como
— ;—; — ;etc., es decir 9 = 2rut ± - ; n e Z a
3 3 3 3
este conjunto de números se da el nombre especial
1
Arceos - que se puede leer como “arco cuyo
coseno es - ”, otro ejemplo que podemos citar es
« 2
f 7t n 3n
ArccosO 2 ,
ArccosO = (2 n + l)^ ; n e Z
Explicaremos posteriormente la diferencia entre
Arccos0 = (2n+ 1) - ; n eZ y arccosO= - ;
sugerimos al lector no confundir estas dos
igualdades, la primera indica los valores generales
y la segunda indica el valor principal. Inclusive
hay discrepancia en algunos autores con
' referencia a este punto.
Análogamente se definen los conjuntos Arcsen,
Arcsec, Arcese.
Como ejemplos citaremos lo siguiente:
. . ÍJt 57t 9ti 13rt 1
Arcsenl = ( - ; — ; — — ;...! .
12 2 2 2 J
Arcsenl = (4k + 1)^ ;k e Z
ArcsenO ?
={—
7t; 0; 7t;27r;3n ;4n ;...}
ArcsenO = kTt ;k £ Z
Arctanl =
_3Tt.7t 57t.97t. 1
~ T ’4 ’T ’T ’"'J
Arctanl = (4k + l ) - ;k e Z
4
A f 7t . 7t 37t 571 1
I 2 2 2 2 J
Arccot0 = (2k + 1)^ ;k £ Z
. Arcsec2 =(—
^ ; — ;...j
1 3 3 3 3 I
Arcsec2 = 2krt±— ;k e Z
3
Arccscl =
3rt. 7t. 5ti . 97t. 1
. T ’i ’ T ’ T ’ "'/
Arccscl = ( 4 k -3 )- ;ke Z
Función Arco Seno
A partir de la función y=serur dado que;
- - < * < 5 obtenem os su función inversa
2 2
considerando el siguiente procedimiento
• Despejando x, en términos de y
je=arcseny o Jt=sen*'y
• Cambiando la variable x pory e y por*, se tiene
y=arcserur o y=sen“'x
(se lee: “y es un arco cuyo seno es x").
Obteniéndose así la función inversa definida
con regla de correspondencia f(x)= arcser«
Figura 7.83
Del gráfico observamos que la función
Domf = [-1;1|
Ranf =
7t.7t
2 ’2
es inyectiva
es impar
no es periódica
la función es creciente en todo su dominio.
525

Función Arco Coseno
A partir de la función y=cos* dado que
0 < * < ji obtenem os su función inversa
considerando que x = arccosy ó *=cos~'y
adem ás cambiando la variable x por y e y por*;
obteniéndose
X= árceos* o y=cos_1*
(se lee: “y es un arco cuyo coseno es * ”)
Obteniéndose la regla de correspondencia
f(*)= árceos*
• Domf = I-l;l]
• Ran f = [0;rc]
• es univalente
• no es par, ni impar
• no es periódica
• la función es decreciente en todo su dominio
Del mismo modo, definimos otras funciones
trigonométricas inversas.
Función Arco Tangente
f(*)= a rc ta n *
• Dominio de f es R
i n tc

• Rango de f es ( I - /
• La función es impar.
• La función es creciente en todo su dominio
%
Función Arco Cotangente
Dada la gráfica de la función f(*)=arccot*
se observa
• Dominio de f es R
• Rango de f es (0; n)
• La función no es par, ni impar.
• La función es decreciente en todo su dominio.
Función Arco Secante
f(*)= a rc s e c *
• Dominio de f es R - (-1; 1).
• Rango de f es [0; rc ] -
• La función, no es par ni impar.
• La función es creciente en el intervalo
-1) v (l; +oo} .

PITULO VI! Funciones trigonométricas
Función Arco Cosecante Dada la gráfica de la función f(x)=arcesex
se tiene
1
T
Z
2
f(x)=arccscx 1 K
' / ! r > . ______
lí
-7t
2 Figura 7.88
• Dominio de fes R - (-1; l)
-{0}
Jt
. 2 ’ 2.
• Rango de f es
• La función es impar.
• La función es decreciente en el intervalo
-1) v (1; +«>}
Cuadro de Resumen
Fundón Inversa Dominio ■
v Rango
y=arcsenx ~ -1 £ x < l
T
T K
— S y £ -
2 2
y-árceo s x -1 <X<1 Oáyáit
y=arctanx . x=R
n Jt
2 3 2
y=arccotx x=R 0<y<jt
y=arcsecjc x S -1 v x > 1 Otsyájt; y * |
y=arecscx x < -1 v x £ 1 - f < y ^ ¡ : y ^ °
Ejemplos
Obtenga el valor de las siguientes expresiones
Resolución ^
a. Sea a =arcsen-
a. aresen
1
2
b.
72
árceos —
2 el intervalo
1
K
|
cm
1
1
______
1
c. arctan 73
e. árceos 0
d.
f.
arccot (2+73)
arctan 1
decir sen a =
1
2 •
g. aresen 0 h. aresee 2 - T
t
.*. a = —
i. árceos
V-
_____
>
i- aresen
b.
6
72
Sea0 =arccos —
cuyo seno es - , es
k. arctan (-0
Para poder entender mejor el desarrollo de estos
ejemplos es necesario que recuerde las razones
trigonométricasdeciertosarcosnotablescomoson:
V2
el intervalo [0; jt ] cuyo coseno és — , es
J
T . Jt . J
T . 7
1 . 571 .
4 6 12
; ... ,etc.
decir eos 0
,. e= í
.4
_V 2
527

Sea (3=arctan v3 ; entonces (3 es un arco en
j n n _
el intervalo ^ ; «jy cuV
a tangente es V3 ,
es decir tan P = n
/3 .
P = -
3
Sea y =arccot(2 + V3 ); entonces y es un
arco en el intervalo (0: n) cuya cotangente
es 2+ V3 , es decir cot y =2 + ^3 -
7t
" Y 12
e. Sea P = árceos 0; entonces P es un circo en
el intervalo (0; n ] cuyo coseno es 0, es decir
eos p =0.
7
1 '
P = -
f. Sea X = arctan 1; entonces X es un arco en
' / 7
1 7t
el intervalo ~ ' 2 / cuya tangente es 1, es
decir, tan X= 1.
x = í
Sea v = aresen 0; entonces es un arco en
7
C 7t]
cuyo seno es 0, es decir
el intervalo
semy =0.
V =0
2 ’ 2
h. Sea S = aresee 2; entonces 8 es un arco en
í1
Z
el intervalo [0; n l - t —
2
es decir, sec 5 = 2.
-! &
Sea e = árceos
arco en el intervalo [0; 71 ] cuyo coseno es
— |, entonces e es un
s/3 ' . S
■
— , es decir eos e = — — .
5rc
6
i. Sea t = aresen - - ¡, entonces x es un arco
V 2 !
r 7i_ ti]
en el intervalo p —
; —
j cuyo seno es - - ,
1
es decir, senp=— .
- 2
, . _ 7t
T 6
k. Sea y = arctan(-l), entonces y es un arco
/ 7
1 7t
en el intervalo 2/ cuya tangente e s -
1, es decir tan V = -1.
— !
Luego de estos ejemplos, se concluye el
siguiente cuadro donde el lector observará la
relación entre la función inversa y directa.
Propiedad Fundamental
0 = aresenk o sen0 = k a
«4 N
0 = arccosk 0 cos0 = k a 0 e | 0; 7t ]
0 = arctank 0 tan0 = k a
6 * J>
0 = EÚCClílk <
=
> cot0 = k a 0 e (0; rc)
0 = arcseck O sec0 = k a 0 é [0; ti]
0 = arccsck <
=
> csc0 ■
= k a 0 e j - |; 5 -{0}
____
cuyo secante es 2, Ejemplos
1
• Si 0 = areserr-
3
=> sen0 = - a 0e
3
K. 7
1
'2 ' 2
Si tan0 = 4 a 0 e ( - —
2 2/ •
=> 0 =arctan4
• Si cos0 = - - a 0£[O;7t]
0 = arccos| —
3
528

U LO Vil Funciones trigonométricas
LA F IS IO LO G ÍA Y LAS FU N C IO N ES TR IG O N O M ÉTR IC A S INVERSAS
(Ángulo óptim o de ramificación vascular)
En el sistema circulatorio, la circulación de la sangre se realiza con un gasto mínimo de
energía. Así es razonable suponer que, cuando una arteria se ramifica, el ángulo entre la
arteria "m adre" y la "hija " debe hacer mínima la resistencia al flujo de la sangre.
Sea la siguiente ramificación vascular:
Considerando la resistencia de flujo entre A y B tam bién entre B y C, además de la
viscosidad de la sangre, se deduce 0 = árceos
La aplicación de la matemática es necesaria en el
estudio y ejercicio de la medicina.
529

Ejemplos
Calcule el valor de las siguientes expresiones
1. M = sen
V3
are sen— - arctan 1]
2 j
2. N = tanl 2arctan-
, 4 1 2
3 , p = cos| are se n - + árceos—
3 3
4 . D = tan| are ta n - + are sen-
• 5 5
2 1
5 . N = cos| a re se n --2 a rc se n -
3 3
3 2
6. P = árceos-f= tareco s-4=
VÍO * V5
7. P = sen 2arctan -
l 3
9. R=tan| -árceos
1 0 . F=cos
1 ]
3J
n
3 J
1
VsJ
11. R = sen (arctan V3 +arccsc2)
1 2 . F = sec(2arctan2)
1 3 . A = tan(3arccot3)
Resolución
1. M= sen
M= sen
V I ^
aresen - — aretanl
2 .
M= sen —
12
M
V6-V2
2. N = t a ñ í 2arctan-
l 3
Sea a = arctan- => tana = -
3 3
N = tan2a
N = 2tana ^jcjenf¡(jac| ¡-¡el arco doble)
1- tan a
1-
.. N = —
4
¿Observación
En forma práctica se puede resolver utilizandd
tañí
(f)-i•
N= tanf2arctan|l= ta n Í2 Í^ - =tan37°=4
q tr í 4 12
3. F = eos are sen - + árceos—
ó 13
Si a = aresen
0 = árceos
4
5
12
13
sena = -
C O S 0 = — '!
Figura 7.89
F = cos(cx + 0)
F = co saco s0 -sen asen 0
5
F - l ?
^5
.-. F =
<4
I 1 3 J 1
,5
16
65
13

rtTU LO Vil Funciones trigonométricas
3 3
D = tan[ arctan- + arcsen -
5 5
3 3
Si i = areta n - => tanx = -
5 5
3 3
(?= arcsen - => sen<¡>= -
D u
Figura 7.90
D= tan(t + <
|>
)
tan t +tan ¿i
D = -
l-la n tta n $
3 + 3
-D = — 5 Í 1
’-'IX
!
D
27
11
N = cos are sen — 2are sen-
3 3
Si a = arcsen - => sen a = -
3 3
0 = are sen
Figura 7.91
N = cos(cc - 20)
N = eos acos 20 + sen a sen 20 (1)
Además se tfene
sen20 = 2sen 0eos 0 = 2|
2Í 1!Í 2V2]
U J t 3 J
4n
/2
9
cos20 = 1- 2sen20 = 1- 2|
En (1)
N =
Í V 5 V 7 U 2 ,
l7 A 9 Ji3 ) 9
7V5+8V2
27
3 2
6. P = árceos —
¡= + árceos
V io V5
Si a = árceos
“ ( v ^ I v s H v i ó i v s )
7. P = sen^2arctan-
2
Sea d = arctan - -
P = sén2<i)
p_ 2tan<|>
2
tand>= -
3
1+ tan2<
))
2 '
1+1?
, P - «
13
531

Lumbreras Editores Trigohom etría
8 . C = eos 3árceos-
3
Si W = árceos co sW -
1
C =cos3W
C = 4cos3W - 3cos W
c-4
(íHí
.-. C = -
23
27
9. R = tañí -árceo s-
{2 3
Sea X = árceos
R = ta n j^
1
cos^ = -
3
R
il-cosX
=-J-------- — SI
V1+ cosX
0<X <-
R =
1+ -
2
1 0 . F = cos 4 arcsen-7=
l
C 1 1
Sea a = arcsen-¡= =i sen a = -7=
F = cos4a
F = 2cos22 a - l ...... (1)
Como eos2a = 1- 2sen2a ^
x2
eos 2a = 1 - 2
cos2a = -
3
En CO F= 2j
F = - I
9
1 1 . R = sen(arctan V3 + arccsc2 )
n / 7
1 7
1
R = sen — + —
{ 3 6
R = se n -
.'. R = 1
1 2 . F = see(2 arelan 2)
Sea a = arelan 2 => tan a = 2
Luego en F
F = sec(2a)
Pero, por identidad de arco doble
l+tan2a
F =
=* F =
l-ta n 2a
1+22.
1-22
5
.-. F= -
3
13. A = tan(3arccot3)
Sea a = arccot3 => co ta = 3 ; ta n a = ^
«
J
Luego en A
A = tan3a
Pero, por identidad de arco triple
tan3a
3 ta n a-tan a
l-3 ta n 2a
tan3a = -
1 - 3 3
. o 13
.'. tan3a = —
12

¡fcPÍTULO Vil Funciones trigonom étricas
¡¡oremas y Propiedades de las Funciones
trigonométricas Inversas
¡ r ' ■
?
— ^ -------------n
? • arcsen (-x) = -arcsenx; Vxe [-1; 1]
• árceos(-x) = n - arccosx;Vxe[-l; 1]
kemostraciones
fc"'' ■
| Sea a = arcsenx....... (1)
=, n „ „ n
;/ entonces, sen a =x a — < a i -
2 2
| Recordando la identidad
sen (-« )= -sena
sen(-a)= - x
Com o es evidente, también - ? £ - a < 5
2 2
entonces -a =arcsen(-x).......(2)
fe . V
), Reemplazando (1) en (2) obtenemos
- arcsenx = arcsen(-x)
De donde se verifica
arcsen(-x) =-arcsen(x)
• Asimismo, sea 6 =arccosx, entonces
eos 0 =x a 0 á 0 £ n
cos(rc-0)= -cosO
cos(n-0) = - x
Como es evidente O S n -0 S n
Luego c o s (» t-0 ) - - x a O í n - 0 S u
aplicando la propiedad fundamental de la
página 528 podem os despejar n - 0 para
obtener
n - e = arccos(-x)
árceos x
7t - arccosx = arccos(-x)
De donde se verifica
arccos(-x) = 7t - arccosx
De forma análoga verifique
------------- ----m - — i. . . V- <
•
>
.>
. ■ ■■ — — 1 ■ — 1— '
arctan (-x) = -arctan x; Vxe R
arccot (-x) = t
i-arccot x; Vxe R
arcsec(-x) = n-areseex; Vxe R -(-l;l)
arccsc(-x) = - árcese x; Vxe R- {-1; 1).
A continuación mostramos una serie de
ejemplos en cuyos desarrollos se apreciará la
utilidad de los teoremas anteriores.
Ejemplos
Determine el valor de los siguientes arcos
a = arcsen|
a =-arcsen-
2
7
t
5
it
a = _ _
-V2
• p = arccosl - y
ÍV2
=> p= 7t—
arccosl —
3 n
n
■ 3
• 0 = arctan(->/3)
=» 6 =- arc tan(/3)
5t
3
• y= arccot(-73)
=
> y = 7t-arccot73
S
5
• |/= arcsec(-l)
=* |/ = 7i-arcsecl
- 1
5
n
¡
y =
• X= arccsc(-1)
=>' X= -arccscl X =
n/2 2
533

Propiedad del Seno Inverso
De la definición
y=arcsenx <
=
>seny = x ; < y < ^ ; !< * < !
se obtiene
• sen(arcsenx) = x ; -1 < x <1
• arcsen (seny) = y ; - í < y á ^
Ejéiiiplos
Determine el valor de las expresiones siguientes
2'
I. sen arcsen
l 9
II. sen
f
arcsen £
O
V JJ
III. arcsen sen
8
IV. are sen sen
2n
Resolución
J e
2 ) 2 2
I. sen | arc sen - = - ; puestoque -e [-l;l]
II.
f
r_ s y
sen arcsen
&
V
.
u
V JJ
V3 .
; puesto que
o
n i n
III. arcsen sen — = —; puesto que g 6
n n
2 ’2
IV. arcsen | s e n y j * _ y ; puesto que
2jt r n n i
¥ * [ 2 ’2J
534
Para este tipo de ejercicio, debem os hallar el
2ít ,
equivalente de s e n y . tal que se exprese
como- la razón seno de otro arco en el
intervalo
n.7t
~2'2
, pero que tenga el mismo
valor, para esto com o es evidente :
2ji * . .
sen — =sen r ; es decir
S' 3
, 2rc) ( n n
are sen | sen y = arcsen sen - = -
, / „
(tienen el mismo valor)
Este ejemplo nos permite concluir que cada j
vez que se tenga razones trigonométricas de j
¡
arcos que no corresponden al intervalo de su j
correspondiente función inversa, se tendrá que ;
buscar un equivalente de dicha razón pero con ¡
un arco en el intervalo requerido. Se sugiere)
repasar sus lecciones de reducción al primer)
cuadrante.
Sigamos con el siguiente ejemplo para hallar el j
valor de a .
a =arcsen sen
57Í
5n
O bservam os que — g
6
71, Jt
2 '2
; por lo qué;
cambiamos por un equivalente sen —, porque
6 ,
5n n
sen— = se n -
6 6
Luego a = arcsen^ sen - |; ahora observamos
7t
que - 6
7
1 K
2 2
. Por lo que aplicando la
propiedad seno inverso obtenemos a = -

PITULO Vil Funciones trigonométricas
aiedad del Coseno Inverso
| De la definición
[ y=arccosx <
=
»cosy = x; 0 < y < 7t; 1< x < 1
e obtiene
• eos (areeosx) = x ; -1 < x < 1
• are eos (eos y) = y; 0 < y <7t
, '
apios
(«termine el valor de las expresiones siguientes
L eos
L eos (arccos0,7)
are cos|
„ . 3n
B. are cos| eos—
árceos eos —
r t l 6
Resolución
L cos[arccos| jj = -|;puestoque -|e [-l;l]
II. cos(arccos0,7)=0,7 ; puesto que 0,7e H ;l]
III. arccós| eos ~~ j = ^ ;puesto que [Ol7
1]
37
1
* — ; p uesto que
6
IV. are eos eos —-
l l 6
Pero com o sabem os eos - - = e o s - , y como
1 6 J 6
-e[0 ;n ] entonces podem os hacer el cambio
® 7t
respectivo y observar que la respuesta es g .
arccosl cosf - ^ J = arccosí co? ^ j = 5
Propiedad do Tangente Inverso
De la definición
7
1 Jt „
y=arc tanx <
=
»tany = x; - - < y < ^ ; Vxe R
se obtiene
• tan(arctanx) = x ; Vxe R
* arctan(tany) = y; - £ < y < 5
2 2
Ejemplos
Determine el valor de las expresiones siguientes
1. tan(arctan(-4)) II. tan(arctan 2000)
III. arelan tan
■
b )
IV. arctan(tan 3)
Resolución
I. tan (arelan (-4)) = -4; puesto que -4 e R
II. tan(arctan 2000)=2000; puesto que 2000e R
JL I 'S 5
12e 2*2,
III. arctan| tan ^ j= ^ ;puesto que
/ ye it
IV. are tan (tan 3) * 3; puesto que 3e (
Pero tan3 equivale a tan(3- t i) y adem ás
(3 -n )e ver figura 7.93, entonces
are tan(tan 3)= arctan( tan (3 -7 t))= 3 -7 t
535

Análogamente se cumple
Propiedad de Cotangente Inverso
• cot(arccot*
*) = x ; V x eR
• are cot (cot y) = y; 0 <y <n
Debido a que cosa>0 =* ]cosa |= cosa
de donde obtenemos
cosa = 'l- sena
y como a =arcsenx a sen a=x
Finalmente demostramos
cos(arc<
senx) ='/i-x 2
Propiedad de Secante Inverso De forma análoga demuestre usted
(------- ; - ■ : )
: sen(arccos*) =y l-* 2; Vxe[-l;l]¡
i )
Ejemplos
a) cos^arcsen|j^l-^|j=Y
Propiedad de Cosecante Inverso
• esc (are esc x) = x ; V xe R -(-l;l)
• esc (are esc y) = y ; Vys
Teorema
cos(arc sen x) - V1- x2; V*e [-1;1]
Demostración
Sea ’a =aresen*, entonces
n n
sena =* a < a < —
Observe que en este intervalo cosa >0, lo cual
se va a utilizar cuando se despeje eos a de la
identidad que se muestra a continuación.
Sabemos que
eos2a =1- Sen2a
|cosa| = Vl-sen2a
raíz cuadrada a ambos miembros
sen rárceos—
2
v y l 2 j
Teorema
aresenx + árceosx = Vxe f—
l;l]
2 1 1
Demostración
Sea a = areserur+árceos*
sena =sen(arcserur +árceos*)
Aplicando el desarrollo de arcos compuesto
(seno de la suma de dos arcos)
sena = sen(arcserur)cos(arccosx) +
* * ~
cos(arcsen*)sen(arccosx)
v i- * 2 v i- * 2
Observe que cadacomponente deeste desarrolli
son propiedades explicadas anteriormente.
sena =*2+(l-*2)
7
1 7
1 7
1
sena = i a - - < a < - = > a =-
Tí
areseñx.+ árceos x - ~
536

¡CAPÍTULO Vil Funciones trigonométricas
iDtra forma
Se sabe que - ^ < aresen* ...........(1)
••(2)
..(3)
0< arccosx< 7t ..
Oe (2) obtenemos
n n n
- —< — are eos x <
. -
2 2 2
De (1) y (3), obtenemos aresenx = — -árceos*
para que esta última igualdad sea verdadera
probemos
sen (are sen*) = x
Ejemplo 2
Determine el valor de la expresión F
- ( 2 2 n
F= eos aresen - + árceos - + —
i. 3 3 3
Resolución
c ' (n jt) n V3 - , - 7 3
( 2 3 J 3 2 2
Ejemplo 3
Resuelva la siguiente igualdad
2arcsenx +árceos* = ^
1
f 7t )
sen --á rc e o s *
l 2 i
porarcos complementarios
Dado lo anterior se verifica
7
1
are sen * = — are eos *
2
71
/. are sen * +are eos * = —
2
De forma análoga demuestre las identidades
are tan* + are cot* = r ! Vxe R
are sec* + are esc *= ^ ; Vxe R -(-l;l)
Ejemplo 1
Determine el valor de * en cada uno de los casos
siguientes (considere los dominios dados):
, 3 7
1
• arcsen(x-l) + árceos ^ = 2
, 3 7
=* * - l = - => * = -
4 4
7t
• arctan9x + arciotl 08 = -
=> 9* =108 =» * = 12
• arcsec24 + árcese —= —
3 2
=> í = 24 =* *= 72
O
Resolución
Se tiene - l < x á l
aresen*+ (aresen* +árceos*) = —
' H ' 6
5
7
1 5ti
arcsen*+ —= —
2 6
T
I
aresen* =
* = sen g
Ejemplo 4
Resuelva la siguiente igualdad aresen*= árceos*
Resolución
_ n
Como aresen* + árceos* = g
árceos * = —- are sen *
2
Luego reemplazando
aresen* = — aresen*
2
„ n 7t
2arcsen*= ^ ; arcsen*= —
*=sen -
4
*= ■
Í2
537

■:.r ■ ■ ' ••• ■ ' ■ .S
-r
1 Teorema
arctarw + arctany = are®?
f x +y
-x y
siendo
n = 0 , si xy < 1
n = l , si xy > 1 a x > 0, y > 0
n = -l, si Xy > 1 . a x < 0 , y < 0
Demostración
Sea
F= arctarw + arctany ... (1)
Tomando tangentes a ambos miembros
tanF=tan(arctanx+arctany)
tanF - tan(arctan x) + tan(arctan y)
1- tan(arctan x) tan(arctan y)
x + y
tanF = r ^
Resolviendo la ecuación trigonométrica
F= nn +arctani i; n e Z
, i-xy
De (1)
arctanx + arctany = arctan
x + y
1-xy
+ rat ...(2)
Hallando los valores de n
Por teoría sabemos
rt n ti n
— < arctan x < -; - - < a r c ta n y < -
2 2 2 2
Sumando estas desigualdades se tiene
-n < arctan x +arctan y <n
Sumando las expresiones 3 y 4
3rr 3rr 3 3
——<n?t<— =* - ~ < n < -
2 2 2 2
-Jt<arctan| ■
*—— i+rntcrt
l-x y
También se tiene
...(3 )
ji
- —< arctan
2
f x +y )
— < -arctan
2
' x + y jf-t
j^ l-x y j< 2
Como n e Z se tiene n = {—
l, 0,1}
Analizamos las condiciones de n
¡
En la expresión 2, tomando cosenos a ambos
miembros
eos (arctarw+arctany) = eos arctan
x + y
1-xy
. +nn
Efectuando
cos(arctanx)cos(arctany)-sen(arctarw)sen(arctány]|
=cosí arctan ~ - — cos(rot)
l i
y _
Vi+x2 Vi+y2 'fi+x* J'+y2 h jx + y J
■cos(nit,
1-xy | I-wy |
V(l + x 2)(14-y2) ,J(l +x 2)(l + y2)
Luego.
cos(nn)
cos(nn) = —-
|l- x y |
Si xy<l =>cos(nn) = l => n = 0
xy> 1=» cos(nrr) = - l =» n = -1 ó n = 1
También sabemos
• arqtanx> 0 a arctany >0
= > x> 0A y> 0= > n = l
• arctan ycO a arctan y < 0
... ¿■
= sx < 0 A y < 0 = > n = - l
De esta forma queda demostrado el teorerru
indicado.

M*ÍTULO Vil Funciones trigonométricas
apio 1
Jcule el valor 6 si
0 = arelan
« so lu c ió n
í'. 0 = arctaní ? )+ ardan! -
i: U J 17
Aplicando el teorem a 3
!
» c s o s-t
ardan -
7
0 = ardan ü
’-'íK
)
+ mc
Como
Luego
m
<1 entonces n=0
0 = ardan
De dónde
= arctan(l)
r 0 = arctan(l) a - ^ < 0 < -
Dado ló anterior obtenemos tan0 = l identificando
el valor de 0 que cumple con el intervalo
. í . * es -
2 ’ 2/ 4
•■•6 = i
Ejemplo 2
Calcule el valor de Y. si
Y= arctan*2 + ardan 4
Resolución
Aplicando el teorema 3
2 + 4
Y= a rd a n !--------- I+ njt
'1 -2 x 4
Se observa que 2x4> 1, entonces n= 1
, | 2+4 1
Y= arctanl -—r— r |+ jt
J - 2 x 4 J
Y= arctanl ^ |+ n
V
y =n - ardan -
aresenx = árcese
arccosx = aresee
arctanx = arccot
aretaro:= arccot
(£ ]; -i<x<i-{o>.
-l< x¡;l-{o}
(í)::~
°
Gh x< 0
D em ostradón
0 Sea 0 = aresenx ....(1)
=» sen0 = x ; x e[-l;l]
(2)
entonces csc0 = —; X *0
x
0 = árcese^—
Igualando (1) y (2)
aresenx = arccscí - | siendo -1 < x < 1- {0}
//') Demostremos arctanx = arccot| —| ; x>0
sea 0 un arco de la C.T.
539

De la figura se tiene
• tan0 = x=»0 = arctanx .. .(1)
También
1
• cot0 = —=>0 = arcco tí— | ...(2 ) '
x Vx J
Igualando (1) y (2)
arctanx = arccotí i j; x > 0
tií) Demostremos
arctanx = arccot^—j-7t; x < 0
Partimos de
arctanx = -arelan (-x) como (-x)>0
arctanx = -arccotí —
' V -x
arctanx = -arccot
(
4 )
arctanx = - rc-arccot —
x
arctanx=
arccot
í 1 t ['Esto es lo que set
l X J n t buscaba demostrar J
Ejemplos
Se cumple que
(í)-
• aresen - =arccsc3
arccos| | j = arc sec ^ |
arctan4 = a rc c o tí'
arctan í — ]=arccotlO
lio j
24'
a rc ta n í--l = a r c c o t í ; —^ <0
3 2 3
• arctan(/2 + l) = arccot(42~l) ; (>/2 + l)> 0
* / i t
. arctan(l-v/5)=arccot - -Jt;(l-V5)<0
arccot(-2)=arctan¡ ; -^ < 0
• arccot
1 T
^cos2x -4
eos2x - 4 < 0
= arctan(cos2x-4)+ji;
A continuación se desarrollarán ejemplo;
para utilizar el teorem a de la página 531.
Ejemplo 1
J J I
Calcule F=arctan(2003)+arctan - .
fcUvi5 }
Resolución
F=arctan(2003) +arccot(2003)
Por propiedad F = -
Ejemplo 2
Calcule D=sen(13n + arccsc(l,5))
¡É l-U I
Resolución
D = sen| 12n+jt+arccsc
(
I
)
4>0
D= sen 7t+árcese-
2
D= -sen árcese -
— >0
10
arctan| — |= arccotf —
25 J {24
; ^ > o
24
D= -sen[ arc sen ^ l dado que | e [—
1;H
=» d = - 3

TÍTULO Vil Funciones trigonométricas
nplo 3
palcule N = tan(arccot(l-V 2 ))
solución
N= tan(arccot(-(V 2 -l)))
N= tan (n - are cot (V2 - 1))
N= -tan(arccot(V2 -l))
1S= -ta fí aretánl
V2-1 V 2-i
sR
i?
N =-,
V2-1
N= ~(V2 +l)
Ejemplo 4
Calcule P=cot(arctan2+arctan5)
Resolución
( 2 ) ( 5 ) = 1 0 > 1 a 2 > 0 =* K = 1
entonces
P = cot! arelan!
( 2 + 5
^ . U -2 x 5
7
p = cot arctan -
9
p - cot| -arctan| ^
P = -co t| a rc tan í-
u
P = ~póí ¿ reco tí j ) j dado que y e R
P = '7
Ejemplo S
Halle el valor de R = sení arctan - + arctan -
l 3 4
Resolución
A partir de la expresión R tenemos
R = sen
pero como
arctan
*
1 1 '
---h—
. 3_ 4
, 1 1
1— x —
3 4
+kn
<1 => K = 0
Luego reduciendo R = senj^ arctan—
, 7 7
sea a = arctan — => tan a = —
de donde R= seria
7VÍ70
/. R=
170
Ejemplo 6
Halle el valor de F = co s|arcsen ^| j+ arcco tj^
Resolución
A partir de F tenemos
F = cosj^arctan | + arctan3
F = cos
( f 3 ■
'
I +3
arctan 4
+krc
1-4x3
V l 4 J
Pero |^ |j(3 )> l a ^ > 0 => k = l
Luego reduciendo F = -cos(arctan(-3))
Vio
F = cos(arctan3) F = -
10
541

A continuación desarrollaremos ejemplos
gráficos donde se da la regla de correspondencia
y se pide dominio, rango y gráfica.
Ejemplo 1
x
y = arcsen —
Resolución
El dominio de la función se determina a partir
de
-1< —<1 => -2 < x < 2
2
Dom f = [-2 ; 2]
El rango de la función es evidente
jt x n
— < arcsen—< -
2 2 2
Ran f =
2 ’2
Ejemplo 2
y = are eos 2x
Resolución
• El dominio de la función se determina a partir
de —
1<2jc< 1 = > - - < * < i .
2 2 -
Domf =
2 ’2
• El rango de la función se halla por
0< arccos2x < n
0 < y ' < n
Ranf =[0;7t]
Ejemplo 3
y = 2 are sen x
542

VPITULO Vil Funciones trigonométricas
Itesolución
El dominio de la fundón se halla por -1 < x < 1
Domf = [-l;l]
El rango de la función se determina a partir
n _ n
de _ 2~ arc Sen X ~ 2 ’ mult*PÍ*can^ ° Por ^
entonces -Jt<2arcsenAf<Jt
<
- n - n
Ranf = [-7t;n]
[Ejem plo 4
v = -arccosAr
y 3
lución
Figura 7.99
• Eldominio de la función se halla por -1 < x < 1
Domf = [-l;l]
• El rango de la función se determina a partir
de 0 < árceos x <n , dividiendo entre 3
1 7t
entonces 0 < - arccosx < —
3 . 3
n
° < y < 3
Ranf = [0; n/3]
Ejemplo 5
y = arc sen (jr-1)
Resolución
Figura 7.100
• El dominio de la función se hedía a partir de
-1 < jc—
1< 1 => 0 < Jt< 2 .
Domf = [0;2]
• El réingo de la función se halla por
< «irc senfjr -1) < —
2 , . 2
7
1 ji
“ tt < y < -
2 . 2
.-. Ranf =
Ejemplo 6
y = árceos
Resolución
_ n -nl
” 2 ’2 j
(f+
1
)
s( f +'l
543
Figura 7.101

• El dominio de la función se halla a partir de
- 1 < - + 1<1 =» -4 < x < 0
2
Domf = [-4 ; 0]
*
. El rango de la función se determ in a
considerando
0<arccos —+ 1 S ti
l 2 J
0 < y < n
Ran f = (0; n ]
Ejemplo 7
n:
y = —+arcsenx
4
Resolución
Lumbreras Editores
Figura 7.102
• El dom inio de la función se conoce
- 1 < X < 1 .
.-.Domf =[—
1; 1
]
• El rango de la función se halla a partir de
77 „ ^77~
— < arcsenx< -
2 2
7
1 , 37
1
- + arc se n x < —
4 4
Ranf =
7
7 377
4 ’ T
Trigonometríi
Ejemplo 8
7
7
y = are cosx - -
Resolución
• El dominio de la función se conoce -1 < x <
Dom f = [—
1; 1]
• El rango de la función se halla a partir d
0<arccosx<7t
77 77 277
— < arccosx— < —
3 3 3
Ranf =
77 277
3 ’T
En generad
Sea la funcióny = A arcsen(Bx+C)+D; A, B >
El dominio depende de B y C; así
-1<BX +C<1 => —
-——< x < -——
B B
El rango depende de A y D, así
— < arcsen(Bx+C) < ^
2 2
=> -^ A + D<Aarcsen(Bx + C) + D < íA + D
2 v y 1 '
=* — A + D < y < -A + D
2 2
544

C a p i t u l o v ii
C om o sabemos, del tema sobre las reglas de
construcción de gráficos, el parámetro A estira o
-contrae verticalmente al gráfico de y=arcsenx.
E parámetro B estira o contrae horizontalmente
al gráfico de y=arcsenx
fcLos párámetros B y C, desplazan a la derecha o
izquierda el gráfico de y=arcsen(Bx), una longitud
C
B
E parámetro D desplaza hacia arriba o abajo el
gráfico de y=Aarcsen(Bx+C) una longitud igual
a |D| (siD >0 ó D<0 respectivamente).
:Igual a
C C
(si —> 0 ó —< 0 respectivamente).
B B
y.:*:.
S r
; - De m anera análoga se aplican los criterios
r indicados en las demás funciones.
Construir el gráfico de las siguientes funciones con
regla de correspondencia y=f(jf)
Ejemplo 1
y= 2 are sen(x-2)+ -
Resolución
El dominio - l£ jr -2 < l= » l< jt< 3
.-. Domf ^ [1;3]
Desplazamiento horizontal: 2 (a la derecha)
El rango - í < arcsen (x -2 )< 2 ; multiplicando
por 2
-n < 2 a rcse n (x -2 )< n; sumando n/2
=> -^< 2 a rc sen (jr-2 ) +^ < ^
3n
" I * y S
.•. Ranf =
- n . 3n
2 ’ 2
Desplazamiento vertical ^ (hacia arriba)
Ejemplo 2
y = 4arccosj 3 x - i )-l
Resolución
El dominio -1< 3jt--< 1 = > - - < x < -
2 6 2
V. Domf =
Desplazamiento horizontal - (a la derecha)
6
El rango 0 < are cos^ 3x - 1 j < 7t; multiplicando
por 4 y restando 1
-1 < 4 a rc c o s(3 x -^ )-l< 4 it-l
.•.Ranf = [-l;4 n -l]
545

Problemas Resueltos
Problema 1
¿Qué funciones son invectivas?
a)
b)
f(jc) = 2cot2x - cotx;
g M = sen (log x)
c j h(x) = eos (sen x)
R esolución
a) Por definición si f(a)* f(b) demostremos que
a= b para que la función sea inyectiva.
f(x) = 2cot2x- cotx; Vxe
=> 2cot2a - cota = 2cot2b - cotb
* 2cot2a-(csc2a+cot2a)=2cot2b-<csc2b+ cot2b)
Efectuando
csc2a-cot2a=csc2b-cot2b => tan a = tanb
, „ se n (a -b ) „
tan a - tan b = 0 = > ----------- / =0
eosaeosb
=* a -b = krc, k e Z
Como a, b e / 5 ; 2 í
2 2
7i 3n -3n , n
=> - < a < — a — -< - b < - -
2 2 2 2
=> - j t < a - b o r -7i<Kjt<n
=» -1<K < 1= » K = 0
a = b
Si k = 0 => a = b ,es loque se queríademostrar.
O tra form a
Este es un mecanismo práctico mediante el
cual podem os construir el gráfico . Si
trazam os una recta horizontal, debe
intersectar a la gráfica por lo menos en un
solo punto, así
f(x) = 2cot 2x - cot x; x * n
f(x) = 2cot 2x - (esc 2x+cot2x)
f(x) = -(esc 2x - cot2x)
f(x) = -tanx
Observe un solo
Efectivamente la recta horizontal que corta a f es
un solo punto, entoncesconcluimos que es Inyectiva.
b) Por definición supongamos que g(a)=g(b),
- dado que g(x)=sen(logx); x>0
Entonces
sen (log a) = sen (log b)
sen (lóg a) - sen (log b) = 0
( loga + iogb) n o g a -io g b l .
2 eos ------y ----- sen —
—~ Y ~ — = 0
log(a/b) j _ 0
] £ 8 ^ ) = (2k+ ,)£ v lá f e f r U
- 2 v '2 2
De este último si k=0
log (a/b)=0 => a/b= l =» a= b
>cos|
j log(ab) j
g(x) es inyectiva
c) Para este problem a podem os aplicar el
siguiente criterio.
Por definición de función periódica •
h(x+T)=h(x) _
Entonces cos’[sen(x+T)] = eos (senx)
Donde se cumple para T= n ;2rt;3n;....
Entonces, como h es una función periódica y
como toda función periódica no es función
ieyeájS^ Concluimos que h no es fundón
¡rfyecwá.

Figura 7.107
Aculo del dominio de f
- 1 < - + -< 1 => - 6 < x < 2
4 2
Dom f=[-6; 2]
aculo del rango de f
0<arccosí ^ +4 ]<n
4 2
-3n<-3arccos|
ÍH)s
<
-2rt< n-3arccos[ ^ + | |<rt
Ran f = I -2n;n ]
Problemas
Halle la regla de correspondencia de la gráfica de-
la fundón f, presentada en la figura 7.108.
R esolución
Sea la ecuación de f: f(jr) = A arcsen(Bx+C)+ D
Considerando A, B > 0
del gráfico -2 < Jt< 4
Multiplicando B y sumando C
-2B + C<R*- + C<4B + C (1)
Por definición del arco seno
-l< B x r+ C sl ..... (2)
Entonces de (l) y (2) -2B+C=-1 a 4B+C=l
Resolviendo el sistema
B = 1/3 ; C = -1/3
Del gráfico -rt 5 y ¿ 3it
- n i Aarcsen
X -
+ D S 3 ji
1
Sumamos (-D) y multiplicamos por —
[ A
-re-D
——
— Sarcsenl
Por definición — 5ai
Entonces de (3) y (4)
£ -1
3 1 A
< 5
2
l 3 1
D -n
.... (3)
...... (4)
3)t-D n
A 2 A
Resolviendo el sistema A = 4 ; D = n
x - V
Por lo tanto f(x) = 4 aresen + rt
547

Problema 4
Halle el área de la región sombreada
(b)
Figura 7.109
T rasladando regiones (por sim etría)
convenientemente, formamos un rectángulo de
dimensiones b y h, entonces el área de la región
sombreada es
S = b x h .........(1)
De la ecuación de la función obtenida
I. - 1 < Í ^ < 1 = > -3 < x < 7
II. 0 < arcco s^ ^ g -~ j^ n =* 0 < y< 3n
3rr
Luego b= 10 ;
En (1): S = 15nu2
Problema 5
Construya ei gráfico de y =
4
are c o t(;r-1)
Resolución
Finalmente la gráfica de la función será la curva
resaltada en la figura 7.110(c)
(c)
Figura 7.110
548

n- lema 6
lálcule el valor de
f k= 5tan —+ 2arc esc - arcsec 2,6
V4 2 v
* ilución
r m
fea are esc —
— = a
mo a e 0;- '
2
csc a =
•M
sen a =
VÍ3
pálculo de cos2 a
J eos 2a = 1 - 2sen2a
c o s 2 a = l - 2 Í - ¡ L l = —
j 13
- => sec2a = 2,6 o sea
2a = arcsec2,6... ya que 0 < 2 a < n
Reemplazando en la expresión original
k = 5tan^ + aresec2^- arqsec2^í
k = 5 ta n -
4
k = 5
Proli!ema7
Evalúe la expresión
k= sen |2 arc tan s/3 eos 2arcsen
Resolución
iea a = are sen
Cálculo de eos 2a .
V5
v 3 ;
75
75 n it
>sena = — a 0 < a < —
3 ' 2
eos 2a = l-2 sen 2a = > co s2 a = l- 2
eos2a = —
9
75)
3
Sustituyendo en la expresión original
r
k= sen 2are tan
Aplicando arctan(-x)=-arctanx y sen(-x)=-senx
V3l
,0 )
Cálculo de sen 20
2tan0
k = -sen |2 arctan -g
Sea 0 = are tan — =s> tan0 = — a O<0< —
9 9 2
_________2(V3/9)
1+ tan20 i + (73/9)2
373
14
3V3
Sustituyendo en (I): k= — —
Problema 8
. *i 3n 1 1
tan — + -a rc s e n -
4 2 3
sen 20 =
sen 20 =
Resolución
Sea a = arcsen - => sena = - a 0 < a < 5 —(0
3 3 2
Recuerde la identidad tan —= csc x - cot x
2
Luego
, /3 rt a'l (3n ^ f 3n
tan — + — =csc — + a - c o t — + a
4 2 2 2
í 3n «"1
tan — + — = -s e c a + tana'
( 4 2 J
De la condición (I)
.00
sena = -
3
549

En (II)
tan|34 + 2
tan ( + —1= - —
4 2 2
( 3ji 1
tan — + r arcsenr 1=
l 4 2
V2
2
Problemas
E = cos
, V6 1
are tan------are eos-
2. . 5
Resolución *
Hacemos que
, V6 , -s/6 n jt
a = arctan— => tana = a 0 < a < —
2 2 2
También P = are eos i => cosB = - a 0 < B < -
5 5 2
(b)
Figura 7.112
Reemplazando y efectuando por. la identidad de
arcos compuestos la expresión a calcular
E = cos(a - (3)= cosacosp + sena.senfi
14
£ _ 2 1 | V6 2V6
E =
Vio 5 Vio 5 5VÍÓ
7VTÓ
25
Problema10
Determine el dominio y rango de la función
aresen*
f(x) =
are eos x
Resolución
Determinamos el dominio de f considerando
árceos* *0 =>*¿1
Domf = [-l;l)
Cálculo del rango de f ; expresando f únicamente
con árceos x
y =
y =
aresenx _ 2 arccosx _ 2 árceos*
árceos* árceos* árceos * árceos*
¡i
2arccosx
--1
Del dominio de f: -1 < * < 1, se obtiéne
0< árceos* <7t
* -> — se invirtió puesto que arccosx>C
árceos* n
Multiplicando por | ~ ] ^ OSjc - 2
>1
Sumando (-1) ___ í ____ 1> _ I
2arccosx 2
Ranf =
~2’+°°

VPITULO Vil
D&lema 11
| Determine los valores de la función fy represente
|s u gráfico.
t f(x)=sen(arccosx) cos(arcsenx)
¡jrResolución
tira, forma
I
( n ^
eos — arccosx
L l J _ J
= sen (are cosx) . sen (are eos x)
= sen2(arc cosx)
= 1 - cos2(arc cosx);
f(x) = 1- x2 ; Vxe [—
1;1]
jjDel dominio de f: - 1 < x < 1 = > 0< f(x)< l
| La gráfica de la función f se muestra en la figura
7.114
j; 2da. forma
t Recordando el teorema, de la página 536
| sen(arccosx)= %/l-x2,
cos(arcseru)= V1—
x 2
entonces
f(x)= sen(arccosx).cos(arcsenx)
Vl-x2 Vl-x2
f(x)=l-x2
Como es evidente para —
1< x < 1, se obtiene
0 < f(x )< l.
Problema 12
Determine el dominio de la siguiente función f,
cuya regla de correspondencia es
/a rc ta n M ^
V arccotx
Resolución
Como es sabido 0 < arccotx < n , entonces no
existe un x, tal que arccotx=0.
Analizando el radicando de la expresión f(x)
arctan|x| ^
arccotx •
=> arctan | x | >arccotx ya que arccotx es positivo.
Resolviendo la inecuación gráficam ente (ver
figura 7.115) se observa que la desigualdad
anterior se cumple si x > 1
Figura 7.115
Domf =[l;+«o)
Problema 13
Exprese W en términos de x
W =sen(sen'lx-cos~ l2x) ; -l< x < 0
Resolución
También W se puede escribir como
W = sen (are senx - are eos 2x)
donde x e [-l/2 ;0 )
Sea
0 = áresenx => sen0 = x ; - - < x < 0
=* cos0 = V l-x 2 porque 0 e[-rt/6 ;O )
• p = arccos2x => cosP=2x; - l< 2 x < 0
=* senP = V l-4x2 porque P e ^ ; n
E fectuando la expresión W ap licando las
identidades de arcos compuestos
W = sen(0-P) = sen0cos3-cos9senp
Sustituyendo valores
W = x(2x) - Vl - x 2.V l-4x2
W = 2x2- Vi - 5x2+ 4x4
551

