1) El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo el método de eliminación, método de Cramer y método de transformación de Laplace.
2) Como ejemplo, se resuelve un sistema de dos ecuaciones diferenciales usando el método de Cramer y el método de transformación de Laplace.
3) Los métodos permiten reducir sistemas de ecuaciones diferenciales a una forma en que se puedan hallar las soluciones.
1. Métodos empleados para sistema de
ecuaciones diferenciales
PRESENTADO POR :
• Aysana Suarez William Alex
• Borja Camarena Karen Sofía
• Caballon Quispe Mirian Mayumi
• Campos Taype Lizet
“Universidad Nacional del centro del Perú”
Facultad: ingeniería química
Catedra: ECUACIONES DIFERENCIALES
2. Método de eliminación:
El método de eliminación conocido como reducción o método de
suma y resta consiste en eliminar una de las variables x o y,
Queda una ecuación con una sola variable,
Se resuelve, el valor encontrado
Se sustituye en una de la ecuaciones originales para hallar el valor de
la otra variable.
3. EJERCICIO Nº2:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 4𝑥 + 7𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑥 − 2𝑦
Reemplazando en el operador D
𝐷𝑥 − 4𝑥 − 7𝑦 = 0
𝐷𝑦 − 𝑥 − 2𝑦 = 0
Factorizando
𝐷 − 4 𝑥 − 7𝑦 = 0
−𝑥 + 𝐷 + 2 𝑦 = 0
Multiplicamos por (𝑫 − 𝟒)para
eliminar x
𝐷 − 4 𝑥 − 7𝑦 = 0
𝐷 − 4 (−𝑥 + 𝐷 + 2 𝑦 = 0)
(𝐷2−2𝐷 − 15)𝑦 = 0
Las raíces son : 5 y -3
Como son raíces diferentes:
𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑒5𝑡
+ 𝐶2𝑒−3𝑡
𝒙(𝒕)
Para hallar 𝒙(𝒕):
Multiplicamos por (𝑫 + 𝟐 ) y 7 para eliminar 𝑦
𝐷 + 2( 𝐷 − 4 𝑥 − 7𝑦 = 0)
7 (−𝑥 + 𝐷 + 2 𝑦 = 0)
(𝐷2
−2𝐷 − 15)𝑥 = 0
(𝐷2
−2𝐷 − 15)=0
Las raíces son : 5 y -3
Como son raíces diferentes:
𝑥(𝑡) = 𝐶3 𝑒 𝑠𝑡
+ 𝐶4 𝑒−3𝑡
Sustituimos en la ecuación original para hallar las constantes 𝐶3 y 𝐶4
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 4𝑥 + 7𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐶3 𝑒5𝑡
− 3𝐶4 𝑒−3𝑡
5𝐶3 𝑒5𝑡
− 3𝐶4 𝑒−3𝑡
=4(𝐶3 𝑒55𝑡
+ 𝐶4 𝑒−3𝑡
)+7(𝐶1 𝑒5𝑡
+ 𝐶2 𝑒−3𝑡
)
𝐶3 = 7𝐶1 y 𝐶4 = −𝐶2
Reemplazando
𝑦(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑠𝑡
+ 𝐶2 𝑒−3𝑡
𝑥(𝑡) = 7𝐶1 𝑒 𝑠𝑡
−𝐶2 𝑒−3𝑡
4. Método de Cramer:
Resuelve sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de
ecuaciones que de incógnitas.
Regla de Cramer:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
ax by cz d
ax by cz d
ax by cz d
Con los coeficientes y términos
independientes formamos
matrices y calculamos sus
determinantes.
5. 1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
ax by cz d
ax by cz d
ax by cz d
Determinante
Del sistema
Determinante
de x
Determinante
de y
Determinante
de z
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
D a b c
a b c
1 1 1
x 2 2 2
3 3 3
d b c
D d b c
d b c
1 1 1
y 2 2 2
3 3 3
a d c
D a d c
a d c
1 1 1
y 2 2 2
3 3 3
a b d
D a b d
a b d
El valor de cada incógnita es:: x
D
x
D
y
D
y
D
z
D
z
D
CONDICIONES:
• El sistema que se desea resolver debe ser cuadrado,
es decir, el numero de ecuaciones debe ser igual al
numero de incógnitas.
