Here is the tree diagram with the sample space and probabilities: S = {Boy with black hair, Boy with blond hair, Girl with black hair, Girl with blond hair} Girl p=0.5 Black Hair p= 0.4 Girl Blond Hair p= 0.1 The probabilities are: P(Boy with black hair) = 0.5 × 0.7 = 0.35 P(Boy with blond hair) = 0.5 × 0.3 = 0.15 P(Girl with black hair) = 0.5 × 0.4 = 0.2 P(Girl with blond hair)

1. Centro de Ciencias de la Salud
Centro de Ciencias de la Salud
Departamento de Optometría
Departamento de Optometría
MAESTRÍA EN REHABILITACIÓN VISUAL
TERCER SEMESTRE
MÉTODOS ESTADÍSTICOS
ACTIVIDAD 3
MIDIENDO LA INCERTIDUMBRE
Profesor:
DCC Rogelio Salinas Gutiérrez
Alumna:
Lic. Opt. Tania Lucila Soto Ortiz
Aguascalientes, Ags.
4 de Marzo de 2014

2. INDICE
INTRODUCCIÓN…………………………… ……………………………………………………………………….…………….…………….1
OBJETIVO DEL TRABAJO………………………………………………………………………………….………………….2
CONCEPTO DE ESPACIO MUESTRAL.………………………………………………………….……………………………….3
PROCEDIMIENTOS
EJERCICIO 1………………………………………………….……………………………………………………………………….5
EJERCICIO 5………………………………………………….……………………………………………………………………….7
EJERCICIO 6………………………………………………….………………………………………………………………………8
EJERCICIO 7………………………………………………….……………………………………………………………..……….9
EJERCICIO A ………………………………………………….……………………………………………………………………10
CONCLUSIONES.…………………………………………… ……………………………….………………….……………………………11
REFERENCIAS……………………………………………………………………………………………………..……………………………12

3. INTRODUCCIÓN
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con
certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una
herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época.
El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte.
Con el tiempo, estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros
usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúa con el estudio
de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio
de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos.
La teoría de probabilidad se ocupa de asignar un cierto número a cada posible
resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos
resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos
algunas definiciones:
Suceso: es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Ejemplo: al lanzar una moneda sale cara.
Suceso aleatorio: es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo: al tirar un dado, un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de
3, y otro, sacar 5.
Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de una
experiencia aleatoria. Lo representa la letra E (o bien, la letra griega Ω), y los
elementos que lo forman se escriben entre llaves: { }.
Ejemplo 1: Espacio muestral de una moneda  E = {C, X}
(C: cara; X: sello)
Ejemplo 2: Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Podemos definir a la probabilidad (p) como el conjunto de posibilidades de que un
evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado.
Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el
evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 y uno que ocurra con certeza es
de 1, y el resto de sucesos tendrá probabilidades entre “cero y uno” que será tanto mayor
cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. En otras palabras, una fracción
comprendida entre 0 y 1, indica las posibilidades que tiene de presentarse un suceso
cuando se realiza un experimento aleatorio (aquellos experimentos en los que no se
puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar, es decir, de la casualidad).
La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables
es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y
el número total de casos posibles n.
La probabilidad de que un evento "no ocurra"
equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q.
1

4. Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria o
estocástica
“x” (dato susceptible de tomar diferentes valores en determinadas
circunstancias), que puede ser de dos tipos:
Variable aleatoria discreta (x)
Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque
el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores
enteros y un número finito de ellos.
Variable aleatoria continua (x)
Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque
los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto
valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.
Las variables descritas anteriormente generan una distribución de probabilidad
que puede ser discreta o continua.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA
1. Es generada por una variable discreta (x).
2. p(xi)= >0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x
deben ser mayores o iguales a cero.
3. Sp(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores
que toma x debe ser igual a 1.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA
1. Es generada por una variable continua (x).
2. f(x)=>0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x
deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad
de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. La función
de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II.
3. La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma
x debe ser igual a 1. El área definida bajo la función de densidad de
probabilidad deberá ser de 1.
OBJETIVO DEL TRABAJO:
Conocer conceptos básicos de la Teoría de Probabilidad y vincularlos con
ejercicios prácticos.
2