Lumbreras Editores
Problema14
Luego de analizar la función H(x)= 4 senx - cos2x
. . ¡H r/f
para todo x e ( —;n +árceos—
rango.
determine su
Resolución
Expresando H en términos senos
H(x) = 4serw -(l-2sen2
*)
se uso la identidad eos 2x=]-2 sen2x
H(x) = 2(sen2
x+2serur)-l
Entonces
sen(n+6)<seru:<l
%
-sen 0 < sen x < l
3
— < senx< l ....(I)
4
4
■ > A
•-1
Trigonometría j
;
i
1
A partir de la desigualdad (I) formamos H(x), de
donde se obtiene que - -,'j
-^ < 2 (se ru r + l)2-3 < 5
8
H(x) = 2(sen2x + 2serur + l - l ) - l
(senx+1)2
H(x) = 2(senx+l)2- 3
ya que la función H sólo depende del senx, pues
analizamos los valores de éste en el dominio
dado.
7
1 y¡7
—< x<rc+arccos—
5 _ __4,
"e
a o < e < í
2
Dibujamos al conjunto de x en la C.T.
Y
Figura 7.116
-. „ V7
Si 0 = arccos—
4
V7
=> COS0 = —
3
■sen0 = -
4
RanH =
Problema 15
1271
( 9tiA
y = arcsen eos— +arccos sen ^
Resolución
áreseme = — arccosx
2
arccosx = — aresenx
2
Entonces
t i ( 9n t n ,
v = --a rc c o s eos— + --a rc s e n sen
2 1 1 2 l 11
12n
( 9tiA ( 12ti
Y = 7t-arccos eos— -aresen sen-yy- (13
Utilizando la propiedad de coseno inverso, páginí
5 3 5
arc¿ós| p ó sy y l = ^y
9n
puesto que ^ e [0; n ] (2)

Análogamente de la propiedad de seno inverso
(ver página 527)
12j i ) 12it
arcsen] sen-j-j-
1271
puesto que —
--e
71 Jt
' 2 ’2
11
1271 ( 7 t) 7t
pero se n -jy = sen 7t + — = -sen
luego
( 1 2 jt) ( n ) Jt
arcsen sen-pp 1= arcsen -s e n — = - — ...(3)
Finalm ente los resultados de (2) y (3)
reemplazamos en (1)
'9 ji
Y=
3ji
11
Problema 16
Simplifique la siguiente sumatoria
J
y^arctanQank)
Resolución
D esignem os S a dicha sum atoria, la cual
expresada por extensión resulta
S = arctan(tanl)+arctan(tan2) + arctan(tan3)
+ arctan(tan4)+ arctan(tan5)
Aquí conviene utilizar la propiedad de la tangente
inversa
arctan(tany)=y ; - p < y < ^
Analizando para cada caso
/ 7t T
C
arctan(tanl) = 1; puesto que le í
arctan(tan2) = arctan(tan(2- ti ))= 2- Jt
. arctan(tan3) = arctan(tan(3-Jt ))=3-Jt
arctan(tan4) = arctan(tan(4- j t ))= 4- Jt
arctan(tan5) = arctan(tan(5-2 n ))=5-2 n
Encadaunadeestasigualdadessebuscóelequivalente
con un arco ((2-7t);(3-7t);(4-7t);(5-2jt)) los
71 Jt
cuales se hallan en el intervalo ~ 2 ’ 2
(Véase la figura 7.117)
jt jc
Por ejem plo el arco j , pero
ten 2= tan(2-jt)
Luego, sustituyendo valores
S = 1+(2 - rt)+(3 - ji) +(4 - n)+ (5 -2 ji)
S = 15—
Problema 17
Determine el rango de la función
f(x) = xsen(arc sen x) - 2 cos(arc eos x) +1
Resolución
Sabemos que
sen(arcsenx)=x; xe[-l;l] a cos(arccosx)=x
x e [—
1;1
]
=> f(x) = x (x )-2 x + l
f(x) = (x-1)2
Como se sabe el dominio
-1 < x < 1
=> 0 < ( x - l ) 2<4
553

También el rango se verifica en la gráfica de f,
véase figura 7.118
Ranf = [0;4]
Problema 18
Resuelva are senx - 2arccos *= ?
4
Resolución
V6-V2
V6 +V2 '
Figura 7.119
Recordamos que
n
aresen x + árceos *= —
Reemplazando en lá ecuación del problema
( n
=> aresenx - 21 - - a r e s e n x
, 5n
3 aresen x = —
4
5rc
aresen x = —
5n
x = sen yy x ■
S +y¡2
Problema 19
Resuelva
árceos ( * ^ ) +arccos x = ~
Resolución
Utilizando el m ism o teorem a del problem a
anterior
árceos (*77) = --á rc e o s *
árceos (xsfi) = aresen*
Evaluando cosenos en ambos miembros
cosJ^arccos(*/7 )J = cosíarcsen *)
Entonces (*V7) = -s/l—
**
7*z = l - * z *= ±
V2
V2
La ecuación original verifica sólo para x = —
4
x -
Problema 20
Resuelva
arccot * - arccot (*+2)= yy
Resolución
Recordamos que
are tan * + are cot * = —
entonces are cot * = - - are tan *
2
Luego sustituyendo en la ecuación original
- - a r c ta n * -
2
--arctan (* + 2)
n_
12
554

ÉGAPÍTULO Vil
f— ----------------- -
í
;Ordenando
i
are tan (x+2) - are tan x = °
| are tan (x+2) + are tan(-x) = ^
=> are tan
(x + 2) + (-x)
l - ( x + 2)(-x)
n
12
=> are tan
1+ x + 2x 12
arelan
tan
,0 + x)2_
2
7t
Í2
12 (1+ x f
2->/3= -
(1+x)2
Resolviendo obtenemos
* = { -2 -V $ S }
Problema 21
Determine la abscisa del punto de intersección
entre las gráficas de las funciones
fO) =2 are tan x a g(x) = n - aresen—
Resolución
Como el enunciado del problema indica que las
gráficas de las funciones f y g se intersectan, es
decir existen puntos comunes, entonces para
dichos puntos se cumple f(*)=g(x), luego el
problema se reduce a resolver la ecuación:
2 are tan x — n - aresen — ..
2
Sea a = are tan x
n n
=> tan a = x a — < a < -
2 2
0 )
Cálculo de sen2 a . Sabemos que
2 tan a
sen 2a =
sen 2a =
1 +tan2a
2x
1+x2
Sea B = aresen —
2
=> sen p = — a - - < B< 5
H 2 2 H 2
Sustituyendo y ordenando en (1) obtenem os
2a +P=jt y sabem os que para arcos
suplementarios se cumple sen 2a =sen P
Sustituyendo el equivalente de cada seno
2x _ x
1+ x2 _ 2
Resolviendo la ecuación obtenemos
^ = {-v/3 ;0 ;V 3 }
Pero reemplazando en la ecuación (1), este sólo
se verifica para x= -J3 .
Una form a de determ inar el núm ero de
soluciones de la ecuación (1) es graficando las
funciones f y g, veamos
Como observam os sólo en un punto se
intersectan las gráficas de f y g en x= -J3
555

Problema 22
Resuelva la siguiente ecuación
arccosl x - |+arccos x+ arccosí x + - | = —
R esolución
Sean
a= arcco s^ x -^ j
tic o s a =x~~ a O S asit.-O )
Q earccosr
s=>cos0cjr a o s e s » ...(2)
* 0 = are cosí
H)
i
>cosp = x + - A 0sp ¿n ...(3)
Sumando (1) y (3)
co sa + cosp = 2x
=
=
>eos a + eos 3 =2cos 0
puesto que x = eos 0
Transformando a producto se tiene
ífc o s ^ ^ ifijc o s ^ ^ ¿ j = /2'cos0 ... (4)
bién tenemos
a +0 +p = — =* cos0 = -se n (a + p)
Reemplazando en (4)
cosf —
-^-Icos^ j = -sen (a + p)
^ 2
S( 2 J
Tenemos cosj^^y^l = 0
SLÍÉ = Í => a + P = n , luego 0 = |
de donde x = cosB = 0
Problema 23
Resuelva
aresen x+aresen 2x = árceos x
Resolución
%
Una form a de enterarse del núm ero de
soluciones que tiene la ecuación es observando
los puntos de intersección entre las gráficas de
las funciones, así ordenando la ecuación original
queda
arcsenx^arccosx = -arcsen2x
f(x) g(*)
c o s í ^ l c o s ^ ^ j = - 2 s e n j ^ ^ j c o s j ^ j
Este gráfico indica que la ecuación posee una sola ‘
solución, pero no determina dicho valor, en ese
sentido procedemos de la siguiente manera:
aresen x + aresen 2x= - - aresen x
2arcsen x + aresen 2x = (I)
Sea 0 =aresen x
=* sen0 = X A - - < 0 < -
2 2
556

fcAPITU LO Vil Funciones trigonométricas
¡En(0
204arcsen2x = -
2
arcsen 2x = ^ -20 => sen í^ -20 |= 2x
| => eos 20 =2x => l-2 se n 20 = 2x
1 => l-2 (* )2 = 2x
fí
Ordenando la ecuación cuadrática
i 2x24 2x-l =0
, , , x/3 “ 1 f V3 +1
de donde x = ------ vx =- l --------
2 ^ 2
V3 —
1
La ecuación sólo admite x =—-—
Problema 24
De la ecuación, halle el menor valor de x.
are tan (x) + 2arc tan (2x)= are tan (7x)
R esolución
arctan(2x) 4 arctanx=arctan(7x)- arctan(2x)
Sim plificam os cada m iem bro aplicando ef
teorem a 3 de la página 538.
, 2x4x 'i . ( 7 x -2 x
are tan — -—-— = are tan
1-2* x
are tan
3*
- 2 x
3x 5x
= are tan
l- 2 x 2 l+14x2
(verifica la ecuación original)
También
3 5
l + 7x.2x
5x )
1+14x2J
x = 0
l- 2 x 2 l+14x2
=> 52x2= 2 =* x 2= ±
26 26
V26
El menor valor de x es -
Problema 25
Calcule el valor de
1 9
A=arctan 44-arctan - 4-are tan -
Resolución
Expresando com o un arco tangente a los dos
últimos términos, y aplicando el teorem a de la
página 538.
A=arctan 4 4 arctan
1 9
2 + 2
i 1 9
‘~ 2 X2
4 -k n
Para elegir el valor de K, analizamos el producto
, 1 9
entre - y -
2 * 2
. . . . 1 9 ,
Asi k= l, puesto que - x - > I
Entonces
A = arctan (4 )4 arctan (-4 )4 n
=> A = arclarrtíT - a r c -ta n t^ n
A = rt
Problema 26
Calcule el valor de
W =16 are tan ^ - 4 arctan—
!—
5 239
Resolución
W = 4¡4 are ta n --a rc ta n —
!—| ___(I)
l 5 239 1
Sea 0 = arctan - => tan0 = 4 A - - < 0 < —
5 5 2 2
puesto que tan 0< tan
8
O < 0 < -
8
26
Cálculo del valor de tan 20
tan20 = - ^ JÍI2
1 - tan20 j p f 12
557

Cálculo del valor de tan 40
tan 40 =
2tan 20 2[ 12 I 120
l-ta n ¿20 J 5
12
119
Como el arco 40e (0; 40 = are tan
120
119
Luego en la expresión de la ecuación ( I )
1
W = 4 ardan! ~ l+arctan, ___
'1 1 9 ) l 239
W = 4
r 120 1 )
arctan 119 239 + kn
j 120 -1
k 119*239)
pero k = 0, puesto que a Í~ — |< 1
Efectuando obtenemos
W = 4(are tan 1)=4
W = 7t
tsenmaon• r
Si j o O a y>0
=> arctarur - arctany =arctan
x - y
1+xy
Problema 27
Calcule el valor de
y=arctan8 + arctan 5 +arctan 2
Resolución
Efectuando los dos primeros términos
8 + 5
y = arctan
1-8x5
+kn+arctan 2
El valor de k es 1; puesto que 8x5 > 1
1
y = arctan| ¡+rt+arctan 2
y = tt +arctan 2 + arctan Í - -
1 3
y = ji +arctan ú '
-i
+ rm
El valor de n es 0; puesto que 2x ^ j < 1
Luego, y = jt + (arctan 1)
5rt
•y=T
IC
4
Problema 28
Encuentre un equivalente de
(La expresión contiene n radicales)
Resolución
Haciendo el cambio de variable
—= 2 cos0 ... (I)
2
Reduciendo la expresión M
0 Para un radical
M, = ^2 + ^ = V2 + 2cos0 = >/2(l + cose)
20 ) _ „ 0
M, = ,(2| 2cos‘!- j = 2cos—
ir) Parados radicales
M2 = V2 + V2+ñ = V 2+2cos0/2
M2 = V 2(l+cos0/2) = V2(2 eos20/4)
M2 = 2cos- 2
0_
22

P1TULO Vil Fundones trigonométricas
tlogamente para(n-l) radicales se tiene
M
,(n-l) = 2eos
e
itonces la expresión para n radicales será
M= ,|2 - 2 c o s ^ r = ^l2| 1-cos —
T
2n-i J
M= .|2| 2sen2-4 l =2sen 0
2" 2"
....(II)
>(I) se obtiene
cos9 = — 0 = árceos -
smplazando en (11)
M = 2senf-i-árceos- i
E 12n 4 j
rrablema 29
Grafique la siguiente función
r; fM _ are sen x [ [árceos |x | | |}
|á r c s e n |x || arcco s|x |
Resolución
Cálculo del dominio
«
■ áreseme |x |* 0 a árceos| x | * 0
= > I Xf I 0 A | X | 3^ 1
= > X *0 A x * l
Dom f e (—
1;1)—
{0}
f
eulo del rango
S ea0 < x < l
.areseffx areeüsx
f(x) =
.aresetíx areedíx
+ 1
f(x) = 3
tí) S e a -l< x < 0
are sen x | arccos(-x) |
^ |- a r c s e n x |+ arccos(-x)
„ ^ _ are sen x + arccos(^ff + j
-arese n x ^rcóós(-x)
f(x) = A + / + 1
f(x) = 1
•Luego, redefiniendo la función
3; 0< x< l
1; - l< x < 0
Si graficam os dicha función obtenem os la
f(x) =
Figura 7.122
Problema 30
Halle el dominio, rango y gráfica de la siguiente
función
h(x) = aresenx4+ arccosx4+ arctanx4+ arccotx4
+ areseex4+arcesex4
Indique, si la función es par o impar.
Resolución
0 Cálculo del dominio
De la función arcoseno y arco coseno
0 5 x2^ 1 => - l á x S l
De la función arcotangente y arco cotangente
x e R
De la función arco secante y arco cosecante
x4>i =» x s - i v x > r
lntersectando los dominios
.-. Dom h ={-!;!}
559

Lumbreras Editores Trigonometría:
i¡) Cálculo del rango de f
h(x) =(arcsenx4+arccosx‘
')+(arctanx4+arccoU‘)
' it/2 7" ' í/2 ’
+(áreseor4+arccscx4)
ü/2
h(x) = y R anh=j~J
iií) Gráfica de h(x)
Figura 7.123
Se observa que la función es par
Problema 31
Halle el dominio y el rango de la siguiente función
f(x) = (/logíarccosx)
Resolución
Cálculo del dominio de f
• De la función arco coseno
- l < x £ l - ........0 )
• De la función logarítmica
0 < árceos* <rt
=» - l á x c l ..........(2)
• De láTaíz cuarta
0<log(arccosx) => arccosx > 1
=> 1< arccosx < ji
-1 < * < cosí ..........(3)
Intersecando (1), (2) jr (3)
Domf = [—
1; cosí]
Cálculo del Rango de f
Si el dominio es -1 < x < eos 1 (véase figura 7.124)
=» 1< arccosx < rc
Tomando logaritmos .<
log1< log(arccos x) <log n
0 i
Tomando raíz cuarta i
]
0 < ^/log(arccosx) < (/logre
fU ) ]
Ranf = [0;Vlogrc]
Q ueda, para usted verificar que la funcióin
f(x)=log(arcsenx) tiene como ;
dominio Dom f = (0; 1] . '
-í
/ n i "Ü
rango- Ranf = ( - ~ ;l o g -
Para esto siga un procedim iento idéntico al
problema resuelto.
560

P
~
v. -
TkPÍTULO Vll _____________________ Funciones trigonométricas
foblema 32
Calcule el área de la región definida por el
íbminio de la siguiente función
[ g(x; y) = ijaic sen | x - 1are sen(l-1 y | ) |
j¡
L• ‘
Resolución
pallando el dom inio de la función de dos
lariables g(x;y)
Como |jc| y (1—
| y |) están afectados del operador
jngonométrico inverso podemos plantear
0 < |x |< l a —
1< 1
—
|y |< 1
- 1 < x < 1 a - 2 s - |y |< 0
-1 < x < l a 0 < | y | < 2x
-l< x < l a -2Sy<2
(1)
|fero como hay un radical de índice par se tiene
(ijue verificar la condición.
!k
.:
arc sen |x |-j arc sen (l-|y |) |> 0
| arcsen(l-1 y |) j< aresen | x |
-aresen | x | ¿ aresen (1-1y |) < aresen | x |
- |x |< l - |y |0 a y > 0, y luego lo reflejamos a los
ejes
-x < 1- y< x
- x - l < - y < x ~ l
l - x < y < l + x
00
Fiara obtener el dominio de la función g se tendrá
que interceptar las condiciones ! y II.
Gráfico de (I)
Y
*
2
-1 0
-_
"
.5
1 X
-2
(a)
Gráfico de (II)
Intersectando ambas regiones se tiene
Figura 7.125
Las cuatro regiones representan el dominio de
g(x*y)j nos piden
4S = 4
4S = 4 0) = 4 u2
El área de la región sombreada es 4 u2.
561

Problema 33
I. f(jc) = are sen (sen x)
II. g(x) = are eos (eos x)
III. h(x) = are tan (tanx)
Resolución
I. f(x) = arcsen(senx), según la regla de la correspondencia, V xeR , -l< se m r< l entonces
n rt'
establecemos Dom f=R, Ran f =
2 2
Además f es periódica, pues satisface la definición: arcsen[sen(x+T)] = aresenx, para T= 2?t. Es
n 3rt"
decir, analizamos sólo en un intervalo tal como x e
2 ’ 2
para luego extender su gráfico.
7t TZ
Sea - - < * < - =» arcsen(senx) = x e [-jt/2 ; 7t/2]
Sea ~ <x <— ■=> arcsen(senx) = arcsen(sen(7i- x)) = (n - x )e [-rt/2;n/2]
Ordenando f(x) =
, ; S ¡ - S S , S ¡
« - « S i f í x s f
II. g(x) = are eos (eos x), análogo deí ejercicio anterior
Dom g = R, Ran g= [0; ti ]
Periodo de g = 2rc
Analizando en ei intervalo que x e [0;2rtj
Sea 0 < x S tt=» arccos(cosx) = x e [0;n]
7t<x<2jt=>arccos(cosx) = arccos(cos(27i-x)) = (2rt-x)e [0 ;ji]
x ; 0 < x < rt
27t-x; ji < x < 2n
Ordenando g(x) =

fe
:
E■
¡CAPÍTULO Vil _____________________Funciones trigonométricas
Figura 7.127
DI. h(x) = are tan(tanx), es evidente que Vxe R -(2 n + 1)^, tanx es el conjunto de los números reales.
D om h= R -(2 n + l)^ , Ran
Además es periódica, puesto que satisface la ecuación
are tan[tan(x+T)j =arc tan (tanx), para T = rt
Entonces para encontrar la gráfica de h, bastará con graficar la función en
Como h(x) = arctan(tanx)
Para se cumple h(x)=x
Graficando h se obtiene
563

Problema 34
Calcule la suma de los n primeros términos de la siguiente suma
M= arctan|------- ?
------- 1+ arctaní------------------|+ arctanf-------------------1 + ...
scote + 2tan0 J 'vcot 0 +'6tan 0 J ^ cote +12tan0 J
Resolución
Para la simplificación de la expresión M, escribimos sólo en tangentes y buscam os la forma del 1
enésimo término:
M= are tañí : tan ^ ■
_)+ are tanf -
t j + 2tan 0
tan0 1+a r c t a n í - |+... + arctan!
^l + 6tan 0 l + 12tan2 0
tan0
{ l + n(n + l)tan20
M=arctan
2tan0-tan0
1+2tan0,tan0
-l+arctan-
V l1
3tan0-2tan0
!+3tan0«2tan0
+are tan
4tan0-3tan0
l+4tan0*3tan0
+...+arctan
(n+l)tan0-ntan0
l+(n+l)tan0«ntam0
Desarrollando cada uno de los términos como una diferencia de arcos tangentes
2tan0-tan8 'i
arctan ------------------- = arctan(2tan0) - arctan(tan8)
!+ 2tan0xtan8 j
arctaní .^tan9 ) = arctanfStang) - arctan(2tan0)
(J+3tan8x2taneJ
( 4tan0-3tan8 'l
arctan
[ l + 4tan8x3tan8 J
= arctan(4tari0} - arctan(3tan6)
arctan í. (n + ') (ar|8 -‘- ^ - - 1 =arctan[(n + l)tan0] - arctanf«tao8)
^ 1+(n + l)tan0 x ntan0 J
Sumando miembro a miembro, obtenemos
M= are tan[(n+l)tan0] - arctan(tane)
(n + l)tan6 - tan0
M= arctan
.-i M= arctan
l + (n + l)tan0tan8
ntan0
l+ (n + l)tan 20

PÍTULO Vil Funciones trigonométricas
Mema 35
cule la suma de los n primeros términos en la serie
S = arctan — —t + arctan — } — + arelan -—_■—7 +...
l + l+ l2 1+ 2 + 22 1+ 3 + 3
solución
evidente la forma del enésimo término arctan----------w
t 1+n+n
S=arctan - +arctan - + arctan 4 r + —+ arctan ——-?------
3 7 13 l+ n (n + l)
Pero debe saber que no hay una fórmula para sum ar n arcos tangentes por lo que buscaremos
descomponer cada uno de los sumandos como una diferencia de términos.
luego, a cada arctan lo expresamos como diferencia, así'
1
arctan- =
3
2-1
arctein--------
1+ 2x1
= arCtan2. - arctan 1
arctan - =
3 -2
arctan-------- = arCtanJJ. - arCtaní.
7 1+ 3x2
arctan — =
4 -3
arctan-------- = arCtan4. arCtanJJ.
13 1+ 4x3
arctan — =
20
. 5 -4
arctan--------
1+ 5x4
= afttaaS. - a?ctan4.
arctan------ ?
------ = arctan —-——= arctan(n +1) - arCtann
1 + n (n + 1) l + (n + l)n
Sumando miembro a miembro
S = arctan(n+l) - arctan 1
*
(n + 0 —
1
S = arctan
l +(n + l)xl
= arctan —
l n +2
S = arctan—1
n + 2 )
565

problemas propuestos,
En los problemas del 1ai 6 determine el dominio
de tas funciones dadas.
* 1. " y a c b s jrc o u ; k e Z . .
-I
A) R
C) R
- D )!E
B) R-{kn}
E) r _ t
2. y = Vsenx + •J-cosx ; keZ
A) |(4k +l)=;(2k+l)7tJ
B) (k^(2k+l)it)
O R - ?
4. y = Vcscx-cotx ; k s Z
A) (kn;(k+l)ir)
B) ((4k +l)|;(2 k + l)^
C) ^ ; ( 4 k + l) |)
D) (2kji;(2k+ l)n)
5. y=4csc|^x-2>
J+V5 ¡ k e Z
A) R -(2k+l)5
<
5
B) R-(4k + l)
8
3
/ tr —
1
C) R -íkn +j l
D) ^2kjc+|;(4k +l)|J l 6J
E)|(4k + l)|;2 k n + y ^
■ » H f }
* > * -{ ? }
3. y = — L—+ — L - ; k e Z
sec x esc x
. . 2X jX .
6. y = tan —+sec —,
2 2
k £ Z
B)(4k +l ) í
4 A) R-{kn}
C * - { f }
oM
t)
«Mt! E) R-íkn} D) R-{2kn} E) R-{(2k + l)7t}

VPÍTULO Vil Funciones trigonométricas
pñ los problemas del 7 al 13 determine el rango
jÜe las siguientes funciones cuya regla de
correspondencia se indican a continuación.
12. > =
sen*
Vi+ C O t *
y = senx + 2cosx A) <-i;i> B) [-i;0> C) <0;*1)
A) <-V5;0) B) [-V5;V5] C) (0;VT
D )[-l;l]-{0} E) <-i;0)
D) <0;2> E) <2;VT 13. y =
sen* + eos * - fsen* - eos * |
2
y = cos2* + 2sen*
[ - 4 1
* ( 4 )
A) [—
2;0]
A) C) (0;1)
B) [0;2] C) [-2;2]
D) í —
1¡—
4 0
D)
H ]
E) <-l;0]
„ sen* eos*
9. y =------ + -------
tan* cotx
A) (-V 2 ;l)-{-l}
B) (-1;72)
En los problemas del 14 al 19esboce el gráfico de
las siguientes funciones.
jf 7
1 )i if T
C ^
y = sen* sen
H
sen
H
C) [-V 2;V 2]-{-l;l}
D) (-V2;V2)
E) (-1;V2]-{1}
10.. y = sec4x + tan4x
A) [l;+°°) B) (l;+<*>) C) [0;+~)
D) [l;2) E) (0;1)
11. y =sen6* + eos6*
567

serur + r n s i' 17 v ^ c»nv xlconvl

PITULO Vil
;/ En los problemas del 20 al 22 calcule el periodo y
amplitud de las funciones dadas.
20. y = 2cos(-3x)
A) 2 . B) 2 C) í ; 2
3 3 3
D ) f i 2 E) 2n; 2
21. y = - 5 s e n jj }
A) 37t; 5
° ) f ; 5
B ) y ; $ C)67t;5
E) 6n;-5
22. y = -r ts e n j^ ']
B) 2n;7t C) 2;ji
E) n2;7t
En los problem as del 23 al 27 identifique si la
función es par o im par y si fuera periódica, halle
dicho periodo.
23. y = xsenx
24. y = tan2x + serur
25. y = 3sen4^ 2 x + ^
o e i _ ifcosxj , j tlsenxl
26. y = |sem r|' ,+ |cosx[l 1
27. y = (senx + cosx)2
En los problem as del 28 al 30 identifique si la
función d a d a es crecien te o d ecrecien te (o
am bas) en los intervalos especificados para x
28. y = senxcosx; x e
2 9 . y = sen 2x ; x e 0 ; ^
A) 2jt2;7t
« f ; 2
3 0 . y = c o t i x | ; * e ^ - í ; ^ - { 0 }
569

31. Del gráfico adjunto, calcule el área de la
región sombreada.
D )V E )íu >
32. De la figura mostrada, determine el periodo ,
de la onda coseno.
33. Halle la regla de correspondencia de la
siguiente senoide.
A) y = 5sen| ^ ' Jt j + 3
B) y =5sen| — - j +3
C) y = 5 s e n [ i ^ ] +3
D) y = 5sen|’— j+3
E) y = 5sen [2 1 í± í]+ 3
34. Halle la ecuación de la cosecantoide
1 x „ 1 x
D) ¿ e s c - E) ¡ c s c 4
35. Determine el área de la región sombreada
A) 8rt u2 B) 9t
i u 2 C) 12rtu2
D) 15jiu2 E) 16nu2

1TULO Vil Funciones trigonométricas
. De la fundón
| eos* t seax
fW = lcosx| jsenx|
| determ ine en el siguiente orden: dominio,
rango y periodo de f.
E
." A) R -k|;(keZ ),{-2;0;2},T = rt
B) R-krc;(k€ Z),{-2;0;2},T = 2it
C) R -y ;(k eZ ),{ -2 ;0 ;2 } ,T = 27t
D) R -(2 k + l)|;(keZ ),{-2;0;2},T = y
E) R -2kn;(ke Z),{-2;0;2},T = 2n
17, Calcule los valores de la función h, tal que
esté definida por h(x)= tanx-2csc2x sabiendo
que
3n ji
-----< x < —
4 6
A) [~l;V3)-{0} B) {-l;V3)-{0}
C ) (-1;0)
D) (0-,S) E) (-1;n
/3]-{0}
38. Determine los valores de v para el cual la
siguiente función no está definida, siendo
„ . tan2x sen2x ,
f(x)= ■
; kA ne Z
sec2 x -l
A) (4n + l)—
4
C) |k n u (4 n + l)^
D) |k tiu ( 2 n + l) í
B) (4 n -l)5
4
O ?
39. Determine el campo de variación de
g(x) ----------------- J L .— . ;Vxe / y ;ir
secx esex +vtan x+cot x -2 q /
A) R -(-l;0)
C) <-i;0)
D)
b)
E) {- ~ ;-i)
40. Acerca de la función f
f(x) = >/2+V5cos2x + >/2-V3sen2x
analice la verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones
i) si x e fes creciente .
ii) si x e f es decreciente
iii) rango de fes ^ 2 -s /3 ;2 j
A) W F
D) FFF
B) FVF C)V W
E) FFV
41. Sea la función fdefinida por la siguiente regla
de correspondencia
. 2sen2x . . ■
f(x)= --------- ,entonces son verdaderas
secx
I) Periodo de fes 2rt
II) No está definida en x= (2n+ 1 ) (n eZ )
III) Es una función impar.
A) solo Iy II
B) solo III
C) solo Iy III
D) solo II y III
E) I; II y III
571

Lumbreras Editores Trigonometrí
42. Calcule la suma de los valores mínimos de
las funciones f y g, si
f(;c)=cos2x+ cos|x| y g(x)=sen2x -sen |x |
A) -1 >
D) - l
B)
1
e) 4
43. Halle el dominio y rango de la función f
sabiendo que
,, , sen(2cosx) _
_
f(*)=-----7 ------7 ; n e Z
senfcosxj
A) D om f=R -(2n + l ) |;
Ranf=[-2;2]
B) D om f=R -(2n + l ) |f
Ranf=[2cosl; 1]
C) Domf= R -(4 n + l)-;
Ran f-[-2 ; 21
D ) D om f=R -(2n + l) í;
Ranf=(2cos(- 1); 2]
E ) D om f= R -(2n+ l)|;
Ranf=[2cosl; 2)
44. Acerca de la función f cuya regla de
correspondencia es f(x)=
versx
|c o v x - l|
Analice la verdad o la falsedad de las
proposiciones:
i) Si x e (n;2rt); f es creciente.
ii) f es una función par.
iii) Periodo de f es 2it.
45. Determine los valores de crecim iento
decrecimiento pertenecientes al intervaii
[0 ;n) de la función
fíx)=sen ( j - j | 2 s e ñ | + l j Co s ^ + ^
A) creciente
{— ;rt:decreciente
3 /
2n
B) (O;— ): decreciente
2n .
— ;n >: creciente
3 /
C) 'O ;^ : decreciente
O1
—
;jt 1: creciente
D) :decreciente
/ 5rt .
;7i): creciente
E) /o-— ;decreciente
3ji
— ;ti): creciente
4 /
46. Sea g(x) = senx - cosx, analice el valor de
verdad de las proposiciones
I. Sixe
3t
i
O
- -L entonces f es creciente.
4 /
I!. Six = - +kji ;(k e Z) entonces fes nula.
4
III. Si x e
-3 t
c
;0 entonces fes decreciente.
A) VW B) FFV C) FW
D) FFF E) FVF
A) VFF
D) VW
B) FVF C) W F
E) FFF
572

r .
í.. , •
CAPÍTULO Vil____________________________________ Funciones trigonométricas
*47. De acuerdo a la función definida por la regla
siguiente
j- f(x) = eos2x - cos2| ^ - xj+sen2
. •
¡ ¿cuáles son verdaderas?
! I. La amplitud de f es 2.
Í£
I II. El periodo de f es n .
| III. S i x e ^ - J ; 0 ) entonces f es creciente.
i A) II y III B) I C) I y II
fF
.:- D) II E) III
í '
!48. Halle el cam po de definición de la siguiente
| función f(x) = ------- !-------
secx + cscx
1
I A) R -
B) R -
C) R -
D) R -
fkn
~2
kn
2
kn
T
; (k eZ )
u kn+— ;
4
i
u k n - - ;
4
u kn±- •;
4
(k eZ )
(k eZ )
(k eZ )
50. Halle el rango de la función h definida por
h(x) = secx + esex, tal que x e
A) -«;-V 2)
B) (-» ; -V 2]
C) - 2V2 ]
D) -V2 - 1]
E) (— ; v/2 + i]
51. Sea la función f definida por
f(0 )= -
2sen0
-+ tan0; V0e
eos 30 + eos 0
Halle el campo de variación.
A ) R -{ -L 1}
B) R -(0 ; s/3>
C) R -Z
D ) R -{-1,0,1}
E) R -[0;V 3]
52. Si f(x) = lsenxl.cscx +Icosxlsecx
Halle él dominio y rango de f.
E ) R - j k j:± ^ J ; (k eZ )
49. Determine el conjunto de todos los valores
de x, tal que f no esté definida.
f(x)=cot( ti serve); (k eZ ).
A) kn B )(2k+1)^
*
C ) ( 4 k + l)í
D) (4k—
1) — E) lE
2 2
A) Dom f = R y Ran f = {-2 ; 0; 2}
B) Domf = R - k 7 t;( k e Z ) y
R an f= {-2 ;-1 ;0 ; 1.;2}
C) Domf = R - ( 2 k + l ) í ; ( k e Z ) y
Ran f = {-2 ; -1 ; 0 ; 1; 2}
D ) D om f= R - ^ 2 ; ( k e Z ) y
Ran f={-2 ; 0; 2}
E) Domf = R - y ; ( k e Z ) y
Ran f = {-1
573

Lumbreras Editores Trigonom etrú
53. Se dan las funciones f y g si f(x)=tanx y
g(x)=cosx, halle la ordenada del punto de
intersección entre las gráficas de am bas
funciones, si - < x <n
2
A )-,
V 5 -l
V 2
B) 2-V5
C - Í - V 5
D)
1+ ^5
V 2
54. De las funciones f,g y h, halle su periodo y
calcule la suma de dichos periodos.
I. f(x) = 40 sen (28x-— )
20
II. g(x)= 2sen2x(sen2x-sen5x)
III. h(x)= sen67x + cos67x
A)
31n 1 5 j i
cy
1671
14 B ) ^ 7
21n
E)
20it
D)
7 - 7
En los problem as del 55 al 60, grafique las
funciones empleando adición o multiplicación de
funciones.
55. y = |sen x | + |co sx |
56. y = x + cosx
57. y=xcosx
58. y=x2cosx
59. y= —senx
x
60. y = |x | +senx
61. Sea la función definida por
f(x) =xcscx-secx
Calcule el rango si
t *
x 6 o ; § / ; kEZ
A) (-~ ;0 ) B) R
D) R-
C) R"
Ej (0;
62. Determine el rango de la función
f(x) =
(tan2x - 3tan6x)tan2x
tan22x + 2sec22 x -l
+ -cot2x
8
A) Ran f =
s
— ;+°s
2
/ R '
B) Ran f = í — ;+oo
C) Ran f =
2
'3
■;+•» 1
r *
D) Ran f = j — •;+«=}
i 2
E) Ran f = •
. - ; +»}
.2 - i
63. Halle el área de la región paralelográmia
formada por la intersección de f y g siendo
cosx 1+senx
f(x) =
g(x) =
1+ se a r cosx
senx 1+ cosx
1+ cosx senx
si x e (0 ;2 ji)
A) 2nu2 B) 3ttu2
D) 5nu2
D) 4 nu2
E) 6 nu2

ru LO vil Funciones trigonométricas
; Grafique
R = {(jc;y)e^R2/ 1y |<|| senx)+ 1cosjc|J a
y 2 (x -1) /(x +3) a y < log, ,+ .(| x+ sgnx Q
t i Y
-i: J *-------- -
Y
i
-i
i
-, ;
-i
B) Y
"St
-i:
65. Sea la función definida por
f(x) = sen^7tfxl + -j^j+ cos^níxl+ y^
Halle frnin
A) 76
D) 272
B) 276 C) 72
E) 1
66. Si el valor medio del máximo y mínimo valor
de la función f(x) = seníxj tiene la forma pq,
siendo p y q números-irracionales, determine
el m enor de ellos cuando x e (0; 2n).
67. A partir del circuito mostrado, halle el gráfico
e indique los valores extremos de la potencia
desarrollada por este sistem a
4sen(2t+ n ) ©
4
A)
■V V i
Pmax~4 P
C)
rmax"~^ j *min
P
E x
Pmax=4 i Pm¡n=0
Pmax~ ^ »^min
D)
- W V ;
Pmdx= 2 ; Pm|n==“ 2 Pmax” 4 >Pmin=0
68. Determine la extensión de 0 tal que
^tanJ0 + |tan0| >72tan0 ; SelCoIVC ; k eZ
A) 8 e { - 5 + 2k7i;5 + 2k7t) ; 0*2kir
B) 0e (-— + k7t;^ + kn
C) 0 e ( - | + k n ; | + kjt
D) 0 e {—
~ + k n ;~ +2k7i
A) sen2,5 B) sen3,5 C) sen4,5
D) cos2,5 E) cos3,5
E) 0 e ( - | + 2 te ;í+ 2 k n ) ; 0*2k7t
575

Lumbreras Editores frigonometrí,
69. Determine el rango de f definido por
f(x) = tanÍ x + j íj
si 0 < x < -
A )[tan l;+ ~ ) B) [-2 ; +=»} C) [-1 ; 1]
D) (-oo;+oo E) (-1;+°°)
70. Sea f(sena) = co s2 a-6 sen a + 10,entonces
el rango de f es
A) [7; 13]
D) [5; 10]
B) (11 ; 13] C) [6 ; 10]
E) [13; 17]
71. Determine el valor numérico de
N =sen(arctan(- V3) +arcsen l)
1
A>4 B )- 4
1
O 2
D) E) 0
72. Calcule
M= tan
7t { lY]
— árceos
"3
_2 V ó JJ
A)
V3
B) -
S
« T
73. Calcule M= sen(rc + 2arctan 3)
74. Determine el valor de
p= sen
% L
, 3 í 1
arctan- + árceos - -
4 { 8
A)
12v/7-3
40
B)
12v7
39
D)
V7
10
C) -
E)
3v7
40
l2¡7+3
40
75. ¿ Cuál es el valor de árceos sen
Un
" 3
A) 3
rt
O " !
D)
7
1.
E ) - :
76. Halle el dominio y rango de la función f, si ;
f(x) = 4árceos^ 7 + 1
A) Domf = [-4; 0]
Ranf = [0; 4n]
B) Domf = [-2; 0]
Ranf = [0; n]
C) Domf = [-2; 1]
Ranf = [2n; 4rt]
|
D) Domf = [-4; 0]
Ranf = [0; 4]
« Í 5 B) - f
c > f E) Domf = [-1; 1]
D ) - f
E> Í3
Ranf = [0; 4]

PÍTULO Vil Funciones trigonométricas
Nrr. El campo dé existencia y campo de variación
de
*'
h(x) = |a rc c sc (x 2-2 x )
R
a
n
h
-;°:fH-f}
B) Domh = ( - 00; -v /2 + l] u [ 2 ^ 2 + l;oo)
R
a
n
h
*
(ftl]u
{i}
C) Domh = (-00; -,/2 + l]u [/2 + l; o»)
R
a
n
h
-(°;iM
-fl
79. Indique el gráfico correspondiente a la
• función g si g(x) = a rc s e r^ í j
4
es A) ;......
0 7 ,
4
B)
: 0 7 .
A) Domh = (_oo; -V 2+1] u [>/2+1; <
*
>
) r
1; X
Y .
4;
-*/2
E)
Í7
D) Domh = ;'_oo¡ - ^ 2 + l ] u [ ^ + l; o.)
R
"h
'(0
;fRi]
E) Domh = (-«>; -l]u [l;~ )
D u / n n
Ranh = 1— -
2 4 J
78. Calcule el rango de la función g, si
gU ) =
2
-arcsen
3
2 x -3 'j rt
Á)
N) B)
» H)
C) (0; n)
# .
n t. n *
D)
L
0
:2
J E)
.4’ 2.
80. Construya el gráfico de
f(x)=arccos(6x - 5)+ n

Lumbreras Editores Trigonom etrí
81. Realice el bosquejo de la función h, si
h(x) = árese n3x - -I
3l
82. Realice la gráfica de la función g, si
g(x) = aresen x - árceos x
83. Halle la regla de correspondencia de la curv
B) f(x) = 2arcsen^^~pj+2rc
C) f(x) = 4 a rc s e n ^ ^ j+ ^
D) f(x) = 4 arc se n ^ ~ ^ j+ n
E) f(x) = 4arcsení;~ ^ j + n
84. Determine la ecuación de la gráfica
r f
C) f(x)= arccot(2>/2x + l) +^
D) f(x) = are cot (2V2x - 1)+^
E) f(x) = are cot (2V2x - 1)- ^

B5. ¿Cuál es la regla de correspondencia de la
gráfica ?
B) h(x) = 2arcsec —
C) h(x) = 3 a r c s e c ^ j
D) h(x) = 3arcsec x
E) h(x) = 3arcsec 2x
86. ¿Qué dominio y rango tiene la función h si
h(x) = sen(arcsen x - árceos x) ?
A) Domf = [ - l ; l ]
Ranf = [-1; 1]
B) Domf = R
Ranf = [-l; 1)
C) Domf = (-1; 1)
Ranf = (-1; 1>
D) Domf = [0; 1]
Ranf =
*f
87.. ¿Cuáles son los valores de la siguiente función
g(x) = xsen(arcsenx)-2cos(arccosx)+l?
A) [0; 2] B) [0; 3) C) <0; 4)
D) (0; 4] E) [0; 4]
88. Halle la regla de correspondencia de la región
sombreada.
A) - lá y á a r c s e n ^ - j
B) -l£y£2arcsen(rcx)
C) -1 < y ¿ 2n arcsen|^ - j
D) - l á y á - arcsen(nx)
n
E) - l s y á - aresení—
n V'tt
89. Determine el cam po de definición de la
función g, si g(x) = Varcsenlxl-arccoslxl
A) -1-
' 2 J
■
»
M M f-}
r , >/2i
E) Domf =
1 ,1 '
2¿ 2.
C)
b “ t J
u _—• 1
l 2 .
Ranf = 1
D) [--l; 1]
E) <-i; O .
579

90. En la figura, halle la ecuación de la función h,
sabiendo que h es un arco seno
A) arcsen! | + l j + |
B) arcsen] —-1 |+7r
C) a rc s e n í|-l)+ 1
D) arcsen (2x +1) +
7
1 '
2
14 7
1
E) arcsenf 2x + - j - ^
91. Calcule el valor de
P = cosí 2arc tan -U ]+ senf 2arc tan -
l V5 j l 3
15
A) L7
N 17
D 15
17
B ) Í2
C)
E)
I I
13
19
15
92. Si 0 < x <—, además
4
A = arccot
B = are tan
cosx + senx4
eos x -se n * J
l-sen 2 x -co s2 x
l-sen 2 x + cos2x
Halle A-B
93. Determine el valor de
arcsen(sen5) + arecos(cos6)
arccot(cot3)-arc tan(lan4) + 1
A) -71
D) -7t2
B) k"1 C) - t
T1
A
94. Indique cuál es el campo de variación de la
función f, si
f(x)=2cos2
x+4senx:
sabiendo que
are tan < x < 7 t-arctan
V2
4
4
C) <2; 4]
E) <2; 4)
95. Indique para qué valores de x esta definida
la función f, si
f(x) = >/arccot2x - 5arc cotx + 4
A) ^-oo;l]u[4;+«>)
B) (cot 1; +<»)
C) ( - o o ; - i ) u [ 4 ; + ~ )
E) [co tí;+°»)
580

96. Construya el gráfico de la función
h(„v)=arccos(cosx) - arcsen(senx) C)
D)
E)
n(2-¡2)
8 U
ti(2 + 3n
/2) 2
8 U
Jt(2 + 3V2) 2
------ -------
98. Calcule el valor de
M= sen 3arctan
, á i )
A ) | B) 0
- D ) - |
f
- 2arctan
v
V 27-V T T
4 J
C) 1
E ) - l
99. De la igualdad cos'1
x + cos'1
y+ cos'1
z= 2 n
Calcule el valor de í - +y + z — 1
xyz
A) 2 B) -2 C) 3
C) 4 E) -4
lOO.Indique cuál es el valor de
2 1
cot are tan —+ 2arc tan -
11 7
A )| B) 2 C) -2
D ) - i
«1
97. Calcule el área de la región triangular
detérminada por la intersección de las gráficas
de fCc)=arcsenx, g(x)= árceosx, x= l
M= 27cos¡ aresenf-2arcsen-[-
3 3
n { 2 + 2 s Í 2 . ) 2
A) -------------u
B)
Jt(2 + V2)
A) 7V5-8>/2
C) 7V5+4V2
D) 7V5+8V2
B) 7V5-4V2
E) 7V5-2V2
581

Lumbreras Editores
102.Halle el valor de
1
3
Y = árceos-¡=
■M
+arcsen
n 7
1 . 7
1
A )g
B ) 4 C ) 3
5n
D )T2 E 2
103.Calcule
1 9
M = are tan 4+are tan - + are tan -
2 2
3 jt 7
1
a) T ' B 2
C ) 71
D) 2 arctan4 E) n-arctan4
104.¿A qué es igual la siguiente expresión?
sen ~'(sen4)+cos _1(cos5)+tan ~’(tan9)
iA) 0 B) n C)'2
D )-l E) -jr
105-Acerca de la función
f(x)=árceos x - jaresen x|
¿cuáles de las proposiciones siguientes son
correctas?
I) Ranf =
71 71
• 2 ’ 2.
II) f no es creciente
III) f intersecta al eje X en - j-
A) Solo 1 B) Iy II C) I y III
D) Solo III E) 1,1
1y III
106.De las siguientes gráficas, ¿cuál corresponde
a la función f?
108.Sea la función
g(x)=arcsen(sen |x )+ eos x, halle él núm a
de puntos de intersección de la gráfica de:
con el eje de abscisas en el intervalo (—
2t
c;2*
f(x) =
f ex +'e“x "l
tan are tan ----------
l 2 l
-2 A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
582

109.SÍ arctan(x-l)+arcsec(x+l)=n7i; n e Z
calcule
N = arctan( cotx) +are cotí tan 1
n 17
2 4
ü) n - I
v 71 1
« T i
C ) f - 4
E )2tt-
17
Resuelva las siguientes ecuaciones (del problema
110 al 113)
114.Halle el área de la región limitada por el eje X
y la función f definida por
f(x)=arcsen (yfx)+ árceos (V l-x )
Dato: ;t = 3,1416
A) 1,5700 u2 B) 1,5708 u2
' C) 1,780 u2
D) 3,1416 u2 ' E) 6,2832 u2
115. aresenf -4= |- arcsenV l-x = -
W 2
3K
llO .arccotx+arc cot2x= - r
4
A) 1 B) 1/2 C) 1/4
D) 1/3 E) 1/16
A)
D)
V Í7-3
4
VT7-3
8
B)
VÍ7+3 ^ VÍ7+3
8
717+9
lll-a rc la n ^ - — 1+arctanf = 5
. x - 2 ¡ i, x+2 I 4
A) 1 V2
d i 4
B) C) -V2
E) ±1
116. aresenf jt—
—)= —+árceos—
1, 2 J 6 2
A)
D)
V33+3
6
2>/33+3
V 33-3 3 - M
B ) _ 6“ C ) _ 6 ~
6 + >/33
E) — T—
R esuelva las siguientes inecuaciones (del
problema 117 al 119)
112.arcsen x - árceos x=arcsen (3x-2) 117. areserur < árceos* < arcctanx
A )l; 2 B) —
1; |
° ) - i : "2
113. árceosí 1_a2l
----- 5- +
A)
D)
l l + a 2
a + b
1-ab
a - b
a+b
-árceos
1-b
1+ b2
C) 1; g
E) ±1
= 2arctanx
B)
a - b
1-ab
C)
E)
a - b
1+ab
a+b
a - b
A) [0; 1] B)
1
1
O
I
____
1
C)
1
--
----
1
O
D) [0;1) E)
"0: í
118. árceos (eos*) > arcsen(semr); x e (0; 2n)
A) (o; §
D) ( y ! 2rr E) (k, 2n)
583

