El documento define conceptos básicos de probabilidad como espacio muestral, eventos, relaciones entre eventos y familia de eventos. Luego explica la definición de probabilidad según los axiomas de Kolmogorov, incluyendo probabilidad condicional, eventos independientes y dependientes. Finalmente, introduce la ley de probabilidad total y teorema de Bayes, ilustrando con ejemplos los diferentes conceptos.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
MARACAIBO ESTADO ZULIA
CATEDRA: ESTADISTICA I
Realizado por:
Reinaldo Jonas Pérez Suarez
C.I 23.875.789

2. Contenido
Introducción
1.-Definir los conceptos de espacio muestral, eventos, relaciones entre eventos y
familia de eventos.
2.- Definir probabilidad y los axiomas en que esto se basa.
2.1- Definición Clásica de la Probabilidad.
2.2.- Axiomas de Probabilidad.
2.3.- Axiomas de Kolmogórov.
2.4.-Propiedades que se deducen de los axiomas.
3.-Definir probabilidad condicional, eventos Independientes, eventos
dependientes, ley de probabilidad total y teorema de bayes. Dar ejemplos.
3.1- Probabilidad Condicional.
3.2- Eventos Independientes.
3.3- Eventos Dependientes.
3.4- Ley de Probabilidad Total.
3.5- Teorema de Bayes.
4.- Muestras de población, definir permutaciones y combinaciones y sus
aplicaciones a los diferentes eventos.
4.1- Población.
4.2-Muestra.
4.3- Permutaciones.
4.4- Combinaciones.
4.5- Aplicaciones.
Conclusión.
Bibliografía.

3. Introducción
El Análisis de la información para la teoría de la probabilidad es fundamental para
determinar los valores de los análisis de una cantidad dada pueden ser de el
número estimado de una población la tasa de natalidad de un país o el recuento
de los empleados de una compañía para determinar la cantidad de disminución o
aumento de los gráficos de dicho problema también es un factor importante para
llegar a un determinado resultado como tal para poder tener unos resultados
claros del mismo

4. 1.- Definir los conceptos de espacio muestral, eventos, relaciones entre
Eventos y familia de eventos.
Espacio Muestral: Es denotado por un ejerció con una moneda que no da el
espacio que existe entre una cierta probabilidad de resultados como tal
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de
muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un
evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los
sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el
suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría
formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.
Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo
posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas,
una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey),
mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y
picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría
ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que
describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios
de muestreo descritos.
Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación
elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de
probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de
muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-
álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.
Eventos: Son subconjuntos del espacio muestral es decir un conjunto de
resultados aleatorios que nos puede dar cualquier experimento.
Ejemplo: Lanzar un dado represente el evento detonado en A. Suponiendo que el
resultado sea un numero divisible entre 3.
Relaciones entre eventos y familia de eventos: La posibilidad de que se
presente un evento resultante de un evento estadístico se evalúa por el conjunto
de números reales llamados pesos o probabilidades que caen en el rango de 0 a
1. A cada punto en el espacio muestral se le asigna una probabilidad, tal que la
suma de todas las probabilidades de 1. Si se tiene la razón para creer que un
punto muestral tiene una probabilidad de ocurrir cuando se lleve a cabo el evento
la probabilidad que se le asigne debe ser cerca de 1. Por otra parte si se le asigna
0 es muy probable que no ocurra en muchos experimentos como lanzar un dado o
una moneda.

5. 2. Definir probabilidad y los axiomas en que esto se basa: La autodefinición
axiomática de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible
es sinónimo de igualmente auto probable) se define la probabilidad estimada u
honírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando
Omega es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se
escribe como
y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún
experimento indefinidamente.
En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema
de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos
y en la teoría de la medida ,desarrollada pocos años antes por Lebesgue ,Borel
y Frechet entre otros.
Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la
Probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo decasos favorables
Sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya
Utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos.
Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más
Variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde
mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las
finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de
acciones).
2.1. Definición Clásica de la Probabilidad: La probabilidad es la característica
de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará.
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles
igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de
dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.

