1. Unidad II de Aprendizaje
Elementos de Probabilidad
Manuel Treco Hernández
2024
2. 2.1 Preliminares.
Experimento: es un procedimiento que se lleva a cabo, un número
definido o indefinido de veces, en las mismas condiciones y del cual
se espera un resultado ( medida u observación).
Un experimento puede ser:
• Determinístico: cualquier experimento que al realizarse bajo
condiciones específicas, conduce siempre al mismo resultado.
• Aleatorio: cualquier situación que, realizada en las mismas
condiciones, proporcione un resultado imposible de predecir,
conociendo de antemano cuáles son todos los posibles resultados.
3. Ejemplo 1:
Son experimentos determinísticos
los siguientes:
a) Determinar el área de un lote
rectangular de 10 metros de
frente, por 15 metros de fondo.
b) Obtener el volumen de una
alberca cúbica de 2 metros de
arista.
c) Determinar el tiempo que gasta
en caer un cuerpo aerodinámico,
desde una altura de 20 metros.
Son experimentos aleatorios los
siguientes:
a) Determinar la cara superior que
aparece , cuando se lanza una
moneda normal una vez.
b) Precisar el total de puntos que
aparece en la cara superior, al
lanzar un dado normal una vez.
c) Obtener el número de piezas
defectuosas de una producción
diaria.
d) Determinar el tiempo de vuelo
de un avión ruta Montería-
Bogotá.
4. Espacio Muestral 𝛀 : es el conjunto de todos los resultados de
una experimento. Un espacio muestral puede ser finito o infinito.
Ejemplo 2 : determine el espacio muestral para cada uno de los
experimentos anteriores.
Solución:
a) Ω1 = 𝑐𝑎𝑟𝑎 , 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜 = 𝑐, 𝑠 , donde 𝑐: cara y 𝑠: sello.
b) Ω2 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
c) Ω3 = 0, 1, 2, … , 𝑛 , donde 𝑛: máximo de piezas defectuosas
producidas en un día.
d) Ω4 = 𝑡 ∈ ℝ: 𝑡𝑚 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑀 = 𝑡𝑚, 𝑡𝑀
𝑡𝑚 : tiempo mínimo de vuelo y 𝑡𝑀: tiempo máximo de vuelo.
5. Evento o suceso: es cualquier subconjunto de espacio muestal Ω.
Un evento puede clasificarse como:
• Evento elemental: es cada uno de los elementos del espacio
muestral, es decir cada uno de los resultados individuales posibles
al realizar un experimento aleatorio.
• Evento compuesto: es un suceso formado por dos o más sucesos
elementales.
Ejemplo 3: una caja contiene 1 bola blanca (𝐵), 1 bola roja (𝑅) y
una bola negra (𝑁). El experimento consiste en extraer dos bolas
con devolución. Determine el espacio muestral de colores y los
siguientes eventos:
6. a) Las bolas son del mismo color.
b) Las bolas son de diferente color.
c) Por lo menos una es blanca.
d) Exactamente una es roja.
e) Ninguna es negra.
Solución:
El espacio muestral es: Ω = 𝐵𝐵, 𝐵𝑅, 𝐵𝑁, 𝑅𝑅, 𝑅𝑁, 𝑁𝑁
a) 𝐴 = 𝐵𝐵, 𝑅𝑅, 𝑁𝑁 𝑑) D = 𝐵𝑅, 𝑅𝑁
b) 𝐵 = 𝐵𝑅, 𝐵𝑁, 𝑅𝑁 𝑒) E = 𝐵𝐵, 𝐵𝑅, 𝑅𝑅
c) 𝐶 = 𝐵𝐵, 𝐵𝑅, 𝐵𝑁
7. • Eventos Notables:
1. Evento nulo 𝝓 : es aquel que no tiene puntos muestrales o que
nunca ocurre.
2. Evento Seguro 𝛀 : es aquel que tiene todos los puntos
muestrales o que siempre ocurre.
3. Evento complemento: son los puntos muestrales que le falta a
un evento dado, para completar el espacio muestral.
4. Eventos excluyentes: son aquellos que no ocurren a la vez.
5. Eventos Independientes: son aquellos que la ocurrencia de uno
de ellos no afecta la ocurrencia del otro.
8. Para obtener el espacio muestral y eventos asociados se usan:
1. Un conteo directo, según las condiciones del problema.
2. Por un diagrama de Venn Euler.
3. Por un diagrama de árbol.
4. Por cálculo combinatorio.
• Análisis Combinatorio.