Lumbreras Editores TrigonometrS
119. c o s a ' < -— arcsec(secx) ; n e Z
27
1
A) / (4n —
1)—
; (4 n + l)-
2 21,
B) ((2 n -l)-; (2 n + l)í
' ,2 2
C) (2rm; (4 n + l)^
D) ((4n + l)5; (2n+l)jij
E
)(f+
2
r
m
;
y+
2
n
7
t
)
~
{
(
2
n
+
1
5
2n
120-Si árceos a+arccos b+arccos c= — ,calcule
los valores de x en la desigualdad
■aresen a+arcsenb+ aresen c < 5 aresen x
A) 1
D)
B)
i
i
i
_____
i
C)
’ 1. >/3"
2’ 2
H
f
e
i
E)
I
--------
i
__
i—
121.Sea la función h cuya regla de
correspondencia es
árceos.
h(x)=sen
Calcule el dominio y rango
A) D om f=[0;ll ; Ranf=[0;ll
B) Dom f=[l;2] ; Ranf=[0;l/2]
C) Dom f=(0;3] ; Ranf=[0;ll
D) Dom f=[-l;3] ; Ranf=[0; 1/21
E) Domf=[l;3] ; Ranf=lO;l)
122.SÍ sen 'x + scn~'2x+sen,‘3x= -
1 •
>
X X“
calcule «— +
A)
84
B)
11
D )84
C)
E)
14
11
84
123.Simplifique Z+W si
Z=arccot
2 -sen
n
c o s -
7
W=arccot
l-2 sen
eos
7 / n 2n 3n
—3eos - eos— eos —
A)
7
1 Jt 5k
Ti b ) 7
C)
T í
9k - 3Jt
T i
E)
7
124.1ndique verdadero (V) o falso (F).
i. tan"11+ tan-12 + tan '1
3= n
ii. arcsecx=árcese
íi. si tan (a) = n -> a=^gptan(n)
B) FFF
A) VW
D) VFF
C) VFV
F )W F
584

125.De las siguientes proposiciones, indique
verdadero o falso:
i. Si arccscX|>arccsar2 —
►
x, >x2
ii. Si árceos*, >arccosx2—
>JC
|
iii. Si y = a r c ta n ( ta n 2 x ) T = í
iv. Si y = 7t+|arcserw| entonces es una
función univalente.
A) VWF B) FWF C) FVW
D) FFVF E) FVFF
128.¿Cuál de las siguientes fu n d o n es
trigonométricas son inyectivas?
i. f(x) = 2sen4x; x g ( ^ ’y )
ii. g W = ^(cos4* - s e n 4* ) ; * e ^ ; y ^
m. h(*) = c s c y + c o t y ; x 6 f — )
A) Sólo i B) Sólo ii C) i y ii
D) i y iii E) Sólo iii
126.Reduzca
,tn,=,an''( T T í) +,“ " ( í^ ) t l m ''( ¡ ? )
A) f(n) =
B) f(n) =
ÍO;Vne R —
I—
1;1]
{jr,V ne(-l;l)
ín;Vne R —
[—
1
;1
]
j-7r;Vne
129.Siendo x e reduzca la expresión
M=cos
1
-árcese
2
2e'VT
(l-2 e2
*)’
7
2e‘V l-e 2
jI
Siendo e base de los logaritmos neperianos
A) e*
D) -1
B )-e ‘ C) e-
E)1
C) f(n) = 0; Vne R —
{—
1; 0,1}
D) f(n) = ít; Vne R -[-!;!]
E) f(n) =
0; Vn e R -[-l;!]
-jr;V ne(-l;l)
127. Resuelva — = are sen
Vers2*
A)
%
/9+ lln - 3
¿ ±^ Z 3 , 0
C ) ± V 9 ^ 3 ;]
D) ±1
E) 0; ±
V9 + 12n-3
130.Halle x en la siguiente igualdad
.,i . i J - M ]
tan - + tan — + sen -----
7 18 65
co t'1x = 0
A ) | B ) | C)2
D) 3 E) 4
131.En un triángulo ABC cuyos lados son
2larcsen0lu y 4 u , el ángulo formado por
dichos lados es 0, calcule la variación del
área de dicha región triangular.
A) [1; 2senl]
B) [sen(senl); 4senl)
C) (0 ;3 sen l]
D) (sen(senl); 4senl]
E) (4sen(senl); 4 senl]
2
585

Lumbreras Editores Trigonometrí
132.Definimos
f(>; y)=arccosx - arccosy
Para los valores dé x e y en el recinto [-1; 1]
m, representa el valor de f(a;b) cuando a > b
m2 representa el valor de f(a;b) cuando a<b
. calcule m !-2m2 en términos de a y b.
A) 3árceos(ab + Vi - a2vi - b2)
B) -3arccos(ab - Ví+ a2Vi + b 2)
C) 3arccos(ab W l + a 2V l-b 2)
D) 6 aíccos(ab + V l-a 2V l-b 2)
135.Se define
fú )= cos(arctan(sen(arccotx)J
Determine el rango de f
A) Ranf= (0;1)
B) Ranf=[0;l 1
C) Ranf=
D) Ranf=
3 ’ J
E) Ranf=
v/2 .1
4 ’2/
E) 6 arcco s(ab -V l-a2Vl + a2)
133.Definimos el polinomio en x (polinomio de
Chébichev).
T t _ U + '!x2- i ) n+(x - Vx2- i ) n
, W “ • 2n .
V neZ;
Halle el equivalente
cos(2 arccosx)
TÍOO
A) 8 B) 2 C) 16
D) 32 E) 1/2
134.Determine el valor de la expresión
F= arctan
V
a(a+b+ c) . |b(a+ b+ c)
+arctan '
be ca
lc(a+b+c)
. + arctan,/—-------------------
V ab
, n 7T T
C
A^ 3 , B ) 6 C ) 4
71
D 2
E) n
136.Calcule el valor de la expresión
arctaní ^ (eos 2a sen 20 + eos 2¡3sec2a)
A) f
D)
- arctan(tan2(a + 0 ) tan2(a - 0)
B) C)
E)
ji
2
3ji
4
137.Enun triángulo ABC (recto en A), lahipotenus
tiene p>or longitud a, es dividida en n partí
igueiles con n entero impar. La parte centfi
subtiende un ángulo a en el vértice A, h es 1
perpendicular de A hacia el segmento B(
Determine a en términos de n, a y h.
s . ( 4nh ^
A) arctan — —
(a n + a J
, Y 2nh 'l
B) arctan — 5——
an + 2a I
C) arctan
D) arctan
_2nh_N
j
an2 - 1 J
E) arctan - T - )
an + a )
586

138.Sea la función cuya regla de correspondencia 141.Determine el rango de f definido por
. f 1 -x 1
2) ( 2 ^
es f(x)-árceos 1 f(x) = arcsen
X
1+ x 2
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
correctas?
A) [-1; 11 B )R
v 7
I. Es función creciente en (0;+°°)
11. Es función decreciente en (-~;0)
D) [0;1)
III. Es función constante
IV. R anf= [0;n]
A) Solo I
B) Iy III
C) Iy II
D) 1y IV
E) Todas son correctas
139Al resolver la ecuación
arcsen — j+ arcsenl — j = arcsenx
indique el número de soluciones
B) 2
A) 1
D) 4
C) 3
E) 5
140.Simplifique la expresión que contiene n
términos.
1 3 , 6 10
arctan - + arctan - +arctan - +arrtan— ...
2 4 7 11
A) arctan)
B) arctanj
1
n + 1
n
n + 1
C) nn-arctan ---- -
l n + 1
nit . f n
n i — + arctan -----
4 l n + 1
nn , f n
E ) ----- arctan -r—
4 U + 2
C) 10; 11
E) [-1; 1)
142.Halle el área de la región sombreada.
A) 4it B) 4-67t C) 8-271
D) 6rt-4 E) 8 n -2
143.En cuántos puntos se cortan las gráficas de
las funciones f y g siendo
f(x) = árceos x +árceos x 3+ árceos x 5
g(x) = arccos(-l) + arcsen(l) + —■
A) 4
D)1
B) 3 C) 2
E) 0.
144.Dadas la funciones f y g definidas por
f(x) = sen(arcsenx) a g(x) = cos(arccosx)
halle los valores de x tal que los valores de f
no sean menores a los valores de g.
A) R
D) 0
B) [-1 ; 1] C)1
E) -1
587

*
l
¿Jíiin,
ir
«
S
V
'i
'
-
■
«
'
X
*
«
¿
V
fí*
&
*
»
A
i
■
*
1
cM S M
91
92
93
94 1 B
95 r r
96 1 o
97 Í~C~
98 I B
99 1 4
100 I B
,101 l O
102 [ b
103 1 C
1
—
h
*■
104 1 4
105 | E
io 6 n r
107 n r
io s r ~5 ~
109 r r
n o n ~
ni nr
n 2 r~c~
n 3 r r
n 4 r r
n s m
n 6 r r
n 7 H s~
118 [ C
119 i £
i 2o n r
121 f F
122 F P
123 F cT
124 |~5~
12
5nr
126 HÁ~
127 r r
1 2 8 J T
129 m
130 n r
13
1rr
132 n r
133 f B
J ü J ~ E
135 n r
136 | b
1 3 7 n r
138 n r
139 V e
140 rr
141 f p -
142 H e"
14 3 - f F
144 r r

T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
Aprovechamiento hidráulico
Aquí tenemos una presa hidráulica en forma trapezoidal, que sirve para
transformar energía hidráulica en eléctrica. Si la parte inferior y los lados del
canal mide 8m, siendo 9 el ángulo formado entre ellado del canaly el nivel del
piso. Y el área de la región transversal del canal es 48'¡3m¡; se debe resolver
4senQ(1+cos8)=3'}3paré determinar 9.
CAP TULO
VIII
Ecuaciones
trigonométricas

L j
E
' t i
T s
U
R
LAS ECUACIONES Y LA EVOLUCIÓN DE UN CAPITAL
%
En matemática, al igual que en la vida cotidiana, el primer grado evoca lo que es
simple e inmediato. El segundo grado, en cambio, indica que existe en sentido oculto,
una solución no evidente que hay que buscar.
¿Es posible clasificar todos los problemas?
Es lo que esperaban los matemáticos cuando lograron asociar claramente curvas y
ecuaciones de grado preciso. Sin embargo, cuando examinaban ciertas curvas o ciertos •
problemas, debieron convenir que no eran ni de primero, ni de segundo ni de ningún
grado. Los problemas donde porticipan los senos y los cosenos son de este tipo, como los
problemas de intereses.
Ejemplo:
Lo cantidad de 10 000 nuevos soles se coloca al 10% anual.
¿Podríamos saber en todo momento cómo evoluciona el capital?
La solución exacta depende de una curva (de una función) que no tiene grado. Es una
función cuyo nombre es exponencial.
En la figura, C es el capital obtenido a un tiempo t (en años). Por ejemplo, al cabo de
3 años (f= 3) se obtiene un capital de C =14641 nuevos soles (ver figura). Para que el ¡
capital se duplique, se tendría que resolver la ecuación 20 000 = 10 000 (1 + 0 , l)x. Con
el uso de una calculadora se puede determinar que dentro de 7 años con 3 m eses se logra ,
que el capital se duplique a 20 000.

E c u a c i o n e s
•/ t r i g o n o m é t r i c a s
OBJETIVOS
• Diferenciar las definiciones de una identidad y una ecuación.
• Conocer las diversas formas de resolver una ecuación trigonométrica elemental o cualquier
ecuación que pueda ser reducida a dicha forma.
• Relacionar la periodicidad de las fundones triogonométricas ylas propiedades de las funciones
trigonométricas inversas pora determinar las soluciones de una ecuación trigonométrica.
• Interpretar geométricamente las soluciones de una ecuadón e inecuación.
INTRODUCCIÓN
La resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones, se da w
B
~--------- — — - -------------s -------- -------------- "
matemática.
Esta atención para las ecuaciones no puede considerarse casual,
—
X
.................
__________]w,
ya que se explica por la importancia que tienen las ecuaciones en las Figura 8.1
aplicaciones prácticas de la matemática, ingeniería y otras disciplinas.
Veamos algunos ejemplos donde se aprecia su gran utilidad:
Determinación del centro de gravedad de un cuerpo
Se coloca un cuerpo sobre apoyos en A y B, siendo W el peso del cuerpo y si se toma un eje de
m omentos del extremo A, generalmente la ecuación
xW - £W, = 0 ; de donde: x =
w
x es la distancia del extremo Aal centro de gravedad del cuerpo, y W, es la reacción en el extremo B.
Determinación de las oscilaciones de una barra de hierro
Para hallar la frecuencia x de las oscilaciones de una barra de hierro con extremos empotrados,
sometidos a un golpe, se debe resolver la ecuación
e* + e'* = —— ; donde e=2,7182...
cosx
593

En matemática existen diversas formas de resolver ecuaciones. Eiiel presente capítulo se desarrolla
en.form a esquemática las ecuaciones trigonométricas, a partir de las identidades fundamentales
podemos reducirá expresiones como una ecuación de'giado uno, y aplicar los conceptos vertidos en
Circunferencia Trigonométrica. .
También es necesario que el lector recuerde el dominio y rango de las funciones tngonométricas
inversas que son válidas para la resolución de ecuaciones.
Eln reiterados problemas será necesario interpretar las soluciones de una ecuación o inecuación,
por ello se sugiere la construcción de gráficos de funciones.
ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
¿Qué es una ecuación con una incógnita? ¿
Sean f y g dos funciones, a la igualdad de dos funciones con una misma cantidad variable, es dedi
fC^r)=g(jc), se denomina ecuación con una incógnita. La variable x que figura en la ecuación sí
denomina incógnita y los valores de x que la satisfacen se llaman soluciones de la ecuación.
*. Á continuación se presentan ejemplos de dos funciones que relacionan a una ecuación:
1. Si f(x)=2x, g(x)=^+l ; luego, la ecuación es 2x=x2+l
2. Si f(.)=x!- 3x, g(x)=2x2-l ; luego, la ecuación es x3-3x=2x2-l .
3. Si f(x)=v5+ >/2x4+ /3x, g(x)=2 ; luego, la ecuación es a5+ x
/2a4+ n/3a = 2 ]
4. Si f(x)= y¡x- 1+ x 2, g(x)=-2x ; luego, la ecuación es VA-•1+x2--2x i
5. Si f(x) = cosa, g(x)=tanx ; luego, la ecuación es cosA=tanA ’
6. Si f(x)= 2'*1, g(x) = 8t_2- 4X
“2 ; luego, la ecuación es 2^-1 _ gx-2 _
_^x-2
7. Si f(x) = acosa, g(x)=senx ; luego, la ecuación es x co sx ~ sen x
8. Si f(x) = log2(5x-l), g(x)=log(12x+l) ; luego, la ecuación es !og2(5A-l) = log(12A+l)
9. Si f(x) = a, g(x)=senx; luego, la ecuación es A=senA
10. Si f(x) = C
SC
X
, g(A)=COtA ; luego, la ecuación es cscx=cotv
Una ecuación se ilama algebraica si cada una de las funciones contenidas en f(x) y g(x) es algébrale
(racional o irracional), donde además una de estas funciones puede ser constante. Los ejemplos del
al 4 son ecuaciones algebraicas.
Una ecuación se llama trascendente si por lo menos una de las funciones contenidas en f o g no *
algebraica. Los ejemplos del 5 al 8 son ecuaciones trascendentes.
J f l N o ta __________
Si una ecuación es válida para cualquier valor admisible de la variable x, entonce» la ecuación serí
una identidad.

CAPÍTULO VIII Ecuaciones trigonométricas
¿Qué es una ecuación trigonométrica?
En primer lugar, una-ecuación trigonométrica es de tipo trascendente cuando cada una de las
funciones contenidas ert f(x.) y-g(x) son funciones constantes o funciones trigonométricas de la forma
FTn(ax+b), donde a ;b e R (a * 0 ) y neZ -ÍO }
Ejemplos
1. s e n Í 2 x - |l = l - c o s Í 4 x - y j =*f(x) = sen2x-~ A g(x) = l-c o s J ^ 4 x -y
2. sen2x -c o s2 x = l => f(x) = sen2x-cos2xA g(x) = l
3. tan3[ | + í j = -2 =*f(x) = tan3|^ | + J j Ag(x) = -2
¿Cómo reconocer una ecuación trigonométrica?
En una ecuación trigonométrica se verifica que los arcos o ángulos de la forma x, ax o (ar+b), se
encuentran afectados siempre de algún operador trigonométrico, com o sen, eos, tan, etc.
Ejemplos
1. serw+cos2v = 1 sí es ecuación trigonométrica.
2. x2+cosx=2 no es ecuación trigonométrica (porque x2no está afectado por ningún
- operador trigonométrico).
3. tan2j^x + ^ j+ l = tanx sí es ecuación trigonorríétrica.
4. sen2r+ co s2
x= 1 es identidad, ya que la igualdad se cumple Vxe R
5. sen(cosx)-x = 0 no es ecuación trigonométrica.
La mayor parte de este capítulo está abocado a resolver ecuaciones trigonométricas. Para esto,
partimos de la ecuación trigonométrica elemental.
EC U A C IÓ N TR IG O N O M ÉTR IC A ELEM ENTAL
Es de la forma FT(ax-+b)=Nj donde a, b y N son constantes reales yx es la variable o incógnita;
adem ás a * 0 y N debe tomar valores correspondientes a la FT (por ejemplo, si FT fuese el operador
seno, entonces Ne [-1; 1]). •
A continuación se presentan ejemplos de ecuaciones trigonométricas elementales
%
sen{ 2x+§]= ' Y : cos3x= 0i tan3* = -V3
cotf 3x + y j = -1; sen | = i fsecj"4x- 1 j = |
595

Antes de plantear reglas generales para resolver una ecuación trigonométrica elem ental,
resolveremos algunas de estas, sin necesidad de ninguna regla (utilizaremos definiciones en
circunferencia trigonométrica).
Ejem plo 1 •
Resuelva la ecuación sen x = -
Resolución
Losvaloresdex que resuelven laecuación están dados por —> ~ ysus respectivos coterminales (véase figura 8.2).
Figura
es decir x = re --; 2 re+ -;3 it-^;4 it +
6 6 6 6 6
En general x = kn+( - l)k^ ; k e Z .
6
+*rr*t*Z’JR*r* -
^ Observación
Las soluciones de la ecuación serur= 1 , son las abscisas de los puntos de intersección entre las gráficas
2
de las funciones f(x)=senx y g(x)= i ; veamos:

Ejemplo 2
Resuelva la ecuación cos2x = -
V2
2
Resolución
V2
Teniendo en cuenta la observación anterior, las soluciones de la ecuación cos2x=- — serán
N y¡2
las abscisas de los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones f(x)=cos2x y g(x) = - — ;
(véase figura 8.4).
c * . 3it 3rc ,3 it , ,3 n , ,3 n
Entonces x = ...-7 t± — ; 0n± — ; 71± — ; 2n±— ; 3ji± —
3 8 8 8 8
En general x = kre±— :k e Z
8
Expresiones generales para todos los casos en una ecuación trigonométrica elemental
I. Si senG = N , entonces un valor de 0 es are sen(N), en general el valor 0 se puede expresar por:
0 = k7t+(-l)karcsen(N); k e Z
II. Si eos 0 =N, entonces un valor de 0 es are eos (N), en general el valor de 0 se puede expresar por:
0 = 2kjt±arccos(N); k e Z
III. Si tan 0 =N, entonces un valor de 0 es are tan (N), en general el valor de 0 se puede expresar por:
0 = krc+ arctan(N); k e Z
597

Lumbreras Editores Trigonometj
Deducción gráfica de la fórmula III, en efecto
graficando las funciones
• y = tan 0 e y=N
De la figura 8.5, si tan0 = N, en tonces las
soluciones de la ecuación dada son las abscisas
de los puntos de intersección entre las gráficas
de y=tan 0 e y=N (considerando a N>0), por lo
tanto
0 = -7t + a; Ort+a; rt +a; 2rc+ a ; . . .
=> 0 = kn+a; ke Z
Resolución
De la observación para la forma general del ai
en seno.
2x = kji + (-l)karcsen;
2J
2x = k>i-t-(-l)k- -I se usó a rc s e n -= -
1 _ Jt
■2~6
Despejando x
.v x = — +(-l)k— ; k e Z
2 12
E
je
m
p
lo4
Resuelva eos 3x — = -
V2
R
e
s
o
lu
c
ió
n
Identificamos la fonna general del arco en cose
3 x - - = 2krc ± árceos]
6
como
0 < a < í a tana—N => a=arctan(N)
0 = kit+arctana
3x - —= 2krc+ n -a rc c o s '
V2
se usó arccos(-N)= it-arccosN
R
e
g
lap
a
rah
a
lla
rlaso
lu
c
ió
ng
e
n
e
ra
ld
eu
n
a
e
c
u
a
c
ió
ntrig
o
n
o
m
é
tric
ae
le
m
e
n
ta
l
Para hallar la_ solución general de una
ecuación trigonom étrica de la form a
FT(ax+b)=N; se realiza lo siguiente: (ax+b), se
iguala a una de las expresiones generales de la
observación anterior, de donde se despejará la
incógnita x, hallando así la.solución general.
Operando
3x - —= 2k7t ± —
6 4
=> 3x = 2kn± — + ^
4 6
E
je
m
p
lo3
1
Resuelva sen2x= ^
Despejando x
2krt ti ti , ^
x = — ± - + — ;k e Z
3 4 18

CAPÍTULO Vil! Ecuaciones trigonométricas
Ejemplo 5
Resuelva tanf —+ —¡= V3
( 3 4 j
Resolución
Identificando la form a general del arco en
tangente.
^ ^ = kn + arctan(V3)
x n , n
—+ —= k:i + -
3 4 3
se usó arctan %
Í3 =—
3
Operando
x . Jt
—= kn + —
3 12
Despejando x obtendremos
x = 3kn + - , k e Z
4
¿Cómo resolver una ecuación trigonométrica
que no es elementad?
Si una ecuación trigonométrica no es de la
forma elemental, aplicaremos las identidades
trigonométricas para obtener un mismo tipo de
arco y operador trigonométrico (en lo posible);
luego se realizan operaciones algebraicas para
reducirla y finalm ente aplicam os los
procedim ientos para resolver una ecuación
trigonométrica elemental.
No existen reglas generales para transformar
una ecuación trigonométrica dada a la forma de
una ecuación trigonométrica elemental.
Cuando se haya logrado una solución por
medio de una elevación a alguna potencia de los
dos. lados de la ecuación o por m edio de
multiplicaciones o divisiones de expresiones que
comprenden a la variable, debemos comprobar
cada solución potencial por m edio de
sustituciones dentro de la ecuación. Las
soluciones potenciales que no satisfagan la
ecuación son rechazadas, estas se denominan
soluciones extrañas.
Los ejercicios que se dan a continuación
m uestran algunas clases de soluciones de
ecuaciones trigonométricas.
Ejemplo 6
Resuelva la ecuación se n x + c ó sx = -l, para
0 < x <2n
Resolución
A partir de la ecuación senv+cosx=-l
(senx+cosx)2 = (-1 ) 2 ...elevando al cuadrado se obtiene
l+sen2x = 1 ... para su mayor comprensión
revise sen2x= 0 identidad de arco doble
2x = krr+( - l)karcsen(O)
2x = kit + ( ~ l)k 0 ... ya que are sen(0)=0
Despejando x se obtiene
krt . ,
•x =— ; k e Z
2
como
. 0 < x s 2 n ,
tenemos
A k 3n n
*= 0; n; 2n .. . posibles soluciones
A continuación, dichas soluciones tendrán que ser
com probadas en la ecuación original
(senjc+cosr=-l)
senO+cosO= 1* -1 ...x=0, solución extraña
(no verifica) •
n n , , n
s e n - + e o s - = 1* -1..jr= „ ,
2 2 ^
solución extraña (no verifica)
senn + cosJt = - l ... x =n ,
es solución (si verifica)
599

Lumbreras Editores T rigonometrí
3jt 3n ■ 3iz.
sen— + c° s— = - l ... x = ~2 - es solución (si verifica)
sen2it+cos2;t = 1*-1 x =2n solución extraña (no verifica)
J 3t
t1
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación senx+cosxr=-l; tal que 0 < x <2n , es p >~ |
¡ ^ ^ O b s e r v a ción '% ■'____________ ■
____________1 ________________________ __
Ecuaciones trigonométricas usuales con sus respectivas soluciones generales (k e Z )
1. sen0 =O=>0=kit IV. cos0 = O=>0= (2k+l)^
11. senG= 1=>0 = 2kn+—
2
V. cos0 = l=>0 = 2kit
III. sen0 =-l=>'G =2k7i+— v 0 = 2krt-- VI. eos0 = -1 => 0 = 2k7l+ 7
1
2 2
Ejemplo 7
Resuelva la ecuación sen2x=cosx
Resolución
A partir de la ecuación sen2x=cosx. se obtiene
2senxcosx = eos* ... utilizando sen2x=2senxcosx
=> 2senxcosx-cosx = 0
=> cosx(2senx-l) = 0 . .. descomponiendo en factores
=> cosx=0 v 2 s e n x -l = 0
=>x = (2k + l)-; k e Z v senx = ^
2 2
=> x =(2k + í)^ v => x = k7t+(-l)k^ . .. (del ejemplo 1)
2 b
Por lo tanto, el conjunto solución de sen2x = cosx, esj(2k + 1 )-u kn + (~ 1) - ^ k e Z
Ejemplo 8
Resuelva la ecuación sec2~ = 2tan ^
600

Resolución
1
2 sen ^
2x x
eos — eos —
- 3 3
de lo anterior se observa que eos —* 0, entonces
|* ( 2 k + l ) í ; k 6 Z .
Ahora, si podem os cancelar e o s — en el
denom inador, obtenemos
1
eos
—= 2sen—=>l = 2 se n ^ c o s^
* 3 3 3
2x
=> sen— = 1
3
Pasando todo al primer miembro
tan2—-2 ta n —+ 1= 0
3 3
=> [ t a n | - l j = 0 = > ta n |- l = 0 .
=> tan ^ = 1
3
=> ^ = kn+arctan(l); ke Z ; arctanl = -
ó 1
x = 3krc+— ;k e Z
4
Ejemplo 9
Halle el conjunto solución que verifica la siguiente
ecuación trigonométrica sen7x=cos4x.
Resolución
Cuando se tiene la igualdad entre el operador
seno y coseno, se cumple
2x n
=* — = 2kn +—
3 2
x = 3krt+— ;k € Z
4
Dado que Vx = 3 k 7 t+ ~ /k e Z , se cumple que
x „
eos—*0
3
podemos concluir que el conjunto solución es
{3k» + T l '
Otro método para resolver sec —= 2tan—
. 3 3
=> 1+ tan2—= 2tan—
3 3
(empleando la identidad sec20 = 1+ tan20)
i) 7x + 4x = (4k + l ) |; k e Z
=>x = (4k + l ) g ...(1)
ii) 7 x -4 x = (4n + l) í; n e Z
=*x=(4n + l)£ ...(2)
U
De (1) y (2), el conjunto solución será
••• x = j(4k + l ) i ; ( 4 n + l)2 |; n ;k e Z
Para entender un poco más al respecto revise la
página 368.
Ejemplo 10
Halle las soluciones de la siguiente ecuación
sen2
x + cosx-1 = 0 ; que verifiquen 0 £ x < 2n
601

Lumbreras Editores Trigonor
Resolución •
1- eos2
* + cosa-- 1=0 ...(por la identidad sen2
*= 1-cos2
*)
=> eos* - eos2
* = 0
=s cos*Gcos*-l)=0
=> cos*=0 ó cos*=l
Como 0 < * < 2n , tenemos cos*=0 =>* = rt/2 ; 3n/2 y d eco s* = l => *=0; 27i
Por lo tanto, el conjunto solución de sen2
*+cos*-l =0 tal que 0 < * < 2 r , es jo •í • • 2n
1 2 2 .
Ejemplo 11
Resuelva la ecuación 2sen*+cot*=csc*
Resolución
f por las identidades cot* = y c s c * = —-— |
v sen* sen* I
2sen* +
eos* 1
sen* sen*
De lo anterior, se observa que sen* * 0 , entonces x * k n / k e Z
multiplicando por sen* a los dos miembros de la ecuación obtenemos 2sen2
*+cos*= 1
2(l-cos2
*)+cos*= 1 ...(usando sen2
*= 1-cos2
*)
=s 2cos2* - cos*-l = 0
=> (2cos*+ l)(cos*-l)=0
Igualando cada factor a cero
1 O. X2" ^
cos* = — =>* = 2kn±— A sen* = ±—
2 3 2
o cos* = l => * = 2krc a sen* = 0
...(cumple con la condición sen* * 0)
...(lo cual no es solución, dado que de la restrii
inicial se obtuvo sen* * 0)
Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 2sen*+col*=csc* es |2kn +y / k e z j
'•;> v O b s e r v a t i ó n ,,
--; ^ .... . ■__________ ____r
... , ............-...... - ---
Para resolver ecuaciones trigonométricas de la forma asenx+bcosx=c se debe tener en cuente
asenr+bcosjc=Va2+b2sen(* + 0) ; donde tan0=-
a

Ecuaciones trigonométricas
PITULO VIII
emplo 12
esuelva senx+cosx=l
solución
1
nultiplicando por —
¡= los dos miembros, obtenemos
1 ^ 1 1 1 n n
ccnx i c o g x - se h a sustituido — p o r eos - y s e n - convenientemente.
■s¡2 V 2 ~ V 2 v2 4 - 4
7
1 7t s¡2
=> sen x eos—+ eos x sen—= —
4 . 4 2
sen
s/2
í x + - = „
1 4 J 2
x + —= k7t+(-l)karcsení —
4 l 2
x + —= k7r+(-l)k—
4 4
. • . x = k7t+ (-l)k- - - ; k e Z
4 4
Pero el ejemplo se puede resolver de otra forma
. solución de una ecuación trigonométrica elemental
í ^ ) n
( t J = í
.. se utilizó aresen
7) senx + cosx = 1=* (cosx;senx) =(0;1)
I o
t i ) seru + co sx = 1=> (cosx;senx) = (1;0);
0 1
Para senx + cosx = 1
CS:jr = [ | + 2K«u2KjtJ;K€Z;
Este punto en la C.T. es el extremo de todos los arcos
de la forma x= —+2Kn, k e Z
2
Este punto én la C.T. es el extremo de todos
los arcos de la forma x =2Krc
queda para el lector la resolución del
ejemplo 6 en forma análoga.
• j>r- Observatión
’ n f 71 ^
- e o s
.2 r ~ 4 j
= e o s
iH
Lasolucióngeneral de una ecuación notiene forma únicaveamos: sen^x +^ j = eos
Por identidad cos(ce - P) = cos((3 - a) entonces se obtiene que sen^x + ^ = cosj"x - 1
( n ^¡2 r _ Jó
Luego, en laecuación elemental del ejemplo 12 senx+cosx=l => sen|^x + - J = — queda c o s j x - —j= —
De donde, si aplicamos la forma general de los circos en coseno, obtenemos x - —= 2kn ± arccosf —
4 1 2
X,' 7
1 7
1 . _ V
.-. x = 2k7t±—+ —
; keZ
4 4
Los conjuntos |k7t + (—
l)k^ ^ / k e Zj yj2kn ± ^ + ^ / k e z | son conjuntos equivalentes, dado que tienen
los mismos elementos, por tanto, ambos expresan el conjunto solución de la ecuación.
603

Ejemplo 13
Resuelva la ecuación senx+ v3 cosx = - %
Í2
Resolución
Dada la ecuación sen x + V3 eos x = - V2
1 V3 Í2
- sen x + — cosx = - —
2 2 .c 2
jt ic Í2
sen xcos - +sen - eos x = ------
3 3 2
, multiplicando por - a ambos miembros, obtenernos
i V3 7Í 7t
...sustituyendo - y — - por eos— y sen—,
^ ¿ á • 3
, M • ^2
S e n X + 3 j 2
respectivamente, en el primer miembro convenientemente
... por identidad de arcos com puestos'
x + - = kn +(-l)karsení - —
3 l 2
x + —= kjt+(-l)kj - —
3 4
...solución de una ecuación trigonométrica elemental
¡2
...se utilizó aresen -
Despejando x se obtiene
I / ,k Ít 7
1 . -y
.-. x = k 7 t- ( - l) ------ ; ke Z
4 3
Mota Histórita
Él profesor Scipión del Ferro (1496-1526) de la Universidad de Boloña (Italia) encontró una fórmula para la ;
búsqueda de una raíz positiva de las ecuaciones concretas de la forma x3+px=q (p>0, q>0).
Él la mantuvo en secreto reservándola como arma contra sus contrarios en las disputas científicas. Al final de i
sus días comunicó este secreto a su pariente y heredero en el cargo Anníbal Della Nave ya su alumno Fiore.
A comienzos del ciño 1535 debía realizarse un duelo científico entre Fiore y Nicolo Fontana, conocido con
el apodo de Tartaglia, debido a su tartamudez, consecuenciade un golpe en la cabeza durante su infancia.
Este último era un científico talentoso, procedente de una familia pobre, que se ganaba la vida con la
enseñanza de la matemática y la mecánica en las ciudades del Norte de Italia. Conociendo que Fiort
poseía la fórmula de Ferro, yhabiendo preparado a su contrincante con problemas sobre la resolución de
ecuaciones cúbicas, Tartaglia fue capaz de descubrir nuevamente esta fórmula, la que le permitió la victoria
en la disputa celebrada el 12de febrero del año 1535.
El método de Tartaglia, como al parecer también el de Ferro, consistía en la
elección de la fórmulaadecuada en la irracionalidadalgebraicapara la expresión
de la raíz de las ecuaciones del tipo indicado anteriormente, x 5+px=q (p>0;
q>0). Suponiendo que x = |/¡I - Zfv ,sustituyendo esta expresión en laecuación
y poniendo p=3^/uv él obtuvo el sistema p -v = q ; lxv=^
Interpretando a p y v como raíces de una ecuación cuadrática, Tartaglia halló
q
"J.fH í’
v = Í S
2 ’ Y12J {3
Así, en poco tiempo, Tartaglia pudo resolver la ecuación de la formax3=px+q
(p>0; q>0) con la sustitución x=^/¡I + yfv-
Nicolo Fontana Tartaglia
(1500 -1557)
604

D ESIG UALDADES TR IG O N O M ÉTR IC A S DE UNA SOLA IN CÓ G N ITA
Sean las funciones y=f(x) e y=g(x) cuyos dominios son Domf y Domg, respectivamente.
Ahora, la solución de la desigualdad f(» > g(x) serán todos los números pertenecientes al
campo Domf n Domg donde cada número verifica la desigualdad propuesta.
De una m anera similar se resuelven las desigualdades f(x)<g(x) ; f(x) > g(x) y f(x) < g(x).
Ahora bien, las desigualdades anteriores serían desigualdades trigonométricas, si fOc) o g(x) son
funciones constantes o funciones que contengan funciones trigonométricas de la forma FTn(axf-b),
donde a * 0 y n e Z .
A continuación se presentan ejemplos de dos funciones que relacionan a una desigualdad
Si f(x)=senx-cosx, g(x)=0; luego las desigualdades que se pueden generar, serían las siguientes:
senx-cosx<0; senx-cosx<0; senx-cosx>0; senx-cosx> 0.
Si f(x)=tan | 2 x - j, g(x) = 1; luego las desigualdades que se pueden generar, serían las siguientes:
Si
Si
tan2^2x - ^ j < 1;tan2^2x - ^ j < 1; tan2^2x - ^ j > 1
; tan2^2x - ^ j > 1
3x
f(x)=cos3x-l; g(x)= sen3— ; luego las desigualdades que se pueden generar serían las siguientes:
o í 3 „ , 3 3x . . . 3 3x o í 3
cos3x-l < sen — ; cOs3x-l < sen — ; cos3x-l > sen — ; cos3x-l > sen —
2 2 2 2
f(x) =sen(Rx), g(x)=cos(Mx); luego las desigualdades que se pueden generar serían las siguientes:
sen(Rx) <cos(Mx); sen(Rv) á cos(Mx); sen(Rx)>cos(Mx); sen(Rx) > cos(Mx).
¿Cómo se resuelve una desigualdad trigonométrica?
Graficando las funciones f(x) y g(x), se pueden hallar las soluciones de las desigualdades anteriores
(f(x)> g(x); f(x)<g(x); f(x) > g(x) y f(x) < g(x))
Para un mejor entendimiento, veamos el siguiente cuadro, donde suponen la gráfica de y=f(x) e
y=gO)
605

Lumbreras Editores Trigonometrí.
De ia figura 8.6
I. Para la ecuación f(x)=g(x), tenemos
x = {x,;x2;x3}
II. Para la desigualdad f(x)<g(x), tenemos
411. Para la desigualdad f(x)>g(x), tenemos
x = (x ,;x 2) u ( x 3;+~)
IV. Para la desigualdad f(x) <g(x)
se plantea
ÍI. f(x)<g(x) => x = ( - “>;x1)u (x 2;x3)
o
, [Il.f.(x) = g(x) => x = {xi;x2;x3}
' t *
y uniendo dichos conjuntos obtenemos
x = (-°=;x,]u[x2;x3]
Observación
Para justificarla solución de la desigualdad f(x)>g(x), simplemente hemos realizado la comparación entre;
las ordenadas de fy g para cualquier valor del dominio x; en el intervalo de x, hasta x2, véase la figura 8.7.
Para abreviar razonamientos, se dice que la solución de una desigualdad generalmente se da por intervalos,:
ya que en realidad se sobreentiende gue la solución es cualquier valor en dichos intervalos. j
Ejemplo 14
Resuelva la desigualdad senx> ^ ]
Resolución j
Se construye la gráfica de f(x)=senx y g(x)= - (véase figura 8.8), entonces planteamos f(x)>g(x).;
La desigualdad en cuestión se satisface para todas aquellas x donde la gráfica de f se ubica por encima
x = ( - “>; x ) u ( x 2;x3)
V
. Para la desigualdad f(x) > g(x), se plantea
|1. f(x )> g(x) =>x= (x1
;x2)u (x 3;+«’}
[ll.f(x)=g(x) =>*x={x¡;x2;x3}
y uniendo dichos conjuntos obtenemos
x = [x,;x.2] u [x 3;+ ~>
606

r ~ 7
•CAPÍTULO VIH Ecuaciones trigonom étricas
Entonces, las soluciones de la desigualdad s e n o - esán dadas por
como el periodo de la función sen* es igual a 2n, bastará con resolver la desigualdad propuesta solo en
algún intervalo de longitud 2rr. En la figura 8.8, se observa que será más conveniente tomar el
Jt 5jt
segmento desde 0 hasta 2n .donde la solución será - < x < — , los dem ás intervalos se obtienen
sumando 2n; 4rt; 6ni -.. a los extremos del intervalo g :~g~) ■De esa manera, la solución general de
/ tí* 5n ^ *
la inecuación es la siguiente x = { - + 2krr ; — + 2krt!; ke Z
6 6 /
Ejemplo 15
Resuelva la inecuación senx < cosx
Resolución
En la figura 8.9 se ha construido los gráficos de f(x)=senx y g(x)=cosx, de la inecuación serur s cosx,
satisface para todas aquellas x donde la gráfica de f se halla por debajo (o coincide) de la gráfica de g.
Las abscisas de los puntos de intersección las hallamos resolviendo la ecuación f(x)=g(x)
s e n .- , . .
=» sen x =cosx =*------- = 1 =>tanx = l . x
cosx
ti , 5 j t . 9 j t .1 3 r t .
'4 1 4 ’ 4 ’ 4
Entonces, las soluciones de la desigualdad senx< cosx están contenidas en los siguientes intervalos
!—como el periodo de la función serur y cosx es 2n, bastará con
n 5 ji
resoh/er en el intervalo desde 0 hasta 2rt, donde la solución es - ^ x < — ; la solución compieta se
7 n . -3ji ~n. 5tt" r 9it.i3it"
. 4 ’ 4 J A» A
L4 4 J L T ;X .
obtiene sumando a cada extremo del intervalo
entonces la solución de la inecuación será
i t , 5ji
4 ’ 4 .
un número entero de veces el período (2 ji) ,
— + 2 k J t; — + 2 k it
.4 4
; kS
e Z
607

Lumbreras Editores Trigonorm
Ejemplo 16
Resuelva la inecuación trigonométrica tan[ 2x +^ |<-1
Resolución
Asumiendo que 2x + —= 0 , entonces resolveremos la inecuación tanG < -1. Para esto, graficamc
funciones (véase figura 8.10) de la desigualdad anterior, donde f(0) = tan6 y g(9) = - l
entonces, la desigualdad a resolver sería f(0) < g(0)
Las soluciones de la inecuación ta n 0 < -l están contenidas en los siguientes inten
/ - ti - j i / tc 3ji l3n 7n
2 4 / 2 4 / 2 4
•-•Como el periodo T de la función tan 9 es T= n ,bastará con res
en el segmento desde - ^ hasta ~ , (sobre el eje 9 ) donde la solución es 0 = | enlonces
obtener la solución completa se tendrá que sumar a cada extremo un número entero de vec
periodo por lo que la solución a la inecuación será 0 = ( - ^ +k7r, - í + k rt);k eZ
Haciendo 0 = 2x + ^ en tan0 < - l , se obtiene la desigualdad requerida, entonces
2x + ^ = ( - - + kjt ; - - +kn
3 2 4
>
2x ={ - —+k n - — —+k n - - ) ...í sumando - —
' 2 3 4 3/ 3
•2x =( - — +k n ; - ~ +kn
6 12
...I multiplicando por -
/ 5rt kTt 7n kn .
x =t -----+ — ;------+ — ; k e Z
12 2 24 2
608

CAPITULO VIII Ecuaciones trigonométricas
> * Observarían
En la figura 8.í 1(a) se ha graficado la función f(0) = sen 9,
entonces
• Si sene > 0, => 6 = [2lot; 2krc+7cl;ke Z
• Si sen9<0, => 0=<2kn +7c; 2k7t+2it>; k eZ
En la figura 8.11(b) se ha graficado f(0) = cos0, entonces
• Si cos9>0 , =*
0= +2kit; —+2krc ; k eZ
2 2
f(0)i
1
sen9>0
4~°
-1
^''-sen0<9'/
Si cos0<O, =>
0
=
^í+
2
k
7
t;^+
2
k
it);k
eZ
3ji
(a)
Figura 8.11
Ejemplo 17
Resuelva sen^2x-yj>0
Resolución »
Haciendo 2-v- —= 0 en la inecuación, al resolver
obtenemos sen 0 > 0, entonces de la observación
anterior tenemos
0 = [2 k rc; 2kji+ 7i] => 2* - y = [2k7t; 2 k n + ti]
y despejando x al igual que en el ejercicio anterior,
obtendríamos
:.x - i 7
1 . 4n
k n + — ; k n + —
14 7 .
;ke Z
Ejemplo 18
Resuelva cos^yyjcO
Resolución
Análogamente al ejemplo y observación anterior,
tenemos
2 x / n 3 ti
— = ( - + 2k7t; — + 2 k n
3 2 2
Despejando x
* = (t + 3kn ’ T +3k"^ ’ k 6 z
Ejemplo 19
Resuelva
( 2 1 6 * 'i „
sen ------- >0
^ 2 0 0 3 )
Resolución
Análogamente al ejemplo anterior, teniendo en
cuenta la última observación tenemos que
= (2k7t; 2k7i + 7 t);k e Z
216jc
2003
Despejando x, obtenemos
/2 0 0 3 k 7 t 2003kTt 2 0 0 3 ti , '
" " h o 8 - ' - ¡ 5 8 “ -t ! T 6 7 ; k , z
609

Lumbreras Editores
• . |
Trigonometríal
SISTEM A DE ECUACIONES TRIGO NO M ÉTRICAS
Resolver un sistema de ecuaciones no es otra cosa que hallar todos los conjuntos de valores de las
incógnitas que convierten al mismo tiempo todas las ecuaciones del sistema en igualdades numéricas-
justas.
El método más usado para resolver sistemas de ecuaciones trigonométricas es eliminar una de la®
incógnitas, con ayuda de las otras ecuaciones del sistema, se reduce al sistema de ecuaciones algebraicas:
mediante sustituciones acertadas de identidades o nuevas incógnitas o transformando las ecuaciones
del sistema. j
Las dificultades que se presentan están relacionadas con el hecho de que las ecuaciones'que
conforman un sistema de ecuaciones generan para el sistema un número infinitamente grande de
soluciones. j
No olvidemos que para tener un sistema de ecuaciones trigonométricas al menos una de las
ecuaciones debe ser trigonométrica (las variables siempre deben estar afectadas de algún operado!
trigonométrico).
A continuación, se resolverá algunos ejercicios de sistemas de ecuaciones trigonométricas.
Ejemplo 20
Resuelva el sistema de ecuaciones
cosArseny = ...(1)
= ¿ ...(2)
Resolución
La écuación (2) del sistema por examinar permite
fácilmente expresar una incógnita por la otra. Esto •
nos sugiere que es mejor resolver el sistem a
sustituyendo directam ente u n a incógnita,
después de lo cual el sistema se reduce a una
ecuación trigonométrica de una sola incógnita.
No importa qué incógnita se elimine, entonces
despejando y de (2), tenemos y = " • * . .. (3)
(3) lo sustituimos en el primer miembro de (1),
obteniendo eos x sen!
2
2
COSXcosx = —...por reducción al primer cuadrante
=> 2cos2x - l = 0
cos2x = 0
Luego 2x = (2 k + l)^ ; k eZ
kn 7t . ■_
x = — +- ; k e Z
2 4
En consecuencia, reemplazando en 3
y = 2 ‘
kjí 7
1
--- -|---
2 4
7
1
y = _ _ kjr
T
de esta forma obtenem os las soluciones di
sistema inicial, así
_ kn n _ it kn
* “ ! F + 4 ' y _ 4 ~ T
siendo
k=0; ±1; ±2;...
Nota ________________ = ____
La comprobación que aquí es indispensable!
demuestra que todos los pares de los valórese
obtenidos de x eysatisfacen el sistemainicial. Debe
entenderse también que a cada número entero kle
corresponde el par de los valores de x e y, osea, la
solución del sistema inicial, por ejemplo, si k=0, se*
7
1 7
1 . "
i
obtiene los valores * = — o y = —, los cuales
4 4 . •
reemplazados en las ecuaciones del sistema inicial,
convierten a estas en igualdades numéricas justas.
El sistem a en m ención tiene un númerdi
infinitamente grande de soluciones. -
610