6. La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es
imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene
que ocurrir su probabilidad es 1.
La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:
Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad
de que no ocurra, entonces p + q = 1
2.2.- Axiomas de Probabilidad: son las condiciones mínimas que deben
verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine
consistentemente sus probabilidades.
Fueron formulados por Kolmogórov en 1933
2.3.- Axiomas de Kolmogórov:
Primer axioma: La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se
encuentra entre cero y uno.
0  p(A)  1
Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5
Segundo Axioma: La probabilidad de que ocurra el espacio muestral  debe de ser
1.
P () = 1
Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es
"1".
Tercer Axioma: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,
p(AB) = p(A) + p(B)

7. Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la
suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de
varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus
componentes.
Generalizando: Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1,
A2, A3,.....An, entonces;
p(A1A2.........An) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)
Ejemplo: Para el experimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es W
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este espacio el conjunto de sucesos es P(W) = {Æ, {1}, {2},
...{1,2}, {1,3}, ...{1,2,3,4,5,6}}. Para establecer una probabilidad hay que asignar un
número a todos esos sucesos.
Sin embargo si se ha asignado a los sucesos elementales p({1})= p({2})= ...=
p({6})= 1/6, por la propiedad ii), p.e. la probabilidad del suceso {1, 3} es p({1,3})=
p({1})+ p({3})=2/6.
Nota: El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3}
es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el
resultado de tirar el dado es una cara impar".
2.4.-Propiedades que se deducen de los axiomas:
De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:
- donde el conjunto vacío representa en probabilidad el suceso
imposible.
-Para cualquier suceso .
-
- Si entonces,
-

8. 3.- Definir probabilidad condicional, eventos Independientes, eventos
dependientes, ley de probabilidad total y teorema de bayes. Dar ejemplos.
3.1- Probabilidad Condicional: es la probabilidad de que ocurra un evento A,
sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se
escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede
preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede
causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o
temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden
desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los
eventos.
Ejemplo.
La antena de una instalación de radar recibe, con probabilidad , una señal útil
con una interferencia superpuesta, y con probabilidad solo la interferencia
pura. Al suceder una señal útil interferida, la instalación indica la existencia de
cualquier señal con probabilidad , cuando aparece una interferencia pura con la
probabilidad . Sí la instalación ha indicado la existencia de cualquier señal,
determinar la probabilidad de que esta indicación haya sido ocasionada por una
señal útil con interferencia superpuesta.
Solución.
3.2- Eventos Independientes: Los eventos independientes ocurren ya sea cuando:

9. ·El proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningún posible resultado.
·El proceso que sí elimina un posible resultado, pero el resultado es sustituido
antes de que suceda una segunda acción. (A esto se le llama sacar un
reemplazo.)
Ejemplo.
Situación Eventos
Por qué los eventos son
independientes
Lanzas un dado, y si no
sale 6, lanzas de nuevo.
¿Cuál es la probabilidad
de sacar un 6 en el
segundo lanzamiento?
El primer
lanzamiento no
es un 6.
El primer
lanzamiento es
un 6.
El hecho de que el primer
lanzamiento no es un 6 no
cambia la probabilidad de que el
segundo lanzamiento sea un 6.
(A algunas personas les gusta
decir, "el dando no se acuerda
qué sacaste antes.")
Sacas una canica de
una bolsa con 2 canicas
rojas, 2 blancas, y una
verde. Observas el color,
la pones de nuevo en la
bolsa, y sacar otra
canica. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar
una canica roja ambas
veces?
Sacar una canica
roja en el primer
intento.
Sacar una canica
roja en el
segundo intento.
Los eventos son independientes
porque regresaste la primera
canica a la bolsa y tu segundo
intento fue con la bolsa en su
estado original.
3.3- Eventos Dependientes: Dos eventos son independientes si el resultado del
segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son
eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el
producto de las probabilidades de los eventos individuales.
P(A y B) = P(A) · P(B)

10. Ejemplo 1:
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una
canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la
caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda
canica sea verde?
Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no
cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.
P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
Dos eventos son dependientes si el resultado del primer evento afecta el
resultado del segundo evento así que la probabilidad es cambiada. En el ejemplo
anterior, si la primera canica no es reemplazada, el espacio muestral para el
segundo evento cambia y así los eventos son dependientes. La probabilidad de
que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos
individuales:
P(A y B) = P(A) · P(B)
Ejemplo 2:
Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una
canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la
caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda
canica sea verde?
Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para
la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son
dependientes.
P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
3.4- Ley de Probabilidad Total: Si A 1, A2,..., A n son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.

11. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A2 ... A n = E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
Ejemplo:
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las
cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de
ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho.
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera
de las cajas, esté fundida?
3.5- Teorema de Bayes: es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631
que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en
términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la
distribución de probabilidad marginal de sólo A.

12. En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de
enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la
probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor
de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la
probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo
ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus
ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad
de aspectos causales dados los efectos observados.
Ejemplo.
El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un
accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad
no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos
permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un
accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con
el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las
probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B),
que se denominan "probabilidades a posteriori".
4.- Muestras de población, definir permutaciones y combinaciones y sus
aplicaciones a los diferentes eventos.

13. 4.1- Población: va más allá de lo que comúnmente se conoce como tal. Una
población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos que
presentan características comunes.
Destacamos algunas definiciones:
"Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando,
acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones". Levin & Rubin (1996).
"Una población es un conjunto de elementos que presentan una característica
común". Cadenas (1974).
El tamaño que tiene una población es un factor de suma importancia en el proceso
de investigación estadística y en nuestro caso social, y este tamaño vienen dado
por el número de elementos que constituyen la población, según el número de
elementos la población puede ser finita o infinita. Cuando el número de elementos
que integra la población es muy grande, se puede considerar a esta como una
población infinita, por ejemplo; el conjunto de todos los números positivos.
Una población finita es aquella que está formada por un limitado número de
elementos, por ejemplo; el número de habitantes de una comarca.
Cuando la población es muy grande, es obvio que la observación y/o medición de
todos los elementos se multiplica la complejidad, en cuanto al trabajo, tiempo y
costos necesarios para hacerlo. Para solucionar este inconveniente se utiliza una
muestra estadística.

14. 4.2-Muestra: La muestra es una representación significativa de las características
de una población, que bajo, la asunción de un error (generalmente no superior al
5%) estudiamos las características de un conjunto poblacional mucho menor que
la población global.
“Se llama muestra a una parte de la población a estudiar que sirve para
representarla”. Murria R. Spiegel (1991).
“Una muestra es una colección de algunos elementos de la población, pero no de
todos”. Levin & Rubin (1996).
“Una muestra debe ser definida en base de la población determinada, y las
conclusiones que se obtengan de dicha muestra solo podrán referirse a la
población en referencia”, Cadenas (1974).
Por ejemplo estudiamos los valores sociales de una población de 5000 habitantes
aprox., entendemos que sería de gran dificultad poder analizar los valores sociales
de todos ellos, por ello, la estadística nos dota de una herramienta que es la
muestra para extraer un conjunto de población que represente a la globalidad y
sobre la muestra realizar el estudio. Una muestra representativa contiene las
características relevantes de la población en las mismas proporciones que están
incluidas en tal población.
Los expertos en estadística recogen datos de una muestra. Utilizan esta
información para hacer referencias sobre la población que está representada por
la muestra. En consecuencia muestra y población son conceptos relativos. Una
población es un todo y una muestra es una fracción o segmento de ese todo.
Técnicas de Muestreo:
Esto no es más que el procedimiento empleado para obtener una o más muestras
de una población; el muestreo es una técnica que sirve para obtener una o más
muestras de población.
Este se realiza una vez que se ha establecido un marco muestral representativo
de la población, se procede a la selección de los elementos de la muestra aunque
hay muchos diseños de la muestra.
Al tomar varias muestras de una población, las estadísticas que calculamos para
cada muestra no necesariamente serían iguales, y lo más probable es que
variaran de una muestra a otra.