Consiste en tomar de una población de 𝑛 elementos, subpolaciones
o grupos de 𝑟 elementos (𝑟 ≤ 𝑛) y evaluar cuantos grupos se
forman.
Nota: El factorial de un número 𝑛 ∈ ℤ+
: 𝑛! = 1.2.3 … (𝑛 − 1). 𝑛
Propiedades: (a) 𝑛! = (𝑛 − 1)! 𝑛 (b) 0! = 1
9. • Principios fundamentales de conteo.
1) Principio de multiplicación (PM).
Si para realizar un experimento se necesitan 𝑘 etapas, cada una se
realiza de 𝑛𝑖 (𝑖 = 1,2, . . , 𝑘) formas diferentes. Entonces el experimento
se efectúa de 𝑛1𝑛2 … 𝑛𝑘 formas diferentes.
2) Principio de Adición (PA).
Un experimento se hace de 𝑘 rutas diferentes , cada una siguiendo
procedimientos 𝑛𝑖 (𝑖 = 1,2, . . , 𝑘) diferentes. Entonces el experimento
se ejecuta de 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ +𝑛𝑘 maneras diferentes.
10. Ejemplo 4:
a) Para hacer una transacción en un cajero
electrónico se necesita una contraseña de 4
dígitos. ¿Cuántas contraseñas son posibles?
Solución: para completar la contraseña se tiene 4
posiciones, cada una con 10 caracteres
diferentes. Entonces por el principio de
multiplicación:
= 104
= 10,000
Hay 10,000 contraseñas.
b) Un ejercicio de Matemáticas se puede
resolver de 2 maneras usando Álgebra, de 3
maneras usando Aritmética y de 2 maneras por
Geometría. ¿De cuántas formas se resuelve el
ejercicio?
Solución: para realizar el ejercicio se tomaron 3
caminos diferentes, cada un con diferentes
procedimientos. Entonces por el principio de
adición:
Hay 7 maneras de resolver el ejercicio.
Rutas Maneras
Álgebra 2
Aritmética 3
Geometría 2
Total 7
11. a) Sin repetición.
Variación
Es el conjunto de todas las disposiciones
, donde importar el orden de sus
elementos y los cuales no se repiten.
𝑉(𝑛,𝑟) = ቐ
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
𝑟 ≤ 𝑛
𝑜 𝑟 > 𝑛
Ejemplo:𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ,hallar variaciones
sin repetición de 2 en 2.
𝑉(3,2) = 𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑏𝑐, 𝑏𝑎, 𝑐𝑎, 𝑐𝑏
Combinación
Es el conjunto de todas las disposiciones
, sin importar el orden de sus elementos
y los cuales no se repiten.
𝐶(𝑛,𝑟) = ቐ
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
𝑟 ≤ 𝑛
𝑜 𝑟 > 𝑛
Ejemplo: 𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ,hallar
combinaciones sin repetición de 2 en 2.
𝐶(3,2) = {𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑏𝑐}
12. b) Con repetición.
Variación
Es el conjunto de todas las disposiciones ,
donde importar el orden de sus elementos
y los cuales se repiten.
𝑉𝑅(𝑛,𝑟) = 𝑛𝑟
Ejemplo:𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , hallar variaciones
con repetición de 2 en 2.
𝑉𝑅(3,2) = 𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑏𝑐, 𝑏𝑎, 𝑐𝑎, 𝑐𝑏, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐
Combinación
Es el conjunto de todas las disposiciones
, sin importar el orden de sus elementos y
los cuales se repiten.
𝐶𝑅(𝑛,𝑟) =
𝑛 + 𝑟 − 1
𝑟
=
(𝑛 + 𝑟 − 1)!
𝑟! (𝑛 − 1)!
Ejemplo: 𝐸 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , hallar
combinaciones con repetición de 2 en 2.
𝐶𝑅(3,2) = 𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑏𝑐, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐
13. En el contexto de muestras de tamaño 𝑟, tomadas de un conjunto de
cardinalidad 𝑛, y a manera de resumen parcial, tenemos la siguiente
tabla:
MUESTRAS SIN REMPLAZO CON REEMPLAZO
SIN ORDEN
(Combinación)
𝒏
𝒓
𝒏 + 𝒓 − 𝟏
𝒓
CON ORDEN
(Variación)
𝒏!
𝒏 − 𝒓 !
𝒏𝒓
14. 2.2 Definición de probabilidad.
2.2.1 Probabilidad Clásica (Laplace).
Sea Ω un espacio muestral finito equiprobable. Sea 𝐴 un evento de
Ω. La probabilidad de 𝐴, notada 𝑃(𝐴), es la relación del número de
casos favorables al evento 𝐴 y el total de casos posibles.
𝑃 𝐴 =
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎 𝐴
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
=
𝑛(𝐴)
𝑛(Ω)
15. • Propiedades de la probabilidad clásica.
1. 𝑃(𝜙) = 0.
2. Sea 𝐴 un evento de Ω: 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴).
3. Sean 𝐴 y 𝐵 eventos de Ω:
a) 𝑃 𝐴 − 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴⋂𝐵).
b) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴⋂𝐵 .
4. Si 𝐴 ⊆ 𝐵, entonces 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵 .
5. Sea 𝐴 un evento de Ω: 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.
6. Para los eventos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 de Ω:
𝑃(𝐴⋃𝐵⋃𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴⋂𝐵) − 𝑃(𝐴⋂𝐶) − 𝑃(𝐵⋂𝐶) + 𝑃(𝐴⋂𝐵⋂𝐶).
16. Ejemplo 5:
Sean 𝐴 y 𝐵 eventos tales que 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 , 𝑃 𝐴 = 0,8 , 𝑃 𝐵 = 0,5.
Calcular 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) , 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵𝑐) , 𝑃(𝐴𝑐 ∪ 𝐵) y 𝑃(𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐).
Solución: usando un diagrama de Venn Euler, ubicamos el espacio
muestra y algunos eventos de interés.
a) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Entonces, 1 = 0,8 + 0,5 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).
Luego: 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,3.
18. Ejemplo 6:
Se lanza al aire tres monedas de igual denominación. Determine la
probabilidad que salga dos caras y una cruz.
Solución:
Sea 𝐶: el lado cara de la moneda y 𝑋: el lado cruz de la moneda.
El diagrama de árbol que determina el espacio muestral y eventos
asociados es:
19. El espacio muestral es:
Ω = 𝐶𝐶𝐶, 𝐶𝐶𝑋, 𝐶𝑋𝐶, 𝑋𝐶𝐶, 𝐶𝑋𝑋, 𝑋𝐶𝑋, 𝑋𝑋𝐶, 𝑋𝑋𝑋 ; 𝑛(Ω) = 8
Sea 𝑀: “obtener dos caras y una cruz”
𝑀 = 𝐶𝐶𝑋, 𝐶𝑋𝐶, 𝑋𝐶𝐶 ; 𝑛(𝑀) = 3
Luego, 𝑃 𝑀 =
𝑛(𝑀)
𝑛(Ω)
=
3
8
= 0,375 (37,5%).
El 37,5% de los casos al lanzar tres monedas idénticas al aire, se obtiene dos
caras y una cruz.
20. Ejemplo 7:
Un profesor asigna una semana antes del examen 10 ejercicios. El
examen consta de 5 ejercicios elegidos al azar de los 10 propuestos. Un
alumno resolvió 7 de ellos. Cuál es la probabilidad de que el alumno:
a) Conteste bien, 3 de las 5 preguntas.
b) Tenga por lo menos 4 preguntas buenas.
Solución:
Se trata de seleccionar subconjuntos de un conjunto dado. En este caso
usamos combinación.
El número de maneras que el profesor puede asignar el examen es:
𝑛 Ω = 10
5
=
10!
5!(10−5)!
= 252 maneras.
21. a) Sea 𝐴: responde bien 3 preguntas de un total de 5.
Esto indica que de los 7 ejercicios estudiados salieron 3 en el examen y
los restantes 3 no estudiados salieron 2 en el examen, es decir:
𝑛 𝐴 = 7
3
3
2
=
7!
3! 7−3 !
∗
3!
2! 3−2 !
= 35 ∗ 3 = 105 maneras.
Por tanto: 𝑃 𝐴 =
𝑛(𝐴)
𝑛(Ω)
=
105
252
= 0,375
b) Sea 𝐵: responde bien por lo menos 4 preguntas.
𝑛 𝐵 = 7
4
3
1
+ 7
5
3
0
= 35)(3 + 21)(1 = 126 maneras.
Luego: 𝑃 𝐵 =
𝑛(𝐵)
𝑛(Ω)
=
126
252
= 0,5
22. 2.2.2 Probabilidad Axiomática (Kolmogorov, 1933).
Sea Ω un espacio muestral cualquiera. Sea ℱ una colección de
eventos, llamada sigma álgebra. La probabilidad 𝑃 de un evento de
𝐴 de la colección ℱ , es una aplicación de ℱ al intervalo 0, 1 y
satisface los siguientes axiomas:
𝑃1: 𝑃(𝐴) ≥ 0, para 𝐴 ∈ ℱ. (Axioma de no negatividad)
𝑃2: 𝑃 Ω = 1. (Axioma de suceso seguro o de normalidad)
𝑃3: Para 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … eventos de la colección ℱ tales que
𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = 𝜙 , 𝑖 ≠ 𝑗 . Entonces,
𝑷 ራ
𝒊=𝟏
∞
𝑨𝒊 =
𝒊=𝟏
∞
𝑷 𝑨𝒊
(Axioma de sigma aditividad)
23. • Propiedades de probabilidad axiomática.
1. 𝑃(𝜙) = 0.
2. Sea 𝐴 un evento de ℱ : 𝑃(𝐴𝑐
) = 1 − 𝑃(𝐴).
3. Sean 𝐴 y 𝐵 eventos de ℱ:
a) 𝑃 𝐴 − 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃(𝐴⋂𝐵).
b) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴⋂𝐵 .
c) 𝐴 ⊆ 𝐵, entonces 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵 .
4. Sea 𝐴 un evento de ℱ : 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1.
5. Para 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑛 eventos de la colección ℱ tales que
𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = 𝜙 , 𝑖 ≠ 𝑗 . Entonces,
𝑷 ራ
𝒊=𝟏
𝒏
𝑨𝒊 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝑷 𝑨𝒊
24. Ejemplo 8:
a) Tres caballos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 están siendo tratados con 3 métodos experimentales
distintos para aumentar la velocidad con la que pueden correr. Después del
tratamiento intervienen en una carrera. El caballo 𝐶 tiene el doble de probabilidad de
ganar que 𝐵 y 𝐵 el doble de 𝐴. Calcular la probabilidad de ganar de cada caballo.
Solución:
Se trata de un espacio muestral finito no equiprobable: Ω = 𝐴, 𝐵, 𝐶 .
Sea 𝑝: probabilidad de ganar del caballo 𝐴. Entonces, por Axioma 𝑃1:
𝑃 𝐴 = 𝑝 , 𝑃 𝐵 = 2𝑝 y 𝑃 𝐶 = 4𝑝 son no negativas.
Los eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son excluyentes . Por el axioma 𝑃2 y 𝑃3 :
𝑃 𝐴⋃𝐵⋃𝐶 = 𝑃 Ω = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 = 1
𝑝 + 2𝑝 + 4𝑝 = 1 ⟺ 𝑝 =
1
7
, entonces:
𝑃 𝐴 =
1
7
, 𝑃 𝐵 =
2
7
y 𝑃 𝐶 =
4
7
25. b) En el intervalo 0 , 1 de la recta real elegimos un número al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que el número se encuentre en el intervalo 1
3
,
2
3
?
Solución:
El espacio muestral es unidimensional infinito continuo: Ω = 0, 1 .
Sea el evento 𝐴 = 1
3
,
2
3
La probabilidad de 𝐴 es :
𝑃 𝐴 =
𝐿(𝐴)
𝐿(Ω)
=
1
3
1
=
1
3
0 1
1
3
2
3
ℝ
26. c) En el centro de un cuadrado de lado 4 𝑐𝑚, se coloca un circulo de radio 1 𝑐𝑚.
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un punto al azar se encuentre en el circulo?
Solución:
El espacio muestral es bidimensional infinito continuo:
Ω = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2
: 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 . Donde, 𝑎 Ω = (4𝑐𝑚)2
= 16 𝑐𝑚2
.
Sea 𝑇 el evento circulo de radio 1 𝑐𝑚. 𝑎 𝑇 = 𝜋(1𝑐𝑚)2
= 𝜋 𝑐𝑚2
.
Luego:
𝑃 𝑇 =
𝑎(𝑇)
𝑎(Ω)
=
𝜋 𝑐𝑚2
16 𝑐𝑚2 =
𝜋
16
4cm
1 cm
27. 2.3 Probabilidad condicional.
Sean 𝐴 y 𝐵 eventos de Ω. La probabilidad de 𝐴, asumiendo que el
evento 𝐵 ha ocurrido, se nota 𝑃 𝐴 𝐵 , y se define como:
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴⋂𝐵)
𝑃(𝐵)
, 𝑃(𝐵) > 0.
Observación:
1. La expresión 𝑃 𝐴 𝐵 , puede interpretarse como la probabilidad del
evento 𝐴, restringida (achicada) al evento 𝐵, es decir, el evento 𝐵
actúa espacio muestral para el evento 𝐴.
28. 2. En 𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴⋂𝐵)
𝑃(𝐵)
, se sigue:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 . 𝑃 𝐴 𝐵 , 𝑃(𝐵) > 0
A esta expresión se le conoce como regla de la multiplicación.
En general, para 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑘 eventos de Ω, tales que 𝑃 ⋂𝑖=1
𝑘−1
𝐴𝑖 > 0.
𝑃 ⋂𝑖=1
𝑘
𝐴𝑖 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝐴1 𝑃 𝐴3 𝐴1 ∩ 𝐴2 … 𝑃 𝐴𝑘 ⋂𝑖=1
𝑘−1
𝐴𝑖 .
29. • Propiedades de Probabilidad condicional.
Sean 𝐴 , 𝐵 y 𝐸 sucesos de un espacio muestral Ω . Si el evento 𝐸 es
tal que 𝑃 𝐸 > 0, entonces:
1. 𝑃 𝐴𝑐
𝐸 = 1 − 𝑃 𝐴 𝐸 .
2. 𝑃 𝐴 − 𝐵 𝐸 = 𝑃 𝐴 𝐸 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝐸
3. 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 𝐸 = 𝑃 𝐴 𝐸 + 𝑃 𝐵 𝐸 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 𝐸
4. 𝐴 ⊆ 𝐵, entonces 𝑃 𝐴 𝐸 ≤ 𝑃 𝐵 𝐸 .
30. Ejemplo 9:
a) El 76 % de los estudiantes de Ingeniería han aprobado Resistencia de
Materiales y el 45 % aprobaron Estática. Además, el 30 % aprobaron
Resistencia de Materiales y Estática. Si un alumno aprobó Resistencia de
Materiales, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también Estática?
Solución: se trata de una probabilidad condicional. Se definen los
eventos:
𝑅: alumnos que aprobaron resistencia de materiales. 𝑃 𝑅 = 0,76
𝐸: alumnos que aprobaron Estática. 𝑃 𝐸 = 0,45
𝑅 ∩ 𝐸: alumnos que aprobaron resistencia de materiales y Estática. 𝑃(
)
𝑅 ∩
𝐸 = 0,30.
Luego: 𝑃 𝐸 𝑅 =
𝑃 𝑅∩𝐸
𝑃 𝑅
=
0,30
0,76
= 0,3947
De los alumnos que aprobaron resistencia de materiales, el 39,47% aprobó
Estática.
31. b) Una pareja de recién casados decide tener 3 hijos. Determine la probabilidad de que
exactamente dos sean niñas, dado que el primer hijo es una niña.
Solución: se debe hallar una probabilidad condicional, se definen los eventos:
𝐴: exactamente dos sean niñas. 𝐵: el primer hijo es una niña.
Ω = 𝑀𝑀𝑀, 𝑀𝑀𝐻, 𝑀𝐻𝑀, 𝑀𝐻𝐻, 𝐻𝑀𝑀, 𝐻𝑀𝐻, 𝐻𝐻𝑀, 𝐻𝐻𝐻
𝑃 𝐵 =
4
8
> 0 y 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
2
8
Entonces:
𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴⋂𝐵)
𝑃(𝐵)
=
Τ
2
8
Τ
4
8
=
1
2
= 0,5 (50%)
Si el primer hijo es niña, el 50% exactamente
dos hijos son niñas.
32. c) En un lote de producción hay 25 productos, 5 de los cuales tienen defectos
menores y 9 tienen defectos mayores, si se toman de este lote tres productos uno tras
otro, determine la probabilidad de que, el primer producto no tenga defectos y que el
segundo y tercero tengan defectos mayores.
Solución: Se definen los eventos:
𝐵1 : el primer producto no tiene defectos.
𝐷𝑀2 : el segundo producto tiene defectos mayores.
𝐷𝑀3 : el tercer producto tiene defectos mayores.
Usando regla de la multiplicación, tenemos:
𝑃(𝐵1 ∩ 𝐷𝑀2 ∩ 𝐷𝑀3) = 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐷𝑀2 𝐵1 )𝑃 𝐷𝑀3 𝐵1 ∩ 𝐷𝑀2 =
11
25
9
24
8
23
= 0,0574
Productos Cantidad
Sin defectos 11
Defectos menores 5
Defectos mayores 9
Total 25
33. 2.4 Eventos Independientes.