Ejemplo 21 •
Halle todas las resoluciones del sistema
2 2 3 .
sen x + eos y = — +1
4
IL
x - y =-
que satisfacen las condiciones si 0<x<7t; 0<y<7t
Resolución
El procedimiento realizado en la solución de este
ejercicio es análogo sil ejemplo anterior. De (2),
despejamos y => y = x - ^ ...(3)
Antes de reemplazar (3) en (1), haremos algunas
operaciones para facilitar este reemplazo, así
en (1).
Multiplicando por 2 a los dos miembros
-3
2sen2
x+2cos2
y = — + 2
Degradando, obtenemog:
V3
t -co s2 x + 1+cos2y =^ ~ +¿
cos2y - cos2x =
V3
-2sen(y+x)sen(y-x)= —
sen(y+x)sen(x-y)=
sl3
I
f K ) I
=> sen
{ 3 J
¡sen
, 5 ]
,V3
' 4
, _ n S si3
=> sen 2 x — . — = —
3 2 4
Simplificando =>"sen| 2 x - j j= ^ (4)
„ „ - te 0 n 5tt
Pero como 0 < x <n ,entonces —-< 2x - - < — ,
J á «
5
por lo tanto, para que se verifique (4), tenemos
solo dos opciones (I) y (II)
I. 2 x - - = -
3 6 n
despejando x se obtiene x =—
n n n n _ „ T
t
como y = x - - = - - - = - - = > y ~ -
2 x - —=—
3 6
despejando x se obtiene x =
7it
Í2
7i 7 n n % . n
como y =x — ------------ - =>y =—
3 12 3 4 4
JL
12
la
La resolución del sistema x = - ; y =
4
d esecam o s porque y = e (0; 7t)
Por lo tanto, la única solución del sistema inicial
que verifica
„ 7n nj
0 < x < ti ; 0 < y < 7
i,e s jx = — ; y = - l
Ejemplo 22
Resuelva el sistema
ícosx + cosy = m ... (1)
[cos2jr-cos2y = 2n _.(2)
Resolución
En (2), utilizamos identidades del arco doble
(2cos2
x- I)-(2cos2
y -l) = 2n
cos2
x - cos2
y = n ... operando
(eos x +eos y) (cosx-cosy) = n
=> m (cosxcosy) = n ... utilizando (1)
cosx - cosy ¡
, = JL...C 3)
m
De (1) y (3) se obtienen fácilmente
cosx=- ■;cosy = -
m - n
2m " 2m
Teniendo en cuenta la solución de una
ecuación trigonométrica elemental, tenemos que
la resolución completa del sistema inicial es
x=2kít± árceos!
2m
y= 2Rt tarecos! HL—n |siendo k abe Z .
2m
611

p.
roblemas Resueltos
Problema 1
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica
senSx- 8sen3
x=0
Resolución
3sen* - 4sen3
x - 8sen3
* = 0 ...
Se ha usado
sen3x=3senx- 4sen3
x
3senr - 12sen3
x=0 ... operando
dividiendo ambos miembros por (3)
sérix- 4sen3
x = 0
senx(l-4sen2
x)= 0
Empleando degradación
{2 sen20 = 1 - cos2 0)
reemplazando tenemos
senx(2cos2jc-l)=0
I. sen* = 0 => * = m i ; m e Z
II. cos2* = -= » 2 * = 2kit + - ; k e Z
2 3
i . 7
7 '
=> A
' = kji i —
Por lo tanto, la solución general de la ecuación
es:
c= |m7t;kJt + ^ |; m; k e Z
Problema2
Resuelva 4sen4
* + 2sen2
*cos2*=l
Resolución
4sen4
x+2sen2
x(l-2sen2
x) = 1
Se ha utilizado cos2x= l-2sen"x
4se,n'! A+ 2senJ A-4 se n 4.v = 1 ... operando
2sen2
* = 1 ... degradado por dobles
l-cos2x = 1 => cos2x = 0
* 'i
2x = 2kjt ± arccos(O) _ í
(expresión general para el arco en coseno)
2* = 2k7
t ± - se sabe que arccos(0)= - h
2 I 2 I■
:!
.-. * = kn ± - ; k e Z
4
Otra forma de hallar la solución general de la
ecuación anterior, es utilizando circunferencia
trigonométrica.
Como
cos2x =0 2v =(2k +l)-
.-.* = (2k + l)-; ke Z
4
1 * 3 Nota
Los conjuntos jk n t^ J ó j(2k + l)^J, dondej
k e Z son equivalentes, es decir, tienen losgj
mismos elementos. Entonces, la respuesta a estej
problema podría ser cualquiera de estos da»
conjuntos. j
612

Problemas
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica:
cosxcos2xcos3x=- e indique la menor solución
positiva.
se ha em pleado identidades del arco doble y
transformaciones trigonométricas.
♦
eos 6x + eos 2x + eos 4x = 0
2cos4xeos2x+cos4x = 0
cos/tx(2cos2x+1) = 0 ... se ha factorizado
"1. cos4x=0 => 4x = (2k+1)5; ke Z, de manera
similar al problema anterior
=»x = (2k + l)5
8
H cos2x = - - = * 2x = 2kit± —
2 3
=
>x =krt ± 5
3
A continuación, se tienen algunas soluciones
particulares de la ecuación a resolver. Estas se
obtienen asignando valores enteros a k.
De x = (2k + l)5
8
tenem os'
x ={...;-n/8; t
e/ 8; 3rt/8; ...}
De x = kn ± - ,
3
tenemos
x = {...;-n/3; ti/ 3; 2n/3; 4rt/3;..,}
Por lo tanto, la resolución general de la ecuación
eosxeos2xeos3x=5 es j(2k +1)5;krt±5j; keZ (
7t
mientras que la menor solución positiva es —.
O
Problem
a4
Resuelva la ecuación sen3
x + cos3
x=cos2x
Resolución
(senx+cosx)(sen2
x-senxcosx+cos2
x )= co s2
x -
sen2
x (cosx+senx)( 1-senxcosx)= (cosx+ senx)
(cosx-senx) simplificamos al factor (cosx+senx);
pero lo igualamos a cero, entonces
cosx+senx= 0 => tanx=-l
.-. x = k n -5 ; k e Z
4 •
Luego de simplificar, queda por resolver
1-senxcosx = cosx-senx , -*
1 -senxcosx-cosx+serur=0
factorizando -
(1 +senx)-cosx(l +senx)=0
(l+senx)(l-cosx)=0
I. senx= -l =>'x= 2krt + ^
II. cosx = l=>x = 2k7t
Por lo tanto, el conjunto solución de la
ecuación señ3
x+cos3
x=cos2x es
2k7t+ ^5u2k7iuk7r-5j; (k eZ )
Resolución
Multiplicando por 2 los dos miembros
2cosxcos2xcos3x = -
(eos 3x + eos x) eos 3x = -
2 eos23x + 2eos 3x eos x = 1
/ +cos6x + cos4x + cos2x = i ...
613

Problema 5
Calcule la suma de soluciones de la ecuación
cos6x =í i—s— V sc 2x
( sec2x )
que verifiquen 0<x<7i
Lumbreras Editores
Resolución
cos6x=
l+ sen 6 x ' 1
1
cos2x
sen2x
De lo anterior, es obvio que cos2x*0 y
sen2x * 0, entonces operando tenemos
cos6x =
cos2x(l + sen6x)
sen2x
sen2xcos6x=cos2x+sen6xcos2x
0=cos2x+sen6xcos2x- sen2xcos6x
sen 6x eos 2x - sen 2xeos 6x + cos2x = 0*
2
=>
sen(6x-2x) + cos2x = 0
sen4x+cos2x=0
" 2sen2xcos2x+cos2x=0
cos2x(2sen2x+l)
=>cos2x = 0 ó
Pero, inicialmente
cos2x * 0
entonces, nos quedamos con la ecuación
sen2x = - -
2
Como O áx < jr, entonces 0< 2x< 2rt, por lo
tanto, las únicas soluciones posibles de 2x serán
(ver figura 8.13)
=0
sen2x = - -
2
a . sen2x * 0
Trigonom etría
7ít 1171
2x = — ;v 2x = —
6 6
7ji 1Iji
=> x = — ;vx = —
12 12
Por lo tanto, la suma pedida será
7jr 1lit _ 3jt*
T 2+ ~nf ~ T
Problema 6 j
Resuelva la ecuación senx + tanGcosx = 2sen0 .
donde 0 es un valor conocido. J
Resolución
sen0 „ .
senx + ------cosx = 2sen0
COS0
sen x eos 0 + eos x sen 0 = 2sen0 eos 0
sen(x + 0) = sen20
Com o un valor de (x + 0) es 20, podem os
generalizar de la siguiente manera
x + 0 = k n + (-l)k2 0 ; k e Z
.x = k Jt+ (-l)k2 0 -0 ;k e Z

ft0blem a7 La única posibilidad para que se cum pla la
Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica ecuación (2) es que el numerador sea igual a cero,
tan(x+ 45°)+tan(x - 45°)-2cotx = 0 entonces
Resolución
.Al pasar a senos y cosenos tenemos
sen(x +45°) + sen(x-45°) 2cosx_ q ^
cos(x +45°) cos(x-45°) senx
se observa que cos(x+45°) * 0, eos( x - 45°) * 0 y
senx * 0.
Operar en la ecuación (1), resultaría laborioso,
mejor volvamos a la ecuación original
tan(x+45°)+tan(x-45°)-2cotx=0
cot(45°-x)-tan(45°-x)-2cotx=0
...(por identidad de arco doble)
2cot '90°-2x) - 2cotx=0
2tan2x-2cotx=0
expresando en términos de senos y cosenos.
sen2x _ cosx
cos2x senx
sen2xsenx - cos2xcosx
cos2xsenx
-cos(2x + x) .
^ --------- ------- =0
eos 2x senx
eos 3x
eos 2xsenx
= 0 ...(2 )
cos3x = 0 => 3x = (2k +1)90°; -keZ
x = (2k +1)30°
Com o para todo x = (2k + l)30°;(ke Z) si se
cumple que cos(x+45°) / 0, cos(x-45°)^0 y
senx^O , entonces la solución general de la
ecuación
tan(x+45°)+tan(x-45°)-2cotx=0, es:
{(2k + l)30°};ke Z
Problemas
Halle las soluciones de la ecuación
3sen2x-cos2x-2senxcosx=0
que verifiquen -it< x < Jt
Resolución
Por identidades del arco doble
3^j - ^ s25 j - ^ ± c |s2_
x ^ Sen2x = 0
operando
1 - 2cos2x - sen2x= 0
sen2x + 2 cos2x = l
=> V5 sen(2x + 0) = 1
Por propiedad de arcos compuestos, donde se
pu ed e cum plir 0 = arctan (2 ), véase figura
8.14(a).
615

Luego sen(2x + 0) =
>/5
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación
3sen2
x - cos2
x - 2senxcosx=0
=» 2x + 0 = k n + (-l)karcsenj j ... (I)
(expresión general para el seno); arcsen-4==--0
V5 2
que verifican
-TE < X < Jt
son
L 3 í ;5 _ e ;£ > , 9)
1 4 - 4 4 4 J ;
donde
0 = arctan(2)
Reemplazando en I
2x+ e = kjt+(-l)kj^-0
kn 1, . o / je 0 . _
.-. x =— + -(-1 ) - - 0 — ; k e Z
2 2 [ 2 2
Si
i o JE 0 0 3 ie - 1 , ,
k = - 2 = » x = - jE + -------------- = -----------0 . .. 1 2 1- te;7e]
4 2 2 4 J
e [ - je; je]
- . . . JE JE 0 0 3 je
Si k = -l= * x = -------- +-------= ------
2 4 2 2 4
Si k = 0=>x = 0+ —-0
4 2 2 4
c . , , JE JE 0 0 JE
Si k = l=*x = ------ +-------= -
2 4 2 2 4
c . . ' 2 je je 0 0 5 je
Si k = 2=»* = — + -----------= ------ 0
2 4 2 2 4
c . ' 3 je je 0 0 5 je . .
Si k = 3=>x = --------+-------= — ... e [—
je ; je]
2 4 2 2 4
■ t ó
(véase Figura 8.14(b)) Figura 8.14
616

VPITULO VIII Ecuaciones trigonométricas
O tro método
Como la ecuación 3sen2
x-cos2
x-2senxcosx=0
no se verifica para todo x = (2k + l ) ^ ;k e Z ,
entonces podemos dividir a ambos miembros por
.cos2
x
3sen2x eos2x _ 2senxxosx
eos2x eos2x eos2x
=> 3tan2x-l-2tanx=0
.=> 3tan2
x-2tanx-l =0
=> (3tanx+ l)(tan x -l)= 0 ...
i =stanx = - ^ ó tanx=l
x =k7t+arctaní - -
cos2x
2 j ó x = kTC+arctan(l)
También de x = k?r+ -
4
Si k = - l - » x = -
3t
e
k = 0 —
^x —
—
4
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación
3sen2x - cos2
x - 2senxcosx=0 ; que verificar!
-7t < x < n , serán
f 371 1 7
1
I——;- arctan —;—;ti—
ardan
3 4 1)
Los conjuntos
L ^ ; * . e : 5 ;5 í- e } y
1 4 4 4 4
f 3n , 1 re n
( - T ; - a r c t a n - ; 5 Í 7 t-a rc tg -)
donde 6 = arctan (2 ), son equivalentes ya que
Expresió i general para la tangente
x=kT i-arctan- ó x = k7t+—
3 4
Hallando algunas soluciones de
Si x = krt - arctan^ (Véase figura 8.14(c))
k = - l -» x = - ti- arctan -
3
k = 0 —
>x = -arctan -
3
k = l —
»x = 7t- arelan
1 , 1 7t
arelan - +arctan - = -
3 2 4
1 7t , 1
arelan - = - -arelan -
3 4 2
1 7t
arctan - = - - arccot (2)
3 4 w
1 n
=> arctan - =
■
— — arctan (2)
3 4 [_2
arctan = - - + arctan(2)
3 4 w
Como
1 7
1
0 = arctan(2) =»arctan - = - - + 0
Por lo tanto
k = 2 -» x = 27i- arctan -
3
1 7t „ • 1 5ti .
-arctan - = — 0 y 7t- arctan - = -----6
3 4 3 4
617

Problem
a9
Resuelva 2senx + cosx-2tanx=l
Resolución
Ira. Forma
donde k es un entero, se verifica que eos* * 0,
entonces concluimos que la solución general de
la ecuación a resolver es
„ 2senx .
2senx + co sx ------------- 1
cosx
pasando a
senos y cosenos
2k7t u k n -a rc ta n -[;k e Z
Nótese que cosx * 0, entonces multiplicando por
cosx ambos miembros tenemos
2da. forma
Utilizando las identidades (triángulo de arco doble)-
1- tan2— . 1
2tan^
2senxcosx+cos2
x-2senx= cosx senx =
■2senxcosx-2serur+cos2
x - cosx=0
>2senx(cosx-l)+cosx(cosx-l)=0
. (cbsx-1) (2senx+cosx)=0
1+ tan2—
2
cosx = -
1+ tan2—
2tan-
y tanx=-
1-tan2
=> c o s x -l = 0 ó 2senx+cosx=0
reemplazando en la ecuación a resolver,
tenemos
cosx=l ó tanx = - -
2
4 tan -
_____2
1-tan2^ ’ 4tan —
_____2
x = 2kn ó x = k n - a r c ta n - ; k e Z
2
Como
Vx = 2ktt ó x = krr- arctan
1+ tan2— 1+ tan2—
2 2
1- tan2—
2
4t a n - + 1 -tan2— 4tan —
2 . 2 2 -1
1+ tan 1- tan2*
Realizando operaciones elementales, se llega a la siguiente ecuación
tan4—- 4 tan3—- tan2^ = 0
3 *
tan tan2— 4tan— 1 =0
2 2
=
> tan2—= 0 ; tan2— 4tán— 1= 0
2 2 2
x
i—■
2
tan—= 0 ; i tan—= 2 + >/5 vtan^ = 2 -/5
—= kn ; 1—= kjt + arctan(2 + /5 jv ^ = k7t + arctan(2-/5)
x = 2 krt ; |x = 2 krc+ 2 arctan( 2 + í ) v x = 2 krt +2 arctan( 2 - n
/s )J
Por lo tanto, la solución general de la ecuación a resolver será
j2knu 2kn + 2arctan(2 + v 5 2kn + arctan (2 - n
/5)j ;ke Z
618
¡

Nota
Las soluciones generales o conjuntos solución,
obtenidos en los dos métodos de solución del
problema (9) son equivalentes.
Finalmente la solución general de la ecuación
propuesta es
;ke Z
k7t + —v 2k7t + árceos
'y¡2' T
E
4
*T o *T
Problema 10
Resuelva la ecuación
2(cosx - senx) + 10 serurcosx-5 =0
Resolución
Si hacem os que cosx-senv=a; entonces por
1 -a2
identidades fundamentales senxcosx = —-—
reemplazando en la ecuación por resolver,
tenemos
2 a+ 10
^ 1~ a2^
- 5 = 0
=> 2a - 5a2 = 0
=s>a(2-5a) = 0
f * 2
=> a = 0 o a = -
5
Pero a=cosx-senx, además por identidades de
arcos compuestos tenemos
c o s x -s e n x = s/2cos| x + -
entonces V2cos| x + —1
= 0 ó V2 cosíx + —| = -
l 4 J { 4 J 5
Problem
a1
1
Resuelva el sistema de ecuaciones
1-tanx
1+ tanx
t
e
* - y = - =
■
■
tan y
Resolución
De la segunda ecuación tenemos y = x - í , luego
6
reemplazando^ en la primera ecuación, tenemos
1-tanx . ( ti
—
------- - = tan x —
1+ tanx ^ 6
tan^ _ x j = tan^Jr~ g ) — se utilizó la identidad
de arcos compuestos en el primer miembro.
-tan| x - ~ j = t a n |x - ^
tañí x - * l+tarif x - ~ | = 0
sen
I 7t
X - - + X - -
4 6
, ttj f n
eos X — eos X -----
4) l 6
= 0
Tt'j
, 71 1 . í 7t j
cos| x + — =0 o eos x +- =-
4 I 4 J 5
x + —= (2k + 1)— ó x + —= 2k7t ± árceos
4 v ’ 2 4 5
v y
sen| 2 x - —
12
COSI x-5 e
o
s x-f
>s e n j^ 2 x -^ j = 0;
= 0
7t
= s x = k7t + - ó x = 2kn:±árceos
4
V2
5
V 7
>2x~ — = k7t;ke Z
12
619

Lumbreras Editores T rigonometríal
de donde despejando x se obtiene
kn 5k
x = — + —
2 24
Como
n
y= X - 6 '
entonces
_ kn ti
y " T + 24
Por lo tanto, las soluciones del sistema a
resolver son las siguientes
k7t 5n kn 7t
x = — + — ;y = — + — : (k eZ )
2 24 2 24 ' ’
Problem
a12
Halle todas las soluciones delsistem a
(|senx|seny = -1/4 ...(1)
jcos(x + y) + co s(x -y ) = 3/2 ...(2)
Com o 0<x<7i (para el caso £enx> 0) y:
n < y < 2n, tenemos que
-2n < x - y < 0 ó 7t<x + y < 3ti
Entonces de
co s(* -y ) = i
tenemos que
7
T . 571
x - y o x - y = —
—
3 3
y de cos(a
t + y) = 1
%
tenemos que x +)T=2n
De esta manera, obtenemos dos sistemas
algebraicos lineales
x -y = -7 t/3 íx -y = -5 7 t/3
x + y = 2it y [x + y = 27T
que satisfacen las condiciones
0 <x<2ti, n<y<2n
De donde tenemos dos soluciones del sistema,
inicial
R
e
so
lu
c
ió
n
Si sen x > 0, entonces 0<x<7t y |senx|¡=senx,
entonces en la ecuación (1) obtendrem os la
ecuación serucseny=-l/4... (3)
En la ecuación (2), por transformaciones en el
primer miembro se tiene
2cosxcosy = | =* cosxcosy = ^...(4)
Sum ando (4) con (3) y restando (4) con (3)
respectivamente formamos el siguiente sistema
co s(x -y ) = -
cos(x + y) = l
En el problema 12, no se tiene la posibilidad de
eliminar directamente una de las incógnitas, pero
el sistem a considerado allí se convierte
simplemente en una forma que permite encontrar ■
algunas soluciones que satisfacen condiciones
com plem entarias. La particularidad de este i
problema consiste en que no interesan todas las
soluciones del sistema.
de donde se obtienen
x - y = 2k7t±^; x + y = 2n7t,
siendo k y n números enteros.
Problema 13
Resuelva la inecuación
sen2x > cosx

%CAPÍTULO VIII Ecuaciones trigonométricas
j Resolución
En la figura se han construido las gráficas de las
! funciones f(x)=sen2xy g(x)=cosx; la inecuación
s sen2x>cosx se satisface para todos aquellos x,
i. donde la gráfica de f se halla por encima de g
I" (sin considerar los puntos de intersección).
Las abcisas de los puntos de intersección
las hallam os resolviendo la ecu ació n
sen2x = cosx => 2senxcosx = cosx
=> co sx (2 se n x -l) = 0
rt 3n 5rt ,
cosx = 0=>x = — ;... o
2 2 2
1 rt 5n
, se n x = -= » x = ...-; —
; 2 6 6
*
i- "
Como el menor periodo común de f(x) y g(x) es
2n, bastará con resolver por ejem plo en el
segmento desde l í hasta _ ;(véase figura 8.15)
2 2
/*rt rt /5 n 3rr
donde la solución es q ’ 2 / KJ s ’~2
Por lo tanto, la solución general de la inecuación
se n 2 x > c o sx , será
- + 2 k rt;- + 2 k r t u / — + 2krt;— + 2 k rt);k e i
6 2 / 6 2 '
Problema 14
Resuelva la desigualdad senx > cos2
x
Resolución
Para que la desigualdad por resolver esté en
térm inos de senx, utilizam os la identidad
cos2x = l- s e n 2x, obteniendo la irjecuación
(equivalente a la anterior)
senx > 1- sen2
x
sen2
x+ senx-l> 0
Por solución de una inecuación de segundo grado,
se obtiene en el primer miembro
' i+Vs'i
senx + -----
f V 5 -P
se n x --------- >0
Además
1+V5 • -1 ]
2 / 2
(a)
senA:<- i + v n . >/5-i
o senx>-------
Como - l< s e n x < l, entonces, intersectando
conjuntos
V5-1
. 2
< sen x < l
La solución de la desigualdad anterior que viene
a ser la misma solución que la desigualdad inicial,
la deducim os de la figura 8.16(b)
' ( S - ^
0 = arcsen -------
2
v ))
621

Figura 8.16
Por lo tanto, la solución completa de la desigualdad inicial será (0 +2kti;ti - 0 + 2kn);k e i
í F
va - 1
Como 0 = arcsen
/ ( ^5—
1
tenemos ! arcsen' -------
■ l 2
+ 2kn; rt-arcsen
S - l
A
+ 2krt);ke Z
Problem
a15
Halle todos los valores de x mayores de cero, pero menores de 2ji , para los cuales se cumple la
desigualdad 8sen2x +2 ta n x -se c2x < 0
Resolución
cosx=0, no tiene sentido en la desigualdad a resolver, entonces podemos multiplicar a ambos miembros
la cantidad positiva cos2
x, obteniendo
sen2x
utilizando las identidades ^ 2
(sen2x = 2senxcosx y sen22r=4sen2xcos2x)
Por solución de una inecuación cuadrática, tenemos (2sen2x- l)(sen2x+1)< 0
-1 < sen2x < -
^ 2
8sen2xcos2x + 2 se n x co sx -l< 0
2sen22x + se n 2 x -l< 0
La inecuación anterior verifica -1 < sen2x < 1
Pero en la desigualdad por resolver, se puede verificar fácilmente que cosx debe ser diferente de cero
í n 3n:
es decir x * j —;—
0 < x < 2n )
(Consideramos estos dos casos ya que del enunciado del problema tenemoi
622

r
Ia
p
ít
ü
l
oV
III
r -------------------
Entonces la solución de la desigualdad -1 < sen2x <^ considerando x * j - ; ^ | y 0 < x <2n , nos
dará la solución solicitada. Para esto nos ayudamos de la figura 8.17Cb)
Entonces, la solución de la inecuación inicial, considerando
0 < x < 2 it y j c —
;3—, será x ={0 ;
1 2 2 12
5tt 13n
l 2 ’l 2
u
lJn
12
;2rt
Problema 16
Resuelva la siguiente inecuación
. 2 I
tan x - -
>0
/^-(sen jc + cosx)
Resolución
Como el denominador del primer miembro de la inecuación es positivo Vae R. (esto se deduce de la
propiedad -v2 < sen x + cosx<s/2 , vista en arcos compuestos); entonces el respectivo numerador
también deberá ser positivo, por lo tanto resolver la inecuación inicial es lo mismo que resolver la
inecuación
7 1 2 1 n
/3 . %
/3
tan x — > 0 => tan x > —=> tanx < ------ o taruo —
3 3 3 3,
Las soluciones de las inecuaciones anteriores, las deducimos de la figura
623

Como el periodo de la función y,=tanx es ji , bastará con resolver en el segmento desde — hasta
donde la solución es
/ - - + kn; - - + k n u / - + kn; - + kn ;k e Z
• 2 6 / 6 '2 /
Problema 17
Dadas las funciones f(x) = sen5x -e o s 5x
g(x) = se c x -c sc x
Calcule el número de puntos de intersección que existen entre las gráficas de f y g, en el segmento
(0 ; 5rt).
Resolución
Calcular el número de puntos de intersección que existe entre las gráficas de las funciones f y g, es lo;
mismo que calcular el número de soluciones de la ecuación f(x) = g(x)
Esdecir sen3x -c o s 5x = secx -cscx ...(0
de los cocientes notables tenemos que a3- b5 = (a - b)(a4+ a3b +a2b2+ ab3+ b4)
Entonces, en la ecuación (2) tenemos
(senx - cosx)(sen4x + sen3xcosx + sen2xcos2x + senxcos3x +eos4x) =
1 1
cosx senx
/ ■/ 4 4 3 3 2 2 (sen x -co sx )
(sen x -co sx )fsen x + cos x + sen xcosx + senxcos x + sen xcos x j - - ------------------
cosxsenx
Pasando el segundo miembro al primer miembro, y transformando en factores, tenemos
I
(sen x -co sx )
(sen x -co sx )
1- 2sen x eos x + sen x eos x + sen xcos x -
senxcosx
= 0
sen xcosx - sen3x eos3x + sen2x eos2x -1
senx cosx
= 0
(sen x -co sx )
senxcosx(l - sen2xcos2x) - (l - sen2xcos2x)
sen xcosx
=0
(sen x -co sx )
(l - sen2xcos2x)(senxcosx -1)
sen xcosx
= 0
624
4
K
I
CM

F ~
CAPITULO V III Ecuaciones trigonom étricas
Igualando cada factor del numerador a.cero, tenemos
tan.v = l; sen2xcos2.v = 1; sen.vcosx = l
Como es sabido
~ ¿ sen x eos.v < - .entonces solo consideramos la ecuación tanv=l
Las soluciones de la ecuación anterior serán las soluciones de la ecuación fM =g.M , entonces
considerando 0 < x < 5n , tendremos que estas soluciones son
x =n/4 ; 5rt/4 ; 9t
t
/ 4 ; 13tt/4 ; 17n/4 ... (5 soluciones)
Por lo tanto, el número de puntos 3e intersección pedido será 5
i!!:.
Ir
¡ Problema 18
T Calcule el número de soluciones de la ecuación sen2x'=2t ; que satisfagan —
2t
c< x <2n
Resolución
Al graficar las funciones f(x)=sen2x y g(.v)=2r, por cada punto de intersección de estas gráficas se
, tendrá una solución de la ecuación sen2x=2 (Ver figura 8.19)
De la figura 8.19 anterior, com o el núm ero de puntos de intersección entre las gráficas de f y
g son cu a tro ; e n to n c e s por lo ex p u esto , el n ú m e ro de so lu c io n e s de la ec u a c ió n
sen2x= 2r que satisfacen -2 jt< x < 2 jt, será tam bién cuatro.
Problema 19 *
Calcule el número y suma de soluciones, de la
ecuación
9sen —- —= 0
2 2 -
Resolución
La ecuación planteada es equivalente a
x x
sen —= —
2 18
625

Lumbreras Editores Trigonometri
Y
-i
Figura 8.20
De la figura 8.20, el número de soluciones de la ecuación propuesta será siete; ya que existen sie|
puntos de intersección entre las gráficas de las funciones fy g. .
Nótese además que las soluciones x,, x2y x3 son simétricas respectivamente con las soluciones x4;j
y x6, con respecto al origen, entonces x4= -x 3; x5 = -x 2; xñ = -x, j
Por lo tanto, la suma de soluciones será cero.
§|ijSf Observadón _______ ______ _____________________
Calcular específicamente las soluciones de las ecuaciones planteadas en los problem as 18 y 19
no es posible mediante métodos planteados en este capítulo. Más adelante, en el tema de derivadas
trigonométricas, se hallarán las soluciones de este tipo de ecuaciones, mediante aproximaciones
(métodos numéricos). ú
Problema 20 Dividiendo ambos miembros por a2, tenemos
Resuelva la ecuación algebraica x3-12x+8=0
sen30--^|sen0 + -^ = 0 ...(2)
a a
Resolución
De las identidades del arco triple, tenemos Si las ecuaciones (1) y (2) son idéntica!
tendremos
sen 30 = 3sen0 - 4sen30
Entonces
1 ; donde a=4
4sen30 -3 sen 0 +sen30 = 0 a2 4
4 4 isen30=-^=4 'dedonde
4 a A
sen 30 = | =* 30 = k (180°) + (-1 )k30°; k e Z
Asumiendo que x= asen0, donde a>0
Entonces en la ecuación a resolver, tenemos
a3sen30 -1 2asen0+8 = 0 ó 0 = k(6O°) + (-l)k 10° ... (3)
626

CAPÍTULO V III
jí ú Nota _________
Por álgebra, la discriminante de la ecuación cúbica
x3+ px +q = 0 es A=j 9 ] +[ f | ;entonces
Si a < 0 , la ecuación tiene tres soluciones reales
Si a = 0 , la ecuación tiene tres soluciones reales
pero dos conjugadas
Si a > 0 , la ecuación tiene una solución real y dos
soluciones com plejas conjugadas
Según la nota, la ecu ació n
x3- 12x + 8 = 0
tiene tres so luciones reales, ya q u e
Como
x = asenO = 4sen0 (yaquea= 4)
tendremos que encontrar tres valores diferentes
para sen0
Asignando en (3), a k los valores 0, 1, 2, 3, 4,
obtenemos
e = io°; e = 50°; e = i30°;
6 = 170°; 0 = 250°
y así sucesivamente asignando a k los valores 5,
6, 7...
Se com probará fácilmente que los valores de
sen0 son iguales a una de las tres "cantidades
siguientes: sen 10° ; sen50° ; -sen70°
%
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación inicial
son 4senl0°; 4sen50°, -4sen70°
Como algo adicional, la ecuación x3-12x+18=0
es equivalente a x3+8=2x
Entonces gradeando las funciones f(x) = x3+8 y
g(x) = 12x, se notará que estas gráficas tienen tres
puntos de intersección que corresponden a las
tres soluciones reales que se halló para la
ecuación inicial (véase figura S.21)
Problema 21
Resuelva la ecuación trigonométrica
cotx = 2 cosí—- —
1 2 4
Resolución
Para reducir la ecuación anterior, realizando
x re
cambio de variable - - = 0 -U J
ahora x = - + 20
2
Reemplazando en la ecuación inicial
co tj^ + 20j = 2cos6
=>-tan20 = 2cos9
627

sen26 .
=>---------— = 2cOS0
eos 20
2sen 0eos 0
+ 2cos0 = O
eos 20
2cos0(sen0 + cos20)
eos 20
= 0; eos20 * 0
>20*(2n + l)^
►
cos0 = 0 v sen0 + eos20 = 0; 0 *
■(2n + l)-;n e Z
>cos0 = O v sen0 + l-2 seri20 = O
De la primera ecuación 0 = (2k + l) - ...(l);k eZ
De la segunda ecuación 2sen20 - sen 0 -1 = 0
(2sen0 + l)(sen 0 -l) = O
1
sen0 = - sen0 = l
0 = kjt + (-l)k^ j . . . ( 2 ) ¡0 = 1 + 2101 ...(3)
Luego, regresando a la variable angular x
(1 ) en (l) => x = 2kn + y
(2) en (I) => *=2krr + | - ( - l ) k^
(3) en (I)
Donde k e Z
x =4kn +
37t
Problema 22
Halle el número de soluciones para la siguiente
ecuación |log(senar)| = e 'senx; Vxe (0;3rc)
Resolución
|lpg(senx)j = e 'senx... (1)
Hacemos corresponder las siguientes funciones
f(x) = log(senx) ...(2)
g(x) = |log(senx)| ...(3)
h(x) = e ' ... (4)
De (2): f(x) = log|S?B-íj = loga .>. (5)
Pero 0 < se n x < l= s 0 < a < l
De(5) f(x) = loga
=> f(a)=log(a); dibujando lafunción
logarítmica (Véase figura 8.22(a))*
Se observa que
Si a toma valores ascendentes desde 0 hasta 1,1
gráfica de la función sería
Planteando una tabulación en K=log(senx) par.
el intervalo 0<x< n
X Y
rc/6 •og(l/2)
71/4 log(V2/2)
71/3 logCV3/2)
jc/2 0
2n/3 log(V3/2)
•3ji/4 log(V2/2)
5it/6 lo g a /2)

1TULOVIII Ecuaciones trigonométricas
ijserve que si x va de 0 a * => la gráfica es de la forma creciente com o se presenta en
i figura 8.22(c) 2
7
1
serve que si x va de - a ji => la gráfica es de la forma decreciente
Nótese que la gráfica de f(x)=log(senx) no está definida cuando -1 < sen x < 0 ; es decir esta función
no estaiá definida si xe UlC, IVC o es un arco de la forma (4k +3 )-; ke Zya que el logaritmo de un
número negativo no está definido en el conjunto de los números reales; expuesto lo anterior no se
realizará ningún gráfico en el intervalo cuya forma general es ((2k-l)7i; 2kit); ke 1.
A partir d é la figura 8.22(c) obtenem os la función g(x) = | log senx | por sim etría respecto del
eje X, entonces la gráfica a obtener, teniendo en cuenta la sim etría será la m ostrada en la
figura 8.22(d).
629

Lumbreras Editores T rigonometrú
Seguidamente presentamos la gráfica de la función h (Véase figura 8.22(e)).
Luego, dada la ecuación log(senx) = e saiir
gU) hW
Gráficamente el número de soluciones quedará indicado por el número de puntos de corte entre am ba
funciones en el intervalo (0;3n), para ello observe la figura 8.22(0.
Figura 832
Como puede apreciar hay 4 puntos de intersección.
Hay 4 soluciones
630

r r o b l e m a s p r o p u e s t o s .
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1. sen2x-sen245° = 0
2. tan4x = cos—
2
3. eos —= 1
6
4. sení 4 x + = 1
5. ^ 1 f - | - v s
6. cotx = 4-tanx
7. 6 se n x -8 se n 3x - s e n 3^ = 0
8 4 4 1
. sen x + cos x = -
9. eos43x - sen43x =
10. sen2x + cos2x = V2
11. 2cos2
x = 3senx
12. sen7x-4sen3x = senx
13. 3tanx = tan2x; x * k n
14. 3tan2
x-16sen2
x+3 = 0
15. 11 +cos2x = 6(l-cosx)
16. cosx+cos2x+cos3x=3
%
17. Iog(senx) = l-senx
18. 2lanjt+C
O
U
;=4cos2 n
19. secxcscx=tanx+cotx
20. 4senxsen| | - x j s e n | í + x |= sen3x
21. tanx=senxsecx
22. Al resolver, senx + cos2x= 1; dé cpm o
resp u esta ia sum a de soluciones para
x e (0;2n).
A) n
D) 4n
B) 2n C) 3n
E) 5 |
23. Al resolver la ecuación
senx+sen2x+sen3x - 0
indique |x,-x2| siendo x, yx2las dos menores
soluciones positivas de la ecuación.
« i * !
D)
12
<=>!.
* . i
24. Para qué valor de x, en el segundo cuadrante,
se verifica la ecuación.
( n si ( n 'i
tan x + — tan x - — =
l 4.1 l 4 J
- 5t
t , 2n
a ) t b) y
D) y
C)
E)
3n
4
Un
12
25. Resuelva tan3x+cotx = tanx+cot3x.
Indique las tres primeras soluciones positivas.
7t 7
T 2n
6 ’ 3 ’T
D)
n 5n 7n
4 ’T ’T
7t.57t.5n n .3 n .5 n
BJ 3 ’ 4 ’ 6 C:) 4 ’ T ’ T
3n.5n 7n
T ’T ’T
E)

Lumbreras Editores Trigonometrí;
26. Indique el menor ángulo positivo que verifica
la ecuación.
X X X X
eos—+ cos —+ 3cos— + 3cos— = 0
4 5 10 20
A)
12 » s
o , f
C)
E)
20n
3
20rc
27. Halle la solución general de
3tan2x- 4tan3x = tan23xtan2x,donde k e Z
A) k n í árceos
B) kit ± árceos
y/Ó
.12 )
Vío^
C) kntarecos
V
' M '
D) 2kn ± arccosí —
u
E) kjr ±arccos| -
, 4
1}
28. Si tarur, tan3x, tan4x están en progresión
aritmética, halle la suma de valores de x en
el intervalo
< 4
N7
1
B ) 6 « i
, 2n _ 571
d) t e) t
29. Al resolver la ecuación
cos2
x+51 senx |cosx=3
indique el núm ero de soluciones si
x e (0;2n).
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
30. Halle una solución de
cos(x-a)cos(x-b) = sena senb+cosx cose
A) a-b-c
B) a+ b-c
C) a+ b+ c ,
D ) a+2b+c
E) 2 |a+ b + c|
31. Resuelva tanx+tan2x+tan3x = 0
Indique un conjunto solución, k e Z .
A)
D)
kn
2
krc
»T « 5
E) (2k + l 4
O
32. Resuelva
( 4n
cscx +c s c ( f + x ) + c s c ^ +x h 6 ; k e Z
A) f +H ) ‘ §
B> y + (_,)k6
. krc f ^
o t + H ) n
«V
il r
El — +(-l)
; 3 15
33. Al resolver la siguiente ecuación
(l +cos20)tanx = cos20tan2x; O <0<;
indique la sum a de las soluciones positivas
menores a una vuelta.
A) n
D) 4;t
B) 2rt C) 3n
E) 5rt
632

34. Calcule la mayor solución negativa de
18
tan* = tan! x + — Itanl x + - itanl x + ^f
9 J
« - I B , - f
D) -
5it
35. Resuelva la ecuación
a2 sen2x +a2-2
C) -
E) -
4n
T
17rt
36
1-tan x cos2x.
; donde k e Z .
A) krt±-árceos
2
<a2- 3 ^
a2+ l
B) 2kit±-árceos
a2-3
a +1
C) kit ± - are sen
2
a2+3 Y
D) 2kn±arcsen
E) kn ± arctan
^a2- 3 ^
a2+ 1
a ‘ -3
V
( _2
a +1
37. Resuelva tan22x = 3cosa
(x: variable; a constante)
A) — - - arctan >/3sen a
2 2
B) kit ± arctan V3eosa
C) kit-arctan %/3cosa
D) kit+ arctan%/3sena
E) — ± I arctan V3cosa
2 2
38. Dada la función f(x)=cosx+sen3x, halle el
núm ero de puntos de corte de la gráfica
de dicha función con el eje de abscisas
7t. n
en 2 '2 '
A) 3 B) 4 0 5
D )6 E )2
39. Calcule la sum a de soluciones de la siguiente
ecuación perteneciente al intervalo ^ 0 ;^
eos3x+ eos33 x+eos39x ^
cosx + cos3x + cos9x
36. ¿Qué relación debe existir entre a, b, c y d
para que la ecuación
a sen4
x+ ^ sen22x+c cos4x = d
4
admita soluciones reales?
A) a 2>4(ba + a c -a c -d c )
B) c2 >4(ac + ád + dc + bd)
C) b2> 4abc
D) a 2>4(ac +ad +dc + bd)
E) b2 >4(ac +ad +dc + bd)
A) 2n B) n
„ 27it
D) * f
40. Resuelva x^-Sx-l =0.
A) 2cos20° ; 2cos40° ; 2cos80°
B) ~ cos20° ; ^ eos 100° ; cos80°
C) cos20° ; cos40° ; cos80°
D) 2cos20° ; 2cosl00° ; 2cosl40°
E) cos220° ; cos240° ; cos280°
633

Lumbreras Editores T rigonometrí;
41. Calcule el núm ero de soluciones de la
ecuación
3sen2 x - - = 0 , en el intervalo de (0; —
3 2
46. Resuelva
A) 0
D) 3
B) 1 €) 2
E) 4
42. Encuentre el número de soluciones de la
43. Al resolver, la siguiente ecu ació n
trigonométrica
| esc5461- 2| esc4401- 4| csc401 + 8 = 0
indique la suma de soluciones en el intervalo
n _7n
3 ’ T
A) 18ji
D) 23h
B) 22n C) 21t
t
E) 24rt
44. Al resolver la siguiente ecuación
|jcj3=arc cos(cos2002x)
determine el número de soluciones.
A) 1963
D )1966
B) 1964 C) 1965
E) 1967
45. Halle la diferencia entre la solución principal
y la mayor solución negativa que verifica la
siguiente ecuación trigonométrica:
senxcosy = -
x +y = —
• 2
keZ.
A) jc = kn + —
....(2)
ecuación 3
3X= |cosx| ; jr€(-n;n)
n i
y = — kn
6
A) 1 B) 2 C) 3 -
C) x = kn + -
D) 4 E) 5 3
n i
y = --k rr
4
D) jr = 2kn + -
y = - -2 k n
6
47. Halle x del sistema (k sZ )
secx +secy = l
4n
x +y =—
3
A) 2kn +—+ —
3 3
C) (2k+1)«
D) 2kn + -
6
B) x - k n +—
6*
. ni
y = kn - —
■
' 31
E) x=4kn+-
57
1
y - ñ - *
B) kn ± ^ í
u
E) kn+ '
48. Resuelva e indique un conjunto solución para
ísenx = cos2y
[tan* = tan3y
senxsen| —- x = sen* + sen
-3 J 1
keZ.
A) kn +—
® f , c) T
4
C) kn±arctan
« T ® f
!
D) kn +—
12
T2
B) kn + í
<
3
E)
634

49. Siendox e y ángulos agudos, resuelva
¿ s e n ?x - s e n 2^ j = 0
tamx+sec2
y = 5
D)
. i7
1
CU 4 ; 3]
Í J t 2jtl
E) { t ’T i
50. AJ resolver
y = senx; -3 n < x< 5 n
(x - 2jtk)2+ y2 = Jt2; k e Z,
indique el número de paires ordenados que
cumplen dicho sistema.
A) 2
D) 5
B) 3 C) 4
E) 6
51. Resuelva el sistema de ecuaciones
x-y = a .... (1)
2(cos2*+cos2y) = l+4cos2(jr-y)
señale como respuesta x.
A) kit ± -árceos
2
/^l +4cos2a''
4 eos a
B) kit tareco s
l + 4cos2a '1
cosa
v y
C) 2kJt± arccos(l+ 4cos2a) +a; k e Z
D) kír±arctan(4cos2a + l)+ ^; k e Z
. . . 1 f l + 2cos2a l a . .
E) k n ± -arcco s ------------- + -; ke Z
J 4 1 4eos a ) 2
52. Resuelva
sen*
<0 ; keZ . .
A) ((4k + 3 )|;4 k jt
B) /(2k+l)jt;(4k+3)í
C) (2kjt;(4k+ l)=
D) /k7i;(4k + 3 ) |
E) {2kn;(2k + l)7t}--j^ + 2k7i
53. Resuelva la siguiente inecuación:
2 se n x -se cjr> 0 para x e (0;jt)
¡ tí tí
A) 4 : 2
. Jt 6 ji
D
)[ 7 : T ;
® ( H ( Í ) * ( &
¡tí 2n
E) s ; y )
54. Resuelva sen2x+semr >cos2x+cosx
siendo xe[0;Tr].
-y) .... (2) A)
N
- ; ke Z
C)(
: * r
2
D)
> 5
; ke Z
u
5n
T ;“
2ji '
— ;Jt i
3 /
3it
—
—;7t
B)
¡Tí 5 j t
E)W;T/
55. R esuelva la siguiente inecuación
trigonométrica: eos22x +eos2x <1
; si keZ .
A)
C)
it _2n
3 ’ 3
Jt ni 2jt
- + 2kjt; — +2kn
B)
Jt . 5tt .
—+k;t;— +kJt
6 6
/ Jt k jt 5 ji k n ¡ tí , 5 ji .
D> 6 * T ' T + t ) e j * k” ' T +k"
635

56. Halle el conjunto que cumple la siguiente
desigualdad sen4x > 4senxsen2xsen3x,
, , , 7
1 7
1
V x e ( — ; —
' 2 2
« ( - H M * !
D)
' 2 3
57. Halle el conjunto de valores para x que
cumple con la siguiente desigualdad:
sen2jr - sen3x > 0; para xe(-;t;7t).
^ 3 -1 r t
r- *
] r t 3tt
3jt
B) -n ;
C)
, 3n n
U ;0
5
C
J
n 3rt
5 ’I f
3;i 7
C
u [ o ;- ] u
3n
— ;n)
T ’~5_ L 5j L5 ’ /
A)
B)
C)
1 5n
arctan - ; —
2 4
¡3n . .
^ i — 2nr {n}
¿ i
1 3n 1 / 3n 7ji>
arctan - ; — u — ;-— i
. 2 4 J 2 4 / -
arc,anÍ5
D) ; arctan
■J2 5n / 5rt, 3n'
T ’ T , / T ’ T /
E) (0; 7t)u (n ;2rr)
59. D eterm ine el conjunto solución en e l
recorrido de >y ^ - siendo
ta n x -l + |cosx|> 0.
A) xe
371 3t
c
T ’T
I n r 3t
A
C) xe 0 ; í ) u n;-
3rt
D ) x e ( 0 ;^
E) ^ ( - y o W n i y
E)
3rc
~ T :n)
58. Sean C(x) = senx+1 senx
V(x) =
60. Resuelva si x e (0; 2t
t
)
sen 2 x -2
cos2x + 3 c o s x -l
•>0
ícosx; six e (0;jt) / 7t 5n ¡n 1It
x
Itt 5 jr|
|ta n x -l; sixe{7t;27i) A) 6 ’T / B) 6 ’ 6 C) 4 :t ) |
luego de resolver C(x) > V (x), el conjunto
solución será
' u 5n
D) ' 3 ’T
¡ti 3n

t é -
} ^ J ~ A
1 Z _ T e
38 r r
39 n r
40 H T
j e s © ® ? j 3
41 | C 51 I >
4
42 | C 52 i £
43 | B • 53 S B
44 | C 54 | E
45 !
I £ 55 | B
46 !
n r 56 ¡
I C
47 I A 57 !
! B
48 n r 58 ¡
[ A
49 I r. 59 l C
50 I D 60 I D
& -
.
1
r
fe 1

CAPÍTULO
I X
Números complejos en
el análisis trigonométrico
Sistemas no lineales
Gracias a los descubrimientos de la teoría del caos y la geometría fractal
(estudio de los sistemas no lineales) como la climatología, el crecimiento
poblacional que son también fractates, los científicos han podido comprender
y contribuir significativamente en la capacidad para modelar fenómenos
'naturales, imágenes digitales, la superactividad y otras aplicaciones
electrónicas.