• La determinante de la matriz del sistema debe ser
diferente de cero
6. EJERCICIO: Nº2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 4𝑥 + 7𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑥 − 2𝑦
Reemplazando en el operador D
𝐷𝑥 − 4𝑥 − 7𝑦 = 0
𝐷𝑦 − 𝑥 − 2𝑦 = 0
Factorizando
𝐷 − 4 𝑥 − 7𝑦 = 0
−𝑥 + 𝐷 + 2 𝑦 = 0
Resolviendo por Cramer:
Δ =
(𝐷 − 4) −7
−1 (𝐷 + 2)
Δ = 𝐷 − 4 𝐷 − 2 − 7
Δ = 𝐷2
− 2𝐷 − 15
(𝐷2
−2𝐷 − 15)𝑥 = 0
(𝐷2
−2𝐷 − 15)𝑦 = 0
Las raíces son: 5 y -3
Como son raíces diferentes:
𝑦(𝑡) = 𝐶1 𝑒5𝑡
+ 𝐶2 𝑒−3𝑡
Hallando para 𝒙(𝒕)
(𝐷2−2𝐷 − 15)𝑥 = 0
(𝐷2
−2𝐷 − 15)=0
Las raíces son : 5 y -3
Como son raíces diferentes:
𝑥(𝑡) = 𝐶3 𝑒5𝑡 + 𝐶4 𝑒−3𝑡
Sustituimos en la ecuación original para hallar las
constantes 𝐶3 y 𝐶4
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 4𝑥 + 7𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 5𝐶3 𝑒5𝑡
− 3𝐶4 𝑒−3𝑡
5𝐶3 𝑒5𝑡
− 3𝐶4 𝑒−3𝑡
=4(𝐶3 𝑒5𝑡
+ 𝐶4 𝑒−3𝑡
)+7(𝐶1 𝑒5𝑡
+ 𝐶2 𝑒−3𝑡
)
𝐶3 = 7𝐶1 y 𝐶4 = −𝐶2
Reemplazando
𝑦(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝑠𝑡
+ 𝐶2 𝑒−3𝑡
𝑥(𝑡) = 7𝐶1 𝑒 𝑠𝑡
−𝐶2 𝑒−3𝑡
7. Se usa para reducir ciertos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con
condiciones iniciales.
La transformada de Laplace viene definida por :
Método de transformación
de Laplace:
𝑓 𝑠 =
𝑠0
∞
𝐹(𝑡) 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
Siendo s > 𝑠0
Donde 𝑠0 es el exponente de crecimiento
de 𝐹(𝑡)
L 𝐹(𝑡) = 𝑓 𝑠
8. 1 .- P. de linealidad :
Dada las funciones: 𝑓 𝑡 𝑦 𝑔(𝑡)
ℒ 𝐶1𝑓 𝑡 + 𝐶2𝑔(𝑡) = 𝐶1ℒ 𝑓 𝑡 +C2ℒ 𝑔(𝑡)
2.- P. de cambio de escala:
Sea 𝑓 𝑡 𝜖 𝜀 . La función 𝑔(𝑡) = 𝑓 𝛼𝑡 también pertenece a 𝜀 y se verifica
ℒ 𝑔(𝑡) ≡ 𝐺 𝑠 =
1
𝛼
𝐹
𝑠
𝛼
3.- P. de desplazamiento en frecuencia:
La función 𝑔(𝑡)=𝑒 𝑤𝑡
ℒ 𝑔(𝑡) ≡ 𝐺 𝑠 = 𝐹(𝑠 − 𝑤)
PROPIEDADES:
9. 4.- P. transformada de laplace de la deriada primera de una funcion:
ℒ 𝑓′(𝑡) = 𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
Siendo F s = ℒ 𝑓 𝑡 𝑦 𝑓 0 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
5.-P. transformada de laplace de la primitiva de una función:
Sea 𝑓 𝑡 ∈ 𝜀. Su primitiva g(t) = 0
𝑡
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 es una función continua y de orden exponencial
y su transformada de Laplace viene dada por
ℒ 𝑔(𝑡) ≡ 𝐺 𝑠 = −
1
𝑠
𝐹(𝑠)
6.-P. convolucion de dos funciones:
Sean 𝑓 𝑡 y g 𝑡 pertenecientes a 𝜀. La función ℎ 𝑡 definida por la convolucion de de f y
ℎ 𝑡 = (𝑓 ∗ 𝑔) =
0
𝑡
𝑓 𝑡 − 𝜏 𝑔 𝜏 𝑑𝜏
10.
11. las incógnitas son ahora las transformadas de las funciones de las funciones que
conforman la solución
Al despejar estas incógnitas y calcular sus transformadas inversas de Laplace se
obtiene la solución del problema con valores iniciales para el sistema:
TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE:
Si 𝐹(𝑠) es la transformada de Laplace de una función continua 𝑓(𝑡) , es decir
ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠)
Entonces la transformada inversa de Laplace de 𝐹(𝑠) es:
ℒ−1
𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡)