Universidad Técnica Particular de Loja Carrera: Gestión Ambiental Docente:Ing. Natali Solano Ciclo:Segundo Bimestre: Segundo

1. MATEMÁTICA PARA LAS CIENCIAS
BIOLÓGICAS
II Bimestre
ESCUELA DE GESTIÓN AMBIENTAL
NOMBRE: Ing. Natalí Solano Cueva
OCTUBRE 2011 – FEBRERO 2012

2. 2.Exponentes y radicales
3.Expresiones algebraicas
4.Expresiones fraccionarias
5.Notación científica
6.Sistema internacional (SI)
Ejercicios
Unidad 5: Sistema de
ecuaciones lineales
 Sistema de ecuaciones lineales. Definición
 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones
lineales
 Álgebra de matrices

3. Sistema de ecuaciones lineales (S.E.L)
DEFINICIÓN:
Es una colección de 2 o más ecuaciones lineales, cada
una con 2 o más variables (incógnitas).
Una solución de un S.E.L. consta de valores de las
variables para los cuales cada ecuación del sistema se
verifica.
Al conjunto de todas las soluciones se le llama
Conjunto Solución del S.E.L.
3

4. Ejemplos de sistemas de ecuaciones
2
2x y 6 x y 5
1) 2)
3x y 4 2x y 4
1 3
x y 10
2 4
3)
3
x y 4
4
4

5. Métodos para resolver sistemas de ecuaciones
1. Método gráfico
2. Método de sustitución
3. Método de eliminación por adición
4. Regla de Cramer
5. Método de la matriz aumentada
6. Método de matrices
5

6. MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2
Procedimiento
1. Las soluciones del sistema de ecuaciones
serán los puntos de intersección entre las dos
gráficas.
2. Construya la gráfica de cada ecuación.
6

7. Ejemplos: Sistema de ecuaciones por el método gráfico
y
4
x y 2 3
2
1
Solución : 1 , 1 x y 2
2)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x5
x y 0
-1
-2
-3
x y 0 -4
7

8. Ejemplo:
x2 y 5 Par Ordenado: 1,6
2)
2x y 4
Verificación :
2
1 6 5
2 1 6 4
Por lo tanto el par ordenado 1,6 es solución.
8

9. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2
PROCEDIMIENTO
1. Despeja una de las variables en cualquiera de las
ecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación.
Esto producirá el valor de una de las variables.
3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en
cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar
el valor de la otra variable.
9

10. 2x y 6
Ejemplo: Método de sustitución. 1)
3x y 4
Escogiendo la ecuación, 2 x y 6 , tenemos
y 6 2x
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
3x 6 2 x 4
3x 6 2 x 4
x 2
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación
tenemos
y 6 22 2 Conjunto Solución 2,2 10

11. Método de Eliminación por Adición
Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el
objetivo que se elimine una de las variables.
Procedimiento:
1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando
las ecuaciones por los números correspondientes.
2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.
3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede
reemplazar por una sustitución.
11

12. Álgebra de Matrices
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero
denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será
el elemento de la fila 2 y columna 5.

13. Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Propiedades simplificativas
Producto de matrices
Matrices inversibles

14. Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las
columnas (o viceversa) en la matriz A.
Es decir:

15. Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices de la misma dimensión, es otra matriz
del mismo tamaño que los sumandos. Por tanto, para poder sumar
dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo:
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

16. Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A por un número real k es otra matriz B de la
misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene
multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo:
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al
número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de
escalares por matrices

17. Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos
elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de
B.
Pij = aik bkj
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el
número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión
n x p, la matriz P será de orden m x p, Es decir:
Ejemplo:
no se pueden multiplicar

18. Unidad 6: Sucesiones
 Sucesiones aritméticas
 Sucesiones geométricas

19. Sucesiones Aritméticas
Una Sucesión Aritmética, es una sucesión de números reales
tales que cada término es igual al anterior más un número
constante, llamado “diferencia”.
Ejemplo:
5 7 9 11 13 15 17
+2 +2 +2 +2 +2 +2

20. TÉRMINO GENERAL:
a1 1er. término
a2 = a 1 + d 2do término
a3 = a 2 + d = a 1 + d + d 3er. término
a4 = a3 + d = a2 + d + d = a1 + 3d 4to. término
an = a1 + (n –1) d término general
De la expresión anterior hallamos:
an a1 an a1
a1 an (n 1) d d n 1
n 1 d 1
Sugerencia: Es necesario tener en cuenta la importancia que el
estudiante maneje con mucha destreza las expresiones anteriores

21. Sucesiones Geométricas
 Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior
multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN .
an = a1 , a2 , a3 , a4 , .... , ak , ..., an-1 , an
Deducimos la fórmula principal:
 a1 = a1
 a2 = a1 . r
2
 a3 = a2 . r = a1 . r
3
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 21
 a4 = a3 . r = a1 . r

22. • ……………...
n-1
• an = a n-1 . r = a1 . r
O sea:
n-1
an = a 1 . r
De ella se despeja en caso necesario a1, d o n.
Apuntes de Matemáticas 3º ESO

23. Unidad 7: Geometría
Analítica
 Parábolas
 Elipses
 Hipérbolas

24. Parábola
Es el conjunto de todos los puntos del plano que se
encuentra en la misma distancia de un punto fijo
llamado FOCO y de una recta fija llamada
DIRECTRIZ.
La Parábola en Matemática se define
como:
f(x) = a. x2 + b. x + c

25. Abierta hacia Abierta hacia
arriba abajo
(x-h)2 = 4p(y-k) (x-h)2 = -4p(y-k)

26. Abierta hacia la Abierta hacia la
derecha izquierda
(y-k)2 = 4p(x-h) (y-k)2 = -4p(x-h)

27. Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
P constante
 

F ' P FP
F' F

28. Ecuación de la Elipse
con centro (h , k)
( X-H )* + ( Y-K )* = 1
A* B*

29. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos en un plano, para los que la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (denominados
focos) es una constante.
y y
x x
Eje transverso
Eje transverso
Una hipérbola tiene dos ejes; el eje que corta a la hipérbola es su eje
transverso; el punto en el que se cortan los ejes es el centro de la curva.

30. La ecuación de una hipérbola puede escribirse como:
2 2
x h y k
1
a2 b2
 (h,k) es el centro de la hipérbola.
 El eje transverso es paralelo al eje x.
y
x
Eje transverso

31. 2 2
y k x h
2 2
1
a b
 (h,k) es el centro de la hipérbola.
 El eje transverso es paralelo al eje y.
y
x
Eje transverso

32. 32