5. CONCEPTO DE “ESPACIO MUESTRAL”
El conjunto de todos los resultados posibles diferentes de un determinado
experimento aleatorio se denomina espacio muestral asociado a dicho experimento y se
suele representar por Ω o E. A los elementos de Ω se les denomina sucesos elementales.
Así por ejemplo, el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente
en el lanzamiento de una moneda es Ω= {Cara, Cruz}; el espacio muestral asociado al
lanzamiento de un dado es Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, siendo Cara y Cruz los sucesos elementales
asociados al primer experimento aleatorio y 1, 2, 3, 4, 5 y 6 los seis sucesos elementales del
segundo experimento aleatorio.
A pesar de la interpretación que tiene el espacio muestral, no es más que un conjunto
abstracto de puntos (los sucesos elementales), por lo que el lenguaje, los conceptos y
propiedades de la teoría de conjuntos constituyen un contexto natural en el que
desarrollar el Cálculo de Probabilidades.
Sea A el conjunto de las partes de, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos
de Ω. En principio, cualquier elemento de A, es decir, cualquier subconjunto del espacio
muestral contendrá una cierta incertidumbre, por lo que trataremos de asignarle un
número entre 0 y 1 como medida de su incertidumbre. En Cálculo de Probabilidades
dichos subconjuntos reciben en el nombre de sucesos o eventos, siendo la medida de la
incertidumbre su probabilidad. La tripleta (Ω, A, P) recibe el nombre de espacio
probabilístico.
Advertimos no obstante, que la elección del espacio muestral asociado a un
experimento aleatorio no tiene por qué ser única, sino que dependerá de que sucesos
elementales queramos considerar como distintos y del problema de la asignación de la
probabilidad sobre esos sucesos elementales.
Por ejemplo, consideremos el experimento aleatorio consistente en extraer una
bola al azar de una urna compuesta por tres bolas rojas, dos blancas y una verde.
Podemos considerar como espacio muestral:
Ω1= {ω1, ω2, ω3}
en donde sea ω1 = bola roja, ω2= bola blanca y ω3 = bola verde, aunque también
podíamos haber considerado como espacio muestral el conjunto:
Ω1= {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}
en donde ωi = bola roja, i = 1,2,3, ωi = bola blanca, i= 4,5 y ω6= bola verde, haciendo las
bolas distinguibles.
Ambos pueden ser considerados espacios muéstrales del experimento descrito,
eligiendo el que más nos convenga, por ejemplo, a la hora de asignar la probabilidad a
los sucesos elementales de uno u otro espacio muestral.
Respecto a la clase de los sucesos A, es natural que ésta tenga una estructura tal
que permita hablar no solo de sucesos sino también de su unión, intersección, diferencia,
complemeno, etc., debiendo ser la clase A, en consecuencia, cerrada a dichas
operaciones entre "conjuntos" (entre sucesos). Esta es la situación del conjunto de las
3

6. partes cuando es finito o inclusive numerable (caso, por ejemplo, del espacio muestral
asociado al experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda hasta que salga
cara por primera vez). En otras ocasiones en las que sea un conjunto continuo (por
ejemplo, cuando estudiamos el tiempo que tarda un isótopo radioactivo en volverse
inestable), deberá ser A un conjunto estrictamente más pequeño que el conjunto de las
partes de Ω.
En todo caso podemos pensar en A como en el conjunto que contiene todos los
elementos de interés, es decir, todos los sucesos a los que les corresponde una
probabilidad.
Apuntemos además algunas peculiaridades del Cálculo de Probabilidades
respecto a la teoría de conjuntos. Aquí, el conjunto vacío “0” recibe el nombre de suceso
imposible, definido como aquel subconjunto de que no contiene ningún suceso elemental
y que corresponde a la idea de aquel suceso que no puede ocurrir.
De forma análoga, el espacio total recibe el nombre de suceso seguro al recoger
dicha denominación la idea que representa.
Llamaremos sucesos incompatibles a aquellos cuya intersección sea el suceso
imposible.
Por último, digamos que la inclusión de sucesos, A B, se interpreta aquí como que
siempre que se cumpla el suceso A se cumple el B; por ejemplo, siempre que salga el 2
(suceso A) sale par (suceso B).
El último elemento del espacio probabilístico es la probabilidad, que como antes
dijimos está definida sobre A, asignando a cada suceso un número entre 0 y 1, este es el
rango de valores que puede tomar una probabilidad.
4