15. Tipos de muestreo
Existen dos métodos para seleccionar muestras de poblaciones; el muestreo no
aleatorio o de juicio y el muestreo aleatorio o de probabilidad. En este último todos
los elementos de la población tienen la oportunidad de ser escogidos en la
muestra. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en la
experiencia de alguien con la población. Algunas veces una muestra de juicio se
usa como guía o muestra tentativa para decidir como tomar una muestra aleatoria
más adelante. Las muestras de juicio evitan el análisis estadístico necesario para
hacer muestras de probabilidad.
4.3- Permutaciones: cuando el orden importa. Supongamos que tenemos n
objetos de donde escoger (n canicas en la bolsa, o n invitados en una fiesta, por
ejemplo).
· La primera sacada tiene una opción de n objetos
· Para cada uno de esos n objetos, existen n – 1 opciones para la segunda
sacada. Usando el Principio Fundamental de Conteo, es significa que hay n •
(n – 1) resultados para escoger dos cosas.
· Ahora, para esos n • (n – 1) resultados, se puede tener una tercera opción
de los n – 2 objetos que restan. Usando de nuevo el Principio Fundamental de
Conteo, hay n • (n – 1) • (n – 2) resultados posibles para 3 sacadas.
¿Ves a dónde va esto? Nota que el último factor resta uno menos que el número
total de objetos elegidos. Para encontrar el número de opciones para sacar el k-
ésimo objeto, multiplica los resultados anteriores por n – (k – 1). Otra forma de
escribir n – (k – 1) es n – k + 1.
Cuando elegimos k de n objetos y el orden importa, el número de permutaciones
es
El símbolo “…” significa continuar de la misma manera. En este caso, significa que
se continúe multiplicando por el siguiente número completo menor, por n – k + 1.
Para las combinaciones, el orden no importa. ¿Cómo cambia esto el número de
resultados? El número de permutaciones que se vuelven la misma cuando el
orden ya no importa es el número de maneras distintas de arreglar objetos en un
grupo.

16. Piensa en un grupo de 3 letras. ABC. En una permutación, ABC y CAB son
resultados distintos, pero en una combinación, estos resultados son el mismo.
¿Cuántas maneras diferentes hay de ordenar las letras A, B, y C? Es decir,
¿cuántas permutaciones hay para este grupo en particular?
ABC ACB
BAC BCA
CAB CBA
Existen 6 maneras de ordenar estas letras. Lo que estamos haciendo es
encontrando el número de permutaciones de 3 objetos cuando elegimos los 3 (n =
3 y k = 3). Entonces, usando la fórmula proporcionada arriba, existen 3 • 2 • 1 = 6
resultados. Que son los mismos que los resultados de la lista.
En el ejemplo de las canicas, teníamos 2 objetos en cada grupo, entonces para
cada par de canicas, había 2 • 1, o 2, maneras de ordenarlas. Sólo necesitábamos
una para cada par, por lo que el número de combinaciones ere el número de
permutaciones dividido entre 2. En el ejemplo de las letras, como existen 6
maneras de ordenar 3 objetos, cuando encontramos las combinaciones de tres
sólo necesitábamos una representativa para esas 6 formas. Podemos dividir el
número de permutaciones entre 6 y obtener el número de combinaciones.
Esto es válido en general: Para encontrar el número de combinaciones de k
objetos tomados de n objetos, dividir el número de permutaciones de escoger k de
n objetos entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos.
4.4- Combinaciones: Cuando escogemos k de n objetos en un orden que no
importa, el número de combinaciones es el número de permutaciones para k de n
objetos dividido entre el número de permutaciones para escoger k de k objetos:
Tamaño de Muestra y Factoriales: Existe una forma más fácil de escribir
fórmulas de permutaciones y combinaciones, usando una idea llamada factoriales.
Un factorial es el producto de todos los números completos desde 1 hasta un
número dado. El símbolo ¡ después de un número es usado para representar este
producto, Por ejemplo, 3! = 3 • 2 • 1, y 7! = 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1. Entonces, en
general, n! = n • (n – 1) • … • 2 • 1. Nota especial: 0! Se define como 1.

