Este documento presenta los fundamentos de la probabilidad. Comienza con conjuntos y técnicas de conteo, luego introduce el concepto clásico de probabilidad y la probabilidad como frecuencia relativa. También cubre el espacio muestral y los eventos, los axiomas y teoremas de probabilidad, y conceptos como probabilidad condicional e independencia. Finalmente, menciona a algunos de los primeros teóricos de la probabilidad y áreas donde se aplica como juegos de azar e investigaciones.

1. Fundamentos de
probabilidad
1. Conjuntos y técnicas de conteo.
2. Concepto clásico y como frecuencia relativa.
3. Espacio muestral y eventos.
4. Axiomas y teoremas.
5. Probabilidad clásica: Espacio finito equiparable
6. Probabilidad condicional e independencia.
7. Teorema de Bayes
8. Distribución Marginal Conjunta

2. Primeros teóricos
Jacob Beroulli
Abraham de Moivre
Thomas Bayes
Joseph Lagrange
Unifico las ideas y compilo la primera TGP
Pierre Simon (marques de LaPlace)

3. La Teoría de Probabilidad, fue aplicada a la los juegos de azar, pero
mas recientemente en investigaciones sociales o económicas.
Probabilidad del 70% de lluvia – no salir de día de campo
Probabilidad en la venta de zapaos de un # determinado
Probabilidad de que gane uno u otro, en un juego
Probabilidad de que apruebe la materia

4. Experimento: es el que origina
los eventos
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Evento: uno o más de los
posibles resultados de hacer
algo.
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5. Mutuamente excluyente: si uno y solamente uno de ellos puede
tener lugar a un tiempo.
¿Pueden ocurrir dos o más de tales eventos al mismo tiempo?
Si la respuesta es afirmativa, los eventos no son mutuamente
excluyentes.

6. Lista colectivamente exhaustiva: presenta todos los resultados posibles.
PE
La lista águila o sol.
Los estudiantes de una escuela, pueden estar a tiempo o no estar en el
salón cuando se pasa lista.
No es una lista colectivamente exhaustiva
Lista de resultados de campaña presidencial “candidato derecha,
candidato izquierda”
Un estudiante no puede dormir hasta tarde y al mismo tiempo llegar
puntual a una clase de la primer hora.

7. Conjuntos y técnicas de conteo
Conjunto, como una colección o listado de objetos (elementos)
diferentes entre si, con características bien definidas que lo hace
pertenecer a un grupo determinado.
Una colección bien definida de objetos a los cuales también
llamamos los elementos de un conjunto

8. Se les representa con letras mayúsculas A, B, C, … y a los elementos
con letras minúsculas a, b, c, …
Encerrados en {}
En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se
pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos

9. 1.- método de la lista. consiste en enumerar a todos los elementos
que pertenecen a dicho conjunto. ejemplo: A={1,2,3,4,5,6}
B={a,e,i,o,u}
Extensión: Cuando se describe cada uno de los elementos. A = {a,
e, i, o, u}
2.- método de la regla consiste en definir la característica común
para ser considerado un elemento. ejemplo. A= x b= {x|x sea una
letra vocal}
Comprensión: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener
sus elementos. A = { x|x es una vocal}

10. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
La colección de elementos debe estar bien definida.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez,
generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos
se repite se contará sólo una vez.
El orden en que se enumeran los elementos que carecen de
importancia.

11. Concepto clásico (apriori) y como frecuencia
relativa
𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 =
Probabilidad clásica
Cada uno de los resultados debe ser igualmente posible.
No tenemos que efectuar experimentos para llegar a conclusiones,
se pueden basar en razonamiento lógico.
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔
𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

12. Una fracción en la que el numerador es igual al número de
apariciones del suceso y el denominador es igual al número total de
casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir. Tal fracción
expresa la probabilidad de que ocurra el suceso".
El enfoque clásico de la probabilidad está basado en la suposición
de que todos los resultados del experimento son igualmente
posibles.
Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la
proporción de veces que ocurre un resultado favorable en cierto
número experimentos.

13. El experimento es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que
caiga un dos hacia arriba? Las caras el dado están numeradas del 1
al 6, entonces hay una posibilidad de un total de seis de que el
número 2 quede hacia arriba:
La principal dificultad que presenta esta interpretación de la
probabilidad es que se basa en sucesos equiprobables, siendo fácil
para problemas sencillos, como los de cartas, dados o urnas, es casi
imposible para problemas más complejos.