7. PROCEDIMIENTOS
1. Consider two events E1 and E2, where P(E1) = 0.3 and P(E2) = 0.5. Calculate the following
probabilities:
(a) P(E1 ∪ E2) if the events are disjoint. In this case, are these two events partitioning the
sample space?
The probability of the union of two disjoint events is simply the sum of their marginal
probabilities:
P(E1 ∪ E2) = P(E1)+ P(E2)= 0.3+0.5= 0.8
Ambos eventos forman parte del mismo espacio muestral, pero si sucede E1 entonces no
se puede presentar simultáneamente E2 y viceversa (disjoint).
(b) P(E3), where E3 = (E1 ∪ E2)c, and E1 and E2 are disjoint.
The probability of the complement event is 1 minus the probability of the event:
P(Ec) = 1−P(E)
P(E3) = 1−(E1 ∪ E2)c= 1-0.8= 0.2
(c) P(E1 ∩ E2) if the events are independent.
When two events E1 and E2 are independent, the probability that E1 and E2 occur
simultaneously, i.e., their joint probability, is the product of their marginal probabilities:
P(E1 ∩ E2) = P(E1)×P(E2)
In general, if events E1,E2, . . . , En are independent, then:
P(E1 ∩ E2 ∩· · ·∩En) = P(E1)×P(E2)×· · ·×P(En)
P(E1 ∩ E2) = 0.3×0.5= 0.15
(d) P(E1 ∪ E2) if the events are independent.
The probability of the union of two independent events as follows:
P(E1 ∪ E2) = P(E1)+P(E2)− P(E1)×P(E2)
P(E1 ∪ E2) = 0.3+ 0.5 – 0.3×0.5= 0.8 – 0.15= 0.65
La probabilidad de intersección es menor que la de unión porque en la intersección se
busca la probabilidad de que ambos eventos independientes sucedan simultáneamente
mientras que en la unión sólo se suman las probabilidades de ambos eventos.
5

8. (e) P(E2|E1) if P(E1|E2) = 0.35. In this case, are these two events independent?
In general, for two events E1 and E2, the following equation shows the relationship
between P(E2|E1) and P(E1|E2):
P(E2|E1) = P(E1|E2)P (E2)
P(E1)
We know the conditional probability of E1 given E2 “P(E1|E2)= 0.35” but we are interested
in the conditional probability of E2 given E1 “P(E2|E1)” .
P(E2|E1) = (0.35)(0.5)= 0.175 = 0.58
0.3
0.3
P(E1|E2) = 0.35
P(E2|E1)= 0.58
Son eventos dependientes, ya que la probabilidad condicional de E1 cuando ya sucedió
E2 es distinta a la probabilidad condicional de E2 cuando sucedió primero E1; en otras
palabras, un evento modifica al otro, dependiendo de cuál se presente primero.
6