17. La fórmula del número de permutaciones empieza como n!, pero termina con (n –
k + 1) en lugar de 1. Necesitamos eliminar los factores de (n – k) a 1 del producto.
¡Podemos hacer eso dividiendo entre (n – k)!
Entonces, para las combinaciones, dividimos el resultado entre k • (k – 1) • … • 2 •
1, o k.
Usando Factoriales Cuando escogemos k de n objetos, podemos usar las
siguientes fórmulas:
Número de permutaciones =
Número de combinaciones =
Muchas calculadoras tienen la tecla o el comando factorial (¡). Para encontrar el
número de permutaciones de escoger 20 de 24 objetos, teclear 24! ÷ 4! Es más
rápido y fácil que 24 • 23 • 23 • 21 • 20 • 19 • 18 • 17 • 16 • 15 • 14 • 13 • 12 • 11 •
10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5. (Aunque, si sólo se hacen 4 elecciones, sería más fácil teclear
24 • 23 • 22 • 21.)
Probemos estas fórmulas en un problema. Primero, usaremos el Principio
Fundamental de Conteo.
Ahora aplicaremos estas formulas en cirtos ejemplos para detonar cual es el
cambio que produce al usar de una manera adecuada las formulas para llegar a
un resultado más factible y directo.
4.5- Aplicaciones: se utiliza para el desarrollo del binomio de Newton; en la teoría
de la probabilidad y en estadística (para calcular el número de casos posibles de
un sistema). También tiene importantes aplicaciones en el diseño y
funcionamiento de ordenadores o computadoras, así como en las ciencias físicas
y sociales. De hecho, la teoría combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas
áreas en donde tengan relevancia las distintas maneras de agrupar un número
finito de elementos.

18. Ejemplo
Problema Una organización de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro
miembros serán escogidos al azar para una entrevista con el
periódico de la escuela sobre el grupo. ¿Cuántos grupos de 4
personas son posibles?
Combinación
Primero decidir si esta situación es
una permutación o una combinación
No existe ninguna razón para que una
persona sea considerada distinta de
otra, por lo que esto es una
combinación.
Existen 30 posibilidades para la
primera sacada. Luego 29
posibilidades para la segunda
persona, 28 para la tercera, y 27 para
la cuarta. El Principio Fundamental de
Conteo dice que debemos multiplicar
estos resultados para obtener el
número de posibilidades
Sin embargo, ese producto nos da el
número de permutaciones, cuando el
orden importa. Necesitamos tomar
todos los posibles arreglos de 4
personas en particular y usar sólo una
representación de cada uno.
Para cuatro personas, existen 4
opciones para enlistar a la primera, 3
para la segunda, 2 para la tercera, y
sólo 1 opción para la cuarta. El
Principio Fundamental de Conteo nos
dice cuántas veces un grupo de 4
personas aparecerá en la lista de
permutaciones
Dividir entre el producto que resulta
del Principio Fundamental de Conteo
Solución ¡Existen 27,405 posibles grupos
diferentes de 4 personas a partir de 30
miembros!

19. Ahora resolveremos el mismo problema con la fórmula factorial:
Ejemplo
Problema Una organización de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro
miembros serán escogidos al azar para una entrevista con el
periódico de la escuela sobre el grupo. ¿Cuántos grupos de 4
personas son posibles?
Combinación
Primero decidir si esta
situación es una
permutación o una
combinación
No existe ninguna razón
para que una persona sea
considerada distinta de otra,
por lo que esto es una
combinación.
La fórmula factorial para las
combinaciones es
.
En este caso, estamos
escogiendo 4 de 30
miembros, entonces n = 30
y k = 4.
Solución ¡Existen 27,405 posibles grupos
diferentes de 4 personas a partir de 30
miembros!

20. Ambos métodos producen la misma respuesta.
Un grupo de 8 amigos están jugando un juego de mesa en el cual los jugadores
compiten para llegar primero a la última casilla de un tablero. Los amigos van a
reconocer al primer, segundo y tercer lugar. ¿Cuántas maneras diferentes hay de que
los 8 amigos tomen esos lugares?
A) 6
B) 56
C) 336
D) 40,320

21. Conclusión
Al momento de realizar este trabajo nos disponemos a analizar los puntos de
información más importantes del tema para poder dar una respuesta o solución a
la teoría de probabilidades ya que los factores y posibles soluciones que nos
encontramos al momento de buscar la información detallada nos dan los
resultados esperados también debemos tomar los puntos clave para poder dar
una respuesta a los ejemplos a resolver es por eso que la mayoría de los
problemas nos dan un Espacio muestral o un resultado ya esperado en una
determinada posición y poder dar un valor a ese ejemplo por lo cual cave analizar
cada paso a realizar para obtener un resultado más especifico por lo cual se
plantean teorías y ecuación que nos ayudan a dar las respuestas a ellos de una
manera más rápida y clara.

22. Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/
http://www.montereyinstitute.org
http://eadsaia.uft.edu.ve/psm/file.php/1868/Teoria_de_la_Probabilidad.pdf