EL APORTE DE R1EMANN A LA MATEMÁTICA
•
*
<
Fue indiscutiblemente uno de los hom bres que m arcoron el rumbo que
tom aría la m atem ático del siglo XX. Siendo muy ¡oven (1840) estudió las
obras de Euler y se cuenta que en m enos de uno sem ana dom inó el Tratado
sobre Teoría d e n ú m eros d e L ag ran g e. A los 19 años llegó a la Universidad
de G ottingen, siguiendo los deseos paternos decidió estudiar teologio y
hacerse pastor. Afortunadamente su vocación religiosa se vio pronto sustituido
por su atracción por la matemática. La presencio de Gauss hacia de Gottingen
el centro de la m atemática mundial; sin em bargo, Gauss resultaba inaccesible
para la mayoría de estudiantes, especialm ente los recién llegados, y Riemann
después de un año decide trasladarse a la Universidad de Berlín, donde
atrajo la atención de Dirichlet y Jacobi, dos años m ás tarde regresó a
Gottingen, donde obtuvo su grado de doctor en 1851. Durante los ocho
años siguientes soportó una pobreza debilitante y produjo sus mejores obras.
En 1854 fue nom brado P riv a td o z en l (sin solario), que en ese tiempo era un
paso necesario en la carrera académ ica. Gauss murió en 1855, y Dirichlet
fue llam ado a Gottingen para sucederle. Dirichlet ayudo a Riemonn al
prom ocionarlo com o profesor ayudante. A lo m uerte de Dirichlet, Riemann le sucedió en su puesto. Para
entonces su salud estaba ya destrozada, a los 39 años murió de tuberculosis en Italia.
Riemann
(Alemania, 1 8 2 6 - 1886)
Su prim era publicación fue su célebre
disertación d e 1851 sobre la te o ría g e n e r a l
d e fu n cio n es d e u n a v a ria b le co m p leja. Su
te o ría se b a s ó en lo q u e hoy lla m a m o s
ecuaciones de Cauchy - Riemann (que nos dan
condiciones necesarias para que una función
de v ariab le com pleja se a d iferen ciab le e
in teg rab le). Los m éto d o s g eo m étrico s d e
Riem ann en análisis com plejo constituyeron el
origen real d e la topología.
Los estudios de Riemann sobre los núm eros
com plejos le perm itiero n d ete rm in a r u n a
representación esférica d e dichos núm eros,
tam bién llam ada proyección e s te re o g rá fic a
que se puede explicar de la siguiente form a:
Seo P el plano complejo y considérese una esfera
unitaria (de radio uno) tangente a P e n Z = 0.
El diám etro NS es perpendicular a P y llam am os
a los puntos N y S los polos norte y sur. Para
cualquier punto A sobre P podem os constituir
una recta NA que corta en el punto A'. En este
caso, a cad a punto del plano com plejo P
corresponde uno y solam ente un punto de la
esfera, y podem os representar cualquier núm ero
co m p lejo p o r un p u n to so b re la e s fe ra .
Para term inar el punto N corresponde al punto
en el infinito del plano. El conjunto d e todos los
puntos en el plano, incluyendo el punto en él
infinito, recibe los nom bres d e p la n o co m p lejo
e n te ro , el p lan o e n te ro Z o el p la n o com plejo
ex ten d id o .
El m étodo explicado an terio rm en te para
aplicar el plano sobre la esfera se denom ina
p ro y e c c ió n e s te r e o g r á f ic a y la esfera es
llam ada e s fe ra d e R iem an n .
El m étodo de la proyección estereográfica es
utilizado para el m apeo d e los relieves o puntos
sobre superficies esféricas y proyectados sobre un
plano para el análisis respectivo, d e ello se vale
la cartografía y la aero n áu tica p ara analizar
superficies de planetas; relieves de astros, etc.

Números complejos en el ---- ——
/ análisis trigonométrico
OBJETIVOS
• Extender el análisis de los números reales al campo de los números complejos. —
• Sentar las bases para el estudio de las funciones de variable compleja.
• Comprender que el estudio de las funciones devariable compleja nos proporciona múltiples
aplicaciones en diferentes ramas de la ingeniería.
INTRODUCCIÓN
El estudio de los números reales nos ha permitido resolver problemas matemáticos de diversos
tipos. Sin embargo, en la resolución de dichos problemas han surgido a lo largo de la historia expresiones
que generaban interrogantes, tal como la igualdad x2+ 1 = 0, la cual obviamente no acepta valores
reales para x tal que se verifique.
Ante semejante problema era necesario crear un conjunto de números x donde x2 - - , es decir
x - ± V—
í ,y como se observa, dicho número no está contenido en el conjunto de los números reales,
por tanto, está contenido en otro al cual llamamos conjunto de núm eros complejos; donde -V
—
í lo
simbolizamos con / (inicia! de imaginario). Luego si x=i o x= -i la ecuación anterior se resuelve.
Entendemos entonces que los números complejos surgieron en matemática a fin de hacer posible
la raíz cuadrada de un número negativo, con la invención de este nuevo conjunto de números, ya no fue
necesario inventar nuevos números para que tuvieran raíces todas las demás ecuaciones algebraicas,
sean cuales fueran sus grados.
Cuando se inventa este nuevo conjunto de números no se imaginó la enorme importancia que
tendría en la resolución de problemas en diversos campos de la ciencia; así, se aplica en el ámbito de
la electricidad, la electróhica, la mecánica de fluidos, etc.
Si bien es cierto, el estudio de números complejos resulta novedoso, es importante estudiar
correctarnente la teoría, y conocer las aplicaciones de modo que nos familiaricemos con las operaciones
#y diversas propiedades que se cumplen en este campo, con ello podemos ir avanzando en el desarrollo
de los diversos Ítems que se presentan en este capítulo.
641

DEFINICIÓN DE NÚMERO COM PLEJO
Sea el conjunto C = {(x;y) / z - (x; y) donde x, y e R} cuyos elementos satisfacen las operaciones
0 Z,+Z2 =(x1;y,)+(x2;y2)= (x1+x2;y1+y2)
ü) Z,Z2^ x ,;y,)(x2;y2) = (x,x2-y,y2;x,y2+y,x2)
A cada elemento (x; y) del conjunto C se denomina número comfflejo y se denota por
Z = (x ;y)
parte real « I ^
------*parte imaginaria
Es decir x = Re(Z);y = Im(Z)
4
Ejemplos de los elementos del conjunto C
Z |=(2;3); Z2= (V3;ji); Z3
Veamos las operaciones en C
Dados Z,=(2;3) y Z2=(5;9)
entonces Z,+Z2=(2+5;3+9)=(7;12)
Z,.Z2-(2x5-3x9; 2x9+3x5)=(-17;33)
Representación Geométrica de los Números Complejos
Los números complejos pueden representarse por puntos de un plano. Un número complejo sej
representa gráficamente en un plano de números complejos (llamado también plano de Gauss
diagrama de Argand), el cual usa el eje horizontal (eje real) para ubicar la parte real; y el eje vertical para
ubicar la parte imaginaria (eje imaginario), de los números complejos. Entonces, el número compleja
Z=(x;y), puede representarse por un punto de abscisa x y ordenada y, observe la figura 9.3. Al punto
de la figura 9.1 se le denomina polo.
-
t
I
642

Definición
Sea a e R, entonces (a;0) = a o (a;0)=a
es decir el núm ero com plejo (a;0) le corresponde el núm ero real a; veam os su representación
geom étrica.
CAPÍTULO IX______________________________ Números complejos en el análisis trigonométrico
Eje
Imaginario
E¡e
Real
-2
I
1 2 3 n
I 1
6 8
1

(-2 ;0)
T 1
(i;0) (>c;0)
i
(8;0)
Figura 9-2
Definición Demostración
(0;l)=f, /e s llam ado la unidad imaginaria /2=(0;1).(0;1)=(0-1;0+0)=(-1;0)=
(/ = ^ T ) .-. /2= - 1
Teorema Teorema (form a binómica)
Vre R r(0;l)=(0;r) . Vx,ye R Z =(xy) =x+yi, .
donde i = V^í
Demostración
r(0; 1)=(r;0).(0; 1)=(0 - 0;r + 0) = (0;r) Demostración
.-. r(0;l)=(0;r) Z = (x;y) = (x;0) + (0;y)
Z = (x;0) + y(0;l)
Ejemplos
2(0;1)=(0;2)
Z =x +yi
-3(0;2) = (0;-6) .-. Z = (x;y) = x +yi
Teorema Ejemplos
¡2= - l , donde i =-J-í Z1=(2;3)=2+3/, Z2=(-2;4)=-2+4/
De la forma general de un número complejo (Z-x+ yi), siy=0 se tiene %=x, entonces Z sería solo
-un núm ero real (los núm eros reales son un caso particular de los núm eros com plejos).
Si x=0, se tiene Z=y/, entonces Z sería un número imaginario puro.
643

Ejemplo
Grafique en el plano complejo los números
Z, =3+2i ; Z2= - ^ 2 - 2/; Z3=5 ; Z4=-3i
-V2
A Eje Imaginario
Z f = 3 + 2 /= (3 ;2 )
Z3=5=(5;0)
O
(-V2;-2)=-V2-2/=¿j
(0;-3)=-3/=Z.
-2
-3
Eje Real
Figura 9.3
Resolución
• Z, =3 + 2i = (3;2)
. z2=-V 2 -2 / = ( - V2 ;-2)
• Z3=5 + 0/ = (5;0)
• Z4=0 -3/ = (0;—
3)
Forma Polar o Trigonom étrica de un
Número Complejo
Si P es un punto en el.plano com plejo
correspondiente al núm ero complejo (x; y) o
x+ iy entonces vemos que, según la figura 9.4, si
Z *0, por razones trigonométricas de un ángulo
en posición normal se tiene
X
eos 0 = —p
=
>x =rcosG
r
y
sen0 = - => y = rsenG
r
Luego;
si Z=x+iy
Reemplazando lo anterior
si x=rcos0
y= rsen0
Se tiene
Z=rcos0 +/rsenú,
• luego
' •
Z=r(cos0 +/sen0), es la forma polar
o trigonométrica del número complejo Z.
..... .......... ..............................................^
Donde
• r es llamado módulo del número complejo
Z=x+iy, y se le denota por modZ ó IZI, tal
que
r = !Z!= jx+/y! = y]x2+y2 r
La expresión cos0+/sen0 se puede escribir
abreviadamente como cis0 , esta forma de
abreviatura se lee como cis de 0
Ejemplos
jr . it . n
eo s—+ /sen —= cis —
3 3 l 3
n . n n . n
eos — /sen - = eos — +zsen —
4 4 { 4 J 4
n . n . n
eos— /sen —= cis —
4 4 l 4
• 0 es llam ado argum ento del núm ero
complejo
Z= x+iy y se le denota por arg(Z)
644

CAPÍTULO I X __________________________ Números complejos en el análisis trigonométrico
Nota _____________ . ____________ ;____________________ .
El argumento de un número complejo puede ser cualquier ángulo trigonométrico cuyo lado inicial se
encuentra en la parte positiva del eje real, el vértice se ubica en el polo, y el lado final está contenido en la
recta que une el polo con el punto que representa al número complejo.
arg(Z)=0 arg(Z)=0
Figura 9.5 •
í
Argumento Principal de un Número Complejo (Arg(z))
Si 0 es un argumento de Z que verifica
- ti < 0 < 7i ó 0 < 0 < 2n , entonces' e se denomina argumento principal de Z.
En consecuencia, un argumento cualquiera de Z será
arg(Z) = Arg(Z) + 2k7t; k= {...-1; 0; 1;...}
Ejemplo
Exprese en forma trigonométrica el número complejo Z = -1 -i
Resolución
Hallando el módulo de Z
r = |Z| = V (-l)2 + ( - l f = V2
3ti,
El argumento principal de Z puede ser ——(ver figura 9.6)
=> Arg(Z) = - ^ e <-7i;7t]
4
comoarg(Z)=Arg(Z)+2k jt; Ke Z
371 %
=>arg(Z) = ——+ 2Ktí; (conjunto general)
Finalmente, la forma polar de Z será Z = V2
3 n
e o s -----+ 2K7i + /s e n ------+ 2Kn
3it
; VKeZ
645

La forma polar de Zno es única, ya que
Si K = -1 =s Z= a
/2
Si K = 0 =>Z = >/2
Si K = 1=>Z = V2
cos| - - j - l+/sen| —
llTt
cosj - ^ j + /sen|^
V 4
_3rtV
4 J-
rsit'i . rsítV
eos — +/sen —
l 4 J l 4 1
Ejemplos
Exprese en su forma polar los números complejos
a) Z=sena + /cosa
b) Z=cosa - /sena
c) Z= - 4(cosa+/sena)
d) Z = l-sena+ /cosa ; 0 < a< —
2
Resolución
a) Notamos que Z no está en su forma polar,
recordando
sena = cos| - - a | y cosa =
=Sen( f - a)
1
fn 'l1 • 1
f n
= eos
r “ j
+/sen
H
b)
luego |Z|=1 y un argumento de Zes
Aquí Z tampoco está en su forma polar, por
identidad para arcos de la forma (- a), se
tiene la siguiente igualdad
Z = cosa - /s e n a
Z = c o s(-a) + /sen( - a)
ó Z = c o s(2 n -a) + /sen (2 rt-a)
luego IZl= 1 y un argumento de Z es (-a ) ó
(271- a).
c) Notamos que el coeficiente del núm ero
cosa +/sena es -4, entonces este no puede
ser módulo, por lo tanto
Z=4( -cosa - /sena )
=> Z=4[cos(7t + a) + /sen(jt + a)]
luego !Zl=4 y un argumento de Z es (n + a).
d) Cambiando a sena y sena por su co-razón,
luego aplicamos identidades de arco doble
Z=1 -cos| —- a |+/sen - - a
2 2
„ „ 2
1 a'] .,
Z=2sen 1
+ /2sen( —- —jeosf —- —
4 2 J l 4 2J l 4 2
Z=2sení —
- —
[4 2
f u a"! . ^ 7
1 a
s e n -------+ /c o s --------- ,
l 4 2 j [4 2)J
« K m H m M h I
. n n n a n
como 0 < a< —= > -< —+ —
2 4 4 2 2
es decir cosí —+ —I> 0;
l 4 2 j
luego IZl = 2cos
( M )
y un argumento de Z es | ^ ^
Forma Exponencial de un Número Comptc
En el año de 1749, LEONARDOEULERescrit*
un trabajo sobre los logaritmos de los númeraj
negativos e imaginemos. EULERadoptó como bas
de sus exponenciales y de sus logaritmos
número e, donde e = 2,718281... = lim f 1+ —1
n->
<
» n i
esta expresión simplifica grandemente las fórmuíi
y facilita las ideas.
fel punto de partida para la teoría de
exponencial y del logaritmo, según Euler, es
definición de la potencia ez, donde el exponeril
es z=x+iy.
646

P1TULOIX Números complejos en el análisis trigonométrico
Se define del cálculo que para todo número
1x, se tiene la serie infinita
x x 2 x 3 X4
- . e = l + x + — + — + — + ...
2! 3! 4!
La igualdad anterior significa que la suma de
_k>s n primeros términos del segundo miembro es
jfun valor aproxim ado para e* y que esa
j¡.aproximación se puede hacer tan precisa como
is e desee, al tomar n suficientemente grande.
¡,: Desde m ucho antes de Euler se conocían los
• desarrollos en serie de senx y cosy:
se n x = x -
x 3 + * 5 x 7
___L
3! + 5!
------ T
7!

-
x 6
2! 4! 6! +
E1desarrollo en serie de e*para x real sugiere
de modo evidente la definición de la exponencial ez,
donde Z=x + ¡y es un número complejo, basta
escribir
z , , Z2 Z3 Z4 Z"
e -1 + Z+ — + — + — + ...+— + ...
2! 3! 4! n!
En el caso particular en que Z=,/y es un
número imaginario puro, tomando en cuenta los
valores de las potencias sucesivas de /= V-í ,
reemplazando y agrupando los términos se tiene
z ! + / z ! + z ! A
2! 4! - 6! 8!'
cosy
+ í
3 5 7
y y y
y - — + -— — + ...
3! 5! 7!
seny
V /
=>ieiy= cosy + /seny j, (denpminada fórmula de
Euler)
De la forma polar de un número complejo
Z=r(cos0 + /sen0)
Aplicamos la fórmula de Euler, obtenemos que
(z = re*6),es la forma exponencial de un número
complejo donde r es módulo de Z y 0 es el
argumento de Z
Finalmente, como resumen se tiene
_Z = (x;y) =x+iy =r (eos 0 + i'senO) = r eie
Ejemplo 1
Exprese cada número en la forma x+iy
i+—
Z,=e“ , Z2= e in/3, Z3=e 2
Resolución
Z, = cosrt + iserm = -1 + 1(0) =>Z, = -1
„ 7
1 . 7
1 1 .y¡3
Z, = c o s - + rsen—= - + (—
3 3 2 2
Z3 = e.em/2 = ej cos^ + /sen^ |=> Z3= el
Ejemplo 2
Exprese en form a CcLrtesiana, forma polar y forma
exponencial el núm ero complejo (-1;V3)
Resolución
• Z = -1 +/3/ ... (forma cartesiána)
Además
Z= 2 - - +
1 S .
2 2
donde 0 : arg(Z)
Se observa que
Q 1 0 V3
2 2
2t
t
luego 0 = 2Kt
c
+ — ; Ke Z
Reemplazando
= IZl(cos0 + /'sen0)
Z = 2^cosj^2K7t + ^pj+/sen^2K7i + ^
(forma polar)
647

También
• Z = 2J 3 ' (forma exponencial)
Así podemos afirmar que
Z = (-l ;%/§)= 2^cos^2Kn + yj+ feen^2K ji+ g
2n
= 2e' 3f K e
, Ke Z
Números Complejos Conjugados
Dado el número complejo Z e C / Z = x + /yse
define el conjugado del número complejo Z
como (x - ¡y) y se denota Z tal que Z =x - iy
Nótese que Re(Z)= Re(Z) a Im(Z) = - I m (Z ); es
decir dos números complejos son conjugados
entre sí cuando sus partes reales son iguales y sus
partes imaginarias solo se diferencian en el signo.
Interpretando geométricamente los puntos que
representan los núm eros conjugados son
simétricos con respecto al eje real. Los módulos
de los núm eros com plejos conjugados son
iguales, es decir
lzi=lzl
y los argumentos se diferencian en el signo, es
decir Arg(Z)=-Arg(Z)
Si Z = x+íy=r(cos0+ ísen0)=r.e,e
Z = x-yi=r(cosB- /sen0)=r.e'16
Teorema
Si Z = x+iy a 1= x - iy =
> Z.Z = x^+y2
Demostración
«
Como
Z=x+yr a Z=x-yi
luego
Z.Z = {x+yi )(x-y¡)= x2-y¥
pero
i2= - l
por tanto
Z.Z = x2+y2
i*
*
De lo anterior se deduce Z.Z = IZI'
Ejemplo
Si
Z=3-s¡3i => Z = 3 + V3i
Por tanto
Z.Z=32.+(-V3)2 =12
Inverso Aditivo de un Número Complejo
Dado el núm ero com plejo Z=x:+y( S
define el inverso aditivo de Z como -Z tal qu
Z + (-Z) = 0
Ejemplo
* Si
Z=3 - 2i su inverso aditivo es -Z=-3+2(
• Si
Z= - sec0+ /'tan0
su inverso aditivo es,
-Z = sec0-/tan0

- : T : :---------------------- -
¡jr . : ■
_
jf~ ’• • _
. *» ' ''
IgA PÍtU LO IX Núméros complejos en el análisis trigonométrico
Representación gráfica del conjugado e inverso Demostración de 1
aditivo de un numero complejo r
Si Z = x+y/;
^ego jz = x - y i ...conjugado de Z
|-Z - - x - y i ...inverso aditivo de Z
Sea
Z=(x;y)=x+ry
donde
Z=(x;-y)=x-iy
De
Z=x-yi=x+(-y)i
se tiene
Z=x-(-y)/=x+y; = Z ,
Demostración de 2
Sean Z, = x, + iy¡ a Z2= x 2+ iy2
Sumando
Z,+Z2 = (x1+x2)+/(y1+y2)
=> Z,+Z2= (* ,+ x !)-/(y l+y2)
= X, -/y, + x2-/y2
Luego Z,+Z2 = Z, + Z2
De la figura 9.8 se observa que Z y Z son
simétricos con respecto al eje real; Z y -Z son
simétricos con respecto al polo.
Demostración de 3
Sean
Z,= x,+ry, a Z2 = x2+iy2
Propiedades de los conjugados de números
complejos. donde
1. Z = Z
... (El conjugado del conjugado de Z
es igual al mismo número Z).
2. Z¡ + Z, = Z| + Z2
3. Z,Z2 = Zj Z2
z 'T~
= =A ; si Z2* 0 '
7 -
5. Re(Z) = Z+Z Alm(Z) = ^ ¿
6. Z = Z W Z e R % ' /
, ... (es decir Z= xpr e R) (
7. (Z)m =(Z™) ; Vme Z+
Z,Z2=(x,+ry1
)(x2+/y2)
Z,Z2=x,x2-y,y2+ /(x,y2+ y,x2)
Z,Z2=x,x2-y,y2-/(x ,y 2+ y,x2)
Z,Z2=x,x2-y,y2-ix,y2-y,x2/
=x2(x ,-y ,/)-/y 2(x,-y,/)
=(xi-yiO(x2- y 2f)
Z,Z2= Zj z2
Demostración de 4
Como
Z,= Z,.l , ... ( a ) .
Si
Z2 * 0 se cumple Z2_
1 Z2= 1 ... ( Y)
649

Lumbreras Editores T rigonometrí;
reemplazando en y en a
Z, = Z1
(Z;'Z2)
Z, ’
Z, = ^ -Z 2
De la propiedad (3) ya demostrada
Z,=í|i]Z,
Multiplicamos por Z2"1
z, zr1=
Z
, i . z,
— 1 luego = =
Queda como ejercicio para el lector demostrar
las propiedades 5,6 y 7
Propiedades del Módulo de un Número
Complejo
1. IZl > 0; si Z * 0
2. IrZi = lr!!Zl; V reR
3. ¡Z
jZ
2
1
=¡Z
,||Z
21
4
Z,
Z2
5. |Z1= 1-ZÍ= |Z|
|?íi; SiZ2*0
|Z|| ?
6. IZÍ2.= Z.Z
7. Re (Z)s|Z¡ a Im(Z) < IZi
8. |Z1+ Z2|<|Z,| +|Z2f
Las demostraciones se indicarán solo para
algunas propiedades, y quedan como ejercicios
para el lector las demás.
Demostración de 3
Dado
Z1=|Z,|eeiAZ2 =|Z2|e“
donde
Z,.Z2 = ¡Z,le6i.|Z2je“
7 7 _ 7 [¡7- ¡p (a+0)i
I-¿
.<
2 .■
¿
«
j¡¡z<2'C
luego
, |Z,Z2 = ¡Z1[¡Z2
Demostración de 7
Dado
Z=x+>i
Re(Z)=x
ImCZ)=y,
Vx e y e R
Se cumple
y2>0 a x 2>0
Sumando x2e y2respectivamente
x2+y2> x2a x 2 +y2>y2
•Jx7+y2 >fx^ A^/x2+ y2 ^-^y2
^/x2+y2 >lxi>XA,/x2+ y2 > |y|>;y
=»IZi >Re(Z) a IZ¡ >Im(Z)
Demostración de 8
Considerando las propiedades anteriores
|Z,+Z2f =(Z,+Z2)(Z,+Z2)
|Z, +.Z2¡2= (Z, + Z2)(Z, + Z2)
|Z, + Z2!2= z,z, +Z2Z, + z,z2+ Z2Z2
4
jz, +Z
2
!2=|Z
,¡2+Z
2Z
,+Z,Z2+|Z2|2 ...(1) |
Sea
Z, ='Z, ee
i a Z, =|Zi!e'’

T IT U L O IX Números complejos en el análisis trigonom étrico
donde
|z
.l=
|z
¡l
«Además
!»' Z2=jZ2|e“¡AZ¡=!z2!e-ai
?donde
¡Z2| =|Z2|
Luego
Z1
Z2 =|Z,l¡Z¡!e(e-ct)i
donde |Z2| = ¡Z2¡
z2z;=|z2|¡z;¡e-<e-“)i
donde ¡Z,¡ = jZ,|
Z,Z2 + z2z; = |Zi;¡Z2¡(ece-o)i+e-(e-a,i)
Z,Z2+ Z2Z, = ¡Z,¡jZ2j(2cos(9-cO)
Z,Z2+Z2Z, =2 Z|||Z2!co s(6 -a) ... (2)
Pero
0 e R A a e R = s ( 0 - a ) e R
=> -1 < c o s(0 -a ) < 1
=* ^¡Z jÜ
ZjI< 2¡Z,||Z2!cos(0-'a) < 2Z,‘:Z2 ...(3)
Luego, extrayando la raíz cuadrada, obtenemos
|Z, + Z2| < |Z,| + |Z2|
Sean Z, y dos números complejos cuyas
formas polares son
Z^ícose^fsenO ,),
donde r,=|Z,j, 0,=arg(Z,)
Z2=r2(cos02+/sen02),
donde r2=|Zj|, 02=arg(Zj)
entonces
1. Z,Z2 =r,r2[cos(0, +62)+isen(0, +02)],
donde arg(Z,Z2 ) =arg(Z,)+arg(Z2)
2. —■= -[cos(G, - 02) +rsen(0, - 02)],
¿2
i -
donde arg
Demostración de 1
Como
Z, = r¡(cos0, + /sen©!)
arg(Z,)-arg(Zj)
Z,Z2 + Z2Z| < 2|Z||jZ2| ^
(sum ando en am bos lados de la desigualdad
lzil2 + lz 2|2)
|Z||2+|Z2|2 +Z,Z2 +Z2ZÍ < 2|Z,||Z2|+ |Z1[2+¡Z2|2
|Z| +z2
|2 < f¡Z,¡ +|Z2|)2
Z2 = r2(cos'02+ /sen02)
=> Z,Z2= r^Ccos©, + /sen9,)(cos02+ /sen02)
=>Z¡Z2=r1
r,^cos81
cose2- sen^sertfij+/(senA^osa, +cose,sene2)]
=>Z,Z2=rlr2[ cosf^+Sj) + /senf^+Qj)]
La demostración de 2 se deja como ejercicio
para el lector.
651

Ejemplos
1. Si Z, = 2(cos20° + ;sen20°) a Z2= 3(cosl0°+/senl0°)
Se tiene Z,Z2 = (2) (3) (cos(20°+10°) + /sen(20o+10°))
es decir Z, Z2 = 6(cos30° + /sen30°)
2. Si Z, =5(cos3o +/sen3 e ) a Z2 =2(cos Q+/sen 0 )
cAticno zi 5(cos30 + isen30) . Z, _■, O
A .
se tiene-í- = - —-----------------— es decir —
i-= 2,5(cos29 + isen28)
Z2 2 (cose + /sene) Z2 H
3. Si Z ^ c o s ^ + /se n —
„ 7
1 . 7
1
Z,=2| eo s-+ í sen—
>arg Z,Z2= arg Z, +arg Z2 = ^ + -
5 4
argZ,Z2=9
20
4. Si Z¡ = 3 i/2 ^ co s^ +/s e n ^ j
= 4
7t . 7t
e o s -+ i sen—
v 3 3
( 5 n tí f Sn
e o s -------- + / s e n ----------
V 6 3 J 1
, 6 3
= V6
7t . 71
eos—+ /sen —
2 2
Es decir —
L= N
/6i
Además arg— = argZ,-argZ2= — - —=>arg— = —
5 Z2 * 1 s 2 6 3 BZ2 2
Fórmula d e D’ Moivre
Sea nun entero positivo y Z=r(cos0 +7sene), ZeC, Z* 0, r=IZ| ,entonces Zn= rn[cos(n0) + /sen(n0;
Prueba
La demostración es por inducción matemática,
que consiste en suponer que la fórmula se cumple
para n = l, n=h, a partir de ello com pruebe que
se cumple el teorema para n = h + 1 •
Para n = l, se cumple Z=r(cos0 + /sen0)
• Pára n=h, suponga que se cumple
Zh=rh[cos(h0)+/sen(h0)]
• Para n = h + 1, debe cumplirse que
Zh+l= ríl+l[cos((h+ l)e)+/sen((h+l)e)] j
Veamos
En el paso 2 se tenía Zh=rh [cos(h6)+/sen(h0)J
652

CAPITULO IX Números complejos en el análisis trigonométrico
Multiplicando por Z
ZhZ= rh[cos(h0)+/sen(h6)J r(cos0 +/'ser6)
del primer paso
Zh+I = rhxr[cos(h0)+/sen(h0)](cQs0 + /serfi)
Zh+1 = rh+1[cos(h0 + 0)+/'sen(he+e)]
Zh+i _ rh+ltcos(h+l)0 +/sen(h+O 0]
Por lo tanto, la proposición
Z"= r"[cos(n9) + /sen(n0)] se cumple Vne Z+
Si
( 2n . 271^
Z = 2| eos — + /sen— |=*
Z®=26 eos
es decir Z6 = '64(cos47t + /sen4n)
irvaaona
La fórmula de D’Moivre es válida para cualquier
entero negativo n.
Si
„ ¡ - i 3t
c . 310,
Z= V7 eos— +/sen— |=>
r M V z f
es decir
cos(-4)f y j+ /sen (-4 )f
<SI
1 ( | -3n i . f —
371
Z = — | cos| —
-—|+/sen|
la exponencial compleja puede utilizarse para
definir las funciones trigonométricas de variable
compleja.
Sabiendo que
, e'e = cos0+/senÓ ... (1)
%
De la fórmula de Euler, tenemos
e,("0) = cos(-0) + /sen(-0)
=>e'i6= cos0-isen0 ...(2)
Sumando (1) y (2) se obtiene
e^+e"*8
COS0 —' n
2
Restando (1) y (2)
se obtiene sen0 ■
e* - e~*
2/
E xtendem os estas definiciones al cam po
complejo, es decir
, e^-e-*2 , eK+ e ^
senZ = -----------;cosZ = ------------
2/ 2
Las otras cuatro funciones trigonométricas,
definidas en términos de las funciones seno y
coseno serán
. , senZ , , cosZ
tanZ=— - , cotZ=—
cosZ senZ
secZ = —í— , cscZ=—í—
cosZ senZ
Ejemplo
sen/ =
e - e e - e
2i
Análogamente cosí =
2i
1+e2
i - - e
_ e___. 1 -e 2
2i 2ef
>seru
. 1 -e 2
2e 2ef
Aplicación
Siendo
Z = x + iy / vQ = /
demuestre que sen2Z + cos2Z = 1
Resolución
sen2Z+cos2Z
sen2Z+ cos2Z
e'7 - eH
7
2/
-«
2
ea +e"iZl
L • 2 .
> (e'7 +e-7)2
4
)2- ( e ^ - e -*
7)2
4e,7e~’
sen2Z+cos2Z= l
653

: - • —j
. i
■ - ................ _ , i
Todas las identidades trigonométricas conocidas para números reales, se cumplen también para números
complejos. Es decir, si Z; Z,y Z2son números complejos, podemos indicar algunos ejemplos de identidades
trigonorriétricas con números complejos
■tan2Z=
■sen2Z
cos2Z
• sen(Z, + Zj) = senZ,cosZ2 + cosZ,senZ2
. • sen2Z = 2senZcosZ
• 1+cot2Z = cscZ
• cos(Z¡ -Z 2) = cosZ,cosZ2 + senZ,senZ2 •
• cos2Z =cos2Z - sen2Z
senZ, +senZ2=2sen^Z' * Zz jcos^ -^ - j • sen3Z=3senZ-4sensZ
Aplicación
Demuestre que sen3Z = 3senZ - 4sen3Z siendo Z = x + iy
Resolución
sen3Z =
e32 - e-32 (e2 f - (e"2 f (e2 - e’2 Xe22 + e '22 + 1)
2t Ti Ti
„-Zí ’
N , ~Z| ~-Zi
e - e ' [e22 + e"22- 2e2e2 +3] = 6 " e
Ti Ti
( „Zz
e - e
Ti
(-4 )+ 3
sen3Z=senZ[-4sen2Z + 3]
sen3Z=3senZ - 4sen3Z
La Exponencial Compleja
Sea Z - x+iy, definimos ez=ex(cosy+í seny)
Propiedades de la Exponencial Compleja
: e® = cos9+tsen0
• le®l= I • ez *0
i. • e«, e«i = e «9i*«2) • ■ • SiZ =x+fy =^lezl= ex Aarg(ez) = y
J L = e ~* • e z .e ^ = e z* ^
e
£ÍÜL= e'(e>-92> - •
e®1 ez
fe*r=e® n, V neZ • e - pZ|-Zj
e 2*
• e®
> =e®* » 0 | = 02+2kn; k sZ • ez = l<=>Z = 2Kra ;K eZ
654

T IT U L O IX Números complejos en el análisis trigonométrico
ación entre la Fórmula de D’ Moivre y el Binomio de Newton
cosnx + /sennx=(cosx + ise n x f = £ C£(cosr)r>
~
k(/serur)k
k = 0
Donde
(cosx+/senx)nes el binomio de Newton
adem ás se conoce
c i ^ n!
k (n-k)!k!
Desarrollando el binomio
(cosx+isenx)" = eos" x + C" eos1
1
"*
1x(isenx) + C¡Jcosn‘2x(/senx)2+ CJ (eos*)"'3(/serur)3
+.... + C u íco s x)(/senx)‘>
~1+ C¡¡(í'senx)n
cosnx+/sennx = eos" x + t'C" eos""1xsenx - C!Jeos""2xsen2x -íC j eos"-3xsen3x
+.... + C¡¡_,(cosjir)(/senx')!>
~1+ C"(tsenx)n
Por igualdad de números complejos
cos(nx)= eos" x -C J eos"'2xsen2x + CJ eos"'4xsen4x - C¡?eos"'6xsen6x + ...
sen(nx)= C" eos""1xsenv - C? eos"-3xsen3x + C" eos"'5xsen5x + ...
=s tan(nx)= -
C" eos" ' x senx - CJ eos" 3xsen3x + Cj cos1
^ 5xsen5x +...
cosnx - Cj cosn~2xsen2x + CJ eos" 4xsen4x-C g eos" 6xsen6x +...
Adicionalmente
Dividiendo entre cosnx al numerador y denominador
tan(nx) - C "tanx-C 3tan3x + Cgtan5x - ..........
1- C£tan2x + CJtan4x -
Ejemplo
Degrade
a) cos6
x b) sen3
x
Resolución
a) cos6
x
como eos x=-
655

Lumbreras Editores
.cos6* = —(e“ +e-“ f
26
eos6x =— (efc +£
>
e
sue~b
c+15etoe ^ + 20eJ£re-te +1Se^e-4* + 6e“ e-to + e"6'*)
64 *
eos6x =— (e'6*+e~'6x+6(e'4jr + e-4" ) + 15(eí2x+ e-'2*) + 20e°)
64
. 1
cos6x = — (2cos6x + 6 (2cos4x)+15 (2cos2x) + 20)
64
s 1 c 3 . 15 . 5
eos x = — cos6x + — cos4x + — cos2x + -
32 16 32 16
b) senx = -
2i
>sen3x = —-—(e“ - e~“ )3
(2/)*
sen3x = — (e'3r - 3e,2xe-“ +3e“e ^ - e w
3*)
Si
sen3x = —
—(e,3r - e "1' - Se* + 3 e ^ )
Si
sen3x = — (e,3‘ - e i3x - 3(e“ - e “ ))
-8i
3 1
sen x = —
4 2;
e - e
2i
3 1 0 3
sen x = -— sen3x+ - senx
sen3,x = - sen x - - sen 3x
4 4
Ejemplo
Exprese en términos de cosx y senx
a) cos5x b) cos8x
Resolución
a) cos5x = eos5x - C, eos3xsen2x + C3 eos xsen4x (ver página anterior)
eos 5x = eos6x -10 eos3xsen2x + 5cos xsen4x
Adicionalmente
sen5x = Cf eos4xsenx - C3eos2xsen3x + Cf eos0xsensx (ve
sen5x = 5eos4xsenx -10 eos2xsen3x + sen5x
656

CAPÍTULO ¡X Números complejos en el análisis trigonométrico
Análogamente se puede obtener
b) cosSx = eos8*-C*cos6xsenJA-+CÍjeos4jesen4*
- Cl eos2xsenbx + Cf eos0xsen8*
cos8x —
eos8x - 28cos6xsen2x +70cos4xsen4x
- 28cos2xsen6x +sen8x
Lugar G eom étrico y R egiones
La parte real Re(Z),parte imaginaria I m(Z),
módulo | z | y argum ento Arg(z) son números
reales, donde z=x+¡y ; entonces se pueden
relacionar mediante una igualdad o desigualdad
con otras cantidades reales y representarlos en el
plano com plejo com o lugares geom étricos o
regiones donde se ubican los números complejos.
Ejemplo L
Ubique todos los números complejos cuya parte
real es igual a a.
Resoluc'ón
Los puntos pertenecientes a la recta vertical x= a
(véase figura 9.9), es el lugar geométrico donde
se ubican todos los números complejos cuya parte
real es igual a a.
Ejemplo 2
Grafique
Re(Z) = -2
v Resolución
Ejemplo 3
Represente todos los números complejos, tal que
su parte real sea mayor que a.
Resolución
La región som breada vista de la figura 9.11,
representa al conjunto de todos los núm eros
complejos, donde la parte real es mayor que a.
I m(Z) ) 1m(Z) ¡
x = a
> !
i
x=a'
¡ -i# * '
| V
j- 0 a ! Re(Z)
1Enesta región sombreada,
sin considerar la recta rr=a,
i se ubican todos los números
l complejos Z=jr+yi, que
1verifican Re(Z)>avx>a
O a
R e(Z)
N En esta recta, se ubican
todos los números com
plejos Z=x+yi, que satis
facen Re(Z)=a.v*=a
Figura 9.9 Figura 9.11
657

Ejemplo 4 Grafique Re(Z)>l
Resolución
Figura 9.12
Los puntos pertenecientes a la recta horizontal
y=b, es el lugar geométrico donde se ubican todos
los núm eros com plejos Z=x+yi cuya parte
imaginaria es igual a b
Es decir Im(Z)=b
Im(Z)j
b
i
/ y = b
0 Re(Z)
Figura 9.13
Ejemplo 5
Grafique Im(Z)=V2
Resolución
La región som breada incluyendo la recta
y= b, vista en la figura 9.15, representa el
conjunto de todos los núm eros com plejos
dónde la parte im aginaria es m enor o igual
que b.
En esta región sombreada, se ubican todos
los números complejos Z=jr+yi, ;
que satisfacen
I m (Z) sb vysb
• . .ji
Figura 9.15
■
‘j
Ejemplo 6
Grafique ,s
Im(Z) >-3
Resolución
C u alq u ier n ú m ero co m p lejo no nulo 2,
u b ic a d o en el lad o final d el án g u lo 0 |
m ostrado en la figura 9.17 tiene el argum ento
principal igual a 0 .
Figura 9.14

¡CAPÍTULO IX Números complejos en el análisis trigonométrico
Im (Z),
r
1 - Im(Z)<
0,
.0 0
_ 0,£Ar
Re(Z)
g(Z) < 0,
? "
1 En esta se
; todos los
1
u Z=x+iy, q
ij.
0
mirrecta s
aúmeros c
ue verific.
figur
Re(Z) F
ig
u
r
a9.19
Ejemplo 8
e ubican Grafique
romplejos *
in Arg (Z)=0 - - <Arg (Z )< -
a 9.17
Resolución
Ejemplo 7
Gra/ique
Arg(Z)= 5ji/4
Resolución
C u alq u ier núm -ero co m p lejo Z no nulo,
ubicado en la región som breada incluyendo
el lad o final d e 0, (v é a s e fig u ra 9.19),
cum ple que su argum ento principal es mayor
o igual a 0, , pero m enor que 02 , es decir:
0,<Arg(Z)<02
Sea Z0 (Fijo), entonces cualquier núm ero
complejo Z ubicado en la región sombreada de
la figura 9.21 verifica 0, < Arg(Z - Z0) < 02
659

Ejemplo 9
Grafique -S A rg (Z + 2 -i)< —
3 6
Resolución
|s A rg (Z -(-2 + i ) ) < ^
y ' ~ T T 6
Zo=-2+W-2;l)
Todos los números complejos Z=x+iy que se
ubiquen en la circunferencia de radio r, tienen el
módulo igual a r.
Es decir
Ejemplo 10
Grafique |ZI=3
Resolución
En esta circunferencia, se ubican todos los
números complejos Z cuyo módulo es |Z| =3.
Todos los números complejos que se ubiquen en
la región interna de la circunferencia de radio r
(vea figura 9.25) tienen el módulo menor que r.
Im(Z)/t
!Zl = r
•Jx2+y2 =r
x2+y2= r2
Graficando
■
i
Figura 9.25
En la región som breada se ubican todos los
núm eros com plejos Z que cum plen'
IZkr ó x2+y2< r2
Todos los números complejos Z, ubicados en !a^
parte externa de una circunferencia de radio r,
incluyendo la misma, tienen el módulo mayor o
igual a r.
660

h
.'W
ij
iwmnnv
ITULO IX Números complejos en el análisis trigonométrico
im(Z) A
t» Figura 9J6
i En la región som breada se ubican todos los
: números complejos Z.que verifican |Z| >r ó
Ejemplo 11
¡- Grafique IZl > I
Resolución
La gráfica de |Z - Z„| = r con Z0 fijo, es una
circunferencia con centro en y radio r.
Ejemplo 12
Grafique la curva representado por‘|Z+1 + /I = 2
R esolución |Z—
( —
1 - Q | = 2
z0- l;—
1)...Centroar»2
Figura 9J29
La gráfica de |Z - Zg| i r es un círculo incluido la
Ejemplo 13
Grafique (Z -2l <>/2
Resolución
j Z - (2+ 0i)| <72
Zg = (2;0)... centroy rW i
661

La gráfica de ¡Z- Z0|> r , es la región.’fuerade la
circunferencia, sin incluir la circunferencia con
centro en Z0(fijo) y radio r.
Ejemplo 14
Grafique el conjunto de números complejos tales
7 *•
Z — i
2
que
Resolución
¿2
Todos los números complejos Z ubicados en la
región sombreada (corona circular) de la figura
9.34, incluyendo la circunferencia de radio r,
tienen el módulo mayor o igual r, pero menor a r2.
Figura 9.34 Z=x+iy, que verifican
r,s jZ Icr,
Ejemplo 15
Grafique los núm eros com plejos tales qut
S< 7¡< 3
Resolución
Ejemplo 16
Grafique el conjunto de números complejos tale
que 1< IZ+ 2—
3/1< 3
Resolución
1< |Z- (-2 + 3/)| < 3
Z0= (-2;3) a r, = 1 a r2 = 3
662

problemas Resueltos
Problema 1
Exprese en la forma trigonométrica los números complejos
0 Z ,= -2 + 5i 70 Z2 = a+bi, sia< 0 A b<0
Resolución
0 Ubicando Z, en el plano complejo (Vea la figura 9.37(a) y 9-37(b})
z, = x + ry =>x = -2 a y=5
Cálculo de |Z,|
|Z,| = V(-2)2+52 = V29
Hallando el argumento principal y general
De la figura tanú= - 5
Por ecuaciones trigonométricas sabemos 9 = Krc+ arctan^-
9 = Kn - arelan^-J; Ke Z
n (5 7
como —< 9 < Jt (véase figura9.37(b)), entonces 0 = Jt- arctanl - I
Arg(Z,)=7[- arctan^| | a arg(Z,) = n - arctan j^ 2ret; n € Z
Finalmente la forma trigonométrica de Z„ considerando el argumento principal fes
Z, = V2§|eos J^it-arelan^ j +isenj^Tt - arctanj^
y considerando arg(Z,), tenemos
Z,=V29 eos (2n+l}n-arctanl +/sen (2n+ l)n - arctanl
fí ; n e Z
663

«) Como a y b son números negativos entonces Z2=a+ib se ubica como muestra ia figura 9.37 (c)
Hallando |Z2|
|Z2| = Va2+ b2
*
Hallando ArgfZj) y arg(Z2)
De la figura tan0 = - > 0
a
Por ecuaciones trigonométricas, sabem os 0 = Kn+ aretan Ke Z
Como
Tí "
ji < 0 < 3 - , (véase figura 9.37), entonces
. 0 = 7t+arctan^—^ (haciendo K = l)
ArgíZj) = 7t+ arctan^-j a argíZj) = ji+ arelan ^ j + 2nn ; ne Z
Finalmente la forma trigonométrica de Z2, considerando el argumento principal es
Zj = Va2+ b 2 jeos n+arctan^—jj+ isen|n + arctan^ j
y considerando arg^ ), tenemos
Z2 = Va2+ b2ícos
" 0 *
n+arctanl —|+2imJ+isenJn + arctan^J+2roi
b'l
Problema2
Exprese en forma polar él siguiente número complejo
Z = cos0 + /se n 0 -l ; si 2 < e < i t
; n e Z
Resolución
Z =-(1 - eos 0) + isen0
6 6 6
Z = -2 sen 2—+ ix 2sen - eos -
2 2 2
Z = 2sen
Z = 2 se n -
2
6
Z = 2 se n -
2
0 . 0
-se n - + rcos-
2 2
, 0 ) . ,
sen — +/cos
V -fi
agmpando
por identidades del arco doble
6
factorizando 2 sen -
2
por identidades sen(-x) = -sen* y cos(-x) = cosx
c o s ^ + ^ j + is e n ^ + ^ j por reducción al primer cuadrante
664

ITULO IX
2sen - es positivo, ya que
n 6 n
&■', 4 2 2
> /2< 2sen-< 2
2
3¡i * e
* 4 2 2
entonces la forma polar de Z, considerando
‘ - H ) .
orno argumento principal, será
Q
Z = 2 sen -
I- 2
, it 0 . ( n 0
eos —+ - + /sen - + -
1 2 2 ) {2 2
Z = 2sen
. rr 0
Arg(Z) = g + 2
Problema 3
Si
z =
5+5/
[l0 /3 +10/.
calcule Loi»
2(-Z)
Resolución
í 5(1+/)
Z =
lO(V3 + /)
1+/
2(V3 + /)
=> Z =
r r [ 7t . 71
V2 eos—
+/sen~
4 4
_ 71 . TC
2 x 2 co s-+ /sen -
Números complejos en el análisis trigonométrico
Z = 2-54x ^ ° = - 2 - M
1+ /0
luego 4
Z = -2”w => -Z = 2‘SI
Piden calcular
Log2(-Z)= Log2Í2'54)=-54 Log22= -54
v
n r
Log,(-Z) = -54
Problema 4
En la figura mostrada, se cumple |Z2 —
Z,j = 4
Exprese el producto (Z|Z2Z3) en su form a
cartesiana.
Resolución
De la figura
• Z, = a + 0/
• Z2= 0 + ai
Como |Z2 - Z,| = 4
=> |0+a/-(a+0/)| =4
Aplicando la fórmula de D’ Moivre => V(-a)2+ a2 = 4
V236 eos
K |+ /sen
K )
436
o
o
e
/>
+/senj
“íl
21
8[cos9r[ +/sen&7i]
272(cos6n +/sen6n]
=>V 2?=4
=>a2=8
=>a = ±2¡2
como a>0
a = 2¡2
665

R eem plazando a = 272 en la figura 9.38(a)
obtenemos la figura 9.38(b)
Figura 9.38
De la figura 9.38(b) tenemos que
• Para-Z,: |Z,| = 272 a Arg(Z,) = 0
^ Z l =2yl2en
• Para Z2: IZ^I = 2^2 a Arg(Zj) = í -
=>Zj=2V2e”v7
• Para Z3: IZ31= 2 + 2>/3 a Arg(Z3) = í
=>Z3 =(2 + 273 Je'"'4
Piden ^ Z jZj) en su forma cartesiana
=> (Z,Z2Z3) = (Zj) g j ) g s )
(Z,Z2Z3) = (272eí0)(272e,w )((2+2V3)eW4)
r~ í O+Í+7)
(Z,Z2Z3) = 8(2 + 2V3)et 2 *>
(Z,Z2Z3) = 16(l+V3)e'W
(Z,Z2Z3) = 16(1+ 73)
3re . 3n1
eos— + /sen —
4 4
2 2
(Z,Z2Z3) = 16(1+ 73)
.Z,Z2Z3 = -872(1+ 73)+ 8720 + 73)/
Problemas
Si
Z=2cose +/sen39, donde i = 7-1
además
|Z|2 + IZl = 6 a - < 0 < 5 -
2 6
Exprese en forma polar el número complejo L
Resolución
Hallando el módulo de Z, de la ecuación dada e
el problema
|Z|2+|Z] = 6 =>|Z|2+|Z| - 6 = 0
Factorizando => (|Z|+3)(|Z| - 2) = 0
=>IZl=-3 o |Z| = 2
Como IZl>0=>IZ¡ = 2 ...(1)
De la condición
Z= 2cos0 + isen30 =>IZl = !2cos0 +isen39l ...(2)
Reemplazando( 1)en(2)
2 = V(2cos0)2+ (sen30)2
4 = 4cos29+ sen230
4(1- eos20) = sen230
666

Por identidades fundamentales
4sen20 = sen239 ; pero sen38 = 3sen0 - 4sen30
=>4sen20 = sen20 [3-4sen20 f ; como ^ < 0 < 5 — , entonces
2 6
- < sen0 < 1
2
1
< sen20 < 1, entonces cancelamos sen20
sfn igualar a cero ya que sen20 * 0, obteniendo
4 = [3 - 4sen2o]"
=> ±2 = 3 -4 se n 20
=> sen20 = — ó sen20 = —
4 4
Como - < sen 0 < 1 se tiene sen 0 = -
4 4
=> sen0 = ± -
2
Como —< sen0 < 1 consideremos sen8 = - ; como — < 6 < —
2 2 2 6
Reemplazamos 0 = — ■en Z = 2cos0 + /sen38 , obteniendo
8 =
5n
Z = 2cos5- + /sen3Í— l = 2x—
^ + /x l
6 ( 6 J 2
Z = -sÍ3 +i = 2^eos— + /sen—
6 6
... forma polar de Z
Generalizando la forma polar de Z, obtenemos
Z = 2 cosj"— + 2rutl + /sení — + 2retl
6 J i 6 J
; ne Z
Problema 6
Calcule el argumepto principal y módulo del siguiente número complejo: Z= (1 +i)7~
í (-J2)
Resolución
Como 1 + i =V2e'*'4 y =(* 5 1
U J •
entonces-Z ^v^fe1
í^/4)7’!^
í-r
V2
(■s/2e"t/4 )[
„ . n ,,n rt ._n
= [e'n/4] = e 4 4 = e 4 x e 4
667

De la forma exponencial de un número complejo Z = re1
6 donde ;
IZI = r y Arg(Z) = 0, tenemos
Z= e 'Me"*/4=>IZl = e*/4 a Arg(Z) = —
4
Problema 7
De la siguiente identidad sen7a = Aeos6asena +Bcos4asen3a +Ceos2asen5a + Dsen7a
Calcule los coeficientes A, B, C y D «
Resolución 1
Del teorema de ©’Moivre, tenemos eos7a + /sen7a = (cosa +/sena)7 ...(*)
Para desarrollar (cosa + /sena)7 podemos utilizar el binomio de Nevvton o el triángulo de Pascal.
Para este problema haremos uso del triángulo de Pascal, para determinar los coeficientes del desarrolla
del binomio a la séptima. ■
; 1 1 ---------------(a+b)'= a +b ’
i Y 2j":--------- <a+b)2= a2+2a b+b2
• 1 3 3 1}---------- <a+b)3= a3+3a?b+3a b2+ b 3
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 i |
1 6 15 20 15 6 1 |
;1 7 21 3535 21 7* 1
1—(a+b)7= a7+7a6b+21a5bJ+35ab3+35a3b4
+21a2b5+7ab6+b?
Entonces en el segundo miembro de (*) tenemos í
' ,<
¡
cos7a +/'sen7ot = cos7a +7eos6a(/sena) + 2Icos5a(/sena)2+35cos4a(/sena)3 + 35eos3af/sena)^
+ 21cos2a(/sena)s +7cosa(/sena)6+(/sena)7
cos7a +ísen7a = cos7a + /7eos6asena - 21cos5asen2a - /35cos4asen3a + 35cos3asenla +
s■■ " » 1 / :.í
i
+ /2 Icos2asensa - 7cosasen6a - /sen7a
Agrupando la parte real e imaginaria, obtenemos
• ' ’ ' • |
cos7a +/sen7a = cos7a - 21cos5asen2
a + 35 eos3asen4a - 7eos asen6a + j
+ /[-sen7a + 2lcos2asen5a - 35cos4asen3a +7cos6asena]
Igualando parte real y parte imaginaria, de ambos miembros tenemos
cos7a = cos7a-2 1 co s5asen2a + 35cos3asen 4a -7 c o sa se n 6a ‘
i
senüa =-sen7ext 21eos asen5a -3 5 c o s4asen3a + 7cos6asena — ._____
=> sen7a = 7cos6asena + (-35)cos4asen3a + 21cos2asen5a + (-l)sen7a ...(1)
668

p - . . . . . . . . . . . . . . . .
CAPÍTULO IX Números complejos en el análisis trigonométrico
De la identidad del problema
sen7a = Acos6ccsena + 13cos4asen3cc+ Ccos2asen 5ct+ Dsen7a ...(2)
De (1) a (2): A=7; B=-35; C=21;D=-1
Problema 8
Represente en el plano complejo los números Z=x+iy que verifiquen — ■
5 IZl < 1 a í < Arg(Z + /) < ^
Resolución
a) La gráfica de - y ^ IZl < 1 b) La gráfica de —^ Arg(Z +i)< —
Si intersectamos las regiones obtenidas en (a) y (b) obtendremos la región pedida.
Problema 9
Indique las regiones que se definen en el plano de Gauss m ediante las relaciones siguientes:
(Z = *+ />;/= n
£ Í ) , . .
a) I z l s l a |lm(Z)|>|Re(Z)|2 b) |Re(Z)||Im(Z)|> 1 a IZl < 2 c) |ez2| < 1
669

Lumbreras Editores TrigonometrÉ
Resolución
a) IZl< 1a |lm(Z)| > [Re(Z)|
¡Z!2 < lA |y |> |x |2
x 2+y2< lA |y |> x 2'
La región obtenida en ei plano complejo,
será la intersección de las regiones
obteñidas en la figura 9.40(a) y figura 9.40(b)
Graficando las relaciones anteriores en el plano de Gauss
Figura 9.40
b) |Re(Z)||lm(Z)| > 1 a |Z |< 2
lx l|y | > 1 a |Z |2 < 4
|x y | > 1 a X 2+ y 2 < 4
Graficando las relaciones anteriores:
Im(Z)
lAt
0
Im(Z)i i
2
-^ERe(Z)
-2» 0

i
(a)
-2
Im(Z)
fAi
¡,j 2
/
Re(Z)
— ►
, ' 1
/ /
/ ✓
l
O
' A
t
Reí
El recinto requerido en el plano complejo,
será la intersección de las regiones
obtenidas en la figura 9.41 (a) y figura 9.41 (b)

s
V
"C.__
* : R e ( 2
* i
(b)
Figura 9.41

(c)

TULO IX Núm eros complejos en el análisis trigonométrico
Para obtener la región pedida se tiene que
buscar una relación entre x e y, para ello
Por condición
lez2|<l=s>e*2' >
’
J <1
planteamos:
Como Z = x + ry => Z2'= x 2- y2+ i2xy =>x2- y 2<0
=>ez2 i2x* =*(x + y )(x -
=*e2i = e’*-y2e l2xyi =>x + y> 0 a
i Z2I x * - J
=» le I= e y
<
Y
A
w
It
i) 4&n(Z)

O
Alm(Z) /
✓
/
R e (Z ) Re(Z)
Intersectando
(a)
De las figuras 9.42(a) y 9.42(b) se obtienen
Im(Z)
«)
AIm(Z)
O Re(Z)
✓
Intersectando
(b)
s
✓
o r 7 (z )
Im(Z)
n Re(Z)

N
(c) (d)
Uniendo las regiones de las figuras 9.42(c) y 9.42(d), se obtiene la región pedida. Para ello observe
el gráfico de la figura 9.42(e)
(e)
Figura 9.42
671

Problema10
Determine el conjunto de los números complejos
correspondientes a la región R, representado en
la figura 9.43(a).
Resolución
La región R puede estar determ inada, para
un Z = x +¡y, m e d ia n te las sig u ie n te s
relaciones
a) l< [Z -(r 3+5/)|<2
Z0 =(-3;5)
b) Re(Z)>-3
-3
!m(Z)n
O Re(Z)
(c)
Si interceptamos lo obtenido en a y b, se logn
obtener la reglón R, en consecuencia R »
puede representar por el conjunto
R = {Z eC /i< IZ + 3 -5 ílS 2 a R e(Z)>-3}
Otra form a de o b ten er la región I
representado como un conjunto de número
com plejos es intersectando las regione
obtenidas en a) y c) si
0<A rg(Z+3)<-
0 < Arg(Z - (-3+00) <7
V
. Re(Z)
(d)
Figura 9.43
Intersectando a) y c), obtenem os la región i
entonces
R = Ze C /1 < IZ+ 3 - 5í'l < 2 a 0<Arg(Z + 3)< ’
672

Problema 11
Utilice la Teoría de Números Complejos para hallar la? siguientes sumas
a) 1 + cosjc+ c o s 2x + ... + cosra
b) senx + 2sen2x + 3sen3x + ... + nsenra
c) -s e ra + -í-sen2r + isen&r + ...
J 2 4. 8
CAPÍTULO IX______________ ________________ Números complejos en el análisis trigonométrico
Resolución
a) Para hallar la sum a de términos consideramos otra suma de la forma
r'M = /sera + /sen2x + ;'sen3x + ... + /serna
N = l+ cosjr + cos2x + cos3x+ — + cosra_________________
N+ /M= 1+ cosa + /sera + cos2x+/sen2x + cos3x + /sen3x + ... + cosra +/sema;
N+ /M = l+ e“ * + eí2x + ei3x + ... + e™
Sea e“ =a
Considerando
l + a + a2+ a3+...+ a" =-
1
a - 1
Luego
N +/M = 1+ e * +(e“ )2+(e u)3+(e * )4+ ... + (e“ )n
N+ /M = l + a + a2+a3+a4+... + an
(e“ )n+l - 1
N + /M =i
e“ - 1
C)
¿r(n+1)
(e“ )n+l - 1 e
N + /M= elX ]
Por definición
¿y(n-H) -ty(n+l)
e 2 - e. 2
ix ix
p2 _ p 2
ty(n+l) -¿r(ri+l)
sen
f e 2 - e 2
1 2 J" 2/
Reemplazando
,2/sen
N+ /M=*
*(n + l)
,2fsen|
/xC n+l) x )
i'l 2 ~2J
Finalmente prodemos concluir que
1+cosx +cos2rr+cos3r+..,+cosnx =
, , nrr
sen(n+l)—
eos—
------------4 . _- Á
x
sen*+sen2x+sen3x+... +senru: =
, , x nx
sen(n+l)-rsen—
------------ 4 . 4 •
x
se n -
2
673

b) Sean * . j
A= cosjr+2cos2x-+3cos3y+ .... + ncosav
/B=/senx+/2sen2x+/3sen3x+... + rusenrur . - ‘i
A+íB=(cosx+/'senx)+2(cos2jr+/sen2jf)+3(cos3x+/sen3x) + ... +n(cosnx+isenx)
=e“ +2e,2x+3e'3r+ ... + neím
r
SeaZ = e“ ,
entonces
A + iB = Z+ 2Z2+3Z3+ ...+nZ" ...(1) . j
=
*
> Z(A + iB)= Z2+ 2Z3+ 3Z4 + .,.+ nZn+1 ...(2)
Lumbreras Editores Trigonometría!
Restando (1) y (2)
A+/B - Z(A+/B) = Z+Z2+Z3+ ... + Zn-n Z ntl
(A+/B)(l-Z)=
(A+/B)(l-Z)=
Z -Z "
- nZ"
1-Z
Z -Z "+l-n Z n+l + nZ"+2
1 -Z
Reemplazando Z = e“ tenemos
A+/B= efc-(n + l)[e fcr 14-n[¿fcr
A+/B =
(1 - e “ )2
e“ -(n + Í)e í(lw+Jc)+ñe'(,ur+2x)
(1 - e“ )2
Pero
(1 - e“r)2=(l-cosx-rsenx)2 =
( l - e * ) 2=
2sen2—- í2sen—eos—
2sen—
f sen—- ic o s —
2{ 2 2
2sen ^ cos|^^ - -í j - is e n ^ -
( l - e ur)2= 4sen2^-(cos(7t - x) - /sen(n-x)) = 4sen2^ (- eos x - /sen*)
(1 - e “ )2= -4 sen 2^ (co sx + isenx) = -4 sen 2^ e “
674

CAPÍTULO IX________________________ Núm eros complejos en el análisis trigonométrico
. , ,D e“ -(n + l)e '(mr+x)+ne'(rur+2jr)
A + íB=-------------------- - r - ----------
í -4sen2—je“
A + fC- (e* - (n +1 )e,(ru+-
>
r)+ ne'(w ~
2jr))
í-4 sen 2^ l e “ (é '“ )
. _ ? - (n + l)e'(lvt)+ne'(,“ +jr)
A + /B= -------- ------------- r------------
|-4sen2 je^
A ^ .D (n + 1)e'(rut)- ne'(iur+j:) -1 -
A + iB=--------------------------------
4sen2—
2
A J
-E_ (n+l)[cosruf+/senny] -n[cos(nr+jr)+/sen(nr+.r j[-l
4sen2—
2
A + ;E_ (n+l)cosny+/(n+l)senny - ncos(nr+x) - / nsen(nr +x)-l
4sen2—
2
A + /B=
(n+l)cosnx -n c o s(n + l)r - l + /[(n + l)sg m r t
- nsen(n+1)rl
4sen2—
A + fB -^n + ^ cosnx ~ n cos(n ~H)y ~ 1+ i í(n■+1)sennr - nsen(n +1>r]
4sen2*
4sen
2X
A _(n+l)cosnx: -ncos(n+ l> r - 1
a B =
(n+l)sennc -nsen(n+ l)x
4sen'
i x
Finalmente podemos concluir que
cosx+2cos2x+3cos3x-+ ... + ncosrw
(n+ l)cosnx - ncos(n+ l)jr -1
4sen2—
2
senx+2sen2x+3sen3r+ ... + nsennr =
(n+l)sennjc -n sen (n + l)x •
4sen2—
2
675

Lumbreras Editores
c) Sean
■
.■
i
A =-cosx+-cos2x+-cos3x’+ .... + — cosnx
2 4 8 2
/B=/-senx+/isen2x+/-sen3x+ ... + /— senm
2 4 8 2
>A+/T5=A(cosx+fserurJ+A(cos2x+/sen2x)+A(cos3x'+/sen3x) + ... + I(cosnx+ísennx);
i
1 ¿
x, 1 i2x . 1 i3x .
=-e +-e +-e +.... + —e™
2 4 8 2n
Sea A
e“ = z =
> Ae,2í=Z2 ; Ae-
2 4 8
=>a+/b=z+z2+z3
+ ... + Zn
•
. ,, Z-Zn
+
1
A + iB==—=—
1-Z
Reemplazando Z = - e u tenemos
A+/B=
l e " -1f i e - ]
n+l
1
2 1
L a U l
, 1 ir
' - 2 *
1
_ p- ___ I_„i(nr+r)
oc 9n+lc
A+ /B=—
------ é-------------
1
1 - - e “
2
A + /B=
1 ir _ 1 i(n
r+
x
)
2 2"+
1 ' - V
M 1- r ' u
A + /B=
ipir__!_p'(nr+r)_2p
O i 1 p'(nr)
_ 2 2n+l 4 2n+2
1- - e 1
* - - e '“ + - e
2 2 4
A + /B=
A[cosx+iseru-]-^Ij-[cos(nr+x)+ísen(rur+x)]-A +
^
~
^
-[cosr«:+
/sennx]
, _ i ( e - +e^ ) + A
676

CAPITULO IX Núm eros complejos en el análisis trigonométrico
A +/B=
1 1 , ,,, 1 1 .
-e o s * -------rCos(n+l)x + — cosnx — +r
-) 2n+l 2 1 4
^ senx - sen(n+ 1)x
A+ /B=
|- |( 2 c o s x )
|c o s x -^ c o s C n + O jc + ^ c o s i u v - i i ^ s e r u f - ^ Tse n (n + l)x + ^ í?
_ + 5- ; “
5
— eos X
4
senn*
5
- - e o s *
4
c o s x - - ^ rcos(n+l)x + - ¿ jC ° s n v - ]
2 -------------------2 ------------ -----------------------2 _ ----------- ------------— a B =
5
— c o s a :
1 1 , 1
-sen x - - —7 sen(n+ 1}x+— ^
2 y * 1 2 2
1
sennx
5
- - C O S *
4
Como n es muy grande (n -H»), obtendremos que
*
^ sen* - Osen(n+1)*+0sen*
-
Aj
~ eos x - 0 cos(n+ l)x
5
----- COSX
4
+ 0 c o s n x -- -senx-O ser
----------------i A B, = ------------ g -
-“-e o s*
4
. 2 c o s* -l
Ai —
- —
5 -4 co s*
D 2sen*
A D i = --------------------
5 -4 co sx
Finalmente podem os concluir que
1 1 _ 1 „ 1 2 c o s x -l
-c o s x +-co s2 x + -co s3 x +...+— cosnx + ... = -------------
2 4 8 2" 5 -4 co sx
1 1 „ 1 „ 1 2senx
-sen x + - sen2x + - sen3x + ...+ — eos nx +... = ------------ -
2 4 8 2 5 -4 co sx
A partir del problema anterior, podemos resolver los siguientes ejemplos
1. 1+ eos 10o+ cos20°+ cos30°+ ........ + cos80°=
, Q ,-/io .°) ( o10°
sen(8 +1)1 — Icos! 8—
sen-
10°
eos40°
=> l+ co sl0 0+cos2€0+cos30°+........ +cos80°= ^
V2sen5°
1 1 1 1 2sen2°
2 - sen 2o+ - sen 4o+- sen 6o+— sen8°+.........= -------------
2 4 8 16 5 -4 co s2 °
677

Problema 12
D em uestre que el conjugado del núm ero
com plejo (e'“- l) es (e"'“- l) , considerando
a e R
Resolución
Sea
Z = e'“ - 1
por definición de la exponencial compleja
Si definimos al conjugado de Z
=>Z = cosa + /sena -1
=> Z = cosa -1 +/sena
z = co sa-1 -/sen a
=>z = cosa - /sena—1
Z = e4a - 1
Problema 13
Utilizando las raíces de la ecuación
x2" - 1 = 0 ...(i)
halle las siguientes productorias
' v rr1 Kn: .
a) U s e n —
k=i 2n
, , "ñ1 Kn
b) Ileo s —
K
*1 2n
, t í Kn
c) lls e n —
k=i n
d) fí sen
Kn
2m +l
Kn
e) II eos
k- i 2m +l
678
Resolución
De la ecuación: x2" = 1 .............(*);
como
1 = e2k:° ; K eZ -
x =e
—p 2n
ikn
=> x = e n ;
donde K=0;1; 2; 3;...; n-1; n;. n+1; ...; 2n-l
Las raíces de la ecuación (*) tienen la forma
fluí
Determinando l^s (2n) raíces de la ecuación (*)
¡o .
x n=e =1
13
O
O
t
3 ,.
7=1
De lo anterior, se observa que la ecuación (*) tiene;
2n raíces de las cuales dos son reales (1 y -1) y
las (2n-2) restantes son núm eros complejos;
donde (n-1) de estas son parejas conjugadas de
las otras; así por ejemplo
* 2 n -I= * l i * 2 n -2 = *2 i ............ < * n + l = *n-l

VPITULO IX Números complejos en el análisis trigonométrico
Luego X in - 1 = (x-X0)(x-X,)(x-X2 (x-X„_,)(X-Xn)(x-Xn+,).......U ^ n ^ K ^ -^ n -l)
X2n-1 = (x-l)Cx-Xj)(x-X2).......(x-X ^X x+lX x-X n-l).......(X-X2)(x-Xl)
Ordenando los factores
x2n-1 = (x2- 1)ñ (x - xK)Cx- xK)
n-1
X 2n - 1= (.X 2 - 1)J l( x 2 - (X K + X K )x +XKX K )
como xK = e n a x k = e
ikn -ikn
=o n — Kk —
►
X^ + -X
"
k = 2eos--- A X £ = 1
n
n - f
Entonces x 2n -1 = (x2 -1) f l í x2 - 2cos— x +1
„2n
1 tí/"
X -1 K -
= n i x2 - 2 cos— x + 1
>
n-1 W
’
T
T
Hallando la parte (a): tisen—
k=i 2n
x 2n- l
Si hacemos x= 1 en e! recuadro anterior, en el límite el valor real de —5—- es n
x -1
, . x2n- l 2nx2n~' 2n(l)2
[>
' 1
es decir Lim— —- = Lim—r-----= —rrf:— = n
jt
->i x - 1 x-»l 2x 2(1)
n = fí'í l2 - 2 cos— x l+1
k=H n
=* n = f l í 2 - 2 cos—
M n
n-1
n
=>. n = f l 2 l- c o s — ; pero 1-c o s — = 2serr
2n
t í 02 2 K jt
=> n = II 2 sen —
k=i 2n
=» n = 22(n_l) í l sen2—
k=i 2n
2ÍI>
_
1
) f f sen—
k=i 2n
-i2
, n-1
=
>yfñ = 2n 1n sen—
k=i 2 n
t í Kn Vñ
11 sen— = — r
k=i 2n 2
679

kn
Hallando la parte (b): k
0 ,cos! 2n
Análogamente al caso anterior ahora si hacem os x= - en el límite, el valor real de
r n~ 1
x2- l
también es n ya que Lim
'-1
= Lim
2nr2 2n(—
l)2'1
'
*-»-l X -1 2x 2(-l)
-=n
>n= i í f (-1)2- 2cos— (-1) + 1
K=ll
n-1( r—
= > n = n 2+.2cos—
M n
n-l
n „| , Kit-! , Kit „ 2Kit
>n=112 1+ cos— ; pero 1+eos— = 2cos
K
=1 n 2n
rr102 2 Kit
=> n = Il 2 eos —
k=i 2n
►
n=22(n_l) n eos2—
k=i 2n
n-l krw
2 ^ n eos—
k- i 2n
n-l Kit
>r/ñ=2n-1 Í1 cos-
K=I 2n
Kit Vñ
. 11 eos = — t
K
=1 2n 2""'
De donde se concluye:
sen
2n 3it 4n
— sen—-sen— sen— ... se n (n -l)^ - =
2n 2n 2n 2n
4it
2n nn-1
it 2n 3it 4n , ... it -Jñ . ril
eos— eos— eos— eos— ... co s(n -l)— = — - , V neZ - t i l
2n 2n 2n 2n 2n 2
n-l Irrr
Hallando la parte (c ): sen—
k=i n
Para (c)
t í Kit Kit Kit
• U s e n — =112sen— eos —
k=i 2n 2n
K
=1 n
0 6
utilizando la identidad sen0 = 2 se n -c o s-
2 2
. n-l Kit n-l Kit
2"~‘n sen — f l eos— por(a) y (b) obtenemos
»c=i 2nK=i 2n
= 2"
Vñ Vñ n
.-.lls e n —- = .
k=i n 2
Desarrollando la produeforia, obtenemos
it 2it 3it , ..n
sen—sen— sen — ... sen (n -l)—= r; Vne Z+-{1}

PITULO IX Números complejos en el análisis trigonométrico
ir Haciendo que n sea impar, es decir n= 2m + 1 ; m e Z*
| entonces n-1 =2m; y reemplazando en el último recuadro obtenemos
ü •
t sen n se n 2n... sen (m-1) n sen m n sen (m +l)jx sen (m+2) rt-s e n (2m -l) n sen 2nm_ 2m +l
2m + l 2m +l 2m +l 2m +l 2m +1
J
2m + l 2m +l 2m +l
r>2m
suplementarios
suplementarios
suplementarios
suplementarios
Com o ios senos de dos ángulos suplem entarios son iguales (Si a + p = n =*sena = sen3)
entonces
n 2irm 2iz (2m-l)n mrt (m+l>t
sen-------r= sen -------: ; sen--------=sen------------ ; s e n -------:=sen-
2m +l 2m +l
reemplazando se tiene
2m + l 2m +l 2m +l 2m +l
2 n > 2n i nu 2m + l
sen --------sen -------: ... sen
sen-
2m +l 2m +l
2n
n
-sen
2m +l 22m
2m + 1
n
sen-----—sen-
2m +l
.. sen--------
2m +l. 2^m
2n mn /2m + 1
2m +l 2m +l
... sen-
2m +l 2"
jt 2n 3n . mn V 2m +1 _
sen ------ : se n ------ : s e n ------ ; ... se n ------ ; = ----—— ; V m eZ
2m +l 2m +l 2m +l 2m +l
o también, utilizando el sfmbol& n (productoria) tenemos
i l sen
Kn V2m+1 ¡
k=i 2 m + 1
681

Lumbreras Editores T rigonometrú
Para (e)
Como
. it 2it 3rc 4n 5 n 6n
sen-:------rsen-------- sen ------- : sen -------- sen -------- sen-
2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l
, sen-
miu v2m + ]
2m + l . 2"
- 2m7t' 27t (2m-2)7i 4t
x (2m-4)7t 67t
se n -------rsen--------sen --------------sen ---------sen --------------sen-
V2m+ 1
2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m +l
2t
t 47t 67: (2m - 4)7
i (2 m - 2 ) rt 2m 7
t
s e n --------sen -------- sen ---------... sen ---------------sen --------------sen-
2m
V2m + 1
2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2 m + 1 2m +1
„ 7t ti „ 2ti 2jt „ 3ti 37t _ nrm m7t V 2 m + 1
2sen-------reos-------: 2sen-------: cos-------:2sen-------:cos------- ... 2sen--------cos-
2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l 2m + l
„m 7
E 271 371 IT17I 71 271 371 1X
171 n
/2 iti +1
2 sen --------sen--------- sen—------...se n ----------eos---------eo s— — eos---------... cos-
2m + l 2m + l 2m + l
yptC ¿ 2 rtí+
2m + l 2m + l 2m + l 2m + l
371
2m + l
Ji 2n
eo s--------eo s---------cos-
rrm _ J2 rrí+ 'i
2m + l 2m + l 2m + l 2m + l
4
Jt 27: 3ti m rt 1 ^ _ +
eo s-------rcos^-----reos-------: ... e o s-------: = — Vm e Z
2m + l 2m + l 2m +1 2m + l 2"
o también ri K * 1
11 e o s-------- = —
k- i 2m + 1 2
Teniendo en cuenta el desarrollo de este problema, podemos plantear los ejemplos siguientes
. 7t 27t 3ít 4Tt 71 271 37t 7t
• A = sen — sen— sen — sen — = sen — sen — sen — s e n (5 -l)-----
10 10 10 10 10 10 10 . 2(5)
=>A - 4 , / .A =—
25-1 16
_ n 27t 3rc • 4ti 5t
i t
e 2k 3t
t 4t
: . . ti
• B = cos— eos— eo s— eos— eos — = eos— eos— eos— eos— cos(6 -1 ) — —
12 12 12 12 12 12 12 12 12 2(6)
A
26-' 32
_ n 2n 3n 4n 5t
t 6t
c tí 2k 3t
c 4n 571 (7-1)t
c
• C = s e n -s e n — sen — sen — sen — sen — = sen —sen — sen — sen — sen — sen — -—
7 7 . 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 ,
=>C=-
64
682

Problema 14
Calcule P = sen l0sen20sen3°... senl79°
Resolución
Como sabem os que si a + P= 180p=> sen a = sen p , entonces podem os plantear que
sen 179°=sen 1°
senl78°=sen2°
y así sucesivamente, luego la expresión P se puede plantear com o
P = senl°sen2°sen30 ... senS8°sen89°sen90°sen910sen92° ... senl78°senl79°
P = senl°sen2°sen3°... sen88°sen89° (1) sen89°sen88° ... sen2°senl°
P = sen2l°sen22°sen23° ... sen288°sen289°
„ P = [senl°sen20sen3° ... sen88°sen89°]2
En radianes
Del problema 13 tenemos
sen — sen — sen— ...sen
2n 2n 2n
n 2n 3it (n - l)rt _ Vñ
2n 2"'1
Para el problema que estamos resolviendo, 2n = 180 entonces n=90
por lo tanto
n 2n 3n 89rt
sen -----sen — sen— ... sen
89rt =V90 =
i»u _ 290' 1_ 289
... (2)
Reemplazando (2) en (1), tenemos
V90l 90
2&
9 2178
683

Lumbreras Editores Trígonos
Problema 15
Al resolver la sigu ien te ecu a ció n indique
un co n ju n to so lu c ió n y e v a lú e c u a n d o
0 = 71/3
(x + cos0 + í'senB)m +O + cos9 -/sen 0 )m =0
Resolución
Sea
cos0 + /sen9 = e,e ; cos0-;sen0 = e“
U + ei9r =-(jc + e"'9)m
x + e
x + e"'
-1; Sea: Z = -1 = e'K
¿a » * r _;a v
luego
iir
x + e íe = e m(x + e~'6)
• l - e m
+ / s e n -----0 -c o s0 -/sen 0 l
l m ]____________
1 -co s---- rsen —
m m
cosí — - 0
. ■ im
~2sen-—sení — — 0) +/2cos —- sení — -0
2m l 2m J 2m l2m
2sen2—
—- /2sen eos
2m
7
1
2m
n
2m
Ahora; evaluamos cuando 0 = -
3
-sen
71 71
2m 3
sen-
x -
2m
.7 1 (1 ,
-s e n -— x - +cos-
2m 2 2m l 2
J L Í
sen-
7
1
2m
1 n
/3 , T
I
X = — + — cot----
2 2 2m
Problema 16
Encuentre la región correspondiente al conj
de los números complejos definidos por
R ={ze C/!ez2|< l}
Resolución
Como Z es un número complejo, consideral
Z =x+ iy, donde r ,y e R
ahora
gZ2 _g(x+iy)2 _ g x2+2xyi-y2
e Z
2 _ gX2 y2e (2xj)/
luego el módulo del complejo: e z2, será
jeZ2| = |ex2-y2 e ^ o l = |e x2-y2l jgiZxyl
I 1 r2_v2 ’
=» |ez | = e " ;
pero por condición del problema
¡ 7l - v2_v2
|e | <1 ; es decir e , 3 <1
conclusión x 2 - y2<0
ahora hay que resolver la desigualdad
y2- x 2 >0
y2 > x 2=> |y| > Ixl
x =

Cuando y>0 -> y > x v y<0 -> y < —IjcI
Im(Z)
Re(Z)
Finalmente, uniendo las regiones de las figuras 9.44(a) y 9.44(b) obtenem os
la figura 9.44(c)
Problema 17
Halle el equivalente de la siguiente sumatoria
C = 3(2) + 4(3)(2)cos0 + 5(4)(3)cos20 + ...+ 22(21)(2O)cosl90
Si e'209 = 1 a e " # !
Resolución
Para poder resolver esta expresión mediante números complejos se le sumará un término adicional de
tal forma que se forme la expresión cosA + i'senA = e iA o AcosA+A/senA = AelA
según lo anterior
C = 3(2) + 4(3)(2)cos0 + 5(4)(3)cos20 + ... + 22(21)(2O)cosl90 ...(1)
el término adicional sería
S = + 4(3)(2)sen0 + 5(4)(3)sen20 + 6(5)(4)sen30 +... + 22(2 l)(2O)senl90 ...(2)
y para formar la sumatoria compleja multiplicaremos por (;') a (2), entonces
z'S = + /4(3)(2)sen0+ /5(4)(3)sen20 + /6(5)(4)sen30 + ... + /22(21)(2O)senl90 ...(3)
685

Lumbreras Editores T rigonometrra
sumando (1) y (2) se obtiene
C+/S = 3(2)+ 4(3)(2)cos0 + 5(4)(3)cos2e + 6(5)(4)cos36... + 22(21)(20)cosl9e
Z
+/4(3)(2)sfene+/5(4)(3)sen29 + /6(5)(4)sen39 + ... + /22(21)(20)senl98 ...(4)
Z= 3(2)+4(3)(2)ei9+5(4)(3)e'29 + 6(5)(4)e'39 + ... + 22(21)(20)e'199 ...(5)
Puesto que Z =C+¡'S ... (6)
De (6) nuestro propósito será calcular R e(Z ), porque C = Re(Z) ... (7)
Multiplicamos a (5) por ( l - e íe) y obtenem os
(1- e ,e)Z = (1- e'9) (3(2) + 4(3)(2)eíe + 5(4)(3)eí20 + 6(5)(4)eí39 +... + 22(21 )(20)ei199)
= > (l-e'6)Z = [3(2) + 4(3)(2)e'6 + 5(4)(3)eí2e + 6(5)(4)e'30+ ... +22(21 )(2O)e'190]
(3(2)e'e + 4{3)(2)e'20+ 5(4)(3)e'30+... + 21(20)(19)e'199+ 22(21)(20)e,2oe)
Reduciendo se tiene
►
(1- effl)Z = 3(2) + 3(3)(2)e'9 + 3(4)(3)e'20+ 3(5)(4)e'39+... + 3(21 )20e'190- 22(21)(20)
= > (l-e'9)Z = 3 2 + 3(2)e1
0+ 4(3)e'20 + 5(4)e'30+ ...+21(20)eíl
>(1- e'9)Z = 3Z, - 22(21)(20)
Z,
-(8 )
-22(21)(20)
Seguidamente hallaremos una expresión equivalente para Z,, puesto que
Z, =2 + 3(2)eí0+4{3)e'28+ 5(4)e,39+... + 21(2O)e',9e ...(9)
Multiplicamos a (9) por (1-e'9)
( l- e í9)Z, = ( l- e ,0)(2 +3(2)e'9 +4(3)e'20 +5(4)e'30 +... +21(2O)e"90)
Multiplicando obtenemos
r
=> (l-e '9)Z, = 2 + 3(2)eíe + 4(3)e'29 + 5(4)eí30 +...+ 21(2O)e'190
- ((2)eí0 + 3(2)e-20 + 4(3)e'30 +... + 20(19)e;l99 + 2 l(2O)ef200)
n r
(l-e '9)Z| = 2 + (2)e'9 + 2(3)e'20 + 2(4)e'30 +...+ 2(20)e'199 -21(20)
(1-e'9)Z, = 2(1 + 2eíe + 3e'20+ 4e'39 +... + 20e'199) - 21(20)
V
=> (l-e '9)Z, = 2Zj -21(20) ...(10)
;a
Í
Ü
V;4
Á

-CAPITULO IX Números complejos en el análisis trigonométrico
t Seguidam ente hallarem os una expresión
...(11)
i equivalente para Z¿ puesto que
í' Z2 = 1+ 2e,e + 3e'20 + 4e'36 +... + 20e'199
Multiplicamos a (11) por (1—
e'e)
(1- e'9)Z, = (1- e'9)(l + 2em+3e'29+4e'38+...+20e'l98)
•- Multiplicando obtenemos
(1 - eí0)Z2 = 1+ 2e'9 + 3e'20+ 4e'39 +...+ 20e'199)
- (e'e + 2e'29 + 3e'30 +... +19e'190 + 2Oe'200)
i
=>(1- ei9)Z? = 1+e'9+e1
-9+e,3e +... + e'199- 20 ...(12)
esta suma es un cociente notable
se sugiere repasar sus lecciones de Álgebra
respecto a lo mencionado.
, m ¡7ñ no aqfl (e,20e-l) <
—numerador
l+e'e +e'28+e'38+... + e'l98= ^ 5— -
(e —
1) <
—denominador
por dato e'209 = 1=> el numerador es 0
y com o e'9 * 1
=> el denominador es diferente de 0
=> 1+ e'9 + e'20 + e'3a +... + e'199 = 0 ...(13)
= > ( l-e ,e)Z2 = 0 -2 0
-20
=> Despejando Z2 : Z2 = ----- ¡g- ...(14)
( l - e 'e)Z, = 2 ^ 2 - 1 - 2 1 ( 2 0 )
...(15).
v 1- e'9j
Despejando Z¡ se obtiene
-2(20) 21(20)
Z| =;
(1 - e 10)2 (1 -e 10)
( l - e ' 9)Z = 3f - 2(20) 21(20)^
(1 —
e íe)2 (1 —
e'e) j
*7 -2 2(20(20)
Despejando Z se obtiene
—
3(2)(20) 3(21)(20) -22(21)(20)
Z (1 -e '6)3 (1 -e '9)2
Pero
1- e'9
1- e'9
•••(16)
16/ re -¡O
í6 / -/8 £
0 2 1e 2 _ p 2 )
1
0= e 2 le 2 - e 2 ) = -----— 2/
2i
¿
9
- 0.^2
1- e = -2 /e 2
( íe -/e ^
e 2 - e 2
2i
= -2 /e 2sen -
2
forma complejadel sen|
=» 1 -e '8 = -2 /e 2s e n - ...(17)
Reemplazando (17) en (16) se obtiene
-3(2)(20) 3(21)(20)
i? 0 V (
-2/e2.sen - 0 2 6
-2 /e 2.sen -
2 )
-22(21)(20)
„. j 6
-2 /e 2.sen -
2
Reduciendo
ix
• / = í»2
z _ —
3(2)(20) 3(21)(20) 22(21)(20) .
8 /e 2 .sen3- -sen o 2/e2.sen—
2 ¿ 2
Si se reemplaza / por / = e 2se obtiene
Z =
3(2)(20)c-(f+ f| 3(21)(20) ^
8sen3-
3
. 2e
4sen -
22(21)(20)e í 2 2 ^
...08)
2sen-
687

Se sabe que para una suma de números complejos Z=Z3+Z4+Z5
se cumple Re(Z) = Re(Z3) + Re(Z4) + Re(Z5)
De (18)
Re(Z) =
-3C2)(20)cj 3 e + n ) - 3 ( 2 0 ( 2 0 ) ^ + 22(21)(20) í , + 6 )
8sen3- - ^ 2___ÍL; 4sen2-
-senf
2 sen -
2
30 0
Reduciendo obtenem os que la suma pedida C es C =15 sen — esc3— 315cos0.csc2
Problema 18
A partir de la siguiente identidad Aeos 2x + Reos* + F =
Halle el valor A+R+F
(1+cosa: - / sen*)4
cos2 x -í'sen 2 x *
Resolución
De la condición
Aeos 2x + Rcosx + F
(l + c o s x - is e n x )4
eos2.¡r-/sen 2*
f 2eos2—-/2sen
Acos2x + Rcosx + F =
4
X . X )
—eos—
2 2J
Acos2x + Rcosx+F
cos(-2x) + /sen(-2x)
í2
C
°S
f](c
o
s
f"ís
e
n
f
= ' í(-2or)
>Acos2x + Rcosx +F = lScos’ ^ e '^ ^ c o s ^ -í j + ¡sen^-^ j
s4- e i2j;[e'í‘^ I
Acos2x + Rcosx + F = 16cos
Aeos 2x + Rcosx + F= 16cos4—e'2xe l( 2x)
Reduciendo obtenem os A cos2x + Rcosx + F = 16cos4— ...(1)
P erosesabe 23cos4í = c o s 4 ^ j.+ 4 c o s 2 ^ j + 3 ...(2)
Reemplazando (2) en (1) Aeos 2 x + Reos x + F = 2(cos 2x + 45os x +3)
=>Acos2x'+tRcosx+iFj=2cosx+i8lcosx+[6j
Identificando A=2, R=8 y F=6
A + R + F = 16
688
(O
!
<
D

CAPÍTULO IX __________ Números complejos en el análisis trigonométrico
Problema 19
Halle a en el intervalo
si se cum ple la siguiente igualdad
3 tan a =! 2003'! +!2004'! + i2005' i
Resolución
Partimos de la fórmula de Euler
e'9 = cos9 +/sen0 i
y por m ódulo se sabe
•' le'8l = lcos9+ /sen 9| = y(cos0)2 +(sen0)2
le'8!= /c o s20 + sen20 ...(1)
Pero por identidad trigonométrica
sen20 + cos20 =
*1 ...(2)
(Revise el capítulo 5)
lei0¡= ' ...(3)
(la cual es una de las propiedades de la forma
exponencial compleja mencionada en la página
654)
ordenando
=> 3 tan q = le lC
ln2003J¡+ le'(ln2004)[+ le'*380»} ...(6)
j i j
(cada uno de estos módulos son unos
por la propiedad mencionada)
' leí9l= l
De (6): 3tan a = 1+ 1+ 1
=»3tana = 3
tana = 1
tan a = tan — (revise el tema de funciones
^ trigonométricas)
a = —+ Kn; K eZ
4
Algunos valores de a son
- ü ~3n . -7n. —
11n •_ -15tt
a ~ 4 ’ 4 ’ ~ 4 ~ ’ ~ 4 ~ ’ 4 * •"
Pero puesto que hay una condición para a ;
a e (-2 n ; se concluye a = -7 n /4
Problema20
Sabiendo que
Z =x+ y, x ,y e R ; /=>/—
í
Se sabe por propiedad de logaritmos que
V ae R+ se cumple a = e lna
según.esto, 2003, 2004 y 2005 pueden expresarse
respectivamente com o
2003 = e1
"2003
indique qué representa la siguiente ecuación
Resolución
A partir de (1) se sabe que
2004 = eta2004
2005 = e
In2005
...(4)
3tana S)1
Arg
y com o la condición inicial es
3 tan ct = 1
2003' I+ 1
2004' 1+¡2005' I ...(5)
%
Reemplazamos. (4) en (5) obteniendo
( 7
' ^ ¡
Si Argj
= Arg Z, - Arg Z2
Z -2 ) _ 7t
Z-2rJ 3
+í(eln200‘
,y + (eln2005)'
A rg(Z -2)-A rg(Z -2/) = ^
tí 1Í
x +iy x +iy
cea

Lumbreras Editores Trigonom etríi
Ordenando se obtiene
Arg[(x-2)+fy] - Arg[x+/(y-2)] = í
' ” v . v ' O
arctánf
_____ i, x - 2
- arctan
y - 2
x
n
3
a
de donde
7
1
3
...(2)
y
tana = —
í - ; tanp = y
—
x - 2 x
...(3)
y para encontrar una relación entre x e y de (2)
tomaremos un R.T., la cual por conveniencia se
sugiere tangente
> tan (a-p ) = ta n -
3
Desarrollando
tan a - tanP
1+ tanatanP
= 73 ...(4)
y y - 2
= 73
x - 2
1+
Í U
y - 2
X
x y - ( x - 2 ) ( y - 2 )
= 73
* (x - 2) + y(y - 2)
xy ~ (x y ~ 2x - 2y + 4) _ ^
x 2- 2x + y2- 2y
Reduciendo
=* 2x+2y - 4 = TSx2- 273x + 73y2 - 273y
Finamente se obtiene la siguiente ecuación
73x2- (273 + 2)x + V3y2- (273 + 2)y + 4 = 0
la cual representa a una circunferencia.
® Observación
La ecuación
73x2 -(2 7 3 + 2 )x + 73y2 -(2x/3 + 2)y + 4 = 0
Al completar cuadrados se obtiene
,2 f ' i r- x%
2 ,
X- ( S + )
l s J)
! y J J 3 + l
l 73
u r f
7 s J
Problema 21
Usando la ecuación
x 2n+ x " + 1=0
Reduzca la productoria
n c o s 2í & I l í ]
K=0 ^ 3n J
Resolución
Dada laecuación x 2n+x" + l = 0 se resuelve parax"
„ _ - l ± 7 3 /
x —
- de los cuales
n - 1 73 . n ( o v 2 lí
• X = — + ----1 =>X =COS 2K
7T+ —
2 2 l 3
+ fsení 2Krt + —
l 3
690