9. 5. Suppose that a pregnant woman is going to give birth to a girl or a boy with equal
probabilities. However, if the baby is a boy, the probability that he has black (Bk) hair is 0.7,
whereas this probability is 0.4 if the baby is a girl. Alternatively, the baby could have blond
(Bd) hair. Using a tree diagram, find the sample space and the corresponding probabilities
for all possible combinations of gender and hair color for the baby.
S
Espacio muestral
Black Hair
p=0.7
p
(probabilidad)
Boy
Black Hair
p= 0.35
Boy
Blond Hair
p= 0.15
Boy
p=0.5
Blond Hair
p= 0.3
p= 0.2
Girl
Black Hair
Blond Hair
p= 0.6
Girl
p=0.5
Black Hair
p= 0.4
Girl
Blond Hair
p= 0.3
E = {Boy-BlackHair, Boy-BlondHair, Girl-BlackHair, Girl-BlondHair}
The probability of Boy-BlackHair is the product of the conditional
P(Boy|BlackHair) and the marginal probability P(Boy):
P(Boy-BlackHair)= P(Boy|BlackHair) P(Boy)= 0.7x0.5= 0.35
probability
The probability of Boy-BlondHair is the product of the conditional
P(Boy|BlondHair) and the marginal probability P(Boy)
P(Boy-BlondHair)= P(Boy|BlondHair) P(Boy)= 0.3x0.5= 0.15
probability
The probability of Girl-BlackHair is the product of the conditional
P(Girl|BlackHair) and the marginal probability P(Girl)
P(Girl-BlackHair)= P(Girl|BlackHair) P(Girl)= 0.4x0.5= 0.20
probability
The probability of Girl-BlondHair is the product of the conditional
P(Girl|BlondHair) and the marginal probability P(Girl)
P(Girl-BlondHair)= P(Girl|BlondHair) P(Girl)= 0.6x0.5= 0.30
probability
TOTAL
1.0
7

10. 6. Suppose that the probability of being affected by H1N1 flu is 0.02.We found that among
people who are affected by H1N1, the probability that a person washes her hands regularly
is 0.3. If the probability of washing hands regularly in general (regardless of whether the
person has the H1N1 flu or not) is 0.6. What is the probability of getting the H1N1 flu if a
person washes her hands regularly?
In some situations, we know the conditional probability of E1 given E2, but we are
interested in the conditional probability of E2 given E1. In this exercise, the probability of
having H1N1 is P(HN) = 0.02 and the probability of washing hands regularly in general,
(regardless of whether the person has the H1N1 flu or not) is P(W) = 0.6. Then, we know that
if a person has H1N1, the probability of washing hands regularly is P(W|HN) = 0.3. We are,
however, interested in the probability of getting H1N1 if a person washes her hands
regularly, P(HN|W).
This conditional probability is:
P(HN|W) = P(W ∩ HN)
P(W)
The probability of washing hands regularly and getting H1N1 at the same time is:
P(W ∩ HN) = P(W|HN)P(HN)
Since P(HN) and P(W|HN) are known, we can calculate the conditional probability of
getting H1N1 for people who washes her hands regularly:
P(HN|W) = P(W|HN)P(HN)= 0.3 x .02 = 0.006 = 0.01
P(W)
0.6
0.6
Therefore, the probability of getting H1N1 when people wash her hands regularly
decreases from 0.02 to 0.01.
8

11. 7. A person has received the result of his medical test and realized that his diagnosis was
positive (affected by the disease). However, the lab report stated that this kind of test has
false positive probability of 0.06 (i.e. diagnosing a healthy person, H, as affected, D) and
that the probability of false negative is 0.038 (i.e., diagnosing an affected person as
healthy). Therefore, while this news was devastating, there is a chance that he was
misdiagnosed. After some research, he found out that the probability of this disease in the
population is P(D) = 0.02. Find the probability that he is actually affected by the disease
given the positive lab result.
The probability of this disease in the population is P(D) = 0.02. Then, the probability of being
healthy is P(H) = 1 −0.02 = 0.98. The probability of false positive for this lab test is
P(T+|H)=0.06 and the probability of false negative is P(T−|D)=0.038. We can use all
probability rules for conditional probabilities. Because T+ and T− are complementary
events, we have:
P(T−|H) = 1−P(T+|H) = 1−0.06 = 0.94  Probabilidad de dar resultado negativo a alguien sano
P(T+|D) = 1−P(T−|D) = 1−0.038 = 0.962  Probabilidad de dar resultado positivo a un enfermo
Esto podría tomarse como fiabilidad de la prueba.
Knowing that the outcome of the test is positive, we can calculate the updated probability
of the disease. Notice that the two events D and H form a partition of the sample space.
Using the general form of Bayes’ theorem, the conditional probability of the disease given
a positive test result is:
P(D|T+) =
P(D|T+) =
P(T+|D)P(D)
.
P(T+|D)P(D) + P(T +|H)P(H)
(0.962)(0.02)
=
0.01924
= 0.01924 = 0.246
(0.962)(0.02) + (0.06)(0.98) 0.01924 + 0.0588 0.07804
Therefore, the positive test result increases the probability of having the disease from
P(D)=0.02 to P(D|T+) = 0.246.
These are definitely not good news for this person.
9