14. De las 28 piezas de un dominó , se desea calcular
a)La probabilidad de que sumado los dos números de
la pieza de como resultado 8.
b)La probabilidad de que la pieza sea doble
c)La probabilidad de que sumado los dos números de
la pieza de como resultado 5
d)La probabilidad de obtener la pieza 5/3

15. • a) P(suma_8)=
• b) P(doble)=
• c) P(suma_5)=
• d) P(ficha[5/3])=

16. • a) P(suma_8)=
• b) P(doble)=
• c) P(suma_5)=
• d) P(ficha[5/3])=

17. En una baraja de 48 cartas,
• ¿cuál es la probabilidad de AS?
• ¿Y de OROS?

18. En una baraja de 48 cartas,
• ¿cuál es la probabilidad de AS?
• ¿Y de OROS?
𝑃 𝐴𝑆
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑆𝐸𝑆 4
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
=
48
= 0.08
𝑃 𝑂𝑅𝑂𝑆
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑂𝑅𝑂𝑆 12
=
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
=
48
= 0.25

19. Frecuencia relativa
Es la relación o cociente entre la frecuencia absoluta y el número
total de observaciones.
Es la proporción entre la frecuencia de un intervalo y el número
total de datos.
La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran
número de intentos.
La fracción de veces que en un evento se presenta a la larga,
cuando las condiciones son estables.

20. Probabilidad de vivir un número “X” de años.
Dañar un aparato por un mal uso.
Riesgo de pérdidas en las pólizas de seguros de vida o comerciales.
Se determina que tan frecuente ha sucedido algo en el pasado y se
emplea esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de
nuevo en el futuro.

21. Una compañía de seguros sabe, que de los hombres de 40 años de
edad, 60 de cada 100,000 morirán en un periodo de un año.
60
100,000
= 0.0006
¿Cómo cree usted que se comportaría el lanzamiento de una
moneda en 300 ocasiones?

22. Espacio muestral y eventos
Es un conjunto formado por todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio.
A cada elemento del espacio muestral se conoce como punto
muestral (elemento o miembro del espacio muestral).
Notación.
El espacio muestral de un experimento se denota por medio de la
letra S. En algunas referencias se usa la letra griega mayúscula
omega, Ω para representar el espacio muestral.

23. Otra definición
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia
aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

24. Así por ejemplo,
el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente
en el lanzamiento de una moneda es
Ω= {Cara, Cruz}.
El espacio muestral asociado al lanzamiento de un dado es
Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6},
Siendo Cara y Cruz los sucesos elementales asociados al primer
experimento aleatorio y 1, 2, 3, 4, 5 y 6 los seis sucesos
elementales del segundo experimento aleatorio.

25. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes
experimentos aleatorios:
• Lanzar tres monedas.
• Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
• Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas
blancas y tres negras.
• El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días
consecutivos.

26. Solución:
Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio
muestral:
E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
E={BB,BN,NN}
Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el
siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

27. Axiomas y teoremas
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que
deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto
de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

28. Primer axioma:
La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
0 ≤ p(A) ≤ 1
Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5
Segundo Axioma:
La probabilidad de que ocurra el espacio muestral δ debe de ser 1.
p(δ) = 1
Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".
T
ercer Axioma:
Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la, p(A∪B) = p(A) + p(B)
Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades
individuales de dichos sucesos.

29. TEOREMA 1. Si Φ es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que
ocurra Φ debe ser cero.
p(Φ)=0
Ejemplo : La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1 menos la
probabilidad de que no sea varón".
DEMOSTRACIÓN:
Si sumamos a Φ un evento A cualquiera, como Φ y A son dos eventos
mutuamente excluyentes, entonces p(A𝖴Φ)=p(A) +p(Φ)=p(A).

30. TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser,
p(Ac)= 1 – p(A)
DEMOSTRACIÓN:
Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos,
A y Ac luego =AAc, por tanto p()=p(A) + p(Ac) y como en el axioma
dos se afirma que p()=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .
DEMOSTRACIÓN:
Si el espacio muestral , se divide en dos eventos mutuamente exclusivos,AyAc luego =AAc, por tanto p()=p(A) + p(Ac) y

31. TEOREMA 3. Si un evento A  B, entonces la p(A) ≤ p(B).
Demostración
Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes,Ay B A(B menos
A), por tanto, B=A(B A) y p(B)=p(A) +p(B A), luego entonces si p(B A)0
entonces se cumple que p(A)p(B).

32. TEOREMA 4. La p( A B )= p(A) – p(AB)
DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces el evento A se
puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A B) y AB, por
tanto, A=(A B)∪(AB), luego p(A)=p(A B) + p(AB), entonces, p(A B) =
p(A) – p(AB).

33. Richard, Levin. Estadística para administradores. Pearson Prentice
hall