CAPITULO IX N úm eros com plejos en el análisis trigonom étrico
2n(3K-l>-
x"=e * ■ =>xk=e 3n k = 0 ,l,2 ,... n -1
;?Ks+—;/
•3 i ~ p 3
rt
• x n= - - - — / => x n= cosí 2101+ - ) - is e rí 2K7i+^
2 2 { 3 J 3
■f >Xk=e
(2s(3K+l)f
3n k = 0 ,l,2 ,...n -1
Las raíces son conjugadas
Se observa que la ecuación tiene 2n raíces en la
cual n son complejas y las otras n raíces son sus
conjugadas.
Luego
_ n - l n-1 _
n+ n+ ] _ j-j j f] (x -X k)
K=0 K K=0
n-1 _
= n (x - xk)(x - xk)
K—
U
X2n+ xn+ 1= JTJ x 2 - x(xK+ XK) + (|xK|)2]
K—
U
Se sabe
r «
xK+XK=2ReLe
Luego
- „ í 2rt(3K + 1)
x K+ xk = 2cos -------------
V 3n
Luego
2?t
(3K+))í
3n J A ¡XK| = 1
n-1
x 2n+ x n+ i= n
K=0
x 2- 2 x c o s ( ^ ü l i ) | +1
l 3n
se cumple
para todo x e R , en particular si x = -l
n-1
2 + ( - i ) n = n
K=0
n-1
2 + ( - l) n = n
K=0
2 t2 c „ s í ? ! e £ ± f l
3n
4cos2í « ± í l
3n
2 + (- l)n =- 4n [ Ti c o s í— —
K=0 3n
t e 1 2Jt(3K + 1) 2+ (-!)"
n e o s — ---------- - —
K=0
Problema 22
Halle ZeC, tal ,que se verifique la siguiente
igualdad senZ=2
Resolución
A partir del dato senZ=2 ...(1)
se sabe que senZ= -
2/
-=2
2i
=> eiz - e~'~ = 4/
=> e,z — jr i=4/
e
=> e az -1 = 4ei:i
=> e2íz - 4el:i -1 = 0 ...(3)
Si hacemos e,z= a ...(4)
=> a2—
4o;-1 = 0
a =
a = -
4í±-'/(4i)2-4(1)(-1)
2
4¡±%f-2 4/±2n
^3í
3n 4n
2 2
=>a = (2 + ¡3)i v a = (2 -V 3 )í -(5 )
Reemplanzando (5) en 4
=>e'-=(2 + V3)í v e “ = (2 —
V3)/
=>/z = ln(2+V 3)/ v/z = ln (2-V 3)/
losvaloresde z serán -iln(2 + V3); v -iln {2 - -J2)i
691

En los problemas del 1al 8, exprese en forma polar
los núm eros com plejos dados (considérese
argumento principal) '
1. 3V2 + /3V2
2. 2 - i2%/3
3. -5/
4. -4
5. ->¡3 - í
6. - 2 - f ( 3 - 0
7. Jt + y¡2í
8. sen4+fcos4
En los problemas del 9 al 12 exprese en forma
cartesiana los números complejos dados.
2(cos210° + isen210°)
9.
10. x/úí cos91- + /sen9I^
11. 3 cos| “ +2nrtl+/sení^C
+2njtj ; n e Z
12. -i| sen—- + /cos33r.
6
En los problemas del 13 al 18, exprese en forma
exponencial los núm eros com plejos dados
(considere argumento principal).
19. Sea el siguiente número complejo:
» Z= r(cos0 + i'sen0) ; r>0 a O<0<
2ji
calcule el valor de
Arg(Z2) + Arg(2Z3) j
’ Arg
A) 1
D) 5
10 J *
1
B) 3/2 G) 4
E) 7/2
20. Obtenga el equivalente de la siguienl
expresión
E =(l+cos0+/sen0)m+ (l+ co s9 -isen 0 )r
iW = I
A) 2m+ cosm| —Jsenl
0 ) ( m0
B) 2msenm| |js e n | ^
C) 2m+'c o s |- eos 2
D) 2senm( | l s e n í ^
,mf1 f m0"l __.me
.£ ) 2m+lcos^ — j eos' 2
13. n + ni 21.
14. V6 + sÍ2i
15. -2(sen 2 + ic o s 2)
16. 1 - (s e n 0 -í'c o s 9 ) ; s iO < 0 < it/2 22.
17. i - c o s 0 - isen0 ; si n<0 < ^
—— : si Z =-sen0 + ic o s0 —< 0 < rr
Z + l 2
23.
18.
dem uestre que existe un K eC tal qj
verifique Z=KW
dem uestre que z es un núm ero reaj
imaginario puro.
W = eJ9 - e 2íe + e 3'9
692

D) 1) cos30(2cos9 + l)
II) e^cosa - e 2bcos2a - e_3bcos3a
E) I) cos(20)(2cos20+1)
II) e^cosSa - e"2bcosa - e~3bcos2a
2 4 . Calcule el máximo valor de
1
considerando:
I) 0e R
II) 9 e C tal que: 0 = a+b/, donde a;be R
A) I) cos20 •(2 eos 0 -1)
II) e^ cosa - e 2bcos2a + e'3bcos3a
B) I) cos0 (2 co s2 0 -l)
11) e~2bco
C) I) cos30
25. Halle todos los números complejos z=x+ry, y represéntelos en el Plano de Gauss, tal que ez= 1+i
R =sen j-aresen;[senSíe2'0 + e‘2ia +l)]j ;
ea+bcos2a + e3bcos3a
n n
s i0 e —
L 6 6J
-{0 }
e"bcos2a + e?bcos3a A) -1
b)4
C )0
1
D) 2
E) 1
A) Im B) Im
3jt 97t
4 4
T
U 571
2 4
T
U T
U
4 Re 4
!
---•
1
T
U _ Ln(v/2 ) 371 :
L_i L n ( j 2 ) Re
4 4 í
7
U 7t
u
2 4
> Im
1771
4
9 n
4
T
U
4
ln ' Lnj2 R*
4
1571
4
D) Im
371
4
Tí
2
Tí
4
ti „^ Ln 2
' 4
71
-— ---•
2
Re
E)
9rt
4
5n
4
JL
4
3rt
' 4
Jn
' 4
Im
, Ln 2
Re
693

26. Si 2t
c
/ 3 es el argumento de un número
complejo que se genera por el cociente de
dos números complejos conjugados entre sí
y adem ás el producto de los módulos de
dichos núm eros com plejos es 4, calcule
dichos números complejos conjugados.
A) Z = ¡3 + i
Z = S - i
C) Z = 1+ V 3í
Z = 1- V3/
D) Z = - & i
Z= l + V3i
B) Z = S - i
Z = V 3+t
E) Z = l + /
Z = 1- /
27. Calcule eos
siendo n s Z
(1 + /
A) -1 B) 0
C ) 1
D) {-!;!} E) {-l;0;l}
(2K-1) .
A) Z,e n
K
n.
B) Z ,e"'
„ (K-Ó-í
C) Z,e n
2fct.
D) Z¡e * '
. (K-l)n.
E) Z,e
30. Resuelva
sen(ix) + /cos(/x) = 2/
K eZ a r2 = -1
•
A) 2Krt+ln2 B) 2Krri-ln2
C) Krt-ln2
D) 2Krt+iln2 E) 2Krti+ln2
31. Simplifique
j. cos20+/sen29 cos20 - /sen29
cos(0+(j)-/sen(O +fi)
si i = -J-Í
I
cos(0 +P)+ísen(0-t
A) 2cos(36-P ) B) 2cos(36 + P)
C) cosC30 + P)
D) cos(30-(3) E) 2csc(30 + P)
28. Resuelva cosz=2,
siendo z=x+ry; r = - 1a K e Z
A) rln(2+V3) B) 2Kn±íTn(2+V3)
-/ln(2 - -J3)
C> 2K ji±/'ln(2- -JZ)
32. Siz=a+bí,
donde/'2= -l ;a > 0 a b>0
Calcule en términos de a y b: sec[arg(LnZ)]
A) J4arctan2| — |+1
D) 2Kjt ± i ln(V5 - 2) E) 2Krt ± i In(2 ± 73)
29. Encuentre tos vértices zKde un polígono
regular de n lados si su centro se encuentra
en el punto z=0, y uno de sus vértices z es
conocido.
Dato K =0;l;2;....; n-1
C)
ardan! —
lnVa2+ b 2
+ 1
b '
i—
a
í o r t»T2
f + 1
2arctanj —
J [ lnVa2+ b 2 t
+1

CAPÍTULO IX Núm eros complejos en el análisis trigonométrico
33. Se define el seno hiperbólico de 0 denotado
e e_ e '9
por senh(0)=----------, entonces el valor de
!sen/a!
senha
2
A) -1 B) 1 C) 2
D) -2
« i
34. Calcule cos(/ín5)
12 s 13 ^ '2
a ) t B ) l^ C) 17
13 , 13
D ) y E) y
35. Calcule arcsen(z'),
siendo i2= -1
36. Indique qué alternativa corresponde a IcosZl,
si se define 2cosh (a) = e * + e 'a y
2senh(a)=ea- e ' a, además Z =x+ iy, i2= -l
A) N
'cos2xcosh2(y) + sen2xsenh2(y)
B) ^cos2xcosh2(y) -s e n 2;rsenh2(y)
C) N
'cos2xsenh2(y) + sen2xcosh2(y)
D) v cos2^senh2(y) - sen2xcosh2(y)
E) v/senh2(v) + cosh2(y)
37. Identifique gráficamente en el plano complejo'
los conjuntos de números com plejos que
satisfacen las siguientes condiciones
I) Re(z) = 2 11) lm(z) = -1
III) Re(z) > -7i IV) Im(z) = Re(z)
A) ,ln(V2 -1 ) B) /ln(V2 +1) C) ln(V2 -1) V) lm(z) < 0 VI) Im(z) = -2Re(z) <3
D) Infv^ +1) E) íln(%^2) VII) Im(z) =[Re(z)]2+1
En los problemas del 38 al 50, identifique gráficamente en el plano complejo los conjuntos de números
complejos que verifican las condiciones señaladas.
38. Identifique gráficamente en el plano complejo el conjunto de números complejos que verifican
la condición señalada. R,={Ze C /Im (Z)<|R e(Z)| a !ZI<1}
A)
A Im (z)
C)
695

39. R={Ze C/Im(z) > Re2(z) +1 Alm(z) - 2Re(z) < 3j 40. R = {ze C /|lm (z)|+|R e(z)| < l}

CAPÍTULO IX
r
42. R = z e C /Im (z)2
Números complejos en el análisis trigonométrico
44. R = j z e C / Ó < A r g ^ j < !
697
•M
a

45.R = {ze C /lz—
1—
/!< 1 a Im (z)>sen(R e(z)) a
a Im (z)> 2 -R e(z)}
46. R = {Ze C /a<!Z !<b ; a A b s R + A
A 0<A rg(Z :i) < | }
A) A |m (z) B) A Im(z)
D) A Im(z)
'47. R = Ze C/Im (Z)<A
A Im(z) B) A Im(z) C) Alm(z)
/3 Re(z)
40
698

50. R ={ze C/lz-l! > 2|z +1|}
699

En los problemas del 51 al 54, exprese las regiones
correspondientes a núm eros com plejos por
.medio de conjuntos.
51. ^ im(z)
B )|zeC /¡z-(;<lA lz!>3A0<argz<^
C) |zeC /¡z-l-4/|>lA !zi> 2A ^< argz< íJ
D) zeC /¡z-2-/3/'!<lAÍz;< 4A 0< argz< íj
E) jz eC /¡z-/3-2íÍ<l A'z!>2A^<argz<-^ j
! - 11
A) jz e C /¡z-l-v 3 ík lA lrn (z )< R e(z)+ -|
B) { z e € / |z - 2 - V 3 /| < l A Í m ( z ) < R e ( z ) + l }
C) {zs C/ Iz-1-/1<2 a Im(z) <Re(z) +3}
D) jze €/]z + s/3 ~/¡<l A lm (z)<tan^R e(z)+2
E) | z e €/ |z - l +V 3 /|< 1a lm ( z ) <tan ^ Re (z ) + lj
53.
tlm (z)
3
A) | ze C/ |Re(z)|+ |lm (z)|> 1a arg (z) > ^ J
B) {ze C/ |Re(z)|+|lm (z)|< 1a Izl> 3}
C) {ze C / |Re(z)|+ ¡Im(z)|> 1a Izl< 3}
D) {zeC /|R e(z)|+|lm (z)|<lA |zl<2}
E ) |zeC /|R e(z)|+ |lm (z)|< lA |zl< ^ |
700

A) {zeC/Im(z)>Re(z)AQ<Re(z)<lAlm(z)<2}
B) {zeC/1m(z)>(Re(z))2aIm(z)<Re(z)}
C}{zeC/lm(z)<(Re(z))2AO<Re(z)<lAlm(z)>Re(zX
D) {zeC /'Im (z)< R e2(z)A 0<R e(2z)<lA lm (z)>R e(z)]
E) {ze C/Im(z)<Re2(z)aO<Rc(z)<i}
57. Siendo lal< 1, simplifique
asenG + a2sen20 + a3sen30 +.
F=
A)
D)
1+ acose + a2cos20 + a3cos30 +
asenG asenG asenG
1+2acos0 ^ l- 2 a s e n 0 ^ 1-acosG
asenG
E)
asenG
1+acos0 1+COS0
55. Sabiendo que
3
tan a= - ( a :agudo),
58. Siendo Z un número complejo, calcule
determ ine el valor de x e y, si se verifica
„ senz cosz tanz
F= = . -----= . = r + sen 2z + cos2z
que m —
>®
o+ . senz cosz tanz
Además
A) 1 B )2 C) 3
, 7 7 „ 7
x - 7 + - cosa + -*•eos 2a +... + — cosm a
2 22 2 D) 4
2
E )3
7 7 7
y= - sena + -=■sen2a +... + — senm a
2 22 2
. 28 14
A ) x - — : y ——
3 3
„ 29 15
B) x = — ; y= —
7 7
C ) x = ; y = | .
m 38 14
D ) x = — ; y = —
3 3
m 17 19
E ) x = — ; y = —
3 3
56. Sabiendo que
Z9- 1=0 ; Z * 1
Calcule
59. Para la siguiente función v(x;y) tal que
f(z )= p +iv, halle la parte imaginaria de
f(z)=sen2z
A) v=senrcosh(2y)
Bj v=sen2xcosh(2y)
C) v=cos2xsenh(y)
D) v=cosxsenh(y)
E) v=cos2jcsenh(2y)
60. Siendo Z = x+iy, calcule
fsenh2(z) + cosh2(z) + tanh2(z) + sech2(z)
i ti j 27t 4 3n 4 4ir
V 9 9 9
■
vT7 , Vis ^ VÍ7
A) 3 B) 4 C ) "4-
A VÍ9 s/T9
d) t - e ) T
A) V2cosh(z) B) senh(z) C) %/2senh(z)
D) tanh(z) E) coth(z)
61. Halle el equivalente de f(z)=arccosz
A) In(z+/z2- l ) B) iln(z - Vz2+ l)
C) ln (zW z2+1)
D) ln(z+/z2- l ) E) *ln(z+Vz2- l )
701

62. Sabiendo que f(z) =
z* +1
es continua en
todos los puntos dentro y sobre ei círculo
unitario |Z!=.1, excepto en cuatro puntos,
determine esos puntos.
A)'FVW B) W W C) FVFV
D) FWF E) FFW
( ji ]
64. Siendo w = coti — iln2 |, calcule
14 )
F=Im(vv) - Re(vv)
kit
A) e 4 ; k = 0,1,2,3
A) 9/17 B) 6/17 C)4/17
•D) 2/17 " E) 7/17
B) ekn ; k = 0,1,2,3
(2k+l)-
C)e- 4 ; k = 0,1,2,3
65. Halle jtanzj; siendo z = x + iy
kit
D) e 8 ; k = 0,1,2,3
t j |senh2y + seirx j,, senh2(y) + sen2*
íjsenh-y -reos2* cosh(2j:) + cos2y
kit
E) e 16 ; k = 0,1,2,3 ^sen2.t + isenh(2y)
cos2* + cosh(2y)
63. Analice la verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones
^ ^ s e n h 2(2x) + sen22y
cosh(2x) + cos2y
sen22x + senh2(2iy)
cos2jc +cosh(2>')
1 Log(i3) = 3Log(i)
Los^ ~ t
~ 4 )
III Logz, + logz2 = logz,z2
IV Si: senz=0=>z=n7t ; n = 0 ,± l,± 2 , ...
66. Resuelva cosz = 0 ; n entero
, e‘+e 1 e - e ■ nru
A) — B) — — C) —
D) nrc E) n+i'T t
67. Grafique la región definida por R = z e C/]z-1 + i]< |z +1 - i| a 1< |z!< 4 /v0 < argz

68. Luego de hallar la región P=|zeCy¡^<13A¡z+z0|+!z-2oj<10/zl)= 3—
12ij-
determine su área.
B) 107t + 169arcsen¡ — 1 -6 0 C) 10ti +168arcsen
( S )
U J l *3 j 2
V y
- 5 0
D) 10n + 169arcsen| | | j—
60 E) 10ir + 160arctg¡ — |—50
69. Grafique la siguiente región T = íze C /:e'Im
(z>í<2 AargeiRe(z) < ^ |
D) Y,
O X
70. m, n, a, Pe R simplifique la siguiente expresión
^ _ cos(m a + nP) + ¿sen(ma + nP)
eos(na + mP) +rsen(na + mP)
cos(m a + nP) -tsen (m a + np)
cos(na + mP) ~isen(na + mp)
+ 2cos[(n-m )(p-a)]
A) 2e‘ím+n)(a-|3) B) 2e^m-n^a"^'
D) 2ei^
m+ri^a+^)
C) 2ei(m+n)
i| |+(n-m )(a-(3)l
E) 2e 12 J
703

13 1 5 _ T C
2 r. 14 4 26 C
3 C 15 C 27 £
4 4 16 4 28 £
5 n 17 -C 29 0
I § _ J A 30 Í
~ F
i2 ..r F ~ 3i r~B
20___| E 32___ I C
9 c 21 J Demostración 33 I R
10 A 22 J Demostración 34 I 0
11 E 23 J A 35 I B
12 24___ | o 3 Í _ n 4
<4

CAPÍTULO
X
Elementos de cálculo:
Límites y derivadas
. ■ ; ; - ..— ...
El extrem o m áxim o de un nevado
Entre las aplicaciones de límitesy derivadas, tenemos el cálculo de máximosy
mínimos. Asi, El hombre está en constante desarrollo por explorary entender
‘ los fenómenos naturales. En la cordillera Blanca - Ancash, la cima (máximo
extremo superior) del Alpamayo se halla a 6120 msnm. El AlpaYnayo es
considerada "la montaña más bella delMundo
K ...................... ....:
__________________ _
_ ______ j_____ •
____________ ;___ )

>
JO
C
H
O
m
i
-
LA RELACION ENTRE EL NUMERO Y EL INTERES COMPUESTO
“5
•iré
:r ' *
" m
í?
■
i
ri
Es muy probable que haya oído hablar de intereses compuestos, puesto que estamos
inmiscuidos en nuestro entorno social con personas que, de una u otra form a, alguna vez
han pedido un préstamo a un banco o tienen una cuenta de ahorro, o compran un objeto
a crédito: ello significa que los intereses se calculan sobre el monto que usted ha depositado
como ahorro y tam bién sobre los intereses que haya ganado al momento del cálculo.
A continuación, hacemos la siguiente consideración: supongamos que Andrés le prestó a
Ornar la cantidad de 1 nuevo sol al interés de 100% anual. Al final del año, O rnar vendría
a pagarle y traería 2 nuevos soles: 1 que tomó prestado y 1 de interés. Pero si Ornar
viniese a pagar seis meses después del préstamo, Andrés apenas recibiría 1+ — nuevos
soles. Pero esto quiere decir que, en.aquella ocasión, Ornar estaba con 1 + ■- nuevos soles
de Andrés y se quedó con ese dinero por seis meses más, a la tasa de 100% anual; luego,
debería pagarle 1 + ^ + ^ j l + ^ j = ^1 + ~ ] nuevos s° les a fin de año: esto daría 2,25
nuevos soles. ¿Será justo este cálculo? Veamos ahora cuál es el máximo beneficio. Si se
‘ divide el año en un núm ero "n" de partes iguales, transcurrido el prim er período de -
n
año, el capital prestado estaría valiendo + - j nuevos soles. Al final del segundo período
1 í
de - año estaría en 1+ — nuevos soles, y asi sucesivamente. A fin de año, Andrés
n I n I
debería recibir ^1 + - j nuevos soles. Debemos hacer tender n al infinito, es decir, el
máximo capital que podríamos obtener al final del año sería:
l i m | l + - | = e = 2,7182... nuevos soles
s .
ú
f v !
En general
Sea Co el capital inicial (la cantidad de dinero con que se calculan los intereses que usted
dispone para ahorrar), h la fracción del año, por lo que el capital C al fina l del año será
una función de h, la cuál denotaremos C(h), ahora asumimos tam bién que la tasa de
interés es r% anual; siguiendo el razonamiento anterior, obtenemos:
( Y/h
c
|
h
)*
c=riío-h
J
»
Entonces podemos plantear que el capital final del año será:
i.- a i.

Elementos de c á lc u lo :... ..
__ __
_ / Limites y derivadas
OBJETIVOS
• Aplicar los conceptos de límite de una función, para resolver y simplificar problemas de
carácter real.
• Comprender las nociones de continuidad y reconocer puntos de discontinuidad de una función.
• Comprender el concepto de derivada, su significado geom étrico y su aplicación en la
resolución de problemas.
• Trazar gráficos precisos de funciones, analizando sus características al usar límites y derivadas.
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se examina y fundamenta la teoría de límite para el estudio y desarrollo del cálculo
diferencial e integral. En nuestra vida cotidiana, el análisis matemático es un instrumento insustituible de
investigación y sustento en las más diversas aplicaciones de la ciencia e ingeniería. Los conocimientos
del cálculo diferencial e integral'son indispensables para todo científico e ingeniero. Sin embargo, para
dicho estudio es necesario conocer la teoría de límites.
Efectivamente, con el estudio de la teoría de límites y su posterior aplicación a las derivadas de
una función, se determinan:
• el área debajo de una curva • la longitud de una circunferencia
• el área de un círculo (véase figura 10.1) • el volumen del cilindro f del cono
La pendiente de una curva es el límite de las pendientes de las rectas secantes; la velocidad
instantánea es el límite de las velocidades medias.
También se dará importancia y énfasis a las operaciones con límites trigonométricos notables como
lim s e ~ - , lim , etc. Asimismo a las derivadas y aplicaciones de las funciones trigonométricas en
x-»0 X *-»o x
el cálculo de máximos y mínimos de funciones.
(a) (b)
(4lados)
(C ) (d )
O
AproximacióndeS Aproximaciónde S
porexágono pordodecágpno
(6 lados) (12lados)
Figura 10.1
709

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE
¿Qué significa el sím bolo lim f(jc) = C?
jr—
*c
Significa que una función í(x) tiende, o se aproxima, a 0 .cuando x está muy próximo a c (diferente
de c) o dicho de otramanera, paraje próximo a c, pero distinto a c, f(x) está próximo a ( .
En la figura se ha ilustrado esta idea: la curva representa la gráfica de la función f. El número c
aparece en el eje X, y el límite f , en el eje Y. Nótese que cuando evaluamos la función para valores
próximos a c, f(x) se aproxima a t .
Al tomar el límite cuando x se aproxima a c, no importa el hecho de que f no esté definida en c, ni
qué valor toma en ese punto si lo está Lo único que importa es cómo f está definido cerca de c.
Por ejemplo, en la figura 10.2(b) se tiene la gráfica de la función f: es discontinua, pero f está definida
en c; sin embargo, se verifica que lim f(x) = ( puesto que, como se observa en la figura 10.2(c),
X
~
-*C
cuando x se aproxima a c, f(x) se aproxima a f .
Los números x, que están cerca de c, se dividen en dos clases: los que están a la izquierda de c y los
que están a la derecha de c, por ejemplo:
• lim f(x) = {... Significa que cuando x se aproxima a c por la izquierda f(x) se aproxima a c, o el
límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a c es f .
• lim l(x) = C... Significa que cuando x se aproxima a c por la derecha f(x) se aproxima a f o el
X—
»
C
+
límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a c es E .

CAPÍTULO X
En el ejem plo anterior, se observa que los
limites por la izquierda y por la derecha coinciden.
En cambio, en la figura 10.2(d) se tiene la
gráfica de una función f; nótese que los límites
por la derecha e izquierda (límites laterales), para
-N valores de x próximos a 2, no están coincidiendo
o no tienen el m ism o valor real.
Figura 10.2
Yaque lim f(x) = l y lim f(x) = 3
X
“ 2" r->2+
¿Cuándo podem os afirmar que lim f(x ),
x - *
*c
existe o tiene un valor real?
Ob s e rv a tió n ^ h ^ .., ____________________
En esta parte de noción de límite, podemos
plantear que si se cumple lim f(x) = f
X
-*C
entonces, se debe verificar previamente que los
límites laterales coincidan, es decir
lim f(x ) = ( y lim f(x) = (
X
—
+
C
* X
-*C
+
Ejemplos
• En la figura 10.3 (a) se ha representado la
gráfica de la función f, donde:
lim f(x) = 3 y lim f(x) = 3
Por lo tanto
lim f(x) = 3 (existe)
x-»-2
Elementos de cálculo: Límites y derivadas
No importa que f(-2)=4
En cambio
lim f(jc
) = 7 y lim f(x) = 4
x —
*3~ x —
>
3
*
Por lo tanto
lim f(.v) no existe, así se cumpla f(3)=6
• En la figura 10.3(b) se tiene la gráfica de una
función f, en la cual se observa que, cuando
x se aproxima a ^ por la izquierda o por la
derecha, f(x) no puede quedarse cerca de
ningún número fijado, luego
lim f(x) ■n0 (¡ene un valor real
X—
*K/¿
Sin embargo, se aprecia que cuando x se
acerca a - por la izquierda, f(x) crece
2
positivamente y se escribe lim f(x) = +°°
7
t"
~*2
Análogamente, cuandoxseacercaa rt/2 por
la derecha, tenemos: lim f(x) = +~
n*
Por lo tanto, cuando x tiende a ^ por la
derecha o izquierda, f(x) crece indefinidamente
y escribimos
lim f(x) = -k*>
... Se lee com o el límite de f(x)
n
X^2
¿ n
cuando x tiende a —, es infinito positivo
o no tiene valor real.
711

i ^ N ota ,
+ » n o e s un símbolo que corresponda a un número rea!; por eso, cuando escribimos lim f(x) =+«=, ello
no significa lo mismo que lim f(x) = C
, donde Ces un número real.
x-»a
• De la figura 10.3(c) tenemos la gráfica de una función f, donde
lim f(x) = Se lee com o el límite de f(x) cuandox tiendqa 2 es infinito negativo, o no tiene
valor real
Figura 10.3
Definición
La rectax=a, es una asíntota vertical de la gráfica de una función f, si por lo menos uno de ios enunciados
siguientes es verdadero.
I- lim f(x) = +<»
x-*a*
(a)
111. lim f(x) = -H~
x—
ra
Ti
(c)
II. lim f(x) = -«>
( b )
IV. lim f(x) = - “
( d )
Figura 10.4

CAPÍTULO X Elementos de cálculo: Límites y derivadas
Ejemplo 1
La función f(x) = ------
x + 3
cumple con
lim f(x) = - “ y lim f(x) = + ~
x->-3~ x—
>-3*
Por lo tanto, se deduce que x = -3 es una
asíntota vertical de la gráfica de f. En la figura
10.5 se muestra el trazo de la gráfica de f.
Ejemplo 2
De la función f cuya regla de correspondencia es
,, , sen2xcscx
f(X> = --------------------
sen 2x-cosx
Se tiene que
lim f(x) = lim sen2xcscx
*•-*§ x-*¡jSen2x-cosx
lim f(x) = lim 2senxcosxcscx
2senxcosx - cosx
lim f(x) = lim ^
* -> |2 sen x -l
lim f(x) = +«>
J
t
es una asíntota vertical
Definición Forma! del Límite d e una Función
Sea f: 1c R -> R una función cuyo dominio es un intervalo abierto 1 el cual contiene al punto
x = c (también puede darse el caso de que x = c no pertenezca a I).
El límite de f(x) cuando x tiende a c es C, y se escribe lim f(x ) = í
X-*C
si y solo si para cada e > 0 existe un 5 > 0 tal que
si 0 < |x - c ¡ < 5 .entonces | f ( x ) - f | < £
En la figura 10.6 se ilustra esta definición
El desarrollo de ejercicios, utilizando la definición anterior, escapa a los objetivos de este capítulo,
que son los límites trigonométricos. Es recomendable que el epsilón (e) escogido sea un número
positivo pequeño (no trabaje con números grandes).
713

Continuidad
A menudo, mencionar que un proceso es continuo equivale a decir que transcurre sin
interrupción y sin cambios abruptos. En matemática, la palabra continuo tiene, en gran parte, el mismo
significado.
Definición (continuidad en un punto)
Sea f una función que puede quedar definida en un intervalo abierto, donde esté contenido el
número c. Diremos que f es continua en c, si y solo si: lim f(jr) = f(c)
X~>C
Además, podemos complementarlo diciendo que una función f solo puede dejar de ser continua
en c por una de las dos razones siguientes:
• fOr) no tiene límite cuando x tiende a c.
• fOc) tiene un límite que difiere de f(c).
Así, la función representada en la figura 10.7(a) es discontinua en c al no tener límite en ese
punto.
La función representada en la figura 10.7(b) tiene un límite ene, pero es discontinuo ene porque su
límite en c no coincide con el valor que toma en ese punto.
Figura 10.7
Nótese que las funciones representadas en las figuras 10.7(a) y 10.7(b) son continuas para cualquier
otro número diferente de c.
Podem os concluir esta parte señalando que una función f es continua en c, si y solo
si f(c)= lim fQc)=lim f(x)
x —
*c~ x-> c+
714

CAPÍTULO X ' Elementos de cálculo: Límites y derivadas
Ejemplo 1
Determine las discontinuidades de la siguiente
función
'-sen2x + 4; x< —
2
f(x) =
COtX
cosx +2
3x
2ñ
n
—<X<JI
2
n< x <2n
2n< x
Resolución
Está claro que fes continua, en cualquier número
contenido, en los intervalos abiertos
Entonces, solo tenem os que estudiar el
comportamiento de f, en los puntos x = - ; rt; 2n
_ 7
T 2
En x = - tenemos
2
f( —| = cot —= 0; lim f(x) = lim (-sen 2x +4) = 4
y lim r(x) = lim coLc=0
como lim f(x) * lim f(x) .entonces limf(x-)no
existe
Por lo tanto, f es discontinua en - .
los resultados de los demás puntos, incluyendo
el analizado fx- = í j, quedan reflejados en la
siguiente tabla
Finalmente la respuesta de este ejercido serán
, Jt
los puntos - y it,
En la figura 10.8 se ha bosquejado la gráfica de f
correspondiente a este ejemplo.
Ejemplo 2
Verifique que la función f, definida por
íx2+2 *; x < 0
f(*) = 12senx ‘
j— ; x > 0
es continua en c=0
Resolución
Se observa que f(0) está definido, es decir
f(0) = 2
lim f(x) = lim (x2+ 2) = 2
x~*0~ x~*0~
lim f(x) = lim 2seay = 2
jr—
»0’ x-tO' X
c f(c) lim f(x)
X — >C~
lim f(x)
X -* C *
conclusión
7
1
2
0 4 0 discontinua
n i
no existe
ó — 00
1 discontinua
2n 3 3 3 continua
entonces
limf(x) = 2
y como
limf(x) = f(0) = 2
.*-»0
entonces f es continua en c=0
715

Definición (continuidad lateral)
Una función f es ,
I. continua por la izquierda de c, si y solo si lim f(.v) = f(c)
X
->
C
"
II. continua por la derecha de c, si y solo si lim f(x) = f(c)
X
—
>
C
‘
r
En la figura 10.9(a), tenemos un ejemplo de continuidad por la derecha de cero; y en la
figura 10.9b) tenemos un ejemplo de continuidad por la izquierda de cero.
Función continua a ia
derecha de O, ya que
lim -íx =0
0
Figura 10.9
Función continua a la
izquierda de O. ya que
lim -Ax =0
Definición (continuidad en un intervalo cerrado)
Para una función f definida sobre un intervalo [a; b ]. diremos que f es continua en dicho intervalo si
se cumplen las siguientes condiciones:
I. Continuidad en cada punto c del intervalo abierto (a:b)
II. Continuidad por la derecha de a, y.
III. Continuidad por la izquierda de b.
Por ejemplo, la función f(.v) = árceos .Y(cuya gráfica la tenemos en la figura 10.10). Es continua én
el intervalo cerrado [-1; 1], puesto que es continua en cualquier número d e(-l; 1), continua por la
derecha de -1 y continua por la izquierda de 1.

Definición (continuidad en un intervalo abierto)
Si una función f es continua en cada punto del intervalo abierto {a; b ) , entonces diremos que f es
continua en (a; b ; .
Ejemplo 1
Tenem os la función f(x) = tanx donde su
gráfica parcial, la tenemos en la figura 10.11(a)
entonces f no es continua en ce Z
-3
Y
í T 3
: : 2
-2 -1 O 3 4
X
(b)
Ejemplo 3
La función f(Y)=senx, donde su gráfica parcial,
la tenemos en la figura 10.11 Ce).
Esta función es continua en el. intervalo abierto
/ n n
2 ’2 / ’Puesto Que es continua en cada numero
perteneciente a dicho intervalo.
Ejemplo 2
, . f3, x e T
La función fCArj = i
,[2 ,x e R -Z
cuya gráfica es 10.11 (,b), tiene límite en todo punto
de su dominio R, pero si c e Z
entonces
limf(x) = 2
X ~ ¥C '
f(c) = 3 # 2
Figura 10.il
Esta función es continua en el intervalo (0;2n) ya
que es continua en cada número que pertenece
a dicho intervalo.
717

Teorema de la función intermedia o de estricción
Si las funciones f, g' y h están definidas en algún intervalo abierto I, donde está contenido ei
número c, excepto posiblemente en e mismo, y que f(x) < g(x) < h(x) para todo x en Ipara lo cual
x * c , entonces si lim f(x) = lim h(x) = i
X — >C X — >c
Por lo tanto lim g(x) = l
X ~ *C
Para ilustrar este teorema, en la figura 10.12 están representadas las gráficas de tres funciones f, g y
h. Se observa que, para x próximo a c, g esta “atrapada” entre fy h (los valores de estas funciones en el
mismo punto c no tienen importancia); además, se observa que cuando* tiende a c, f(x) y h(x) tienden
ambos al mismo límite C, entonces también g(x) tiende a C.
Ejemplo
Calcule
L = lim xsen—
*->o x
Resolución
1
xsen —
x
como .sen
>Ixl í
= Ixlsen—
x
<1 Vx * 0
i^]<W
XI
-0< x sen —
I<W
XI
>lim
X-.0
xsen —= 0! (Por el teorema de estricción)
x I
=> lim xsen—=0,
x - td X
pues lim f(x)=0 lim!f(x) = 0
jf—
>
0 x->0
/. L = 0

LÍM ITES TRIGONOM ÉTRICOS NOTABLES
A continuación, vamos a utilizar el teorema
de la función intermedia para demostrar límites
trigonométricos que serán de mucha utilidad para
cálculos posteriores.
v Teorema . ______ j
üm sen*
= 1
D em ostración
Primero, analizaremos cuando x tiende a cero por
la derecha, es decir, parax>0.
(a)
En la figura 10.13(a) se tiene que el ángulo x
positivo, está expresado en radianes, donde
área de 'área del ' 'área de la '
la región sector región
triangular circular triangular
OPA
1
-s e n x
2
i. OPA J [ o a q J
-ta n x
2
<
1
-X
2
<
senx < X <
senx
cosx
i i cosx
senx * X senx
Multiplicando por sen x ; (senx>0)
1
Ordenando
cosx
senx
x
senx
cosx
Ahora, analizando cuando x tiende a cero por la
izquierda, es decir x<0.
A
|tanx|
(b) Q
Figura 10.13
En la figura 10.13(b) se tiene una circunferencia
cuya medida en radianes del ángulo central es
|x |, además se verifica:
-Isenxl < —
Ixl < -Itanxl
2 2 2
Como x< 0 y próximo a cero, entonces
Isenxl = -senx; 1x1= -x y Itanxl = -ta n x , de
1 1 1
donde obtenemos --s e n x < - —
x < - -ta n x
De donde senx>x>tanx
senx x tanx
= )------ < ------- < -------
senx senx senx
Reduciendo 1<—
— <——
senx cosx
. senx ,
Luego c o sx < -------<1
x
Entonces, decim os que la desigualdad
Senx *
•
c o sx < — — <1 se cumple para x próximo a
cero (por la derecha o izquierda).
Además lim cosx = cosO = l y liml = l .
x->0 x-+0
Finalm ente, por el teorem a de la función
.. senx
intermedia, concluimos que -------= 1
^ x-,0 X
719

sen x
En la figura 10.14, se tiene la gráfica de la función f(x) = -------, cuyo dominio son todos los reales,
excepto cero; nótese que cuando x se aproxima a cero por la derecha o izquierda, f(x) tiende al valor
de 1, sin importar que f(0) no esté definido.
En form a análoga al teorem a anterior, se
demuestra el siguiente teorema.
i : 1 ...
i Teorema
tanx
= 1
Cuando x tiende a cero, 3x tiende a cero; lo mismo
sucede con 3x, entonces
sen3x 3sen3x
lim-------- = lim -
x—
»0 y 3x-»0
lim
x—
>
0
X
sen3x
3x
sen3x
= Iim3 x lim ----------
X x->0 3x->0 3x
Sin embargo, este teorema lo podemos demostrar
utilizando identidades y aplicando lo anterior,
senx
lim
x—
>
0
tanx = lim cosx
*-»o X.
senx
= lim ------->
X-.0 X
=lim
*->0
senx
lim -------
x-<0 cosx
tanx ,
.-.lim------= 1
x->0 r
Ejemplo
Determine si existe lim sea^*
x-tO X
Resolución
Hay que escribir el cociente sen3x de tal manera
x
que podamos aplicar el teorema como x * 0 (ya
que x solo se aproxim a a cero); tenem os
sen3x _ 3sen3x
x 3x
.. sen3x „ , .. sen3x „
lim--------= 3x1 .-.lim ----------= 3
x—
»
0 x X
-+0 X
Teorema
Para todo número rea! p diferente de cero, se
verifican
. senpx
I. ltm-— — = p
II. l i m ^ H = p
J-0 X
Ejempl° tan2x
Calcule el siguiente límite lim--------
x-^otan5x
Resolución
lim
tan2x
2x
tan 2x
..... L= lim —
x-*otan5x x-*og^tanDX
lim 2
2x^0
tan2x
2x
5x
2x lim
2x->0
tan2x
2x _ 2x1
lim 5
5x-*0
tan5 x
5x
5x lim
5x-*0
tan5x 5*1
5x
2
' 5

CAPITULO X Elementos de cálculo: Límites y derivadas
Teorema
Para todo p y q pertenecientes a los reales, tal
que q * 0, se verifica
L l i m 5 ^ = P III. l i m ^ M = E
*-» sen(qv) q *->
o tan(qx) q
II. l i m ^ P í l = P
tan(cpr) q
IV i¡m Í£QÍP£l = P
sen(qx) q
Ejemplo
.. sen4x 4
. lim-------- = —
*-°sen2x 2
2
Teniendo en cu en ta el límite siguiente
sen* ,
lim-------= Lse puede dem ostrar el teorem a
ic~*P X
siguiente
!
__________________Teorem a _____
aresenx arctanx ,
lim--------— = 1 hm-—--------= 1
x-» 0 X x-*0 x
Demostración
Ppr la propiedad de funciones trigonométricas
inversas sen(arcsenx)=x
. are sen x are sen x
luego ------------= ------— ---------
x sen(arcsenx)
como x tiende a cero, lo mismo sucede con
aresenx, entonces
fim ^ s e n x _ ¡¡m aresenx
x~*o x x-.o sen(arcsenx)
haciendo arcsenx=9 ,
tiende a cero, luego
,. aresenx 9
Iim-----------= lim ------
x—
o x «-o sen 6
areseav (sen0í
lim-----------= hm —
—
en consecuencia 0
(Estoes loque se buscabademostrar)
¡ I ^ N o ta I
En las demostraciones anteriores, se ha utilizado
algunas propiedades de limites. Para su revisión
ydemostración se sugiere al lector revisarun texto
más abocado al tema de límites en general.
A continuación, se plantea algunas de éstas
propiedades o teoremas de límites.
I. lim[f(x) + g(x)] = limf(x) +limg(x)
x~*a x-*a ~ x —
*a
II. lim [f(x)g(x)] = limf(x) limg(x)
ffy') limf(x)
III lim l7í T = f ia^ : S(*)*0
“*
• *-*ag(x) Iimg(x)
IV. lim c^C ; donde c es constante
V. lim[fW ]n =[lim f(x)]n ; para todo n e Z +
V!. Hm!
v/fW = ; para todo n e Z +,
con la restricción de que si n es par,
lim f(x)>0
x -*a
L x j t t U p i U
Halle el siguiente límite
L
.. i sen4x aresenx
h m l----- — +
*->o(sen2x 2x
. .. sen4x aresenx
*-*°sen2x *->o 2x
, 4 1
2 2
, L - l
2
Otro número irracional de bastante uso dentro del
cálculo es la base de los logaritmos naturales (e); el
cual tiene varias utilidades como, por ejemplo, para
expresar la forma exponencial de los números
complejos. Antes de ver su cálculo mediante límite,
le sugerimos que analice la siguiente lectura.
721

L .
E l
LA POLEMICA ENTRE LEIBNIZ Y NEWTON
R
A 5
V •
; C
-
H
&
ftgss
_ .¿ La mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia fue la prioridad de la invención
r® *
del cálculo. Las suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores, primero
sobre quién habría descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado
de! otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que am argó los últimos años de
ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues ios métodos de
ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis
independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento
continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la
misma -de su fluir-, mientras que Leibniz consideraba una curva como form ada por
segmentos de longitud infinitesim al cuya prolongación '.jv T ív r y r r y ••vjp
generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría
se o b tie n e la c o rre s p o n d ie n te re la c ió n e n tre las
diferenciales. Incluso la fundomentación de ambos métodos
es totalmente distinta.
Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante e!
concepto de límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la
década 1960-70, hasta la aparición del Análisis no estándar
de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó
a finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho
ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el
mismo Newton le había indicado que existían en sus
Epistolae- además que en Holanda -como le aseguró Wallis-
se atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de Leibniz habían publicado
l el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó el Márquez de
L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bemoulli y de cuya primera
fí edición podemos adm irar una foto -nótese que no aparece el nombre de su autor por
eí ningún sitio- uno de los problem as que se resolvió gracias a la nueva herram ienta
í j descubierta por Newton y Leibniz: el problema de la braquistocrona.
El problema consistía en determ inar la curva por la que un cuerpo desciende en el
menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. Este
problema ya interesó en su día a G alileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual
no es raro pues para resolverlo se precisaba del cálculo-. La historia es como sigue.
T b iS
Gottffíed Wilhelm Vori Leibniz
(Alemania 1646- 1716)
5
¡:
722

En junio de 1696 de las Actas Erodiiorum, Juan Bemoulli lanzó un reto a los mejores
matemáticos del mundo. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del ano -
el plazo original fue de seis meses pero a petición de Liebniz se am plió para que tuvieran'
tiem po los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron
cinco soluciones: una de Leibniz, una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo,
una del conde W alter de Tschirnhaus, del M arquéz de
L'Hospital y una anónima. Todas, excepto la de L'Hospital ,r- •>’
daban con la solución: la cicloide. ¿Quién era ese autor
anónim o que escogió las Phiiosophical Transacfions para
publicar su genial solución que sólo contenía 67 palabras?
Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernulli
exclam ara «tanquam ex ungue leonen», algo así com o
«¡reconozco al león por sus garras!» pues claro está que era
Nev/ton. Años más tarde se aclaró toda la historia. Como ya
dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a
Nev/ton en particular justo en el momento en que comenzaba
la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton
era tar, bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una
carta de Leibniz a Juan Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá
lesolverlo -Newton entre ellos claro está-. Incluso años después, ya en plena polémica,
Leibniz en una reseña a la solución del problema afirm aba que el problema no podía ser
resuelto sin la ayuda de su recién inventado m étodo que sólo aquellos que habían
profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos eran los Bernoulli, L'Hospital
y Newton.
Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya
no «hacia ciencia» sino que trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Según cuenta la
sobrina de Newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado
de la Casa de la Moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que
probablem ente no sabía la sobrina era que Newton ya había pensado en ese problema
unos años ante^y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la
memoria ese día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había resuelto
el problema ¿por qué no lo publicó? Como respuesta foral a esta pregunta tomaremos la
que dio Augusto de Morgan «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton
tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho»,.
Isaac Newton
(Inglaterra 1642 - 1727)
723

El número e
- Sean las funciones f y g cuyas reglas de
correspondencias se dan a continuación
fW = (l + Jf)* ; g(jr)=j 1+ i |
Para que f y g estén definidas en el campo
real, sus respectivas bases deben ser positivas y
diferentes de la unidad, es decir:
l + x > 0 a x * 0 ; 1+ —> 0; x * 0
x
Por lo tanto, los dominios de f y g se dan a
continuación
Domf ={-l;0)j(0;+°°);Domg = (-=°;-1)u (0;-h»)
Los gráficos de fy g se dan en la figura 10.15
(a) y figura 10.15 (b) respectivamente:
’ El número e por definición es un límite de f
cuando x tiende hacia cero (por la derecha o
izquierda); o también puede ser igual al límite de g
cuando x tiende hacia +
■
*= ó -<», es decir
Además, el núm ero e es un núm ero
irracional, cuya aproxim ación decim al es:
e = 2,7182
Ejemplo 1
2
Halle el valor del siguiente límite limtl + senx)*
x-»0
Resolución
r i v ¡
i lim | 1+ -. I =ei
x ) I
____ )
i
; lim(l +x)* = e
| X
-»0
L— --------.»
____
1 1 sen x
lim(l + senx)* = lim(l+ senx)senx* x
x-»0 x-»0
Comox tiende a cero, senx también tiende a cero,
entonces
i- 1 sen x
lim(l + senx)x = lim (l + senx)sen* *
x-»Q sen x-»0
j senx
lim(l + seru)r =
x —
»0
Iim(l + senr) * = [e]1= e
x->0
lim (1+ senx)sen*
senx->0
Ejemplo 2
Calcule L= lim
x-tOl
Resolución
L = imí u i f
x-»0l
x j
L= lim r . * í f
4 . x-*0 l X)
L = [el2
L= e2
724