12. A. Dibujar y presentar un diagrama de árbol para los posibles tipos de paciente de
optometrista considerando sexo (hombre, mujer), si utiliza o no utiliza anteojos al
momento de la consulta y grupo de edad (niño, adulto, adulto mayor).
En base al diagrama de árbol definir cuál es el conjunto complemento de un paciente
hombre que no utiliza anteojos y que es adulto mayor proporcionando argumentación
que justifique la respuesta.
ESPACIO
MUESTRAL
NIÑO
LENTES
H-L-N
ADULTO
H-L-A
H-L-AM
AD. MAYOR
NIÑO
HOMBRE
NO
LENTES
H-NL-N
ADULTO
H-NL-A
AD. MAYOR
NIÑO
LENTES
ADULTO
MUJER
AD. MAYOR
NO
LENTES
H-NL-AM
M-L-N
M-L-A
M-L-AM
NIÑO
M-NL-N
ADULTO
M-NL-A
AD. MAYOR
M-NL-AM
El complemento de un evento son aquellos resultados obtenidos que están fuera de la
región definida pero que están dentro del espacio muestral. Entonces, si se busca el
complemento de H-NL-AM, el resto de los resultados son su complemento.
H-NL-AMC= {H-L-N, H-L-A, H-L-AM, H-NL-N, H-NL-A, M-L-N, M-L-A, M-L-AM, M-NL-N, M-NL-A, M-NL-AM}
10

13. CONCLUSIONES
La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia
los fenómenos aleatorios estocásticos, los cuales son aquellos que se obtienen como
resultado de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas pero
poseen como resultados posibles un conjunto de alternativas. Se ocupa de asignar un
cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio,
con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
Una aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en
la fiabilidad. Muchos bienes de consumo, como los automóviles y aparatos electrónicos,
utilizan la teoría de la fiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de
avería. La probabilidad de avería está estrechamente relacionada con la garantía del
producto (o con la fiabilidad de los resultados de alguna prueba de laboratorio o prueba
diagnóstica, como en el ejercicio 7).
La mayoría de las investigaciones biomédicas utilizan muestras de probabilidad, es
decir, aquellas en las que el investigador pueda especificar la probabilidad de cualquier
elemento en la población que investiga. Las muestras de probabilidad permiten usar
estadísticas inferenciales, aquellas que permiten hacer inferencias a partir de datos; estas
inferencias pueden permitir, como en el ejercicio 6, determinar acciones que disminuyan
el riesgo asociado a algo, puede ser a contagio o a accidente.
Se utilizan cuatro tipos de muestras probabilísticas: muestras aleatorias simples,
muestras aleatorias estratificadas, muestra por conglomerados y muestras sistemáticas. Por
otra parte, las muestras no probabilísticas solo permiten usarse estadísticas descriptivas,
recordemos que la estadística descriptiva es aquella que sólo permite describir, organizar
y resumir datos, más no realizar predicciones.
11

14. REFERENCIAS
Biblioteca Virtual UAA:
o
SHAHBABA Babak, BIOSTATISTICS WITH R, Ed. Springer; EEUU,2012
http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-probabilidades/teoriaprobabilidades.shtml#ixzz2uNiTvvBL
http://www.vitutor.com/pro/2/a_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribuciones%20d
e%20Probabilidad.htm
http://www.madrid.org/cs/StaticFiles/Emprendedores/Analisis_Riesgos/pages/pdf/estadi
sticas_es.pdf
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0278-01/probab1.html
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