Dos eventos 𝐴 y 𝐵 de Ω, se dice independientes estadísticamente, si la
probabilidad ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de
ocurrencia del otro.
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 . 𝑃 𝐵
Observación:
1. Los eventos 𝐴 y 𝐵 son estadísticamente independientes, si ocurre alguna
de las siguientes relaciones.
a) 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴), si 𝑃(𝐵) > 0
b) 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵), si 𝑃(𝐴) > 0
2. Los eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, …. , 𝐴𝑘 de Ω , se dicen estadísticamente
independientes si,
𝑃 ⋂𝑖=1
𝑘
𝐴𝑖 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 … 𝑃 𝐴𝑘 = ς𝑖=1
𝑘
𝑃 𝐴𝑖
34. 3. Si 𝐴 y 𝐵 eventos de Ω, son estadísticamente independientes entonces:
i) 𝐴 y 𝐵𝑐
son independientes.
ii) 𝐴𝑐
y 𝐵 son independientes.
iii) 𝐴𝑐
y 𝐵𝑐
son independientes.
4. Consideremos un sistema formado por 𝑘 componentes que funcionan de manera independiente. Si
llamamos 𝑃 𝐴𝑖 probabilidad de que la componente 𝑖 funcione, 𝑖 = 1, … , 𝑘, la probabilidad de que
el sistema funcione, 𝑃 (𝑆), viene dada por:
• Si el sistema está en serie:
𝑃 𝑆 = 𝑃 ሩ
𝑖=1
𝐾
𝐴𝑖 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 … 𝑃 𝐴𝑘 = ෑ
𝑖=1
𝑘
𝑃 𝐴𝑖
• Si el sistema está en paralelo:
𝑃 𝑆 = 𝑃 ራ
𝑖=1
𝑘
𝐴𝑖 = 1 − 𝑃 ሩ
𝑖=1
𝐾
𝐴𝑖
𝑐
= 1 − 𝑃 𝐴1
𝑐
𝑃 𝐴2
𝑐
… 𝑃 𝐴𝑘
𝑐
= 1 − ෑ
𝑖=1
𝑘
𝑃 𝐴𝑖
𝑐
= 1 − ෑ
𝑖=1
𝑘
1 − 𝑃 𝐴𝑖
35. Ejemplo 10:
a) Un tirador hace dos disparos al blanco. La probabilidad que acierte en el blanco es 0.8 ,
independientemente de los disparos que haga. Cuál es la probabilidad de que el tirador:
i) Acierte ambos disparos.
ii) Acierte uno de los disparos.
iii) Acierte por lo menos uno de los disparos.
iv) No acierte ningún disparo.
Solución:
Sea 𝐴𝑖 : el tirador acierta el 𝑖-ésimo disparo. 𝑖 ∈ 1, 2 .
Los disparos se consideran independientes. Luego:
i) 𝑅 = 𝐴1 ∩ 𝐴2 :acierta en ambos disparos.
𝑃 𝑅 = 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 = 0,8 0,8 = 0,64
37. b) El circuito siguiente trabaja solo si hay una trayectoria de dispositivos funcionando, de
izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione aparece en la figura.
Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente, ¿ cuál es la probabilidad de que
el circuito trabaje?
Solución:
𝐴: el circuito formado por los tres primeros dispositivos en paralelo de la trayectoria
funcionan.
𝐵: el circuito formado por los dos siguientes dispositivos en paralelo de la trayectoria
funcionan.
𝐶: el último dispositivo de la trayectoria funciona.
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 : una trayectoria de dispositivos funcionan o el circuito trabaja.
Los eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 forman un circuito en serie, como se observa en la figura.
Se determinan las probabilidades de cada uno de los eventos definidos, como sigue:
39. 2.5 Teoremas asociados a la Probabilidad Condicional.
2.5.1 Teorema de la Probabilidad Total.
Sean 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑘 eventos de Ω tales que 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 𝜙 (𝑖 ≠ 𝑗), ⋃𝑖=1
𝑘
𝐴𝑖 = Ω
y 𝑃 𝐴𝑖 > 0 para 𝑖 = 1,2, … , 𝑘. Sea 𝐵 otro evento de Ω tal que 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 existen para
𝑖 = 1,2, … , 𝑘. Entonces:
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐵 𝐴2 + ⋯ + 𝑃 𝐴𝑘 𝑃 𝐵 𝐴𝑘 =
𝑖=1
𝑘
𝑃 𝐴𝑖 𝑃 𝐵 𝐴𝑖
40. Ejemplo 11:
a) Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo
que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la
probabilidad de que salga cara.
Solución:
Es un enunciado donde se aplica el Teorema de la Probabilidad Total.
Los eventos primarios son, 𝐴 : es la moneda corriente, 𝐵: es la moneda de dos caras y 𝐶: La moneda cargada.
El evento relacionado es, 𝐷: se obtiene cara y es tal que:
𝑃 𝐷 𝐴 =
1
2
, 𝑃 𝐷 𝐵 =1 y 𝑃 𝐷 𝐶 =
1
3
Por Teorema de la Probabilidad Total:
𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐷 𝐴 + 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 𝐵 + 𝑃 𝐶 𝑃(𝐷|𝐶)
𝑃 𝐷 =
1
3
1
2
+
1
3
1 +
1
3
1
3
= 0,6111
41. b) Una prueba para diagnosticar un virus, lo detecta en el 95% de las personas que efectivamente tienen la
enfermedad y en el 1% de las personas que no están infectados. Por estudios previos se ha determinado que solo
el 0,5% de las personas sometidas a la prueba tienen efectivamente el virus. ¿Cuál es la probabilidad de que la
prueba genere un diagnostico positivo?
Solución: es una aplicación del Teorema de la Probabilidad Total.
Los eventos primarios son:
𝑉: personas que efectivamente tienen el virus. 𝑃 𝑉 = 0,005
𝐹: personas que efectivamente no tienen el virus. 𝑃 𝐹 = 0,995
El evento relacionado es, 𝐷+
: el diagnostico de la prueba es
Positivo y es tal que: 𝑃 𝐷+ 𝑉 = 0,95 y 𝑃 𝐷+ 𝐹 = 0,01.
Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total:
𝑃 𝐷+
= 𝑃 𝑉 𝑃 𝐷+
𝑉 + 𝑃 𝐹 𝑃 𝐷+
𝐹
𝑃 𝐷+ = 0,005 0,95 + 0,995 0,01 = 0.0147
42. c) Una fábrica tiene tres turnos. El 1% de los artículos producidos en el primer turno son
defectuosos, 2% de los artículos del segundo turno son defectuosos y el 5% de los artículos del tercer turno
también son defectuosos. Si en todos los turnos se produce la misma cantidad de artículos, ¿Qué porcentaje de
los artículos producidos en un día son defectuosos?
Solución: El enunciado describe la aplicación del Teorema de la Probabilidad Total.
Los eventos primarios son, 𝑇𝑖: es el turno 𝑖-ésimo de la fabrica. 𝑃 𝑇𝑖 =
1
3
, ( 𝑖 = 1, 2 𝑦 3).
El evento relacionado con lo eventos primarios es, 𝐷 : artículos defectuosos producidos en un día.
𝑃 𝐷 𝑇1 = 0,01 , 𝑃 𝐷 𝑇2 = 0,02 y 𝑃 𝐷 𝑇3 = 0,05 .
Por el Teorema de la Probabilidad Total:
𝑃 𝐷 = 𝑃 𝑇1 𝑃 𝐷 𝑇1 + 𝑃 𝑇2 𝑃 𝐷 𝑇2 + 𝑃 𝑇3 𝑃(𝐷|𝑇3)
𝑃 𝐷 =
1
3
0,01 +
1
3
0,02 +
1
3
0,05 = 0,0267
43. 2.5.2 Teorema de Bayes.
Sean 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … 𝐴𝑘 eventos de Ω tales que 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 𝜙 (𝑖 ≠ 𝑗), ⋃𝑖=1
𝑘
𝐴𝑖 = Ω
y 𝑃 𝐴𝑖 > 0 para 𝑖 = 1,2, … , 𝑘. Sea 𝐵 otro evento de Ω , tal que 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 existen para
𝑖 = 1,2, … , 𝑘. Entonces:
𝑃 𝐴𝑖 𝐵 =
𝑃 𝐴𝑖 𝑃 𝐵 𝐴𝑖
𝑃 𝐵
=
𝑃 𝐴𝑖 𝑃 𝐵 𝐴𝑖
σ𝑖=1
𝑘
𝑃 𝐴𝑖 𝑃 𝐵 𝐴𝑖
La expresión anterior se denomina Teorema de Causas, pues busca la causa que
genera el efecto del nuevo evento.