Problemas Resueltos
Problema 1
Demuestre que la longitud de una circunferencia
2
de radio Res igual a 2rtRyel área del círculoes rtR .
Resolución
Se demostrará
A. Longitud de la circunferencia
En una circunferencia de radio R inscribimos un
polígono regular de n lados, se puede calcular el
perímetro de dicho polígono, considerando el
gráfico mostrado
Sea P el perímetro del polígono regular de n lados.
P= n( A,A2 )... (1)
/
En el triángulo A¡OA2 (isósceles) trazamos la
altura OH.
luego «A.OH=<HOA, = —
1 ¿ n
Se tiene A,A2 = 2Rsen —
n
Luego reemplazando en (1)
P = 2 R n sen -
n
Se observa que si n se incrementa, el perímetro
del polígono se acerca a la longitud de la
circunferencia; por tanto
Longitud de n
„ =lim 2Rnsen—
Circunferencia n->» n
L = Iim-
2Rrí
' n ^ Tí
s e n -
n n
{ ^
rt n
s e n - se n -
L = lim 2Rn----- = 2Rn lim--------
n—
»*» T í n—
»*» T í
Si n-
n
=» ——
>0
n
n
i s e n -
luego, hm ___ n _ j
L = 2Rn
B. Área del Círculo
Sea Ael área de la región poligonal regular de
n lados y S el área de la región triangularA,OA2
=> A=nS. ..(1),
. _ R *R 27t
donde S= —-—sen—
¿ n
Reemplazando en (I)
. nR2 2ti
A = -----sen —
2 n
Se observa que si n se incrementa, el área del
polígono se acerca al área del círculo de radio R.
area del
= lim
círculo n-*»
nR 2re
-----sen —
2 n
Ordenando para aplicar el límite
S = lim TtR
2n
sen —
2 _
_ n_
2n
•
725

luego
S = nR lim
Si
2ir
sen—
___ n_
2n
n
27
1
— =>
n
2n
luego, lim
sen-
n
en (1) S = t
c
R2x(1)
S = JtR
...0 )
o
= i
Problema 2
¿Cuál es el área de la región limitada por la gráfica
de la función y = semr y el eje X situado
entre 0 y n?
Resolución
• Representamos por S el valor del área de la
región indicada.
• Ahora, imaginamos que el intervalo [0; ir] es
dividido en n partes iguales, de tal manera
que se van a formar rectángulos verticales
7
1
externamente (de base — y altura igual a la
ordenada según y=senx) a la región cuya
área buscamos hallar; de la siguiente manera:
(b)
De la figura, el área de la región buscada S es
m enor que la sum a de las áreas de los
rectángulos (S,), esto implica que el cálculo será
por aproximación, así
. ir jr ir 2n n 3ir ir mr
S. = —sen —+.—sen — + —sen — + ... + —sen —
n n n n n n n n
_ 71 71 271 371 » 7T
S.= — s e n - + sen — + sen — + ...se n (n -l)-
n[_ n n n n .
Para simplificar la sumatoria de senos aplicamos
la fórmula de serie trigonométricas dado en el
tem a de identidades de transformación
7
1
s , = -
* n
sen(n-l)
2n xsen
7t r 71
—h(n —
lj —
2n
Tí
s,= —
1 n
, n n
s e n o
2 2n
71
sen—
2n
xsen-
tí n
S'= ñ c o t2ÍÍ -(1)
Si consideramos que la longitud de la base — de
cada rectángulo sea muy pequeña y de esa
m anera el área en exceso también sea ínfima,
asumimos que n sea muy grande, es decir
S= i™ s, ...(2)
sustituyendo (l)e n (2 )
S= lim í cot—
n->
* n 2n
S= lim
n-»oo
n
n
tan-
2n
726

Para aplicar el límite notable, efectuamos
71
2n
S = 2, lim
s r ° tan
S=2(l)
JI
2n
S=2p2
En general el área entre la gráfica de la función
71
y=AsenBx y el eje X situado entre 0 y g .
(Ver figura)
Resolución
Evaluando en el valor de x dado
a .. 7t V 2
d■ lim senx = s e n - = —
„ * 4 2
lim
x->2
7IX o
sec----- 2x
2
f n
= sec
Ir2
)
arcsenl x - arcsen! 1-
c. lim-
X — >1 ardan x ardan 1
arcsen|
ardan 1 n 3
4
Mota'1 v .__________________ ____
En cada uno de estos casos, al calcular el límite
respectivo hemos evaluado directamente, pues
las funciones están definidas y son continuas en
dichos puntos. En lo que sigue, darem os
problemas donde la evaluación no es directa.
Es 'rallado por
Ejemplo
• x
El área debajo de la curvay=3sen—, con el eje X,
entre 0 y 27: es S = 2 ^ ^ j = 12 u2
Problema 3
Calcule el valor de los siguientes límites
a. lim sen x
rt
b. lim
c. lim
*-»i are tan x
sec— -2 x
2 ' J
arcsen x —
2-
Problema4
Calcule
sen7x-sen3x
lim--------------------
x-*
0 xcos3x
Resolución
Evaluandox=0 se obtiene i (indeterminado) por
tanto
sen7x-sen3x 2cos5xsen2x
hm ------------------- = hm --------------------
*->o xcos3x jt
-*o xcos3x
sen7x-sen3x
hm -------------------
x->0 xcos3x
= 21im
x-*G
sen2x
x
lim
cos5x
x->ocos3x
.. sen7x-sen3x „ (1)
lim ------------------- = 2x(2)x -
*->o xcos3x l l j
sen7x-sen3x
lim --------------------
jt->o xcos3x
= 4
727

Problema 5
Evalúe el siguiente límite
_ .. f 3 sen7
ix -s e n 37tx
E = lim ------------j----------
x 4
Resolución
De las fórmulas del arco triple
3sen 0 - sen 30 = 4sen30
entonces
tanx
.. ta n x -se n x J .. sen 9
lim-------- =
■
------=2 lim------ ¿
sen x
ta n x -se n x J
lim-------- =
------ = 2
tan x -se n x
Um-------- ;------=
I“>
0 sen x
1
*->«senx
,2 ',
lim-
*->0coSX
3senrcc-sen3nx = 4sen Ttx
Reemplazando con E
E = lim
x -> 0
f . 3 "
4sen ux
tanx
Problema^
Calcule R= lim
cotx + cot2x
"í sen 2 x -sen x
3
sen 7tx 1 tan x
E = lim4¡
x —
>0
E = 4| l i m ^ l lim ^ H
, * - * 0 X J*-*0 X
E = 4(7t) xl
E = 4ji3
Problema 6
Calcule lim
tan x - sen x
*-*° sen x
Resolución
senx
ta n x -se n x .. r0c *
•
lim-------- x- = lim -*
x-*° sen x
-senx
3
sen x
Resolución
Como
sen(2x + x)
cotx +cot2x _ senx sen 2x
sen 2 x -sen x
cotx + cot2x
sen 2 x -sen x
cotx +cot 2x
sen 2 x -sen x
cotx +cot2x
sen2x-senx
x 3x
2sen —eos —
2 2
sen3x
2 senxsen2xsen—co s^ -
2 2
¿ sen y
%senxsen2xsen —c o s /í
2 / 2
sen-
3x
senxsen2xsen—
2
^eríx-f —-—
lim ^ x - senx = 1¡m-------Ico sx
x-^° sen3x x-*° serdT sen2x
1-cosx
2sen
2X
1¡mtan x -se n x =1¡m_ c ^ =lim_ c o ^
. v.<n —
__ ‘ .. v
- .
*->° sen x x-*° sen x jr->
0 sen x
ta n x -se n x .. „
lim-------- =
------=lim 2>
x-*° sen x x_>0
sen-
senx cosx
Entonces, reemplazando en R, tenemos
3x
sen-
R = lim -
R =
R =
sen x sen 2x sen—
3 2
n
se n -
_________2
T
I 2rt 7
1
s e n -s e n — s e n -
3 3 6
1
S V3 1
-— X X —
2 2 2
* - !
728

Problema 8
Halle L = lim
se n x -se n n
*-»n x - n
Problema 10
Calcule P lim —
x-»01_
18jc2
Vcosrcr
Resolución
lim
„ , x - n i I x +n
2sen[ —
— |cos| —
Como x tiende a n, tanto la diferencia x - n tiende
a cero, con lo cual escribimos
L= lim
sen x -s e n n
x-n-*0 x - n
Resolución
P = lim
18x2 (lW cosrcx)
x-*°í--Jcosjvc (í +y/cosnx)
_ .. 18x2(l + /cos7tx)
P = lim-----------------------
x-.0 1-COS7W
18x2(l W cosjix)
P = lim
x-,0
2 sen
27U
f
L= lim
x -n -> 0
n ,x - n ] fx + n
2 s e n ------ e o s ------
2 n 2
x - n
sen
L= lim
2 J .. ( x + n
—
—1 lim eos
1
1
1
1L----- *
-------- 1
1
1
1
1 --~
-n -» 0 X — H .r - n —
»0 ^ 2
L= lim eos——
— —
cos(n)
x -n -> 0 2
Problema 9
Calcule el valor del siguiente límite
a rc se n (x -2 )
lim------«----------
x2 - 2x
Resolución
El límite a calcular se puede escribir com o
sigue
a rc se n (x -2 ) .. a rc s e n (x -2)
L= lim ------5---------- = lim -------;----—
t—
U-2)—>0 x 2 - 2 x (x
-2)->0 x(x-2)
arcsen (x -2 )
lim --------- i------ lim —
(X-2P-.0 x - 2 [(x-2)->0x_
.L= -
2
p = lim 9 ( l W ^ p
rtX
sen —
__2
91im(l + -Jcosñx)
P_ x-»0______________
. o
sen —
lim------ —
P = 9
X-.0 X
(l + VcosO) 9(2) 72
n_
4
Problema 11
Si f(x) es una función tal que
1+ x 2 < f(x)< tan^x + ^
Calcule lim f(x)
x-*0
Resolución
Utilizamos el teorem a de estricción, pues
lim (1 + x2) = 1
lim tan x + - |= 1
x->o ^ 4,
entonces lim f (x) = 1
x-*0
729

Problema 12
2 ' r 2
~ " - Vrr — ■
-Jm +co s'x -V m + cos"a . , .
Halle lina---------------------------------- , en términos de las constantes m y a.
s e n a -s e n x
Resolución
Vm + eos2x - Vm + eos2a (Vm + cos2x ■
lina-------------------------- ------- = lim -
V m Tcos^a) (Vrñ+ cos2x + Vm + eos2a )
sena - sen* (sena -señar) • (Vm + eos2x + Vm + eos2a )
(m + eos2x ) - (m + eos2a)
A= Hm — ---------- _ ----------—
*_>a(sena-senx)(V m + cos‘x + Vm + cos a j
A= lim
2 2
eos x -c o s a
J~
*a (sena - senx)(Vm + eos2x + Vm +cos‘ a )
Pero eos2x - eo s2a = (l - s e n 2* ) - ( l - se n 2a ) = s e n 2a - se n 2* = (s e n a + seru r)(sen a - s e n x )
(sena +sen x ) (¿ sa a ^ S e n x )
A= lim - -------------- ---------- _
(¿en<t~=^s€nx) (Vm + eos2x + Vm + eos"
A=
Evaluando
sena + sena
2 I T
- - -Vrr --- -
A =
[m + eos" a + Vm + eos" a
sena
m + eos a
Problema 13
Calcule lim
(are sen3x)x Vtanx
x->o‘ x V cscx -co tx
Resolución
Nótese que, en el límite a calcular, no tiene sentido si x —
>0 ', ya que tanx sería negativo y Vtanx no
estaría definido en los reales.
(are sen 3x)Vtanx (arcsen3x)Vtanx (Vcscx+cotx) (arcsen3x)VtanxVcscx + cotx
■
eet “ Jim i i __i_
g
!í v— — _■ . —
• 2
2
2 ItH"t — — ■
‘ ■............. -- —
----- — —
.
í™ xVcscx-cotx xV cscx-cotx (Vcscx+cotx) jr->0
Pero CSC2X-C0t2X= 1 (por identidades fundamentales)
lim ■
xVcsc2x -c o t2x
(are sen 3x)Vtanx (aresen 3x) Vtan x esc x + tan xcot x .. (arcsen3x)Vsecx + l
hm-----? = lim--------------------------------------------- = lim------------------------—
X-.0* X V c S C X - C O t X j_ ,o * X x-»0* x
(arcsen3x)Vlanx - lim ------------- lim Vsecx + l
lim .---------------
x-*0
' xVcscx-cotx
.. (arcsen3x)Vtanx
lim -
mo* xV cscx-cotx
Vsec0+1
.. "(arcsen3x)Vtanx _
lim -----7 ..... ...... = 3n
/2
x-,0
' xV cscx-cotx

Problema 14
De la figura adjunta, calcule l i m ^ —
Resolución
En la figura, hacem os que CE=a, entonces por
resolución de triángulos rectángulos, tenemos
• En el A BEC : BE= a tan a
• En el ¿3BAE : AB= a tan a sen a
• En el ¿3CDE: C D = ac o sa
Entonces
CD-AB .. a c o s a -a ta n a s e n a
lim — —— = lim-
a-*0CE-BE a-*0 a - a ta n a
.. CD-AB
lim----— —= lim
a-»o CE —
BE
cosa-
1-
sen a
cosa
sena
cosa
.. CD-AB
lim-----------
a->o CE - BE
(cosa+ sen a)(co sa-sen a)
= lim--------------- £ 3 ^ --------------
a-»o co sa-sen a
cosa
lim — —A®. = i¡m (cosa + sena)
a->o CE —
BE ó-*o
.. CD-AB n
lim-----------= cosO + senO
CE —
BE
.. CD-AB
lim ------------ = 1
“ -*0 CE - BE
Problema 15
Calcule lim
l-co s(sen 4 x )
x~'° sen (sen3x)
Resolución
Sea
, .. l-cos(sen4x)
L = lim------—
---------—= lim
2sen'
¡( sen4x
*-*° sen (sen 3x) *-*° sen (sen 3x)
'sen 4 jr'"1
L = lim2
x->0
sen
L = 21im
x-+0
sen (sen 3x)
, sen4x
sen
( sen4x) ( sen4x'j
2 [ T J
sen(sen3x) (sen3x)
(sen3x)
Como x tiende a cero, entonces sen^x y sen3x
2
también tienden a cero, por lo tanto escribimos
, sen4* 1 l2
sen
L = 2
lim
sen4*-*0 sen4x
_2_ 1.. sen4x
„ ,-x -lim ---------
sen (sen 3x) 2*->o sen3x
lim , o
xníx-^o (sen3x)
L = 2
1 1 4
- x - x -
.1 2 3
’ = * L = -
9 . 9
Problema 16
Calcule lim-
x-*Q
|x + sen jc.+ ¡tan jc—
jc|
Itan jc¡
Resolución
Primero calcularem os el límite cuando x se
aproxima a cero, a través de valores positivos, es
x + sen2x + ltan x -x |
decir lim ---------- ¡
—
i— ------------
x-»o- |tanjrj
731

Como para todo x > 0, próximo a cero se verifica
que |x + sen2xj = x +sen2x ;jtan x -x | = ta n x -x
(ver figura 10.19) y ¡tanx = tan x
V x e (0 ;-| se cumple tanx>x
Entonces
A = lim ■
X
~»Cf
x +sen x +Itan x - x
tanx
A = lim
J
C
-tO
*
A= lim
x-,0'
x + sen x + ta n x -x
tanx
sen x + tanx
tanx
A= lim (senxcosx + 1)
x-*0"
A = sen0cos0 + l = l
Ahora, para x negativo próximo a cero, tenemos
x +sen2x| + Itanx - xl
lim -—
x-*0‘ tanx
como para todo x<0, próximo a cero se verifica
qué
x +sen2x = -x - sen2x
|tan x -x | = -tan x +x ... (ver figura 10.20)
732
Vxe se cumPÍe M > sen2x =>-x>sen x
.-. 0 > x +sen2x ytanx<x = > tan x -x < 0
Entonces
x + sen2x! +Itanx - xl
B= lim
x-»0~
B = lim
x->0"
Itanxl
-x -s e n 2x + (-tan x + x)
-tan x
_ sen x + tanx
x-*o~ tanx
B= lim (senxcosx + 1)
*->o'
B= 1
Como los límites laterales A y B son iguales
entonces ,
x + sen x +'ta n x -x
lim-
x -a |tanx|
existe y es igual a 1
Problema 17
Calcule lim xsen!
Resolución
lim xsen — |= lim
l x , 2
x
x2

escribimos
lim xsen — ¡= lim
u
5 , se tiene — =>o> entonces Problema 19
X 1
(2 ) Calcule lim(cosx)*
sen x-*0
2 m — 2 ^ X2
- - + 0 ± Resolución
X ( 2
Sea
sen — 1 1
2 lim L=lim(cosx)x =lim(l+cosx-l)x
X
x-iO x-*0
iim xsen| —J = 2 x 1
lim xsenj —j = 2
x arc tan x -sen x
rodlema18
Calcule lim
Resolución
.. x arc tan x -sen x .. ,
lim -----------------------= lim arctan x -
senx
x arc tan x -sen x .. . * ..
lim -----------------------= lim arelan x - lim
x arc tan x -sen x
x
senx
lim * - 0 = *
2 2
sen*
La gráfi :os de y=arctanx a y =
A
.
se observan en las figuras 10.21 (a) y 10.21 Cb)
(a)
(b)
Figura 10.21
Como x —
>0, entonces (eos x -1) -> 0. entonces
1 cosx-1
L= lim (1+ cosx-1)™**-* *
cosx-l->0
L= | lim (1+cosx —
1)cosx-i *
l cosx~l-+0 '" J
-2sen — sen—
lim ------------2 lim ----------------- 2- lim s e n - - 2 x - x 0
L — g r~*° x - g x-*o x x—
o 2 = g ¿
L = 1
L= e° =1
Problema 20
Calcule lim
l+2sen2x
*->oLl-2sen2x.
Resolución
Sea
L= lim
l+2sen2x
L= lim
x-»0
L = lim
*->o|_l-2sen2x
l+2sen2x
l-2 sen 2 x
4sen2x
-1 + 1
- + 1
x-»oLl-2sen2x
Como x -+ 0 , entonces 4sen2x q t por [Q
l-2 sen 2 x
tanto escribimos
L= lim 1+
4sen2* ,01
. l-2sen2xj
,1-2 sen 2x
4sen2x
t 2sen2x >r-»oO-2sen2x)sen3x
4sen2jc 4sen2x
. 2 ,
........ ..... 4x-xl
0 x-*osen3x x - .o l- 2 se n 2x _ ^ 3
L= e3
733

NOCIÓN INTUITIVA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La Derivada se define como un límite, y se usa
al principio para calcular las tasas de variación y las
pendientes de las tangentes a curvas. El estudio de
las derivadas se llama cálculo diferencial y una
aplicación matemática de las derivadas es obtener
la gráfica de funciones, obtener los valores extremos
(máximos y mínimos) de las mismas y extenderlo
en el análisis de diversos fenóm enos físicos,
químicos, etc. Barello tiene muchas aplicaciones en
los diversos campos de la ciencia, por ejemplo, en
Física, para hallarlavelocidad, aceleración yanalizar
el comportamiento de una partícula; en Economía,
para estudiar el ingreso, costoyutilidad marginal, que
son conceptos importantes en el análisis económico,
y así podemos citar diversas aplicaciones.
Muchos problemas de cálculo dependen de
la determinación de la recta tangente a una curva
dada en un punto específico de la misma, por ello
iniciamos el estudio de la derivada analizando
dicho problema.
La Recta Tangente y la Derivada
Examinemos una curva continua rf en el
plano (figura 10.22 (a)). Supongamos que A es un
punto fijo de dicha curva y A' es otro punto
también en :
€ .La recta S es denominada secante
de la curva W . Ahora, comencemos a desplazar
el punto A' por íf aproximándolo a A. en este
caso la secante S girará respecto a A (figura
10.22(b)). Transformándose en ia recta T(figura
10.22(c)) a la cual se le denomina recta tangente
a la curva W en el punto A.
f
Figura 10.22
Ahora, supongam os que la curva ÍF es la
gráfica de una función continua y=f(x) (figura
10.23(a)) y A(x;í(x)) un punto fijo de dicha
curva, donde x pertenece al intervalo abierto
1. Ahora, elijamos un núm ero pequeño h*Ó
tal que (x + h )e l , entonces el punto C(x+h;
f(x+h)) pertenece a la gráfica de f. La secante
S que pasa por A y C, forma con la dirección
positiva del eje de las abscisas un ángulo p Cuya
tangente es igual a:
tanP =
f(x + h )-f(x )
h
Si hacem os que h tienda a cero, entonces
debido a la continuidad de f en el intervalo abierto I,
el punto C se desplazará por & y tenderá hacia
la posición de A, luego se puede apreciar que
tan a = limtanP
h^O
tan a =lim
h->0
f(x + h )-f(x )
h
734

es la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de f en el punto (x; f(x)). A menudo hablaremos
de la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de fes (!r; f(x)) o simplemente como la pendiente
de la gráfica de f en un determinado valor de x.
Ahora bien, no siempre tal límite existe, como
por ejemplo en la función í(x) = !x-2l + len el
punto A(2;l).
Figura 1033
Pues geom étricam ente, en A existe una
esquina o vértice y no es posible tener una recta
tangente (T) bien definida en ese punto. (Ver
figura 10.23(b))
Definición
La derivada de una función fes aquella función, denotada por fc u y o valor en un número cualquierax del
, . . , r f(x + h )-f(x )
dominio de festa dado por t (x) = lim------------------- si este límite existe.
h -* 0 h
Si c es un número particular en el dominio de f,
' f(c + h )-f(c )
entonces f(c ) = lim —
-------— —
h^O h
Si este límite existe, notamos que la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el
punto (c;f(c)) es precisamente la derivada de f
evaluada en c.
(Véase la figura 10.24), es decir: m, = f'(c)
pendiente deja recta
Ejemplo
Dado f(x) = 2x^+1, obtenga f'(x), y la ecuación
de la recta tangente a la gráfica de f que pasa por
el punto (1;3).
Resolución
Hallando f'(x)
f'(x) = lim
h—
>0
f(x + h )-f(x )
h
f'(x) = lim
h-»0
,_ [2 (x + h)2+ l]-[2 x 2+ l]
....... h-
h^O
^ 2'+4xh+2h2+ Í - ^ - f
f'W =
.. 4xh + 2h2
lim------------
h->0 h
735

f'O ) = lim (4x + 2h)
f'M = 4x+2x0
f'(x) = 4x
Hallando la pendiente de la recta tangente
m T = f'(l) = 4xl = 4 •
Por la ecuación de una recta, tenernos
y->0 = mT0 - x 0)
donde podemos considerar que
(xD¡ y j = (1 i 3), entonces y-3 = 4(x-l),
y = 4x -1
(La ilustración de este ejemplo la tenemos en la
figura 10.25)
Q ueda para usted resolver el siguiente
ejemplo en forma idéntica.
Halle la ecuación de la recta tangente a la
gráfica de la función fdefinida por f(jc)=x2+2, en
el punto P (l;b)
A jo que debe encontrar y - 2x -1 = 0
Al proceso de determinar la derivada se le llama
diferenciación (o derivación). Por tanto, esta
operación consiste en deducir una función f’ a
partir de una función f. Si una función tiene
derivada en c, se dice que dicha función es
diferenciable (o derivable) en c. Es decir, la
función f es diferenciable en c si f'(c) existe.
Para evitar confusiones posteriores, aclaramos que
Diferenciar es lo mismo que derivar.
Diferenciación es lo mismo que derivación.
Diferenciable es lo mismo que derivable.
______ _________ Teorema_______ _______
Si una función f es diferenciable en c, entonces f
es continua en c
Así por ejemplo f(x)=senx es continua en n/2 ,
puesto que
= lim
h-»0
co sh -1
~ h
-2sen2^
= lim ---------- —
h-»0 h
= lim
h->0
„ h h
-2 se n -x se n —
2 2
h
h
■{?
sen —
| = lim 2
I 2 ,
1 h-»0 h
2
lim sen—= -(l)x(0)=0
h-*0 2
Como f'(tt/2) existe,
entonces f(x)=senx
es diferenciable o derivable en t
c
/ 2
por lo tanto, f es continua en n/2 .
ii. «oto ~ ■ _
La función f(x) = senx, es continua Vxe R

Teorema
I. f(x) = c, entonces f’(x) =0 ; (para todo c constante)
II. f(x) = y , entonces f'(x )= n x n_l; Vn racional
III. f(x) = cg(x), entonces f'(x) =cg'(x) (para todo c constante)
IV. h(x) = f(x)+g(x), entonces h'(x) =f'(x)+g'(x)
V. h(x) = f(x) g(x), entonces h'(x) =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
VT. h(x) = - y 4 , entonces h (x ) = * M g W — ; si g(x) * 0
SW g2(x)
A plicaciones del teo rem a anterior
Para I
• Si f(x) = 2, en to n ces f(x )= 0
• Si f(x) = —
7
i , en to n ces f(x )= 0
Para II
• Si f(x) = x2, en to n ces f’(x)= 2x
• Si f(x) = x '3, en to n ce s f'(x )= -3 x _
1
en to n ces
f'(x) = -y/2 (x “2)• = - J 2 ( - 2x ~
3) = 2Í2x~3 = ~
Para IV
• Si f(x) = x 4+ r 3
en to n ces f( x )= (x 4)'+ (x 3)' =4x3+3x2
Si f(x) = 2 x 3 + n ‘ ‘
en to n ces
f'(x) = (2x5)’+ ( 3 x ! 2)'- (7x_1)' = 1Ox4 +
3¡x - —=2x5 + 3x’ 2 - 7x~
x
Para V
• Si h(x) = (x2-2 x + 3 )(x -l). en to n ces
h'(x) = (x2-2x+3)'(x-l)+(x2
-2x+3)(x-l)'
h'(x) = (2x-2+0) (x -1)+ (x2-2x+3)(1-0)
h'(x)= 2(x-l)(x-l) + (x2-2x+3)(l)
h'(x)= 2(x-l)2+x2-2x+3
h'(x)= Sx^-ñx + 5
• Si f(x) = —=x
X
Para VI
en to n ces f (j
c
)= - x~2 ó f’(j
c
) = —
X
• Si h (x ) = ^
X
• Si f(x) = -fx = x ,/2t
en to n ces f'(x )= -gx' 1 2 ó f'(x ) = —7=
2 2v x
(x 2
h '(x ) = — -
Para III
h'(x) = H
• Si f(x) = 2x4, entonces f(x )= 2(x4)'=2x4x3=8x3
- 2x 4 -
h'(x) = ——
• Si f(x) = -v 2 4r = -¡2 x 2
x h'(x) -
x~ + 1
, en to n ces
(x 2 + 1) (x 3 - l ) - ( x 2 -t-l)(x3 - l) '
(x 3 - l f
x -2 x +1
■
2x - 3 x 4 - 3 x 2
-2x 3 + 1
x - 2x 3 + l
Observatióñ
La derivada de y=f(x) la hem os denotado com o
f '(x) que viene a ser la derivada de f con respecto a
x. Sin embargo, existen otras notaciones para f’(x).
Las sig u ie n te s n o ta c io n e s: — ; Drf(x)
d x
significan lo m ism o que f '(x).
Así por ejem plo si f(x)=2x3+3, entonces f'(x)= 6x2
ó — = 6x 2 ó Drf(x) = 6x 2
d x
737

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En los siguientes teoremas, se han considerado
que los ángulos están medidos en radianes.
Teorema
La derivada de la función seno es el coseno.
Es decir (senx)'=cosx
Demostración
Sea f(x)=senx, entonces se buscará demostrar
que f'(x)=cosx, por definición tenemos que:
f'(x) = lim
f(x + h) - f(x) _ .im
h-»0 h h->o
o f h ) ( h
2sen - eos x + -
E
t
'¿Z
jz
1
!
'
h
w
w
-
l 2 j l 2
h
(Por transformaciones trigonométricas)
í h )
sen — ,
f'(•*■)=lim — limcosí x + —
h->0 h h->0 I 2
( h
sen —
Ü
>f'(*) = -lim sen! x +— lim ,
h-»o .1 2 1h—
o n
=> f'(x) = -sen(x+0)x 1
/. F(x) = -sen x (Estoes loque se buscabademostrar)
¡J^ Nota
En lo que sigue de este capítulo, para un mejor
entendimiento de laregla de la cadena yderivadas
de orden superior, utilizaremos la notación
introducida porLeibniz para la derivada de f que
dy
es
dx ’
Teorema
La derivada de la función tangente es la función
secante elevada al cuadrado, es decir:
d
dx
(tanx) = sec x
Dado que x se mantiene constante cuando h se
aproxima a cero, tenemos
f'(x) = 1xcos(x + 0) = eos x
f ’(x ) = COSX (esto es lo que se buscaba demostrar)
Demostración
Sea f(x)=tanx, entonces se buscará demostrar que
f'(x)=see2x; por definición tenemos que:
f ’(x)= -7 -(tanx)
Teorema J f'(x)=* d ftanx)= d í senx ¡
dx dx cosx J
La derivada de la función coseno es el opuesto
de la función seno, es decir: (cosx)' = - senx
Demostración
Sea f(x)=cosx, entonces se buscará demostrar
que P(x)=-senx, por definición tenemos que:
f'(x) = lim
h-»0
f'(x) = lim
h->0
cos(x + h )-c o sx .
- 2 sen| x + ^ 'jsen| ^
h
Del teorema V, tenemos
— (sen x) eos x - sen x — (eos x)
d . , dx dx
— (tanx) = — — —-----------ó
----------------------
dx eos x
d , , co sx co sx -sen x (-sen x )
— (tanx) = ----------------—-------- -------
d x eos x
1
d , . cos2x + sen2x
— (tdnxj = o 2
dx cos'x eos x
dx
(tanx) = sec2x

En forma análoga, se demuestra el siguiente
teorema
Teorema_______________
La derivada de la función cotangente es el opuesto
de la función cosecante elevado al cuadrado, es
decir
— (cot x) =- esc2x
dx
Teorema
Ejemplo 1
para f(x)=xsenx
Resolución
Primero hallaremos f'(x), aplicando teoremas de
diferenciación
f’(x) = (x )'sen x + x(sen x)' = sen x +x eos x
Veamos ahora qué valor toma f’ en ^ es
b
7t 7t 7t 1 n%/3
sen - + - eos - = - + -----
6 6 6 2 12
r f í U
1 6 )
_.,( n ) 6 +rt/3
' l 6 j _ 12
La derivada de la función secante es el producto
de las funciones secante y tangente.
— (secx) = secx tan x
dx
Demostración
d(l) , d , ,
-^ ^ c o s x -l— (cosx)
dx_______ dx______
cos2x
_ O x co sx -lx (-sen x ) _ senx
cos2x eos x eosX
1 senx
= -------x ------- = secxtanx
eos x eos x
En forma análoga, se demuestra el siguiente
teorema
J
________ Teorema _____________
La derivada de la función cosecante es el opuesto
del producto d e ja s funciones cosecante y
cotangente, es decir:
— (esex) = -cscxcotx
dx
A continuación se plantean y resuelven algunos
ejemplo ilustrativos.
— (secx) = -í-! —-— | =
dx dx! cosx ,!
Ejemplo 2
Halle — í
dx^
se cx )
cotx J
Resolución
Por el teorem a VI, dado en los teorem as de
diferenciación tenemos
, , . — (s e c x )c o tx -s e c x -(c o tx )
d j secx j _ dx_________________ dx______
d x ^ co tx J cot2x
d f se c x ) se c x ta n x c o tx -se c x (-c sc 2x)
d x ^ co tx J cot2x
d f secx ) secx +secx esc2x
d x ^ co tx j cot2x
± ( s e c x ) =l ^ L ( 1+ CSc2x)
dx^ cotx J cot x
Ejemplo 3
Halle una ecuación para la recta tangente a lá
, , 2n
curva y = cosx en el punto x = —
Resolución
„ . 2t
c
Dado que eos —
3
( 3 ’ 2 j "
punto de tangencia es
739

Para hallar la pendiente de la recta tangente,
hallamos la derivada — = -sen x
d.v
Yla evaluamos en x = — , obteniendo
3
2n _ _V¡3
3 2
que es la pendiente de la recta tangente, cuya
ecuación puede escribirse como
m = -sen-
2k '¡
' 3 r
i V3 2n
_ „ e „ „ „ i esta es la ecuación
6 y + 3 3.v - 2v37t + 3 = 0 í
1de la recta tangente
A m anera de resumen, las derivadas de las
funciones trigonom étricas elem entales se
presentan en el siguiente cuadro
f(x) f(x)
seav eos*
cosx - sen*
tanx sec2
x
cotx - C S C 2*
secx secxtanx
C S C * - cscxcotx
Observación
_ ^ i-...i' 1
- -- .
Si g es diferenciable en x y f es diferenciable en
g(x), la composición (f og) es diferenciable en
x, y se verifica:
(f°g)'(x) = f(g(x))g'(x)
Notación de Leibniz para la Regla de la
Cadena
Cuando y=f(t), donde t = g(x), entonces
y = f(g(x))
y = (f o g )(»
cuya derivada con respecto de x es
7 ^ = (f °g)'U )= f’(gW ) S 'W = f ’tO g'(x)
dx
¡dy _ dy dt
^dx dt dx .
Se lee: “La derivada de y respecto dex es igual a
la derivada de y respecto a t multiplicado por la
derivada de t respecto a x”.
La fórmula anterior puede extenderse fácilmente
a más variables: Por ejemplo, si x es también
una función que depende de s, tendremos que
dy _ dy dt dx j
ds . dt dx ds i
Y si además, s depende de u, entonces
! dy
"O
1
i
dt dx ds
du dt d* ds du
Y así sucesivamente. Cada nueva dependencia
añade un nuevo eslabón a la cadena.
£jem plo
Halle 4^-; para y = 3sent; t=x2+x+2
dx
Resolución
— = 3cost ; — = 2x + l
dt dx
Luego
^ = Tu = (3cost^ 2x + 0
d x dt dx
Com ot=x2+x+2 tenemos
— = 3(cos(x2 + x + 2))(2x +1)
dx
— = (6x +3)cos(x2 + x + 2)
dx
.-. — = (6x +3)cos(x2 + x + 2)
dx
Los teorem as que a continuación
plantearemos, son deducidos a partir de la regla
de la cadena.
Teorema
Si f es una función diferenciable de u y u es una
función diferenciable de x, tenemos que
¿ [f(u )] =A [ f ( u ) ] £

Del ejemplo anterior, tenemos
y=3sen(x2+x+2), entonces
dy d r„
dx d x !
-
3sen(x2+ x +2)j
^ = 3 .— | sen(x2+ x +2)l
dxL J
d.v
dv
=> —
— = 3cos(x2+x + 2)x— (.
d.v dx
dv
= 3cos(x2+ x +2)x(2x-
=> —-
d.v
dy
= (6x + 3)cos(x2+x + 2)
d.v
Regla de la Cadena y
Trigonométricas
Si f es una función diferenciadle de u y u es
una función diferenciadle de x, hem os visto en el
teorema que — [f(u)] = —
—[f(u)]—
M d.v du dx
Utilizando este teorema, las derivadas de las
seis funciones trigonométricas se expresan de la
siguiente manera
— (cos7x) = -sen7x-^-(7x)
dx dx
dx
(cos7x) = -sen7x(7) = -7sen7x
— (cot 7ZX) = -CSC2Ttx— (jtx)
dx dx
=>— (cot rtx) = -esc2nx(n) = -ncsc2itx
dx
— [secf.v3+2! =sec(x3+2)tan(x3+2)— (x3+2)
dx dx
— fsec(x3+2)] =sec(x3+2)tan(x3+2)(3x2)
dx
— [sec(x3+2)] = 3x2sec(x3+ 2)tan(x3+ 2)
dx
Ejemplo
= se
dy n
halle áx en x = -
Si y = sen2¡ 2 x - í
d ' . du
— (senu) = cosu —
dx . dx
d , . du
— (eos u) = -se n u —
dx dx
d , . 2 du
(tanu) = sec u —
dx dx
— (cot u) = -e sc 2u -
dx dx
I
— (sec u) = secu tan u —
dx dx
d , . * , du
—
—(cscuj = -c sc u c o tu i
-dx dx i
Ejemplos
d
— (sen2x) = cos2x~—X-
dx ' dx
dx
(sen2x) = cos2x(2) = 2cos2x
Resolución
Sea u = 2 x - í ; s=senu, entonces y=s2,
para aplicar la regla de la cadena, hallam os
du ds dy „
dx du ds
En x = — tenemos u = - — y
12 12 3
s = sen
es decir
K j Í2-yf6
J12
du ds ( n V2 +V6
dx du 12 4
d.v _ 2 (V2 -V 6 ) _ v
/2 - > / 6
ds 4 2
741

Por lo tanto
dy _ dy ds du V2 —
*^6 V2 +V6 ^ j
dx ds du dx 2 4
•
•
•f =
- J
<±v
Otra forma
De las identidades del arco doble, tenemos
2n l-cos20
sen 9 = ------——
entonces y = senz| 2 x - ^ ¡=
y = - - - sen 4 x , derivando
2 2
l-co s| 4x~ —
dy _ d ( 1 1
dx dxl 2 2
-sen4x
— (sen4x)
dx dxl 2 2 dx
dy
dx
— = 0 --c o s4 x — (4x)
dx 2 dx
d v 1
— =--cos4x(4) = -2cos4x
dx 2
En x = — tenemos
12
d^- = -2cos—= - 2f -1 = -1 , . ^ = -1
dx {2 dx
Teorema
Si u es una función diferenciable en x, y n es un entero positivo o negativo
Entonces — (un) = nun-lí —
dx dx
Este teorema lo podemos aplicar con el ejemplo anterior
d
sen2í 2 x - - l =2sen( 2x- —|x— sen 2 x - - lj
dx L i . 4.Jj l 4 dx L 4 JJ
dx
sen2) 2 x - — = 2sení 2 x --lx c o sí 2 x - —
1*— í 2x- —
1 4 1 1 4 J dxl 4
_d_
dx
2 0 n
sen 2 x - - sen[ 4 x - -
_d^
dx
sen2! 2 x - —
n f Reducción al
: -2cos4r; recordar que sen 14 x = _ c o s 4 v ._ , .. .
M 1 2 j 1primer cuadrante
Entonces, en x =
12
tenemos dx
sen2| 2 x ~ = -2 eos4
3
742

Diferenciación Implícita
A co n tin u ació n , d esarrollarem os ejem p lo s
p a ra h a lla r la d e riv ad a — , a p artir d e u n a
d x
ecu ació n de la form a: E(x;y) = 8
En e s ta e c u a c ió n e s tá d e fin id a
im plícitam ente la función diferenciable y= f(x).
U sted d e b e n o tar que lo particular d e esto s
ejercicios es q u e no es fácil d espejar la variable y
en función d e x.
Ejemplo 1
D ada xcosv + y co sx = 1. obtenga
d x
Resolución
De la ecu ació n d ad a obte’nem os
xco sy + yeosa - 1 = 0
D erivando im plícitam ente con respecto a a .
d , , d , , d(l) .
— (a eos y) + — (veos a) — — = 0
dA dx ' dx
d(x) xd , . dv d , s n n
------ cosy + — (c o s í) r — cosas- v — (co sx )-O = 0
d v dx ' d v " dx
( d v i dv , , n
cosv + a - s e n v — — cosx + y(-senx) = 0
( ' dx I dA
— (eo s a - a sen y) = y sen a - eos y
d x
dy _ yse n a - c o s y
dA cosA -A seny
Ejemplo 2
O btenga u n a ecuación de la recta tangente a la
cu rva xJ + y3 = 9 en el punto (1;2)
Resolución
De la e c u a c ió n derivando im plícitam en te co n
resp ecto a a .
A ( .v3)+A ( v
,3)= d(?)
d x d x v■ dv
3 x ‘ + 3y2— = 0
d x
dy _ x 2
d v y'2
dy 1
En el punto (1;2), — = — que resulta ser el valor
dx 4
de la pendiente de la recta tangente cuya
ecuación piden obtener y escribim os a
continuación y -2 = - - ( x - l )
4
„ J esta es la ecuación
4v +x - 9 = 0
[de la recta tangente
Derivadas Sucesivas o de Orden Superior
Si la función f es diferenciable, podem os
formar una nueva función f, que es la primera
derivada de f. Si f’ es a su vez diferenciable,
podemos formar su derivada, llamada derivada
segunda de fy designada por f". En la medida en
que sigam os teniendo la diferenciabilidad,
podemos continuar de esta manera formando f
Es frecuente no utilizar mediante primas más
allá de! orden tres. Así, para la derivada cuarta de
f escribiremos f*J) y más generalmente para la
derivada n-ésim a f{n).
Por ejemplo, si f(x) = 2a5 tenemos
f'(x) = 10xJ ; f"(x) = 40x3
f"(x) = 120x2
ft4)(x) = 240a ;f(3)(x) = 240
En la notación de Leibniz tenemos
dy
dx
= 1 0 a 4
dy
i = 10A',
dx
•
dx
d^y
dx 3
dx
=40a
= 1 2 0 a
d4y
•^4 = 240a
dx4
d x 3
Nótese que todas las derivadas de orden
superior a cinco para el ejemplo anterior, son
idénticamente nulas. Entonces podemos indicar
que sólo en el caso de un polinomio de grado n,
las derivadas de orden mayor que n son
idénticamente nulas.
743

Ejemplo 1
Si y =2senx - 3cosx - x3, halle
Resolución
— = 2cosx + 3senx -3 x 2
d x
dV
dx3
dx 2
:= -2senx + 3 co sx -6 x
dx3
-= -2 c o s x -3 s e n x -6
f'"(x)=-cosx= cosj 3 -t-x j
f ’(x)=cosx= cósj 4 - + x
f3(x)=-senx= cosj 5-^ + x
fn(x)= cosí n ^ + x | ; Vne 1
Ejemplo 2
Si f(x)=senx halle la enésima derivada de f.
Resolución
f'(x) = cosx = sen[ —+x
f”(x) = -se n x = sen + x
f'"(x) = -co sx = senj^íy + x
f(4)(x) = sen x = sen| -y + x
f(;>
1(x) = cosx = senf íy + x
Diferenciación de Funciones Trigonométricas
Inversas
- d V
Comencemos hallando —
4- a partir de la
dx
función y=arcsenx
Por definición senv = x
Diferenciando implícitamente con respecto de x.
A (sen>) = ^
dx dx
dy i
cosy— = 1
dx
? = - U . . u )
dx cosy
Pero cosy = ±^/l-sen2y = ± 'l- x 2 ,
nn
+x ; Vne Z‘
f(n,(x) = sen
Ejemplo 3
Si f(x)=cosx, halle la enésima derivada de f
Resolución
f ’(x)=-senx= cosj —+x
f"(x)=-cosx= cosj 2 - + x
como <v < í , se verifica 0 < cosy < 1
2 2
Entonces cosy = v i - x 2...(2)
dy j_
dx V l-x 2
Utilizando y=arcseav tenemos
f á ] T ~ 1
i — (arcsenx) =
dx n
W

Para ilustrar el teorema, se tiene la figura 10.26
que muestra las gráficas de una función iqyectíva
fy su respectiva función inversa T1que, como ya
se sabe, las gráficas de f y f '1 son simétricas
respecto de la recta y=x. Las rectas tangentes
L, y L2 también son simétricas respecto de la
misma recta. En la figura se ve que
( r ') ( x ) = pendiente de L, = ^-^x -—a
x - a
f'(f“'(x)) = pendiente de L2= * ^—
" f (x )-a
Entonces
X — 3 I ~ el
.-. (f-’)'(x)
J __
r ( r 'W )
Por ejemplo en
y = are senx
tenemos
x=seny
Diferenciando implícitamente con respecto de y
dx d(seny) r---- 2
— = —------- - = cosy = V l-x
dy dy
Del teorema
dy 1 1
d* ^ ^
dy
Como y = are senx, tenemos
d(arcsemr) _ 1
d* ” V l-x 2
L.
_
_ _______ Teorema _
Si fes una función inyectivay diferenciable, donde
T1es sú respectiva función inversa. Entonces T1
será diferenciable, siempre que f’no toma el valor
de cero, verificándose (f_I) Lx) = —-—j---- -
. f ' ( f ( x ) )
En la notación de Leibniz, se escribe
dy _ 1
dx ~ dx
dy
Aquí tenem os ilustrado otra forma y uso del
teorema para hallar dy/dx a partir dey=arc senx
Las derivadas de las seis funciones
trigonométricas inversas son las siguientes (para
la función arco seno ha sido demostrada de dos
m aneras, se sugiere al lector dem ostrar de
manera análoga los restantes)
(aresenx) = -
dx v
1
1 -x 2
— (arccosx) = -
dx
1
^ 1 -x 2
— (arctanx)= —L
dx- l+'x
— (arccotx) = -
dx
1
1+ x2
— (arcsecx) = -
dx |
1
x |/x 2- l
dx
(arccscx) = -
■l'/x2- l
745

Ahora utilizando el teorema, donde p es una
función diferenciable de x, las derivadas de las
funciones trigonométricas inversas se expresan
de la siguiente manera
d , x 1
— (arcsenp) = - r =
dx V l-P
%
1-5
I1
-
*
.
d , x 1
— (árceos{.u= - - t
=
dv
du
p2 d-x i
1 — (arctanu) = —í-y —
d x ' i + p2 dx
— (arccotu) = - —
d x ' l + n‘
dp
dx
— (arcsecp) = ------}
1 dx l p l ^ - 1 &
i
I — (arccsc^i) = - -----
l.u|V
1 dp
(p2_ldx
J
Resolución
x +
x +2
x +2 1
yj2x +3 (x +2)2
dy _ 1
_____
dx lx + 2¡J2x +3
Entonces en x=-l/2
dy
dx
1 1
Para x 1 dy = _1
2 ’ dx 5
Ejemplo 3
Halle d y : si y=arccot(seav)
dx2
Resolución
Ejemplo 1
Halle
— (are senx2)
dx
Resolución
d / 2) 1
— (aresenx 1=
dx
i(x 2)
f
c
ü
í
2 dx
d / A -
— (aresenx ) ~
dx
2x
Ejemplo 2
Si
( x + 1
y= arcc° s | —
Calcule dy/dv para x = 1/2
dy _ 1
dx 1+ sen2x dx
d , -co sx
(senx) = -
1+sen x ’
.2 — (-cosx)(l +sen2x) -(-c o sx )-^-(l+sen2
x)
o > _ dx________ _________________dx_________
d*2 (l +sen2
x)2
d2y _ senx(l +sen2x) + cosx(0 + 2senxcosx)
■ (l +sen2x)
d2y _ senx + sen3x +2senx cos2x
(l +sen2x)
d2y _ sen x + sen3x

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