44. Ejemplo 12:
a) Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80%
de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.
Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
Solución: es una situación donde se aplica el Teorema de Bayes.
Los eventos primarios son:
𝐸: el estudiante oye el despertador. 𝑃 𝐸 = 0,8 y 𝐸𝑐
: el estudiante no oye el despertador. 𝑃 𝐸𝑐
= 0,2
El evento relacionado es: 𝐻: el estudiante hace el examen. Es tal que:
𝑃 𝐻 𝐸 = 0,9 y 𝑃 𝐻 𝐸𝑐
= 0,5.
𝑃 𝐻 = 𝑃 𝐸 𝑃 𝐻 𝐸 + 𝑃 𝐸𝑐
𝑃 𝐻 𝐸𝑐
𝑃 𝐻 = 0,8 0,9 + 0,2 0,5 = 0,82
Aplicando el Teorema de Bayes:
𝑃 𝐸 𝐻 =
𝑃(𝐸)𝑃(𝐻|𝐸)
𝑃 𝐻
=
(0,8)(0,9)
0,82
= 0,878
45. b) En una casa hay tres llaveros 𝐴, 𝐵 y 𝐶; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho,
de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del patio. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para
abrir el patio. Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero 𝐴?
Solución: se trata de aplicar el Teorema de Bayes a la situación planteada:
Se tienen como eventos primarios:
𝐴 : el primer llavero, 𝐵: el segundo llavero y 𝐶: el tercer llavero. Se tiene que , 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐶) =
1
3
El evento relacionado con los primarios : E : la llave abre la puerta del patio. De donde:
𝑃 𝐸 𝐴 =
1
5
, 𝑃 𝐸 𝐵 =
1
7
y 𝑃 𝐸 𝐶 =
1
8
𝑃 𝐸 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐸 𝐴 + 𝑃 𝐵 𝑃 𝐸 𝐵 + 𝑃 𝐶 𝑃 𝐸 𝐶
𝑃 𝐸 =
1
3
1
5
+
1
3
1
7
+
1
3
1
8
= 0,156
Aplicando el Teorema de Bayes:
𝑃 𝐴 𝐸 =
𝑃(𝐴)𝑃(𝐸|𝐴)
𝑃 𝐸
=
1
3
1
5
0,156
= 0,4275
46. c) Suponga que los chips de un circuito integrado son probados con cierto instrumento y la probabilidad de que se detecten
defectuosos es 0,99. Por otro lado hay una probabilidad de 0,95 de que un chips sea declarado como bueno si
efectivamente lo es. Si el 1% de todos los chips son defectuosos, ¿ cuál es la probabilidad de que un chips que sea
declarado como defectuoso sea realmente bueno?
Solución: en este enunciado aplica el Teorema de Bayes.
Los eventos primarios son:
𝐵 : son los chips realmente buenos y 𝐷: son los chips realmente defectuosos.
𝑃 𝐷 = 0,01 y 𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝑀) = 1 − 0,01 = 0,99.
El evento asociados a los eventos primarios es:
𝑀: son los chips declarados defectuosos por el instrumento.
𝑃 𝑀𝑐 𝐵 = 0,95 entonces 𝑃 𝑀 𝐵 = 1 − 0,95 = 0,05
y 𝑃 𝑀 𝐷 = 0,99
𝑃 𝑀 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝑀 𝐵 + 𝑃 𝐷 𝑃 𝑀 𝐷
𝑃(𝑀) = (0,99)(0,05) + (0,01)(0,99) = 0,0594
Usando el Teorema de Bayes:
𝑃 𝐵 𝑀 =
𝑃 𝐵 𝑃 𝑀 𝐵
𝑃(𝑀)
=
0,99 0,05
0,0594
= 0,8333
47. Bibliografía:
• Acuña, Edgar (2014) Estadística Elemental. Universidad de Puerto Rico.
• Canavos, George (1998) Probabilidad y Estadística. Métodos y Aplicaciones. McGraw-Hill.
• Devore, J. (2008) Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. 7ma.Edición. Cengace
Learning Editores. Mexico.
• Meyer, Paul (1997) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Addison- Wesley Iberoamericana
• Montgomery, D. C y Runger, R. (2008) Probabilidad y Estadística Aplicadas a la Ingeniería. 2da.
Edición. Limusa Wiley. Mexico.
• Rincón, Luis (2014) Introducción a la Probabilidad. UNAM. Mexico.
• Walpole y Myers (2012) Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Pearson 9ª edición.
